第一篇：構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)

合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題

構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，但是有時(shí)簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵。

例1：已知函數(shù)f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若a??1時(shí)，方程f?1?x???1?x??3b有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。x

變量分離直接構(gòu)造函數(shù) 抓住問題的實(shí)質(zhì)，化簡函數(shù)

1、已知f?x?是二次函數(shù)，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區(qū)間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程f?x??37?0在區(qū)間?m,m?1?內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的x實(shí)數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由。

變式練習(xí)：設(shè)函數(shù)f?x??x?6x?5,x?R，求已知當(dāng)x??1,???時(shí)，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題

例： 已知函數(shù)f?x??n?lnx的圖像在點(diǎn)P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設(shè)g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當(dāng)x?1時(shí)，g?x??0恒成立；（2）試討論關(guān)于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個(gè)數(shù)。x第 1 頁

共 1 頁 一次函數(shù)，二次函數(shù)，指對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，簡單的分式根式函數(shù)，絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準(zhǔn)確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。

復(fù)合函數(shù)問題一定要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則，抓住函數(shù)的復(fù)合過程能夠逐層分解。例：已知函數(shù)f?x???單調(diào)遞增。

（1）求實(shí)數(shù)a的值.（2）若關(guān)于x的方程f2x?m有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（3）若函數(shù)y?log2?f?x??p?的圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。復(fù)合函數(shù)尤其是兩次復(fù)合，一定要好好掌握，構(gòu)造兩種函數(shù)逐層分解研究，化繁為簡，導(dǎo)數(shù)仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區(qū)間??1,1?上單調(diào)遞減，在區(qū)間?1,2?上43??

導(dǎo)數(shù)—構(gòu)造函數(shù)

一：常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯(cuò)誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構(gòu)造一次函數(shù)

例

二、對于滿足|a|?2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

共 2 頁 三：變形構(gòu)造函數(shù) 例三．已知函數(shù)f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)a??2，證明：對任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構(gòu)造函數(shù)

例

五、設(shè)函數(shù)f?x??x?aln?1?x?有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調(diào)性；（II）證明：f?x2??

五：消元構(gòu)造函數(shù)

例

六、已知函數(shù)f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數(shù)??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數(shù)??x?的單調(diào)區(qū)間； x?1（Ⅱ）設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區(qū)間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁

共 3 頁 六：二元合一構(gòu)造函數(shù)

12ax?bx(a?0)且導(dǎo)數(shù)f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點(diǎn)M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當(dāng)x0?1時(shí)，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問：在函數(shù)f(x)上是否存在2兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。例

七、已知函數(shù)f(x)?lnx?

七：構(gòu)造函數(shù)解不等式

例

八、設(shè)函數(shù)f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)?lnx?px?1的極值點(diǎn)

（Ⅱ）當(dāng)p?0時(shí)，若對任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

第 4 頁

共 4 頁

1n11?3都成立.2nn1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?

2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

第 5 頁

共 5 頁

第二篇：各種構(gòu)造解導(dǎo)數(shù)壓軸題

活用構(gòu)造策略

進(jìn)入解題佳境

——例說各種構(gòu)造法解決導(dǎo)數(shù)壓軸題

古縣二中

林立飛

摘要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考的重要考點(diǎn)，不等式的恒成立問題、函數(shù)的零點(diǎn)問題、函數(shù)的極值點(diǎn)問題，隨著課改的深入與高等數(shù)學(xué)背景有關(guān)的這些問題也在考試中頻繁出現(xiàn)，這就需要一線教師對這些題型的解題規(guī)律進(jìn)行探究與歸納。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；命題；構(gòu)造；參數(shù)；羅比達(dá)法則

自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材之后，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)帶來了生機(jī)和活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)研究提供了新的視角、新的方法和新的途徑，拓寬了高考的命題空間。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識，研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)，以及參數(shù)的取值范圍和證明不等式是近年高考數(shù)學(xué)考察重點(diǎn)和熱點(diǎn)。

特別值得關(guān)注的是，近幾年的高考導(dǎo)數(shù)壓軸題，題型新穎別致、不落俗套，綜合了函數(shù)、不等式、數(shù)列、邏輯等知識。往往以含參問題為載體，同時(shí)也蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類討論、構(gòu)造等等數(shù)學(xué)思想方法，綜合考察學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，而且試題難度、深度和廣度試題還在不斷變化。如何進(jìn)行突破，是值得研究的課題。通過對大量高考題和模擬題的分析研究，筆者給出了各種構(gòu)造方法，能夠化復(fù)雜為簡單，化抽象為具體，達(dá)到以不變應(yīng)萬變的功效。本文所有例題，均只給出與本文相關(guān)的題目條件和方法。

一、構(gòu)造函數(shù)，柳岸花明又一村

構(gòu)造函數(shù)是解決抽象不等式的基本方法，根據(jù)題設(shè)的條件，并借助初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則，相應(yīng)地構(gòu)造出輔助函數(shù).通過進(jìn)一步研究輔助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，給予巧妙的解答.在導(dǎo)數(shù)題中體會(huì)構(gòu)造函數(shù)的數(shù)學(xué)價(jià)值。題型1：已知函數(shù)f(x)?lnx?a(x?1)，a∈R．(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)當(dāng)x?1時(shí)，f(x)≤(I)解（省略不談）。(Ⅱ)解:當(dāng)x?1時(shí),f(x)?lnx恒成立，求a的取值范圍。x?1lnxlnx恒成立等價(jià)于lnx-?a(x-1)

x?1x?1lnxxlnx令h(x)?lnx-?, g(x)?a(x-1)x?1x?1h?(x)?x?1?lnx , ?x?1, ?h?(x)?0,即h(x)在?1，???是增函數(shù)。(x?1)2 g?(x)?a,?當(dāng)a?0時(shí)，g(x)在?1，???是增函數(shù)。又?h(1）?g(1)?0

?h(x)?g(x)(x?1)恒成立，只需h?(1)?g?(1)即1?a

2二、構(gòu)造子區(qū)間，端點(diǎn)分析顯奇效

某些含參導(dǎo)數(shù)問題，如果追求一味的分離參數(shù)，往往很難奏效，但是假如從端點(diǎn)分析入手，發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)是臨界情況，那么可以對端點(diǎn)進(jìn)行分析，找到解題突破口。題型2.：設(shè)函數(shù)f(x)?ax2?a?lnx，其中a?R（1）討論單調(diào)性

1?e1?x在區(qū)間(1,??)內(nèi)恒成立。x111?x1?x2?0 解：對于第二問：f(x)??e等價(jià)于ax?a?lnx??exx11?x2令F(x)?ax?a?lnx??e。由于F(1)?0，欲使得x?(1,??)，F(xiàn)(x)?0成立，x（2）確定a的所有確定的值，使得f(x)?則在x?1的端點(diǎn)右側(cè)，必存在子區(qū)間(1,1??)（范圍很小，下同），F(xiàn)(x)必須單調(diào)遞增，即F'(x)?0在(1,1??)必須成立，由極限思想F'(1)?0，所以a?成立的必要條件。

11，顯然a?是命題221，可得 F'(x)?0恒成立。211?x1證明過程如下：令F'(x)?g(x)?2ax??e?2

xx另一方面?？梢宰C明，當(dāng)a?x3?x?2122ax3?x?21?x1?x1?x??e?0 ?e則g'(x)?2a?2?e?3=33xxxx故g(x)在x?(1,??)遞增，又g(1)?2a?1?0，所以g(x)?g(1)?0，即F(x)?0 綜上，a?1

2三、構(gòu)造直線，突破重圍建奇功

圖像是函數(shù)最直觀的模型，有些代數(shù)式經(jīng)變形后具備特定的幾何意義，這時(shí)候可以考慮分解出一次函數(shù)，利用直線與函數(shù)圖象相切，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解,深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．

題型3：（2010全國卷理科壓軸題）設(shè)函數(shù)f(x)=e?1?x?ax(1)若當(dāng)a=

x21時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； 2（2）若當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?0，求a的取值范圍。分析：（1）解略。

(2)考慮第二問，因?yàn)楫?dāng)x?0時(shí)，a?R，f(x)?0恒成立

ex?1ex?1?ax?1，令g(x)?當(dāng)時(shí)，由題意變形為，h(x)?ax?1，xx(x?1)ex?1xxx?0g'(x)?，設(shè)（），則h(x)?(x?1)e?1h'(x)?xe?0，所以h(x)在2xx?0時(shí)單調(diào)遞增，從而h(x)?h(0)?0，易知g'(x)?0，由羅比達(dá)法則ex?1limg(x)??1，作出函數(shù)g(x)和h(x)圖象可知，只要limg'(x)?a，由羅比達(dá)

x?0x?0x法則limg'(x)?x?011，所以a?。22解題思路總結(jié)：

這里，選擇h(x)?ax?1，沒有選擇y?x?1，目的是使得參數(shù)a出現(xiàn)在直線方程中。以導(dǎo)數(shù)為工具，研究曲線的單調(diào)性,分析變化趨勢,然后在同一坐標(biāo)系中，作出曲線和直線，從直線與曲線的位置關(guān)系出發(fā)，一般觀察或者比較在端點(diǎn)處曲線的切線斜率的大小關(guān)系建立不等式，有時(shí)需要求極限值，甚至使用羅比達(dá)法則。

四、構(gòu)造不等式，撥開云霧見藍(lán)天：

已知條件中涉及導(dǎo)數(shù)的含參不等式問題頻繁出現(xiàn)在各類考題中，格外引人關(guān)注，由于這類問題對思維的靈活性較高，常讓學(xué)生忘而生畏，這種題型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，常規(guī)方法很難奏效，那么需要我們對不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，找到解決的突破口。（2018廈門市質(zhì)檢題）：已知函數(shù)f(x)?(ax?x?a)e（1）若a?0，函數(shù)f(x)極大值為

2?x(a?R)

3，求實(shí)數(shù)a的值； e（2）若對任意的a?0，f(x)?bln(x?1)在x?[0,??)上恒成立，求實(shí)數(shù)b取值范圍。解：（1）問略

ax2?x?a?bln(x?1)成立，x?[0,??)（2）當(dāng)a?0，f(x)?bln(x?1)?ex由于a?0，利用放縮法只需

x?bln(x?1)即可，這時(shí)候構(gòu)建不等式：ex?x?1，xe可用構(gòu)造法先證明之，令g(x)?ex?(x?1)，g'(x)?ex?1?0，所以g(x)?g(0)?0 從而又只需要：

xx?ln(x?1)，?bln(x?1)，經(jīng)過觀察再構(gòu)建不等式

x?1x?1x11x?ln(x?1)，令h'(x)?????0，x?1(x?1)2x?1(x?1)2可用構(gòu)造法證明，h(x)?所以h(x)?h(0)?0，從而只要

x?ln(x?1)，因此b?1 x?1此種方法對于一些既含有指數(shù)函數(shù)，又含有對數(shù)函數(shù)的題目比較實(shí)用，通過化簡將二者進(jìn)行分離，對于后面求解最值可降低難度.但此種方法需要進(jìn)行合適的變形，這時(shí)需要讀者多嘗試幾種變形..總之，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題其所含知識往往涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等眾多高中數(shù)學(xué)主干知識,在高考試卷上，它是以壓軸題的形式呈現(xiàn)的.由于其信息量、思維量、運(yùn)算量都比較大，解題方法往往有很強(qiáng)的綜合性和靈活性。需要具備較高的數(shù)學(xué)分析、解決問題的能力.由以上各例可以看出，上述幾種方法不是相互排斥的，而是相輔相成的.在具體問題中，往往是幾種方法互相配合、共同發(fā)力.只要運(yùn)用得當(dāng)，就能收到良好的效果。

參考書目1：高考導(dǎo)數(shù)問題命題分析及破題技巧 林勝德 《中學(xué)理科:高考導(dǎo)航》2006 參考書目2用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的幾點(diǎn)思考 郭建理 《中學(xué)數(shù)學(xué)》 2012.1

第三篇：構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明不等式

摘 要：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明不等式首先要構(gòu)建函數(shù)，以函數(shù)作為載體可以用移項(xiàng)作差，直接構(gòu)造；合理變形，等價(jià)構(gòu)造；分析（條件）結(jié)論，特征構(gòu)造；定主略從，減元構(gòu)造；挖掘隱含，聯(lián)想構(gòu)造等方法進(jìn)行證明.關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)；求導(dǎo)；證明；不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是四川高考壓軸題的熱點(diǎn)題型之一，此類問題的特點(diǎn)是：問題以不等式形式呈現(xiàn)，“主角”是導(dǎo)數(shù)，而不等式的證明不僅技巧性強(qiáng)，而且方法靈活多變，因此構(gòu)造函數(shù)成為證明不等式的良好“載體”，如何有效合理地構(gòu)造函數(shù)是證明不等式的關(guān)鍵所在，下面以實(shí)例談?wù)勅绾螛?gòu)造函數(shù)的若干解題策略.注：此題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.解后感悟：函數(shù)隱藏越深，難度就越大，如何去尋找證明不等式的“母函數(shù)”是解決問題的關(guān)鍵，通過合理變形，展開思維聯(lián)想的翅膀，發(fā)現(xiàn)不等式背后的隱藏函數(shù)，便會(huì)柳暗花明.結(jié)束語：導(dǎo)數(shù)為證明不等式問題開辟了新方法，使過去不等式的證明方法，從特殊技巧變?yōu)橥ㄐ酝ǚ?，合理?gòu)造函數(shù)，能使解題更具備指向性，劍之所指，所向披靡.

第四篇：構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

湖北省天門中學(xué)薛德斌2010年10月

例

1、設(shè)當(dāng)x??a,b?時(shí)，f/(x)?g/(x)，求證：當(dāng)x??a,b?時(shí)，f(x)?f(a)?g(x)?g(a)．

例

2、設(shè)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x?1時(shí)(x?1)f/(x)?0．

求證：（1）f(0)?f(2)?2f(1)；（2）f(2)?2f(1)．

例

3、已知m、n?N，且m?n，求證：(1?m)?(1?n)．

?nm

例

4、（2010年遼寧卷文科）已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1，其中a??2，證明：? x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.例

5、（2010年全國Ⅱ卷理科）設(shè)函數(shù)f?x??x?aIn?1?x?有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且

2x1?x2，證明：f?x2??

1?2In2.4a?0，b?0，例

6、已知函數(shù)f(x)?xlnx，求證：f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).x?ln(1?x)?x； 1?x

11112n?c??????ln（2）設(shè)c?0，求證：.2?cn?1?cn?2?c2n?cn?c例

7、（1）已知x?0，求證：

第五篇：構(gòu)造函數(shù)巧解不等式

構(gòu)造函數(shù)巧解不等式

湖南 黃愛民

函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質(zhì)與函數(shù)有關(guān)，該題就可考慮運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法求解。構(gòu)造函數(shù)，直接把握問題中的整體性運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來解題，是一種制造性的思維活動(dòng)。因此要求同學(xué)們多分析數(shù)學(xué)題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準(zhǔn)確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。

一、構(gòu)造函數(shù)解不等式

例

1、解不等式 810??x3?5x?0 3(x?1)x?

1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運(yùn)算較煩。但注意到8102323x?5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)且題中出現(xiàn)??()?5()3x?1x?1x?1(x?1)

f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為(232)?5()?x3?5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤?1x?1

22f()?f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等式等價(jià)于?x，解x?1x?1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

例

2、解不等式

1?x

2?2?0 x?11?x21?tan2??cos2?于是可構(gòu)造三分析：由x?R及的特征聯(lián)想到萬能公式1?x21?tan2?

角函數(shù)，令x=tanα(??

2????

2)求解。

1?tan2?解：令x=tanα(????)?0，從 222tan??1??

1??3而2sin2??sin??1?0???sin??1∴????∴tanα＞?,∴x＞262

3?3。3

二、構(gòu)造函數(shù)求解含參不等式問題。

例3已知不等式11112??????????loga(a?1)?對大于1的一切自然數(shù)nn?1n?22n12

3恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)f(n)?

∵f(n+1)-f(n)111?????????，n?1n?22n1111????0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)

712∴f(n)?loga(a?1)?對大于1的一切自然數(shù)n恒12123

7121成立,必須有?loga(a?1)?∴l(xiāng)oga(a?1)??1，而a＞1，∴a-1＜12123a數(shù)。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜1?1?5∴a的取值范圍為（1，）。2

2三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。

例

4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-

1證：把a(bǔ)看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1

又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函數(shù)具有嚴(yán)格的單調(diào)性?！鄁(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+1>0,從而：(b+c)a+bc+1>0,即證：ab+bc+ca＞-1 例

5、已知???????，求證：x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos? 證明：考慮函數(shù)f(x)=x2?y2?z2?(2xycos??2yzcos??2zxcos?)=2

x2?2x(ycos??zcos?)?y2?z2?2yzcos?,其中??4(ycos??zcos?)2?4(y2?z2?2yzcos?)??4(ysin??zsin?)2?0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos?。