2018年中考二次函數(shù)壓軸題

第一篇：2018年中考二次函數(shù)壓軸題

2018年中考二次函數(shù)壓軸題匯編

2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第1頁（共107頁）

4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點(diǎn)E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．

5．如圖，點(diǎn)P為拋物線y=x2上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請(qǐng)寫出平移的過程；

（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣1），過點(diǎn)P作PM⊥l于M．

①問題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

②問題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），求QP+PF的最小值．

第2頁（共107頁）

6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒速運(yùn)動(dòng)，連接MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求拋物線解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；

（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點(diǎn)H使MH∥AB，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

個(gè)單位的速度勻

7．如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)（1）求拋物線解析式；

．

（2）連接OA，過點(diǎn)A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點(diǎn)M是y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)M作MN⊥OM交x軸于點(diǎn)N．問：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

第3頁（共107頁）

8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實(shí)數(shù)）的圖象過點(diǎn)A（﹣2，2），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實(shí)數(shù)）的圖象l經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）求b值；

（3）設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)，過M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB=MC；

（4）在（3）的條件下，請(qǐng)判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

第4頁（共107頁）

10．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第5頁（共107頁）

12．綜合與探究如圖，拋物線y=

x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時(shí)QF有最大值．

13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2）．（1）若點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．

第6頁（共107頁）

①求拋物線的解析式；

②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN． 14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點(diǎn)O和點(diǎn)F（10，0），與對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點(diǎn)M，N．當(dāng)矩形ABCD沿x軸正方向平移，點(diǎn)M，N位于對(duì)稱軸l的同側(cè)時(shí)，連接MN，此時(shí)，四邊形ABNM的面積記為S；點(diǎn)M，N位于對(duì)稱軸l的兩側(cè)時(shí)，連接EM，EN，此時(shí)五邊形ABNEM的面積記為S．將點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．

（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)t=0時(shí)，求S△OBN的值；

（3）當(dāng)矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時(shí)，求S關(guān)于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

15．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)F（0，），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第7頁（共107頁）

16．如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．

17．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖②，用寬為4個(gè)單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接DP、DQ．

（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（Ⅱ）直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

第8頁（共107頁）

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；

（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．

19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，0）．已知拋物線y=x2+mx﹣2m（m是常數(shù)），頂點(diǎn)為P．

（Ⅰ）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)∠AOP=45°時(shí)，求拋物線的解析式；

（Ⅲ）無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H．當(dāng)∠AHP=45°時(shí)，求拋物線的解析式．

20．如圖所示，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，和x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，第9頁（共107頁）

D（點(diǎn)D位于點(diǎn)C的左側(cè)）．（1）求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；

（2）從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是△ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

21．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第10頁（共107頁）

22．已知頂點(diǎn)為A拋物線（1）求拋物線的解析式；

經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．

（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M，y軸相交于點(diǎn)E，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；

（3）如圖2，點(diǎn)Q是折線A﹣B﹣C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，過點(diǎn)E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點(diǎn)N1落在x軸上，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

23．已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2），且拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．（1）求拋物線的解析式；（2）若MN與直線y=﹣2決以下問題：

①求證：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍．

24．如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點(diǎn)B，且對(duì)稱軸是直線x=3．（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若M是OB上的一點(diǎn)，作MN∥AB交OA于N，當(dāng)△ANM面積最大時(shí)，求M的坐標(biāo)；

第11頁（共107頁）

x平行，且M，N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，解

（3）P是x軸上的點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過A作AC⊥x軸于C，當(dāng)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

25．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）F（x，y）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：

①當(dāng)x＞1，y＞0時(shí)，求△BDF的面積的最大值； ②當(dāng)∠AEF=∠DBE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

26．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在左，點(diǎn)C在右），交y軸于點(diǎn)A，且OA=OC，B（﹣1，0）．

第12頁（共107頁）

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在C、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE∥y軸交線段CD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段PE長為d，寫出d與t的關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)Q，且DQ=CE，連接EQ，當(dāng)∠BQE+∠DEQ=90°時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

27．已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸另一交點(diǎn)為（﹣，0）．

（1）求拋物線F的解析式；（2）如圖1，直線l：y=

x+m（m＞0）與拋物線F相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2）（點(diǎn)A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，如圖2． ①判斷△AA′B的形狀，并說明理由；

②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

28．已知：如圖，一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，m）（m＞0），與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C在線段AB上，且BC=2AC，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D．若AC=CD．

第13頁（共107頁）

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知一開口向下、以直線CD為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P，若過點(diǎn)P且垂直于AP的直線與x軸的交點(diǎn)為Q（﹣函數(shù)表達(dá)式．，0），求這條拋物線的

29．如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點(diǎn)A（點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；，﹣3）和點(diǎn)B（3，0）．過（2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

30．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC=3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G．

第14頁（共107頁）

（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個(gè)單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí)，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn)，試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N，使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

31．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2）．點(diǎn)E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

32．如圖，已知頂點(diǎn)為C（0，﹣3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線y=x+m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B．（1）求m的值；

（2）求函數(shù)y=ax2+b（a≠0）的解析式；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得∠MCB=15°？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第15頁（共107頁）

33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

34．已知拋物線y=a（x﹣1）2過點(diǎn)（3，1），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)B、C均在拋物線上，其中點(diǎn)B（0，），且∠BDC=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)． ①求證：∠PDQ=90°； ②求△PDQ面積的最小值．

第16頁（共107頁）

35．拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象．（1）點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為

，；

（2）如圖①，拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處．當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界）時(shí)，求t的取值范圍；

（3）如圖②，當(dāng)t=0時(shí)，若Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

36．如圖，拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)E（4，5），與y軸交于點(diǎn)B，連接AB．（1）求該拋物線的解析式；

（2）將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．

①當(dāng)點(diǎn)F落在直線AE上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)和△ABF的面積； ②當(dāng)點(diǎn)F到直線AE的距離為請(qǐng)直接寫出交點(diǎn)的坐標(biāo)．

第17頁（共107頁）

時(shí)，過點(diǎn)F作直線AE的平行線與拋物線相交，37．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，過其頂點(diǎn)C作直線CP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，連接AD、BC．（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；

（3）點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

38．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B（4，8），對(duì)稱軸為直線x=﹣2．（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線y=kx+4與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x（，當(dāng)2x1＜x2）時(shí)，求k的值；

（3）連接OB，點(diǎn)P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作OB的平行線交直線AB于點(diǎn)Q，當(dāng)S△POQ：S△BOQ=1：2時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=）

第18頁（共107頁）

39．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE=DE． ①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

40．如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx（a、b為常數(shù)，a≠0）與x軸相交于另一點(diǎn)A（3，0）．直線l：y=x在第一象限內(nèi)和此拋物線相交于點(diǎn)B（5，t），與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C．

第19頁（共107頁）

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、O、B為頂點(diǎn)的三角形相似，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）直線l沿著x軸向右平移得到直線l′，l′與線段OA相交于點(diǎn)M，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E．把△MEN沿直線l′折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上時(shí)（圖2），求直線l′的解析式；

（4）在（3）問的條件下（圖3），直線l′與y軸相交于點(diǎn)K，把△MOK繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△M′OK′，點(diǎn)F為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△M'FK′為等腰三角形時(shí)，求滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

第20頁（共107頁）

2018年07月10日139****3005的初中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共1小題）

1．如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點(diǎn)C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（）

A． B．2 C．4 D．

3【解答】解：點(diǎn)C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設(shè)C（a，），則B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（負(fù)值已舍去）

∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2故選：B．

二．解答題（共39小題）

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使

第21頁（共107頁），得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3．

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E，∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對(duì)稱，此時(shí)存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形．

∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）；當(dāng)t≠2時(shí)，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，第22頁（共107頁）

∴不存在．

（3）①在圖2中，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3． ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+②∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為

．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴線段BC=

3，∴P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

第23頁（共107頁）

3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；

【解答】解：（1）由題可知當(dāng)y=0時(shí)，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，第24頁（共107頁）

∴OC2=OA?OB=3，則OC=；

（2）∵C是BM的中點(diǎn)，即OC為斜邊BM的中線，∴OC=BC，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，又OC=，點(diǎn)C在x軸下方，），∴C（，﹣設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)B（3，0），C（，﹣解得：b=﹣∴y=x﹣，k=，）在拋物線上，代入拋物線解析式，）代入得：，又∵點(diǎn)C（，﹣解得：a=，∴拋物線解析式為y=（3）點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，則Q（x，∴PQ=x﹣x﹣），x2﹣

x+2；

x2﹣

x+2），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BM于點(diǎn)Q，﹣（x2﹣

x+2）=﹣

x2+

3x﹣3，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣當(dāng)x=﹣（，﹣

x2+

x﹣，=時(shí)，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為）．

第25頁（共107頁）

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣10），∵當(dāng)t=2時(shí)，AD=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），∴將點(diǎn)D坐標(biāo)代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x；

（2）由拋物線的對(duì)稱性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，第26頁（共107頁）

當(dāng)x=t時(shí)，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周長=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為，；

（3）如圖，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2），當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4，4），此時(shí)GH不能將矩形面積平分；

當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，0），此時(shí)GH也不能將矩形面積平分；

∴當(dāng)G、H中有一點(diǎn)落在線段AD或BC上時(shí)，直線GH不可能將矩形的面積平分，當(dāng)點(diǎn)G、H分別落在線段AB、DC上時(shí)，直線GH過點(diǎn)P，必平分矩形ABCD的面積，∵AB∥CD，∴線段OD平移后得到的線段GH，∴線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，在△OBD中，PQ是中位線，第27頁（共107頁）

∴PQ=OB=4，所以拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．

5．如圖，點(diǎn)P為拋物線y=x2上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請(qǐng)寫出平移的過程；

（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣1），過點(diǎn)P作PM⊥l于M．

①問題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

②問題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），求QP+PF的最小值．

【解答】解：（1）∵拋物線y=（x+2）2﹣1的頂點(diǎn)為（﹣2，﹣1）

∴拋物線y=（x+2）2﹣1的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右2個(gè)單位得到拋物線y=x2的圖象．

（2）①存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立．如圖一，過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B

第28頁（共107頁）

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，a2）∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）②由①，PM=PF

QP+PF的最小值為QP+PM的最小值

當(dāng)Q、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，QP+PM有最小值，最小值為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)加M縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．

∴QP+PF的最小值為6．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；

（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點(diǎn)H使MH∥AB，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

個(gè)單位的速度勻

第29頁（共107頁）

【解答】解：（1）∵直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．將A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線解析式為y=x2+4x+3．

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣t，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．

∵△AMN為直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN為等腰直角三角形（如圖1）．當(dāng)∠ANM=90°時(shí)，有AM=解得：t=1；

當(dāng)∠AMN=90°時(shí)，有t﹣3=﹣t，解得：t=．

綜上所述：當(dāng)t為1秒或秒時(shí)，△AMN為直角三角形．（3）設(shè)NH與x軸交于點(diǎn)E，如圖2所示．

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣t，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t﹣3，t），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t﹣3，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（t﹣3，t2﹣2t）． ∵M(jìn)H∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH為等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=當(dāng)t=

AN，即3﹣t=2t，t4=﹣（舍去）．

時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)M的右邊，點(diǎn)H在x軸下方，第30頁（共107頁）

∴此時(shí)MH⊥AB，∴t=1．

∴存在點(diǎn)H使MH∥AB，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．

7．如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)（1）求拋物線解析式；

．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣，第31頁（共107頁）

∴拋物線解析式為y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；

（2）延長CA交y軸于D，如圖1，∵A（1，1），∴OA=，∠DOA=45°，∴△AOD為等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直線AD的解析式為y=﹣x+2，解方程組∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =×2×5﹣×2×1 =4；（3）存在．

如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=設(shè)M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△OAC，即

=，（舍去），此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣54）；

4，OA=，得

或，則C（5，﹣3），解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△CAO，即=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=

第32頁（共107頁）

解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵M(jìn)N⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣54）或（，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；）或（，﹣）時(shí)，以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似．

（3）設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)，過M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB=MC；

（4）在（3）的條件下，請(qǐng)判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實(shí)數(shù)）的圖象過點(diǎn)A（﹣2，2），第33頁（共107頁）

∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+1．

（2）∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實(shí)數(shù)）的圖象l經(jīng)過點(diǎn)B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．

（3）證明：過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2+1），則MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=====x2+1． ∴MB=MC．

（4）相切，理由如下：

過點(diǎn)N作ND⊥x軸于D，取MN的中點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H，交PF于點(diǎn)Q，如圖2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．

∵點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，PQ∥MH，∴PQ=MH．

∵ND∥HC，NH∥DC，且四個(gè)角均為直角，∴四邊形NDCH為矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN． ∴以MN為直徑的圓與x軸相切．

第34頁（共107頁）

，，9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x=3，第35頁（共107頁）

∴﹣=3，解得：a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4．當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）．（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x+4=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）．將B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+4），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x+4），如圖所示． ∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD?OB=×8?（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0，∴當(dāng)x=4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積是16． ∵0＜x＜8，∴存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，最大面積是16．

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵M(jìn)N=3，∴|﹣m2+2m|=3．

第36頁（共107頁）

當(dāng)0＜m＜8時(shí)，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）或（6，4）；當(dāng)m＜0或m＞8時(shí)，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+

2，﹣1）或（4+2，﹣

﹣1）．，﹣∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4﹣2綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4﹣2﹣1）．

﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+

210．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？

【解答】解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（6，0）、C（﹣2，0），∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），第37頁（共107頁）

將點(diǎn)A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設(shè)P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?（AG+BM）=PN?OB

=×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+，∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；

第38頁（共107頁）

（3）如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90°，若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，∴PD=﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）=﹣a2+3a，PE=2|2﹣a|，∴﹣a2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，3﹣5）．所以P（4，6）或P（5﹣

第39頁（共107頁）

【解答】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）；當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣4．

過點(diǎn)Q作QE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，如圖1所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t﹣2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+． ∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，△PBQ的面積取最大值，最大值為．

第40頁（共107頁）

（3）當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，t=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣1）．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．

∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2． ∵0＜m＜3，∴在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（2，﹣）．

第41頁（共107頁）

12．綜合與探究如圖，拋物線y=

（3）請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時(shí)QF有最大值．

【解答】解：（1）當(dāng)y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0），當(dāng)x=0，y=∴C（0，﹣4）；（2）AC==5，x﹣4=﹣4，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，易得直線BC的解析式為y=x﹣4，設(shè)Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），當(dāng)CQ=CA時(shí)，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣4）；，m2=﹣

（舍去），此時(shí)Q當(dāng)AQ=AC時(shí)，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）；

第42頁（共107頁）

當(dāng)QA=QC時(shí)，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，（舍去），﹣4）或（1，﹣3）；

（3）解：過點(diǎn)F作FG⊥PQ于點(diǎn)G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC為等腰直角三角形

∴∠OBC=∠QFG=45

∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC． ∴=，即=，F(xiàn)Q，F(xiàn)Q=

FQ，∴PG=FG=?∴PQ=PG+GQ=∴FQ=PQ，F(xiàn)Q=FQ+設(shè)P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），則Q（m，m﹣4），∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m，∴FQ=∵﹣（﹣m2+m）=﹣＜0，（m﹣2）2+

∴QF有最大值．

∴當(dāng)m=2時(shí)，QF有最大值．

第43頁（共107頁）

13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2）．（1）若點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；

①求拋物線的解析式；

②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2），∴c=2．又∵點(diǎn)（﹣∴a（﹣∴2a﹣，0）也在該拋物線上，）+c=0，）2+b（﹣b+2=0（a≠0）．

（2）①∵當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；同理：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸，開口向下，∴b=0．

∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B、C，∴△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°，第44頁（共107頁）

∴△ABC為等邊三角形．

設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D，則BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC?cos30°=，OD=OC?sin30°=1．，﹣1）．不妨設(shè)點(diǎn)C在y軸右側(cè)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（∵點(diǎn)C在拋物線上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2．

②證明：由①可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，﹣直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三點(diǎn)共線，∴x1≠0，x2≠0，且∴﹣x1+=﹣x2+，，﹣

+2）． =，+2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，﹣

+2）．

∴x1﹣x2=﹣∴x1x2=﹣2，即x2=﹣∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N′，則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（∵點(diǎn)P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，∴OP=2OA=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）．設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，﹣∴﹣，﹣+2）．

+2），+2=k2x1+4，第45頁（共107頁）

∴k2=﹣，∴直線PM的解析式為y=﹣x+4．

∵﹣?+4==﹣+2，∴點(diǎn)N′在直線PM上，∴PA平分∠MPN．

14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點(diǎn)O和點(diǎn)F（10，0），與對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點(diǎn)M，N．當(dāng)矩形ABCD沿x軸正方向平移，點(diǎn)M，N位于對(duì)稱軸l的同側(cè)時(shí)，連接MN，此時(shí)，四邊形ABNM的面積記為S；點(diǎn)M，N位于對(duì)稱軸l的兩側(cè)時(shí)，連接EM，EN，此時(shí)五邊形ABNEM的面積記為S．將點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．

第46頁（共107頁）

（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)t=0時(shí)，求S△OBN的值；

（3）當(dāng)矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時(shí)，求S關(guān)于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x．

（2）當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，），∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN?OB=

．

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)（圖1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+1，0），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（AM+BN）?AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，=﹣t2+t+，=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，∴當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值，最大值為；

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)（圖2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+1，0），第47頁（共107頁）

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+=﹣=﹣∵﹣t2+t﹣，t2+t﹣），（t﹣）2+＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為∵=＜，．

∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值是．

第48頁（共107頁）

（2）已知點(diǎn)F（0，），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？

【解答】解：（1）由拋物線過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）可設(shè)解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點(diǎn)C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣2），設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：解得：，∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），則QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，第49頁（共107頁）

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當(dāng)﹣m2+m+4=時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形；

（3）如圖所示：

∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：

①當(dāng)∠DOB=∠MBQ=90°時(shí)，△DOB∽△MBQ，則===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，第50頁（共107頁）

第二篇：2017年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題(含答案)

2017年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題

面積類

1．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長．

（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：

（1）已知了拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即為MN的長．（3）設(shè)MN交x軸于D，那么△BNC的面積可表示為：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表達(dá)式在（2）中已求得，OB的長易知，由此列出關(guān)于S△BNC、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出△BNC是否具有最大值．解答：

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．

（3）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M．解答：

解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直線l：y=x﹣4．

所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：，解得：即 M（2，﹣3）．

過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

t=﹣=時(shí)，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計(jì)算即可；

（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．解答：

解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得所以直線AB的解析式是y=x﹣3；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），因?yàn)閜在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，當(dāng)t=﹣=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為

．

=，解得，則S△ABM=S△BPM+S△APM=（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB，∴當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時(shí)只有，所以不可能有PM=3． ②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

；

（舍去），t2=，所以P，t2=

（舍③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．

3）利用P點(diǎn)坐標(biāo)以及B點(diǎn)坐標(biāo)即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可．解答：

解：（1）△A′B′O是由△ABO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．

方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2）將B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（x，y），則x＞0，y＞0，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=﹣x2+x+2．連接PB，PO，PB′，∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．

∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：×1×2=1，假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則 4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此時(shí)y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．

1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱軸，由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（2）由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀．

（3）若以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分①AB為對(duì)角線、②AD為對(duì)角線兩種情況討論，即①AD方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：

解：（1）∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=﹣∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點(diǎn)E（0，﹣5），交x軸于點(diǎn)F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3 ∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD

則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過點(diǎn)P作y軸的垂線，過點(diǎn)A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G．設(shè)P（x1，x1﹣5），則G（1，x1﹣5）則PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

=1，且頂點(diǎn)A在y=x﹣5上，PB、②AB

PD，然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)拋物線y=即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x=5或2時(shí)，y的值即可．

（3）首先設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當(dāng)x=時(shí)，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進(jìn)而得出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可．解答：

解：（1）∵拋物線y=∵頂點(diǎn)在直線x=上，∴﹣

=﹣

經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）∴c=4，=，∴b=﹣

；，得到ON=，進(jìn)而表示出

經(jīng)過點(diǎn)B（0，4），以及頂點(diǎn)在直線x=上，得出b，c∴所求函數(shù)關(guān)系式為；，（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），當(dāng)x=5時(shí)，y=當(dāng)x=2時(shí)，y=∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

11）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題；分類討論．分析：

（1）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）已知O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先表示出△OPB三邊的邊長表達(dá)式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)．解答：

解：（1）如圖，過B點(diǎn)作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣

2）；

=2，（2）∵拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（﹣2．﹣

2）代入，得，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣

x2+

3考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題．分析：

（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線過B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；

（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．解答：

解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，1）；（4分）

（2）拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B（﹣3，1），則得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以拋物線的解析式為y=x2+x﹣2；（7分）

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形： ①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；

則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，53）分別從①以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．解答：

解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）∵拋物線y=ax2﹣ax﹣2過點(diǎn)B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=x2﹣x﹣2上；

②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖（2），同理可證△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（﹣2，1）也在拋物線y=x2﹣x﹣2上；

分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)∑的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；

（3）先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=

3，過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=

BD=6，求出E的坐標(biāo)為（﹣1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，然后解方程組解答：

解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=﹣x+5；

將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，得，解得，所以拋物線的解析式為y=x2﹣6x+5；

（2）設(shè)M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），則N（x，﹣x+5），∵M(jìn)N=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值

；，（3）∵M(jìn)N取得最大值時(shí)，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面積S2=×4×2.5=5，∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30．

92）求拋物線的解析式；

（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題．分析：

（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；

（4）如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．

利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長最?。?如答圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值．解答：

解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），將C（0，1），D（1，0）代入得：解得：b=1，k=﹣1，∴直線CD的解析式為：y=﹣x+1．，1Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．

．綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為

12．如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題．分析：

（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．解答：

3AC是直角邊，若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則PC=3﹣b，則即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）時(shí)，則△ACP∽△CBD一定成立；

=，④當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0）．則AP=1﹣d，當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；

⑤當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0）．則AP=1﹣e，當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，總之，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

=，即

=，解得：e=﹣9，符合條件．

．

=，即

=，解得：d=1﹣

3，此時(shí)，對(duì)應(yīng)練習(xí)

13．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．

5x=，y=﹣=﹣，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣），設(shè)過點(diǎn)E的直線與x軸交點(diǎn)為F，則F（∴AF=﹣1=，0），∵直線AC的解析式為y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴點(diǎn)F到AC的距離為×又∵AC=∴△ACE的最大面積=×

3==3×，=，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．

14．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；

（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

7BC的解析式為：y=x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．

（4）∵拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得： AC=AQ=CQ=i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有=，===，=

．

25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）； ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，有=，t2=﹣5，此方程無實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形； iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，），Q3（3，4﹣）． ∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+

92）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點(diǎn)E、F，則可求出EF的表達(dá)式；根據(jù)S△CEF=S△ABC，列出方程求出直線l的解析式；（3）首先作出?PACB，然后證明點(diǎn)P在拋物線上即可．解答：

解：（1）如答圖1所示，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD=90°． ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD． ∵在△AOB與△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）． ∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．

∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣． ∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=∴S△ABC=AB2=．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，．

解得k=﹣，b=2，1CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，∴△PAH≌△BCG（AAS），∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．

拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣2，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=1，即點(diǎn)P在拋物線上． ∴存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）．

第三篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題：二次函數(shù)分類綜合專題復(fù)習(xí)練習(xí)

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題：二次函數(shù)

分類綜合專題復(fù)習(xí)練習(xí)

1、如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．

（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

2、如圖，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，連接，．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使與的面積相等，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

3、如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接、，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)在第一象限，且，線段是否存在最值？如果存在，請(qǐng)直接寫出最值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

4、如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．

（1）求拋物線的解析式．

（2）是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)連接，求的最小值．

（3）若為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的值．

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．

（1）直線總經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，解決下列問題：

①在直線下方的拋物線上求點(diǎn)，使得的面積等于20；

②連接，，作軸于點(diǎn)，若和相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

6、如圖1，我們將經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)的所有非豎直的直線，叫做該拋物線的“風(fēng)車線”，若拋物線的頂點(diǎn)為，則它的所有“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為：，即當(dāng)時(shí)，始終等于．

（1）若拋物線與軸交于點(diǎn)，求該拋物線經(jīng)過點(diǎn)的“風(fēng)車線”的解析式；

（2）若拋物線可以通過平移得到，且它的“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為，求該拋物線的解析式；

（3）如圖2，直線與直線交于點(diǎn)，拋物線的“風(fēng)車線”與直線、分別交于、兩點(diǎn)，若的面積為12，求滿足條件的“風(fēng)車線”的解析式．

7、如圖1，已知拋物線過點(diǎn)，．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2．拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上位于第二象限的點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，和的面積分別為、，求的最大值．

8、已知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①如圖1，當(dāng)時(shí)，求的值；

②如圖2，連接，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)．過點(diǎn)作的垂線，與射線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的值．

9、如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)在的右側(cè)），且與直線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，且滿足，與拋物線交于另一點(diǎn)．

①若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大；

②過點(diǎn)向軸作垂線，交軸于點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

10、如圖，拋物線分別交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），交軸正半軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）如圖（1），．

①直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式；

②直線上有兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，分別過，兩點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于，兩點(diǎn)．若以，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值．

（2）如圖（2），若，求的值．

11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸于交于點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，的外接圓圓心為（如圖，①求點(diǎn)的坐標(biāo)及的半徑；

②過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)（如圖，設(shè)為上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．

12、如圖，二次函數(shù)的圖象與軸、軸交于點(diǎn)、、三點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線位于一象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，求四邊形面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，連接線段，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，試求當(dāng)為直角三角形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

13、如圖所示：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，若點(diǎn)為拋物線上線段右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，連接，．求面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，該拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

14、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為4．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)是拋物線第一象限上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接、、，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在上有一點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)，連接，延長交軸于點(diǎn)，若，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，延長交于點(diǎn)，求的長．

15、已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒4個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

①如圖1，連接，再將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖2，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻，使與相似．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

第四篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題專題-二次函數(shù)的存在性問題（解析版）

決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品

專題16二次函數(shù)的存在性問題

【考點(diǎn)1】二次函數(shù)與相似三角形問題

【例1】（2020·湖北隨州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，其圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）直接寫出拋物線的解析式和的度數(shù)；

（2）動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，再將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．（每寫出一組正確的結(jié)果得1分，至多得4分）

【答案】（1），；（2）t=，D點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）；；；

；；

；；；

；；

．

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸以及點(diǎn)B坐標(biāo)可求出拋物線表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)N作于E，過點(diǎn)D作于F，證明，得到，從而得到點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式，求出t值即可；

（3）設(shè)點(diǎn)P（m，），當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，點(diǎn)Q在y軸正半軸，過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)D作DS⊥x軸于點(diǎn)S，根據(jù)△CPQ∽△MDB，得到，從而求出m值，再證明△CPQ∽△MDB，求出CQ長度，從而得到點(diǎn)Q坐標(biāo)，同理可求出其余點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo).【詳解】

解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，則b=-3a，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），∴16a+4b+1=0，將b=-3a代入，解得：a=，b=，拋物線的解析式為：，令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，則y=1，∴A（-1，0），C（0，1），∴tan∠CAO=,∴；

（2）由（1）易知，過點(diǎn)N作于E，過點(diǎn)D作于F，∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM，，（AAS），由題意得：，，，，又，故可解得：t=或0（舍），經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)均未到達(dá)終點(diǎn)，符合題意，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）由（2）可知：D，t=時(shí)，M（，0），B（4，0），C（0，1），設(shè)點(diǎn)P（m，），如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，點(diǎn)Q在y軸正半軸，過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)D作DS⊥x軸于點(diǎn)S，則PR=m，DS=，若△CPQ∽△MDB，∴，則，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，∵△CPQ∽△MDB，∴，當(dāng)點(diǎn)P時(shí)，解得：CQ=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，），；

同理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：

；；

；；；；；；.【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)表達(dá)式，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，難度較大，計(jì)算量較大，解題時(shí)注意結(jié)合函數(shù)圖像，找出符合條件的情形.【變式1-1】（2019·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求面積的最大值．

(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)

或或或．

【分析】

（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)，求出，根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，兩種情況分別求解，通過角的關(guān)系，確定直線OQ傾斜角，進(jìn)而求解．

【詳解】

解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：…①；

(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得，直線PD的表達(dá)式為：，則，∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；

(3)∵，∴，∵，故與相似時(shí)，分為兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H，解得：，∴CH＝

則，則直線OQ的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)或；

②時(shí)，則直線OQ的表達(dá)式為：…③，聯(lián)立①③并解得：，故點(diǎn)或；

綜上，點(diǎn)或或或．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．

【變式1-2】（2019·遼寧盤錦·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，4），交x軸正半軸于點(diǎn)B，連接AC，點(diǎn)E是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，B重合），以O(shè)E為邊在x軸上方作正方形OEFG，連接FB，將線段FB繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FP，過點(diǎn)P作PH∥y軸，PH交拋物線于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)E（a，0）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值．

（3）當(dāng)PH＝2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．

【詳解】

（1）點(diǎn)C（0，4），則c＝4，二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；

（2）tan∠ACO＝＝，△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝或4，∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，則或，解得：a＝或；

（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故點(diǎn)B（4，0）；

分別延長CF、HP交于點(diǎn)N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，F(xiàn)P＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴點(diǎn)P（2a，4），點(diǎn)H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或或或（舍去），故：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，其中（2）、（3），要注意分類求解，避免遺漏．

【考點(diǎn)2】二次函數(shù)與直角三角形問題

【例2】（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線過點(diǎn)B且與直線相交于另一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足．

①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)m在什么范圍時(shí)，符合條件的N點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)？

【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜

【分析】

（1）利用一次函數(shù)求出A和B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C坐標(biāo)，求出二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，AP與y軸交于點(diǎn)Q，求出AQ表達(dá)式，聯(lián)立二次函數(shù)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)P；

（3）①過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△MNO∽△NCD，可得，整理可得結(jié)果；

②作以MC為直徑的圓E，根據(jù)圓E與線段OD的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷M的位置，即可得到m的取值范圍.【詳解】

解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，令x=0，則y=2，令y=0，則x=4，∴A（4，0），B（0，2），∵拋物線經(jīng)過B（0，2），∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，滿足，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖，AP與y軸交于點(diǎn)Q，∵，∴B，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，∴Q（0，-2），又A（4，0），設(shè)直線AQ的表達(dá)式為y=px+q，代入，解得：，∴直線AQ的表達(dá)式為：，聯(lián)立得：，解得：x=3或-2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）或（-2，-3），綜上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或（3，）或（-2，-3）；

（3）①如圖，∠MNC=90°，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∴∠MNO+∠CND=90°，∵∠OMN+∠MNO=90°，∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，∴△MNO∽△NCD，∴，即，整理得：；

②如圖，∵∠MNC=90°，以MC為直徑畫圓E，∵，∴點(diǎn)N在線段OD上（不含O和D），即圓E與線段OD有兩個(gè)交點(diǎn)（不含O和D），∵點(diǎn)M在y軸正半軸，當(dāng)圓E與線段OD相切時(shí)，有NE=MC，即NE2=MC2，∵M(jìn)（0，m），∴E（，），∴=，解得：m=，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖，此時(shí)圓E與線段OD（不含O和D）有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)0＜m＜時(shí)，圓E與線段OD有兩個(gè)交點(diǎn)，故m的取值范圍是：0＜m＜.【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合，考查了求二次函數(shù)表達(dá)式，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，一次函數(shù)表達(dá)式，難度較大，解題時(shí)要充分理解題意，結(jié)合圖像解決問題.【變式2-1】如圖，拋物線經(jīng)過A（－3，6），B（5，－4）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，AC，BC．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）求證：AB平分；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得是以AB為直角邊的直角三角形．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，－9）或（，11）．

【分析】

（1）將A（-3，0），B（5，-4）代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的方程組，從而可求得a、b的值；

（2）先求得AC的長，然后取D（2，0），則AD=AC，連接BD，接下來，證明BC=BD，然后依據(jù)SSS可證明△ABC≌△ABD，接下來，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠CAB=∠BAD；

（3）作拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F，作點(diǎn)A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分別交拋物線的對(duì)稱軸與M′、M，依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到tan∠BAE=，從而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，從而可得到FM和M′E的長，故此可得到點(diǎn)M′和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【詳解】

解:（1）將A（-3，0），B（5，-4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得

解得

故拋物線的表達(dá)式為y＝．

（2）證明：∵AO=3，OC=4，∴AC==5．

取D（2，0），則AD=AC=5．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知BD==5．

∵C（0，-4），B（5，-4），∴BC=5．

∴BD=BC．

在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB=∠BAD，∴AB平分∠CAO；

（3）存在．如圖所示：拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F．

拋物線的對(duì)稱軸為x=，則AE=．

∵A（-3，0），B（5，-4），∴tan∠EAB=．

∵∠M′AB=90°．

∴tan∠M′AE=2．

∴M′E=2AE=11，∴M′（，11）．

同理：tan∠MBF=2．

又∵BF=，∴FM=5，∴M（，-9）．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，11）或（，-9）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義，求得FM和M′E的長是解題的關(guān)鍵

【變式2-2】（2019·甘肅蘭州·中考真題）二次函數(shù)的圖象交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式:

(2)連接，當(dāng)時(shí)，求的面積:

(3)在直線上存在一點(diǎn)，當(dāng)是以為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);

(4)當(dāng)時(shí)，在直線上存在一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)

【答案】（1）（2）2（3）（4）或

【解析】

【分析】

（1）直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解出即可；

（2）根據(jù)題意得出AM,OM,設(shè)的解析式為：，將點(diǎn)代入求出解析式，然后將分別代入和中，得：，再根據(jù)三角形面積公式，即可解答

（3）過點(diǎn)作軸的平行線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意得出，根據(jù)，即可解答

（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓，交于兩點(diǎn)，得出，再根據(jù)（同弧所對(duì)圓周角），即可解答

【詳解】

（1）將點(diǎn)代入，得：

解得：

所以，二次函數(shù)的表達(dá)方式為：

（2）

又

設(shè)的解析式為：，將點(diǎn)代入，得：

所以，直線的解析式為：.將分別代入和中，得：..（3）假設(shè)過點(diǎn)作軸的平行線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，由題意得：

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為：

（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓，交于兩點(diǎn)

點(diǎn)在該圓上

（同弧所對(duì)圓周角）

或

【點(diǎn)睛】

此題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于將已知點(diǎn)代入解析式

【考點(diǎn)3】二次函數(shù)與等腰三角形問題

【例3】（2020·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C．在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0m3），過點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，D是直線l上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N，連接AM，OM，設(shè)△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1＝2S2，求m的值．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，則可以分CD＝AD或AC＝AD兩種情況，分別求解即可；

（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON?xM，即可求解．

【詳解】

解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2＋2x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，故點(diǎn)C（0，3）；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，點(diǎn)E（1，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，a），由點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①當(dāng)CD＝AD時(shí)，即＝，解得a＝1；

②當(dāng)AC＝AD時(shí)，同理可得a＝（舍去負(fù)值）；

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）或（1，）；

（3）∵E（m，0），則設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2＋2m＋3），設(shè)直線BM的表達(dá)式為y＝sx＋t，則，解得：，故直線BM的表達(dá)式為y＝﹣x＋，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，故點(diǎn)N（0，），則ON＝；

S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON?xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去負(fù)值），經(jīng)檢驗(yàn)m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．

【變式3-1】（2020·貴州黔東南·中考真題）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；

（3）利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

【詳解】

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC＝，設(shè)點(diǎn)E（0，m），則AE＝，CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①當(dāng)AC＝AE時(shí)，＝，∴m＝3或m＝﹣3（點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，舍去），∴E（3，0），②當(dāng)AC＝CE時(shí)，＝|m+3|，∴m＝﹣3±，∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），③當(dāng)AE＝CE時(shí)，＝|m+3|，∴m＝﹣，∴E（0，﹣），即滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），∴將線段BD向上平移4個(gè)單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，這樣便存在點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)P，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，設(shè)Q（t，4），將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+2或t＝1﹣2，∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），分別過點(diǎn)D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【變式3-2】（2019·四川眉山·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)是拋物線上、之間的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸，交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)矩形的周長最大時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2，連接、，點(diǎn)在線段上(不與、重合)，作，交線段于點(diǎn)，是否存在這樣點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】(1)；；(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；(3)AN=1或.【分析】

(1)根據(jù)和點(diǎn)可得拋物線的表達(dá)式為，可知對(duì)稱軸為x=-2，代入解析式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)，則，可得矩形的周長，即可求解；(3)由D為頂點(diǎn)，A、B為拋物線與x軸的交點(diǎn)可得AD=BD，即可證明∠DAB=∠DBA，根據(jù)，利用角的和差關(guān)系可得，即可證明，可得；分、、，三種情況分別求解即可．

【詳解】

(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．

∴拋物線的表達(dá)式為：，∴對(duì)稱軸為：x==-2，把x=-2代入得：y=4，∴頂點(diǎn).(2)設(shè)點(diǎn)，則，矩形的周長，∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形周長最大，此時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(3)∵點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，A、B為拋物線與x軸的交點(diǎn)，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵，，∴，∴，∴，∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）

∴，①當(dāng)時(shí)，∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，∴，∴，∴=AB-AM=1；

②當(dāng)時(shí)，則，∵∠DMN=∠DBA，∴∠NDM=∠DBA，∵∠DAB是公共角，∴，∴，∴，即：，∴，∵，即，∴；

③當(dāng)時(shí)，∵，而，∴，∴；

綜上所述：或．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、三角形相似和全等、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，其中(3)，要注意分類求解，避免遺漏．

【考點(diǎn)4】二次函數(shù)與平行四邊形問題

【例4】（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)A（0，1）和C，頂點(diǎn)為D，直線AC與拋物線的對(duì)稱軸BD的交點(diǎn)為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．

（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q，同時(shí)在拋物線上取一點(diǎn)R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo)．

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）

【分析】

（1）由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x軸交AC于點(diǎn)P＇，則P＇（n，﹣n+1），得出PP＇＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；

（3）聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C（，﹣），設(shè)Q（，m），分兩種情況：①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AR為對(duì)角線時(shí)，分別求出點(diǎn)Q和R的坐標(biāo)即可．

【詳解】

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣+1＝﹣，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），又∵點(diǎn)A在拋物線上，∴c＝1，對(duì)稱軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．

∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x軸交AC于點(diǎn)P＇，則P＇（n，﹣n+1），∴PP＇＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP＇＝﹣n＝﹣，∴當(dāng)n＝時(shí)，△ABP的面積最大為，此時(shí)P（，）．

（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設(shè)Q（，m），①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，∴R（﹣），∵R在拋物線y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；

②當(dāng)AR為對(duì)角線時(shí)，∴R（），∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．

綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（2020·前郭爾羅斯蒙古族自治縣哈拉毛都鎮(zhèn)蒙古族中學(xué)初三期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①若點(diǎn)P僅在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖1．求線段的最大值；

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】

（1）把代入中求出b，c的值即可；

（2）①由點(diǎn)得，從而得，整理，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；

②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．

【詳解】

解：（1）把代入中，得

解得

∴．

（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入．

得，解這個(gè)方程組，得

∴．

∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

．

∵，∴此函數(shù)有最大值．

又∵點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，且

∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

②∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

（i）當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）

∴MC=

∴

整理得，∵，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=

∴Q(0，)；

當(dāng)m=時(shí)，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=

∴Q(0，)；

(ii)若，如圖，則有

整理得，∵，∴，解得，當(dāng)m=-1時(shí)，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當(dāng)m=-5時(shí)，MN=-10＜0（不符合實(shí)際，舍去）

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．

【變式4-2】（2020·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求面積的最大值；

（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）面積最大值為；（3）存在，【分析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）設(shè)，求得解析式，過點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，則，即可求解；

（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

【詳解】

解：（1）∵拋物線過，∴

∴

（2）設(shè)，將點(diǎn)代入

∴

過點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F

設(shè)點(diǎn)，則

由鉛垂定理可得

∴面積最大值為

（3）（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2＋4x?1＝（x＋2）2?5，則平移后的拋物線表達(dá)式為：y＝x2?5，聯(lián)立上述兩式并解得：，故點(diǎn)C（?1，?4）；

設(shè)點(diǎn)D（?2，m）、點(diǎn)E（s，t），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，?1）、（?1，?4）；

①當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B，同樣D（E）向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到E（D），即?2＋1＝s且m＋3＝t①或?2?1＝s且m?3＝t②，當(dāng)點(diǎn)D在E的下方時(shí)，則BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，當(dāng)點(diǎn)D在E的上方時(shí)，則BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，聯(lián)立①③并解得：s＝?1，t＝2或?4（舍去?4），故點(diǎn)E（?1，2）；

聯(lián)立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故點(diǎn)E（-3，-4＋）或（-3，-4?）；

②當(dāng)BC為菱形的的對(duì)角線時(shí)，則由中點(diǎn)公式得：?1＝s?2且?4?1＝m＋t⑤，此時(shí)，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝?3，故點(diǎn)E（1，?3），綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（?1，2）或或或（1，?3）．

∴存在，【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．

一、單選題

1．如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在x軸，y軸正半軸上，動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)（x＞0）圖象上，PA⊥x軸，△PAB是以PA為底邊的等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△PAB的面積將會(huì)（）

A．越來越小

B．越來越大

C．不變

D．先變大后變小

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)點(diǎn)P（x，），作BC⊥PA可得BC=OA=x，根據(jù)S△PAB=PA?BC=??x=3可得答案．

【詳解】

如圖，過點(diǎn)B作BC⊥PA于點(diǎn)C，則BC=OA，設(shè)點(diǎn)P（x，），則S△PAB=PA?BC==3，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△PAB的面積將會(huì)不變，始終等于3，故選C．

2．已知直線y＝n與二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，則n的值為（）

A．1

B．

C．2﹣

D．2+

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)B（x1，n）、C（x2，n）．因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，作AD⊥BC，所以AD＝BC，即BC＝2AD，AD＝n﹣（﹣1）＝n+1，即：BC＝|x1-x2|＝＝＝，所以＝2（n+1），容易求出n＝1．

【詳解】

設(shè)B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足為D連接AB，AC，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點(diǎn)A（2，﹣1），AD＝n﹣（﹣1）＝n+1

∵直線y＝n與二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象交于點(diǎn)B、C，∴（x﹣2）2﹣1＝n，化簡(jiǎn)，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝，∵點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱軸直線AD對(duì)稱，∴D為線段BC的中點(diǎn)，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BC，即BC＝2AD

＝2（n+1），∴（2+2n）＝（n+1）2，化簡(jiǎn)，得n2＝1，∴n＝1或﹣1，n＝﹣1時(shí)直線y＝n經(jīng)過點(diǎn)A，不符合題意舍去，所以n＝1．

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解二次函數(shù)的圖象性質(zhì)和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

3．二次函數(shù)的函數(shù)圖象如圖，點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，，…都是直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形，則的斜邊長為()

A．20

B．

C．22

D．

【答案】C

【分析】

由于，，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直線

:，求出，的坐標(biāo)，得出的長；

利用的坐標(biāo)，得直線：，求出,坐標(biāo)，得出的長；用同樣的的方法可求得，…的邊長，然后根據(jù)各邊長的的特點(diǎn)得出一般化規(guī)律，求得的長．

【詳解】

解：

等腰直角三角形，為原點(diǎn)；

直線：，的坐標(biāo)為（1，1），則

為（0，2）

為（0，2），直線

（2，4），=4，則（0，6）

（0，6），直線

（3，9），=6，由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出這些直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形的斜邊長依次加2

∴△A10B11A11的斜邊長為2+10×2=22，綜上，由此可以推出=22．

故選C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題時(shí)，利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)的交點(diǎn)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的難點(diǎn)是推知的長．

4．已知拋物線y=﹣x2+1的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點(diǎn)E，△PAD與△PEA相似嗎？（）

A．始終不相似

B．始終相似

C．只有AB=AD時(shí)相似

D．無法確定

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)A（x，-x2+1）根據(jù)題意可求出PA、PD、PE的值，從而得出，又∠APE=∠DPA，因此，△PAD∽△PEA.故選B.考點(diǎn):

二次函數(shù)綜合題.5．二次函數(shù)y=﹣x2+1的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，下列說法錯(cuò)誤的是（）.A．點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1）

B．線段AB的長為2

C．△ABC是等腰直角三角形

D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大

【答案】D

【解析】1、回想二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特征，自己試著求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

2、結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可得OA=OB=OC，根據(jù)兩軸互相垂直的性質(zhì)，利用勾股定理求出AB、AC、BC，至此判斷選項(xiàng)A、B、C的正誤；

3、找出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)開口方向判斷選項(xiàng)D的正誤.本題解析:

根據(jù)題意可知：當(dāng)x=0時(shí)，y=1

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）

故選A正確；

當(dāng)y=0時(shí)，x=

-1或x=1

∴AB=2

故選項(xiàng)B正確

∵OA=1，OB=1，OC=1

∴AC==

BC=

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC是等腰直角三角形

故選項(xiàng)C正確；

由y=

-x2+1可知：a=

-1＜0，對(duì)稱軸為x=0

∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而減小

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤

故選D

二、填空題

6．如圖，直線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，則______．

【答案】1

【解析】

【分析】

作拋物線的對(duì)稱軸，交BC于D，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出B（n+3，n），代入解析式求得即可．

【詳解】

作拋物線的對(duì)稱軸，交BC于D，∵直線y=n與二次函數(shù)y=（x-2）2-1的圖象交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，∴BC∥x軸，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AC=BC，∵直線CD是拋物線的對(duì)稱軸，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，-1），∴AD=n+1，∴B（n+3，n），把B的坐標(biāo)代入y=（x-2）2-1得，n=（n+3-2）2-1，解得n=1，故答案為1．

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

7．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，且△ABC是直角三角形，請(qǐng)寫出符合要求的一個(gè)二次函數(shù)解析式：___________________

【答案】y=-x2+1(答案不唯一)

【解析】

【分析】

可以在y軸取一點(diǎn)，x軸上取兩點(diǎn)讓它們能組成直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可．

【詳解】

根據(jù)如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)是直角三角形，所以可以取C（0，1），A（-1，0），B（1，0）三點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式是y=ax2+1，拋物線過（1，0），所以a+1=0，a=-1．

拋物線是：y=-x2+1．

故答案為：y=-x2+1(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】

本題是開放性題目，答案不唯一，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式．

8．已知點(diǎn)P為二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象上一點(diǎn)，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，若△APC為直角三角形且AC為直角邊，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的值為_____．

【答案】﹣1或﹣2

【分析】

分∠ACP為直角、∠PAC為直角兩種情況，利用直線與拋物線的交點(diǎn)求解即可．

【詳解】

解：對(duì)于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，則x＝3或﹣1，令x＝0，則y＝﹣3，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．

①當(dāng)∠ACP為直角時(shí)，如下圖，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，OA＝OC＝3，即直線AC的與x軸負(fù)半軸的夾角為45°，而∠ACP為直角，故直線PC的傾斜角為45°，故設(shè)直線PC的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝﹣3，故直線PC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3②，聯(lián)立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，0）；

②當(dāng)∠PAC為直角時(shí)，同理可得：點(diǎn)P（﹣2，5）；

故答案為：﹣1或﹣2．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵利用分類討論的思想求解，避免遺漏．

9．二次函數(shù)y＝2x2+4x+m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若△ABC為直角三角形，則m＝_____．

【答案】﹣．

【解析】

【分析】

根據(jù)題意和勾股定理，可以求得m的值，本題得以解決．

【詳解】

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∵點(diǎn)C（0，m），二次函數(shù)y=2x2+4x+m=2（x+1）2+m-2，∴點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，x1x2=，∴m＜0，∵△ABC為直角三角形，∴(x2?x1)2＝(x22+m2)+(x12+m2)，解得，m=-，故答案為：-．

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理、拋物線與x軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理解答．

10．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3．與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，當(dāng)a=時(shí)，△ABD是_______三角形；要使△ACB為等腰三角形，則a值為______

【答案】等腰直角

或

【解析】

解：如圖1，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，a=，∴二次函數(shù)為y=（x+1）（x﹣3），整理得y=x2﹣x﹣，∴y=（x﹣1）2﹣2，∴頂點(diǎn)D（1，﹣2），作DE⊥AB于E，∴DE=2，DE垂直平分AB，∵AB=3+1=4，∴AE=DE=BE，∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，當(dāng)AB=BC=4時(shí)，∵AO=1，△BOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c=﹣，與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)，∵AO=1，△AOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c=﹣與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當(dāng)AC=BC時(shí)

在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程無解．

綜上，要使△ACB為等腰三角形，則a值為或；

故答案為：等腰直角，或．

點(diǎn)睛：本題考查了拋物線和x軸的交點(diǎn)，拋物線的解析式，拋物線的對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

11．二次函數(shù)y=一x2+ax+b圖象與軸交于,兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).（1）則的形狀為；

（2）在此拋物線上一動(dòng)點(diǎn),使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

.【答案】

【解析】

試題分析：（1）∵二次函數(shù)y＝-x2+ax+b的圖象經(jīng)過、B（2，0）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值，求出拋物線的解析式．

（2）在（1）題已將證得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：

①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進(jìn)而可確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．

解：（1））∵二次函數(shù)y＝-x2+ax+b的圖象經(jīng)過、B（2，0）兩點(diǎn)，由題意，得，解得：，∴拋物線的解析式為：

∴C（0，1），∴，CB2＝BO2+CO2＝5，∴AC2+CB2＝AB2，∴△ACB是直角三角形；

（2）存在，點(diǎn)或；

若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以BC、AP為底；

∵B（2，0），C（0，1），∴直線BC的解析式為：；

設(shè)過點(diǎn)B且平行于AC的直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，；

∴；

聯(lián)立拋物線的解析式有：，解得，或；

∴點(diǎn)；

若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以AC、BP為底，同理可求得；

故當(dāng)或時(shí)，以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

（根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出另一個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)亦可）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與不等式（組）；直角梯形．

12．如圖，二次函數(shù)Y=-x2-x+2圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OCDA的面積的最大值是______．

【答案】8

【解析】

【分析】

根據(jù)解析式求得點(diǎn)A、C坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用割補(bǔ)法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據(jù)此列式計(jì)算化簡(jiǎn)就可求得S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，配方成頂點(diǎn)式可得其最值情況．

【詳解】

解：在y=-x2-x+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴C（0，2），當(dāng)y=0時(shí)，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1，∴點(diǎn)A（-4，0）、B（1，0），∵點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，∴D（m，-m2-m+2），過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，則DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m，∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m），=-m2-4m+4

=-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）；

則m=-2時(shí)，S取得最大值，最大值為8，【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用割補(bǔ)法列出面積的函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．

13．二次函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B、C在二次函數(shù)的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為

．

【答案】．

【解析】

試題分析：連接BC與AO交于點(diǎn)D，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO⊥BC，根據(jù)∠OBA=120°可得：∠AOB=30°，根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)，則OA=2OD=2，BC=2BD=2，則菱形的面積=×AO×BC=×2×2=2.考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

三、解答題

14．如圖，已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與交軸于點(diǎn)，表示當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，均有．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若平行于軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或

【分析】

（1）根據(jù)題意即可求出拋物線的對(duì)稱軸，然后利用拋物線的對(duì)稱性即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出二次函數(shù)的解析式，化為一般式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)，即可用含m的式子表示EG，然后根據(jù)即可求出與m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

（3）根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別在每種情況下求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相等，將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）當(dāng)與時(shí)函數(shù)值相等，可知拋物線的對(duì)稱軸為，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)二次函數(shù)的解析式為

將點(diǎn)代入，得

所以，二次函數(shù)的解析式為．

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖

∵（4,0），，∴OA=4，OB=2，OC=4，BQ=m+2

∴AB=6

∵

∴

∵

∴

∴，即，∴

∴

又∵

∴當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)

（3）存在．

①若，如下圖所示

則，∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA

∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA

∴是直角三角形，OF⊥AC

∵OA=OC=4

∴點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)

∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵直線l∥x軸

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=2，將y=2代入二次函數(shù)解析式中，得，得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或

②若，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

由等腰三角形的性質(zhì)得：，∴，在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°

∴△AMF也是等腰直角三角形

∴FM=AM=3

∴

∵直線l∥x軸

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=3，將y=3代入二次函數(shù)解析式中，得

由，得，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或

③若，∵，且

∴

∴點(diǎn)到的距離為

而

∴上不存在點(diǎn)使得

此時(shí)，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形

綜上，存在這樣的直線，使得是等腰三角形，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或

【點(diǎn)睛】

此題考查的是二次函數(shù)與幾何圖形的綜合大題，難度系數(shù)較大，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、把面積最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

（3）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時(shí)，△PBC的最大面積為8；（3）存在，點(diǎn)P的其坐標(biāo)為.【解析】

試題分析：（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）過P作PE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，用P點(diǎn)坐標(biāo)可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）設(shè)拋物線解析式為，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）∵點(diǎn)P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PBC最大值為8，此時(shí)t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時(shí)，△PBC的最大面積為8；

（3）作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，如圖1，∴PO=PD，此時(shí)P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，﹣2）．

點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．

16．已知一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于和，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作軸，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）求線段長的最大值；

（3）當(dāng)為的等腰直角三角形時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）1，3；（2）最大值為；（3）

【分析】

（1）將點(diǎn)分別代入一次函數(shù)解析式可求得b的值，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)可求出a的值；

（2）設(shè)，則，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PC的長關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；

（3）同（2）設(shè)出點(diǎn)P，C的坐標(biāo)，根據(jù)題意可用含m的式子表示出AC，PC的長，根據(jù)AC=PC可得關(guān)于m的方程，求得m的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）∵在直線上，∴，∴．

又∵在拋物線上，∴，解得．

（2）設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．

（3）如圖，∵為的等腰三角形且軸，∴連接，軸，∵，∴，．

∵，∴，化簡(jiǎn)，得，解得，（不合題意，舍去）．

當(dāng)時(shí)，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了求待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離建立出二次函數(shù)模型求出最值是解題關(guān)鍵．

17．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)的圖象交于y軸上的一點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的另一交點(diǎn)為D，已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PBD為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）（2）P1（1，0）和P2（，0）

【解析】

解：（1）∵交x軸于點(diǎn)A，∴0=0.5x+2，解得x=－4．∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（－4，0）．

∵與y軸交于點(diǎn)B，∴y=2．∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）．

∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2

∴可設(shè)二次函數(shù)．

把B（0，2）代入得：a=．

∴二次函數(shù)的解析式為：，即．

（2）①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作BP1⊥AD交x軸于P1點(diǎn)，∵Rt△AOB∽R(shí)t△BOP1，∴．

∴，解得：OP1=1．

∴P1點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)作P2D⊥BD，連接BP2，將與2聯(lián)立求出兩函數(shù)另一交點(diǎn)坐標(biāo)：D點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，），則AD=．

由A（－4，0），B（0，2）可得AB=．

∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D．∴．

∴，解得AP2=．

則OP2=．

∴P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．

③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P3（a，0），則由Rt△OBP3∽R(shí)t△EP3D得：，∴．

∵方程無解，∴點(diǎn)P3不存在．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（1，0）和P2（，0）．

（1）根據(jù)交x軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，即可得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．得出可設(shè)二次函數(shù)，進(jìn)而求出即可．

（2）分點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)三種情況討論，分別利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出即可．

18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．

①過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，求線段DM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求線段DM的最大值；

②若△CDM為等腰直角三角形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①DM＝﹣，DM的最大值為；②M的坐標(biāo)為（）或（，﹣）．

【分析】

（1）由直線y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，列方程組求出b、c即可；

（2）①過點(diǎn)DH∥AB，交直線y＝x﹣2于點(diǎn)H．則∠H＝∠OBC，OC＝2，OB＝4，BC＝2，由sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），則H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，所以DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，當(dāng)m＝2時(shí)，DM的最大值為；

②分兩種情況：當(dāng)CM⊥DM時(shí)，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D作DF∥y軸，交EM的延長線于點(diǎn)F；當(dāng)CD⊥DM時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)M作MF∥y軸，交ED的延長線于點(diǎn)F，分別求出t的值即可．

【詳解】

解（1）由直線y＝x﹣2得

B（4，0）、C（0，﹣2），將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，解得b＝，c＝﹣2，∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2；

（2）①過點(diǎn)DH∥AB，交直線y＝x﹣2于點(diǎn)H．

∴∠H＝∠OBC，∵B（4，0）、C（0，﹣2），∴OC＝2，OB＝4，BC＝2

∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），則H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，當(dāng)m＝2時(shí)，DM的最大值為；

②Ⅰ．當(dāng)CM⊥DM時(shí)，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D作DF∥y軸，交EM的延長線于點(diǎn)F，∵△CDM為等腰直角三角形，易證△EMC≌△FDM，∴EM＝DF，EC＝MF，設(shè)M（t，t﹣2），則EM＝t，OE＝﹣t+2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，∴D（t，﹣t﹣2）

將D（t，﹣t﹣2）代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M1（）；

Ⅱ．當(dāng)CD⊥DM時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)M作MF∥y軸，交ED的延長線于點(diǎn)F，∵△CDM為等腰直角三角形，易證△CED≌△DFM，∴DE＝MF，EC＝DF，設(shè)M（t，t﹣2），則EF＝t，CE＝，DE＝t，MF＝t，OC＝t+2

∴D（t，﹣t﹣2），將D（t，﹣t﹣2）代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M2（，﹣）

綜上，△CDM為等腰直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）或（，﹣）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、熟練運(yùn)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及一線三直角構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．

19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的半徑為，為上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)？

（2）是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1），；（2）或，或或；

【分析】

（1）在拋物線解析式中令y＝0可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，令x＝0可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①當(dāng)PB與⊙相切時(shí)，△PBC為直角三角形，根據(jù)勾股定理得到BC＝5，過作軸于，軸于，易得，四邊形是矩形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，得到BE＝3?x，CF＝2x?4，于是得到，求得，過作軸于，軸于，同理求得；②當(dāng)BC⊥PC時(shí)，△PBC為直角三角形，過作軸于，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可得到，同理可得．即可得到結(jié)論；

【詳解】

（1）在中，令，解得：，令，得，∴，；

（2）存在點(diǎn)，使得為直角三角形，①當(dāng)與相切時(shí)，為直角三角形，如圖（2），連接，∵，∴，∵，∴，過作軸于，軸于，易得，四邊形是矩形，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，∴；

過作軸于，軸于，同理求得；

②當(dāng)時(shí)，為直角三角形，過作軸于，如圖（2），易得，∴，∴，∴；

同理可得：；

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，或或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圓與直線的位置關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．

20．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，三點(diǎn)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與線段的端點(diǎn)不重合），若與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為

【分析】

（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；

（2）可求得直線AC的解析式，設(shè)G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的長，由條件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)可求得k的值，從而可求得G點(diǎn)坐標(biāo)．

【詳解】

（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為．

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，解得．

∴二次函數(shù)的解析式為，即．

（2）設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把的坐標(biāo)代入，可得解得

∴直線的函數(shù)解析式為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

點(diǎn)與點(diǎn)不重合，與相似只有這一種情況．

由，得．，，解得或（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意二次函數(shù)解析式三種形式的靈活運(yùn)用，在（2）中確定出只有△AGB∽△ABC一種情況是解題的突破口．

21．如圖，已知二次函數(shù)（，為常數(shù)）的對(duì)稱軸為，與軸的交點(diǎn)為，的最大值為5，頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，.（1）求該二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)，的坐標(biāo).（2）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與相似，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）y＝?x2＋2x＋4；B（?1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（?3，7）或（，）或（?，）

【分析】

（1）先確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，再設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x?1）2＋5，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；在計(jì)算函數(shù)值為1所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先計(jì)算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，則利用勾股定理的逆定理得到△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，根據(jù)相似三角形的判定，當(dāng)時(shí)，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，設(shè)此時(shí)P（x，?x＋4），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到x2＋（?x＋4?4）2＝（3）2，求出x從而得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同樣方法求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

【詳解】

（1）根據(jù)題意得拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，5），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x?1）2＋5，把C（0，4）代入y＝a（x?1）2＋5得a＋5＝4，解得a＝?1，所以拋物線解析式為y＝?（x?1）2＋5，即y＝?x2＋2x＋4；

當(dāng)y＝1時(shí)，?x2＋2x＋4＝1，解得x1＝?1，x2＝3，則B（?1，1），A（3，1）；

（2）∵，∴CD＝3，BD＝1，故AM＝=2，CM＝，AC=

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b

把A（3，1），C（0，4）代入得

解得

∴直線AC的解析式為y＝?x＋4，∵CM2＋AC2＝AM2，∴△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，∴∠BDC＝∠MCP，如圖1，當(dāng)時(shí)，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，設(shè)此時(shí)P（x，?x＋4），∴x2＋（?x＋4?4）2＝（3）2，解得x＝±3，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或（?3，7）；

如圖2，當(dāng)時(shí)，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，設(shè)此時(shí)P（x，?x＋4），∴x2＋（?x＋4?4）2＝（）2，解得x＝±，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（?，）；

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或（?3，7）或（，）或（?，）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．

22．如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A(－4，3），B(4，4).（1）求二次函數(shù)的解析式：

（2）求證：△ACB是直角三角形；

（3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【答案】解：

（1）將A(－4，3），B(4，4)代人中，整理得：

解得

∴二次函數(shù)的解析式為：，即：。

（2）由

整理得，解得。

∴C

（－2，0），D。

∴AC2=4+9，BC2=36+16，AC2+

BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，∴

AC2+

BC2=AB2

。∴△ACB是直角三角形。

（3）設(shè)（x<0），則PH=，HD=。

又∵AC=，BC=，①當(dāng)△PHD∽△ACB時(shí)有：，即：，整理得，解得（舍去），此時(shí)。

∴。

②當(dāng)△DHP∽△ACB時(shí)有：，即：，整理，解得（舍去），此時(shí)。

∴。

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即。

【解析】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理和逆定理的應(yīng)用，相似三角形的判定性質(zhì)，坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，解一元二次方程和二元一次方程組。

【分析】（1）求二次函數(shù)的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。

（2）求證△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的長度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。

（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

23．如圖，二次函數(shù)的圖像交軸于，交軸于，過畫直線。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)判斷是否存在以P、Q、O、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）在軸右側(cè)的點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，以為圓心的圓與直線相切，切點(diǎn)為。且△CHM∽△AOC（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)的坐標(biāo)。

【答案】（1）

（2）(2,2),(,),(,)；（，）。

（3）或

【解析】

試題分析：解：（1）∵二次函數(shù)的圖像交軸于，∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：，又二次函數(shù)的圖像交軸于，將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，即;

（2）若OC為平行四邊形的邊，設(shè)P（，），Q（，），則PQ=，P、Q、O、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則，∴（舍去），；∴(2,2),(,),(,)；若OC為平行四邊形的對(duì)角線，則（，）。

（3）∵△CHM∽△AOC，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，∴

情形1：如上圖，當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)，∵

∴軸，∴，點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，∴，解得（舍去）或，∴；

情形2：如圖，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，∵，設(shè)交軸于點(diǎn)P，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，解得，即，為直線與拋物線的另一交點(diǎn),設(shè)直線的解析式為,把的坐標(biāo)代入，得，解得，∴,由，解得，（舍去）或

此時(shí)，∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或

考點(diǎn)：二次函數(shù)在幾何中的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：該題需要考慮的情況有多種，這是難點(diǎn)，需要學(xué)生經(jīng)常練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合圖形找出突破口。

24．如圖，三角形是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)、分別是一次函數(shù)的圖象與軸、軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)使四邊形能構(gòu)成平行四邊形.（1）試求、的值，并寫出該二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)沿線段從到，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)沿線段從到都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問：

①當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中能否存在？如果不存在請(qǐng)說明理由；如果存在請(qǐng)說明點(diǎn)的位置？

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形的面積最?。看藭r(shí)四邊形的面積是多少？

【答案】（1），；（2）

①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位長度處，有；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位處時(shí)，四邊形面積最小，最小值為.【分析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A和C的坐標(biāo)，再由△ABC是等腰三角形可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，PQ⊥AC，進(jìn)而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出t的值，即可得出答案；

②將問題化簡(jiǎn)為△APQ的面積的最大值，根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值，即求出△APQ的面積的最大值，進(jìn)而求出四邊形PDCQ面積的最小值.【詳解】

解：（1）由，令，得，所以點(diǎn)；

令，得，所以點(diǎn)，∵是以為底邊的等腰三角形，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，又∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)、點(diǎn)代入二次函數(shù)，可得，解得：，故該二次函數(shù)解析式為：.（2）∵，∴.①設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，此時(shí)，，∵，∴，∴，∴，即，解得：.即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位長度處，有.②∵，且，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，四邊形的面積最小，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，，設(shè)底邊上的高為，作于點(diǎn)，由可得：，解得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，此時(shí)，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位處時(shí)，四邊形面積最小，最小值為.【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，難度系數(shù)較大，解題關(guān)鍵是將四邊形PDCQ面積的最小值轉(zhuǎn)化為△APQ的面積的最大值并根據(jù)題意列出的函數(shù)關(guān)系式.25．（14分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交x軸于點(diǎn)H（3，0），AD平行GC交y軸于點(diǎn)D．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證：四邊形ACHD是正方形；

（3）如圖2，點(diǎn)M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，過點(diǎn)M的直線交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)N．

①若四邊形ADCM的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍；

②若△CMN的面積等于，請(qǐng)求出此時(shí)①中S的值．

【答案】（1）；（2）證明見試題解析；（3）①（﹣3＜t＜0）；②12或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），即可求出a、b的值，從而得到二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）先求出點(diǎn)C、G、H、D的坐標(biāo)；然后得出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，從而得到四邊形ACHD是正方形；

（3）①作ME⊥x軸于點(diǎn)E，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，則S=，再分別求出，即可；

②首先設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，），則NI=，∴=，再根據(jù)t＜0，＞0，可得==，得到，然后求出k的值，進(jìn)而求出，的值，再把它們代入S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，求出S的值是多少即可．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）如圖1，∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∵=，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（﹣1，4），∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴設(shè)CG所在的直線的解析式是，則﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直線的解析式是，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，p），則，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四邊形ACHD是正方形；

（3）①如圖2，作ME⊥x軸于點(diǎn)E，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，∵四邊形ADCM的面積為S，∴S=，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵點(diǎn)M（t，p）是與在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（t，），∵M(jìn)E=，MF=﹣t，∴S四邊形AOCM==，∴=（﹣3＜t＜0）；

②如圖3，作NI⊥x軸于點(diǎn)I，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，），則NI=，∴=，∵t＜0，＞0，∴==，∴，聯(lián)立，可得，∵、t是方程的兩個(gè)根，∴，∵，∴，解得或，（a）當(dāng)時(shí)，由，解得，或（舍去）．

（b）當(dāng)時(shí)，由，解得，或（舍去），∴，或，當(dāng)時(shí)，S==，當(dāng)時(shí)，S===，∴S的值是12或．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．分類討論；3．壓軸題．

26．如圖，已知二次函數(shù)c為常數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．

求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

過該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)P作y軸的平行線，交一邊于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、Q、C、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

點(diǎn)N是射線CA上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M、C、N所構(gòu)成的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程．

【答案】二次函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

存在平行四邊形，；，，．

【解析】

【分析】

將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

根據(jù)平行四邊形的判定對(duì)邊平行且相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；

由題意分析可得，則若與相似，則要進(jìn)行分類討論，分成∽或∽兩種，然后利用邊的對(duì)應(yīng)比值求出N點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，再利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

【詳解】

把點(diǎn)，點(diǎn)代入二次函數(shù)得，解得

二次函數(shù)解析式為，配方得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

由知，當(dāng)時(shí)，解之，或、令P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，當(dāng)PQ與BC邊相交時(shí)，此時(shí)不存在平行四邊形．

當(dāng)PQ與AC?邊相交時(shí)，由、可得直線AC解析式，，令，，此方程無解，此時(shí)不存在平行四邊形．

當(dāng)PQ與AB?邊相交時(shí)，、，令，化簡(jiǎn)，得，解得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，存在平行四邊形，；

連接MC，作軸并延長交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)G坐標(biāo)為，，把代入解得，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，，，由此可知，若點(diǎn)N在AC上，則，則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)

若有∽，則有，，，若點(diǎn)N在y軸右側(cè)，作軸，，把代入，解得，；

同理可得，若點(diǎn)N在y軸左側(cè)，把代入，解得；

若有∽，則有，若點(diǎn)N在y軸右側(cè)，把代入，解得；

若點(diǎn)N在y軸左側(cè)，把代入，解得

；．

所有符合題意得點(diǎn)N坐標(biāo)有4個(gè)，分別為，，．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法；解的關(guān)鍵是利用平行四邊形的判定得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏；解的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，要分類討論，以防遺漏．

27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為____________．

（）設(shè)直線的解析式為，則不等式的解集為___________．

（）連結(jié)、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．

（）若把條件“點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．”改為“點(diǎn)是拋物線上的任一動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為梯形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）當(dāng)P（，）時(shí)，S四邊形ABPC最大；（5）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，5），（2，－3）或（4，5）．

【解析】

試題分析：（1）直接設(shè)成頂點(diǎn)式即可得出拋物線解析式；

（2）先確定出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，再根據(jù)圖象直接寫出范圍；

（3）利用菱形的性質(zhì)得出PO=PC即可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可得出結(jié)論；

（4）先利用坐標(biāo)系中幾何圖形的面積的計(jì)算方法建立函數(shù)關(guān)系式即可求出面積的最大值；

（5）先求出直線BC，BC，CD的解析式，分三種情況利用梯形的性質(zhì)，一組對(duì)邊平行即可得出直線DP1，CP2，BP3的解析式，分別聯(lián)立拋物線的解析式建立方程組求解即可．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)D（1，﹣4）是拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案為y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3．故答案為x＜0或＞3；

（3）如圖1．∵四邊形POP′C為菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣．∵P在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；

（4）如圖2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，過點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于E，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=AB?OC+PE?|xP|+PE?|xB﹣xP|

=AB?OC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）

=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+

當(dāng)m=時(shí)，S四邊形ABPC最大=．

當(dāng)m=時(shí)，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．

（5）如圖，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，直線BD的解析式為y=2x﹣6，直線CD的解析式為y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3①；

①當(dāng)DP1∥BC時(shí)，∴直線DP1的解析式為y=x﹣5②，聯(lián)立①②解得，點(diǎn)P1（2，﹣3），[另一個(gè)點(diǎn)為（1，﹣4）和點(diǎn)D重合，舍去]

②當(dāng)CP2∥BD時(shí)，∴直線CP2的解析式為y=2x﹣3③，聯(lián)立①③解得點(diǎn)P2（4，5）

③當(dāng)BP3∥CD時(shí)，∴直線BP3∥CD的解析式為y=﹣x+3④，聯(lián)立①④解得點(diǎn)P3（﹣2，5）．

綜上所述：以P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．

點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算方法，菱形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是用方程或方程組的思想解決問題．

28．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值．

【答案】（1）y=－；（2）周長最大值為10

【分析】

（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x?1）2＋4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，?x2＋2x＋3），根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)N（2?x，?x2＋2x＋3），再表示出矩形MNHG的周長C＝2MN＋2GM＝2（2x?2）＋2（?x2＋2x＋3）＝?2x2＋8x＋2，即可求解．

【詳解】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=，把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，解得a=－1，∴y=－=－；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，?x2＋2x＋3），∵二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=1，∴點(diǎn)N（2?x，?x2＋2x＋3），則MN＝x?2＋x＝2x?2，GM＝?x2＋2x＋3，矩形MNHG的周長C＝2MN＋2GM＝2（2x?2）＋2（?x2＋2x＋3）＝?2x2＋8x＋2，∵?2＜0，故當(dāng)x＝?＝2，C有最大值，最大值為10，故該矩形周長的最大值為10．

【點(diǎn)睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．

第五篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題專題-二次函數(shù)的面積問題（解析版）

決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品

專題17二次函數(shù)的面積問題

【考點(diǎn)1】二次函數(shù)的線段最值問題

【例1】（2020·湖北荊門·中考真題）如圖，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．

（1）求直線的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)P為第四象限且在對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交于點(diǎn)D，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，求拋物線的解析式．

【答案】（1）直線的解析式為，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為；

；（3）．

【分析】

（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)D作軸于E，則．求得AB=5，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，ED=x，證明，由相似三角形的性質(zhì)求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，將L′的解析式和直線AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程，設(shè)，則是方程的兩根，得到，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，可求得m的值，即可求得L′的函數(shù)解析式．

【詳解】

（1）在中，令，則，解得，∴．

令，則，∴．

設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為．，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）如圖，過點(diǎn)D作軸于E，則．

∵，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴．

∵，∴，∴，∴，∴．

而，∴，∵，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)時(shí)，的最大值為．，∴．

（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，聯(lián)立，∴，整理，得：，設(shè)，則是方程的兩根，∴．

而A為的中點(diǎn)，∴，∴，解得：．

∴拋物線的解析式．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

【變式1-1】（2020·前郭爾羅斯蒙古族自治縣哈拉毛都鎮(zhèn)蒙古族中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①若點(diǎn)P僅在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖1．求線段的最大值；

【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】

（1）把代入中求出b，c的值即可；

（2）①由點(diǎn)得，從而得，整理，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；

②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．

【詳解】

解：（1）把代入中，得

解得

∴．

（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入．

得，解這個(gè)方程組，得

∴．

∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

．

∵，∴此函數(shù)有最大值．

又∵點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，且

∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

②∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

（i）當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）

∴MC=

∴

整理得，∵，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=

∴Q(0，)；

當(dāng)m=時(shí)，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=

∴Q(0，)；

(ii)若，如圖，則有

整理得，∵，∴，解得，當(dāng)m=-1時(shí)，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當(dāng)m=-5時(shí)，MN=-10＜0（不符合實(shí)際，舍去）

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】

【變式1-2】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（3，﹣3）．

（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)

（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△OPB的面積的最大值及比時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.【解析】

【分析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q，求出直線BP的解析式，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案．

【詳解】

解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，1）；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q.∵直線OB的解析式為y=﹣x，故設(shè)P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，當(dāng)n=時(shí)，S△OPB的最大值為．

此時(shí)y=﹣n2+2n=，∴P（，）；

（3）∵直線OA的解析式為y=x，∴可設(shè)新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，聯(lián)立，∴﹣（x﹣a）2+a=x，∴x1=a，x2=a﹣1，即C、D兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的差為1，∴CD=．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，難度適中，是常見題型.【考點(diǎn)2】二次函數(shù)的面積定值問題

【例2】已知二次函數(shù)．

（1）圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則_________；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；

（3）以拋物線的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形（M，N兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問：的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面積是與m無關(guān)的定值，S△AMN＝.【解析】

【分析】

（1）將點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式即可求出m；

（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝m，由拋物線的開口向上，在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可求出m的取值范圍；

（3）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計(jì)算三角形的面積，可得到△AMN的面積是與m無關(guān)的定值．

【詳解】

解：（1）將點(diǎn)代入可得：，解得：m=4；

（2）二次函數(shù)的對(duì)稱軸是：x＝m，∵當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴m≥2；

（3）的面積是與m無關(guān)的定值；

如圖：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，?m2＋4m?8），△AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，MN交對(duì)稱軸于點(diǎn)B，∵tan∠AMB＝tan60°＝，∴AB＝BM＝BN，設(shè)BM＝BN＝a，則AB＝a，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m＋a，a?m2＋4m?8），∵點(diǎn)M在拋物線上，∴a?m2＋4m?8＝（m＋a）2?2m（m＋a）＋4m?8，整理得：，解得：a＝或a＝0（舍去），∴△AMN是邊長為的正三角形，∴AB=3，S△AMN＝，與m無關(guān).【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，其中（3）問有一定難度，根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上，求出正三角形的邊長是解題關(guān)鍵．

【變式2-1】（2020·湖南九年級(jí)其他模擬）若拋物線L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與直線l：y＝ax+b滿足a2+b2＝2a（2c﹣b），則稱此直線l與該拋物線L具有“支干”關(guān)系．此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“支線”，拋物線L叫做直線l的“干線”．

（1）若直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+bx+c具有“支干”關(guān)系，求“干線”的最小值；

（2）若拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與y＝﹣的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求反比例函數(shù)的解析式；

（3）已知“干線”y＝ax2+bx+c與它的“支線”交于點(diǎn)P，與它的“支線”的平行線l′：y＝ax+4a+b交于點(diǎn)A，B，記△ABP得面積為S，試問：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由見解析．

【分析】

（1）根據(jù)“支干”關(guān)系的定義，求出a、b、c的值，利用配方法確定函數(shù)的最值．

（2）由題意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）

①，可得拋物線y＝x2+bx+c的“支線”為y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，可知△＝0，得b2﹣16c＝0

②，由①②解方程組即可解決問題．

（3）的值是定值．不妨設(shè)a＞0，如圖所示，y＝ax2+bx+c與它的“支線”交y軸于C，直線y＝ax+4a+b與y軸交于點(diǎn)D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，推出|x1﹣x2|＝＝

＝，把

＝2a（2c﹣b）代入上式化簡(jiǎn)＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═

?CD?＝

?4＝8?，由此即可解決問題．

【詳解】

解：（1）由題意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+，∵y＝x2﹣2x+

＝（x﹣1）2﹣，∵a＝1＞0，∴x＝1時(shí)，y有最小值，最小值為﹣．

（2）由題意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）

①

∴拋物線y＝x2+bx+c的“支線”為y＝x+b，由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，∵拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴△＝0，∴b2﹣16c＝0

②

由①②可得b＝﹣2，或，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣或y＝﹣．

（3）是定值．理由如下：

不妨設(shè)a＞0，如圖所示，y＝ax2+bx+c與它的“支線”交y軸于C，直線y＝ax+4a+b與y軸交于點(diǎn)D，A（x1，y1），B（x2，y2），由

得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝

＝

把a(bǔ)2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化簡(jiǎn)得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═?CD?|Bx﹣Ax|＝?|4a|?4＝8?|a|，∴＝8，的值是定值．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元一次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程組解決問題，學(xué)會(huì)用分割法求三角形的面積．

【變式2-2】（2020·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C．在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0m3），過點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，D是直線l上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N，連接AM，OM，設(shè)△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1＝2S2，求m的值．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，則可以分CD＝AD或AC＝AD兩種情況，分別求解即可；

（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON?xM，即可求解．

【詳解】

②當(dāng)AC＝AD時(shí)，同理可得a＝（舍去負(fù)值）；

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）或（1，）；

【點(diǎn)睛】

【考點(diǎn)3】二次函數(shù)的面積最值問題

【例3】（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)A（0，1）和C，頂點(diǎn)為D，直線AC與拋物線的對(duì)稱軸BD的交點(diǎn)為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．

（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）

【分析】

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x軸交AC于點(diǎn)P＇，則P＇（n，﹣n+1），得出PP＇＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；

【詳解】

∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；

②當(dāng)AR為對(duì)角線時(shí)，∴R（），∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．

綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．

【點(diǎn)睛】

【變式3-1】（2020·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求面積的最大值；

【答案】（1）；（2）面積最大值為；（3）存在，【分析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）設(shè)，求得解析式，過點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，則，即可求解；

（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

【詳解】

解：（1）∵拋物線過，∴

∴

（2）設(shè)，將點(diǎn)代入

∴

過點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F

設(shè)點(diǎn)，則

由鉛垂定理可得

∴面積最大值為

設(shè)點(diǎn)D（?2，m）、點(diǎn)E（s，t），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，?1）、（?1，?4）；

聯(lián)立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故點(diǎn)E（-3，-4＋）或（-3，-4?）；

∴存在，【點(diǎn)睛】

【變式3-2】（2020·江蘇宿遷·中考真題）二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2，0)，B(6，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，取OP中點(diǎn)Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)

【分析】

(1)由于二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2，0)、B(6，0)兩點(diǎn)，把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，計(jì)算出a的值即可求出拋物線解析式，由配方法求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出CB=CD，設(shè)D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；

(3)設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，設(shè)P(，)，則Q(，)，設(shè)直線CQ的解析式為，則，解得，求出M(，)，ME=，由面積公式可求出n的值，則可得出答案．

【詳解】

(1)將A(2，0)，B(6，0)代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；

∵，∴E(4，)；

(2)如圖1，圖2，連接CB，CD，由點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線CN上，得CB=CD，設(shè)D(4，m)，當(dāng)時(shí)，∴C(0，3)，∵=，由勾股定理可得：

=，解得m=3±，∴滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3+)或(4，3-)；

(3)如圖3，設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，設(shè)P(，)，則Q(，)，設(shè)直線CQ的解析式為，則，解得，于是直線CQ的解析式為：，當(dāng)時(shí)，∴M(，)，ME==，∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，P(10，8)，當(dāng)時(shí)，P(，24)．

綜合以上可得，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10，8)或(，24)．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)4】二次函數(shù)面積的其它問題

【例4】（2020·遼寧鞍山·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)矩形是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．

①如圖1，若點(diǎn)E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；

②如圖2，若點(diǎn)E在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

（2）如圖3，若點(diǎn)E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點(diǎn)，連接，，求的最小值．

【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由見解析；（2）

【分析】

（1）①證明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再證明四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結(jié)果；

②根據(jù)（1）中同樣的證明方法求證即可；

（2）說明C、E、G、F四點(diǎn)共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設(shè)BE=x，證明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．

【詳解】

解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案為：相等；垂直；

②成立，理由是：

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；

（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四點(diǎn)共圓，∵四邊形BCHF是平行四邊形，M為BH中點(diǎn)，∴M也是EF中點(diǎn)，∴M是四邊形BCHF外接圓圓心，則GM的最小值為圓M半徑的最小值，∵AB=3，BC=2，設(shè)BE=x，則CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF=

=，設(shè)y=，當(dāng)x=時(shí)，y取最小值，∴EF的最小值為，故GM的最小值為．

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，圓的性質(zhì)，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（2020·湖北中考真題）已知拋物線過點(diǎn)和，與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，E為線段上方的拋物線上一點(diǎn)，垂足為F，軸，垂足為M，交于點(diǎn)G．當(dāng)時(shí)，求的面積；

（3）如圖2，與的延長線交于點(diǎn)H，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）存在，,【解析】

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）先求出BC的解析式，再設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程求出點(diǎn)F，G的坐標(biāo)，根據(jù)列出關(guān)于m的方程并求解，然后求得G的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求解即可；

（3）過點(diǎn)A作AN⊥HB，先求得直線BD，AN的解析式，得到H，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PRx軸于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS=PR，證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到關(guān)于n的方程，求得后即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【詳解】

（1）把點(diǎn)A（-1，0），C（0，3）代入中，解得，當(dāng)時(shí)，y=4，（2）

令或x=3

設(shè)BC的解析式為

將點(diǎn)代入，得，解得，設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入中，得，把x=m代入

即

解得m=2或m=-3

∵點(diǎn)E是BC上方拋物線上的點(diǎn)

∴m=-3舍去

∴點(diǎn)

（3）過點(diǎn)A作AN⊥HB，∵點(diǎn)

∵點(diǎn)，點(diǎn)

設(shè)，把（-1，0）代入，得b=

設(shè)點(diǎn)

過點(diǎn)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS=PR

且點(diǎn)S的坐標(biāo)為

若

在和中，或

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)的綜合，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，運(yùn)算較復(fù)雜，第3問的解題關(guān)鍵在于添加適當(dāng)?shù)妮o助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想列出方程求解．

【變式4-2】（2020·山東日照·九年級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣2，0)和點(diǎn)B(8，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣8)，連接AC，D是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，CD，得到△ACD．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．

（2）△ACD周長能否取得最小值，如果能，請(qǐng)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說明理由．

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得△ACE與△ACD面積相等，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周長能取得最小值，點(diǎn)D(3，﹣5)；（3）存在，點(diǎn)E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)

【分析】

（1）由拋物線過A(﹣2，0)，點(diǎn)B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）求△ACD周長＝AD+AC+CD，AC是定值，當(dāng)AD+CD取最小值時(shí)，△ACD周長能取得最小值，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝3對(duì)稱，連結(jié)BC交拋物線對(duì)稱軸于D，利用待定系數(shù)法可求BC解析式，把x=3代入即可求解點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）△ACE與△ACD面積相等，兩個(gè)三角形同底，只要點(diǎn)E與點(diǎn)D到AC的距離相等即可，先求出AC解析式，由面積相等可得DE∥AC，利用待定系數(shù)法可求DE的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組可求解．

【詳解】

解：（1）由題意可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣8；

（2）△ACD周長能取得最小值，∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（8，0），∴對(duì)稱軸為直線x＝3，∵△ACD周長＝AD+AC+CD，AC是定值，∴當(dāng)AD+CD取最小值時(shí)，△ACD周長能取得最小值，∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝3對(duì)稱，∴連接BC交對(duì)稱軸直線x＝3于點(diǎn)D，此時(shí)AD+CD有最小值，設(shè)直線BC解析式為：y＝kx﹣8，∴0＝8k﹣8，∴k＝1，∴直線BC解析式為：y＝x﹣8，當(dāng)x＝3，y＝﹣5，∴點(diǎn)D（3，﹣5）；

（3）存在，∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)C（0，﹣8），∴直線AC解析式為y＝﹣4x﹣8，如圖，∵△ACE與△ACD面積相等，∴DE∥AC，∴設(shè)DE解析式為：y＝﹣4x+n，∴﹣5＝﹣4×3+n，∴n＝7，∴DE解析式為：y＝﹣4x+7，聯(lián)立方程組可得：，解得：，∴點(diǎn)E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線解析式，三角形最短周長，和面積相等時(shí)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)問題，會(huì)用待定系數(shù)法求解析式，周長最短問題轉(zhuǎn)化線段的和最短問題，會(huì)用過找對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，利用底相同，高相同，轉(zhuǎn)化平行線問題是解題關(guān)鍵．

1．（廣東梅州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上．

（1）b

=_________，c

=_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____________；（直接填寫結(jié)果）

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1），（-1,0）；（2）存在P的坐標(biāo)是或；（3）當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）

【分析】

（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）分別過點(diǎn)C和點(diǎn)A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點(diǎn)先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據(jù)垂線段最短可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后由拋物線的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴拋物線的解析式為．

∵令，解得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

故答案為﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．理由：如圖所示：

①當(dāng)∠ACP1=90°．由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)AC的解析式為y=kx﹣3．

∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得3k﹣3=0，解得k=1，∴直線AC的解析式為y=x﹣3，∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．

∵將y=﹣x﹣3與聯(lián)立解得，（舍去），∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

②當(dāng)∠P2AC=90°時(shí)．設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b．

∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3，∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．

∵將y=﹣x+3與聯(lián)立解得=﹣2，=3（舍去），∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣2，5）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中點(diǎn)．

又∵DF∥OC，∴DF=OC=，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是，∴，解得：x=，∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）．

2．（2020·湖北武漢·九年級(jí)一模）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為D

(，－)，經(jīng)過點(diǎn)C

(0，－1)，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))．

(1)

求拋物線的解析式：

(2)

P為拋物線上一點(diǎn)，連CP交OD于點(diǎn)Q，若S△COQ＝S△PDQ，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M為直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過M的直線與x軸、y軸分別交于E、F，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

若∠FCM＝∠OEF，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2－3x－1；（2）P的橫坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，－)或(2，－2)

【分析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（2）聯(lián)立方程組求解即可；

（3）根據(jù)直線EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)求出M點(diǎn)橫坐標(biāo)，設(shè)直線CM的解析式為y＝－x－1，與拋物線聯(lián)立，即可求出結(jié)論．

【詳解】

(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為D

(，－)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y＝a(x－)2－，把C

(0，－1)代入，得a(0－)2－＝－1，解得a＝．

∴拋物線的解析式為y＝

(x－)2－．

亦即：y＝x2－3x－1．

(2)

連OP、DP、CD，由S△COQ＝S△PDQ，得S△OCD＝S△PDC，則CD∥OP．

由C

(0，－1)、D

(，－)，可得直線CD為y＝－x－1．

則直線OP的解析式為y＝－x．

與拋物線的解析式聯(lián)立，得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（舍去負(fù)值）．

(3)

設(shè)直線EF為y＝kx＋b，與拋物線y＝x2－3x－1聯(lián)立，得x2－(k＋3)x－1－b＝0，∵直線EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴x1＝x2＝－＝

(k＋3)．

即M點(diǎn)橫坐標(biāo)xM＝

(k＋3)．

∵∠FCM＝∠OEF，可得CM⊥EF，故可設(shè)直線CM的解析式為y＝－x－1，與拋物線聯(lián)立，得：xM＝

(3－)．

于是得：

(k＋3)＝

(3－)．

解得k＝1或2．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，－)或(2，－2)．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式．

3．（2020·廣東九年級(jí)一模）如圖，拋物線y＝ax2＋2x＋c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD，CD，OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF∶S△CDF＝3∶2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)

【分析】

（1）c＝3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；

（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．

【詳解】

解：（1）∵OB＝OC＝3．

∴c＝3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2＋2x＋3；

（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M，S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，由B、C的坐標(biāo)得：直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x＋3，設(shè)點(diǎn)D(x，﹣x2＋2x＋3)，則點(diǎn)M(x，﹣x＋3)，DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，解得：x＝1或2，故點(diǎn)D(1，4)或(2，3)．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

4．（2020·福建南平·九年級(jí)二模）已知拋物線y＝﹣（x+5）（x﹣m）（m＞0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）

（2）若拋物線與直線y＝x交于點(diǎn)E、F，且點(diǎn)E、F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN長的最大值為時(shí)，求m的取值范圍．

【答案】（1）B（m，0），C（0，）；（2）；（3）0＜m≤．

【分析】

（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣5或m，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（a，），（﹣a，），將點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；

（3）分﹣5≤t≤0、0＜t≤m，兩種情況分別求解即可．

【詳解】

解：（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣5或m，故：B（m，0），C（0，）；

（2）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（a，），（﹣a，），代入，得，解得：（m﹣5）a＝a，∵a≠0，∴m＝6，∴拋物線的解析式為；

（3）依題意得A（﹣5，0），C（0，），由m＞0，設(shè)過A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式是y＝kx+b，將A，C代入，得

解得

∴過A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式是，設(shè)點(diǎn)P（t，0），則﹣5≤t≤m（m＞0），∴M（t，），N（t，）．

①當(dāng)﹣5≤t≤0時(shí)，∴MN＝＝，∵，∴該二次函數(shù)圖象開口向下，又對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，MN的長最大，此時(shí)MN＝，②當(dāng)0＜t≤m時(shí)，∴MN＝＝，∵，∴該二次函數(shù)圖象開口向上，又對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)0＜t≤m時(shí)，MN的長隨t的增大而增大，∴當(dāng)t＝m時(shí)，MN的長最大，此時(shí)MN＝，∵線段MN長的最大值為，∴，整理得：，由圖象可得：≤m≤

∵m＞0，∴m的取值范圍是0＜m≤．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)、與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)、原點(diǎn)對(duì)稱、線段最值、分類討論法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

5．（2018·四川眉山·中考真題）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；

（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為

：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】

分析：（1）利用對(duì)稱性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四種情況：

如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．

詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；

（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；

P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．

點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．

6．（2018·湖南懷化·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；

（3）符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣），【解析】

分析：（1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），展開得到-2a=2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C（0，3），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（-3，0），利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)MB+MD的值最小，則此時(shí)△BDM的周長最小，然后求出直線DB′的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，利用兩直線垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3，再解方程組得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P時(shí)，利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

詳解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵M(jìn)B=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，而BD的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；

（3）存在．

過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解兩直線垂直時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，通過解方程組求把兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問題；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．

7．（2020·四川中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；

（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N

（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4

【分析】

（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標(biāo)，從而得AB=1+3=4，根據(jù)三角形ABC的面積為2可得OC的長，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得G和H的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），利用待定系數(shù)法求直線AD和BD的解析式，表示FN和OK的長，直接代入計(jì)算可得結(jié)論．

【詳解】

（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+1；

（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，m），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1﹣，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當(dāng)四邊形PGHQ為正方形時(shí)，邊長為6+2或2﹣6；

（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），延長BD交y軸于K，∵A（﹣1，0），設(shè)AD的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴AD的解析式為：y=（﹣）x﹣，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直線BD的解析式為：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，3NE+NF為定值4．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式確定FN和OK的長，可解決問題．

8．（2020·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，該拋物線的頂點(diǎn)為M，直線經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，連接．

（1）求b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）將直線向下平移，得到過點(diǎn)M的直線，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)，連接，求證：：

（3）點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，線段的延長線與線段交于點(diǎn)G．當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)E，使得？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）詳見解析；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）.【分析】

（1）將配方后可得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用求出點(diǎn)A的坐標(biāo)后代入即可求出b的值；

（2）先求出平移后的直線CM的解析式為y=-x，過點(diǎn)D作DH⊥直線y=-x，得到直線DH的解析式為y=2x-4，根據(jù)求出交點(diǎn)H（1，-2），分別求得DH=，DM=，根據(jù)sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角與內(nèi)角的關(guān)系得到結(jié)論；

（3）過點(diǎn)G作GP⊥x軸，過點(diǎn)E作EQ⊥x軸，先求出AB=，根據(jù)得到∠BAO=∠AFE，設(shè)GF=4a，則AE=EF=3a，證明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再證△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，將x=代入中，得y=，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo).【詳解】

（1）∵=，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-3）.令中y=0，得x1=0，x2=6，∴A（6,0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入中，得-3+b=0，∴b=3；

（2）∵由平移得來，∴m=-，∵過點(diǎn)M(3，-3),∴，解得n=，∴平移后的直線CM的解析式為y=-x.過點(diǎn)D作DH⊥直線y=-x，∴設(shè)直線DH的解析式為y=2x+k，將點(diǎn)D（2,0）的坐標(biāo)代入，得4+k=0，∴k=-4，∴直線DH的解析式為y=2x-4.解方程組，得，∴H（1，-2）.∵D(2，0)，H(1，-2)，∴DH=，∵M(jìn)(3，-3)，D（2,0）,∴DM=，∴sin∠DMH=，∴∠DMH=45°，∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，∴；

（3）存在點(diǎn)E，過點(diǎn)G作GP⊥x軸，過點(diǎn)E作EQ⊥x軸，∵A(6，0)，B（0,3）,∴AB=.∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，∴∠BAO=∠AFE，∴AE=EF，∵，∴，設(shè)GF=4a，則AE=EF=3a，∵EQ⊥x軸，∴EQ∥OB，∴△AEQ∽△ABO，∴，∴，∴AQ=a，∴AF=a.∵∠AFE=∠PFG，∴△FGP∽△AEQ，∴,∴FP=a，∴OP=PG=，∴+a+a=6,解得a=，∴AQ=,∴OQ=，將x=代入中，得y=，∴當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)E，使得，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）.【點(diǎn)睛】

此題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)平移的性質(zhì)，兩個(gè)一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)定理，是一道拋物線的綜合題，較難.9．（2020·福建廈門一中九年級(jí)其他模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)A在y軸上且在B的下方，B(0，3)，且點(diǎn)C，點(diǎn)D在第一象限．

（1）若點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)D(2，2)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)C在直線y＝0.5x+3上，①若CD＝BC，點(diǎn)D在拋物線y＝x2﹣x+3上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②若CD＝BC，拋物線y＝x2﹣ax+4﹣a經(jīng)過點(diǎn)D、E，與y軸交于點(diǎn)F，若點(diǎn)E在直線BD上，求的最大值．

【答案】（1）D(2，4)；（2）①C(3+，)或(3﹣，)，②

【分析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，AB＝3﹣1＝2＝CD，即可求解；

（2）①作BH⊥CD于H，則D（m，m2﹣m+3），則CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，則1+（）2＝（﹣m+3）2，即可求解；

②利用CD＝CB，求出m＝1或m＝1﹣a，再分m＝1、m＝1﹣a兩種情況，分別求解即可．

【詳解】

解：（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，AB＝3﹣1＝2＝CD，故點(diǎn)D（2，4）；

（2）如圖，設(shè)C（m，m+3），則D（m，m2﹣m+3），①作BH⊥CD于H，則D（m，m2﹣m+3），則CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，∴1+（）2＝（﹣m+3）2，m＝3±，故C（3+，）或（3﹣，）；

②∵y＝x+3，BH＝m，∴BC＝m．

CD＝CB＝m，又CD∥y軸，∴D（m，m2﹣am+4﹣a），由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)得，直線DB解析式：y＝x+3，解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a，整理得：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0，即[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0，解得：x＝m或x＝，即，而CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，且CD＝CB，∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，整理得：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0，[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0，解得：m＝1或m＝1﹣a．

（I）當(dāng)m＝1時(shí)，C（1，），D（1，），F(xiàn)（0，4﹣a），xE＝1﹣a，則S△DEF＝BF?（xD﹣xE）＝（a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（a2﹣a），而S?ABCD＝BH?CD＝1×＝，故S△DEF﹣S?ABCD＝（a2﹣a）﹣＝（a﹣）2﹣，∵＞0，故S△DEF﹣S?ABCD沒有最大值；

（II）

當(dāng)m＝1﹣a時(shí)，C（1﹣a，），D（1﹣a，2a+1），則F（0，4﹣a），xE＝1，而S△DEF＝BF?（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（a2﹣a），S?ABCD＝BH?CD＝（1﹣a）?（1﹣a）＝（1﹣a）

2，∴S△DEF﹣S?ABCD＝﹣（a2﹣a）﹣（1﹣a）

2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤，∴S△DEF﹣S?ABCD的最大值為．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10．（2020·河南九年級(jí)二模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)為（0，－1），另一頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（－2，0），已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標(biāo)系中，使直尺的邊A＇D＇∥y軸且經(jīng)過點(diǎn)B，直尺沿x軸正方向平移，當(dāng)A＇D＇與y軸重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若運(yùn)動(dòng)過程中直尺的邊A＇D＇交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長度的最大值；

（3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P為直尺的邊A＇D＇上的任一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點(diǎn)，試探究：在直尺平移的過程中，當(dāng)PQ＝時(shí)，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)直接寫出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系．

（說明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，圖②中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D＇在拋物線外．）

【答案】（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．

【詳解】

試題分析：（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，考慮作x，y軸垂線，表示橫縱坐標(biāo)，易得△CDA≌△AOB，所以C點(diǎn)坐標(biāo)易知．進(jìn)而拋物線解析式易得．

（2）橫坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)距離，可以用這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)作差，因?yàn)閮牲c(diǎn)分別在直線BC與拋物線上，故可以利用解析式，設(shè)橫坐標(biāo)為x，表示兩個(gè)縱坐標(biāo)．作差記得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用最值性質(zhì)，結(jié)果易求．

（3）計(jì)算易得，BC=，因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，PQ=恰為半徑，則以作圓，P點(diǎn)必在圓上．此時(shí)連接PB，PC，PA，因?yàn)锽C為直徑，故BP2+CP2=BC2為定值，而PA不固定，但不超過BC，所以易得結(jié)論BP2+CP2≥PA2，題目要求考慮三種情況，其中P在拋物線上時(shí)，P點(diǎn)只能與B或C重合，此時(shí)，PA，PB，PC可求具體值，則有等量關(guān)系．

試題解析：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，此時(shí)△CDA≌△AOB，∵△CDA≌△AOB，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=OA+AD=3，∴C（-1，-3）．

將B（-2，0），C（-1，-3）代入拋物線y=x2+bx+c，解得

b=，c=-3，∴拋物線的解析式為y=x2+x-3．

（2）設(shè)lBC：y=kx+b，∵B（-2，0），C（-1，-3），∴，解得，∴l(xiāng)BC：y=-3x-6，設(shè)M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），∵xM=xN（記為x），yM≥yN，∴線段MN長度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），∴當(dāng)x=-時(shí)，線段MN長度為最大值．

（3）答：P在拋物線外時(shí)，BP2+CP2≥PA2；P在拋物線上時(shí)，BP+CP=AP；P在拋物線內(nèi)，BP2+CP2≥PA2．

分析如下：

如圖2，以Q點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙Q，∵OB=2，OA=1，∴AC=AB==，∴BC=，∴BQ=CQ=，∵∠BAC=90°，∴點(diǎn)B、A、C都在⊙Q上．

①P在拋物線外，如圖3，圓Q與BD′的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，連接PB，PC，PA，延長PC交y軸于點(diǎn)D

∵BC為直徑，∴∠BPC=90°

∵BD′與y軸平行

∴∠ADC=90°，且D點(diǎn)為拋物線與y軸交點(diǎn)

∴PD∥x軸

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP=AP．

②P在拋物線上，此時(shí)，P只能為B點(diǎn)或者C點(diǎn)，∵AC=AB=，∴AP=，∵BP+CP=BC=，∴BP+CP=AP．

③P在拋物線內(nèi)，有兩種情況，如圖4，5，如圖4，在PC上取BP=PT，∵BC為直徑，∴∠BPC=90°

∴△BPT為等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+PA=PB+PA

∴PC-PB=PA

同理，如圖5，也可得PB-PC=PA．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．

11．（2020·湖北武漢·九年級(jí)其他模擬）拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線交拋物線于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：軸；

（3）如圖2，為拋物線上兩點(diǎn)，直線，交軸于點(diǎn)，，求面積的最小值．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）的最小值為1．

【分析】

（1）把點(diǎn)，代入解析式構(gòu)建方程組求解即可；

（2）由題易得，設(shè)，則，然后根據(jù)在平面直接坐標(biāo)系里兩條直線平行時(shí)，進(jìn)行求解即可；

（3）設(shè)直線的解析式為：，直線的解析式為，直線的解析式為，由題意得，進(jìn)而可得，然后把三角形的面積表示出來利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

【詳解】

（1）∵過，∴解得．

∴拋物線的解析式為．

（2）當(dāng)時(shí)，．∴

設(shè)，則，∴，．

∴，∴，∵，∴設(shè)，則，．

∴．

設(shè)直線，∴，∴．

由得

∵，∴軸．

（3）設(shè)直線的解析式為：，由得，．

∴，∴．

設(shè)直線的解析式為，同理可得：，∴．

設(shè)直線的解析式為，由得．

∴，．

∵，∴，，∴直線．

不論為何值，當(dāng)時(shí)，∴直線過點(diǎn)．

∵，∴軸，∴的最小值為1．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到二次函數(shù)的表達(dá)式，然后利用一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解問題即可．

12．（2020·廣東深圳·九年級(jí)其他模擬）如下圖，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接．設(shè)．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)并求出的最大值；

（2）如圖1，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由，若不變，則求出它的值；

（3）連接，如圖2，則當(dāng)點(diǎn)位于何處時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大？請(qǐng)你求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為，4；（2）不會(huì)發(fā)生變化，理由見解析，；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為

【分析】

（1）根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)得到，根據(jù)即可得到結(jié)果；

（2）由（1）知：，，根據(jù)計(jì)算即可；

（3）取的中點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，得矩形；連接，得到，在根據(jù)題意得，聯(lián)立方程計(jì)算即可；

【詳解】

解：（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為．

∵，∴點(diǎn)坐標(biāo)為

∴．

又，．

∴．

∴的最大值為4．

（2）的值不會(huì)發(fā)生變化理由如下：

由（1）知：，．

所以，，．

又，．

∴，∴．

（3）如下左圖，取的中點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，得矩形；連接．

易得，∴．

∴．

由（2）知，．

∴．又，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

即，直線繞定點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)．

如上右圖，表示的任一位置，長是點(diǎn)到它的距離．則，∵，∴的最大值等于．

顯然，獲得最大值的條件是．

∵此時(shí)，易得，此時(shí)，從而，得．

∴此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為

∴直線的解析式為：．

由得，（舍）．

故，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

13．（2020·廣東九年級(jí)一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線平行于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，．

（1）求此拋物線和直線的解析式；

（2）點(diǎn)在軸上，直線將三角形面積分成兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）或

【分析】

（1）根據(jù)對(duì)稱軸直線求出b，把點(diǎn)代入拋物線解析式求出c，即可求出拋物線解析式，根據(jù)拋物線對(duì)稱性和搶救車點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；

（2）作出直線與交于點(diǎn)，過作軸，與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，得到進(jìn)而得到，根據(jù)直線將面積分成兩部分，分別得到或兩種情況，分別求出Q橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出Q坐標(biāo)，直線CQ解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

【詳解】

解：由題意得：，解得：，則此拋物線的解析式為；

拋物線對(duì)稱軸為直線，橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)為，把代入拋物線解析式得：，設(shè)直線解析式為，把坐標(biāo)代入得：

即

直線解析式為

（2）作出直線與交于點(diǎn)，過作軸，與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，可得，點(diǎn)在軸上，直線將面積分成兩部分，或，即或，或，當(dāng)時(shí)，把代入直線解析式得：

此時(shí)，直線解析式為，令，得到，即；

當(dāng)時(shí)，把代入直線解析式

得：，此時(shí)，直線解析式為，令得到

此時(shí)，綜上，的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)綜合題，綜合性強(qiáng)，難度大．熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)，深刻理解坐標(biāo)系內(nèi)求點(diǎn)的坐標(biāo)方法，添加輔助線構(gòu)造相似是解題關(guān)鍵．

14．（2020·湖北九年級(jí)一模）如圖．拋物線交軸于兩點(diǎn)．其中點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)．

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

如圖①，連接．點(diǎn)在拋物線上﹐且滿足．求點(diǎn)的坐標(biāo)；

如圖②，點(diǎn)為軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，直線分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，求的值．

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）8

【分析】

（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得b、c的值．

（2）點(diǎn)P可以在x軸上方或下方，需分類討論．①若點(diǎn)P在x軸下方，延長AP到H，使AH＝AB構(gòu)造等腰△ABH，作BH中點(diǎn)G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函數(shù)值，求BG、BH的長，進(jìn)而求得H的坐標(biāo)，求得直線AH的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)P坐標(biāo)．②若點(diǎn)P在x軸上方，根據(jù)對(duì)稱性，AP一定經(jīng)過點(diǎn)H關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H＇，求得直線AH＇的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

（3）設(shè)點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為t，用t表示直線AQ、BN的解析式，把x＝?1分別代入即求得點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)，再求DM、DN的長，即得到DM＋DN為定值．

【詳解】

解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)

解得

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

①若點(diǎn)在軸下方，如圖1

延長到，使，過點(diǎn)作軸，連接，作中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

當(dāng)，解得

中，為中點(diǎn)，即

在中，中，即

設(shè)直線解析式為

解得

直線

解得（即點(diǎn)），②若點(diǎn)在軸上方，如圖2，在上截取，則于關(guān)于軸對(duì)稱

設(shè)直線解析式為

解得

直線

解得（即點(diǎn)），、綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

為定值

拋物線的對(duì)稱軸為，直線

設(shè)

設(shè)直線解析式為

解得

直線

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線解析式為

解得

直線

當(dāng)時(shí)，為定值．

【點(diǎn)睛】

本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．第（2）題由于不確定點(diǎn)P位置需分類討論；（2）（3）計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真理清線段之間的關(guān)系再進(jìn)行計(jì)算．

15．（2020·貴陽清鎮(zhèn)北大培文學(xué)校九年級(jí)其他模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y＝－x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2），時(shí)有最大值；（3）或或或．

【分析】

（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點(diǎn)法求解函數(shù)解析式．

（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用S＝S△AOM＋S△OBM?S△AOB即可進(jìn)行解答；

（3）當(dāng)OB是平行四邊形的邊時(shí)，表示出PQ的長，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出方程求解即可；當(dāng)OB是對(duì)角線時(shí)，由圖可知點(diǎn)A與P應(yīng)該重合．

【詳解】

解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：，將，三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：，解得，所以此函數(shù)解析式為：；

（2）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)在這條拋物線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，∴

∵，當(dāng)時(shí)，有最大值為：．

答：時(shí)有最大值．

（3）設(shè)．

當(dāng)為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，且，∴的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，又∵直線的解析式為，則．

由，得，解得，．（不合題意，舍去）

如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，知與應(yīng)該重合，．

四邊形為平行四邊形則，橫坐標(biāo)為4，代入得出為．

由此可得或或或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了三點(diǎn)式求拋物線的方法，以及拋物線的性質(zhì)和最值的求解方法．

16．（2020·山東煙臺(tái)·九年級(jí)其他模擬）如圖，拋物線y=ax2+x+c的圖象與x軸交于A（-3，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），連接AC．點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AC于點(diǎn)D，E為y軸上一點(diǎn)，連接AE，BE，當(dāng)AD=BE時(shí)，求AD+AE的最小值；

（3）點(diǎn)Q為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）或（，0）或（，0）或（-1，0）．

【分析】

（1）將A、C兩點(diǎn)代入，利用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式；

（2）由AD=BE，將AD+AE轉(zhuǎn)化為BE+AE，通過兩點(diǎn)之間線段最短即可得解；

（3）分情況討論，AC為平行四邊形的對(duì)角線、AQ為對(duì)角線、AP為對(duì)角線三種情況討論．

【詳解】

（1）將A（-3，0），C（0，-2），代入y=ax2+x+c得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）令，解得x=-3或1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)AD=BE時(shí)，AD+AE=BE+AE，∴當(dāng)A、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，BE+AE最小，最小值為AB的長，∴當(dāng)AD=BE時(shí)，AD+AE的最小值為AB=1-(-3)=4；

（3）存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，），①若AQ為平行四邊形的對(duì)角線，則PA=QC，QC∥x軸，如圖①，∴-3-m=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）；

②若AP為對(duì)角線，則AC=PQ，如圖②所示，即m-n=3，解得n=-1+或-1-，∴m=2+或2-，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+，0）或（2-，0）；

③當(dāng)AC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則AQ=PC，如圖③，即m-（-3）=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）或（2+，0）或（2-，0）或（-1，0）．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第(3)問需分類討論，以防遺漏．

17．（2020·河南九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．

（1）求，的值．

（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）的值為，的值為；（2）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3）存在滿足題意的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

【分析】

（1）本題根據(jù)題意得出點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)后，將點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式即可求解．

（2）本題首先利用函數(shù)解析式表示P點(diǎn)坐標(biāo)，繼而分別求解PK、AK長度，進(jìn)一步以正切三角函數(shù)作為中介求解OD，最后利用邊長關(guān)系即可求解本題．

（3）本題首先根據(jù)已知求解△APQ的面積，繼而求解點(diǎn)D坐標(biāo)與直線AP解析式，進(jìn)一步分類討論點(diǎn)Q所在位置，求解手段是做輔助線并利用函數(shù)表示MQ距離，繼而利用割補(bǔ)法表示△APQ面積，最后根據(jù)限制條件確定最終答案．

【詳解】

（1）∵，∴，．

將點(diǎn)，代入拋物線中，得，解得，∴的值為，的值為．

（2）由第一問可知拋物線的解析式為．

∵點(diǎn)為第－象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為，∴．

∵，∴．

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如下圖所示，則．

當(dāng)時(shí)，即，解得，．

∴，即．

∴．

∵，即，∴．

∴．

∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

（3）存在．

由題意易得，∴．

∵，∴．

∴．

∴，．

由可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9，故易得直線的解析式為．

由題意，可知點(diǎn)的位置需分以下兩種情況進(jìn)行討論．

①當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，如下圖3所示：

設(shè)，則．

∴．

其中是P點(diǎn)橫坐標(biāo)，是A點(diǎn)橫坐標(biāo)．

∴的最大值為72．

∵，∴在直線下方不存在滿足題意的點(diǎn)．

②當(dāng)點(diǎn)在直線上方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，如下圖2所示：

設(shè)，或，則．

∴．

∴，解得，．

綜上所述，存在滿足題意的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，難度較高，待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式需要熟練掌握，對(duì)三角函數(shù)的基本概念要清楚，該知識(shí)點(diǎn)通常作為邊長比例關(guān)系的媒介，涉及動(dòng)點(diǎn)問題需要分類討論．

18．（2020·山東九年級(jí)一模）已知，拋物線y＝-x2

+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0,2），經(jīng)過點(diǎn)Q（2,2）.直線y＝x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A．

（1）直接填寫拋物線的解析式________；

（2）如圖1，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），PO交拋物線于M，PC交AB于N，連MN.求證：MN∥y軸；

（3）如圖,2，過點(diǎn)A的直線交拋物線于D、E，QD、QE分別交y軸于G、H.求證：CG

?CH為定值.【答案】（1）；（2）見詳解；（3）見詳解．

【分析】

（1）把點(diǎn)C、D代入y＝-x2

+bx+c求解即可；

（2）分別設(shè)PM、PC的解析式，由于PM、PC與拋物線的交點(diǎn)分別為：M、N.，分別求出M、N的代數(shù)式即可求解；

（3）先設(shè)G、H的坐標(biāo)，列出QG、GH的解析式，得出與拋物線的交點(diǎn)D、E的橫坐標(biāo)，再列出直線AE的解析式，算出它與拋物線橫坐標(biāo)的交點(diǎn)方程.運(yùn)用韋達(dá)定理即可求證．

【詳解】

詳解：（1）∵y＝-x2

+bx+c過點(diǎn)C（0,2），點(diǎn)Q（2,2），∴,解得：.∴y=-x2+x+2；

（2）

設(shè)直線PM的解析式為：y=mx，直線PC的解析式為：y=kx+2

由

得x2+（k-1）x=0,解得：，xp=

由

得x2+(m-1)x-2=0，即xp?xm=-4，∴xm==.由

得xN==xM,∴MN∥y軸.（3）設(shè)G（0，m）,H（0，n）.設(shè)直線QG的解析式為，將點(diǎn)代入

得

直線QG的解析式為

同理可求直線QH的解析式為；

由

得

解得：

同理，設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+4，由，得x2-(k-1)x+2=0

即xDxE=4，即（m-2）?（n-2）=4

∴CG?CH=（2-m）?（2-n）=4.19．（2020·重慶八中九年級(jí)一模）如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C點(diǎn)，D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、AD、CD．

（1）求△ACD的面積；

（2）如圖，點(diǎn)P是線段AD下方的拋物線上的一點(diǎn)，過P作PE∥y軸分別交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，過P作PG⊥AD于點(diǎn)G，求EF+FG的最大值，以及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，是否存在以BN為直角邊的等腰Rt△BMN？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）24；（2）最大值為，點(diǎn)P（﹣3，﹣）；（3）存在，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣﹣或2﹣2．

【分析】

（1）先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得AC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)N、D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果；

（2）證明EF+FG即為EP的長度，即可求解；

（3）分∠BNM為直角、∠MBN為直角，利用三角形全等即可求解．

【詳解】

解：（1）令x＝0，得，∴C（0，﹣6），令y＝0，得，解得，∴A（，0），點(diǎn)B（，0），設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b（k≠0），則，∴，∴直線AC的解析式為：，∵，∴D（，），過D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，如圖，令，則N（，），∴，∴；

（2）如圖，過點(diǎn)D作x軸的平行線交FP的延長線于點(diǎn)H，由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線AD的表達(dá)式為：，∴tan∠FDH＝2，則sin∠FDH＝，∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，∴∠FDH＝∠FPG，在Rt△PGF中，PF＝＝

＝FG，則EF+FG＝EF+PF＝EP，設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)E（x，），則EF+FG＝EF+PF＝EP＝，∵﹣＜0，故EP有最大值，此時(shí)x＝﹣＝﹣3，最大值為；

當(dāng)x＝時(shí)，故點(diǎn)P（，）；

（3）存在，理由：

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則，點(diǎn)N（0，s），①當(dāng)∠MNB為直角時(shí)，如圖，過點(diǎn)N作x軸的平行線交過點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)H，交過點(diǎn)M與y軸的平行線于點(diǎn)G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，即且，聯(lián)立并解得：（舍去正值），故，則點(diǎn)M（，）；

②當(dāng)∠NBM為直角時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作y軸的平行線交過點(diǎn)N與x軸的平行線于點(diǎn)G，交過點(diǎn)M與x軸的平行線于點(diǎn)H，同理可證：△MHB≌△BGN（AAS），則BH＝NG，即，當(dāng)時(shí)，解得：（舍去正值），故，則點(diǎn)M（，）；

綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及三角形面積的求解，用胡不歸原理求最值，等腰直角三角形的存在性問題，解題的關(guān)鍵是需要掌握這些特定題型的特定解法，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．

20．（2020·天津中考真題）已知點(diǎn)是拋物線（為常數(shù)，）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，．

①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②取的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，的最小值是？

【答案】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；②當(dāng)m的值為或時(shí)，MN的最小值是．

【分析】

（1）根據(jù)，則拋物線的解析式為，再將點(diǎn)A（1，0）代入，求出b的值，從而得到拋物線的解析式，進(jìn)一步可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①首先用含有m的代數(shù)式表示出拋物線的解析式，求出，點(diǎn).過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根據(jù)，可求出m的值，進(jìn)一步求出F的坐標(biāo)；

②首先用含m的代數(shù)式表示出MC的長，然后分情況討論MN什么時(shí)候有最值.【詳解】

解：（1）當(dāng)，時(shí)，拋物線的解析式為．

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．解得．

拋物線的解析式為．，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，，即．，．

拋物線的解析式為．

根據(jù)題意，得點(diǎn)，點(diǎn)．

過點(diǎn)A作于點(diǎn)H．

由點(diǎn)，得點(diǎn)．

在Rt中，，．，．解得．

此時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)，有．

點(diǎn)F在y軸上，在Rt中，．

點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．

②由N是EF的中點(diǎn)，得．

根據(jù)題意，點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心、為半徑的圓上．

由點(diǎn)，點(diǎn)，得，．

在中，．

當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的點(diǎn)N落在線段MC上，MN的最小值為，解得；

當(dāng)，時(shí)，滿足條件的點(diǎn)N落在線段CM的延長線上，MN的最小值為，解得．

當(dāng)m的值為或時(shí)，MN的最小值是．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．．

欧美色欧美亚洲高清在线观看,国产特黄特色a级在线视频,国产一区视频一区欧美,亚洲成a 人在线观看中文

2018年中考二次函數(shù)壓軸題

第一篇：2018年中考二次函數(shù)壓軸題

第二篇：2017年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題(含答案)

第三篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題：二次函數(shù)分類綜合專題復(fù)習(xí)練習(xí)

第四篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題專題-二次函數(shù)的存在性問題（解析版）

第五篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題專題-二次函數(shù)的面積問題（解析版）

相關(guān)范文推薦

第三輪專題復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)壓軸題：二次函數(shù)?？碱愋皖}練習(xí)

中考數(shù)學(xué)壓軸題整理

2018中考數(shù)學(xué)專題二次函數(shù)

2018年中考菱形壓軸題大全

如何應(yīng)對(duì)中考數(shù)學(xué)壓軸題

二次函數(shù)問題是近幾年來中考

二次函數(shù)

二次函數(shù)