第一篇：中考?jí)狠S題的教學(xué)策略論文

每年初中數(shù)學(xué)中考，一般都把試題分為基礎(chǔ)題，中檔題以及難題。近年初中數(shù)學(xué)中考中，填空題，選擇題，解答題的最后一題都是拉分題，難題不突破學(xué)生是很難取得中考好成績的。

初中數(shù)學(xué)中考中的難題主要有以下幾種：

1、思維要求有一定深度或技巧性較強(qiáng)的題目。

2、題意新或解題思路新的題目。

3、探究性或開放性的數(shù)學(xué)題。

針對不同題型要有不同的教學(xué)策略，無論解哪種題型的數(shù)學(xué)題，都要求學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本的解題技能（對數(shù)學(xué)概念的較好理解，對定理公式的理解，對定理公式的證明的理解。能很熟練迅速地解答出直接運(yùn)用定理公式的基礎(chǔ)題），所以對學(xué)生進(jìn)行“雙基”訓(xùn)練是很必要的。當(dāng)然，初三畢業(yè)復(fù)習(xí)第一階段都是進(jìn)行“雙基”訓(xùn)練，但要使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)把握得深化和基本技能得到強(qiáng)化，復(fù)習(xí)效果才好。

我認(rèn)為可以將初中中考中的難題分以下幾類進(jìn)行專題復(fù)習(xí)：

第一類：綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或需要一定解題技巧才能解的難題。

這類難題的教學(xué)關(guān)鍵要求學(xué)生運(yùn)用分析和綜合的方法，運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想和方法，以及一定的解題技巧來解答。

例1某省公路建設(shè)發(fā)展速度越來越快，通車總里程已位居全國第一，公路的建設(shè)促進(jìn)了廣大城鄉(xiāng)客運(yùn)的發(fā)展。某市擴(kuò)建了市縣際公路，運(yùn)輸公司根據(jù)實(shí)際需要計(jì)劃購買大，中兩型客車共10輛，大型客車每輛價(jià)格為25萬元，中型客車每輛價(jià)格為15萬元。

（1）設(shè)購買大型客車x（輛），購車總費(fèi)用為y（萬元），求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

（2）若購車資金為180萬元—200萬元（180萬元和200萬元），那么有幾種購車方案？在確保交通安全的前提下，根據(jù)客流量調(diào)查，大型客車不少于4輛，此時(shí)如何確定購車方案可使該運(yùn)輸公司購車費(fèi)用最少。

解：

（1）y=25+15（10—x）=10x+150。

（2）有題意，得10x+150180，10x+150200，解得3x5，x是非負(fù)整數(shù)，x=3，4，5。

共有三種購車方案：

第一種：大型客車3輛，中型客車7輛，不合題意。

第二種：大型客車4輛，中型客車6輛。

第三種：大型客車5輛，中型客車5輛。

第二種方案的購車費(fèi)用為254+156=190（萬元）。

第三種方案的購車費(fèi)用為254+155=200（萬元）。

即符合客流量要求并且購車費(fèi)用較少的購車方案是購買大型客車4輛，中型客車6輛。

第二類：新題型（近年全國各地初中中考中才出現(xiàn)的題型）。

（2006 寧夏卷）為了提高土地的利用率，將小麥，玉米，黃豆三種農(nóng)作物套種在一起，俗稱“三種三收”，這樣的種植方法可將土地每畝的總產(chǎn)量提高40%。下面是這三種農(nóng)作物的畝產(chǎn)量，銷售單價(jià)及種植成本的對應(yīng)表：

現(xiàn)將面積為10畝的一塊農(nóng)田進(jìn)行“三種三收”套種，為保證主要農(nóng)作物的種植比例，要求小麥的種植面積占種植面積的一半。

（1）設(shè)玉米的種植面積為x畝，三種農(nóng)作物的總銷售價(jià)為y元，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）在保證小麥種植面積不變的情況下，玉米，黃豆的種植面積均不得低于一畝，且兩種農(nóng)作物均以整畝數(shù)種植，三種農(nóng)作物套種的種植畝數(shù)，有哪幾種種植方案？

（3）在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總銷售價(jià)最高？最高價(jià)是多少？

（4）在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？（總利潤=總銷售單價(jià)—總成本）

解析：此題信息量較大，數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，因此需仔細(xì)閱讀，分析，弄清楚各種數(shù)量關(guān)系，才能找到解決問題的方法。

解（1）y=[5*400*2+x*680+（5—x）250*2。6]*1.4

（2）方案如下。

（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可知，隨的增大而增大，所以采用方案四，即小麥5畝，玉米4畝，黃豆1畝，可使總銷售價(jià)最高，最高價(jià)為10318元。

（2）總成本c與x的函數(shù)關(guān)系式為c=5*200+x*130+50*（5—x）=80x+1250，總利潤與的函數(shù)關(guān)系式為y—c=42x+10150—（80x+1250）=—38x+8900。

（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可得，采用方案一：即小麥5畝，玉米1畝，黃豆4畝，可使總銷售價(jià)最高，最高價(jià)為8862元。

可能我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：我們講解難題的時(shí)候，學(xué)生都能理解，但讓學(xué)生再做另外一些難題的時(shí)候，學(xué)生又做不出來。這是因?yàn)?，我們只是把結(jié)果告訴學(xué)生，學(xué)生解題的思維方式?jīng)]有得到訓(xùn)練。在難題的教學(xué)中，我們不能只把結(jié)論告訴學(xué)生，更重要的是要讓學(xué)生知道解題的思維方式，我們不要急于把題目的解法告訴學(xué)生，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生自己去解題，在解題的過程中尋找解題思路以及訓(xùn)練思維能力和創(chuàng)新能力，這也是新課標(biāo)的要求。我們應(yīng)當(dāng)把教學(xué)重點(diǎn)放在訓(xùn)練學(xué)生解題的思路上，在引導(dǎo)學(xué)生尋找解題思路的這一過程之中，使學(xué)生找到開鎖的鑰匙。

第二篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題整理

【運(yùn)用相似三角形特性解題，注意分清不同情況下的函數(shù)會(huì)發(fā)生變法，要懂得分情況討論問題】

【分情況討論，抓住特殊圖形的面積，多運(yùn)用勾股定理求高，構(gòu)造梯形求解】

【出現(xiàn)邊與邊的比，構(gòu)造相似求解】

【當(dāng)圖形比較復(fù)雜的時(shí)候，要學(xué)會(huì)提煉出基礎(chǔ)圖形進(jìn)行分析，如此題中可將兩個(gè)三角形構(gòu)成的平行四邊形提取出來分析，出現(xiàn)兩個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)和函數(shù)圖像性質(zhì)，找出不變的量，如此題中N點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，為-3，為突破口從而求解】

已知△ABC是等邊三角形．

（1）將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O．

①如圖a，當(dāng)θ=20°時(shí)，△ABD與△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)，求∠BOE的度數(shù)；

【旋轉(zhuǎn)，平移，軸對稱的題目，要將動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)求解，運(yùn)用全等和相似的方法】

【通過旋轉(zhuǎn)把條件進(jìn)行轉(zhuǎn)移，利用與第一題相同的方法做輔助線，采用構(gòu)造直角三角形的方法求解】

如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．

（1）表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是_________，它是自然數(shù)_______的平方，第8行共有________個(gè)數(shù)；

（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個(gè)數(shù)是_______，最后一個(gè)數(shù)是_________，第n行共有個(gè)數(shù)__________；

（3）求第n行各數(shù)之和．

【利用三角函數(shù)求解】

如圖所示，已知A點(diǎn)從（1，0）點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后，以O(shè)、A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使B、C點(diǎn)都在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t=_____________．

【提取基礎(chǔ)圖形，此題將三角形提取出來，構(gòu)造直角三角形，利用30°所對的邊是斜邊的一半，設(shè)未知數(shù)求解】

【要求是否能構(gòu)造成直角三角形，構(gòu)造包含欲求三角形的三邊的另外三個(gè)直角三角形，利用勾股定理求出三條邊，再運(yùn)用勾股定理，分三種情況求解】

如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，將△AEF繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE=DF時(shí)，∠BAE的大小可以是___________．

當(dāng)遇到求是否構(gòu)成等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形，直角三角形時(shí)，在坐標(biāo)軸中，設(shè)未知數(shù)求解；如設(shè)點(diǎn)A為（x,y）或設(shè)點(diǎn)A為（0，m），多尋找可用相似表示的邊，運(yùn)用相似的面積比，周長比，高之比，邊之比求解

求坐標(biāo)軸上有多少個(gè)圖形能夠構(gòu)成面積為多少，周長為多少的三角形四邊形等時(shí)，注意坐標(biāo)點(diǎn)可能在正半軸或負(fù)半軸，注意加絕對值符號(hào)，計(jì)算多邊形面積可采用割補(bǔ)法

第三篇：2018年中考二次函數(shù)壓軸題

2018年中考二次函數(shù)壓軸題匯編

2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點(diǎn)E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．

5．如圖，點(diǎn)P為拋物線y=x2上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；

（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣1），過點(diǎn)P作PM⊥l于M．

①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

②問題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），求QP+PF的最小值．

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6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒速運(yùn)動(dòng)，連接MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求拋物線解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；

（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點(diǎn)H使MH∥AB，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

個(gè)單位的速度勻

7．如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)（1）求拋物線解析式；

．

（2）連接OA，過點(diǎn)A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點(diǎn)M是y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)M作MN⊥OM交x軸于點(diǎn)N．問：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實(shí)數(shù)）的圖象過點(diǎn)A（﹣2，2），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實(shí)數(shù)）的圖象l經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）求b值；

（3）設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)，過M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB=MC；

（4）在（3）的條件下，請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

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10．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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12．綜合與探究 如圖，拋物線y=

x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時(shí)QF有最大值．

13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2）．（1）若點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．

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①求拋物線的解析式；

②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN． 14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點(diǎn)O和點(diǎn)F（10，0），與對稱軸l交于點(diǎn)E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點(diǎn)M，N．當(dāng)矩形ABCD沿x軸正方向平移，點(diǎn)M，N位于對稱軸l的同側(cè)時(shí)，連接MN，此時(shí)，四邊形ABNM的面積記為S；點(diǎn)M，N位于對稱軸l的兩側(cè)時(shí)，連接EM，EN，此時(shí)五邊形ABNEM的面積記為S．將點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．

（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)t=0時(shí)，求S△OBN的值；

（3）當(dāng)矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時(shí)，求S關(guān)于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

15．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)F（0，），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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16．如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．

17．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖②，用寬為4個(gè)單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接DP、DQ．

（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（Ⅱ）直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由．

第8頁（共107頁）

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；

（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．

19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，0）．已知拋物線y=x2+mx﹣2m（m是常數(shù)），頂點(diǎn)為P．

（Ⅰ）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)∠AOP=45°時(shí)，求拋物線的解析式；

（Ⅲ）無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H．當(dāng)∠AHP=45°時(shí)，求拋物線的解析式．

20．如圖所示，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，和x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，第9頁（共107頁）

D（點(diǎn)D位于點(diǎn)C的左側(cè)）．（1）求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；

（2）從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是△ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，請說明理由．

21．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第10頁（共107頁）

22．已知頂點(diǎn)為A拋物線（1）求拋物線的解析式；

經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．

（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M，y軸相交于點(diǎn)E，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；

（3）如圖2，點(diǎn)Q是折線A﹣B﹣C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，過點(diǎn)E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點(diǎn)N1落在x軸上，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

23．已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2），且拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．（1）求拋物線的解析式；（2）若MN與直線y=﹣2決以下問題：

①求證：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍．

24．如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點(diǎn)B，且對稱軸是直線x=3．（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若M是OB上的一點(diǎn)，作MN∥AB交OA于N，當(dāng)△ANM面積最大時(shí)，求M的坐標(biāo)；

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x平行，且M，N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，解

（3）P是x軸上的點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過A作AC⊥x軸于C，當(dāng)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

25．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）F（x，y）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：

①當(dāng)x＞1，y＞0時(shí)，求△BDF的面積的最大值； ②當(dāng)∠AEF=∠DBE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

26．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在左，點(diǎn)C在右），交y軸于點(diǎn)A，且OA=OC，B（﹣1，0）．

第12頁（共107頁）

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在C、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE∥y軸交線段CD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段PE長為d，寫出d與t的關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)Q，且DQ=CE，連接EQ，當(dāng)∠BQE+∠DEQ=90°時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

27．已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸另一交點(diǎn)為（﹣，0）．

（1）求拋物線F的解析式；（2）如圖1，直線l：y=

x+m（m＞0）與拋物線F相交于點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2）（點(diǎn)A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，如圖2． ①判斷△AA′B的形狀，并說明理由；

②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

28．已知：如圖，一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，m）（m＞0），與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C在線段AB上，且BC=2AC，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D．若AC=CD．

第13頁（共107頁）

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知一開口向下、以直線CD為對稱軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P，若過點(diǎn)P且垂直于AP的直線與x軸的交點(diǎn)為Q（﹣函數(shù)表達(dá)式．，0），求這條拋物線的

29．如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點(diǎn)A（點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；，﹣3）和點(diǎn)B（3，0）．過（2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

30．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC=3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G．

第14頁（共107頁）

（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個(gè)單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí)，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn)，試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N，使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

31．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2）．點(diǎn)E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

32．如圖，已知頂點(diǎn)為C（0，﹣3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線y=x+m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B．（1）求m的值；

（2）求函數(shù)y=ax2+b（a≠0）的解析式；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得∠MCB=15°？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第15頁（共107頁）

33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

34．已知拋物線y=a（x﹣1）2過點(diǎn)（3，1），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)B、C均在拋物線上，其中點(diǎn)B（0，），且∠BDC=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)． ①求證：∠PDQ=90°； ②求△PDQ面積的最小值．

第16頁（共107頁）

35．拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象．（1）點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為

，；

（2）如圖①，拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處．當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界）時(shí)，求t的取值范圍；

（3）如圖②，當(dāng)t=0時(shí)，若Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

36．如圖，拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)E（4，5），與y軸交于點(diǎn)B，連接AB．（1）求該拋物線的解析式；

（2）將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．

①當(dāng)點(diǎn)F落在直線AE上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)和△ABF的面積； ②當(dāng)點(diǎn)F到直線AE的距離為請直接寫出交點(diǎn)的坐標(biāo)．

第17頁（共107頁）

時(shí)，過點(diǎn)F作直線AE的平行線與拋物線相交，37．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，過其頂點(diǎn)C作直線CP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，連接AD、BC．（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；

（3）點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．

38．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B（4，8），對稱軸為直線x=﹣2．（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線y=kx+4與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x（，當(dāng)2x1＜x2）時(shí)，求k的值；

（3）連接OB，點(diǎn)P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作OB的平行線交直線AB于點(diǎn)Q，當(dāng)S△POQ：S△BOQ=1：2時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=）

第18頁（共107頁）

39．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE=DE． ①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

40．如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx（a、b為常數(shù)，a≠0）與x軸相交于另一點(diǎn)A（3，0）．直線l：y=x在第一象限內(nèi)和此拋物線相交于點(diǎn)B（5，t），與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)C．

第19頁（共107頁）

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、O、B為頂點(diǎn)的三角形相似，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）直線l沿著x軸向右平移得到直線l′，l′與線段OA相交于點(diǎn)M，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E．把△MEN沿直線l′折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上時(shí)（圖2），求直線l′的解析式；

（4）在（3）問的條件下（圖3），直線l′與y軸相交于點(diǎn)K，把△MOK繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△M′OK′，點(diǎn)F為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△M'FK′為等腰三角形時(shí)，求滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

第20頁（共107頁）

2018年07月10日139****3005的初中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共1小題）

1．如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點(diǎn)C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（）

A． B．2 C．4 D．

3【解答】解：點(diǎn)C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設(shè)C（a，），則B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（負(fù)值已舍去）

∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2故選：B．

二．解答題（共39小題）

2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使

第21頁（共107頁），得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3．

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E，∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對稱，此時(shí)存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形．

∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）； 當(dāng)t≠2時(shí)，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2，第22頁（共107頁）

∴不存在．

（3）①在圖2中，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F． 設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3． ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+②∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為

．

．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴線段BC=

=

3，∴P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

第23頁（共107頁）

3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題可知當(dāng)y=0時(shí)，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，第24頁（共107頁）

∴OC2=OA?OB=3，則OC=；

（2）∵C是BM的中點(diǎn)，即OC為斜邊BM的中線，∴OC=BC，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，又OC=，點(diǎn)C在x軸下方，），∴C（，﹣設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)B（3，0），C（，﹣解得：b=﹣∴y=x﹣，k=，）在拋物線上，代入拋物線解析式，）代入得：，又∵點(diǎn)C（，﹣解得：a=，∴拋物線解析式為y=（3）點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，則Q（x，∴PQ=x﹣x﹣），x2﹣

x+2；

x2﹣

x+2），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BM于點(diǎn)Q，﹣（x2﹣

x+2）=﹣

x2+

3x﹣3，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣當(dāng)x=﹣（，﹣

x2+

x﹣，=時(shí)，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為）．

第25頁（共107頁）

4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點(diǎn)E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣10），∵當(dāng)t=2時(shí)，AD=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），∴將點(diǎn)D坐標(biāo)代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x；

（2）由拋物線的對稱性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，第26頁（共107頁）

當(dāng)x=t時(shí)，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周長=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為，；

（3）如圖，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD對角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2），當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4，4），此時(shí)GH不能將矩形面積平分；

當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，0），此時(shí)GH也不能將矩形面積平分；

∴當(dāng)G、H中有一點(diǎn)落在線段AD或BC上時(shí)，直線GH不可能將矩形的面積平分，當(dāng)點(diǎn)G、H分別落在線段AB、DC上時(shí)，直線GH過點(diǎn)P，必平分矩形ABCD的面積，∵AB∥CD，∴線段OD平移后得到的線段GH，∴線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對應(yīng)點(diǎn)是P，在△OBD中，PQ是中位線，第27頁（共107頁）

∴PQ=OB=4，所以拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．

5．如圖，點(diǎn)P為拋物線y=x2上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；

（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣1），過點(diǎn)P作PM⊥l于M．

①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

②問題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），求QP+PF的最小值．

【解答】解：（1）∵拋物線y=（x+2）2﹣1的頂點(diǎn)為（﹣2，﹣1）

∴拋物線y=（x+2）2﹣1的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右2個(gè)單位得到拋物線y=x2的圖象．

（2）①存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立． 如圖一，過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B

第28頁（共107頁）

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，a2）∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）②由①，PM=PF

QP+PF的最小值為QP+PM的最小值

當(dāng)Q、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，QP+PM有最小值，最小值為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)加M縱坐標(biāo)的絕對值．

∴QP+PF的最小值為6．

6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒速運(yùn)動(dòng)，連接MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求拋物線解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；

（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點(diǎn)H使MH∥AB，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

個(gè)單位的速度勻

第29頁（共107頁）

【解答】解：（1）∵直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）． 將A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線解析式為y=x2+4x+3．

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣t，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．

∵△AMN為直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN為等腰直角三角形（如圖1）． 當(dāng)∠ANM=90°時(shí)，有AM=解得：t=1；

當(dāng)∠AMN=90°時(shí)，有t﹣3=﹣t，解得：t=．

綜上所述：當(dāng)t為1秒或秒時(shí)，△AMN為直角三角形．（3）設(shè)NH與x軸交于點(diǎn)E，如圖2所示．

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣t，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t﹣3，t），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t﹣3，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（t﹣3，t2﹣2t）． ∵M(jìn)H∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH為等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=當(dāng)t=

AN，即3﹣t=2t，t4=﹣（舍去）．

時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)M的右邊，點(diǎn)H在x軸下方，第30頁（共107頁）

∴此時(shí)MH⊥AB，∴t=1．

∴存在點(diǎn)H使MH∥AB，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．

7．如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)（1）求拋物線解析式；

（2）連接OA，過點(diǎn)A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點(diǎn)M是y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)M作MN⊥OM交x軸于點(diǎn)N．問：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣，第31頁（共107頁）

∴拋物線解析式為y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；

（2）延長CA交y軸于D，如圖1，∵A（1，1），∴OA=，∠DOA=45°，∴△AOD為等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直線AD的解析式為y=﹣x+2，解方程組∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =×2×5﹣×2×1 =4；（3）存在．

如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=設(shè)M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△OAC，即

=，（舍去），此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣54）；

=

4，OA=，得

或，則C（5，﹣3），解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△CAO，即=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=

第32頁（共107頁）

解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵M(jìn)N⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣54）或（，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；）或（，﹣）時(shí)，以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似．

8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實(shí)數(shù)）的圖象過點(diǎn)A（﹣2，2），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實(shí)數(shù)）的圖象l經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）求b值；

（3）設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)，過M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB=MC；

（4）在（3）的條件下，請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實(shí)數(shù)）的圖象過點(diǎn)A（﹣2，2），第33頁（共107頁）

∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+1．

（2）∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實(shí)數(shù)）的圖象l經(jīng)過點(diǎn)B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．

（3）證明：過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，如圖1所示． 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2+1），則MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=====x2+1． ∴MB=MC．

（4）相切，理由如下：

過點(diǎn)N作ND⊥x軸于D，取MN的中點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H，交PF于點(diǎn)Q，如圖2所示． 由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．

∵點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，PQ∥MH，∴PQ=MH．

∵ND∥HC，NH∥DC，且四個(gè)角均為直角，∴四邊形NDCH為矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN． ∴以MN為直徑的圓與x軸相切．

第34頁（共107頁）

，，9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，第35頁（共107頁）

∴﹣=3，解得：a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4． 當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）．（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x+4=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）． 將B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+4），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x+4），如圖所示． ∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD?OB=×8?（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0，∴當(dāng)x=4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積是16． ∵0＜x＜8，∴存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，最大面積是16．

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|． 又∵M(jìn)N=3，∴|﹣m2+2m|=3．

第36頁（共107頁）

當(dāng)0＜m＜8時(shí)，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）或（6，4）； 當(dāng)m＜0或m＞8時(shí)，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+

2，﹣1）或（4+2，﹣

﹣1）．，﹣∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4﹣2綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4﹣2﹣1）．

﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+

210．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（6，0）、C（﹣2，0），∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），第37頁（共107頁）

將點(diǎn)A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設(shè)P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?（AG+BM）=PN?OB

=×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+，∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；

第38頁（共107頁）

（3）如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90°，若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，∴PD=﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）=﹣a2+3a，PE=2|2﹣a|，∴﹣a2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，3﹣5）． 所以P（4，6）或P（5﹣

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

第39頁（共107頁）

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）； 當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣4．

過點(diǎn)Q作QE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，如圖1所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t﹣2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+． ∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，△PBQ的面積取最大值，最大值為．

第40頁（共107頁）

（3）當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，t=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣1）．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．

∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2． ∵0＜m＜3，∴在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（2，﹣）．

第41頁（共107頁）

12．綜合與探究 如圖，拋物線y=

x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時(shí)QF有最大值．

【解答】解：（1）當(dāng)y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0），當(dāng)x=0，y=∴C（0，﹣4）；（2）AC==5，x﹣4=﹣4，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，易得直線BC的解析式為y=x﹣4，設(shè)Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），當(dāng)CQ=CA時(shí)，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣4）；，m2=﹣

（舍去），此時(shí)Q當(dāng)AQ=AC時(shí)，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）；

第42頁（共107頁）

當(dāng)QA=QC時(shí)，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，（舍去），﹣4）或（1，﹣3）；

（3）解：過點(diǎn)F作FG⊥PQ于點(diǎn)G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC為等腰直角三角形

∴∠OBC=∠QFG=45

∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC． ∴=，即=，F(xiàn)Q，F(xiàn)Q=

FQ，∴PG=FG=?∴PQ=PG+GQ=∴FQ=PQ，F(xiàn)Q=FQ+設(shè)P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），則Q（m，m﹣4），∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m，∴FQ=∵﹣（﹣m2+m）=﹣＜0，（m﹣2）2+

∴QF有最大值．

∴當(dāng)m=2時(shí)，QF有最大值．

第43頁（共107頁）

13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2）．（1）若點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．

①求拋物線的解析式；

②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2），∴c=2． 又∵點(diǎn)（﹣∴a（﹣∴2a﹣，0）也在該拋物線上，）+c=0，）2+b（﹣b+2=0（a≠0）．

（2）①∵當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大； 同理：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，∴b=0．

∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B、C，∴△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°，第44頁（共107頁）

∴△ABC為等邊三角形．

設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D，則BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC?cos30°=，OD=OC?sin30°=1．，﹣1）． 不妨設(shè)點(diǎn)C在y軸右側(cè)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（∵點(diǎn)C在拋物線上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2．

②證明：由①可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，﹣直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三點(diǎn)共線，∴x1≠0，x2≠0，且∴﹣x1+=﹣x2+，，﹣

+2）． =，+2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，﹣

+2）．

∴x1﹣x2=﹣∴x1x2=﹣2，即x2=﹣∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N′，則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（∵點(diǎn)P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，∴OP=2OA=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）． 設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，﹣∴﹣，﹣+2）．

+2），+2=k2x1+4，第45頁（共107頁）

∴k2=﹣，∴直線PM的解析式為y=﹣x+4．

∵﹣?+4==﹣+2，∴點(diǎn)N′在直線PM上，∴PA平分∠MPN．

14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點(diǎn)O和點(diǎn)F（10，0），與對稱軸l交于點(diǎn)E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點(diǎn)M，N．當(dāng)矩形ABCD沿x軸正方向平移，點(diǎn)M，N位于對稱軸l的同側(cè)時(shí)，連接MN，此時(shí)，四邊形ABNM的面積記為S；點(diǎn)M，N位于對稱軸l的兩側(cè)時(shí)，連接EM，EN，此時(shí)五邊形ABNEM的面積記為S．將點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．

第46頁（共107頁）

（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)t=0時(shí)，求S△OBN的值；

（3）當(dāng)矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時(shí)，求S關(guān)于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x．

（2）當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，），∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN?OB=

．

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)（圖1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+1，0），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（AM+BN）?AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，=﹣t2+t+，=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，∴當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值，最大值為；

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)（圖2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+1，0），第47頁（共107頁）

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+=﹣=﹣∵﹣t2+t﹣，t2+t﹣），（t﹣）2+＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為∵=＜，．

∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值是．

15．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

第48頁（共107頁）

（2）已知點(diǎn)F（0，），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由拋物線過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）可設(shè)解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點(diǎn)C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣2），設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：解得：，∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），則QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，第49頁（共107頁）

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當(dāng)﹣m2+m+4=時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形；

（3）如圖所示：

∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：

①當(dāng)∠DOB=∠MBQ=90°時(shí)，△DOB∽△MBQ，則===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，第50頁（共107頁）

第四篇：2018年中考菱形壓軸題

2018年中考菱形 壓軸題

一．解答題（共19小題）

1．如圖，兩個(gè)全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進(jìn)行如下變換：

（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)），連接AF、AD、BD．請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

2．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以這兩個(gè)交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸上一點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0）、（3，0），且這條拋物線的“拋物菱形”是正方形，求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60° ①求“拋物菱形OABC”的面積．

②將直角三角板中含有“60°角”的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，兩邊所在直線與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值，若存在，求出此時(shí)△OEF的面積；若不存在，說明理由．

3．如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，y軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)A（3，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（6，0）．（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）如果一次函數(shù)圖象與y軸相交于點(diǎn)C，E是拋物線上OA段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點(diǎn)D，∠DOE=∠EDA，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是線段AC延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于F，以點(diǎn)O、C、M、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為菱形？若能，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

4．如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，QD⊥OC交BC于點(diǎn)D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形OEAE′是菱形？（3）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PB∥OD？

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出

發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，在矩形ABCD內(nèi)（包括其邊界）是否存在點(diǎn)H，使以B，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時(shí)菱形的周長；若不存在，請說明理由．

6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y的正半軸于點(diǎn)C，連接BC，且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)D為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)DE=d，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸交x軸于點(diǎn)G，連接DF，過D作DH⊥DF交FG于點(diǎn)H，點(diǎn)M為對稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)且tan∠HDN=，當(dāng)四邊形DHMN為菱形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

7．已知拋物線y=ax2+bx+8（a≥1）過點(diǎn)D（5，3），與x軸交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B、C均在y軸右側(cè)）且BC=2，直線BD交y軸于點(diǎn)A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)N，使△ABN與△BCD相似？若存在，求出點(diǎn)A、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）在直線BD上是否存在一點(diǎn)P和平面內(nèi)一點(diǎn)Q，使以Q、P、B、C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

8．已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)G是對稱軸上一點(diǎn)，求當(dāng)△GAB周長最小時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)P，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，試問：在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

9．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ=MN時(shí)，求菱形對角線MN的長．

10．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)C（0，﹣8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，將△EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，作直線CD，點(diǎn)M是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

11．如圖，?ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B，D都在拋物線y=tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使以A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是直角三角形？

12．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線x=上（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，若M點(diǎn)是CD所在指向下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長度為L，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，連接BD，點(diǎn)P在拋物線上，若△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，請求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

13．如圖，直線y=x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+

（其中a、b為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為對稱軸與直線BC的交點(diǎn)．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線上存在點(diǎn)P，使得△DPB∽△ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q為點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以Q、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

15．如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．（1）求

拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①當(dāng)四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請判斷OEAF是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（4）在（3）①的條件下，當(dāng)四邊形OEAF為菱形時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上移動(dòng)，則點(diǎn)P到直線OE的最大距離是

．

16．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三個(gè)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)E（m，n）是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當(dāng)四邊形OEBF的面積為24時(shí)，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

17．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）若點(diǎn)D是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E，求DE的最大值，并求出此時(shí)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，DE取最大值時(shí)，點(diǎn)P在直線AB上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

18．如圖，拋物線y=﹣x2﹣

x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)E在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)的時(shí)間為t秒，GF的長度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)E與點(diǎn)O、C重合的情況），連接CF，BG，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCFG為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCFG是否菱形？請說明理由．

19．如圖，已知拋物線y=ax2+c過點(diǎn)（﹣2，2），（4，5），過定點(diǎn)F（0，2）的直線l：y=kx+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系（＞、＜、=），并證明你的判斷；

（3）P為y軸上一點(diǎn)，以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)P（0，m），求自然數(shù)m的值；

（4）若k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBF的最大面積；若不存在，請說明理由．

2018年04月19日191****7496的初中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一．解答題（共19小題）

1．如圖，兩個(gè)全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進(jìn)行如下變換：

（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)），連接AF、AD、BD．請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

【解答】解：（1）S△ABC=S四邊形AFBD，理由：由題意可得：AD∥EC，則S△ADF=S△ABD，故S△ACF=S△ADF=S△ABD，則S△ABC=S四邊形AFBD；

（2）△ABC為等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F為BC的中點(diǎn)，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四邊形AFBD為平行四邊形，∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC，∴平行四邊形AFBD為矩形，∵∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF=BC=BF，∴四邊形AFBD為正方形；

（3）如圖3所示：

由（2）知，△ABC為等腰直角三角形，AF⊥BC，設(shè)CF=k，則GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=sin∠CGF===

k，．

2．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以這兩個(gè)交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸上一點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0）、（3，0），且這條拋物線的“拋物菱形”是正方形，求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60° ①求“拋物菱形OABC”的面積．

②將直角三角板中含有“60°角”的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，兩邊所在直線與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值，若存在，求出此時(shí)△OEF的面積；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0）、（3，0），四邊形OABC是正方形，∴A（1，2）或（1，﹣2），當(dāng)A（1，2）時(shí)，解得：

當(dāng)A（1，﹣2）時(shí)解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣；（2）①∵由拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b，∵∠OAB=60°，∴A（，b），b=﹣（）2+b，解得：b=

2，代入y=﹣x2+bx得：∴OB=2，AC=6，∴“拋物菱形OABC”的面積=OB?AC=6②存在；

；

當(dāng)三角板的兩邊分別垂直與AB和BC時(shí)三角形OEF的面積最小，∵OE⊥AB，∴∠EOB==30°，同理∠BOF=30°，∵∠EOF=60°

∴OB垂直EF且平分EF，∴三角形OEF是等邊三角形，∵OB=2∴OE=3，∴OE=OF=EF=3，∴△OEF的面積=

3．如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，y軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)A（3，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（6，0）．（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）如果一次函數(shù)圖象與y軸相交于點(diǎn)C，E是拋物線上OA段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點(diǎn)D，∠DOE=∠EDA，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是線段AC延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于F，以點(diǎn)O、C、M、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為菱形？若能，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

．，【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，把點(diǎn)A（3，3）代入得3=a×32，解得a=； 設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（3，3）、點(diǎn)B（6，0）代入得，解得，所以二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式分別為y=x2，y=﹣x+6；

（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），∵DE∥y軸，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC?DE，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a2），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是拋物線上OA段上一點(diǎn)，∴0＜a＜3，∴a=，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）；

（3）以點(diǎn)O、C、M、F為頂點(diǎn)的四邊形不能為菱形．理由如下：

如圖，過O點(diǎn)作OF∥AC交拋物線于F，過F點(diǎn)作FM∥y軸交AC延長線于M點(diǎn)，交x軸于H點(diǎn)，則四邊形OCMF為平行四邊形，∵OC=OB=6，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF為等腰直角三角形，∴HO=HF，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四邊形OCMF不為菱形．

4．如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，QD⊥OC交BC于點(diǎn)D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形OEAE′是菱形？（3）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PB∥OD？

【解答】解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)y=ax2+2，∵點(diǎn)C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：a=﹣，∴拋物線為；y=﹣x2+2；

（2）如果四邊形OEAE′是菱形，則AO與EE′互相垂直平分，∴EE′經(jīng)過AO的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得： 1=﹣x2+2，解得：x=±，∵點(diǎn)E在第一象限，∴點(diǎn)E為（，1），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，∴BC的解析式為：y=﹣x+3，將E點(diǎn)代入y=ax，可得出EO的解析式為：y=由，x，得：，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（∴當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），0）時(shí)，四邊形OEAE′是菱形；

（3）法一：設(shè)t為m秒時(shí)，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO，∴=，由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，又∵點(diǎn)D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m，因此：=，解得：m=，經(jīng)檢驗(yàn)：m=是原分式方程的解，∴當(dāng)t=秒時(shí)，PB∥OD．

法二：作BH⊥OC于H，則BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知DQ=CQ，設(shè)t為m秒時(shí)PB∥OE，則△ABP∽△QOD，∴∴==，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，解得m=，經(jīng)檢驗(yàn)m=是方程的解，∴當(dāng)t為秒時(shí)，PB∥OD．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，在矩形ABCD內(nèi)（包括其邊界）是否存在點(diǎn)H，使以B，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時(shí)菱形的周長；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題意得，頂點(diǎn)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4）． 設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4（a≠0），∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（﹣3，0），代入y=a（x+1）2+4 可求得a=﹣1

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．

（2）由題意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC． ∴==2，∴PE=DP=t．

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣1﹣t，AF=2﹣t．

將x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4． ∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t． 如圖1所示：連接BG．

S四邊形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四邊形BDGQ=BQ?AF+EG?（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t． =﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．

∴當(dāng)t=2時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2．（3）存在． ∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2∴cos∠BDC=∵BQ=DP=t，∴DE=t． ．

．

如圖2所示：當(dāng)BE和BQ為菱形的鄰邊時(shí)，BE=QB．

∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=

2﹣

t，解得t=20﹣8．

．

∴菱形BQEH的周長=80﹣32如圖3所示：當(dāng)BE為菱形的對角時(shí)，則BQ=QE，過點(diǎn)Q作QM⊥BE，則BM=EM．

∵M(jìn)B=cos∠QBM?BQ，∴MB=∴BE=t． t．

∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=

．

或80﹣32

．

．

∴菱形BQEH的周長為綜上所述，菱形BQEH的周長為

6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y的正半軸于點(diǎn)C，連接BC，且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)D為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)DE=d，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸交x軸于點(diǎn)G，連接DF，過D作DH⊥DF交FG于點(diǎn)H，點(diǎn)M為對稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)且tan∠HDN=，當(dāng)四邊形DHMN為菱形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）對于拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．設(shè)D（t，﹣t2+2t+3）．

∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直線BC的解析式為y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DR?cos45°=﹣

t2+

t．

（3）如圖3中，∵四邊形DHMN是菱形，點(diǎn)H在對稱軸上，∴D、M關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)N在對稱軸上，設(shè)DM交FH于Q，作HK⊥DN于K． ∵tan∠HDK==，設(shè)HK=12k，DK=5k，則DH=

=13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH=∴QN=QH=2k，=

=

4k，∵S△DNH=?NH?DQ=?DN?HK，∴DQ=3，=，∴tan∠QDH=

∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵拋物線的頂點(diǎn)F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，=，∴QN=1，∴N（1，7．已知拋物線y=ax2+bx+8（a≥1）過點(diǎn)D（5，3），與x軸交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B、C均在y軸右側(cè)）且BC=2，直線BD交y軸于點(diǎn)A．（1）求拋物線的解析式；

（2）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)N，使△ABN與△BCD相似？若存在，求出點(diǎn)A、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）在直線BD上是否存在一點(diǎn)P和平面內(nèi)一點(diǎn)Q，使以Q、P、B、C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．）．

【解答】解：

（1）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，0），則x1、x2是方程ax2+bx+8=0的兩根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴拋物線解析式為y=x2﹣6x+8；

（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），設(shè)直線BD解析式為y=kx+s，把B、D坐標(biāo)代入可得∴直線BD解析式為y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上時(shí)，設(shè)N（x，0），則點(diǎn)N應(yīng)在點(diǎn)B左側(cè)，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3，解得，∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，當(dāng)△BCD∽△BNA時(shí)，則有（，0）；

=，即

=，解得x=，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)△BCD∽△BAN時(shí)，則有為（﹣4，0）；

=，即=，解得x=﹣4，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)②當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，設(shè)N（0，y），則點(diǎn)N應(yīng)在A點(diǎn)上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，當(dāng)△BCD∽△ABN時(shí)，則有（0，4）；

當(dāng)△BCD∽△ANB時(shí)，則有為（0，）；

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；

=，即=，解得y=4，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為

=，即=，解得y=﹣，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)（3）∵點(diǎn)P在直線BD上，∴可設(shè)P（t，t﹣2），∴BP=

=

|t﹣2|，PC=

=，∵以Q、P、B、C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，∴有BC為邊或BC為對角線，當(dāng)BC為邊時(shí)，則有BP=BC，即坐標(biāo)為（2+，）或（2﹣

|t﹣2|=2，解得t=2+，）； |t﹣2|=，解得t=3，此時(shí)P或t=2﹣，此時(shí)P點(diǎn)當(dāng)BC為對角線時(shí)，則有BP=PC，即點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2+1）．，）或（2﹣，）或（3，8．已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)G是對稱軸上一點(diǎn)，求當(dāng)△GAB周長最小時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)P，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，試問：在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）由題意可求，A（0，2），B（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）． 設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），把點(diǎn)A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣4）（x+1）=（2）如圖1，物線y=的對稱軸為：x=，由點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于直線：x=的對稱點(diǎn)，所以直線AC和直線x=的交點(diǎn)即為△GAB周長最小時(shí)的點(diǎn)G，設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，把A（0，2），點(diǎn)C（4，0）代入得：．，解得：所以：y=，x+2，當(dāng)x=時(shí)，y=，所以此時(shí)點(diǎn)G（，）；（3）如圖2

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），證明Q1：過點(diǎn)Q1作Q1M⊥x軸，垂足為M，由題意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，）；（4）存在

點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，﹣2），（9．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ=MN時(shí)，求菱形對角線MN的長．，2），（﹣，2），（，2）．

【解答】解：（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣6，∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)F（x，x2﹣2x﹣6），則FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，則AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴=，即

==，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有點(diǎn)坐標(biāo)為（7，）；

=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此進(jìn)F當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，則有F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣）；

=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此進(jìn)綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，）或（5，﹣）；

（3）∵點(diǎn)P在x軸上，∴由菱形的對稱性可知P（2，0），如圖2，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，設(shè)T為菱形對角線的交點(diǎn)，∵PQ=MN，∴MT=2PT，設(shè)PT=n，則MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M(jìn)在拋物線上，∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=+1；

或n=

（舍去），當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，同理可設(shè)PT=n，則M（2+2n，﹣n），∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=﹣1；

+1或

﹣1．

或n=

（舍去），綜上可知菱形對角線MN的長為

10．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)C（0，﹣8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，將△EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，作直線CD，點(diǎn)M是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：解得：a=1，c=﹣8．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴拋物線的對稱軸為x=1，∴E（1，0）．

∵將△EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對稱軸上，∴EP為∠BEF的角平分線． ∴∠BEP=45°．

設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．

將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=x=．

或，∵點(diǎn)P在第四象限，∴x=∴y=． ．

∴P（，）．

（3）設(shè)CD的解析式為y=kx﹣8，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．

設(shè)直線CB的解析式為y=k2x﹣8，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2． ∴直線BC的解析式為y=2x﹣8．

將x=1代入直線BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣a﹣8）．

當(dāng)MF=MB時(shí)，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．，）． ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣當(dāng)FM=FB時(shí)，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）． 綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣

11．如圖，?ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B，D都在拋物線y=tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使以A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是直角三角形？

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解答】解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5． ∴tan∠ACB=∴． =，由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（∴）2+OC2=52，解得OC=±4（負(fù)值舍去）．，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．

∴

解之得，x2+x+5； ∴拋物線的解析式為y=

（2）存在．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC=AB=CD． 又∵AD≠CD，∴當(dāng)以A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，AC=CD=DE=AE． 由對稱性可得，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）當(dāng)x=4時(shí)，y=x2+x+5=6，所以點(diǎn)（4，6）在拋物線y=

x2+x+5上．

∴存在點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）；

（3）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．

∴當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，∠APQ=90°或∠AQP=90°． ∵∴．，由題意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5． 當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，∴解得，．，．，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，∴∵∴或，解得，．

12．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線x=上（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，若M點(diǎn)是CD所在指向下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長度為L，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)

M的坐標(biāo)；

（3）△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，連接BD，點(diǎn)P在拋物線上，若△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，請求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)在直線x=上，∴﹣=，解得b=﹣∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（0，4），∴c=4，∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x2﹣

x+4；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），則 解得，所以，直線AB的解析式為y=x+4，當(dāng)過點(diǎn)M平行于AB的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到CD的距離最大，此時(shí)MN的值最大，此時(shí)，設(shè)過點(diǎn)M的直線解析式為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2﹣x+4=x+m，整理得，2x2﹣14x+12﹣3m=0，△=b2﹣4ac=（﹣14）2﹣4×2×（12﹣3m）=0，解得m=﹣此時(shí)，x=﹣y=×﹣，=，=，）使MN的值最大． 所以，點(diǎn)M（（3）四邊形ABCD是菱形時(shí)，點(diǎn)C、D在該拋物線上． 理由如下：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=5，∴D（2，0），∴直線BD的解析式為y=﹣2x+4，①當(dāng)B為Rt△PBD 直角頂點(diǎn)時(shí)，直線PB的解析式為y=x+4，由解得或，∴P（，）．

②當(dāng)D為Rt△PBD 直角頂點(diǎn)時(shí)，直線PD的解析式為y=x﹣1，由解得或，∴P（，），）或（，）． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（13．如圖，直線y=x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）．（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

【解答】解：（1）∵BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，C（3，0），∴B的橫坐標(biāo)為3．

將x=3代入y=x+1得：y=． ∴B（3，）．

將x=0代入y=x+1得：y=1． ∴A（0，1）．

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：∴拋物線的解析式為y=﹣x2+，解得：b=

x+1．，c=1．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則N（t，﹣t2+∴S=（﹣t2+

t+1），M（t，t+1）．

t+1）﹣（t+1）=﹣t2+

t．（0＜t＜3）．

（3）∵M(jìn)N∥BC，∴當(dāng)MN=NB時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形． ∴﹣t2+t=，解得t=1或t=2．

∴當(dāng)t=1或t=2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形． 當(dāng)t=1時(shí)，M（1，）．

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：MC=∴MN=MC．

∴四邊形BCMN為菱形． 當(dāng)t=2時(shí)，M（2，2），則MC=∴MC≠M(fèi)N．

∴此時(shí)四邊形BCMN不是菱形．

綜上所述，當(dāng)t=1時(shí)，四邊形BCMN為菱形．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+

（其中a、b為常數(shù)，a≠

=

． =．

0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為對稱軸與直線BC的交點(diǎn)．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線上存在點(diǎn)P，使得△DPB∽△ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q為點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以Q、B、M、N為頂點(diǎn)的四

邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+

中，得：，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為y=﹣

x2+

x+．

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=∴C（0，），．

∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4，AC=2，BC=2∵AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴△ABC為直角三角形．且∠ABC=30°，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+將點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+得：0=3k+，解得：k=﹣，中，x+

．，∴直線BC的解析式為y=﹣當(dāng)x=1時(shí)，y=∴D（1，）．，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣

m2+

m+），如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，則BE=3﹣m，PE=﹣在Rt△ABC中，∵△DPB∽△ACB，∴∠ABC=∠DBP=30°，∴∠PBE=60°，則tan∠PBE=，即

m2+

m+，=，解得：m=2或m=3（舍），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）．

（3）根據(jù)題意，如圖2，直線BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，∴kOQ=，x，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，a），a），設(shè)直線OQ解析式為y=則OQ的中點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，將點(diǎn)Q代入直線BC的解析式為y=﹣解得：a=，∴Q（，則BQ=），=3，x+，得：﹣a+=a，①當(dāng)BQ是四邊形BQNM的邊時(shí)，∵四邊形BQNM是菱形，∴NQ∥BC，且NQ=BQ，∴kNQ=kBC=﹣，（x﹣）+，即y=﹣

x+

2，∴直線NQ解析式為y=﹣設(shè)N（m，﹣m+2），由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣解得：m=，）、（m+2﹣）2=9，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（若MQ∥BN，且BN=BQ，）；

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知BM垂直平分NQ，∴點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，即N（0，0）； ②當(dāng)BQ為四邊形BMQN的對角線時(shí)，∵四邊形BMQN是菱形，∴BQ、MN互相垂直平分，由B（3，0）、Q（，∴kMN=則yMN=，（x﹣）+

=

x，）可得yBQ=﹣

x+

3，BQ中點(diǎn)H（，），由可得點(diǎn)M（，），設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，n），由M、N的中點(diǎn)H（，）可得：，解得：，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（（3，）．），）或（，）或（0，0）或15．如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①當(dāng)四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請判斷OEAF是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（4）在（3）①的條件下，當(dāng)四邊形OEAF為菱形時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上移動(dòng)，則點(diǎn)P到直線OE的最大距離是 0.1 ．

【解答】解：（1）由題可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣）2+k，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4），∴．

解得；．

∴拋物線的解析式為y=（x﹣）2﹣，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．

（2）過點(diǎn)E作EH⊥OA，垂足為H，如圖1，由（x﹣）2﹣=0得x1=1，x2=6．

∵點(diǎn)E（x，y）是拋物線上位于第四象限一動(dòng)點(diǎn)，∴1＜x＜6，﹣≤y＜0．

∵四邊形OEAF是平行四邊形，∴△OAE≌△AOF．

∴S=2S△OAE=2×OA?EH=OA?EH =﹣6y

=﹣6×[（x﹣）2﹣=﹣4（x﹣）2+25．

∴四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=﹣4（x﹣）2+25，其中1＜x＜6．

]

（3）①當(dāng)S=24時(shí)，﹣4（x﹣）2+25=24，解得x1=4，x2=3． Ⅰ．當(dāng)x=4時(shí)，y=×（4﹣）2﹣

=﹣4，則點(diǎn)E（4，﹣4）．

過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，則有OH=4，EH=4，AH=2． ∵EH⊥x軸，∴OE=4，AE=2．

∴OE≠AE．

∴平行四邊形OEAF不是菱形． Ⅱ．當(dāng)x=3時(shí)，y=×（3﹣）2﹣

=﹣4，則點(diǎn)E（3，﹣4）．

過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖3，則有OH=3，EH=4，AH=3． ∵EH⊥x軸，∴OE=5，AE=5． ∴OE=AE．

∴平行四邊形OEAF是菱形．

綜上所述；當(dāng)點(diǎn)E為（4，﹣4）時(shí)，平行四邊形OEAF不是菱形；當(dāng)點(diǎn)E為（3，﹣4）時(shí)，平行四邊形OEAF是菱形． ②不存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形． 理由如下：

當(dāng)點(diǎn)E在線段OA的垂直平分線上時(shí)，EO=EA，則平行四邊形OEAF是菱形，如圖4，此時(shí)，xE==3，yE=﹣4，點(diǎn)E為（3，﹣4）．

則有OA=6，EF=8． ∵OA≠EF，∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形．

（4）在（3）①的條件下，當(dāng)四邊形OEAF為菱形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，﹣4）． 設(shè)直線OE的解析式為y=mx，則有3m=﹣4，解得m=﹣． ∴直線OE的解析式為y=﹣x．

設(shè)與直線OE平行且與拋物線y=（x﹣）2﹣x+n，相切的直線l的解析式為y=﹣

∴方程（x﹣）2﹣=﹣x+n即2x2﹣10x+12﹣3n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

∴（﹣10）2﹣4×2×（12﹣3n）=0． 解得：n=﹣．

∴直線l的解析式為y=﹣x﹣．

設(shè)直線l與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)O作OG⊥MN．垂足為G，如圖5，由﹣x﹣=0得x=﹣，則點(diǎn)M（﹣，0）；由x=0得y=﹣，則點(diǎn)N（0，﹣）． 在Rt△MON中，∵OM=，ON=，∴MN=∴OG===0.1．

．

∴直線OA與直線l之間的距離是0.1． ∴點(diǎn)P到直線OE的最大距離是0.1． 故答案為：0.1．

16．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三個(gè)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)E（m，n）是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當(dāng)四邊形OEBF的面積為24時(shí)，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

【解答】（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4）代入y=ax2+bx+c得：解得：a=，b=﹣，c=4，x+4．，∴拋物線的解析式是y=x2﹣

（2）解：∵E在拋物線y=x2﹣

x+4上，E（m，n），∴E的坐標(biāo)是（m，m2﹣

m+4），∵E在第四象限，且四邊形OEBF是平行四邊形，OB為對角線，∴平行四邊形OEBF的面積等于2S△OBE，即S=2××OB×（﹣n），∴S=2××6×（﹣m2+∵A（1，0），B（6，0），∴m的范圍是1＜m＜6，答：四邊形OEBF的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式是S=﹣4m2+28m﹣24，自變量m的取值范圍是1＜m＜6．

m﹣4）=﹣4m2+28m﹣24，（3）解：根據(jù)題意得：S=﹣4m2+28m﹣24=24，即m2﹣7m+12=0，解得：m=3，m=4，當(dāng)m=3時(shí)，y=x2﹣當(dāng)m=4時(shí)，y=x2﹣

x+4=﹣4，x+4=﹣4，=5，∵當(dāng)O（0，0），E（3，﹣4），B（6，0）時(shí)，由勾股定理得：OE=BE=即OE=BE，∴此時(shí)四邊形OEBF是菱形；

∵當(dāng)O（0，0），E（4，﹣4），B（6，0）時(shí)，由勾股定理得：OE=BE==

2，=4=5，即OE和BE不相等，∴此時(shí)四邊形OEBF不是菱形；

綜合上述，當(dāng)四邊形OEBF的面積為24時(shí)，四邊形OEBF不是菱形．

17．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）

兩點(diǎn)．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）若點(diǎn)D是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E，求DE的最大值，并求出此時(shí)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，DE取最大值時(shí)，點(diǎn)P在直線AB上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）兩點(diǎn)，∴，λ

解得：，．

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣1，直線的解析式為：y=x﹣1；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（x，x2﹣x﹣1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（x，x﹣1），∴ED=（x﹣1）﹣（x2﹣x﹣1）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∴DE的最大值為：2，∴此時(shí)D的坐標(biāo)為：（2，﹣）；

（3）當(dāng)DE取最大值時(shí)，E的坐標(biāo)為：（2，），∴DE=2，

第五篇：中考化學(xué)壓軸題 實(shí)驗(yàn)探究題

中考化學(xué)壓軸題-實(shí)驗(yàn)探究題

[提出問題]

該淡黃色固體的化學(xué)成分是什么？

[查閱資料]

（1）硫單質(zhì)是一種淡黃色固體，難溶于水，在空氣中點(diǎn)燃硫單質(zhì)，生成一種無色、有刺激性氣味的氣體。

（2）過氧化鈉（Na2O2）是一種淡黃色固體，能與水反應(yīng)，生成氣體并放出大量的熱。

[設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案]

方案一：取少量該固體粉末于試管中，加

2mL

水，振蕩并觀察現(xiàn)象。方案二：在燃燒匙里放少量該固體，在酒精燈上加熱，觀察現(xiàn)象。

比較以上兩方案，你認(rèn)為的最佳方案是，理由是（從環(huán)保、操作等角度分析）。

[實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證并得出結(jié)論]

小明向盛有少量該固體的試管中加入

2mL

水，立刻觀察到有無色氣泡產(chǎn)生，并且驗(yàn)證出該反應(yīng)同時(shí)生成了氫氧化鈉（NaOH）。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，確定該淡黃色粉末為過氧化鈉。

小明想對生成的氣體成分判斷，他提出了以下兩種假設(shè)：

①該氣體是

CO

②該氣體是

O2

你

認(rèn)

為

上

述

假

設(shè)

哪

個(gè)

更

合理？

并

說

明

選

擇的理由。

請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證你的合理假設(shè)（寫出簡要操作步驟、實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和結(jié)論）。

操作步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

結(jié)論

操作步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

結(jié)論

取少量固體粉末于試管中，向試管中加入

2mL

水，將帶火星的木條伸入試管中

有氣泡，木條復(fù)燃

該氣體為氧氣

2．為進(jìn)一步研究高錳酸鉀的分解產(chǎn)物，某興趣小組同學(xué)查閱資料，并取一定質(zhì)量的高錳酸鉀加熱使之完全分解，然后分別進(jìn)行了以下三個(gè)實(shí)驗(yàn)。

【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】：

編

號(hào)

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

取反應(yīng)后固體剩余物0.2g

加入5mL

6%的H2O2

溶液中

劇烈反應(yīng)，放出大量熱量，產(chǎn)生大量氣體

固體剩余物中的MnO2

對

H2O2

分解有催化作

用

取

0.2gMnO2

加

入

5mL

a

（H2O2

溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)）的H2O2

溶液中

平穩(wěn)反應(yīng)，放出熱量，持續(xù)產(chǎn)生氣體

MnO2

對

H2O2

分解有催化作用

取反應(yīng)后固體剩余物1.0g

加入足量水中，充分溶解，過濾

固體完全溶解，濾紙上無黑色固體

殘余物

固體剩余物中無

b

【實(shí)驗(yàn)分析】

（1）完成上表中的填空內(nèi)容：a、b；

（2）實(shí)驗(yàn)

2的目的是；

（3）同學(xué)們經(jīng)過討論，認(rèn)為實(shí)驗(yàn)

1的結(jié)論不正確，理由是；

【查閱資料】

Ⅰ、KMnO4

受熱分解時(shí)，在某條件下可能發(fā)生以下兩個(gè)反應(yīng)：

①6KMnO4

2K2MnO4+K2Mn4O8+4O2↑

②KMnO4

KMnO2+O2↑

Ⅱ、相對分子質(zhì)量：（KMnO4：158

O2：32）

（4）16gKMnO4

中氧元素的質(zhì)量為

；加熱使之完全分解，若完全發(fā)生反應(yīng)①，生成O2的質(zhì)量為

；若同時(shí)發(fā)生反應(yīng)①②，生成O2的質(zhì)量范圍是。

（保留二位小數(shù)。提示：依據(jù)質(zhì)量守恒定律觀察）

①a：6%

b：KMnO4

分解后的產(chǎn)物中沒有

MnO2

②和實(shí)驗(yàn)

進(jìn)行對比，確定

MnO2的催化作用

③可能是分解后產(chǎn)物中其他物質(zhì)起催化作用

③6.48g

2.16g

2.16g～3.24g

3．張麗同學(xué)欲通過實(shí)驗(yàn)證明“二氧化錳是過氧化氫分解的催化劑”這一命題。她設(shè)計(jì)并完成了下表所示的探究實(shí)驗(yàn)：

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)

驗(yàn)

現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論或總結(jié)

結(jié)論

總結(jié)

實(shí)一

驗(yàn)

取

5mL5%的過氧化氫溶液于試管中，伸入帶火星的木條

有

氣

泡產(chǎn)生，木條

不

復(fù)燃

過氧化氫分解產(chǎn)生氧氣，但反應(yīng)速率。

反應(yīng)的化學(xué)方程式為：。

二

氧

化錳

是

過

實(shí)二

驗(yàn)

向盛水的試管中加入二

氧化錳，伸入帶火星的木條

沒

有

明顯現(xiàn)象

氧

化

氫

分

解的催化劑

實(shí)三

驗(yàn)

二氧化錳能加快過氧化氫的分解

請你幫張麗同學(xué)填寫上表中未填完的空格。

（1）在張麗的探究實(shí)驗(yàn)中，“實(shí)驗(yàn)一”和“實(shí)驗(yàn)二”起的作用是。

（2）小英同學(xué)認(rèn)為僅由上述實(shí)驗(yàn)還不能完全得出表內(nèi)的“總結(jié)”，她補(bǔ)充設(shè)計(jì)了兩個(gè)方面的探究實(shí)驗(yàn)，最終完成了對“命題”的實(shí)驗(yàn)證明。

第一方面的實(shí)驗(yàn)操作中包含了兩次稱量，其目的是：；

第二方面的實(shí)驗(yàn)是利用“實(shí)驗(yàn)三”反應(yīng)后試管內(nèi)的剩余物繼續(xù)實(shí)驗(yàn)。接下來的實(shí)驗(yàn)操作是：。

實(shí)驗(yàn)步驟和方法

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

實(shí)驗(yàn)一：取一小段光亮銅片，放

推

知

入試管內(nèi)，然后用試管夾夾持試

銅片變黑

（填甲、乙、丙）的錯(cuò)

管，放在酒精燈的外焰部位加熱。

誤。說明黑色物質(zhì)的出

現(xiàn)

可能

與

空

氣中的有關(guān)。

實(shí)驗(yàn)二：取一試管，將一小段光

取下膠塞前的現(xiàn)象：

亮銅片放入試管中，塞上膠塞，并用注射器抽出試管內(nèi)的空氣。取下膠塞后的現(xiàn)

乙的猜想正確

封好膠塞，并加熱，趁熱取下膠

象：

塞，觀察現(xiàn)象。

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)驗(yàn)主要現(xiàn)象

①

取少量原料樣品于試管中，加入一定量的水充分溶解

溶液變渾濁，且有明顯放熱

②

靜置一段時(shí)間后，過濾，向?yàn)V液中加入過量的試劑

A

無明顯變化

③

向白色固體中加入試劑

B，將產(chǎn)生的氣體通入試劑

A

白色固體消失，有氣泡產(chǎn)生，試劑

A

變渾濁

實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

實(shí)驗(yàn)一

有少量氣泡木條不復(fù)燃

常

溫

下

過

氧

化

氫溶

液

分

解

速

率

很慢．

實(shí)驗(yàn)二

在裝有過氧化氫溶液的試管中加入少量

Al2

O3，然后將帶火星的木條伸入試管中

產(chǎn)生大量的氣泡木條復(fù)燃

步驟③現(xiàn)象

步驟⑥結(jié)果

步驟⑦操作

結(jié)論，帶火星的木條復(fù)燃

在過氧化氫溶液的分解反應(yīng)中，氧化銅也能作催化劑

第一組

第二組

第三組

第四組

物質(zhì)

MgSO4

Na2SO4

(NH4)2SO4

H2SO4

溶解度

35．1g

19．5g

75．4g

與水任意比互

溶

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

①取該溶液少許于試管中，向其中滴加幾滴

溶液

溶液中有白色沉淀生成猜想①成立

②用玻璃棒蘸取少許原溶液滴在pH

試紙上，并跟標(biāo)準(zhǔn)比色卡對照

溶液

pH

小于

猜想③成立

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

取該溶液少許于試管中，猜想④成立，該反應(yīng)的化學(xué)方程式為

實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和結(jié)論

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

（1）取少量固體于試管中，加適量水振蕩后靜置，再滴幾滴無色酚酞試液．

溶液變紅

剩余固體成分中一定含有

．（填化學(xué)

式）

（2）

剩余固體成分中

一定含有碳酸鈣．

實(shí)驗(yàn)步驟

預(yù)計(jì)現(xiàn)象

預(yù)計(jì)結(jié)論

取少量反應(yīng)后的溶液于試管中，逐滴加入碳酸鈉溶液。

猜想（B）正確

猜想（C）正確

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

取適量該漂白液與燒杯中，該漂白液已完全失效

實(shí)驗(yàn)步驟

預(yù)期實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)?zāi)康幕蝾A(yù)期結(jié)論

步驟①；取少量該漂白液于試管中，加

入，靜置，觀

察

產(chǎn)生白色沉淀

目的：

步驟②：取上層清液于試管中，觀察

結(jié)論：

猜想成立；否則，另一位同學(xué)猜想成立。

實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

用潔凈干燥的玻璃棒蘸取少量反應(yīng)后的溶液滴在干

燥的pH

試紙上，觀察顏色變化并與標(biāo)準(zhǔn)比色卡對比．

pH

（填“＞”、“=”或“＜”）7

猜想一不成立

實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

操作步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

分別用

A，B，C

三支試管取樣，然后各加入適量碳酸鈉溶液

A

中

B

中

C

中

A

中的物質(zhì)是食鹽水

B

中的物質(zhì)是稀鹽酸

C

中的物質(zhì)是澄清石灰水

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

取少量

M

溶液于試管中，向其

中滴加

猜想①正確，碳酸鈉與其反應(yīng)的化學(xué)

方程式為

實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

取樣于試管中，滴入幾滴稀

鹽酸

沒有氣體產(chǎn)生

“猜想一”不成立

實(shí)驗(yàn)操作

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)結(jié)論

分別取少量濾液于

A、B

兩支試管中，A

中加入

CaCI2

溶液，B

中加入

溶

液

若

A

中產(chǎn)生白色沉

淀，B

中沒有沉淀

“猜想一”成立

“猜想二”成立