第一篇：高等數(shù)學(xué)證明方法

（3）反證法

這種證法是從反面考慮問(wèn)題。先假設(shè)在已知條件成立的情況下，要證的結(jié)論不成立，而后從已知條件出發(fā)，運(yùn)用基本概念和基本定理，通過(guò)邏輯推理導(dǎo)出矛盾（或與已知條件矛盾；或與某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），這樣則否定假設(shè)，從而肯定原結(jié)論正確。

例如，證明不是的多項(xiàng)式.事實(shí)上，利用反證法，設(shè)是的多項(xiàng)式，不妨記此多項(xiàng)式為次多項(xiàng)式，即，則有

于是次多項(xiàng)式有無(wú)窮多個(gè)不同實(shí)根，這與次多項(xiàng)式最多只有個(gè)不同實(shí)根相矛盾，由此證明了不是的多項(xiàng)式.又如，證明不存在（為自然數(shù)）.事實(shí)上，利用反證法，假設(shè)存在且設(shè)，則有

又因?yàn)?所以有 故

這與產(chǎn)生矛盾，因此不存在.（2）分析法

這種方法基本思路是逆著想。先假設(shè)結(jié)論正確，運(yùn)用已有的定義、定理、公式、性質(zhì)，從后向前一步一步地分析，直至推出已知條件，即由結(jié)論找需知，再找需知，??，直至已知。這種“執(zhí)果溯因”的方法，叫做分析法。

分析法是探求證題途徑的重要方法之一。它的優(yōu)點(diǎn)在于思考過(guò)程比較自然，目的明確，較為容易找到證明的思路，但缺點(diǎn)是分析的過(guò)程敘述起來(lái)往往比較繁瑣，因而過(guò)程多在草稿紙上進(jìn)行，不正式寫(xiě)出。在實(shí)際解題時(shí)，特別對(duì)于一些較難的問(wèn)題，常常先用分析法尋找解題的途徑，然后再用綜合法敘述解題過(guò)程，這種方法也可叫做分析綜合法。例如，設(shè)在時(shí)連續(xù)，且；而在時(shí)有單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)，試證在時(shí)是單調(diào)遞增的。事實(shí)上，欲證為單調(diào)遞增，只需證明就行了，而由于 因此就歸結(jié)為證明.利用拉格朗日中值定理及已知條件，有

單調(diào)遞增

因此在時(shí)是單調(diào)遞增的.又如，用極限定義證明一數(shù)列或函數(shù)有已知極限時(shí)，多采用分析綜合法證明。比如證明，其方法如下：，欲使不等式成立，由

所以只需，即成立.取，于是當(dāng)時(shí)，就有，從而保證了希望的不等式成立.綜合以上分析，就有，當(dāng)時(shí)，根據(jù)極限定義，有

高等數(shù)學(xué)中研究基本理論的主要方法是證明問(wèn)題，證明問(wèn)題的方法沒(méi)有固定的程序，證題的技巧又靈活多樣，因而和一般計(jì)算題比較難度較高，不易掌握。下面介紹幾種常用的證明方法，以便在尋求基本思路和探索規(guī)律方面起到一定一定的引導(dǎo)作用，盡可能減少盲目性，提高自覺(jué)性。（1）綜合法

這種方法的基本思路是順著想。由已知條件出發(fā)，運(yùn)用已有的定義、定理、公式、性質(zhì)推導(dǎo)出所要求的結(jié)論。即由條件推可知，再推可知，??，直到結(jié)論。這種“由因?qū)Ч钡姆椒?，叫做綜合法。

運(yùn)用綜合法證明問(wèn)題最廣泛，但在使用這種方法時(shí)，必須注意充分與必要的關(guān)系，每一步都要明確是由什么命題推證什么命題，依據(jù)是什么，這種特點(diǎn)充分表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和邏輯性。

例如，設(shè)，證明.事實(shí)上，由已知條件可知序列有遞推關(guān)系式： 當(dāng)時(shí)，因有

所以為遞減有界序列，故.再對(duì)遞推關(guān)系式關(guān)于取極限，得，解出； 當(dāng)時(shí)，令，則，而 所以

又如，若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)有且，證明.事實(shí)上，由已知條件：不會(huì)恒為零，由上式可得.因此就有

第二篇：高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

摘要：各種不等式就是各種形式的數(shù)量和變量之間的相互比較關(guān)系或制約關(guān)系，因此，不等式很自然地成為分析數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)諸分支學(xué)科中極為重要的工具，而且早已成為 專(zhuān)門(mén)的研究對(duì)象。高等數(shù)學(xué)中存在大量的不等式證明，本文主要介紹不等式證明的幾種 方法，運(yùn)用四種通法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值或最值以及積分中值定理來(lái)解 決不等式證明的問(wèn)題。我們可以通過(guò)這些方法解決有關(guān)的問(wèn)題，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新精神，創(chuàng)新思維，使一些較難的題目簡(jiǎn)單化、方便化。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；不等式；極值；單調(diào)性；積分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（畢業(yè)論文參考網(wǎng)原創(chuàng)論文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

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【摘要】不等式證明是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容，通過(guò)解答考研數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的不等式試題，對(duì)一些常用的不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 輔助函數(shù)； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)就是不等式的證明，大多數(shù)學(xué)生在遇到不等式證明問(wèn)題不知到如何下手，實(shí)際上在許多不等式問(wèn)題都存在一題多解，針對(duì)不等式的證明，以考研試題為例，總結(jié)了幾種證明不等式的方法，即中值定理法、輔助函數(shù)法、泰勒公

式法、函數(shù)的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來(lái)證明不等式首先要熟記各個(gè)中值定理的應(yīng)用條件，可將原不等式通過(guò)變形找到一個(gè)輔助函數(shù)，使其在所給區(qū)間上滿(mǎn)足中值定理的條件，證明的關(guān)鍵是處理好ξ點(diǎn)，分析函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的性質(zhì)即可得到所要結(jié)論，在證明過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)反復(fù)應(yīng)用同一定理或同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理進(jìn)行證明的情況。

例1設(shè)e4e2(b-a)。

解：對(duì)函數(shù)ln2x在［a,b］上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ設(shè)φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2當(dāng)x>e時(shí)，φ′(x)<0，所以φ(x)單調(diào)減少，從而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函數(shù)的單調(diào)性證明，可設(shè)φ(x)=ln2x-4e2x

例2設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，證明在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒為常數(shù)且f(a)≠f(b)，故至少存在一點(diǎn)c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)則在［a,c］上f(x)滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明

輔助函數(shù)方法比較常用，其主要思想是將不等式通過(guò)等價(jià)變形，找到一個(gè)輔助函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，即可證明出結(jié)論。常用的方法是，直接將不等號(hào)右端項(xiàng)移到不等號(hào)左端，另不等號(hào)右端為零，左端即為所求輔助函數(shù)。

例3試證：當(dāng)x>0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：設(shè)f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可見(jiàn)，當(dāng)00，因此有當(dāng)00。又由f′(1)=0及f′(x)是單調(diào)增加的函數(shù)推知，當(dāng)00，因此進(jìn)一步有f(x)≥f(1)=0(00時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4設(shè)b>a>e，證明ab>ba。

分析：要證ab>ba，只需證blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因?yàn)閒′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a時(shí)單調(diào)增加。因此當(dāng)bφa時(shí)，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,則有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)單調(diào)減少，故當(dāng)b>a>e時(shí)，有l(wèi)naa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展開(kāi)式證明

泰勒展開(kāi)式的證明常用的是將函數(shù)f(x)在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)（如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)）進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)分析余項(xiàng)在ξ點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。另外若余項(xiàng)在所給區(qū)間上不變號(hào)，也可將余項(xiàng)舍去而得到不等式。

例5設(shè)f(x)在［0，1］上具有二階可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足條件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非負(fù)常數(shù)，c是（0，1）內(nèi)任意一點(diǎn)，證明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二階可導(dǎo)，應(yīng)考慮用二階泰勒展開(kāi)式。本題涉及證明|f′(x)|≤2a+b2，應(yīng)在特定點(diǎn)x=c處將f(x)按泰勒公式展開(kāi)。

解： 對(duì)f(x)在x=c處用泰勒公式展開(kāi)，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述兩式相減得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因當(dāng)c∈(0,1)時(shí)，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因這里ξ與x有關(guān)，可將其記為ξ(x)，那么當(dāng)令x分別取0和1時(shí)，對(duì)應(yīng)的ξ可分別用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一個(gè)常用的不等式，在證明過(guò)程中我們可以直接利用常用不等式進(jìn)行證明，即方便又快捷。

例6設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0,證明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2?！糺f)〗

證明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函數(shù)圖形的凹凸性進(jìn)行證明

函數(shù)的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數(shù)f(x)，利用函數(shù)f(x)在所給區(qū)間［a,b］的二階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的凹凸性。

f′(x)>0 函數(shù)為凹的,則 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函數(shù)為凸的,則 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，從而證明出結(jié)論。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

類(lèi)似的如：證明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

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第三篇：高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法及考試方法改革方案探討

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高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法及考試方法改革方案探討

高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法及考試方法改革方案探討

三本院校在高等教育大眾化方面發(fā)揮了重大作用，已成為高等教育的重要組成部分。不論三本或是其他高校，高等數(shù)學(xué)都是一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，是各專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課和專(zhuān)業(yè)課必不可少的基礎(chǔ)工具。通過(guò)高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實(shí)際問(wèn)題提供必不可少的數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法；另一方面，培養(yǎng)學(xué)生具有運(yùn)算能力和自學(xué)能力、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析和解決問(wèn)題的能力、初步抽象概括問(wèn)題的能力以及一定的邏輯推理能力。

1存在的問(wèn)題

近幾年，隨著高校辦學(xué)規(guī)模的不斷擴(kuò)張，學(xué)生人數(shù)的迅猛增加，學(xué)生之間的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)領(lǐng)悟?qū)W習(xí)能力和學(xué)習(xí)態(tài)度習(xí)慣的差距也逐步加大。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)及考試考核過(guò)程中出現(xiàn)了如下問(wèn)題：學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)效果差，從而造成了期末考試不及格率過(guò)高、平均分過(guò)低，數(shù)學(xué)應(yīng)用能力不強(qiáng)的現(xiàn)象。為了控制不及格率，往往降低高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要求和考試標(biāo)準(zhǔn)，這種做法不僅對(duì)刻苦學(xué)習(xí)的學(xué)生有失公平，嚴(yán)重打擊了他們學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，而且使不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生形成了依賴(lài)性，更加不愿意學(xué)習(xí)，惡性循環(huán)，嚴(yán)重影響教學(xué)的正常進(jìn)行和學(xué)生能力的全面發(fā)展。學(xué)生差距加大，學(xué)生感覺(jué)難學(xué)，教師感覺(jué)難教，教學(xué)質(zhì)量滑坡已成不爭(zhēng)的事實(shí)。

2目前高校實(shí)行的一些措施及弊端

為解決上述問(wèn)題，必須轉(zhuǎn)變教學(xué)思想觀(guān)念、教學(xué)方法和手段、教學(xué)模式等，不少高校從教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、教學(xué)設(shè)備、考試考核等方面進(jìn)行了積極地探索和大膽的嘗試，也取得了一些較好的效果，如被較多高校接受的正如火如荼進(jìn)行的分層次教學(xué)法等。分層次教學(xué)也有一定的弊端：較難找到一種理想的分組標(biāo)準(zhǔn)；A組的學(xué)生產(chǎn)生自滿(mǎn)情緒，B（或C）組學(xué)生產(chǎn)生自卑，不利于學(xué)生身心健康發(fā)展，同時(shí)為教師教學(xué)工作量和學(xué)校管理工作增加了很大的負(fù)擔(dān)。在考試考核方式上，變期末考試為一錘定音的考核方式，增加平時(shí)成績(jī)

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在總成績(jī)中的比重。但如何打平時(shí)成績(jī)會(huì)有如下問(wèn)題：沒(méi)有具體的標(biāo)準(zhǔn)，難以找出差距，只能用模糊的評(píng)判手段，分?jǐn)?shù)不能做到較精確，打分時(shí)不排除會(huì)帶有教師的感情成分，所以公平性有待商榷。

3教學(xué)方法及考核方法改革方案探討

針對(duì)三本院?？傮w學(xué)生基礎(chǔ)偏差，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的要求低，但部分學(xué)生又有深層次學(xué)習(xí)的需要，除在教材、教學(xué)過(guò)程等方面做一些改革之外，在教學(xué)方法、考核方法提出了如下的方案與措施，并進(jìn)行初步嘗試。

3.1教學(xué)方法上

傳統(tǒng)的分級(jí)分層次教學(xué)是將全體學(xué)生打亂，根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)重新分班，雖提高了教學(xué)效率和效果，但對(duì)學(xué)生心理上造成一定影響，同時(shí)對(duì)教學(xué)資源、師資力量和學(xué)校管理工作要求較高，無(wú)形中增加了很多工作量。根據(jù)學(xué)生個(gè)體差異，因材施教，擬探討、施行“自然班授課+分層習(xí)題課+知識(shí)講座”模式，自然班授課的主要內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中基本概念、性質(zhì)、定理和基本例題，上課過(guò)程中，注意采用多種授課方式，使全體學(xué)生或大部分學(xué)生掌握、具備數(shù)學(xué)思想和解題思想、方法；在一章之后安排一次習(xí)題課，習(xí)題分基本類(lèi)型、中等類(lèi)型、較難綜合類(lèi)型?；绢?lèi)型題目主要是對(duì)一章內(nèi)容主要知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)與練習(xí)，要求所有學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，力爭(zhēng)使所有或絕大部分學(xué)生掌握，同時(shí)使學(xué)生從總體上把握本章的內(nèi)容重點(diǎn)；中等類(lèi)型題目主要是對(duì)本章的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，使大部分學(xué)生理解并熟練掌握本章的內(nèi)容重點(diǎn)，在課堂上做一般講解；較難綜合性的題目主要是對(duì)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行廣度和深度的綜合拓展，這類(lèi)題目作為課后思考題，課堂不做講解，讓學(xué)生通過(guò)課后鉆研，使部分或少部分學(xué)生深刻理解并能靈活運(yùn)用概念、定理、性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。幾章之后，安排合適次數(shù)的知識(shí)講座，學(xué)生根據(jù)個(gè)人意愿選擇是否參加。講座上一方面處理每章習(xí)題課上較難綜合性題目，另一方面的將前面所學(xué)的知識(shí)及方法進(jìn)行廣度、深度的總結(jié)與拓展，達(dá)到深刻理解并能靈活綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.2考核方法上

針對(duì)期末考試不及格率過(guò)高的現(xiàn)象，筆者所在的學(xué)校也進(jìn)行了一

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專(zhuān)業(yè)論文

些改革，如試行學(xué)年成績(jī)?cè)u(píng)定的方式：一學(xué)期沒(méi)有通過(guò)、整個(gè)學(xué)年平均成績(jī)及格即認(rèn)定該門(mén)課及格。目的是給一學(xué)期沒(méi)有通過(guò)、整個(gè)學(xué)年平均成績(jī)及格的學(xué)生一次機(jī)會(huì)；更重要的是，督促第一學(xué)期沒(méi)有通過(guò)的學(xué)生第二學(xué)期認(rèn)真學(xué)習(xí)。希望以此提高及格率，但效果并不明顯，第一學(xué)期不及格的學(xué)生，絕大部分第二學(xué)期依然不及格，并且給教師登錄成績(jī)、學(xué)校管理成績(jī)帶來(lái)很多問(wèn)題。當(dāng)然，這部分學(xué)生可能是因?yàn)樘嘀R(shí)點(diǎn)不會(huì)，最終喪失了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心（所以在教學(xué)方法上做了相應(yīng)的改革）。

在借鑒其它高?？荚嚫母锏幕A(chǔ)之上，在繼續(xù)采用平時(shí)成績(jī)+卷面成績(jī)的評(píng)定方式的基礎(chǔ)之上，提出以下設(shè)想：平時(shí)成績(jī)?cè)u(píng)定上，可以從出勤、作業(yè)、平時(shí)提問(wèn)、期中小測(cè)試等方面考核；卷面成績(jī)上，主要在試卷設(shè)計(jì)上做一些改革。比如在不影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和專(zhuān)業(yè)發(fā)展的基礎(chǔ)上，在教學(xué)大綱要求的范圍內(nèi)，適當(dāng)降低考核難度；最后兩或三個(gè)題目，可以A題和B題的形式出現(xiàn)，A題和B題采用不同的權(quán)重，A題權(quán)重小于1，B題權(quán)重大1。如果做A題總成績(jī)一定會(huì)低于100分，做B題如果總成績(jī)高于100分的話(huà)，以100分來(lái)計(jì)，盡量體現(xiàn)公平性。一方面，可以使確實(shí)掌握了基本知識(shí)的學(xué)生順利通過(guò)考試，樹(shù)立高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心；另一方面，使數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生脫穎而出，“付出便有收獲”，更好的激發(fā)這部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與成就感。

以上是筆者在幾年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾點(diǎn)想法與認(rèn)識(shí)，需要教學(xué)實(shí)踐的進(jìn)一步檢驗(yàn)，在教學(xué)實(shí)踐中不斷改進(jìn)與完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]張穎.獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程的幾種分層次教學(xué)方案探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（6）：13-16.[2]宋春合.三本院校高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班規(guī)則設(shè)計(jì)探討[J].科技資訊，2010，（35）：141.[3]李柳辰.高等數(shù)學(xué)課期終考試方法改革的設(shè)想[J].平頂山師專(zhuān)學(xué)報(bào)增刊，2000，（15）：55-56.[4]侯宗毅.對(duì)高等數(shù)學(xué)課程及教學(xué)改革的思考[J].河池師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2003，23（2）：46-48.最新【精品】范文 參考文獻(xiàn)

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項(xiàng)目來(lái)源：安徽新華學(xué)院教研項(xiàng)目（2012jy011）、教改項(xiàng)目（2012jgkcx03）、精品課程（2012jpkcx03）。

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第四篇：高等數(shù)學(xué)經(jīng)典方法與典型例題歸納

2014年山東省普通高等教育專(zhuān)升本考試

2014年山東專(zhuān)升本暑期精講班核心講義

高職高專(zhuān)類(lèi)

高等數(shù)學(xué)

經(jīng)典方法及典型例題歸納

—經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)：會(huì)計(jì)學(xué)、工商管理、國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易、電子商務(wù) —理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)：電氣工程及其自動(dòng)化、電子信息工程、機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化、交通運(yùn)輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天堯

編寫(xiě)

一、求極限的各種方法

1．約去零因子求極限

x4?1例1：求極限lim

x?1x?1【說(shuō)明】x?1表明x與1無(wú)限接近，但x?1，所以x?1這一零因子可以約去。

(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6=4 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求極限

x3?x2例2：求極限lim

x??3x3?1【說(shuō)明】?型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過(guò)分子分母同除來(lái)求。?1?1x3?x21x【解】lim ?lim?x??3x3?1x??3?13x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

??0nn?1ax?an?1x???a0????

(2)limnmm?1x??bx?b???b0?amm?1xn??bnm?nm?n m?n3．分子(母)有理化求極限

例3：求極限lim(x?3?x???2x2?1)

【說(shuō)明】分子或分母有理化求極限，是通過(guò)有理化化去無(wú)理式。【解】lim(x?3?x???2x?1)?lim2(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???

?lim2x?3?x?122x????0

例4：求極限limx?01?tanx?1?sinx 3x2 【解】limx?01?tanx?1?sinxtanx?sinx ?limx?03x3x1?tanx?1?sinx1lim?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx1?tanx?1?sinx【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵 ．．．．．．．．．．．4．應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限

sinx11?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，兩個(gè)重要極限是lim第一個(gè)x?0x??n??x?0xxn重要極限過(guò)于簡(jiǎn)單且可通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小來(lái)實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。

x1?x?1?例5：求極限lim??

x???x?1??【說(shuō)明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊?1，最后湊指數(shù)部分。X2x?11??xx22?1??2?2??x?1??2?????lim1??lim1?1??e【解】lim? ?????x?1????x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。

x???x????x??x?a?xx5．用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限

【說(shuō)明】

(1)常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小有：

1?x)~e?1, 當(dāng)x?0 時(shí),x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?cosx~12bx,?1?ax??1~abx； 2x(2)等價(jià)無(wú)窮小量代換,只能代換極限式中的因式； ．．(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。．．．．．xln(1?x)?

x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.x?01?cosxx?012x2sinx?x例8：求極限lim

x?0tan3x例7：求極限lim

2?1sinx?xsinx?xcosx?112x【解】lim ?lim?lim??lim??322x?0tan3xx?0x?0x?06x3x3x6．用洛必達(dá)法則求極限

lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求極限lim 2x?0x?0或型的極限,可通過(guò)羅必塔法則來(lái)求。?0?2sin2xsin2x?2lncos2x?ln(1?sin2x)cos2x1?sinx 【解】lim?lim2x?0x?0x2x【說(shuō)明】?limsin2x??21??????3 2x?02x?cos2x1?sinx?【注】許多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用洛必達(dá)法則求解

?例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)?0，求極限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.【解】 由于?x0f(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是

0xx00xlimx?0?x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dtx?limx?0x?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0x

?=limx?00f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=limx?0??x0x0f(t)dt

0f(u)du?xf(x)xf(u)du?xf(x)?=limx?00f(t)dtxx?f(x)=?x0f(u)duf(0)1?.f(0)?f(0)27．用對(duì)數(shù)恒等式求limf(x)g(x)極限

例11：極限lim[1?ln(1?x)]

x?02x2ln[1?ln(1?x)]x2x【解】 lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?0=e4

2ln[1?ln(1?x)]x?0xlim?e2ln(1?x)x?0xlim?e2.【注】對(duì)于1型未定式limf(x)?g(x)的極限，也可用公式

limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)

因?yàn)?/p>

limf(x)g(x)?elimg(x)ln(f(x))?elimg(x)ln(1?f(x)?1)?elim(f(x)?1)g(x)

1例12：求極限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.3???????2?cosx?xln??3??【解1】 原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ?limx?0x21（??sinx）l（n2?cox）s?ln32?coxs

?lim ?lim2x?0x?0x2x11sixn1???

??lim2x?02?coxsx6e?2?cosx?xln??3??【解2】 原式?limx?0x3?2?cosx?ln???13?? ?lim2x?0xln（1?

?limx?0cosx?1）cosx?113?lim?? x?03x26x28．利用Taylor公式求極限

ax?a?x?2,(a?0).例13 求極限 lim2x?0xx22?1?xlna?lna??(x2)，2【解】 a?exxlna

a?xx22?1?xlna?lna??(x2);

2?x

a?ax?2?x2ln2a??(x2).5 ax?a?x?2x2ln2a??(x2)2?lim?lna.?

lim22x?0x?0xx例14 求極限limx?0【解】 limx?011(?cotx).xx111sinx?xcosx(?cotx)?lim x?0xxxxsinxx3x23x???(x)?x[1???(x2)]3!2!?lim 3x?0x113?)x??(x3)1?lim2!3!3?x?0x3.(9．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解

例15：極限lim?nsin??n???1?? n?n2【說(shuō)明】這是1形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達(dá)法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過(guò)7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。

1??【解】考慮輔助極限lim?xsin?x???x??x2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1??2?yy???e

?161??所以，lim?nsin?n??n??n2?e

?1610．n項(xiàng)和數(shù)列極限問(wèn)題

n項(xiàng)和數(shù)列極限問(wèn)題極限問(wèn)題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.?111????例16：極限lim?22n???n2?22n2?n2?n?1?? ??【說(shuō)明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把f(x)看成［0,1］定積分。6 1??1?lim?f???n??n???n??2?f??????n?1?n??f????f(x)dx ??0?n????1?111????【解】原式＝lim?222n??n??1??2??n?1???1????1???nn?????n?????? ?????1012?1 dx??ln222?11?x?? ??1?111????例17：極限lim?2n???n2?2n2?n?n?1【說(shuō)明】(1)該題遇上一題類(lèi)似，但是不能湊成lim因而用兩邊夾法則求解；

1??1??f???n??n???n??2?f??????n??n??的形式，f?????n??

(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的?！窘狻縧im??111????2n???n2?2n2?n?n?1?? ??因?yàn)? nn?n2?n1n?12?1n?2nn?122???1n?n2?nn?12

又

limn??n?n2?limn???1

??＝１ ???111????所以 lim?2n???n2?2n2?n?n?111．單調(diào)有界數(shù)列的極限問(wèn)題

例18：設(shè)數(shù)列?xn?滿(mǎn)足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計(jì)算lim??.n???xn?

【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來(lái)證明數(shù)列極限的存在.7 【詳解】

（Ⅰ）因?yàn)??x1??，則0?x2?sinx1?1??.可推得 0?xn?1?sinxn?1??,n?1,2,?，則數(shù)列?xn?有界.于是 xn?1sinxnsinx?x）（因當(dāng)x?0時(shí)，則有xn?1?xn，可見(jiàn)數(shù)列?xn?單??1，xnxnn??調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限limxn存在.設(shè)limxn?l，在xn?1?sinxn兩邊令n??，得 l?sinl，解得l?0，即limxn?0.n??n??11?x?（Ⅱ）因 lim?n?1?n???xn?122xn?sinxn?xn2?，由（Ⅰ）知該極限為1型，?lim??n???xn?1?1??sinx?1?2xx??sinx?x2?1?xlimsinxe???lim?x?0??xx?0?1?lime?x?0x3?e

(使用了洛必達(dá)法則)

?16?x?故 lim?n?1?n???xn?2xn1??sinxn?xn2?lim??e6.?n???xn?1

二、常見(jiàn)不定積分的求解方法的討論

0.引言

不定積分是《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)重要內(nèi)容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線(xiàn)積分以及各種有關(guān)積分的函數(shù)的基礎(chǔ)，要解決以上問(wèn)題，不定積分的問(wèn)題必須解決，而不定積分的基礎(chǔ)就是常見(jiàn)不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運(yùn)算時(shí)有一定的法則，它要根據(jù)不同題型的特點(diǎn)采用不同的解法，積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來(lái)，不僅技巧性更強(qiáng)，而且也已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來(lái)”的，就是說(shuō)這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表示，例如

?1sinx2?xdxdxedx?22?1?ksinx（其中0?k?1）x；；?；lnx等。dx這一方面體現(xiàn)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動(dòng)了微積分本身的發(fā)展。同時(shí)，同一道題也可能有多種解法，多種結(jié)果，所以，掌握不定積分的解法比較困難，下面將不定積分的各種求解方法分類(lèi)歸納，以便于更好的掌握、運(yùn)用。

1.不定積分的概念

定義：在某區(qū)間I上的函數(shù)的全體原函數(shù)記為

稱(chēng)它是函數(shù)

f(x)，若存在原函數(shù)，則稱(chēng)f(x)為可積函數(shù)，并將f(x)?f(x)dx，為積分符號(hào)，ff(x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，其中?(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，x稱(chēng)為積分變量。

若F(x)為f(x)的原函數(shù)，則：

?f(x)dx=F(x)+C(C為積分常數(shù))。

在這里要特別注意，不定積分是某一函數(shù)的全體原函數(shù)，而不是一個(gè)單一的函數(shù)，它的幾何意義是一簇平行曲線(xiàn)，也就是說(shuō)：

d(?f(x)dx)和 dx?f?(x)dx

是不相等的，前者的結(jié)果是一個(gè)函數(shù)，而后者是無(wú)窮多個(gè)函數(shù)，所以，在書(shū)寫(xiě)計(jì)算結(jié)果時(shí)一定不能忘記積分常數(shù)。性質(zhì)：

1.微分運(yùn)算與積分運(yùn)算時(shí)互逆的。

注：積分和微分連在一起運(yùn)算時(shí)：

d?——————>完全抵消。

?d ——————>抵消后差一常數(shù)。

?[f(x)?g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx。2.兩函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于它們各自積分的代數(shù)和，即：3.在求不定積分時(shí)，非零數(shù)可提到積分符號(hào)外面，即：

?kf(x)dx=k?f(x)dx(k≠0)。

在這里，給出兩個(gè)重要定理：

(1)導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)是常函數(shù)。

(2)若兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處相等，則兩函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。以便于更好的解決一些簡(jiǎn)單的不定積分問(wèn)題。

上面將不定積分的概念以及性質(zhì)做了簡(jiǎn)單的介紹，下面，我們開(kāi)始討論不定積分的各種求解方法。

2.直接積分法(公式法)從解題方面來(lái)看，利用不定積分的定義來(lái)計(jì)算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種方法就是直接積分法(另稱(chēng)公式法)。

下面先給出基本求導(dǎo)公式：

???1()'??x(1)(kx)'?k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'?

(4)(arctanx)'?1?x2 x11(arcsinx)'?(x)'?(6)logaxlna1?x

(7)(9)(11)(ex)'?ex

(8)(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx

(10)(tanx)'?sec2x

(cotx)'??csc2x。

根據(jù)以上基本求導(dǎo)公式，我們不難導(dǎo)出以下基本積分表：

10(1)?xdx?kdx?kx?C(k是常數(shù))

(2)?x???1??1?C(???1)

(3)

1dx?x?lnx?C

(4)?1?x2dx?arctanx?C

1(5)1?x2xdx?arcsinx?C

(6)

ax?adx?lna?C

x(7)xdx?e?C

(8)?cosxdx?sinx?C

?e2sinxdx??cosx?C

(10)secxdx?tanx?C

?2csc?xdx??cotx?C。(9)

?(11)下面舉例子加以說(shuō)明：

2(3x?4x?1)dx 例2.1：

求?解

原式=

=

23x?dx??4xdx??dx

3?x2dx?4?xdx??dx

32xx3(?)?4(?C2)?(x?C3)C

1=

=32x?2x?x?C

注意：這里三個(gè)積分常數(shù)都是任意的，故可寫(xiě)成一個(gè)積分常數(shù)。所以對(duì)一個(gè)不定積分，只要在最后所得的式子中寫(xiě)上一個(gè)積分常數(shù)即可，以后遇到這種情況不再說(shuō)明。

例2.2：

求?xdx 2x?12dx(x2?1)?1dx=?dx??2解

原式=? 2x?1x?1

=x?arctanx?C

注：此處有一個(gè)技巧的方法，這里先稱(chēng)作“加1減1”法，相當(dāng)于是將多項(xiàng)式拆分成多個(gè)單項(xiàng)式，然后利用基本積分公式計(jì)算，下面的例題中還會(huì)遇到類(lèi)似的題型，遇到時(shí)具體 11 講解。

直接積分法只能計(jì)算較簡(jiǎn)單的不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表解決的不定積分，對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的不定積分便無(wú)從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。

3.第一類(lèi)換元法(湊微法)利用基本積分公式和積分性質(zhì)可求得一些函數(shù)的原函數(shù)，但只是這樣遠(yuǎn)不能解決問(wèn)題，如

?sinxcosxdx

2就無(wú)法求出，必須將它進(jìn)行變形，然后就可以利用基本積分公式求出其積分。

如果不定積分

作變量代換u?f(x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為

f(x)?g[?(x)]??(x)，??(x)，并注意到??(x)dx?d?(x)，則可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的積分，于是有

?f(x)dx??g[?(x)]??(x)dx??g(u)du.如果?g(u)du可以求出，不定積分?f(x)dx的計(jì)算問(wèn)題就解決了，這就是第一類(lèi)

?(x)?u，最后一個(gè)等號(hào)表示回代換元法(湊微分法)。

注：上述公式中，第一個(gè)等號(hào)表示換元u??(x).下面具體舉例題加以討論

10dx.(2x?1)例3.1：求?110(2x?1)?dx(2x?1)解

原式=?2110d(2x?1)(2x?1)

=?2

1101u111du???C(2x?1)?C 2x?1?u ?u u?2x?1

22221111對(duì)變量代換比較熟練后，可省去書(shū)寫(xiě)中間變量的換元和回代過(guò)程。

1d(x).例3.2：求?2x?8x?25解

原式??111?d(x)d(x)22?2x?43(x?4)?9()?11?3?1x?4d()23x?4()?13

1x?4?arctan?C 33 dx例3.3：求?1?x211111??(?)解

? 21?x(1?x)(1?x)21?x1?x11d(1?x)d(1?x)?[???]

??21?x21?x1?x

?1[ln1?x?ln1?x]?C 2

11?x?ln?C 21?x3

dx在這里做一個(gè)小結(jié)，當(dāng)遇到形如：?ax2?bx?c的不定積分，可分為以下中情況：

??ax2?bx?c的：

①?大于0時(shí)?？蓪⒃交癁?x?x1)(x?x2)，2a其中，x、x為x?bx?c?0的兩個(gè)解，則原不定積分為： 113 dx1d(x?x1)d(x?x2)?(x?x1)(x?x2)?(x2?x1)[?(x?x1)??(x?x2)]

1x?x1?ln?C

(x2?x1)x?x2

②?等于0時(shí)?？衫猛耆椒焦?，然后可化成?(x?k)?2d(x?k)。然后根據(jù)?小于0時(shí)。形如例4，可先給分母進(jìn)行配方。然后可根據(jù)基本積分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求?secxdx

dxcosxdxdsinx????1?sin2x 2cosxcosx解

原式??

dsinx??(1?sinx)(1?sinx)

1dsinxdsinx?[???]

2(1?sinx)(1?sinx)

11?sinx?ln?C 21?sinx2

該題也可利用三角函數(shù)之間的關(guān)系求解：

x?secxtanxsecdx

原式??secx?tanx

1??d(secx?tanx)secx?tanx

?lnsecx?tanx?C.雖然兩種解法的結(jié)果不同，但經(jīng)驗(yàn)證均為secx的原函數(shù)，這也就體現(xiàn)了不定積分的2xdx.cos例3.5：求?解法以及結(jié)果的不唯一性。

解

1?cos2x1?cosxdx??2dx?2(?dx??cos2xdx)2

?11dx?cos2xd(2x)??24xsin2x???C 24例3.6：求6sec?xdx.6解

22xdx?secsec??(secx)xdx??(1?tan2x)d(tanx)

24??(1?2tanx?tanx)d(tanx)

2315?tanx?tanx?tanx?C

35注：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的乘積時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分。當(dāng)被積函數(shù)為三角函數(shù)的偶數(shù)次冪時(shí)，常用半角公式通過(guò)降低冪次的方法來(lái)計(jì)算；若為奇次，則拆一項(xiàng)去湊微，剩余的偶次用半角公式降冪后再計(jì)算。

xdx.100例3.7：求?(x?1)x?1?1dx?解

原式?(x?1)100 22x?11??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)x?1?21??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)121??[??]d(x?1)9898100(x?1)(x?1)(x?1)15 111?97?98??(x?1)?(x?1)?(x?1)?99?C 974999注：這里也就是類(lèi)似例2所說(shuō)的方法，此處是“減1加1”法。

4.第二類(lèi)換元法

如果不定積分替換?f(x)dx用直接積分法或第一類(lèi)換元法不易求得，但作適當(dāng)?shù)淖兞縳??(t)后，所得到的關(guān)于新積分變量t的不定積分

?f[?(t)]??(t)dt

可以求得，則可解決設(shè)函數(shù)?f(x)dx的計(jì)算問(wèn)題，這就是所謂的第二類(lèi)換元(積分)法。

x??(t)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且??(t)?0，又設(shè)f[?(t)]??(t)具有原F(t)，則

?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C，其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

注：由此可見(jiàn)，第二類(lèi)換元積分法的換元與回代過(guò)程與第一類(lèi)換元積分法的正好相反。例4.1：求不定積分

?22a?xdx(a?0).解

令2x?asint，則dx?acostdt，t?(??2,?2)，所以

22a(1?cos2t)dt ?2?221aa?(t?sin2t)?C?(t?sintcots)?C

222為將變量t還原回原來(lái)的積分變量x，由x?asint作直角三角形，可知a?xdx??acost?acostdt?cost?22a?x，代入上式，得 a?

xxa22?arcsin????C ax?dxax2a22216

2a t 22a?x x 注：對(duì)本題，若令x?acost，同樣可計(jì)算。

例4.2：求不定積分

?1x?a22dx(a?0).2x?atantdx?att?(??2,?2)，所以 解

令，則sectd，?12dx??atdt??sectdt sec22asectx?a ?lnsect?tant?C1

22?lnx??xa?C

例4.3：求不定積分

?122x?adx(a?0).解

令x?asect，則dx?asect?tantdt，t?(0,?2)，所以

1?asect?tantdx?dt??sectdt 22atantx?a

?lnsect?tant?C1

22?lnx???C xa

注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式，其一般規(guī)律如下：若果被積函數(shù)中含有函數(shù)中含有

22a?x時(shí)，可令x?asint，t?(??2,?2)；如果被積22x?a，可令x?atant，t?(??2,?2)；如果被積函數(shù)中含有22x?a；可令x??asect，t?(0,?2).dx例4.4：求不定積分?x?xe?ex

dtdx?解

令t?e(t?0)，則x?lnt，所以，t。

dx??ex?e?x

11??tdt?dt

211?tt?t??arctatn?C

x?arcta?C.en

例4.5：求不定積分

?xdx2?3x2.解

?1dx2??222?3x2?3x2xdx(變形).222?t222??tdt ?令t?2?3x(t?0)，? x.dx33111122??2?3??dt?(?tdt)x?C 原式??32t33關(guān)于第二類(lèi)換元法，就舉些例子說(shuō)明，具體要多做大量的習(xí)題，這樣才能找到該怎么樣換元的感覺(jué)，才能更好的掌握這種方法。

5.分部積分法

前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計(jì)算問(wèn)題，但有些積分，如xxe?dx、?xcosxdx等，利用換元法就無(wú)法求解.接下來(lái)要介紹另一種基本積分法——分部積分法.設(shè)函數(shù)u?u(x)和v?v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則d(uv)?vdu?udv移項(xiàng)得到udv?d(uv)?vdu，所以有

?udv?uv??vdu，或

?uv?dx?uv??u?vd.上面兩個(gè)式子稱(chēng)為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵在于如何將所給積分

?f(x)dx化成?udv的形式，使它更容易計(jì)算.所采用的主要方法就是湊微分法，例如，xxxxxxexdx?xxd?x?dx?x??C?(x?1)?Ceeeeee???

利用分部積分法計(jì)算不定積分，選擇好u,v非常關(guān)鍵，選擇不當(dāng)將會(huì)使積分的計(jì)算變得更加復(fù)雜。下面將通過(guò)例題介紹分部積分法的應(yīng)用。

例5.1：求不定積分解

令

?xcosxdx.u?x，cosxdx?dsinx?dv，則

?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?C

有些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應(yīng)用分部積分法。

例5.2：求不定積分

?x2edx.xx2dv?u?解

令edx，則 x和

xx?xd?2xdxeedx.?xe2x?對(duì)后面的不定積分再用分部積分法，xxxx?xd?x??C xdxeeee??(運(yùn)算熟練后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx?(?2x?2)?C.xexe?2x注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)的乘積，可設(shè)冪函數(shù)為u，而將其余部分湊微分進(jìn)入微分符號(hào)，使得應(yīng)用分部積分公式后，冪函數(shù)的冪次降低一次(冪指相碰冪為u)。

例5.3：求不定積分

?xarctan2xdx2.xxdx?dn，解

令u?arctax2,則

2?xarctanxdx?

xarctanx?xd(arctanx)?22211x?arctanx???(1?)dx

2221?x21x?arctaxn?(x?arctax)n?C

2注：若被積函數(shù)是冪指函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積,可設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u，而將冪函數(shù)湊微分進(jìn)入微分號(hào)，使得應(yīng)用分部積分公式后，對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失(冪對(duì)角(反三角函數(shù))，對(duì)角u).xsinxdx.e例5.4：求不定積分?xsinxdx?sinxde(取三角函數(shù)為u)?e?x解

?exsinx??exd(sinx)?exsinx??excosxdx

?exsinx??cosxdex(再取三角函數(shù)為u)?exsinx?(excosx??exdcosx)?ex(sinx?cosx)??exsinxdx

x

解得

ex?esinxdx?2(sinx?cosx)?C

注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積時(shí)，u,dv可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類(lèi)型的u，以便經(jīng)過(guò)兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式，從而解出所求積分 20(指正余，隨意選).下面將分部積分法關(guān)于u,dv的選擇總結(jié)成一個(gè)表，以便于更好學(xué)習(xí)，如下：

分類(lèi) I

II

III 不定積分類(lèi)型 u和??的選擇

?p(x)sinxdx

nu?pn(x),???sinx

u?pn(x),???cosx ?p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n?

u?pn(x),???ex

?p(x)lnxdx

nu?lnx,???pn(x)u?arcsinx,???pn(x)?p(x)arcsinxdx

n?p(x)arccosxdx

nu?arccosx,???pn(x)

u?arctanx,???pn(x)?p(x)arctannxdx

xe?sinxdx xe?cosxdx

u?sinx,???ex或u?ex,???sinx u?cosx,???ex或u?ex,???cosx

6.結(jié)論

上面所介紹的都是常見(jiàn)不定積分的求解方法，根據(jù)不同的題的特點(diǎn)采取上述不同的方法，好多題要經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形后才能應(yīng)用上述方法，有的題經(jīng)過(guò)不同的變形，應(yīng)用不同的方法，計(jì)算結(jié)果就會(huì)不同。因此，不定積分的計(jì)算靈活性很強(qiáng)，必須熟練掌握上述方法，而這就與做大量的練習(xí)是密不可分了，題做得多了，自己也就會(huì)積累更多的經(jīng)驗(yàn)，這樣解起題來(lái)才能得心應(yīng)手，才能熟練自如的應(yīng)用，而且，定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線(xiàn)積分以及各種有關(guān)積分的函數(shù)的各種問(wèn)題也能迎刃而解。

曲天堯

2013年5月17日于濟(jì)南

山東財(cái)經(jīng)大學(xué)（燕山校區(qū)）

第五篇：證明方法

2.2直接證明與間接證明BCA案

主備人：史玉亮 審核人:吳秉政使用時(shí)間：2012年2-1

1學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解直接證明的兩種基本方法，即綜合法和分析法。了解間接證明的一種基本方法——反證法。

2.了解綜合法和分析法的思考過(guò)程與特點(diǎn)，并會(huì)用兩種方法證明。了解反證法的解題步驟，思維過(guò)程及特點(diǎn)。

重點(diǎn)：

1.對(duì)綜合法和分析法的考查是本課的重點(diǎn)。應(yīng)用反證法解決問(wèn)題是本課考查的熱點(diǎn)。

2.命題時(shí)多以考查綜合法為主，選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn)。反證法僅作為客觀(guān)題的判斷方法不會(huì)單獨(dú)命題。

B案

一、直接證明

1.定義：直接證明是從___________或___________出發(fā)的，根據(jù)已知的_________、________________，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。

2.直接證明的方法：______________與________________。

二、綜合法

1.定義：綜合法是從___________推導(dǎo)到______________的思維方法。具體地說(shuō)，綜合法 從__________除法，經(jīng)過(guò)逐步的___________，最后達(dá)到_______________。

? ?

? ? ?

三、分析法

1.定義：分析法是從__________追溯到__________的思維方法，具體地說(shuō)，分析法是從________出發(fā)，一步一步尋

求結(jié)論成立的____________，最后達(dá)到

_________或__________。

?

? ? ? ?

四、反證法的定義

由證明p?q轉(zhuǎn)向證明?p?r?????t,t與_________矛盾，或與某個(gè)________矛盾，從而判定_________，推出___________的方法，叫做反證法。

預(yù)習(xí)檢測(cè)：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|x?y|?|x?y|≥2B.x?yC.xy?1?x?yD.|x|?|y|

ln2ln3ln5,b?,c?，則（）23

5A.a?b?cB.c?b?aC.c?a?bD.b?a?c 2.若a?

3.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是（）

A.有兩個(gè)內(nèi)角是直角

B.有三個(gè)內(nèi)角是直角

C.至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角

D.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角

4.a?b?c?d的必要不充分條件是（）

A.a?cB.b?dC.a?c且b?dD.a?c或b?d

5.“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”的反證法設(shè)為（）

A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)

C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)是偶數(shù)D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)

6.已知a是整數(shù)，a2為偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)。

C案

一、綜合法

例1求證：12

3log19?log19?19?

253log2

2.已知n是大于1的自然數(shù)，求證：log(n?1)?log(n?2)

n(n?1)

二、分析法

例2．求證??

2變式突破： 已知a,b,c表示三角形的三邊，m?0,求證：

三、反證法：

例3．（1）證明：2不是有理數(shù)。

變式突破：若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?

求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.2abc?? a?mb?mc?m?2,b?y2?2z??3,c?z2?2x??6.當(dāng)堂檢測(cè)：

1.“x?

0”是“?0”成立的（）

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.非充分非必要條件 D.充要條件

2.設(shè)a?log54，b?(log53)2，c?log45，則（）

A.a?c?bB.b?c?aC.a?b?cD.b?a?c

3.設(shè)x,y,z?R?，a?x?111,b?y?,c?z?，則a,b,c三數(shù)（）yzx

A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0，x?2ax?2a?0至少有2

一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

A案

1.A、B為△ABC的內(nèi)角，∠A＞∠B是sinA?sinB的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.若向量a?(x,3)(x?R)，則“x?4”是“|a|?5”的（）

A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)的和，若a2?a3?2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)為5，則S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy(x,y?R)，f(1)?2，則f(?2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法證明問(wèn)題是從所證命題的結(jié)論出發(fā)，尋求使這個(gè)結(jié)論成立的（）

A.充分條件B.必要條件C.重要條件D.既非充分條件又非必要條件

6.下面四個(gè)不等式：①a?b?c≥ab?bc?ca；②a(1?a)≤2221ba；③?≥2； 4ab

④(a2?b2)?(c2?d2)≥(ac?bd)2，其中恒成立有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

7.若x,y?0且x?y?2，則1?y1?x1?y1?x和的值滿(mǎn)足（）A.和的中至少xxyy

有一個(gè)小于2B.1?y1?x1?y1?x和都小于2C.和都大于2D.不確定 xxyy

8.已知?、?為實(shí)數(shù)，給出下列三個(gè)論斷：

①???0；②|???|?

5；③|?|??|?個(gè)論斷為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的命題是______________。

9.設(shè)a?0,b?0,c?0，若a?b?c?1，則

111??≥______________。abc