第一篇：高等數(shù)學(xué)考研幾個重要定理的證明

幾個重要定理的證明

1、羅爾定理（考過）

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且f(a)= f(b)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點￡，使得f'(?)=0.證：∵函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)

∴由最大最小值定理有：m< f(x)

(1)若m=M，此時f(x)在［a，b］上為恒定值

對任意的x∈（a，b）都有f'(?)=0。

（2）若m≠M，因為f(a)= f(b)，則m和M中至少有一個不等于區(qū)間的端點值。不妨設(shè)M≠f(a)，則存在?∈（a，b）使得f(?)=M。

∴對任意的x∈［a，b］使得f(x)≤f(?)，從而由費馬引理，可知f'(?)=0.證畢。

2、拉格朗日中值定理（考過）

如果函數(shù)f(x)滿足：（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少存在（a，b）一點?，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)成立。

證：引進(jìn)輔助函數(shù)?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)b?a

易知F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］內(nèi)連續(xù)，在（a，b）內(nèi)

f(b)?f(a)b?a可導(dǎo) 且?'(x)?f'(x)?

根據(jù)羅爾定理，可知在（a，b）內(nèi)至少存在有一點?，使?'(x)=0，即

f(b)?f(a)?0 b?a

f(b)?f(a)?f'(?)，由此可得b?af'(?)?

即f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

證畢。

三、積分中值定理（考過）

如果函數(shù)f（x）在積分區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點?，使得

1幾個重要定理的證明

b

?f(x)dx?

af(?)(b?a)

證：由于f（x）在［a，b］上連續(xù)，則存在m，M使得

m?f(x)?M

又由定積分估值定理，有

b

m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

a

b

即m?

由介值定理得： ?f(x)dxab?a?M

b

f(?)?

證畢。?f(x)dxab?a

四、變上限積分函數(shù)求導(dǎo)公式（沒考過）

五、牛頓-萊布尼茨公式（沒考過）

設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在（a，b）上的任意一個原函數(shù)，b

則?f(x)dx?F(x)

aba?F(b)?F(a)

證：

第二篇：考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識點解析--有關(guān)微分中值定理的證明

考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識點解析—有關(guān)微分中值定理的證明

萬學(xué)教育?海文考研 王丹

2013年考研數(shù)學(xué)大綱于2012年9月14日正式出爐，數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)

二、數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考試內(nèi)容和考試要求包含標(biāo)點符號在內(nèi)均沒有任何的變化；而線性代數(shù)部分，由原來的“線性方程組的克萊姆法則”改為“線性方程組的克拉默法則”，只是名稱的改變，內(nèi)容沒有變化；概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分，數(shù)學(xué)一沒有任何變化，而數(shù)學(xué)三“多維隨機(jī)變量的分布這一章”考試內(nèi)容和考試要求的難度都降低了，具體變化為將考試內(nèi)容中“兩個及兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的分布”增加了兩個字“簡單”，即“兩個及兩個以上隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布”；相應(yīng)的考試內(nèi)容中“會根據(jù)多個相互獨立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布”改為“會根據(jù)多個相互獨立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其簡單函數(shù)的分布”。

有了考試大綱，就有了我們復(fù)習(xí)的依據(jù)，通過對歷年考研命題規(guī)律的分析，我們得出與中值定理有關(guān)的證明題是考研數(shù)學(xué)的重點且是難點，每年必考有關(guān)中值定理的一道證明題10分．所以大家一定要引起重視，對于解這類題目,首先要確定證明的結(jié)論,然后聯(lián)想與之相關(guān)的定理、結(jié)論和方法以及所需要的條件,再看題設(shè)中是否給出條件,若都沒有直接給出,考慮如何由題設(shè)條件推出這些所需的條件,最后證明．其中,當(dāng)要證明存在某些點使得它們的函數(shù)值或者高階導(dǎo)數(shù)滿足某些等式關(guān)系或者其他特性時,用中值定理所求的點常常是區(qū)間內(nèi)的點．下面我就有關(guān)中值等式的證明總結(jié)幾種方法，并且通過例題加強(qiáng)對此類問題方法的理解和把握。

一、有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)等式的證明主要有以下幾種方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零點定理直接證明,適用于證明存在??[a,b],使得G(?,f(?))?0．

(2)間接法．構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)(其中F(x)的構(gòu)造方法可參照重要題型五),然后驗證F(x)滿足中值定理的條件,最后由相應(yīng)的中值定理得出命題的證明．

二、證明存在一點?使得關(guān)于a,b,f(a),f(b)或?,f(?),f?(?),?,f(n)(?)的等式成立．常用證法：

(1)對于這類等式的證明問題,可以通過移項使等式一端為0,轉(zhuǎn)化為重要題型五中證明存在一點?使得G(?,f(?),f'(?))?0的問題.(2)利用拉格朗日中值定理直接進(jìn)行證明．

現(xiàn)舉例題如下

例題1：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，試證明???(a,b)，使得

'f(b)?f(a)22f(?)?(a?ab?b)2b?a3?

分析本題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)．對于關(guān)系式中顯含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,將含介值的項全部右移,再將左端分子、分母中的a,b分離,然后直接觀察即可得到所需輔助函數(shù)．

'f(b)?f(a)f(b)?f(a)f'(?)22f(?)?(a?ab?b)??222b?a3?b?a(a?ab?b)3?2

f(b)?f(a)f'(?)即.?a3?b33?2

證令g(x)?x3，則f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x?0時，g'(x)?0，f(b)?f(a)f'(?)f(b)?f(a)f'(?)則由柯西中值定理有，所以，?'?332g(a)?g(b)g(?)a?b3?

'f(b)?f(a)22f(?)即，得證.?(a?ab?b)b?a3?2

例題2 設(shè)函數(shù)f(x)在?0,3?上連續(xù)，在?0,3?內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2f(0?)?fx(d)?x02f(?2)f，(3)

(I)證明：存在??(0,2)使f(?)?f(0);(II)證明存在??(0,3)，使f??(?)?0 證明：(I)?2f(0)??f(x)dx，又?f?x?在?0,2?上連續(xù) 02

?由積分中值定理得，至少有一點???0,2?，使得?f?x?dx?f?????2?0? 02

?2f?0??2f???，?存在???0,2?使得f????f?0?。

(Ⅱ)?f?2??f?3??2f?0?，即f?2??f?3??f?0? 2

又?f?x?在?2,3?上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點?1??2,3?使得f??1??f?0? ?f?x?在?0,2?上連續(xù)，在?0,2?上可導(dǎo)，且f?0??f?2?

?由羅爾中值定理知，??1??0,2?，有f???1??0

又?f?x?在?2,?1?上連續(xù)，在?2,?1?上可導(dǎo)，且f?2??f?0??f??1? ?由羅爾中值定理知，??2??2,?1?，有f??2??0

又?f?x?在??1,?2?上二階可導(dǎo)，且f?(?1)?f?(?2)?0

?由羅爾中值定理，至少有一點????1,?2?，使得f??(?)?0.

第三篇：2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細(xì)的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對待：對應(yīng)開區(qū)間上每一點的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點x處的導(dǎo)數(shù)。一點的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)的高頻考點，考生們要認(rèn)真學(xué)習(xí)其解題方法，并且學(xué)會運用。湯神《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》可以檢驗大家的復(fù)習(xí)效果，總結(jié)做題經(jīng)驗，對我們現(xiàn)階段的復(fù)習(xí)幫助很大。

第四篇：考研數(shù)學(xué)定理證明

考研數(shù)學(xué)定理證明

不一定會考，或者說是好像近幾年也就是09年的考題出過一道證明題(拉格朗日中值定理的證明)。但準(zhǔn)備時最好把課本上幾個重要定理(比如中值定理)的證明看下，做到會自己證明。還有就是幾個證明過程或方法比較奇特的定理，要看懂證明。一個可以應(yīng)付直接考證明題，還可以借鑒證明思路幫助自己解其他題目，算是開擴(kuò)思路吧，總之看下會有好處的，而且也不是很多，比照課本自己總結(jié)下吧，我去年就是這么整理的。數(shù)學(xué)140+

定理的證明屬于比較難的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不會用。

但是定理的結(jié)論和應(yīng)用一定要會。

考研里的證明題屬于壓軸的，大部分人都做不出來，所以不用擔(dān)心。只要把基本盤拿下，你的分?jǐn)?shù)就應(yīng)該能過國家線。

祝你成功。

呵呵非常理解你的處境。我覺得這個問題不難解決，主要有兩個辦法。下面幫你具體分析一下，呵呵～

一。旁聽師弟師妹的數(shù)學(xué)課～優(yōu)點：不僅經(jīng)濟(jì)，便利，而且對老師的水平有保證～因為都是你們學(xué)校的嘛，你可以事先充分打聽好哪個老師哪門課講得好，然后還能比較容易獲取課程進(jìn)度，這樣就可以專門去聽自己不懂得那塊，針對性強(qiáng)矮甚至你下課后還可以就不懂得習(xí)題跟老師請教一下～就本人這么多年的上學(xué)經(jīng)驗，老師對“問題學(xué)生”都是歡迎的，至少不排斥～缺點：由于不是專門針對考研復(fù)習(xí)的講授，有些東西可能不是很適合～舉個例子吧，比如將同樣的知識，高一時候和高三第一輪復(fù)習(xí)時，講的側(cè)重點就不一樣～(但是個人覺得這不算什么大缺點～嘿嘿～)

二。報名參加專門的考驗輔導(dǎo)班。優(yōu)點顯而易見。老師肯定都是有多年考研輔導(dǎo)經(jīng)驗的，指導(dǎo)復(fù)習(xí)當(dāng)然針對性強(qiáng)，有事半功倍的效果。缺點就是，嘿嘿，學(xué)費問題。你所在地的學(xué)費情況我就不清楚了，你可以自己去查一下～

還有一句話想說，其實這兩個辦法也不是對立的，你可以在學(xué)校里去旁聽老師的課，把第一輪扎扎實實的復(fù)習(xí)完，放假回家去報名參加個輔導(dǎo)班，利用假期有針對性的做第二輪復(fù)習(xí)～相信兩輪復(fù)習(xí)下來，你的長進(jìn)一定不蝎呵呵～

我就說這么多，要是以后想起來了會再來補(bǔ)充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油

也不知道一樓是哪個名校數(shù)學(xué)系的研究生，廣州大學(xué)嗎?這么有才華!聽他的話等樓主沒考到130哭的地方都找不到。

考研每一門學(xué)科都要復(fù)習(xí)好幾輪，也不知道樓主考什么專業(yè)，數(shù)學(xué)幾?

基礎(chǔ)差的話第一輪復(fù)習(xí)要弄清楚定理及其證明過程。如果應(yīng)屆本科生又是學(xué)理科，平時成績不錯，高數(shù)，線性分都很高的話第一輪可以直接看教材做題。

第五篇：2018考研高等數(shù)學(xué)基本定理：函數(shù)與極限部分

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研高等數(shù)學(xué)基本定理：函數(shù)與極

限部分

在暑期完成

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：

1、在點x=x0沒有定義;

2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;

3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的