第一篇：第二章 解不等式(不等式的性質與證明、不等式的解法、不等式的應用)

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【考點梳理】

一、考試內容

不等式，不等式的性質，不等式的證明，不等式的解法，含有絕對值的不等式。

二、考試要求

1.掌握不等式的性質及其證明，掌握證明不等式的幾種常用方法，掌握兩個和三個（不要求四個和四個以上）“正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這兩個定理，并能運用上述性質、定理和方法解決一些問題。

2.在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）的解法的基礎上初步掌握其他的一些簡單的不等式的解法。

3.會用不等式||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

三、考點簡析

1.不等式知識相互關系表

2.不等式的性質（1）作用地位

不等式性質是不等式理論的基本內容，在證明不等式、解不等式中都有廣泛的應用。高考中，有時直接考查不等式的性質，有時間接考查性質（如在證明不等式、解不等式中就間接考查了掌握不等式性質的程度）。準確地認識、運用基本性質，并能舉出適當反例，能辨別真假命題是學好不等式的要點。

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（2）基本性質

實數(shù)大小比較的原理與實數(shù)乘法的符號法則是不等式性質的依據(jù)。在不等式性質中，最基本的是：

①a>b?bb,b>c?a>c（傳遞性）③a>b?a+c>b+c（數(shù)加）

④a?b,c?0?a?c?b?c??(數(shù)乘)

a?b,c?0?a?c?b?c?（a>b,c=0?a·c=b·c）

與等式相比，主要區(qū)別在數(shù)乘這一性質上，對于等式a=b?ac=bc，不論c是正數(shù)、負數(shù)還是零，都成立，而對于不等式a>b，兩邊同乘以c之后，ac與bc的大小關系就需對c加以討論確定。這關系即使記得很清楚，但在解題時最容易犯的毛病就是錯用這一性質，尤其是需討論參數(shù)時。

（3）基本性質的推論

由基本性質可得出如下推論： 推論1：a>b>0,c>d>0?ac>bd 推論2：a>b>0,c>d>0?ab? dc推論3：a>b>0?an>bn(n∈N)推論4：a>b>0?na?nb(n∈N)對于上述推論可記住兩點：一是以上推論中a,b,c,d均為正數(shù)，即在{x|x是正實數(shù)}中對不等式實施運算；二是直接由實數(shù)比較大小的原理出發(fā)。

3.不等式的證明（1）作用地位

證明不等式是數(shù)學的重要課題，也是分析、解決其他數(shù)學問題的基礎，特別是在微積分中，不等式是建立極限論的理論基礎。

高考中，主要涉及“a,b>0時，a+b≥2ab”這類不等式，以及運用不等式性質所能完成的簡單的不等式的證明。用數(shù)學歸納法證明的與自然數(shù)有關命題的不等式難度較大。

（2）基本不等式

a?b≥ab（當且僅當a=b時取“=”號）2a?b?c3定理2：如果a,b,c∈{x|x是正實數(shù)}，那么≥abc(當且僅當a=b=c時取“=”

3定理1：如果a,b∈{x|x是正實數(shù)}，那么號)定理3：如果a、b∈{x|x是正實數(shù)}，那么

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a?ba2?b2≤ab≤≤ 1122?ab2（當且僅當a=b時取“=”號）

推論4：如果a,b,c∈{x|x是正實數(shù)}，那么

3a?b?ca2?b2?c23≤abc≤≤ 11133??abc（當且僅當a=b=c時取“=”號）由上述公式還可衍生出一些公式

①4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2),a、b∈R（當且僅當a=b時等號成立）②a2+b2+c2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（當且僅當a=b=c時等號成立）③a2+b2+c2≥④|1(a+b+c)2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（當且僅當a=b=c時等號成立）3ba+|≥2（當且僅當|a|=|b|時取“=”號）ab1⑤a>0,b>0,a+b=1，則ab≤等。

（4）不等式證明的三種基本方法

①比較法：作差比較，根據(jù)a－b>0?a>b，欲證a>b只需證a－b>0；作商比較，當b>0時，a>b?a>1。比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據(jù)題設可b轉化為等價問題的比較（如冪、方根等）。

②分析法：從求證的不等式出發(fā)尋找使該不等式成立的充分條件。對于思路不明顯，感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑。

③綜合法：從已知的不等式及題設條件出發(fā)，運用不等式性質及適當變形（恒等變形或不等變形）推導出要求證明的不等式。

4.不等式的解法（1）作用與地位

解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學的基本手段之一。

高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識占相當大的比例。

（2）一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）

解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎，必須熟練掌握，靈活應用。廣東省高職考試網(wǎng)——004km.cn——廣東省3+證書考試網(wǎng)

（3）高次不等式

解高次不等式常用“數(shù)軸標根法”。一般地，設多項式

F(x)=a(x－a1)(x－a2)?(x－an)

（a≠0）

它的n個實根的大小順序為a1

(－∞,a1)，（a1,a2），?，(an－1,an),(an,+∞)自右至左給這些區(qū)間編上順序號，則當a>0時有： ①在奇數(shù)區(qū)間內，F(xiàn)(x)>0。②在偶數(shù)區(qū)間內，F(xiàn)(x)<0

（4）分式不等式

分式不等式的等價變形：

f(x)>0?f(x)·g(x)>0 g(x)?f(x)?g(x)?0f(x)≥0?? g(x)?g(x)?0

（5）無理不等式

兩類常見的無理不等式等價變形：

?f(x)?0?f(x)?0?或? f(x)≥g(x)??g(x)?0?f(x)?g2(x)?g(x)?0??f(x)?0? f(x)

（6）指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 ①當0

a(fx)>ag(x)?f(x)

②當a>1時

a(fx)>ag(x)?f(x)>g(x)logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0

（7）含參數(shù)不等式

對于解含參數(shù)不等式，要充分利用不等式的性質。對參數(shù)的討論，要不“重復”不“遺漏”。

5.含有絕對值的不等式（1）作用與地位

絕對值不等式適用范圍較廣，向量、復數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不 4 廣東省高職考試網(wǎng)——004km.cn——廣東省3+證書考試網(wǎng)

等式。

高考試題中，對絕對值不等式從多方面考查。

（2）兩個基本定理

定理1：||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|

（a、b∈R）定理2：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|+|b|

（a、b∈R）

應理解其含義，掌握證明思路以及“=”號成立的條件。

（3）解絕對值不等式的常用方法

①討論法：討論絕對值中的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉化為一般不等式。

②等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形 |x|0)|x|>a?x2>a2?x>a或x<－a(a>0)一般地有：

|f(x)|g(x)?f(x)>g(x)或f(x)

四、思想方法

1.不等式中常見的基本思想方法

（1）等價轉化。具體地說，就是無理化為有理，分式化為整式，高次化為低次，絕對值化為非絕對值，指數(shù)、對數(shù)化為代數(shù)式等。

（2）分類討論。分類討論的目的是處理解決問題過程中遇到的障礙，在無障礙時不要提前進行分類討論。

（3）數(shù)形結合。有些不等式的解決可化為兩個函數(shù)圖像間的位置關系的討論等幾何問題。

（4）函數(shù)方程思想。解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與x軸交點的問題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間。如“標根法”實際上就是一種函數(shù)方程思想。

2.證明不等式的常用方法

除了課本上介紹的證明不等式的三種基本方法外，還有如下常用方法：（1）放縮法 若證明“A≥B”，我們先證明“A≥C”，然后再證明“C≥B”，則“A≥B”。

（2）反證法

反證法是通過否定結論導致矛盾，從而肯定原結論的一種方法。

（3）數(shù)學歸納法

證明與自然數(shù)n有關的不等式時，常用數(shù)學歸納法。此法高考中已多次考查。廣東省高職考試網(wǎng)——004km.cn——廣東省3+證書考試網(wǎng)

（4）變量代換法

變量代換是數(shù)學中的一種常用的解題方法，對于一些結構比較復雜，變化較多而關系不太清楚的不等式，可適當?shù)匾M一些新的變量進行代換，以簡化其結構。其代換技巧有局部代換、整體代換、三角代換、增量代換等。

（5）函數(shù)方法

通過利用函數(shù)的性質，如單調性、凹凸性、有界性、實根存在的條件等證明不等式的方法稱為函數(shù)方法。

（6）構造方法

不等式證明中的構造方法，主要是指通過引進合適的恒等式、數(shù)列、函數(shù)、圖形及變量等輔助手段，促使命題轉化，從而使不等式得證。此法技巧要求較高，高考試題中很少見。

【例題解析】

例1 證明下列不等式：

（1）若x,y,z∈R，a,b,c∈{x|x是正實數(shù)}，則

b?c2c?a2a?b2x+y+z≥2（xy+yz+zx）；

bca（2）若x,y,z∈{x|x是正實數(shù)}，且x+y+z=xyz，則

解

（1）先考慮用作差證法 ∵

y?zz?xx?y111++≥2(++)2。xzxyzybacbb?c2c?a2a?b2x+y+z－2(xy+yz+zx)=(x2+y2－2xy)+(y2+z2－2yz)+ bcabbcaz2+(acba2cb2ac2c2x－2zx)=(x?y)+(y－z)+(z－x)≥0 ababcca∴ b?c2c?a2a?b2x+y+z≥2（xy+yz+zx）

bca

（2）采用等價轉化法 所證不等式等價于 x2y2z2(y?zz?xx?y++)≥2(xy+yz+zx)2 xzy?xyz·[yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)]≥2(xy+yz+zx)2

?(x+y+z)(y2z+yz2+z2x+zx2+x2y+xy2)≥2(x2y2+y2z2+z2x2)+4(x2yz+xy2z+xyz2)?y3z+yz3+z3x+zx3+x3y+xy3≥2x2yz+2xy2z+2xyz2

?yz(y－z)2 +zx(z－x)2+xy(x－y)2+x2(y－z)2+y2(z－x)2+z2(x－y)2≥0 ∵上式顯然成立

∴原不等式得證。

注

（1）配方技巧的實現(xiàn)關鍵在于合理的分項，正是這種分項我們對（1）還可證明如下：

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b?c2c?a2a?b2 x+y+zbca=(b2a2c2b2a2c2x+y)+(y+z)+(z+x)abbcac≥2b2a2c2b2a2c2x·y+2y·z+2z·x abbcca≥2(xy+yz+zx)（2）的證法要害是：化分式為整式，活用條件，即用x+y+z代換xyz，以及配方技術。事實上，這個代數(shù)不等式的實質是如下三角不等式：

在銳角△ABC中，求證：

cotA(tanB+tanC)+cotB·(tanC+tanA)+cotC·(tanA+tanB)≥2(cotA+cotB+cotC)2

12，則x,y,z,∈[0,]。2311證法一由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得：x2+y2+(1－x－y)2=

22例2 證明若x,y,z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=整理成關于y的一元二次方程得： 2y2－2(1－x)y+2x2－2x－∵y∈R，故Δ≥0?

1=0 21)≥0 222解之得：0≤x≤∴x∈[0,] 332同理可得：y,z∈[0,]

34(1－x)2－4×2(2x2－2x－

證法二

設x=于是 111+x′，y=+y′,z=+z′，則x′+y′+z′=0 3331111?(?x')2?(?y')2?(?z')2233312??x'2?y'2?z'2?(x'?y'?z')331 ??x'2?y'2?z'231(y'?z')22??x'?3213??x'232 7 廣東省高職考試網(wǎng)——004km.cn——廣東省3+證書考試網(wǎng)

2故x'?11122，x′∈[－，]，x∈[0, ]，同理，y,z∈[0, ] 93333

證法三

反證法

設x、y、z三數(shù)中若有負數(shù)，不妨設x<0，則x2>0，1=x2+y2+z2≥2(y?z)2(1?x)211232x2+=+x=x－x+>，矛盾。22222設x,y,z三數(shù)中若有最大者大于

22，不妨設x>，則： 3312222(y?z)=x+y+z≥x+ 222(1?x)2312=x2+=x－x+ 2223211x·(x－)+>，矛盾。23222故x,y,z∈[0, ]。

3=

注：本題證法甚多，最易接受的方法是證法一的判別式法，因為該法思路明晰，易于操作，技巧性不強。

第二篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學的基本內容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構造法：通過構造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學歸納法：數(shù)學歸納法證明不等式在數(shù)學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎?，無理式變?yōu)橛欣硎?，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

第三篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對滿足x?y?z?1的一切正實數(shù) x,y,z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學在證明命題“7??要證明7?3??2”時作了如下分析，請你補充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因為14?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當a,b?M??x|?2?x?2?時,證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設各項均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項公式；an?2n?1

(3)證明：對一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設數(shù)列?an?的前n項和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項公式；an?n2(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù)n,有數(shù)學歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結論．25

17.用數(shù)學歸納法證明不等式：

．

第四篇：不等式證明經(jīng)典

金牌師資，笑傲高考

2013年數(shù)學VIP講義

【例1】 設a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 設A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

因A、B的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個字母。關鍵是消去哪個字母，因條件中已知a的不等關系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaA-B=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項和，根據(jù)不等號方向，應自左向右運用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。

中天教育咨詢電話：0476-8705333

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ab?1212

2013年數(shù)學VIP講義

22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c為正實數(shù)，求證：?（2）a，b，c為正實數(shù)，求證：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的結構與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達到目的。試一試行嗎？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項全消去了。為了達到目的，應在系數(shù)上作調整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y為正實數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥

2a22。

思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結構特點，聯(lián)想到算術平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關系。∵ x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉化為一元函數(shù)，再用單調性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途徑2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

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途徑3：三角換元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年數(shù)學VIP講義

則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數(shù)學常用的重要方法?！纠?】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所證不等式的形式較復雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實際上就是對所證不等式進行適當?shù)幕啞⒆冃?，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要證?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?

?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)

112.不等號兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達式的特點，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關系進行比較。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 32?22013年數(shù)學VIP講義

∴ g(b)>f(a)注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時曾講過。由此也說明，實數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。

這是一個與絕對值有關的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。

從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=-1時，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調性求g(x)=ax+b的值域。

當a>0時，g(x)在[-1，1]上單調遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a<0時，同理可證。

思路二：直接利用絕對值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。當a>0時

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論

① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 當a<0時，同理可證。

評注：本題證明過程中，還應根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。

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2013年數(shù)學VIP講義

1、設a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12?1b1a≤?141b B、≤1 D、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設M=

a4?a?bb?cc4?c，N=，則MN的大小關系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函數(shù)f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。

12、當00且t≠1時，logat與log21t?1a2

2ab?a?1b?1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小關系是__________。

n13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n>2）的大小關系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?

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ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求證：

18、若a，b，c為正數(shù)，求證：

19、設a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數(shù)學VIP講義

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

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第五篇：不等式證明

§14不等式的證明

不等式在數(shù)學中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對一個不等式進行變形的性質：

（1）a?b?b?a（對稱性）

（2）a?b?a?c?b?c（加法保序性）

（3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?N*).對兩個以上不等式進行運算的性質.（1）a?b,b?c?a?c（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含絕對值不等式的性質：

（1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad?bc.cd 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學歸納法、構造函數(shù)方法等.當然在證題過程中，?？伞坝梢驅Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.例題講解 1．a,b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a,b,c?0，求證：abc?(abc)

abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?R,求證a?b?c?2c2a2bbccaab?

4．設a1,a2,?,an?N*，且各不相同，求證：1?????

12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?1.8

7．利用排序不等式證明Gn?An

8．證明：對于任意正整數(shù)R，有(1?

1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n

1n? 課后練習

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組

（C）三組

（D）四組

(2)在0,1,2,?，50這51個整數(shù)中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個

（C）5個

（D）6個 2．填空題

（1）的個位數(shù)分別為_________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數(shù)A的個數(shù)是x×10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數(shù)解x和y_________.3.求三個正整數(shù)x、y、z滿足

23.4．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？

5．求的整數(shù)解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數(shù)x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，l為質數(shù).證明：2（l+m+n）是完全平方數(shù).9.如果p、q、、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數(shù)解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數(shù).4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．．

略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質特征不等式兩邊的次22數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(n-m).∵l為質數(shù),且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數(shù).222

229.易知p≠q,不妨設p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

例題答案：

1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)

?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c

評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時，可將a2?b2

1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關于a,b,c對稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?R?，且

ab,，bca都大于等于1.caabbcc(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3

a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得證.（4）設a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設有兩個有序數(shù)組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立.排序不等式應用較為廣泛（其證明略），它的應用技巧是將不等式兩邊轉化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如a,b,c?R?時,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c

a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)abc111333??組a?b?c及，仿上可證第二個不等式.bcacab

222不妨設a?b?c,則a?b?c,4.分析：不等式右邊各項

ai1?a?；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.i22ii設b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數(shù)，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2，原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質特征不等式兩邊的次數(shù)及22系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數(shù)式呢.44要證a?b?1，如何也轉化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1 ?x211133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當然本題另有簡使證法.38（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數(shù)a1,a2,?an)

調和平均Hn?n111????a1a2an 幾何平均Gn?na1?a2?an 算術平均An?a1?a2???an

n22a12?a2???an平方平均Qn?

2這四個平均值有以下關系：Hn?Gn?An?Qn，其中等號當且僅當a1?a2???an時成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 Gnb1?

xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn

=xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1?

=n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?Gn.GnGnGnn111，?,各數(shù)利用算術平均大于等于幾何平均即可得，Gn?An.a1a2an 評述:對8.分析:原不等式等價于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術平均.n?11nn1，故可設法使其左邊轉化為n個數(shù)的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個n?1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式

111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?

n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)

nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n

n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式

?1111??????n?(n?1)?nn?1

23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n

（**）? n?1?nn?1

（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.