第一篇：抽屜原理

抽屜原理

我們?cè)谒哪昙?jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)抽屜原理，并能夠解答一些簡(jiǎn)單的 抽屜原理問(wèn)題。這兩講先復(fù)習(xí)一下抽屜原理的概念，然后結(jié)合一些較復(fù)雜的抽屜原理問(wèn)題，討論如何構(gòu)造抽屜。

抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。

抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于（m+1）件。

理解抽屜原理要注意幾點(diǎn)：(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無(wú)妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進(jìn)抽屜里的方法，不規(guī)定每個(gè)抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個(gè)抽屜放物品的個(gè)數(shù)。

（3）抽屜原理只能用來(lái)解決存在性問(wèn)題，“至少有一個(gè)”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個(gè)，但這里只需保證存在一個(gè)達(dá)到要求的抽屜就夠了。

（4）將a件物品放入n個(gè)抽屜中，如果a÷n= m……b，其中b是自然數(shù)，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于（m+1）件。

例1 五年級(jí)有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以下，其余學(xué)生的成績(jī)均在75～95分之間。問(wèn)：至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同？

分析與解：關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜。既然是問(wèn)“至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同”，說(shuō)明應(yīng)以成績(jī)?yōu)槌閷?，學(xué)生為物品。除3名成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生外，其余成績(jī)均在75～95分之間，75～95共有21個(gè)不同分?jǐn)?shù)，將這21個(gè)分?jǐn)?shù)作為21個(gè)抽屜，把47-3=44（個(gè)）學(xué)生作為物品。

44÷21= 2……2，根據(jù)抽屜原理2，至少有1個(gè)抽屜至少有3件物品，即這47名學(xué)生中至少有3名學(xué)生的成績(jī)是相同的。

例2 夏令營(yíng)組織2000名營(yíng)員活動(dòng)，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個(gè)項(xiàng)目。規(guī)定每人必須參加一項(xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)。那么至少有幾名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同？

分析與解：本題的抽屜不是那么明顯，因?yàn)閱?wèn)的是“至少有幾名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同”，所以應(yīng)該把活動(dòng)項(xiàng)目當(dāng)成抽屜，營(yíng)員當(dāng)成物品。營(yíng)員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問(wèn)題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個(gè)抽屜。

因?yàn)椤懊咳吮仨殔⒓右豁?xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)”，共有3項(xiàng)活動(dòng)，所以只參加一項(xiàng)活動(dòng)的有3種情況，參加兩項(xiàng)活動(dòng)的有爬山與參觀、爬山與海灘游玩、參觀與海灘游玩3種情況，所以共有3+3=6（個(gè)）抽屜。

2000÷6=333……2，根據(jù)抽屜原理2，至少有一個(gè)抽屜中有333+1=334（件）物品，即至少有334名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目是相同的。

例3把125本書分給五（2）班學(xué)生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個(gè)班最多有多少人？

分析與解：這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因?yàn)槭前褧纸o學(xué)生，所以學(xué)生是抽屜，書是物品。本題可以變?yōu)椋?25件物品放入若干個(gè)抽屜，無(wú)論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜中放有4件物品，求最多有幾個(gè)抽屜。這個(gè)問(wèn)題的條件與結(jié)論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。由

1255÷（4-1）＝41……2知，125件物品放入41個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有不少于4件物品。也就是說(shuō)這個(gè)班最多有41人。

同學(xué)們想一想，如果有42個(gè)人，還能保證至少有一人分到至少4本書嗎？

例4五（1）班張老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對(duì)得2分，沒(méi)做得1分，做錯(cuò)得0分。張老師說(shuō)：可以肯定全班同學(xué)中至少有6名學(xué)生各題的得分都相同。那么，這個(gè)班最少有多少人？

分析與解：由“至少有6名學(xué)生各題的得分都相同”看出，應(yīng)該以各題得分情況為抽屜，學(xué)生為物品。

如果用（a，b）表示各題的得分情況，其中a，b分別表示第一、二題的得分，那么有

（2，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1），（1，0），（0，2），（0，1），（0，0）

9種情況，即有9個(gè)抽屜。

本題變?yōu)椋阂阎?個(gè)抽屜中至少有一個(gè)抽屜至少有6件物品，求至少有多少件物品。反著用抽屜原理2，得到至少有9×（6－1）+1=46(人)。

例3與例4盡管都是求學(xué)生人數(shù)，但因?yàn)閱?wèn)題不同，所以構(gòu)造的抽屜也不同，例3中將學(xué)生作為抽屜，例4中則將學(xué)生作為物品?？梢?jiàn)利用抽屜原理解題，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題靈活構(gòu)造抽屜。一般地，當(dāng)問(wèn)“最少有多少××”時(shí)，應(yīng)將××作為物品，如例1，2，4；當(dāng)問(wèn)“最多有多少××?xí)r，應(yīng)將××作為抽屜，如例3。

例5任意將若干個(gè)小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)。

分析與解：因?yàn)橐唤M中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性只有下面四種情況：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。

將這四種情況作為4個(gè)抽屜，五組作為5件物品，由抽屜原理1知，至少有一個(gè)抽屜中有兩件物品。即這五組中至少有兩組的情況相同，將這兩組人數(shù)相加，男孩人數(shù)與女孩人數(shù)都是偶數(shù)。

1．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員在15分鐘內(nèi)將球投進(jìn)籃圈20次，證明總有某一分鐘他至少投進(jìn)兩次.2．有黑、白、黃筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子來(lái)，使得至少有兩雙筷子不同色，那么至少要取出多少只筷子才能做到？

3．證明：在1，2，3，…，10這十個(gè)數(shù)中任取六個(gè)數(shù)，那么這六個(gè)數(shù)中總可以找到兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).4．證明：任意502個(gè)整數(shù)中，必有兩個(gè)整數(shù)的和或差是998的倍數(shù).5．任意寫一個(gè)由數(shù)字1，2，3組成的30位數(shù)，從這30位數(shù)任意截取相鄰三位，可得一個(gè)三位數(shù)，證明：在從各個(gè)不同位置上截得的三位數(shù)中至少有兩個(gè)相等.6．證明：把任意10個(gè)自然數(shù)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)，運(yùn)算的結(jié)果總能被1890整除.7．七條直線兩兩相交，所得的角中至少有一個(gè)角小于26°.8．用2種顏色涂3行9列共27個(gè)小方格，證明：不論如何涂色，其中必至少有兩列，它們的涂色方式相同.9．用2種顏色涂5×5共25個(gè)小方格，證明：必有一個(gè)四角同色的矩形出現(xiàn).10．求證存在形如11…11的一個(gè)數(shù)，此數(shù)是1987的倍數(shù).抽屜原理習(xí)題答案

（蘋果數(shù)總是比抽屜數(shù)少）

1、平均分假設(shè)，每分鐘投進(jìn)一個(gè)，那么還有5個(gè)球沒(méi)時(shí)間投，無(wú)論在哪個(gè)一分鐘內(nèi)投都能夠使得這一分鐘投進(jìn)至少兩球。2、11只，最倒霉原則，先取出8只黃筷子，然后一黑一白，在任意取一只必能滿足結(jié)果！

3、首先找到5個(gè)數(shù)，任意數(shù)都不是其他數(shù)的倍數(shù)！可能是4、5、6、7、9或者5、6、7、8、9，這能是這兩種組合，然后任意再挑一個(gè)，都會(huì)出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系。

3、另解：把1到10分成5個(gè)組{5，10}、{3，9}、{1，2，4，8}、{6}、{7} 咱要從5個(gè)組里取6個(gè)數(shù)出來(lái)，必須從1個(gè)組里取2個(gè)數(shù)出來(lái)，而任意組拿出來(lái)的2個(gè)數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系。4、998=499*2=500+498，0-499這500個(gè)數(shù)，不能滿足條件，任意拿到一個(gè)數(shù)加上或者減這500個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，必然是998的倍數(shù)

4、另解：每個(gè)整數(shù)被９９８除，余數(shù)必是０，１，２，…，９９７中的一個(gè)．把這９９８?jìng)€(gè)余數(shù)制造為（０），（１，９９７），（２，９９６），…，（４９７，５０１），（４９８），（４９９），（５００）共５０１個(gè)抽屜，把５０２個(gè)整數(shù)按被９９８除的余數(shù)大小分別放入上述抽屜，必有兩數(shù)進(jìn)入同一抽屜．若余數(shù)相同，那么它們的差是９９８的倍數(shù)，否則和為９９８的倍數(shù)．

5、從30位數(shù)中截出個(gè)3位數(shù)來(lái)，這個(gè)三位數(shù)共有多少中情況呢？111，112，113。。。用乘法原理可知共3*3*3=27種情況，而如果從一個(gè)30位數(shù)上往下截，應(yīng)該有28中截法，可見(jiàn)截法比種類還多，這說(shuō)明，至少有兩種截法截出來(lái)數(shù)要相同。

6、由于1890=9*7*5*3*2，也就是說(shuō)1890同時(shí)是9，7，5，3，2的倍數(shù)，由于除以9的余數(shù)只有0到8共9中情況，所以任意取10個(gè)自然數(shù)，則至少有2個(gè)數(shù)被9除同余，同理，除去這兩個(gè)被9除同余的數(shù)外，剩下的8個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)被7除同余 再除去這兩個(gè)數(shù)，剩下6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)被5除同余 再除去這兩個(gè)數(shù)，剩下4個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)被3除同余 最后剩下2個(gè)數(shù)，要么有一個(gè)2的倍數(shù)，要么差是2的倍數(shù)。

把剛才所有同余的一對(duì)數(shù)求差，生成的5個(gè)數(shù)或者6個(gè)數(shù)中，一定會(huì)同時(shí)擁有9，7，5，3，2的倍數(shù)，因此，全部乘起來(lái)后一定能被1890整除

7．平面中的任意七條線，我們都可以把他們平移到一個(gè)交點(diǎn)上這樣并不會(huì)改變?cè)冉堑亩葦?shù)。這樣就能得到14個(gè)較小的角，如圖所示，且對(duì)頂角相等。而又知，這14個(gè)角圍成了一圈，也就是360度，那么14個(gè)角的平均度數(shù)就是360/14=25.7度<26度，所以必然有角度數(shù)小于26度。

8．總共有9列，每列有3個(gè)格子，而用兩種顏色對(duì)3個(gè)格子進(jìn)行涂色只有如下集中情況 000，001，010，011，100，101，110，111共8種情況，其實(shí)用乘法原理2*2*2=8也可得。但現(xiàn)在有9列需要涂色，可見(jiàn)列數(shù)大于涂色種類，因此必然存在至少2列的涂色方法一致。

9．先看第一行，有5個(gè)方格，用兩種顏色去染色，根據(jù)抽屜原理必有3個(gè)方格同色。不妨設(shè)有3個(gè)方格為白色（設(shè)黑色也一樣）（見(jiàn)圖一），設(shè)在第1，3，5列。我們把第2，4列拋棄不看。如果不是1，3，5列是白色，我們不管是哪三個(gè)是白色的，只要留下第一行為白色的三列就OK！剩下的就5*3的陣列了（見(jiàn)圖二）。有兩種情況：

（1）在5*3的方格中，2-5行的某一行的3個(gè)方格中出現(xiàn)兩個(gè)白格，則它們與第一行相應(yīng)的兩個(gè)白格可組成四個(gè)同為白色的長(zhǎng)方形。

（2）在5*3的方格中，2-5行如果沒(méi)有兩個(gè)白格。那么只有白黑黒（記為1），黒白黑（記為2），黑黑白（記為3），黑黑黑（記為4）四種可能。（圖三）如果4出現(xiàn)在后四行中，不管其他三行為1，2，3，4的哪種，必有一個(gè)四角為黑色小方格的長(zhǎng)方形。如果4沒(méi)有出現(xiàn)，則在這四行中只能出現(xiàn)1，2，3這三種情況。由抽屜原理，必有兩行染色方式相同，顯然這兩行中的4個(gè)黑色的小方格可以構(gòu)成四角同黑的長(zhǎng)方形。

10、用1987去除任意自然數(shù)，其余數(shù)只有0-1986共1987個(gè)數(shù)，這就意味著：任意取1988個(gè)不相同的數(shù)，必存在2個(gè)數(shù)除1987同余。

如果可以用f（1）代表1個(gè)1的話，那么f（2）就代表11，f（3）就代表111，f（100）就代表100個(gè)1。那么我們?nèi)（1）到f(1988)這1988個(gè)數(shù)，這其中必有兩個(gè)數(shù)對(duì)1987同余。假設(shè)這兩個(gè)數(shù)位f（m）和f（n），其中m大于n，則f（m）-f（n）一定能被1987整除。而f（m）-f（n）肯定是由m-n個(gè)1和n個(gè)0組成。容易的證f（m-n）能被1987整除。

第二篇：抽屜原理

抽屜原理

把5個(gè)蘋果放到4個(gè)抽屜中，必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：

第一抽屜原理：把（mn＋1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（m＋1）個(gè)物體。

使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。一般說(shuō)來(lái)，數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。

例1 從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；

（2）有2個(gè)數(shù)的差為50；

（3）有8個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。

證明：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組中的2個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們一定是互質(zhì)的。

（2）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組的2個(gè)數(shù)的差為50。

（3）將100個(gè)數(shù)分成5組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：

第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；

第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；

第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；

第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}；

第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1，11，13，…，97}。

第五組中有22個(gè)數(shù)，故選出的51個(gè)數(shù)至少有29個(gè)數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理，總有8個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)大于1。

例2 求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

證明：因1996÷4＝499，故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。

得到500個(gè)余數(shù)r1，r2，…，r500。由于余數(shù)只能取0，1，2，…，499這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原理，必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，這個(gè)差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互質(zhì)的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

例3 在一個(gè)禮堂中有99名學(xué)生，如果他們中的每個(gè)人都與其中的66人相識(shí)，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識(shí)（假定相識(shí)是互相的）。

分析：注意到題中的說(shuō)法“可能出現(xiàn)……”，說(shuō)明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說(shuō)的結(jié)論即可。

解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學(xué)生作為3個(gè)抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人只在B，C中，同時(shí)，B，C中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人也只在A，C和A，B中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說(shuō)情況

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就可能出現(xiàn)。

因?yàn)槎Y堂中任意4人可看做4個(gè)蘋果，放入A，B，C三個(gè)抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來(lái)自同一組，那么他們認(rèn)識(shí)的人只在另2組中，因此他們兩人不相識(shí)。

例4 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開(kāi)始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同。當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。

分析：此題中沒(méi)有直接提供我們用以構(gòu)造抽屜和蘋果的數(shù)量關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換一下看問(wèn)題的角度。

解：內(nèi)外兩環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構(gòu)造出少于8個(gè)抽屜。

注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45°角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面，而最初的8對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以數(shù)字相同的滾珠相對(duì)的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對(duì)的局面看做8個(gè)蘋果，則至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中，即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。

例5 有一個(gè)生產(chǎn)天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間?，F(xiàn)在需要重量相差不超過(guò)0.005克的兩只鐵盤來(lái)裝配一架天平，問(wèn)：最少要生產(chǎn)多少個(gè)盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？

解：把20～20.1克之間的盤子依重量分成20組：

第1組：從20.000克到20.005克；

第2組：從20.005克到20.010克；

……

第20組：從20.095克到20.100克。

這樣，只要有21個(gè)盤子，就一定可以從中找到兩個(gè)盤子屬于同一組，這2個(gè)盤子就符合要求。

例6 在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的。那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19個(gè)籌碼，為什么？

分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時(shí)，使每個(gè)抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個(gè)籌碼。

解：依順時(shí)針?lè)较驅(qū)⒒I碼依次編上號(hào)碼：1，2，…，100。然后依照以下規(guī)律將100個(gè)籌碼分為20組：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

將41個(gè)紅籌碼看做蘋果，放入以上20個(gè)抽屜中，因?yàn)?1=2×20＋1，所以至少有一個(gè)抽屜中有2+1=3（個(gè)）蘋果，也就是說(shuō)必有一組5個(gè)籌碼中有3個(gè)紅色籌碼，而每組的5個(gè)籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個(gè)相鄰籌碼之間都有19個(gè)籌碼，那么3個(gè)紅色籌碼中必有2個(gè)相鄰（這將在下一個(gè)內(nèi)容——第二抽屜原理中說(shuō)明），即有2個(gè)紅色籌碼之間有19個(gè)籌碼。

下面我們來(lái)考慮另外一種情況：若把5個(gè)蘋果放到6個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著。這種情況一般可以表述為：

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第二抽屜原理：把（mn-1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m-1）個(gè)物體。

例7 在例6中留有一個(gè)疑問(wèn)，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個(gè)籌碼，其中有3個(gè)是同色的，那么這3個(gè)同色的籌碼必有2個(gè)相鄰。

分析：將這個(gè)問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化：

如右圖，將同色的3個(gè)籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個(gè)籌碼將其隔開(kāi)。

解：如圖，將同色的3個(gè)籌碼放置在圓周上，將每2個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個(gè)籌碼看做蘋果，將2個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜中，則必有1個(gè)抽屜中沒(méi)有蘋果，即有2個(gè)同色籌碼之間沒(méi)有其它籌碼，那么這2個(gè)籌碼必相鄰。

例8 甲、乙二人為一個(gè)正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問(wèn)：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？

解：不能。

如右圖將12條棱分成四組：

第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。

無(wú)論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無(wú)法將某一面的4條棱全部涂紅了。

下面我們討論抽屜原理的一個(gè)變形——平均值原理。

我們知道n個(gè)數(shù)a1，a2，…，an的和與n的商是a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均值。平均值原理：如果n個(gè)數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個(gè)數(shù)不大于a，也至少有一個(gè)不小于a。

例9 圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0，1，2，…，1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999。

解：設(shè)圓周上各點(diǎn)的值依次是a1，a2，…，a2000，則其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

這2000組和中必至少有一組和大于或等于

但因每一個(gè)和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999，亦即存在一個(gè)點(diǎn)，與它緊相鄰的兩點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于2999。

例10 一家旅館有90個(gè)房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時(shí)回來(lái)，那么至少要準(zhǔn)備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來(lái)時(shí)，每個(gè)客人都能用自己分到的鑰匙打開(kāi)一個(gè)房門住進(jìn)去，并且避免發(fā)生兩人同時(shí)住進(jìn)一個(gè)房間？

解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個(gè)房間中至少有一個(gè)房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開(kāi)，因此90個(gè)人就無(wú)法按題述的條件住下來(lái)。

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另一方面，990把鑰匙已經(jīng)足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個(gè)人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間。

最后，我們要指出，解決某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請(qǐng)看下面兩道例題。

例11 設(shè)有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無(wú)論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

證明：我們先考察第一行中28個(gè)小方格涂色情況，用三種顏色涂28個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個(gè)小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10個(gè)小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：

（1）這三行中，至少有一行，其前面10個(gè)小方格中，至少有2個(gè)小方格是涂有紅色的，那么這2個(gè)小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格，便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形就是一個(gè)四角同是紅色的長(zhǎng)方形。

（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7個(gè)小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了。

我們先考慮這個(gè)3×7的長(zhǎng)方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4個(gè)小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第1至4列。

再考慮第二行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：

（1）這4格中，至少有2格被涂上藍(lán)色，那么這2個(gè)涂上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形四角同是藍(lán)色。

（2）這4格中，至多有1格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設(shè)這3個(gè)小方格就在第二行的前面3格。

下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍(lán)、黃兩色涂3個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有2個(gè)方格是同色的，無(wú)論是同為藍(lán)色或是同為黃色，都可以得到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

總之，對(duì)于各種可能的情況，都能找到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問(wèn)：參加考試的學(xué)生最多有多少人？

解：設(shè)每題的三個(gè)選擇分別為a，b，c。

（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學(xué)生中，必有一組不超過(guò)3人。去掉這組學(xué)生，在余下的學(xué)生中，定有7人對(duì)第一題的答案只有兩種。對(duì)于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。對(duì)于這5人關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后，對(duì)于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種。于是，對(duì)于這3人來(lái)說(shuō)，沒(méi)有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求?？梢?jiàn)，所求的最多人數(shù)不超過(guò)9人。

另一方面，若9個(gè)人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個(gè)問(wèn)題的答案互不相同。

所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)13

1.六（1）班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績(jī)除3人外均在86分以上后就說(shuō)：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績(jī)相同。”請(qǐng)問(wèn)王老師說(shuō)得對(duì)嗎？為什么？

2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個(gè)

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乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？

3.某校初二年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問(wèn)：在至少多少個(gè)初二學(xué)生中一定能有4個(gè)人身高相同？

4.從1，2，…，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有兩個(gè)數(shù)的和為101；

（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；

（3）有一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和是51的倍數(shù)。

5.在3×7的方格表中，有11個(gè)白格，證明

（1）若僅含一個(gè)白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個(gè)白格；

（2）只有一個(gè)白格的列只有3列。

6.某個(gè)委員會(huì)開(kāi)了40次會(huì)議，每次會(huì)議有10人出席。已知任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開(kāi)兩次或更多的會(huì)議。問(wèn)：這個(gè)委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？

7.一個(gè)車間有一條生產(chǎn)流水線，由5臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開(kāi)動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作?？偣灿?個(gè)工人在這條流水線上工作。在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場(chǎng)。為了保證生產(chǎn)，要對(duì)這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱為一輪。問(wèn)：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？

8.有9名數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語(yǔ)言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語(yǔ)言通話。

練習(xí)13

1.對(duì)。解：因?yàn)?9-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說(shuō)，把從100分至86分的15個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)做抽屜，49-3=46（人）的成績(jī)當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成績(jī)相同。

2.4個(gè)。解：18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個(gè)盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個(gè)盒子中放了1只乒乓球，3個(gè)盒中放了2只乒乓球……3個(gè)盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個(gè)盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進(jìn)原來(lái)有2只乒乓球的一個(gè)盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來(lái)裝有3只乒乓球的3個(gè)盒子，這樣就有4個(gè)盒子里裝有3個(gè)乒乓球。所以至少有4個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。

3.34個(gè)。

解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜

160-150+1=11（個(gè)）。

根據(jù)抽屜原理，要保證有4個(gè)人身高相同，至少要有初二學(xué)生

3×11+1=34（個(gè)）。

4.證：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

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｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。

（2）將100個(gè)數(shù)分成10組：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數(shù)｝。

其中第10組中有41個(gè)數(shù)。在選出的51個(gè)數(shù)中，第10組的41個(gè)數(shù)全部選中，還有10個(gè)數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。

（3）將選出的51個(gè)數(shù)排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考慮下面的51個(gè)和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若這51個(gè)和中有一個(gè)是51的倍數(shù)，則結(jié)論顯然成立；若這51個(gè)和中沒(méi)有一個(gè)是51的倍數(shù)，則將它們除以51，余數(shù)只能是1，2，…，50中的一個(gè)，故必然有兩個(gè)的余數(shù)是相同的，這兩個(gè)和的差是51的倍數(shù)，而這個(gè)差顯然是這51個(gè)數(shù)（a1，a2，a3，…，a51）中的一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和。

5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個(gè)白格，則剩下的5個(gè)白格要放入3列中，將3列表格看做3個(gè)抽屜，5個(gè)白格看做5個(gè)蘋果，根據(jù)第二抽屜原理，5（=2×3-1）個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜，則必有1個(gè)抽屜至多只有（2-1）個(gè)蘋果，即必有1列只含1個(gè)白格，也就是說(shuō)除了原來(lái)3列只含一個(gè)白格外還有1列含1個(gè)白格，這與題設(shè)只有1個(gè)白格的列只有3列矛盾。所以不會(huì)有1列有3個(gè)白格，當(dāng)然也不能再有1列只有1個(gè)白格。推知其余4列每列恰好有2個(gè)白格。

（2）假設(shè)只含1個(gè)白格的列有2列，那么剩下的9個(gè)白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個(gè)）白格，與假設(shè)只有2列每列只1個(gè)白格矛盾。所以只有1個(gè)白格的列至少有3列。

6.能。

解：開(kāi)會(huì)的“人次”有 40×10=400（人次）。設(shè)委員人數(shù)為N，將“人次”看做蘋果，以委員人數(shù)作為抽屜。

若N≤60，則由抽屜原理知至少有一個(gè)委員開(kāi)了7次（或更多次）會(huì)。但由已知條件知沒(méi)有一個(gè)人與這位委員同開(kāi)過(guò)兩次（或更多次）的會(huì)，故他所參加的每一次會(huì)的另外9個(gè)人是不相同的，從而至少有7×9=63（個(gè)）委員，這與N≤60的假定矛盾。所以，N應(yīng)大于60。

7.20輪。

解：如果培訓(xùn)的總輪數(shù)少于20，那么在每一臺(tái)機(jī)器上可進(jìn)行工作的工人果這3個(gè)工人某一天都沒(méi)有到車間來(lái)，那么這臺(tái)機(jī)器就不能開(kāi)動(dòng)，整個(gè)流水線就不能工作。故培訓(xùn)的總輪數(shù)不能少于20。

另一方面，只要進(jìn)行20輪培訓(xùn)就夠了。對(duì)3名工人進(jìn)行全能性培訓(xùn)，訓(xùn)練他們會(huì)開(kāi)每一臺(tái)機(jī)器；而對(duì)其余5名工人，每人只培訓(xùn)一輪，讓他們每人能開(kāi)動(dòng)一臺(tái)機(jī)器。這個(gè)方案實(shí)施后，不論哪5名工人上班，流水線總能工作。

8.證：以平面上9個(gè)點(diǎn)A1，A2，…，A9表示9個(gè)數(shù)學(xué)家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點(diǎn)聯(lián)線，并涂上一種顏色（不同的語(yǔ)言涂上不同顏色）。此時(shí)有兩種情況：

（1）9點(diǎn)中有任意2點(diǎn)都有聯(lián)線，并涂了相應(yīng)的顏色。于是從某一點(diǎn)A1出發(fā)，分別與

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A2，A3，…，A9聯(lián)線，又據(jù)題意，每人至多能講3種語(yǔ)言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設(shè)A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語(yǔ)言通話。

（2）9點(diǎn)中至少有2點(diǎn)不聯(lián)線，不妨設(shè)是A1與A2不聯(lián)線。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發(fā)至少有7條聯(lián)線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯(lián)線從A1或A2 出發(fā)。不妨設(shè)從A1出發(fā)，又因A1至多能講3種語(yǔ)言，所以這4條聯(lián)線中，至少有2條聯(lián)線是同色的。若A1A3與A1A4同色，則A1，A3，A4這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語(yǔ)言通話。

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第三篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析：現(xiàn)行小學(xué)教材人教版在十一冊(cè)編入這一原理，旨在于讓學(xué)生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會(huì)用“抽屜原理”解決實(shí)際有關(guān)“存在”問(wèn)題；通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓孩子建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過(guò)程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

學(xué)情分析：使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過(guò)程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2、通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3、通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”。

教學(xué)難點(diǎn)：理解“抽屜原理”，并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。

教學(xué)過(guò)程

一、游戲引入

3個(gè)人坐兩個(gè)座位，3人都要坐下，一定有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人。

這其中蘊(yùn)含了有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)（）枝鉛筆先猜一猜，再動(dòng)手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發(fā)現(xiàn)？

不管怎么放總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆?？傆惺鞘裁匆馑迹恐辽偈鞘裁匆馑?/p>

2、思考

有沒(méi)有一種方法不用擺放就可以知道至少數(shù)是多少呢？

1、3人坐2個(gè)位子，總有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人2、4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒中，總有一個(gè)文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒中，6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒中。99支鉛筆放進(jìn)98個(gè)文具盒中。是否都有一個(gè)文具盒中

至少放進(jìn)2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達(dá)嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個(gè)文具盒里，總有一個(gè)文具盒至少放進(jìn)幾枝鉛筆？把7枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒里呢? 8枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒呢? 9枝筆放進(jìn)3個(gè)文具盒呢？至少數(shù)=上+余數(shù)嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數(shù)學(xué)小知識(shí)

數(shù)學(xué)小知識(shí)：抽屜原理的由來(lái)最先發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的人是誰(shuí)呢？最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的，后人們?yōu)榱思o(jì)念他從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個(gè)規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關(guān)在5個(gè)籠子里，至少有多少只兔子要關(guān)在同一個(gè)籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績(jī)是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

4、六年級(jí)四個(gè)班的學(xué)生去春游，自由活時(shí)有6個(gè)同學(xué)在一起，可以肯定。為什么？

六、小結(jié)

這節(jié)課你有什么收獲？

七、作業(yè)：課后練習(xí)

第四篇：抽屜原理

抽屜原理

【知識(shí)要點(diǎn)】

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)基本原理，最先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狹利克雷明確地提出來(lái)的，因此，也稱為狹利克雷原理。

把3個(gè)蘋果放進(jìn)2個(gè)抽屜里，一定有一個(gè)抽屜里放了2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果。這個(gè)人人皆知的常識(shí)就是抽屜原理在日常生活中的體現(xiàn)。用它可以解決一些相當(dāng)復(fù)雜甚至無(wú)從下手的問(wèn)題。

原理1：把n+1個(gè)元素分成n類，不管怎么分，則一定有一類中有2個(gè)或2個(gè)以上的元素。

原理2：把m個(gè)元素任意放入n（n＜m）個(gè)集合，則一定有一個(gè)集合呈至少要有k個(gè)元素。

其中 k＝ 商（當(dāng)n能整除m時(shí)）

商＋1（當(dāng)n不能整除m時(shí)）

原理3：把無(wú)窮多個(gè)元素放入有限個(gè)集合里，則一定有一個(gè)集合里含有無(wú)窮多個(gè)元素。【解題步驟】

第一步：分析題意。分清什么是“東西”，什么是“抽屜”，也就是什么作“東西”，什么可作“抽屜”。

第二步：制造抽屜。這個(gè)是關(guān)鍵的一步，這一步就是如何設(shè)計(jì)抽屜。根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)和確定解決問(wèn)題所需的抽屜及其個(gè)數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。

第三步：運(yùn)用抽屜原理。觀察題設(shè)條件，結(jié)合第二步，恰當(dāng)應(yīng)用各個(gè)原則或綜合運(yùn)用幾個(gè)原則，以求問(wèn)題之解決。【例題講解】

例

1、教室里有5名學(xué)生正在做作業(yè)，今天只有數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理四科作業(yè)

求證：這5名學(xué)生中，至少有兩個(gè)人在做同一科作業(yè)。證明：將5名學(xué)生看作5個(gè)蘋果 將數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、地理作業(yè)各看成一個(gè)抽屜，共4個(gè)抽屜 由抽屜原理1，一定存在一個(gè)抽屜，在這個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果。即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)。

例

2、木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出多少個(gè)球？ 解：把3種顏色看作3個(gè)抽屜

若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于3 大于3的最小數(shù)字是4 故至少取出4個(gè)小球才能符合要求 答：最少要取出4個(gè)球。

例

3、班上有50名學(xué)生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個(gè)學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。

解：把50名學(xué)生看作50個(gè)抽屜，把書看成蘋果 根據(jù)原理1，書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多 即書至少需要50+1=51本 答：最少需要51本。

例

4、在一條長(zhǎng)100米的小路一旁植樹(shù)101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹(shù)的距離不超過(guò)1米。

解：把這條小路分成每段1米長(zhǎng)，共100段

每段看作是一個(gè)抽屜，共100個(gè)抽屜，把101棵樹(shù)看作是101個(gè)蘋果 于是101個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果 即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹(shù)

例5、11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有A、B、C、D四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本 試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同

證明：若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有A、B、C、D四種

若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種 共有10種類型

把這10種類型看作10個(gè)“抽屜” 把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”

如果誰(shuí)借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜

由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同

例

6、有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒(méi)有平局，也沒(méi)有全勝 試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同 證明：設(shè)每勝一局得一分

由于沒(méi)有平局，也沒(méi)有全勝，則得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能 以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜 現(xiàn)有50名運(yùn)動(dòng)員得分 則一定有兩名運(yùn)動(dòng)員得分相同

例

7、體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問(wèn)至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？

解：根據(jù)規(guī)定，同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種：

｛足｝｛排｝｛藍(lán)｝｛足足｝｛排排｝｛藍(lán)藍(lán)｝｛足排｝｛足藍(lán)｝｛排藍(lán)｝ 以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜 將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果

50÷9＝5.……5

由抽屜原理2：k＝商＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的

第五篇：抽屜原理

抽屜原理

一、起源

抽屜原理最先是由19 世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家迪里赫萊(Dirichlet)運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的,所以又稱“迪里赫萊原理”,也有稱“鴿巢原理”的.這個(gè)原理可以簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椤鞍?0個(gè)蘋果,任意分放在9 個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果”.這個(gè)道理是非常明顯的,但應(yīng)用它卻可以解決許多有趣的問(wèn)題,并且常常得到一些令人驚異的結(jié)果.抽屜原理是國(guó)際國(guó)內(nèi)各級(jí)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的重要內(nèi)容,本講就來(lái)學(xué)習(xí)它的有關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用.二、抽屜原理的基本形式

定理1,如果把n+1 個(gè)元素分成n 個(gè)集合,那么不管怎么分,都存在一個(gè)集合,其中至少有兩個(gè)元素.證明:(用反證法)若不存在至少有兩個(gè)元素的集合,則每個(gè)集合至多1 個(gè)元素,從而n 個(gè)集合至多有n 個(gè)元素,此與共有n+1 個(gè)元素矛盾,故命題成立.在定理1 的敘述中,可以把“元素”改為“物件”,把“集合”改成“抽屜”,抽屜原理正是由此得名.同樣,可以把“元素”改成“鴿子”,把“分成n 個(gè)集合”改成“飛進(jìn)n 個(gè)鴿籠中”.“鴿籠原理”由此得名.解答抽屜原理的關(guān)鍵：

假設(shè)有3 個(gè)蘋果放入2 個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜中有2 個(gè)蘋果，她的一般模型可以表述為：

第一抽屜原理：把（mn+1）個(gè)物體放入n 個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（m+1）個(gè)物體。

若把3 個(gè)蘋果放入4 個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著，她的一般模型可以表述為：

第二抽屜原理：把（mn－1）個(gè)物體放入n 個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m—1）個(gè)物體。

抽屜原理一

把4 只蘋果放到3 個(gè)抽屜里去，共有4 種放法，不論如何放，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。

同樣，把5 只蘋果放到4 個(gè)抽屜里去，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。

更進(jìn)一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1 只蘋果放到n 個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。這個(gè)結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說(shuō)明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過(guò)，抽屜原理不是拿來(lái)就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所 學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

抽屜原理二

這里我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個(gè)例子：如果將13 只鴿子放進(jìn)6 只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3 只或更多的鴿子。道理很簡(jiǎn)單。如果每只鴿籠里只放2 只鴿子，6 只鴿籠共放12 只鴿子。剩下的一只鴿子無(wú)論放入哪 只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3 只鴿子。這個(gè)例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n 件的物品任意放到n 個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。

說(shuō)明這一原理是不難的。假定這n 個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到（m＋1）件，即每個(gè)抽屜里的物品都不多于m 件，這樣，n 個(gè)抽屜中可放物品的總數(shù)就不會(huì)超過(guò)m×n 件。這與多于m×n 件物品的假設(shè)相矛盾。這說(shuō)明一開(kāi)始的假定不能成立。所以至少有一個(gè)抽屜中物品的件數(shù)不少于m＋1。從最不利原則也可以說(shuō)明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n 個(gè)抽屜中每 個(gè)都放入m 件物品，共放入（m×n）件物品，此時(shí)再放入1 件物品，無(wú)論放入哪個(gè)抽屜，都至少有一個(gè)抽屜不少于（m ＋1）件物品。這就說(shuō)明了抽屜原理2。

不難看出，當(dāng)m＝1 時(shí)，抽屜原理2 就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。即抽屜原理2 是抽屜原理1 的推廣。我們很容易理解這樣一個(gè)事實(shí)：把3 只蘋果放到兩個(gè)抽屜中，肯定有一個(gè)抽屜中有2 只或2 只以上的蘋果。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)這一事實(shí)，就是：將n+1 個(gè)元素放入n 個(gè)集合內(nèi)，則一定有一個(gè)集合內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素（n 為正整數(shù)）。

這就是抽屜原理，也稱為“鴿籠（巢）”原理。這一原理最先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷明確提出來(lái)的，因此，稱之為狄 里克雷原理。

抽屜原理還有另外的常用形式：

抽屜原理2：把m 個(gè)元素任意放入n(n < m)個(gè)集合里，則一定有一個(gè)集合里至少有k 個(gè)元素，其中：

抽屜原理3：把無(wú)窮多個(gè)元素放入有限個(gè)集合里，則一定有一個(gè)集合里含有無(wú)窮多個(gè)元素。

抽屜原理又叫重疊原則，抽屜原則有如下幾種情形。

抽屜原則①：把n+1 件東西任意放入n 只抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩件東西。

抽屜原則②：把m 件東西放入n 個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里至少有[m/n]件東西。

抽屜原則③：如果有無(wú)窮件東西，把它們放在有限多個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含無(wú)窮件東西。利用抽屜原則解題時(shí)，其關(guān)鍵是如何利用題中已知條件構(gòu)造出與題設(shè)密切相關(guān)的“抽屜”。