第一篇：抽屜原理（精選）

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座

第五講 抽屜原理

北京十二中 劉文武

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，例如：“13個(gè)人中至少有兩個(gè)人出生在相同月份”；“某校400名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^(guò)生日”；“2003個(gè)人任意分成200個(gè)小組，一定存在一組，其成員數(shù)不少于11”；“把[0，1]內(nèi)的全部有理數(shù)放到100個(gè)集合中，一定存在一個(gè)集合，它里面有無(wú)限多個(gè)有理數(shù)”。這類存在性問(wèn)題中，“存在”的含義是“至少有一個(gè)”。在解決這類問(wèn)題時(shí)，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一個(gè)，也不需要確定通過(guò)什么方式把這個(gè)存在的東西找出來(lái)。這類問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)涉及到的運(yùn)算較少，依據(jù)的理論也不復(fù)雜，我們把這些理論稱之為“抽屜原理”。

“抽屜原理”最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家迪里赫萊（Dirichlet）運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的，所以又稱“迪里赫萊原理”，也有稱“鴿巢原理”的。這個(gè)原理可以簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椤鞍?0個(gè)蘋果，任意分放在9個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果”。這個(gè)道理是非常明顯的，但應(yīng)用它卻可以解決許多有趣的問(wèn)題，并且常常得到一些令人驚異的結(jié)果。抽屜原理是國(guó)際國(guó)內(nèi)各級(jí)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的重要內(nèi)容，本講就來(lái)學(xué)習(xí)它的有關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用。

（一）抽屜原理的基本形式

定理

1、如果把n+1個(gè)元素分成n個(gè)集合，那么不管怎么分，都存在一個(gè)集合，其中至少有兩個(gè)元素。

證明：（用反證法）若不存在至少有兩個(gè)元素的集合，則每個(gè)集合至多1個(gè)元素，從而n個(gè)集合至多有n個(gè)元素，此與共有n+1個(gè)元素矛盾，故命題成立。

在定理1的敘述中，可以把“元素”改為“物件”，把“集合”改成“抽屜”，抽屜原理正是由此得名。

同樣，可以把“元素”改成“鴿子”，把“分成n個(gè)集合”改成“飛進(jìn)n個(gè)鴿籠中”。“鴿籠原理”由此得名。

例1． 已知在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有任意五個(gè)點(diǎn)（圖1）。證明：至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于（1978年廣東省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）

分析：5個(gè)點(diǎn)的分布是任意的。如果要證明“在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn)”，則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三條中位線，可以分原等邊三角形為4個(gè)全等的邊長(zhǎng)為的小等邊三角形，則5個(gè)點(diǎn)中必有2點(diǎn)位于同一個(gè)小等邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于。

以上結(jié)論要由定理“三角形內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)間的距離不大于其最大邊長(zhǎng)”來(lái)保證，下面我們就來(lái)證明這個(gè)定理。

如圖2，設(shè)BC是△ABC的最大邊，P，M是△ABC內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)，連接PM，過(guò)P分別作AB、BC邊的平行線，過(guò)M作AC邊的平行線，設(shè)各平行線交點(diǎn)為P、Q、N，那么

∠PQN=∠C，∠QNP=∠A

因?yàn)锽C≥AB，所以∠A≥∠C，則∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角），所以 PQ≥PM。顯然BC≥PQ，故BC≥PM。

由此我們可以推知，邊長(zhǎng)為的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）兩點(diǎn)間的距離不大于。

說(shuō)明：

（1）這里是用等分三角形的方法來(lái)構(gòu)造“抽屜”。類似地，還可以利用等分線段、等分正方形的方法來(lái)構(gòu)造“抽屜”。例如“任取n+1個(gè)正數(shù)ai，滿足0＜ai≤1（i=1,2,?,n+1），試證明：這n+1個(gè)數(shù)中必存在兩個(gè)數(shù)，其差的絕對(duì)值小于”。又如：“在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放置五個(gè)點(diǎn)，求證：其中必有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離不大于。

（2）例1中，如果把條件（包括邊界）去掉，則結(jié)論可以修改為：至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于“，請(qǐng)讀者試證之，并比較證明的差別。

（3）用同樣的方法可證明以下結(jié)論：

i）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中有n+1個(gè)點(diǎn)，這n+1個(gè)點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn)。

2ii）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)有n+1個(gè)點(diǎn)，這n+1個(gè)點(diǎn)中一定有距離小于的兩點(diǎn)。

（4）將（3）中兩個(gè)命題中的等邊三角形換成正方形，相應(yīng)的結(jié)論中的換成，命 題仍然成立。

（5）讀者還可以考慮相反的問(wèn)題：一般地，“至少需要多少個(gè)點(diǎn)，才能夠使得邊長(zhǎng) 為1的正三角形內(nèi)（包括邊界）有兩點(diǎn)其距離不超過(guò)”。

例2．從1-100的自然數(shù)中，任意取出51個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。

分析：本題似乎茫無(wú)頭緒，從何入手？其關(guān)鍵何在？其實(shí)就在“兩個(gè)數(shù)”，其中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。我們要構(gòu)造“抽屜”，使得每個(gè)抽屜里任取兩個(gè)數(shù)，都有一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍，這只有把公比是正整數(shù)的整個(gè)等比數(shù)列都放進(jìn)去同一個(gè)抽屜才行，這里用得到一個(gè)自然數(shù)分類的基本知識(shí)：任何一個(gè)正整數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與2的方冪的積，即若m∈N+,K∈N+，n∈N,則m=(2k-1)·2，并且這種表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，?? n

證明：因?yàn)槿魏我粋€(gè)正整數(shù)都能表示成一個(gè)奇數(shù)乘2的方冪，并且這種表示方法是唯一的，所以我們可把1-100的正整數(shù)分成如下50個(gè)抽屜（因?yàn)?-100中共有50個(gè)奇數(shù)）：

（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；

（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；

（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；

（4）{7，7×2，7×2，7×2}；

（5）{9，9×2，9×2，9×2}；

（6）{11，11×2，11×2，11×2}；

??

（25）{49，49×2}；

（26）{51}；

??

（50）{99}。

這樣，1-100的正整數(shù)就無(wú)重復(fù)，無(wú)遺漏地放進(jìn)這50個(gè)抽屜內(nèi)了。從這100個(gè)數(shù)中任取51個(gè)數(shù)，也即從這50個(gè)抽屜內(nèi)任取51個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原則，其中必定至少有兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)抽屜，即屬于（1）-（25）號(hào)中的某一個(gè)抽屜，顯然，在這25個(gè)抽屜中的任何同一個(gè)抽屜內(nèi)的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。

說(shuō)明：

（1）從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1-2n的自然數(shù)中，任意取出n+1個(gè)數(shù)，則其中必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。想一想，為什么？因?yàn)?-2n中共含1，3，?，2n-1這n個(gè)奇數(shù)，因此可以制造n個(gè)抽屜，而n+1＞n，由抽屜原則，結(jié)論就是必然的了。給n以具體值，就可以構(gòu)造出不同的題目。例2中的n取值是50，還可以編制相反的題目，如：“從前30個(gè)自然數(shù)中最少要（不看這些數(shù)而以任意方式地）取出幾個(gè)數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個(gè)數(shù)，其中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)？”

（2）如下兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)論都是否定的（n均為正整數(shù)）想一想，為什么？

452

56①?gòu)?，3，4，?，2n+1中任取n+1個(gè)數(shù)，是否必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍？

②從1，2，3，?，2n+1中任取n+1個(gè)數(shù)，是否必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍？

你能舉出反例，證明上述兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)論都是否定的嗎？

（3）如果將（2）中兩個(gè)問(wèn)題中任取的n+1個(gè)數(shù)增加1個(gè)，都改成任取n+2個(gè)數(shù)，則它們的結(jié)論是肯定的還是否定的？你能判斷證明嗎？

例3．從前25個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù)，證明：取出的數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)不超過(guò)小數(shù)的1.5倍。

證明：把前25個(gè)自然數(shù)分成下面6組：

1；

①

2，3；

②

4，5，6；

③

7，8，9，10；

④

11，12，13，14，15，16；

⑤

17，18，19，20，21，22，23，⑥

因?yàn)閺那?5個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù)，所以至少有兩個(gè)數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組，這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)就不超過(guò)小數(shù)的1.5倍。

說(shuō)明：

（1）本題可以改變敘述如下：在前25個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù)，求證其中存在兩個(gè)數(shù)，它們相互的比值在內(nèi)。

顯然，必須找出一種能把前25個(gè)自然數(shù)分成6（7-1=6）個(gè)集合的方法，不過(guò)分類時(shí)有一個(gè)限制條件：同一集合中任兩個(gè)數(shù)的比值在內(nèi)，故同一集合中元素的數(shù)值差不得過(guò)大。這樣，我們可以用如上一種特殊的分類法：遞推分類法：

從1開始，顯然1只能單獨(dú)作為1個(gè)集合{1}；否則不滿足限制條件。

能與2同屬于一個(gè)集合的數(shù)只有3，于是{2，3}為一集合。

如此依次遞推下去，使若干個(gè)連續(xù)的自然數(shù)屬于同一集合，其中最大的數(shù)不超過(guò)最小的數(shù)的倍，就可以得到滿足條件的六個(gè)集合。

（2）如果我們按照（1）中的遞推方法依次造“抽屜”，則第7個(gè)抽屜為

{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}；

第8個(gè)抽屜為：{40，41，42，?，60}；

第9個(gè)抽屜為：{61，62，63，?，90，91}；

??

那么我們可以將例3改造為如下一系列題目：

（1）從前16個(gè)自然數(shù)中任取6個(gè)自然數(shù)；

（2）從前39個(gè)自然數(shù)中任取8個(gè)自然數(shù)；

（3）從前60個(gè)自然數(shù)中任取9個(gè)自然數(shù)；

（4）從前91個(gè)自然數(shù)中任取10個(gè)自然數(shù)；?

都可以得到同一個(gè)結(jié)論：其中存在2個(gè)數(shù)，它們相互的比值在]內(nèi)。

上述第（4）個(gè)命題，就是前蘇聯(lián)基輔第49屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題。如果我們改變區(qū)間[＞q）端點(diǎn)的值，則又可以構(gòu)造出一系列的新題目來(lái)。

]（p

例4．已給一個(gè)由10個(gè)互不相等的兩位十進(jìn)制正整數(shù)組成的集合。求證：這個(gè)集合必有兩個(gè)無(wú)公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等。（第14屆1M0試題）

分析與解答：一個(gè)有著10個(gè)元素的集合，它共有多少個(gè)可能的子集呢？由于在組成一個(gè)子集的時(shí)候，每一個(gè)元素都有被取過(guò)來(lái)或者不被取過(guò)來(lái)兩種可能，因此，10個(gè)元素的集合就有2=1024個(gè)不同的構(gòu)造子集的方法，也就是，它一共有1024個(gè)不同的子集，包括空集和全集在內(nèi)?？占c全集顯然不是考慮的對(duì)象，所以剩下1024-2=1022個(gè)非空真子集。

再來(lái)看各個(gè)真子集中一切數(shù)字之和。用N來(lái)記這個(gè)和數(shù)，很明顯：

10≤N≤91+92+93+94+95+96+97+98+99=855

這表明N至多只有855-9=846種不同的情況。由于非空真子集的個(gè)數(shù)是1022，1022＞846，所以一定存在兩個(gè)子集A與B，使得A中各數(shù)之和=B中各數(shù)之和。

若A∩B=φ，則命題得證，若A∩B=C≠φ，即A與B有公共元素，這時(shí)只要剔除A與B中的一切公有元素，得出兩個(gè)不相交的子集A1與B1，很顯然

A1中各元素之和=B1中各元素之和，因此A1與B1就是符合題目要求的子集。

說(shuō)明：本例能否推廣為如下命題：

已給一個(gè)由m個(gè)互不相等的n位十進(jìn)制正整數(shù)組成的集合。求證：這個(gè)集合必有兩個(gè)無(wú)公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等。10

請(qǐng)讀者自己來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。

例5．在坐標(biāo)平面上任取五個(gè)整點(diǎn)（該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都取整數(shù)），證明：其中一定存在兩個(gè)整點(diǎn)，它們的連線中點(diǎn)仍是整點(diǎn)。

分析與解答：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，坐標(biāo)平面兩點(diǎn)（x1,y1）、（x2,y2）的中點(diǎn)坐標(biāo)是欲使

。都是整數(shù)，必須而且只須x1與x2，y1與y2的奇偶性相同。坐標(biāo)平面上的任意整點(diǎn)按照橫縱兩個(gè)坐標(biāo)的奇偶性考慮有且只有如下四種：（奇數(shù)、奇數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，奇數(shù)）以此構(gòu)造四個(gè)“抽屜”，則在坐標(biāo)平面上任取五個(gè)整點(diǎn)，那么至少有兩個(gè)整點(diǎn)，屬于同一個(gè)“抽屜”因此它們連線的中點(diǎn)就必是整點(diǎn)。

說(shuō)明：我們可以把整點(diǎn)的概念推廣：如果（x1,x2,?xn）是n維（元）有序數(shù)組，且x1,x2,?xn中的每一個(gè)數(shù)都是整數(shù)，則稱（x1,x2,?xn）是一個(gè)n維整點(diǎn)（整點(diǎn)又稱格點(diǎn)）。如果對(duì)所有的n維整點(diǎn)按每一個(gè)xi的奇偶性來(lái)分類，由于每一個(gè)位置上有奇、偶兩種可能性，因此共可分為2×2×?×2=2個(gè)類。這是對(duì)n維整點(diǎn)的一種分類方法。當(dāng)n=3時(shí)，2=8，此時(shí)可以構(gòu)造命題：“任意給定空間中九個(gè)整點(diǎn)，求證它們之中必有兩點(diǎn)存在，使連接這兩點(diǎn)的直線段的內(nèi)部含有整點(diǎn)”。這就是1971年的美國(guó)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。在n=2的情形，也可以構(gòu)造如下的命題：“平面上任意給定5個(gè)整點(diǎn)”，對(duì)“它們連線段中點(diǎn)為整點(diǎn)”的4個(gè)命題中，為真命題的是：

（A）最少可為0個(gè)，最多只能是5個(gè)（B）最少可為0個(gè)，最多可取10個(gè)

（C）最少為1個(gè)，最多為5個(gè)（D）最少為1個(gè)，最多為10個(gè)

（正確答案（D））

例6．在任意給出的100個(gè)整數(shù)中，都可以找出若干個(gè)數(shù)來(lái)（可以是一個(gè)數(shù)），它們的和可被100整除。

分析：本題也似乎是茫無(wú)頭緒，無(wú)從下手，其關(guān)鍵何在？仔細(xì)審題，它們的“和”能“被100整除”應(yīng)是做文章的地方。如果把這100個(gè)數(shù)排成一個(gè)數(shù)列，用Sm記其前m項(xiàng)的和，則其可構(gòu)造S1，S2，?S100共100個(gè)”和"數(shù)。討論這些“和數(shù)”被100除所得的余數(shù)。注意到S1，S2，?S100共有100個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)被100除所得的余數(shù)有0，1，2，?99共100種可能性?！疤O果”數(shù)與“抽屜”數(shù)一樣多，如何排除“故障”？

證明：設(shè)已知的整數(shù)為a1,a2,?a100考察數(shù)列a1,a2,?a100的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列S1，S2，?S100。

如果S1，S2，?S100中有某個(gè)數(shù)可被100整除，則命題得證。否則，即S1，S2，?S100均不能被100整除，這樣，它們被100除后余數(shù)必是{1，2，?，99}中的元素。由抽屜原理I知，S1，S2，?S100中必有兩個(gè)數(shù)，它們被100除后具有相同的余數(shù)。不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)為Si，Sj（i＜j），則100∣（Sj-Si），即100∣

。命題得證。n

3說(shuō)明：有時(shí)候直接對(duì)所給對(duì)象作某種劃分，是很難構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷系摹＿@時(shí)候，我們需要對(duì)所給對(duì)象先作一些變換，然后對(duì)變換得到的對(duì)象進(jìn)行分類，就可以構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷?。本題直接對(duì){an}進(jìn)行分類是很難奏效的。但由{an}構(gòu)造出{Sn}后，再對(duì){Sn}進(jìn)行分類就容易得多。

另外，對(duì){Sn}按模100的剩余類劃分時(shí)，只能分成100個(gè)集合，而{Sn}只有100項(xiàng)，似乎不能應(yīng)用抽屜原則。但注意到余數(shù)為0的類恰使結(jié)論成立，于是通過(guò)分別情況討論后，就可去掉余數(shù)為0的類，從而轉(zhuǎn)化為100個(gè)數(shù)分配在剩下的99個(gè)類中。這種處理問(wèn)題的方法應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)，它會(huì)助你從“山窮水盡疑無(wú)路”時(shí)，走入“柳暗花明又一村”中。

最后，本例的結(jié)論及證明可以推廣到一般情形（而且有加強(qiáng)的環(huán)節(jié)）：

在任意給定的n個(gè)整數(shù)中，都可以找出若干個(gè)數(shù)來(lái)（可以是一個(gè)數(shù)），它們的和可被n整除，而且，在任意給定的排定順序的n個(gè)整數(shù)中，都可以找出若干個(gè)連續(xù)的項(xiàng)（可以是一項(xiàng)），它們的和可被n整除。

將以上一般結(jié)論中的n賦以相應(yīng)的年份的值如1999，2000，2001?，就可以編出相應(yīng)年份的試題來(lái)。如果再賦以特殊背景，則可以編出非常有趣的數(shù)學(xué)智力題來(lái)，如下題：

有100只猴子在吃花生，每只猴子至少吃了1?；ㄉ?，多者不限。請(qǐng)你證明：一定有若干只猴子（可以是一只），它們所吃的花生的粒數(shù)總和恰好是100的倍數(shù)。

（二）于無(wú)聲處聽驚雷--單色三角形問(wèn)題

前面數(shù)例我們看到，抽屜原理的應(yīng)用多么奇妙，其關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)刂圃斐閷?，分割圖形，利用自然數(shù)分類的不同方法如按剩余類制造抽屜或按奇數(shù)乘以2的方冪制造抽屜，利用奇偶性等等，都是制造“抽屜”的方法。大家看到，抽屜原理的道理極其簡(jiǎn)單，但“于無(wú)聲處聽驚雷”，恰當(dāng)?shù)鼐牡貞?yīng)用它，不僅可以解決國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的問(wèn)題，而且可以解決國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，例如IM0中的難題。本節(jié)我們就來(lái)看幾個(gè)這樣的例子。

例7．（第6屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題）17名科學(xué)家中每?jī)擅茖W(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們通信時(shí)，只討論三個(gè)題目，而且任意兩名科學(xué)家通信時(shí)只討論一個(gè)題目，證明：其中至少有三名科學(xué)家，他們相互通信時(shí)討論的是同一個(gè)題目。

證明：視17個(gè)科學(xué)家為17個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間連一條線表示這兩個(gè)科學(xué)家在討論同一個(gè)問(wèn)題，若討論第一個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連紅線，若討論第2個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條黃線，若討論第3個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條藍(lán)線。三名科學(xué)家研究同一個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為找到一個(gè)三邊同顏色的三角形。

考慮科學(xué)家A，他要與另外的16位科學(xué)家每人通信討論一個(gè)問(wèn)題，相應(yīng)于從A出發(fā)引出16條線段，將它們?nèi)境?種顏色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1條同色，不妨記為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同紅色，若Bi（i=1，2，?，6）之間有紅線，則出現(xiàn)紅色三角線，命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6之間的連線只染有黃藍(lán)兩色。

考慮從B1引出的5條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因?yàn)?=2×2+1，故必有3=2+1條線段同色，假設(shè)為黃色，并記它們?yōu)锽1B2，B1B3，B1B4。這時(shí)若B2，B3，B4之間有黃線，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，B3，B4，之間無(wú)黃線，則△B2，B3，B4，必為藍(lán)色三角形，命題仍然成立。

說(shuō)明：（1）本題源于一個(gè)古典問(wèn)題--世界上任意6個(gè)人中必有3人互相認(rèn)識(shí)，或互相不認(rèn)識(shí)。（美國(guó)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）。

（2）將互相認(rèn)識(shí)用紅色表示，將互相不認(rèn)識(shí)用藍(lán)色表示，（1）將化為一個(gè)染色問(wèn)題，成為一個(gè)圖論問(wèn)題：空間六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，四點(diǎn)不共面，每?jī)牲c(diǎn)之間連線都涂上紅色或藍(lán)色。求證：存在三點(diǎn)，它們所成的三角形三邊同色。

（3）問(wèn)題（2）可以往兩個(gè)方向推廣：其一是顏色的種數(shù)，其二是點(diǎn)數(shù)。

本例便是方向一的進(jìn)展，其證明已知上述。如果繼續(xù)沿此方向前進(jìn)，可有下題：

在66個(gè)科學(xué)家中，每個(gè)科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論四個(gè)題目，而任何兩個(gè)科學(xué)家之間僅僅討論一個(gè)題目。證明至少有三個(gè)科學(xué)家，他們互相之間討論同一個(gè)題目。

（4）回顧上面證明過(guò)程，對(duì)于17點(diǎn)染3色問(wèn)題可歸結(jié)為6點(diǎn)染2色問(wèn)題，又可歸結(jié)為3點(diǎn)染一色問(wèn)題。反過(guò)來(lái)，我們可以繼續(xù)推廣。從以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的過(guò)程，易發(fā)現(xiàn)

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958?記為r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，?

我們可以得到遞推關(guān)系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4?這樣就可以構(gòu)造出327點(diǎn)染5色問(wèn)題，1958點(diǎn)染6色問(wèn)題，都必出現(xiàn)一個(gè)同色三角形。

（三）抽屜原理的其他形式。

在例7的證明過(guò)程中，我們實(shí)際上用到了抽屜原理的其他形式，我們把它作為定理2。

定理2：把m個(gè)元素分成n個(gè)集合（m＞n）

（1）當(dāng)n能整除m時(shí)，至少有一個(gè)集合含有個(gè)元素；

]+1個(gè)元素，（[

]表示不超過(guò) 的（2）當(dāng)n不能整除 m時(shí)，則至少有一個(gè)集合含有至少[最大整數(shù)）

定理2有時(shí)候也可敘述成：把m×n+1個(gè)元素放進(jìn)n個(gè)集合，則必有一個(gè)集合中至少放有m+1個(gè)元素。

例8．在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，求證：存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過(guò)（1963年北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）。

分析與解答：如圖3，四等分正方形，得到A1，A2，A3，A4四個(gè)矩形。在正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，則至少有一個(gè)矩形Ai內(nèi)存在[]+1=3個(gè)或3個(gè)以上的點(diǎn)，設(shè)三點(diǎn)為A、B、C，具體考察Ai（如圖4），過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作矩形長(zhǎng)邊的平行線，過(guò)A點(diǎn)的平行線交BC于A'點(diǎn)，A點(diǎn)到矩形長(zhǎng)邊的距離為h=(0≤h≤)，則△ABC的面積

S△ABC=S△AA'C+S△AA'B

≤×1×h+×1×（-h）

=×=

說(shuō)明：把正方形分成四個(gè)區(qū)域，可以得出“至少有一個(gè)區(qū)域內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)”的結(jié)論，這就為確定三角形面積的取值范圍打下了基礎(chǔ)。本題構(gòu)造“抽屜”的辦法不是唯一的，還可以將正方形等分成邊長(zhǎng)為的四個(gè)小正方形等。但是如將正方形等分成四個(gè)全等的小三角形卻是不可行的（想一想為什么？）。所以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造“抽屜”，正是應(yīng)用抽屜原則解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

圖5

以下兩個(gè)題目可以看作是本例的平凡拓廣：

（1）在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)，隨意放置9個(gè)點(diǎn)，證明：必有3個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形的面積不超過(guò)。

（2）在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意給出13個(gè)點(diǎn)。求證：必有4個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1/4。

例9．9條直線的每一條都把一個(gè)正方形分成兩個(gè)梯形，而且它們的面積之比為2∶3。證明：這9條直線中至少有3條通過(guò)同一個(gè)點(diǎn)。

證明：設(shè)正方形為ABCD，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)。

設(shè)直線L把正方形ABCD分成兩個(gè)梯形ABGH和CDHG，并且與EF相交于P（如圖6）

梯形ABGH的面積：梯形CDHG的面積=2∶3

EP是梯形ABGH的中位線，PF是梯形CDHG的中位線，由于

梯形的面積=中位線×梯形的高，并且兩個(gè)梯形的高相等（AB=CD），所以

梯形ABGH的面積∶梯形CDHG的面積

=EP∶PF，也就是EP∶PF=2∶3

這說(shuō)明，直線L通過(guò)EF上一個(gè)固定的點(diǎn)P，這個(gè)點(diǎn)把EF分成長(zhǎng)度為2∶3的兩部分。這樣的點(diǎn)在EF上還有一個(gè)，如圖上的Q點(diǎn)（FQ∶QE=2∶3）。

同樣地，如果直線L與AB、CD相交，并且把正方形分成兩個(gè)梯形面積之比是2∶3，那么這條直線必定通過(guò)AD、BC中點(diǎn)連線上的兩個(gè)類似的點(diǎn)（三等分點(diǎn)）。

這樣，在正方形內(nèi)就有4個(gè)固定的點(diǎn)，凡是把正方形面積分成兩個(gè)面積為2∶3的梯形的直線，一定通過(guò)這4點(diǎn)中的某一個(gè)。我們把這4個(gè)點(diǎn)看作4個(gè)抽屜，9條直線看作9個(gè)蘋果，由定理2可知，9=4×2+1，所以，必有一個(gè)抽屜內(nèi)至少放有3個(gè)蘋果，也就是，必有三條直線要通過(guò)一個(gè)點(diǎn)。

說(shuō)明：本例中的抽屜比較隱蔽，正方形兩雙對(duì)邊中點(diǎn)連線上的4個(gè)三等分點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，而它的發(fā)現(xiàn)源于對(duì)梯形面積公式S梯形=中位線×梯形的高的充分感悟。

例10．910瓶紅、藍(lán)墨水，排成130行，每行7瓶。證明：不論怎樣排列，紅、藍(lán)墨水瓶的顏色次序必定出現(xiàn)下述兩種情況之一種：

1．至少三行完全相同；

2．至少有兩組（四行），每組的兩行完全相同。（北京市高中一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽1990年復(fù)賽試題）

證明：910瓶紅、藍(lán)墨水，排成130行，每行7瓶。每行中的7個(gè)位置中的每個(gè)位置都有紅、藍(lán)兩種可能，因而總計(jì)共有27=128種不同的行式（當(dāng)且僅當(dāng)兩行墨水瓶顏色及次序完全相同時(shí)稱為“行式”相同）

任取130行中的129行，依抽屜原理可知，必有兩行（記為A，B）“行式”相同。

在除A、B外的其余128行中若有一行P與A（B）“行式”相同，則P，A，B滿足“至少有三行完全相同”；在其余（除A，B外）的128行中若沒有與A（B）行式相同者，則128行至多有127種不同的行式，依抽屜原則，必有兩行（不妨記為C、D）行式相同，這樣便找到了（A，B）、（C，D）兩組（四行），每組兩行完全相同。

說(shuō)明：本例構(gòu)造抽屜時(shí)用到了乘法原理，2×2×2×2×2×2×2=2=128個(gè)“行式”是制造和應(yīng)用抽屜原理的關(guān)鍵。

（四）抽屜原理的無(wú)限形式

定理3.如果把無(wú)窮多個(gè)元素分成n個(gè)集合，那么不管怎么分，都至少存在一個(gè)集合，其中有無(wú)窮多個(gè)元素。

例11．在坐標(biāo)平面上給出無(wú)限多個(gè)矩形，它們的頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)都具有如下形式：

（0，0），（0，m），（n，0），（n，m）

其中m，n是正整數(shù)，并且m＞3，n＜6，求證：在這些矩形中一定存在無(wú)限多個(gè)矩形，其中任意兩個(gè)矩形必有一個(gè)被包含在另一個(gè)之中。

證明：由n＜6知，n=1,2,3,4,5，只有5種情形，由定理3知，將所給的無(wú)窮多個(gè)矩形按n的取值分成5類，當(dāng)作5個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜（一類）里包含有無(wú)窮多個(gè)矩形。不妨設(shè)這一類矩形的n的取值為n。對(duì)于這一類矩形中的任意兩個(gè)矩形而言，由于n的取值相同，因此m取值較小的一個(gè)矩形必然被包含在m取值較大的一個(gè)矩形之中。

（五）抽屜原理的多次使用。

在例7的解答中，我們已經(jīng)看到了多次使用抽屜原理的方法，下面再看兩例。

例12．有蘋果、梨、桔子若干個(gè)，任意分成9堆，求證一定可以找到兩堆，其蘋果數(shù)、梨數(shù)、桔子數(shù)分別求和都是偶數(shù)。

證明：因?yàn)槊恳欢牙锏拿恳环N水果數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)或?yàn)榕紨?shù)（兩個(gè)抽屜），而9=2×4+1，故對(duì)于蘋果，9堆中必有5堆的奇偶性相同；這5堆對(duì)于梨數(shù)來(lái)說(shuō)，由于5=2×2+1，故必有3堆的奇偶性相同；這3堆對(duì)于桔子數(shù)也必有2堆的奇偶性相同。于是，就找到這樣的兩堆，它們的蘋果數(shù)、梨數(shù)，桔子數(shù)的奇偶性都分別相同，從而其和數(shù)分別都是偶數(shù)。

說(shuō)明：為了得出和是偶數(shù)，需要兩加數(shù)的奇偶性相同。對(duì)3類水果逐一找用了3次抽屜原理，若將過(guò)程合并簡(jiǎn)化可將蘋果數(shù)、梨數(shù)、桔子數(shù)作為3錐坐標(biāo)（X，Y，Z），按其坐標(biāo)的奇偶性構(gòu)造8個(gè)抽屜：

（奇，奇，奇），（奇，奇，偶），（奇，偶，奇），（偶，奇，奇），（奇，偶，偶），（偶，奇，偶），（偶，偶，奇），（偶，偶，偶），9堆當(dāng)中必有2堆屬于同一抽屜，其坐標(biāo)的奇偶性完全相同。（參考例5說(shuō)明）

7例13．（1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）將平面上每個(gè)點(diǎn)以紅藍(lán)兩色之一著色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色。

證明：如圖7，作兩個(gè)半徑分別為1和1995的同心圓，在內(nèi)圓上任取9個(gè)點(diǎn)，必有5點(diǎn)同色，記為A1，A2，A3，A4，A5。連半徑0Ai交大圓于Bi（i=1,2,3,4,5），對(duì)B1，B2，B3，B4，B5，必有3點(diǎn)同色，記為Bi,Bj,Bk，則△BiBjBk與△AiAjAk為三項(xiàng)點(diǎn)同色的位似三角形，位似比等于1995，滿足題設(shè)條件。

說(shuō)明：這里連續(xù)用了兩次抽屜原理（以染色作抽屜）。也可以一開始就取位似比為1995的9個(gè)位似點(diǎn)組（Ai,Bi（）i=1,2,3,?,9），對(duì)4個(gè)抽屜（紅，紅），（紅，藍(lán)），（藍(lán)，紅），（藍(lán)，藍(lán)）應(yīng)用抽屜原理，得出必有3個(gè)位似點(diǎn)屬于同一抽屜，從題目的證明過(guò)程中可以看出，位似比1995可以改換成另外一個(gè)任意的正整數(shù)、正實(shí)數(shù)。當(dāng)然，不用同心圓也可證得，如在平面上取任三點(diǎn)都不共線的9點(diǎn)，由抽屜原理必有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E；以A為位似中心，以1995為位似比作ABCDE的位似形A'B'C'D'E'，則5點(diǎn)A,B',C',D',E'中必有3點(diǎn)同色，設(shè)為B'D'E'，則即為所求。

更一般地可以證明，在這個(gè)二染色的平面上存在無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)角為30°，60°，90°的直角三角形三頂點(diǎn)同色：任取a∈R，以a為邊作等邊三角形，則必有兩點(diǎn)同色，記為A，B同紅色，以AB為直徑作一圓，再作圓內(nèi)接正六邊形AC1C2BC3C4（如圖9），當(dāng)Ci中有紅點(diǎn)時(shí)△ACiB即為所求；當(dāng)Ci中無(wú)紅點(diǎn)即Ci全為藍(lán)色時(shí)，Rt△C1C2C3即為所求。再由a的任意性知，這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)。

更進(jìn)一步還可得到：對(duì)任何a∈R，可得到兩個(gè)相似比為a的頂點(diǎn)同色的相似三角形。對(duì)于多染色的情形，還可以得出多個(gè)相似三角形的結(jié)論：用紅、黃、藍(lán)三種顏色對(duì)平面上的點(diǎn)染色，對(duì)任意的a,b∈R，必存在三個(gè)三角形，它們彼此相似，相似比為1∶a∶b，且每個(gè)三角形的三頂點(diǎn)同色。請(qǐng)讀者試證。

練習(xí)五

1．從集合A={1，2，?，2n}中任取n+1個(gè)數(shù)，證明：其中必有2個(gè)數(shù)互質(zhì)。

2．任意給定7個(gè)整數(shù)，求證：其中必有兩個(gè)數(shù)，其和或差可被10整除。+

+

+

3．任給7個(gè)實(shí)數(shù)，求證：其中必有至少兩個(gè)數(shù)（記為x,y）滿足0≤≤

4．給定n+1正整數(shù)所組成的集合，其中每個(gè)數(shù)都不超過(guò)2n，證明：這個(gè)集合中至少有一個(gè)元素能整除另一個(gè)元素。

5．設(shè)a1,a2,?,an是n個(gè)自然數(shù)，證明：從這n個(gè)數(shù)中總可以選出若干個(gè)數(shù)，使它們的和是n的倍數(shù)。

6．求證：平面上任意13個(gè)整點(diǎn)中，必有某4個(gè)點(diǎn)的重心為整點(diǎn)。

7．任給5個(gè)整數(shù)，證明：必然從其中選出3個(gè)，使得它們的和被3整除。

第二篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計(jì) 芙蓉中心小學(xué) 簡(jiǎn)淑梅 【教學(xué)內(nèi)容】：

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書●數(shù)學(xué)》六年級(jí)（下冊(cè)）第四單元數(shù)學(xué)廣角“抽屜原理”第70、71頁(yè)的內(nèi)容?！窘滩姆治觥浚?/p>

這是一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，教材通過(guò)幾個(gè)直觀例子，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法進(jìn)行“證明”，然后再進(jìn)行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“枚舉法”、“反證法”、“假設(shè)法”等方法進(jìn)行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題，從而抽象出“抽屜原理”的一般規(guī)律。并利用這一規(guī)律對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。即：只需要確定實(shí)際生活中某個(gè)物體（或某個(gè)人、或種現(xiàn)象）的存在就可以了。【學(xué)情分析】：

抽屜原理是學(xué)生從未接觸過(guò)的新知識(shí)，很難理解抽屜原理的真正含義，尤其是對(duì)平均分就能保證“至少”的情況難以理解。

年齡特點(diǎn)：六年級(jí)學(xué)生既好動(dòng)又內(nèi)斂，教師一方面要適當(dāng)引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。

思維特點(diǎn)：知識(shí)掌握上，六年級(jí)的學(xué)生對(duì)于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對(duì)于“數(shù)學(xué)證明”。因此，教師要耐心細(xì)致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和過(guò)程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學(xué)生不知其然，更要知其所以然。【教學(xué)目標(biāo)】：

1．知識(shí)與能力目標(biāo)：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建?！彼枷搿?/p>

2．過(guò)程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷從具體到抽象的探究過(guò)程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”。【教學(xué)難點(diǎn)】：

理解“抽屜原理”，并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】：

多媒體課件、撲克牌、盒子、鉛筆、書、練習(xí)紙。【教學(xué)過(guò)程】：

一、課前游戲，激趣引新。

上課伊始，老師高舉3張卡片。（高興狀）

（1）老師這有3張漂亮的卡片，我想把它們送給在坐的三位同學(xué)，想要嗎？

（2）在送之前，我想請(qǐng)同學(xué)們猜一猜，這三張卡片會(huì)到男生手上還是會(huì)到女生手上？（學(xué)生思考后回答：可能送給了3名女生、可能送給了3名男生、也有可能送給了2名男生和1名女生、還有可能送給了2名女生和1名男生。）

（3）同學(xué)們列出的這四種情況是這個(gè)活動(dòng)中可能存在的現(xiàn)象，你能從這四種可能存在的現(xiàn)象中找到一種確定現(xiàn)象嗎？（學(xué)生思考后回答：得到卡片的三個(gè)同學(xué)當(dāng)中，至少會(huì)有兩個(gè)同學(xué)的性別相同。）

（4）老師背對(duì)著學(xué)生把卡片拋出驗(yàn)證學(xué)生的說(shuō)法。

（5）如果老師再拋幾次還會(huì)有這種現(xiàn)象出現(xiàn)嗎？其實(shí)這里面蘊(yùn)藏著一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)原理，也就是我們今天這節(jié)課要研究的學(xué)習(xí)內(nèi)容，想不想研究??？

〖設(shè)計(jì)意圖〗：在知識(shí)探究之前通過(guò)送卡片的游戲，從之前學(xué)過(guò)的“可能性”導(dǎo)入到今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容。一方面是使教師和學(xué)生進(jìn)行自然的溝通交流；二是要激發(fā)學(xué)生的興趣，引起探究的愿望；三是要讓學(xué)生明白這種“確定現(xiàn)象”與“可能性”之間的聯(lián)系，為接下來(lái)的探究埋下伏筆。

二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

1．動(dòng)手?jǐn)[擺，感性認(rèn)識(shí)。

把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒中。

（1）小組合作擺一擺、記一記、說(shuō)一說(shuō)，把可能出現(xiàn)的情況都列舉出來(lái)。

（2）提問(wèn)：不管怎么放，一定會(huì)出現(xiàn)哪種情況？討論后引導(dǎo)學(xué)生得出：不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少放了2只鉛筆。

〖設(shè)計(jì)意圖〗：抽屜原理對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，比較抽象，特別是“總有一個(gè)杯子中

至少放進(jìn)2根小棒”這句話的理解。所以通過(guò)具體的操作，列舉所有的情況后，引導(dǎo)學(xué)生直接關(guān)注到每種分法中數(shù)量最多的杯子，理解“總有一個(gè)杯子”以及“至少2根”。

2．提出問(wèn)題，優(yōu)化擺法。

（1）如果把 5支鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒里呢？結(jié)果是否一樣？怎樣解釋這一現(xiàn)象？（學(xué)生自由擺放，并解釋些種現(xiàn)象存在的確定性。）

（2）老師指著一名擺得非?？斓耐瑢W(xué)問(wèn)：怎么你比別人擺得更快呢？你是否有最簡(jiǎn)潔、最快速的方法，快快說(shuō)出來(lái)和同學(xué)一起分享好嗎？

（3）學(xué)生匯報(bào)了自己的方法后，教師圍繞假設(shè)法（平均分的方法），組織學(xué)生展開討論：為什么每個(gè)杯子里都要放1根小棒呢？

（4）在討論的基礎(chǔ)上，師生小結(jié)：假如每個(gè)杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進(jìn)一個(gè)杯子里，無(wú)論放在哪個(gè)杯子里，一定能找到一個(gè)杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能地分散，保證“至少”的情況。

〖設(shè)計(jì)意圖〗：鼓勵(lì)學(xué)生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生意識(shí)到了要考慮最少的情況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。

3．步步逼近，理性認(rèn)識(shí)。

（1）師：把6枝鉛筆放在5個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆嗎？為什么？

把7支鉛筆放進(jìn)6個(gè)文具盒里呢？

把8枝筆放進(jìn)7個(gè)盒子里呢？

把20枝筆放進(jìn)19個(gè)盒子里呢？

……

（2）符合這種結(jié)果的情況你能一一說(shuō)完嗎？你會(huì)用一句歸納這些情況嗎？

（筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。）

〖設(shè)計(jì)意圖〗：通過(guò)這個(gè)連續(xù)的過(guò)程發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維，從而達(dá)到理性認(rèn)識(shí)“抽屜原理”。

4．?dāng)?shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法。

7只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)鴿舍里，無(wú)論怎么飛，至少會(huì)有兩子鴿子飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍。為什么？

（1）如果要用一個(gè)算式表示，你會(huì)嗎？

（2）算式中告訴我們經(jīng)過(guò)第一次平均分配后，還余下了2只鴿子，這兩只鴿子會(huì)怎么飛呢？（有可能兩只飛進(jìn)了同一個(gè)鴿舍里，也有可能飛進(jìn)了不同的鴿舍里。）

（3）不管怎么飛，一定會(huì)出現(xiàn)哪種情況？

（4）討論：剛才是鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1枝的情況，現(xiàn)在鴿子數(shù)比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里”？

（4）如果是“8只鴿子要飛進(jìn)取5個(gè)鴿舍里呢？”（余下3只鴿子。）

（5）“9只鴿子要飛進(jìn)取5個(gè)鴿舍里呢？”（余下4只鴿子。）

根據(jù)學(xué)生的回答，用算式表示以上各題，并板書。

〖設(shè)計(jì)意圖〗：從余數(shù)1到余數(shù)2、3、4……，讓學(xué)生再次體會(huì)要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數(shù)也要進(jìn)行二次平均分。并發(fā)現(xiàn)余下的鴿子數(shù)只要小于鴿舍數(shù)，就一定有“至少有兩子鴿子飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍”的現(xiàn)象發(fā)生。

5．構(gòu)建模型，解釋原理。

（1）觀察黑板上的算式，你有了什么新的發(fā)現(xiàn)？（只要鴿子數(shù)比盒鴿舍數(shù)多，且小于鴿舍數(shù)的兩倍，至少有2只鴿子飛進(jìn)了同一個(gè)鴿舍里。）

（2）剛才我們研究的這些現(xiàn)象就是著名的“抽屜原理”，（教師板書課題：抽屜原理）我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜。

（3）課件出示：“抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來(lái)的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。“抽屜原理”的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。

（4）請(qǐng)你用“抽屜原理”解釋我們的課前游戲，為什么不管老師怎么送，得到卡片的同學(xué)一定有兩個(gè)同學(xué)的性別是一樣的？其中什么相當(dāng)于“物體”？什么相當(dāng)于“抽屜”？

〖設(shè)計(jì)意圖〗：通過(guò)對(duì)不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的抽屜原理。研究的問(wèn)題來(lái)源于生活，還要還原到生活中去，所以請(qǐng)學(xué)生對(duì)課前的游戲的解釋，也是一個(gè)建模的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)“抽屜”不一定是看得見，摸得著，并讓學(xué)生體會(huì)平常事中也有數(shù)學(xué)原理，有探究的成就感，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的熱情。

三、循序漸進(jìn)，總結(jié)規(guī)律。

（1）出示71頁(yè)的例2：把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)3本書。為什么？

A、該如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？

B、如何用一個(gè)式子表示呢？

C、你又發(fā)現(xiàn)了什么？

教師根據(jù)學(xué)生的回答，繼續(xù)板書算式。

（2）如果一共有7本書呢？9本書呢？

（3）思考、討論：總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)的本數(shù)是“商＋1”還是“商＋余數(shù)”呢？為什么？

教師師讓學(xué)生充分討論后得出正確的結(jié)論：總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)的本數(shù)是“商＋1”（教師板書。）

〖設(shè)計(jì)意圖〗：對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)是循序漸進(jìn)的。在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生抓住假設(shè)法最核心的思路---“有余數(shù)除法”，學(xué)生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜里，看每個(gè)抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。從而得出“某個(gè)抽屜書的至少數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，從而使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。四．運(yùn)用原理，解決問(wèn)題。

1、基本類型，說(shuō)說(shuō)做做。

（1）8只鴿子飛回3個(gè)鴿舍，至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。為什么？

（2）張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績(jī)是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

2、深化練習(xí)，拓展提升。

（1）有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，如果請(qǐng)五位同學(xué)每人任意抽1張，同種花色的至少有幾張？為什么？

如果9個(gè)人每一個(gè)人抽一張呢？

（2）某街道辦事處統(tǒng)計(jì)人口顯示，本街道轄區(qū)內(nèi)當(dāng)年共有 370名嬰兒出生。統(tǒng)計(jì)員斷定：“至少有2名嬰兒是在同一天出生的?！边@是為什么？ 至少有多少名嬰兒是在同一個(gè)月出生的？為什么？

〖設(shè)計(jì)意圖〗：讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析、解決生活實(shí)際問(wèn)題，不僅是學(xué)生掌握知識(shí)的繼續(xù)拓展與延伸，還是他們成功解決問(wèn)題后獲取愉悅心情的重要途經(jīng)；不同題型、不同難度的練習(xí)不僅能進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能滿足不同的孩子學(xué)到不同的數(shù)學(xué)，并體會(huì)抽屜原理的形式是多種多樣的。

五、全課小結(jié)，課外延伸。

（1）說(shuō)一說(shuō)：今天這節(jié)課，我們又學(xué)習(xí)了什么新知識(shí)？你還有什么困惑？

（2）用今天學(xué)到的知識(shí)向你的家長(zhǎng)解釋下列現(xiàn)象：

從1、2、3……100，這100個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，任意取出51個(gè)不相同的數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，這是為什么呢？

〖設(shè)計(jì)意圖〗：既讓學(xué)生說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)的收獲，也引導(dǎo)學(xué)生談情感上的感受，同時(shí)培養(yǎng)他們的質(zhì)疑能力，使三維目標(biāo)落到實(shí)處；把課堂知識(shí)延伸到課外，與家長(zhǎng)一起分析思考，主要是想拓展學(xué)生思維，達(dá)到“家校牽手，共話數(shù)學(xué)”的教學(xué)目的。

板書設(shè)計(jì)。

抽屜原理

物體數(shù) 抽屜數(shù) 至少數(shù) =商＋1

（鉛筆數(shù)）（盒子數(shù)）

2

3

÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1

〖設(shè)計(jì)意圖〗：這樣的板書設(shè)計(jì)是在教學(xué)過(guò)程中動(dòng)態(tài)生成的，按講思路來(lái)安排的，力求簡(jiǎn)潔精練。這樣設(shè)計(jì)便于學(xué)生對(duì)本課知識(shí)的理解與記憶，突出了的教學(xué)重點(diǎn)，使板書真正起到畫龍點(diǎn)睛的作用。

第三篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)反思

嚴(yán)田小學(xué)彭性良

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)必須注意從學(xué)生的生活情景和感興趣的事物出發(fā)，為他們提供參與的機(jī)會(huì)，使他們體會(huì)數(shù)學(xué)就在身邊，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣和親近感。也就是創(chuàng)設(shè)豐富的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)讓學(xué)生放蘋果的環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。通過(guò)3個(gè)蘋果放入2個(gè)抽屜的各種情況的猜測(cè)，進(jìn)一步感知抽屜原理。認(rèn)識(shí)抽屜原理不同的表述方式：①至少有一個(gè)抽屜的蘋果有2個(gè)或2個(gè)以上；②至少有一個(gè)抽屜的蘋果不止一個(gè)。

充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行猜測(cè)，然后放手讓學(xué)生自主思考，采用自己的方法進(jìn)行“證明”，接著再進(jìn)行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“枚舉法”、“假設(shè)法”等方法進(jìn)行比較，教師進(jìn)一步比較優(yōu)化，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。在有趣的類推活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論，讓學(xué)生體驗(yàn)和理解“抽屜原理”的最基本原理。最后出示練習(xí)，讓學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生所學(xué)知識(shí)得到進(jìn)一步的拓展。

這種“創(chuàng)設(shè)情境——建立模型——解釋應(yīng)用”是新課程倡導(dǎo)的課堂教學(xué)模式，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力。

第四篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析：現(xiàn)行小學(xué)教材人教版在十一冊(cè)編入這一原理，旨在于讓學(xué)生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會(huì)用“抽屜原理”解決實(shí)際有關(guān)“存在”問(wèn)題；通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓孩子建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過(guò)程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

學(xué)情分析：使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過(guò)程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2、通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3、通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”。

教學(xué)難點(diǎn)：理解“抽屜原理”，并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。

教學(xué)過(guò)程

一、游戲引入

3個(gè)人坐兩個(gè)座位，3人都要坐下，一定有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人。

這其中蘊(yùn)含了有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)（）枝鉛筆先猜一猜，再動(dòng)手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發(fā)現(xiàn)？

不管怎么放總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。總有是什么意思？至少是什么意思

2、思考

有沒有一種方法不用擺放就可以知道至少數(shù)是多少呢？

1、3人坐2個(gè)位子，總有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人2、4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒中，總有一個(gè)文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒中，6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒中。99支鉛筆放進(jìn)98個(gè)文具盒中。是否都有一個(gè)文具盒中

至少放進(jìn)2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達(dá)嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個(gè)文具盒里，總有一個(gè)文具盒至少放進(jìn)幾枝鉛筆？把7枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒里呢? 8枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒呢? 9枝筆放進(jìn)3個(gè)文具盒呢？至少數(shù)=上+余數(shù)嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數(shù)學(xué)小知識(shí)

數(shù)學(xué)小知識(shí)：抽屜原理的由來(lái)最先發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的人是誰(shuí)呢？最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的，后人們?yōu)榱思o(jì)念他從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個(gè)規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關(guān)在5個(gè)籠子里，至少有多少只兔子要關(guān)在同一個(gè)籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績(jī)是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

4、六年級(jí)四個(gè)班的學(xué)生去春游，自由活時(shí)有6個(gè)同學(xué)在一起，可以肯定。為什么？

六、小結(jié)

這節(jié)課你有什么收獲？

七、作業(yè)：課后練習(xí)

第五篇：抽屜原理

4分割圖形構(gòu)造“抽屜”與“蘋果”

在一個(gè)幾何圖形內(nèi), 有一些已知點(diǎn), 可以根據(jù)問(wèn)題的要求, 將幾何圖形進(jìn)行分割, 用這些分割成的圖形作抽屜, 從而對(duì)已知點(diǎn)進(jìn)行分類, 再集中對(duì)某個(gè)抽屜或某幾個(gè)抽屜進(jìn)行討論, 使問(wèn)題得到解決.命題4在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處分別放上8個(gè)不同的正整數(shù), 如果它們的和等于55, 那么, 一定能找到某個(gè)側(cè)面正方形, 其相對(duì)頂點(diǎn)所放的數(shù)都是奇數(shù).證明

首先, 由8個(gè)正整數(shù)的和為奇數(shù)知, 當(dāng)中必有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)；其次,為奇數(shù)的至少有3個(gè), 否則, 假設(shè)最多有一個(gè)奇數(shù), 便有55?1?2?4?6?8?10?12?14?57，矛盾!

現(xiàn)以正方體的側(cè)面對(duì)角線為棱組成兩個(gè)三棱錐, D – A1 BC , B1 – ACD1如圖1, 3個(gè)奇數(shù)歸入2個(gè)三棱錐, 必有2 個(gè)奇數(shù)屬于同一個(gè)三棱錐。這兩個(gè)歸入奇數(shù)的頂點(diǎn)必是某一側(cè)面正方形的相對(duì)頂點(diǎn)。

此命題中的抽屜原理的應(yīng)用屬于“蘋果”(元素)、“抽屜”都未直接給出的類型, 需要從幾何上去構(gòu)造兩個(gè)“抽屜”。并運(yùn)用奇偶分析法找出3 個(gè)“蘋果”。

在不超過(guò)60的正整數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，證明：這9個(gè)數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù)（a和b）的比值滿足2a3?? 3b

2例3 任意給定12 個(gè)不同的自然數(shù),證明其中必有兩個(gè)數(shù)的和或差是20 的倍數(shù).證明 將自然數(shù)按照除以20 所得的余數(shù)分類,得0、l、2、??、19,共20 類.任意給定的12 個(gè)不同的自然數(shù),若有兩個(gè)數(shù)在同一類(即兩個(gè)數(shù)除以20的余數(shù)相同),那么它們的差是20 的倍數(shù),結(jié)論成立。任意給定的12 個(gè)不同的自然數(shù)中,每?jī)蓚€(gè)數(shù)都不在同一類,也就是按上面分的20 類中每一類只多有一個(gè)已知數(shù)(也可以沒有).此時(shí),我們把自然數(shù)按被20 除的余數(shù)。0、l、2、3、??、19 分成11類: {I,19},{2,18},{3,17},?,{9,11},{10},{0} 每一類當(dāng)做1 個(gè)抽屜,己知的12 個(gè)自然數(shù)必有兩個(gè)在同一個(gè)抽屜中,它們的和是20 的倍數(shù)

一般地任取???2個(gè)不同的自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的和或差是n的倍數(shù).2證明 設(shè)所給的自然數(shù)為am（m=1、2、……、???2），有am=ngm+rm，?2??n????n???n??rm??0、1、2、......、? ??2????則???2個(gè)自然數(shù)的余數(shù)，分屬???1種情況，看做???1個(gè)抽屜，必有兩個(gè)數(shù)222ai，aj屬于同一個(gè)抽屜，即ri?rj。?n????n????n???.(1)當(dāng)ri?rj時(shí),ai-aj是n的倍數(shù);(2)當(dāng)ri?-rj時(shí), ai?aj是n的倍數(shù)·

綜合(l)、(2)可知,該命題成立

例7 試證:從1,2,3,?,10 這10 個(gè)自然數(shù)中,任取6個(gè)數(shù),則必能找到兩個(gè)數(shù),其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).分析

6個(gè)數(shù),需設(shè)計(jì)5 個(gè)抽屜,把前10個(gè)自然數(shù)放在5 個(gè)抽屜里,且能使每個(gè)抽屜中的數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系,因此得出如下分類方法:{1,7},}2,6 },{3,9},{4,8},}5,10 }.解 將前10 個(gè)自然數(shù)分成以下5 組:}l,7},}2,6},{3,9},}4,8},{5,10}.把這5 組看做5 個(gè)抽屜.任取6 個(gè)數(shù)則必有兩個(gè)數(shù)出自同一抽屜里,其中大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù).若題目變?yōu)閺?,2,3,?,20,這20 個(gè)自然數(shù)中,任取1 個(gè)數(shù),則必能找到兩個(gè)數(shù),其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).則應(yīng)這樣設(shè)計(jì)抽屜:{l,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},}{3},{15},{17},{19}.把這10 組看做10抽屜.任取11個(gè)數(shù),則必有兩個(gè)數(shù)出自同一抽屜里,只能是前5 個(gè)抽屜,其中大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù).一般地,設(shè)1?a1?a2?...?an?1?2n，則有1?i?j?n?1，故aiaj。

證明 設(shè)ai?2ibi，ai?0，2不能整除b（因?yàn)?,2,3，…,2nii=1,2,3,?,n+1,其中bi<2n，中恰有n個(gè)不同的奇數(shù),故在b1,….,bn+1中至少有兩個(gè)相同,設(shè)bi=bj,1?i?j?n?1,故aiaj。

.這是數(shù)論中的一個(gè)定理,1935 年由愛爾特希(erdos)提出,萊梅證明的例6 給定九個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1,a2,...,a9,證明: 至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù)ai,ajai , aj(i?j), 滿足: 0?nai?aj1?aiaj?2?1。

????????y?tan?，k=1,2,…,9,由在??k????,?單調(diào)遞增, ?22?22?????????3??,?分成8個(gè)小區(qū)間:??,??，8??22??2證明

設(shè)ak= tan?k??-當(dāng)ai?aj時(shí)，?i??j。將???3????3???????,…,根據(jù)抽屜原理, 在?,?,????,?至少存在兩個(gè)角?i,?j使得?8?4???82??22?0??i??j??8，則有: 0?tan?i??j?tan???8，0?tan?i?tan?j1?tan?itan?j?2?1, 即有0?ai?aj1?aiaj

?2?1

D

C A

B D1 A1 B1

D

C A

B D1 C1 A1

B1