第一篇：選修2-2§2.2.1綜合法與分析法

人教版數(shù)學(xué)選修精品——推理與證明

§2.2.1直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

3．教學(xué)難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

4．教具準備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

教師活動：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義

證明:因為b2?c2?2bc,a?0,所以a(b2?c2)?2abc,因為c?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論

1.綜合法

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 2222222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公例

1、在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A + B + C =?； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是b?ac．此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之

2間的關(guān)系，進而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進行證明．

證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ． ①

因為A,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=?． ⑧

?由①②，得B=.3由a, b，c成等比數(shù)列，有b2?ac.由余弦定理及③，可得

b?a?c?2accosB?a?c?ac.22222

再由④，得a2?c2?ac?ac.2(a?c)?0,因此a?c.從而A=C.由②③⑤，得 ?A=B=C=.3

所以△ABC為等邊三角形．

解決數(shù)學(xué)問題時，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

2.分析法

證明數(shù)學(xué)命題時，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3······直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。

分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?

證明：因為3?只需證明(3?7?25 7和25都是正數(shù)，所以為了證明3?7)?(25)227?25 展開得10?221?20

即221?10,21?2

5因為21?25成立，所以

(3?227)?(25)成立 即證明了3?7?25

說明：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。

事實上，在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特

‘‘點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來看一個例子．

?例4 已知?,??k??(k?Z)，且

2sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin?②2

求證：1?tan?

1?tan?22?1?tan?2(1?tan?)22。

分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)量關(guān)系

2222(sin??cos?)?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin??2sin??1．把

4sin??2sin??1與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：22

統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為cos??sin??

cos??sin??222212

12(cos??sin?),再與4sin??2sin??1比較，發(fā)現(xiàn)只要把c(os??222222sin?中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達到目的．)2證明：因為(sin??cos?)?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得 4sin??2sin??1.③ 2

另一方面，要證

sin?21?tan?1?tan?22?21?tan?2(1?tan?)22 1?

即證

1??2sin?

cos?

2221?2(1?sin?cos?sin?cos?1

2222，)222即證cos??sin??

即證1?2sin??

22(cos??sin?)，2122(1?2sin?)，即證4sin??2sin??1。

由于上式與③相同，于是問題得證。

課堂小結(jié)：直接證明的兩種方法-綜合法和分析法

課后作業(yè)：第91頁A組 2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

首先，介紹為什么要引入證明，以及經(jīng)常用的兩種證明方法，主要介紹的是直接證明的兩種方法。然后具體講解綜合法和分析法并舉例說明，強調(diào)分析法的步驟以及兩者的區(qū)別。最后舉一個兩種方法綜合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：

222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b2?c2≥2bc,a＞0,∴a(b2?c2)≥2abc①

同理 b(c2?a2)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③ 2

2因為a，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例

2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0

∴a?b?c?(a?b?c)

2422例

3、若實數(shù)x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x).22222ac≤a?c2?a?c

證明：采用差值比較法：

3(1?x?x)?(1?x?x)242

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

43=2(x?x?x?1)

=2(x?1)(x?x?1)=2(x?1)[(x?224242322

12)?

2234].1

2)?2?x?1,從而(x?1)?0,且(x?

4]?0,2234?0, ∴2(x?1)[(x?24212)?2∴3(1?x?x)?(1?x?x).例

4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時,(2)當(dāng)ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即證ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即證2abcd≤b2c2+a2d

22即證0≤(bc-ad)

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

***22222證法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法

證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a-2ab+b＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命題得證.2222

第二篇：綜合法與分析法（范文模版）

課題：§2.2.1 綜合法與分析法（說課稿）

各位評委、各位老師：

大家好！我是來自……..，希望我今天的說課能給大家留下美好的印象。我說課的課題是高中課程標(biāo)準實驗教材數(shù)學(xué)選修2－2第二章第二節(jié)的《綜合法與分析法》。我想通過這節(jié)課表達一種教學(xué)理念——關(guān)注學(xué)生成長，構(gòu)建高效課堂。本節(jié)說課分教學(xué)設(shè)計和教學(xué)反思兩部分。在教學(xué)設(shè)計部分，我將以“教什么，怎么教，為何這樣教”為思路從以下這五個方面進行闡述。? 教材分析-------教材編寫背景、地位與作用、重點與難點（關(guān)于教材分析我將從……三個方向進行說明）? 學(xué)情分析-------有利因素、不利因素（然后從……兩點來對學(xué)情進行分析）

? 目標(biāo)分析-------知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)（…….是本節(jié)課的三大目標(biāo)）? 教法分析-------教法、學(xué)法

（之后是從教法與學(xué)法來分析如何處理本節(jié)課）

? 過程分析-------定義、范例、練習(xí)、歸納總結(jié)、作業(yè)（本節(jié)課的教學(xué)過程我將從………五點來安排）? 評價分析-------課程設(shè)計、課后感想

（最后是對本節(jié)課的課程設(shè)計的介紹以及課后的一些感想）

一、教材分析

（關(guān)于教材分析首先我要講的是）

1、教材編寫背景

在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)能應(yīng)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)命題，但他們對這些證明方法的內(nèi)涵和特點不一定非常清楚。本節(jié)結(jié)合學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，通過實例引導(dǎo)學(xué)生分析這些基本證明方法的思考過程和特點，并歸納出操作流程圖，使他們在以后的學(xué)習(xí)和生活中，能自覺地、有意識的用這些方法進行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。

2、教材地位與作用

（我們知道）《綜合法和分析法》是直接證明中最基本的兩種證明方法，是在學(xué)習(xí)了合情推理與演繹推理的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)證明數(shù)學(xué)結(jié)論的兩種常見方法，他不是孤立存在的，這種證明方法已經(jīng)滲透到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等等，可見，直接證明的方法在中學(xué)數(shù)學(xué)里占有極其重要的地位。

綜合法與分析法已經(jīng)與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等問題結(jié)合的比較緊密，這類問題重在考察學(xué)生的邏輯思維能力，并且立意新穎，抽象程度高，更能體現(xiàn)高觀點、低起點，深入淺出的特點

3、教材的重點和難點

教學(xué)重點：綜合法和分析法的概念及思考過程、特點

教學(xué)難點：結(jié)合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不

同的證明方法結(jié)合使用

（本節(jié)課的最終目標(biāo)是能）從實際問題中，命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、定理、公理，直接推證結(jié)果的真實性，從證明過程上認識分析法和綜合法的推理過程，學(xué)會用綜合法和分析法證明實際問題，并且理解分析法和綜合法的內(nèi)在聯(lián)系（突破本節(jié)課難點所在）

二、學(xué)情分析

（對于本節(jié)課有以下兩點值得注意）

1、有利因素

學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)初步形成了一定的證明思想，例如初中階段的幾何證明題，高一學(xué)習(xí)了一元二次不等式，初步證明了一些不等式的問題，在本節(jié)課前，學(xué)習(xí)了合情推理與演繹推理，都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)

2、不利因素

學(xué)生對以學(xué)知識的應(yīng)用意識不強，三角代換、代數(shù)式的變形沒有目的性，隨意性較大。特別是與其他章節(jié)知識的交匯存在很大障礙

三、目標(biāo)分析

根據(jù)《高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的要求和教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理規(guī)律和素質(zhì)教育的要求，結(jié)合學(xué)生的實際水平，我制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下： 知識目標(biāo)：了解直接證明的兩種方法—分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點（這也是本節(jié)課重點所在），能運用綜合法分析法證題（解決本節(jié)課的難點）。

能力目標(biāo)：通過綜合法和分析法的學(xué)習(xí)，提升分析解決問題的能力。情感目標(biāo)：通過分析法和綜合法的學(xué)習(xí)體會數(shù)學(xué)思維的嚴密性，同時在以后的生活中能應(yīng)用這種能力解決現(xiàn)實生活中的問題，幫助身心健康成長.四、教法與學(xué)法分析

教法：（因為）本節(jié)課是直接證明的復(fù)習(xí)課，學(xué)生容易產(chǎn)生對已學(xué)習(xí)知識的輕視態(tài)度與厭倦心理，較難發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。因此，如果教學(xué)方法、策略不合適，很難以達到理想的教學(xué)效果。為了貫徹啟發(fā)性教學(xué)原則，體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)思想，深化課堂教學(xué)改革，我采用了回顧、分析、啟發(fā)、引導(dǎo)、歸納相結(jié)合的教學(xué)方法，以及一題多解，錯題剖析等教學(xué)策略，以幫助學(xué)生克服上述心理，激發(fā)學(xué)生的求知欲、探索欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體作用。

學(xué)法：在引導(dǎo)分析時，要留出空間和時間，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法弄清。在促進學(xué)生知識體系的構(gòu)建和數(shù)學(xué)思想方法的形成的同時，要注意面向全體學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生多觀察、勤思考、勤動手的精神，提高學(xué)生合作學(xué)習(xí)和教學(xué)交流的能力

五、教學(xué)過程設(shè)計

我把整個教學(xué)過程分為如下三部分

1、定義引入，考點詮釋

2、演練導(dǎo)航，規(guī)范方法

3、歸納總結(jié)，布置作業(yè)

1、定義引入，考點詮釋

（定義引入這部分內(nèi)容的設(shè)計意圖在于突破本節(jié)課的重點：綜合法、分析法的定義，思考過程）

引入：因為本節(jié)屬于推理性證明，所以我以學(xué)生熟悉的《名偵探柯南》中一個片段引導(dǎo)學(xué)生熟悉有序的邏輯思考過程

（看完影片后我要求學(xué)生回答從影片中都有什么收獲）

提示：每一個結(jié)論的得出都必須有證據(jù)存在，已有事實是推理的依據(jù)。

①學(xué)生演示例1的做題過程

例

1、在?ABC中，三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證：?ABC為等邊三角形

②教師以推理的結(jié)構(gòu)重組做題過程

（討論教師書寫結(jié)構(gòu)的特點以及看到這種結(jié)構(gòu)的感想）③歸納綜合法定義 綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的方法，又叫順推證法。

綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，由條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立

用P表示已知條件、已有定義、定理、公理等，Q表示所需證明的結(jié)論 則框圖表示為

特點：由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找“已知”的必要條件

提示學(xué)生把解題過程進行綜合法概念轉(zhuǎn)化

P(已知條件)?Q1? 1??Q3P（定義）?Q2? 2Q? 3?P(定理)??Q5?Q6?Q7?Q83

?P（已知條件）?Q44?

Q8??Q?Q?9 Q3?總結(jié)綜合法證明問題的步驟

第一步：分析條件，選擇方向.仔細分析題目的已知條件（包括隱含條件），分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系和區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法

第二步：轉(zhuǎn)化條件，組織過程.把題目的已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化.組織過程時要有嚴密的邏輯，簡介的語言，清晰的思路

第三步：適當(dāng)調(diào)整，回顧反思.解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，并對一些語言進行適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取

（例2是一個幾何證明題，接下來我做的工作是讓學(xué)生）分析例2思考過程，寫出思考過程

（分析完之后教師提示這個過程就是分析法）類比例1總結(jié)做題過程得出分析法的定義及流程圖

分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、公理等）

分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法

用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可得框圖表示為

特點：從“未知”看“需知”，在逐步靠近“已知” 分析法的做題步驟

用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，一定要恰當(dāng)?shù)挠煤谩耙C”、“只需證”、“即證”等詞語.2、演練導(dǎo)航，規(guī)范方法

做一個綜合法與分析法綜合使用的例題，熟悉綜合法與分析發(fā)的使用，突破本節(jié)課的難點

3、歸納總結(jié)、布置作業(yè)

（學(xué)生總結(jié)什么是綜合法，什么是分析法，聯(lián)系與區(qū)別）

分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的證明過程恰好是綜合法的分析、思考過程，即綜合法是分析法的逆過程?；煜怂麄冎g的區(qū)別和聯(lián)系易產(chǎn)生思維障礙，要注意兩種證明方法的書寫格式，否則易產(chǎn)生邏輯上的錯誤.六、評價分析

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)總結(jié)，教師完善.復(fù)習(xí)課在很大程度上就是一個歸納總結(jié)的過程，特別是注意事項的總結(jié).讓學(xué)生養(yǎng)成善于總結(jié)的好習(xí)慣，是對學(xué)習(xí)知識的升華過程.防范錯誤于未然也是我們追求的目標(biāo)，可見，歸納總結(jié)是非常重要的.同時必要的訓(xùn)練也是提高學(xué)生解題能力的重要途徑.課后反思：通過本節(jié)課的講授，我進行了以下四個方面的反思：

1、力求達到教師主導(dǎo)學(xué)生主體的教學(xué)理念，積極參與到探索、發(fā)現(xiàn)、討論、交流的學(xué)習(xí)活動中去。在動手實踐、師生交流、合作探究、生生互動中一次次產(chǎn)生思維火花，使課堂教學(xué)成為學(xué)生親自參與的豐富數(shù)學(xué)思想場所,充分體現(xiàn)了課堂中學(xué)生的主體地位。

2、在突破重點問題上，通過學(xué)生自主探究、合作交流，質(zhì)疑等教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生體會邏輯過程，使問題自然流暢，層層遞進，體現(xiàn)高效課堂。

3、設(shè)計愉快的引入環(huán)節(jié)讓同學(xué)們在愉悅的心情中發(fā)散思維，體會推理帶來的興奮情緒，同時希望能提高同學(xué)們對生活細節(jié)的把握，為以后的人際交往打下基礎(chǔ).4、本節(jié)課在課堂的把握上還是有所欠缺，引導(dǎo)不是很到位，這是日后我要改進的地方.我的說課到此結(jié)束，謝謝各位！

第三篇：分析法與綜合法

實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)（理科）學(xué)案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

2.2分析法與綜合法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的分析法；

2.會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.二．【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】

1.先精讀一遍教材，用紅色筆進行勾畫，再針對導(dǎo)學(xué)案問題導(dǎo)學(xué)部分二次閱讀并回答提出的問題；

2.限時完成導(dǎo)學(xué)案合作探究部分，書寫規(guī)范。

3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質(zhì)疑；

三．自學(xué)指導(dǎo)：

證明方法可以分為直接證明和間接證明

1．直接證明分為和

2．直接證明是從命題的或出發(fā)，根據(jù)以知的定義，公

里，定理，推證結(jié)論的真實性。

3．綜合法是從推導(dǎo)到的方法。而分析法是一種從追溯到的思維方法，具體的說，綜合法是從已知的條件出

發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達到待證結(jié)論，分析法則是從待證的結(jié)論出發(fā)，一步一步

尋求結(jié)論成立的條件，最后達到題設(shè)的以知條件或以被證明的事實。綜

合法是由導(dǎo)，分析法是執(zhí)索。

【預(yù)習(xí)自測】

【我的疑惑】

課中案 一.【教學(xué)重點與難點】： 重點: 分析法的思維過程及特點 難點：分析法的應(yīng)用 二．合作、探究、展示 變式1求證

實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)（理科）學(xué)案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 例2在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足

為F,求證AF?SC.三.課堂檢測

1.2?,其中最合理的是()

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是()ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

【課堂小結(jié)】

1.知識方面

2.數(shù)學(xué)思想方法

課后案

1.已知y?x?0,且x?y?1,那么()x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2.若a,b,c?R,則a2?b2?c2ab?bc?ac.

第四篇：綜合法和分析法

課題綜合法與分析法課時 1課時課型 新授課 使用說明及學(xué)法指導(dǎo)

1.先精讀教材P60-P64內(nèi)容，用紅色筆進行勾畫，再針對導(dǎo)學(xué)案的問題，二次閱讀教材部分內(nèi)容，并回答，時間為15分鐘.2.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論和質(zhì)疑.3.必須記住的內(nèi)容：綜合法和分析法證明不等式.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解并掌握綜合法與分析法;2.會利用綜合法和分析法證明不等式

3.高效學(xué)習(xí)，通過對典型案例的探究，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)激情.學(xué)習(xí)重點

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.學(xué)習(xí)難點

根據(jù)問題的特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.一．預(yù)習(xí)自學(xué)

1.常用直接證明方法有和

2.綜合法：一般的，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)、、等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫綜合法.綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“已知→可知1→可知2→…結(jié)論”.3.分析法：一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使成立的條件，直至最后，把證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個為止，這種證明方法叫做分析法，分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“結(jié)論→需知1→需知2→…已知”.?.如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立.?.如果a,b?R?,那么a?b?當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立.?.如果a

2?b?c

a,b,c?R?, 那么

3?

當(dāng)且僅當(dāng)時, 等

號成立.40.如果a,b,c?R?, 那么

ba?ab?、c?aa

b

?bc

?

二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的實數(shù)，求證：a

2?b2

?c2

?ab?bc?ca． 證明：∵a，b，c?R，∴a2

?b2

≥2ab，b2

?c2

≥2bc，c2

?a2

≥2ac

變式訓(xùn)練

已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

2.用分析法證明 求證:3?6?21.達標(biāo)檢測

1.下列說法不正確的是（）

Ａ.綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法Ｂ.分析法是執(zhí)果索因的逆推證法

Ｃ.綜合法與分析法都是直接證法Ｄ.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．分析法是()

A．執(zhí)果索因的逆推法B．執(zhí)因?qū)Ч捻樛品?C．因果分別互推的兩頭湊法D．逆命題的證明方法 3.以下數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）

Ａ．Ｂ．π?2，π?5，π?8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值確定 5.已知

a,b

是不相等的正數(shù)，x?

y?,y，則

x的大小關(guān)系

是.6.用分析法證明（:15??（2）

7.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8

8.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a

?

11b

?

c

?9

變式.已知a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù)，b?c?a

a?c?b

b?c

a

?

b

?

a?c

?3

綜合法與分析法各有何特點？

【思考·提示】 分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡單的一種．平時我們常用分析法探索解題思路，然后用綜合法書寫步驟．

第五篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學(xué)重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學(xué)難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數(shù)）（10）設(shè)a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學(xué)進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過程中，要特別注意學(xué)生的實際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證課堂教學(xué)進度。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)該是比較成功的。

考點預(yù)測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考?？純?nèi)容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復(fù)習(xí)準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學(xué)例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于

a,b對稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實數(shù)x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時,(2)當(dāng)ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學(xué)案31頁6、7,33頁3、4.作業(yè)：教材P52 練習(xí)2、3題.