第一篇：2.2.1 綜合法和分析法

2．2 直接證明與間接證明

2．2.1 綜合法和分析法

整體設(shè)計(jì)

教材分析

在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)能用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問題，但他們對綜合法和分析法的內(nèi)涵和特點(diǎn)不一定非常清楚．本節(jié)內(nèi)容結(jié)合學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法與分析法的思考過程與特點(diǎn)，并歸納出操作流程圖，使他們在以后的學(xué)習(xí)中，能自覺地、有意識地運(yùn)用綜合法和分析法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣．

課時分配

2課時．第1課時綜合法，第2課時分析法．

第1課時

教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能目標(biāo)

(1)理解綜合法證明的概念；

(2)能熟練地運(yùn)用綜合法證明數(shù)學(xué)問題．

2．過程與方法目標(biāo)

(1)通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法的思考過程與特點(diǎn)；

(2)引導(dǎo)學(xué)生歸納出綜合法證明的操作流程圖．

3．情感、態(tài)度與價值觀

(1)通過綜合法的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、抽象性、科學(xué)性；

(2)通過綜合法的學(xué)習(xí)，養(yǎng)成審慎思維的習(xí)慣．

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：(1)結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例理解綜合法；

(2)了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)．

難點(diǎn)：(1)對綜合法的思考過程、特點(diǎn)的概括；

(2)運(yùn)用綜合法證明與數(shù)列、幾何等有關(guān)內(nèi)容．

教學(xué)過程

引入新課

證明對我們來說并不陌生，我們在上一節(jié)學(xué)習(xí)的合情推理，所得的結(jié)論的正確性就是要證明的，并且我們在以前的學(xué)習(xí)中，積累了較多的證明數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的、不系統(tǒng)的，這一節(jié)我們將通過熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例，對證明數(shù)學(xué)問題的方法形成較完整的認(rèn)識．

提出問題：給出以下問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明．

請同學(xué)們證明：

已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活動設(shè)計(jì)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，找出以上問題的證明方法，教師巡視指導(dǎo)，并注意與學(xué)生交流．

活動結(jié)果：(學(xué)生板書證明過程)

證明：因?yàn)閎2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因?yàn)閏2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，體會綜合法證明的思考過程，為引出綜合法的定義做準(zhǔn)備．

探究新知

提出問題：請同學(xué)們回顧，你證明這道題的思維過程．

活動設(shè)計(jì)：學(xué)生自由發(fā)言．

教師活動：整理學(xué)生發(fā)言，得到證明上題的思維過程．

首先，分析待證不等式的特點(diǎn)：不等式右端是3個數(shù)a，b，c乘積的四倍，左端為兩項(xiàng)之和，其中每一項(xiàng)都是一個數(shù)與另兩個數(shù)的平方和之積，據(jù)此，只要把兩個數(shù)的平方和轉(zhuǎn)化為這兩個數(shù)的積的形式，就能使不等式兩端出現(xiàn)相同的形式；

其次，尋找轉(zhuǎn)化的依據(jù)及證明中要用的知識，本題應(yīng)用不等式x2＋y2≥2xy就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不等式的基本性質(zhì)是證明的依據(jù)；

最后，給出證明即可．

(在總結(jié)證明上題思維過程的同時，向?qū)W生灌輸解決問題先粗后細(xì)，先框架，后具體的思想)

這樣，我們可以把上題的證明過程概括為：從已知條件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過推理得出結(jié)論成立．

活動結(jié)果：

綜合法定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．

設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生先表達(dá)綜合法證明的特點(diǎn)，但他們對綜合法的內(nèi)涵和特點(diǎn)表達(dá)不一定非常清楚，因此再由老師整理出綜合法證明的思維特點(diǎn)來，進(jìn)而將問題一般化，得到綜合法的定義．

運(yùn)用新知

例1在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．

思路分析：本題首先把已知條件進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，即將A，B，C成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為2B＝A＋C，a，b，c成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為b2＝ac，接著把隱含條件顯性化，將A，B，C為△ABC三個內(nèi)角明確表示為A＋B＋C＝π，然后尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系；利用余弦定理可以把邊和角聯(lián)系起來，建立邊和角的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀．這樣，就可以嘗試直接從已知條件和余弦定理出發(fā)，運(yùn)用綜合法來推導(dǎo)出結(jié)論．

證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比數(shù)列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，從而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC為等邊三角形． 3

點(diǎn)評：在證明數(shù)學(xué)命題時，經(jīng)常要把已知條件進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等，還要把命題中的隱含條件顯性化，然后尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系，最后運(yùn)用綜合法來推導(dǎo)結(jié)論．

bn1an111設(shè)a＋b>0，n為偶數(shù)，證明＋.abab－－

bn1an111?an－bn??an1－bn1?證明：＝，abab?ab?－－－－

(1)當(dāng)a>0，b>0時，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

?an－bn??an1－bn1?bn1an111所以≥0，故＋abab?ab?－－－－

(2)當(dāng)ab為負(fù)值時，不妨設(shè)a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶數(shù)，所以(an－b)(ann－1－bn－1?an－bn??an1－bn1?bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.abab?ab?－－－－n

bn1an111綜合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于綜合法證明的特點(diǎn)，我們有時也把這種證明方法叫“順推證法”或“由因?qū)Чā保?/p>

(2)框圖表示

P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論．

2如圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC中點(diǎn)．

證明SO⊥平面ABC.思路分析：從已有的定義、定理、公理出發(fā)，推出要證的結(jié)論．

證明：由題設(shè)AB＝AC＝SB＝SC＝SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)A＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，從而OA2＋SO2＝

SA2.2又因?yàn)椤鱏BC與△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA為直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.點(diǎn)評：讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉綜合法證明的思維過程與特點(diǎn)，學(xué)習(xí)綜合法證明的規(guī)范證明過

程，同時熟悉綜合法證明的操作流程圖．

鞏固練習(xí)

11＋已知a，b，c∈R，求證：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋證明：由于a，b，c∈R，則(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

變練演編

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求證：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要證明式子的結(jié)構(gòu)特征，合理運(yùn)用均值不等式，用綜合法證明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋證明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，則＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

點(diǎn)評：學(xué)會結(jié)合條件及所證的結(jié)論，尋找到解決問題所需的知識，充分體會綜合法證明不等式的方法，規(guī)范解題步驟．

達(dá)標(biāo)檢測

1．綜合法：(1)一般的，利用____________，經(jīng)過____________最后________，這種證明方法叫做綜合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，則下列各式中，一定正確的是()

A．a(chǎn)c≥bB．a(chǎn)b≥c

C．bc≥aD．a(chǎn)b≤c

答案：1.已知條件和某些數(shù)學(xué)定義，公理，定理 一系列的推理論證 推導(dǎo)出證明的結(jié)論成立

2．B

課堂小結(jié)

1．綜合法證明是證明題中常用的方法．從條件入手，根據(jù)公理、定義、定理等推出要證的結(jié)論．

2．綜合法證明題時要注意，要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言等，還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

3．綜合法可用于證明與函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關(guān)的問題．

布置作業(yè)

課本本節(jié)練習(xí)1、3.補(bǔ)充練習(xí)

基礎(chǔ)練習(xí)

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求證：△ABC為等邊三角形．

證明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinB?sinA3?π2πA＝.23

3π由cosA＝cosC?A＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC為等邊三角3

形．

拓展練習(xí)

22．已知函數(shù)f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)．對任意兩個不相等的正數(shù)x

f?x1?＋f?x2?x1＋x2x1、x2，證明當(dāng)a≤0時，>f(． 2

22證明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得f?x1?＋f?x2?12211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都為正數(shù)，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴l(xiāng)nx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

f?x1?＋f?x2?x1＋x2由①、②、③得． 2

2設(shè)計(jì)說明

本節(jié)通過具體證明實(shí)例，使學(xué)生了解直接證明的基本方法——綜合法，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力；并能用綜合法證明數(shù)列、幾何等有關(guān)內(nèi)容．本節(jié)重點(diǎn)突出學(xué)生的自主性，教師主要是點(diǎn)撥思路，與知識升華，在教師所提問題的引導(dǎo)下，學(xué)生自主完成探究新知和理解新知的過程，加深對知識的理解和提高證明問題的能力．

備課資料

例1已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a＋b＋c＝1，求證：a＋bc3.思路分析：此題是應(yīng)用綜合法證明不等式問題，需要用到不等式中的均值不等式的知識來進(jìn)行證明．

證明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.點(diǎn)評：運(yùn)用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是要由已知條件尋找到正確的所需知識，進(jìn)而來證＋

明問題．

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m為常數(shù)，且m≠－3.(1)求證：{an}是等比數(shù)列；

3(2)若數(shù)列{an}的公比q＝f(m)，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求證：

21{為等差數(shù)列． bn

思路分析：本題要求證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列，恰當(dāng)處理遞推關(guān)系是關(guān)鍵．

證明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m兩式相減得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比數(shù)列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2時，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首項(xiàng)為1，公差為 bnbn－13bn3

點(diǎn)評：本題主要考查利用綜合法和數(shù)列的定義，合理處理遞推關(guān)系的數(shù)列證明問題． 例3在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此題事實(shí)上比較簡單，但學(xué)生入手卻有些不知所措．對已知條件(1)a2－c2＝2b左側(cè)是二次的，右側(cè)是一次的，學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差，導(dǎo)致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.點(diǎn)評：在解題中應(yīng)注意總結(jié)，提高對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力．

(設(shè)計(jì)者：莫靜波)

第二篇：綜合法和分析法

課題綜合法與分析法課時 1課時課型 新授課 使用說明及學(xué)法指導(dǎo)

1.先精讀教材P60-P64內(nèi)容，用紅色筆進(jìn)行勾畫，再針對導(dǎo)學(xué)案的問題，二次閱讀教材部分內(nèi)容，并回答，時間為15分鐘.2.找出自己的疑惑和需要討論的問題準(zhǔn)備課上討論和質(zhì)疑.3.必須記住的內(nèi)容：綜合法和分析法證明不等式.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解并掌握綜合法與分析法;2.會利用綜合法和分析法證明不等式

3.高效學(xué)習(xí)，通過對典型案例的探究，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)激情.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.一．預(yù)習(xí)自學(xué)

1.常用直接證明方法有和

2.綜合法：一般的，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)、、等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫綜合法.綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“已知→可知1→可知2→…結(jié)論”.3.分析法：一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使成立的條件，直至最后，把證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個為止，這種證明方法叫做分析法，分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“結(jié)論→需知1→需知2→…已知”.?.如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立.?.如果a,b?R?,那么a?b?當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立.?.如果a

2?b?c

a,b,c?R?, 那么

3?

當(dāng)且僅當(dāng)時, 等

號成立.40.如果a,b,c?R?, 那么

ba?ab?、c?aa

b

?bc

?

二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a

2?b2

?c2

?ab?bc?ca． 證明：∵a，b，c?R，∴a2

?b2

≥2ab，b2

?c2

≥2bc，c2

?a2

≥2ac

變式訓(xùn)練

已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

2.用分析法證明 求證:3?6?21.達(dá)標(biāo)檢測

1.下列說法不正確的是（）

Ａ.綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法Ｂ.分析法是執(zhí)果索因的逆推證法

Ｃ.綜合法與分析法都是直接證法Ｄ.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．分析法是()

A．執(zhí)果索因的逆推法B．執(zhí)因?qū)Ч捻樛品?C．因果分別互推的兩頭湊法D．逆命題的證明方法 3.以下數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）

Ａ．Ｂ．π?2，π?5，π?8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值確定 5.已知

a,b

是不相等的正數(shù)，x?

y?,y，則

x的大小關(guān)系

是.6.用分析法證明（:15??（2）

7.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8

8.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a

?

11b

?

c

?9

變式.已知a,b,c是兩兩不相等的正實(shí)數(shù)，b?c?a

a?c?b

b?c

a

?

b

?

a?c

?3

綜合法與分析法各有何特點(diǎn)？

【思考·提示】 分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡單的一種．平時我們常用分析法探索解題思路，然后用綜合法書寫步驟．

第三篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數(shù)）（10）設(shè)a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識遺忘嚴(yán)重，在一定程度上影響了教學(xué)進(jìn)度，使課堂上進(jìn)度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過程中，要特別注意學(xué)生的實(shí)際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證課堂教學(xué)進(jìn)度。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)該是比較成功的。

考點(diǎn)預(yù)測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考常考內(nèi)容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學(xué)例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進(jìn)行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于

a,b對稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實(shí)數(shù)x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設(shè)a、b是兩個正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時,(2)當(dāng)ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設(shè)a、b是兩個正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學(xué)案31頁6、7,33頁3、4.作業(yè)：教材P52 練習(xí)2、3題.

第四篇：綜合法和分析法

《綜合法和分析法（1）》導(dǎo)學(xué)案

編寫人：馬培文

審核人：杜運(yùn)鐸

編寫時間：2016-02-24 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。【重點(diǎn)難點(diǎn)】

1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法； 2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

3.根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法?！緦W(xué)法指導(dǎo)】

① 課前閱讀課文（預(yù)習(xí)教材P85～P89，找出疑惑之處）② 思考導(dǎo)學(xué)案中的探究問題，并提出你的觀點(diǎn)。

【知識鏈接】

復(fù)習(xí)1

兩類基本的證明方法:

和

。復(fù)習(xí)2

直接證明的兩中方法:

和

。知識點(diǎn)一

綜合法的應(yīng)用 問題

已知a,b?0, 求證

a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc。

新知

一般地,利用

,經(jīng)過一系列的推理論證,最后導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫綜合法。反思

框圖表示

因?qū)Ч?/p>

【典型例題】

例

1111變式

已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證

(?1)(?1)(?1)?8。

abc

要點(diǎn)

順推證法；由已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

111???9 abc

小結(jié)

用綜合法證明不等式時要注意應(yīng)用重要不等式和不等式性質(zhì),要注意公式應(yīng)用的條件和等號成立的條件,這是一種由因索果的證明。

例2

在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形。

變式

設(shè)在四面體P?ABC中,?ABC?90?,PA?PB?PC,D是AC的中點(diǎn).求證

PD垂直于?ABC所在的平面。

小結(jié)

解決數(shù)學(xué)問題時,往往要先作語言的轉(zhuǎn)換,如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言,或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等,還要通過細(xì)致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來。

【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】

A1.求證

對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?。

B2.A,B為銳角，且tanA?tanB?3tanAtanB?3，求證

A?B?60?.（提示：算tan(A?B)）。

【歸納小結(jié)】

綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合

法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題?！局R拓展】

綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導(dǎo)出所要求證的命題,綜合法是一種由因索果的證明方法?！井?dāng)堂檢測】

1.已知x,y?R,則“xy?1”是“x2?y2?1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.如果a1,a2,???a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d?0，則（）

A．a(chǎn)1a8?a4a5

B．a(chǎn)1a8?a4a5

C．a(chǎn)1?a8?a4?a5

D．a(chǎn)1a8?a4a5

3..設(shè)P?1111???，則（）log211log311log411log511A．0?P?1

B．1?P?2

C．2?P?3

D．3?P?4

3314.若關(guān)于x的不等式(k2?2k?)x?(k2?2k?)1?x的解集為(,??)，則k的222范圍是。

a?b,y?a?b，則x,y的大小關(guān)系是5.已知a,b是不相等的正數(shù)，x?2____。

【能力提升】

b?c?aa?c?ba?b?c1.已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

???3。

abc

2.在△ABC中，證明

cos2Acos2B11???。2222

【學(xué)習(xí)反思】

① 基礎(chǔ)知識 ＿＿＿。

② 學(xué)習(xí)方法＿＿＿。

③ 情感認(rèn)知 ＿＿。

高二數(shù)學(xué)選修2-2

abab＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第五篇：綜合法和分析法習(xí)題

直接證明與間接證明測試題

一、選擇題

1．下列說法不正確的是（）

Ａ．綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法

Ｂ．分析法是執(zhí)果索因的逆推證法

Ｃ．綜合法與分析法都是直接證法

Ｄ．綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．用反證法證明一個命題時，下列說法正確的是（）

Ａ．將結(jié)論與條件同時否定，推出矛盾

Ｂ．肯定條件，否定結(jié)論，推出矛盾

Ｃ．將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，經(jīng)過推理得出的結(jié)論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運(yùn)用

Ｄ．將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，原題的條件不能當(dāng)條件

3．若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca．

證明過程如下：

∵a，b，c?R，∴a2?b2≥2ab，b2?c2≥2bc，c2?a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一個“?”不成立，∴將以上三式相加得2(a?b?c)?2(ab?b?c?ac)，∴a?b?c?ab?bc?ca．此證法是（）22222

2Ａ．分析法

Ｂ．綜合法Ｃ．分析法與綜合法并用Ｄ．反證法

41?．

?1?

?

1，即證7?5?11?

1?，∵35?11，∴原不等式成立．

以上證明應(yīng)用了（）Ａ．分析法

5．以下數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）

Ａ．

Ｂ．綜合法Ｃ．分析法與綜合法配合使用Ｄ．間接證法

Ｂ．π?2，π?5，π?8

6．使不等式Ａ．a(chǎn)?b

1a?16

Ｄ．20，40，60

成立的條件是（）

Ｂ．a(chǎn)?b

Ｄ．a(chǎn)?b，且ab?0

Ｃ．a(chǎn)?b，且ab?0

二、填空題

7．求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60°，用反證法證明時的假設(shè)為“三角形的”．

8．已知a?0，b?0，m?

9．當(dāng)a?0，b?0時，①(a?b)?

?1?a

?1?

?≥4b?

2n?lg

m與nn的關(guān)系為．

；②a2?b2?2≥2a?2b；

；④

2aba?b

≥

以上4個不等式恒成立的是．（填序號）

10．函數(shù)f(x)?sinx?2sinx，x?[0，2π]的圖象與直線y?k有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是．

11．設(shè)函數(shù)f(x)?lgx，若0?a,b，且f(a)?f(b)，則ab?．

12．已知平面?，?，?滿足???，???，????l，則l與?的位置關(guān)系為．

三、解答題

13．已知a，b，c?(0，1)．求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a不能同時大于

14．已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，公差d?1，數(shù)列?cn?滿足cn?an2?an2?1(n?N?)．判斷數(shù)列?cn?是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

15．若下列方程：x2?4ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0，x2?2ax?2a?0，至少有一個方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)aa的取值范圍．

．

答案

1.答案：Ｄ2.答案：Ｂ3.答案：Ｂ4.答案：Ａ 5.答案：Ｃ6.答案：Ｄ7.答案：三個內(nèi)角都小于60° 8.答案： m≤n9.答案：①②③

10.答案：1?k?3 11.答案：(0，1)12.答案：l??

13.證明：假設(shè)三式同時大于

14，即(1?a)b?

164

14，(1?b)c?

14，(1?c)a?

14，三式同向相乘，得(1?a)a(1?b)b(1?c)c?

1?1?a?a?又(1?a)a≤???

24??

．①，14164

同理(1?b)b≤

14，(1?c)c≤．，所以(1?a)a(1?b)b(1?c)c≤

與①式矛盾，即假設(shè)不成立，故結(jié)論正確．

14.答案：是．證明：由條件an?a1?(n?1)，則cn?an2?an2?1??2n?2a1?1． 所以cn?1?cn??2，所以數(shù)列?cn?為等差數(shù)列．

??1?16a2?4(?4a?3)?0，?

15.解：設(shè)三個方程均無實(shí)根，則有??2?(a?1)2?4a2?0，?2

??3?4a?4(?2a)?0，