第一篇：綜合法和分析法2

§2.2.1 綜合法和分析法

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

（二）過(guò)程與方法:培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)： 了解綜合法和分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

三、教學(xué)難點(diǎn)：

根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法和分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用。

四、教學(xué)過(guò)程:

（一）導(dǎo)入新課：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過(guò)邏輯推理的方式加以證明。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。

（二）推進(jìn)新課：

1.綜合法

問(wèn)題1:已知a,b>0,求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問(wèn)題，引出綜合法的定義。教師活動(dòng)：給出以上問(wèn)題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。

教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立分析，思考，找出以上問(wèn)題的證明方法。

證明:因?yàn)閎2?c2?2bc,a?0，所以a(b2?c2)?2abc。

因?yàn)閏2?a2?2ac,b?0，所以b(c2?a2)?2abc。

因此 a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc。一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。

綜合法，又叫順推證法或由因?qū)Чā?/p>

用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：

p?p1?p2?p3?p4?p5?...?pn?Q

綜合法的特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。

例

1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.設(shè)計(jì)意圖：可以學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)，同時(shí)為學(xué)生用綜合法證????????

1明數(shù)學(xué)命題起示范作用。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立分析，證明，再集體討論，找出以上問(wèn)題的證明方法。

師生活動(dòng)：首先把已知條件進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，即將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來(lái)是A + B + C =?； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是b2?ac．然后再尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系：利用余弦定理把角和邊聯(lián)系起來(lái)，建立角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀．

證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有2B=A + C ．①

因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=?．②?由①②，得B=．③

3由a, b，c成等比數(shù)列，有b2?ac．④

由余弦定理及③，可得

b2?a2?c2?2accosB?a2?c2?ac．

再由④，得a2?c2?ac?ac．

2即(a?c)，?0

因此a?c．

從而A=C．⑤

由②③⑤，得 ?A=B=C=． 3

所以△ABC為等邊三角形．

注：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等．還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)．另外，糾正不正確的表達(dá)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)規(guī)范化表達(dá)。

2.分析法

a?b?ab（a>0，b>0）的證明就用了上述方法。問(wèn)題2：基本不等式

2設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧基本不等式的證明過(guò)程，引出分析法的定義。a?b?ab，師生活動(dòng)：要證2只需證a?b?2ab，只需證a?b?2ab?0，只需證(a?b)2?0，由于(a?b)2?0顯然成立，因此原不等式成立。

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止,這種證明方法叫做分析法。

分析法，又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可以用框圖表示為：

得到一個(gè)明顯?Q?Q1???Q1?Q2???Q3?Q2??...???成立的條件??? ?

分析法的特點(diǎn)：執(zhí)果索因

例

2、求證3?7?2。

設(shè)計(jì)意圖：可以學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn)，同時(shí)為學(xué)生用分析法證明數(shù)學(xué)命題起示范作用。

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立分析思考，合作交流。

教師活動(dòng)：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件。證明：因?yàn)?7和25都是正數(shù)，所以為了證明

??2，只需證

(?7)2?(25)2，展開(kāi)得10?221?20，只需證21?5，因?yàn)?1?25成立，所以

(?7)2?(25)2成立。

在本例中，如果我們從“21〈25”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。事實(shí)上，在解決問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)

‘構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論

P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來(lái)看一個(gè)例子．

?例3、已知?,??k??(k?Z)，且

2sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin2?②1?tan2?1?tan2?求證：。?1?tan2?2(1?tan2?)

設(shè)計(jì)意圖：為了說(shuō)明綜合法和分析法結(jié)合使用而設(shè)置的，總結(jié)歸納，概括出兩種方法結(jié)合使用的思維特點(diǎn)。

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立分析思考，自己給出證明，合作交流，說(shuō)明證明中使用的方法。師生活動(dòng)：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒(méi)有出現(xiàn)角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?。觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系

2(sin??cos?)2?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin2??2sin2??1．把

4sin2??2sin2??1與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為

1cos2??sin2??(cos2??sin2?),再與4sin2??2sin2??1比較，發(fā)現(xiàn)只要把2

1cos2??sin2??(cos2??sin2?)中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的． 2

證明：因?yàn)?sin??cos?)2?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得

4sin2??2sin2??1.③

另一方面，要證

1?tan2?1?tan2?，?221?tan?2(1?tan?)

sin2?sin2?1?1?2cos2?即證，?22sin?sin?1?2(1?)cos2?cos2?

即證

1cos2??sin2??(cos2??sin2?)，2

即證

11?2sin2??(1?2sin2?)，2

即證4sin2??2sin2??1。

由于上式與③相同，于是問(wèn)題得證。

用P表示已知條件,定義,定理,公理等,用Q表示要證的結(jié)論,則上述過(guò)程可用框圖表示為:

p?p1?p2?p3?...?pn?1?P

?????

?m?Qm?1??...??Q2?Q1???Q1?Q?

（三）自我檢測(cè)題：

一、選擇題

1．下列說(shuō)法不正確的是（）

Ａ．綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法

Ｂ．分析法是執(zhí)果索因的逆推證法

Ｃ．綜合法與分析法都是直接證法

Ｄ．綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時(shí)采用

2）

Ａ．綜合法Ｂ．分析法Ｃ．間接證法Ｄ．合情推理法

二、設(shè)a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列，x,y分別是a,b和

ac

b,c??2xy a?blga?lgb

三、如果a,b?0,則lg? 2

2（四）課堂小結(jié)：

綜合法和分析法的特點(diǎn)。

（五）布置作業(yè)：

課本P89頁(yè) 1、2、3。

第二篇：綜合法和分析法

《綜合法和分析法（1）》導(dǎo)學(xué)案

編寫(xiě)人：馬培文

審核人：杜運(yùn)鐸

編寫(xiě)時(shí)間：2016-02-24 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法； 2.會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程。

3.根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法?！緦W(xué)法指導(dǎo)】

① 課前閱讀課文（預(yù)習(xí)教材P85～P89，找出疑惑之處）② 思考導(dǎo)學(xué)案中的探究問(wèn)題，并提出你的觀點(diǎn)。

【知識(shí)鏈接】

復(fù)習(xí)1

兩類基本的證明方法:

和

。復(fù)習(xí)2

直接證明的兩中方法:

和

。知識(shí)點(diǎn)一

綜合法的應(yīng)用 問(wèn)題

已知a,b?0, 求證

a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc。

新知

一般地,利用

,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫綜合法。反思

框圖表示

因?qū)Ч?/p>

【典型例題】

例

1111變式

已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證

(?1)(?1)(?1)?8。

abc

要點(diǎn)

順推證法；由已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

111???9 abc

小結(jié)

用綜合法證明不等式時(shí)要注意應(yīng)用重要不等式和不等式性質(zhì),要注意公式應(yīng)用的條件和等號(hào)成立的條件,這是一種由因索果的證明。

例2

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形。

變式

設(shè)在四面體P?ABC中,?ABC?90?,PA?PB?PC,D是AC的中點(diǎn).求證

PD垂直于?ABC所在的平面。

小結(jié)

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),往往要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換,如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言,或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等,還要通過(guò)細(xì)致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來(lái)。

【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】

A1.求證

對(duì)于任意角θ，cos4??sin4??cos2?。

B2.A,B為銳角，且tanA?tanB?3tanAtanB?3，求證

A?B?60?.（提示：算tan(A?B)）。

【歸納小結(jié)】

綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合

法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問(wèn)題。【知識(shí)拓展】

綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列的中間推理,最后導(dǎo)出所要求證的命題,綜合法是一種由因索果的證明方法。【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.已知x,y?R,則“xy?1”是“x2?y2?1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.如果a1,a2,???a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d?0，則（）

A．a(chǎn)1a8?a4a5

B．a(chǎn)1a8?a4a5

C．a(chǎn)1?a8?a4?a5

D．a(chǎn)1a8?a4a5

3..設(shè)P?1111???，則（）log211log311log411log511A．0?P?1

B．1?P?2

C．2?P?3

D．3?P?4

3314.若關(guān)于x的不等式(k2?2k?)x?(k2?2k?)1?x的解集為(,??)，則k的222范圍是。

a?b,y?a?b，則x,y的大小關(guān)系是5.已知a,b是不相等的正數(shù)，x?2____。

【能力提升】

b?c?aa?c?ba?b?c1.已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

???3。

abc

2.在△ABC中，證明

cos2Acos2B11???。2222

【學(xué)習(xí)反思】

① 基礎(chǔ)知識(shí) ＿＿＿。

② 學(xué)習(xí)方法＿＿＿。

③ 情感認(rèn)知 ＿＿。

高二數(shù)學(xué)選修2-2

abab＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第三篇：綜合法和分析法

課題綜合法與分析法課時(shí) 1課時(shí)課型 新授課 使用說(shuō)明及學(xué)法指導(dǎo)

1.先精讀教材P60-P64內(nèi)容，用紅色筆進(jìn)行勾畫(huà)，再針對(duì)導(dǎo)學(xué)案的問(wèn)題，二次閱讀教材部分內(nèi)容，并回答，時(shí)間為15分鐘.2.找出自己的疑惑和需要討論的問(wèn)題準(zhǔn)備課上討論和質(zhì)疑.3.必須記住的內(nèi)容：綜合法和分析法證明不等式.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解并掌握綜合法與分析法;2.會(huì)利用綜合法和分析法證明不等式

3.高效學(xué)習(xí)，通過(guò)對(duì)典型案例的探究，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)激情.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

會(huì)用分析法證明問(wèn)題；了解分析法的思考過(guò)程.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.一．預(yù)習(xí)自學(xué)

1.常用直接證明方法有和

2.綜合法：一般的，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)、、等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫綜合法.綜合法的思維過(guò)程的全貌可概括為下面形式：“已知→可知1→可知2→…結(jié)論”.3.分析法：一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使成立的條件，直至最后，把證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)為止，這種證明方法叫做分析法，分析法的思維過(guò)程的全貌可概括為下面形式：“結(jié)論→需知1→需知2→…已知”.?.如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等號(hào)成立.?.如果a,b?R?,那么a?b?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等號(hào)成立.?.如果a

2?b?c

a,b,c?R?, 那么

3?

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等

號(hào)成立.40.如果a,b,c?R?, 那么

ba?ab?、c?aa

b

?bc

?

二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a

2?b2

?c2

?ab?bc?ca． 證明：∵a，b，c?R，∴a2

?b2

≥2ab，b2

?c2

≥2bc，c2

?a2

≥2ac

變式訓(xùn)練

已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

2.用分析法證明 求證:3?6?21.達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.下列說(shuō)法不正確的是（）

Ａ.綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法Ｂ.分析法是執(zhí)果索因的逆推證法

Ｃ.綜合法與分析法都是直接證法Ｄ.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時(shí)采用

2．分析法是()

A．執(zhí)果索因的逆推法B．執(zhí)因?qū)Ч捻樛品?C．因果分別互推的兩頭湊法D．逆命題的證明方法 3.以下數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）

Ａ．Ｂ．π?2，π?5，π?8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值確定 5.已知

a,b

是不相等的正數(shù)，x?

y?,y，則

x的大小關(guān)系

是.6.用分析法證明（:15??（2）

7.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8

8.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a

?

11b

?

c

?9

變式.已知a,b,c是兩兩不相等的正實(shí)數(shù)，b?c?a

a?c?b

b?c

a

?

b

?

a?c

?3

綜合法與分析法各有何特點(diǎn)？

【思考·提示】 分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來(lái)，往往選擇較簡(jiǎn)單的一種．平時(shí)我們常用分析法探索解題思路，然后用綜合法書(shū)寫(xiě)步驟．

第四篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國(guó)卷1文數(shù)）（10）設(shè)a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識(shí)遺忘嚴(yán)重，在一定程度上影響了教學(xué)進(jìn)度，使課堂上進(jìn)度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過(guò)程中，要特別注意學(xué)生的實(shí)際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證課堂教學(xué)進(jìn)度。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)該是比較成功的。

考點(diǎn)預(yù)測(cè)：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考?？純?nèi)容；

2.主要考察綜合法。

授課過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問(wèn)：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學(xué)例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進(jìn)行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于

a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號(hào)。

例

3、若實(shí)數(shù)x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書(shū)寫(xiě))

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書(shū)寫(xiě))

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書(shū)寫(xiě))

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書(shū)寫(xiě))

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學(xué)案31頁(yè)6、7,33頁(yè)3、4.作業(yè)：教材P52 練習(xí)2、3題.

第五篇：2.2.1綜合法和分析法

數(shù)學(xué)選修1-2第二章推理與證明編號(hào)：3姓名：班級(jí)：評(píng)價(jià)：編制人：許朋朋 趙陽(yáng)領(lǐng)導(dǎo)簽字：

§2.2.1 綜合法和分析法

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

（二）過(guò)程與方法: 培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

三、教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

四、教學(xué)過(guò)程:

（一）導(dǎo)入新課：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通

過(guò)邏輯推理的方式加以證明。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。

（二）新課：

1.綜合法的概念：

綜合法的特點(diǎn)：用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論，綜合法可表示為：?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

例1：已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a

2)?4abc

例

2、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.注：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等．還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)．

例

3、已知a,b?R?,求證aa

bb

?ab

ba

.注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。2.分析法的概念： 分析法的特點(diǎn)：分析法可表示為：?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

例4：求證?7?25。

3.分析法和綜合法結(jié)合的應(yīng)用：在解決問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條

件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q‘；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來(lái)看一個(gè)例子．

數(shù)學(xué)選修1-2第二章推理與證明編號(hào)：3姓名：班級(jí)：評(píng)價(jià)：編制人：許朋朋 趙陽(yáng)領(lǐng)導(dǎo)簽字：

例5、已知?,??k??

?

(k?Z)，且 sin??cos??2sin?①sin?cos??sin2?②

?tan

2?1?tan2

求證：

1?

1?tan2??2(1?tan2

?)。

（三）課堂小結(jié)：

綜合法和分析法的特點(diǎn)：

（四）當(dāng)堂檢測(cè)

1．分析法又叫執(zhí)果索因法，若使用分析法證明：設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0

B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1.求證：(1)111a＋bab≥8；(2)??a＋1a2＋??b＋1b2≥252.3．若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求證(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作業(yè)：

1、a,b,c?R?,求證

?a?b?c)

2.設(shè)a,b,c為一個(gè)三角形的三邊,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

試證s<2a