第一篇：綜合法與分析法之間的內(nèi)在聯(lián)系

綜合法與分析法之間的內(nèi)在聯(lián)系

276600 山東莒南三中 劉鳳淑 丁士彥

[丁士彥簡介]生于1967年5月,92年曲阜師大畢業(yè),現(xiàn)任中學高級數(shù)學教師,十多篇

論文或課件曾在省、國級教學雜志上發(fā)表或獲獎.ph:*** Email:shiyand163@163.com

綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證法，也是證明數(shù)學問題時最常用的思維方式。

1.綜合法：從已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等出發(fā)，通過推理推導出所要的結(jié)論。又叫順推證法或由因?qū)Ч?/p>

其推理方式可用框圖表示為：

其中P表示已知或定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，Q1、Q2?表示中間結(jié)論。

綜合法常用的表達格式為：

∵P，∴Q1；又∵?，∴Q2；?，∴Qn；又∵?，∴Q

2.分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，對其進行分析和轉(zhuǎn)化，逐步尋求它成立的充分條件，找到了這個條件，即說明所要證明的結(jié)論成立。又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

其推理方式可用框圖表示為：

→→其中Q表示所要證明的結(jié)論，Q1、Q2、Q3?Q0分別表示使Q、Q1、Q 2?Qn成立的充分條件，Q0表示最后尋求到的一個明顯成立的條件。

分析法常用的表達格式為：

要證Q，只需證Q1，只需證Q2，?，只需證Q 0，由于Q 0顯然成立，所以Q成立。綜合法、分析法都是直接利用已知條件或定義、公理、定理等與所要證明的結(jié)論之間的關(guān)系推導出所要證明的結(jié)論或?qū)で蟪鍪顾闪⒌某浞謼l件，故均屬于直接證法。

三值得注意的幾點

1． 綜合法的每一步都是三段論（或其簡略形式），大前提一定要正確，否則證明易出

錯。

2.使用分析法時一定要注意對所要證明的結(jié)論是以“分析”的語氣對待的，因而證明格式上應體現(xiàn)出“分析”探討性（“要證?，只需證?”），而非直接肯定結(jié)論。

例1求證3 +7 <25

227 <25，3 +7）<（5），∴21 <20，21

< 5，∴21<25，∴原不等式成立。

錯因：對分析法的原理不理解，以至于將所要證明的結(jié)論當成已知條件來用了。改錯：只需將“∵”改為“要證”，“∴” 改為“只需證”。

3.綜合法和分析法往往不是單一地使用的，而是結(jié)合兼用的，特別是較為復雜的證明（教科書P.99例3）。一般是先用綜合法由已知條件P推出一個中間結(jié)論M，再用分析法探求，發(fā)現(xiàn)M正是使所證結(jié)論Q成立的充分條件；或者先用分析法尋求出使所要證明的結(jié)論Q

成立的充分條件M，再用綜合法由已知條件P推出M。

證明過程可用框圖表示為 ：

←

（先）

（后）

←

例2教科書中對本題的證法是先綜合后分析,框圖如上一行的形式;我們還可以改用下

一行的框圖,先分析后綜合來證.sinα1-222 conα1-tanα1-tanβ證明: 要證=,只需證 = 222 1+tanα 2(1+tanβ)sinα 1+conα

sinβ1-conβ，2sinβ 2(1+ 2 βconβ

11222222即證 sinα-conαβ-sinβ),即證 1-2sinαβ)，22

即證4sinα-2sinβ=1③.另一方面,因為(sinθ-conθ)-2 sinθ conθ=1, 所以將已知中的①②代入上式,22即得4sinα-2sinβ=1③.于是問題得證.4.綜合法與分析法當所用的證據(jù)相同時形式上是互逆的,因此往往可以互相改寫,但須注意二者表達格式的迥異.2222

第二篇：綜合法與分析法（范文模版）

課題：§2.2.1 綜合法與分析法（說課稿）

各位評委、各位老師：

大家好！我是來自……..，希望我今天的說課能給大家留下美好的印象。我說課的課題是高中課程標準實驗教材數(shù)學選修2－2第二章第二節(jié)的《綜合法與分析法》。我想通過這節(jié)課表達一種教學理念——關(guān)注學生成長，構(gòu)建高效課堂。本節(jié)說課分教學設(shè)計和教學反思兩部分。在教學設(shè)計部分，我將以“教什么，怎么教，為何這樣教”為思路從以下這五個方面進行闡述。? 教材分析-------教材編寫背景、地位與作用、重點與難點（關(guān)于教材分析我將從……三個方向進行說明）? 學情分析-------有利因素、不利因素（然后從……兩點來對學情進行分析）

? 目標分析-------知識目標、能力目標、情感目標（…….是本節(jié)課的三大目標）? 教法分析-------教法、學法

（之后是從教法與學法來分析如何處理本節(jié)課）

? 過程分析-------定義、范例、練習、歸納總結(jié)、作業(yè)（本節(jié)課的教學過程我將從………五點來安排）? 評價分析-------課程設(shè)計、課后感想

（最后是對本節(jié)課的課程設(shè)計的介紹以及課后的一些感想）

一、教材分析

（關(guān)于教材分析首先我要講的是）

1、教材編寫背景

在以前的學習中，學生已經(jīng)能應用綜合法、分析法證明數(shù)學命題，但他們對這些證明方法的內(nèi)涵和特點不一定非常清楚。本節(jié)結(jié)合學生已學過的數(shù)學知識，通過實例引導學生分析這些基本證明方法的思考過程和特點，并歸納出操作流程圖，使他們在以后的學習和生活中，能自覺地、有意識的用這些方法進行數(shù)學證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。

2、教材地位與作用

（我們知道）《綜合法和分析法》是直接證明中最基本的兩種證明方法，是在學習了合情推理與演繹推理的基礎(chǔ)上，學習證明數(shù)學結(jié)論的兩種常見方法，他不是孤立存在的，這種證明方法已經(jīng)滲透到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等等，可見，直接證明的方法在中學數(shù)學里占有極其重要的地位。

綜合法與分析法已經(jīng)與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等問題結(jié)合的比較緊密，這類問題重在考察學生的邏輯思維能力，并且立意新穎，抽象程度高，更能體現(xiàn)高觀點、低起點，深入淺出的特點

3、教材的重點和難點

教學重點：綜合法和分析法的概念及思考過程、特點

教學難點：結(jié)合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不

同的證明方法結(jié)合使用

（本節(jié)課的最終目標是能）從實際問題中，命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、定理、公理，直接推證結(jié)果的真實性，從證明過程上認識分析法和綜合法的推理過程，學會用綜合法和分析法證明實際問題，并且理解分析法和綜合法的內(nèi)在聯(lián)系（突破本節(jié)課難點所在）

二、學情分析

（對于本節(jié)課有以下兩點值得注意）

1、有利因素

學生在數(shù)學的學習中已經(jīng)初步形成了一定的證明思想，例如初中階段的幾何證明題，高一學習了一元二次不等式，初步證明了一些不等式的問題，在本節(jié)課前，學習了合情推理與演繹推理，都為本節(jié)課的學習打下了基礎(chǔ)

2、不利因素

學生對以學知識的應用意識不強，三角代換、代數(shù)式的變形沒有目的性，隨意性較大。特別是與其他章節(jié)知識的交匯存在很大障礙

三、目標分析

根據(jù)《高中數(shù)學教學大綱》的要求和教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)學生學習的心理規(guī)律和素質(zhì)教育的要求，結(jié)合學生的實際水平，我制定本節(jié)課的教學目標如下： 知識目標：了解直接證明的兩種方法—分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點（這也是本節(jié)課重點所在），能運用綜合法分析法證題（解決本節(jié)課的難點）。

能力目標：通過綜合法和分析法的學習，提升分析解決問題的能力。情感目標：通過分析法和綜合法的學習體會數(shù)學思維的嚴密性，同時在以后的生活中能應用這種能力解決現(xiàn)實生活中的問題，幫助身心健康成長.四、教法與學法分析

教法：（因為）本節(jié)課是直接證明的復習課，學生容易產(chǎn)生對已學習知識的輕視態(tài)度與厭倦心理，較難發(fā)揮學生的主觀能動性。因此，如果教學方法、策略不合適，很難以達到理想的教學效果。為了貫徹啟發(fā)性教學原則，體現(xiàn)以教師為主導，學生為主體的教學思想，深化課堂教學改革，我采用了回顧、分析、啟發(fā)、引導、歸納相結(jié)合的教學方法，以及一題多解，錯題剖析等教學策略，以幫助學生克服上述心理，激發(fā)學生的求知欲、探索欲，體現(xiàn)學生的主體作用。

學法：在引導分析時，要留出空間和時間，讓學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法弄清。在促進學生知識體系的構(gòu)建和數(shù)學思想方法的形成的同時，要注意面向全體學生，培養(yǎng)學生多觀察、勤思考、勤動手的精神，提高學生合作學習和教學交流的能力

五、教學過程設(shè)計

我把整個教學過程分為如下三部分

1、定義引入，考點詮釋

2、演練導航，規(guī)范方法

3、歸納總結(jié)，布置作業(yè)

1、定義引入，考點詮釋

（定義引入這部分內(nèi)容的設(shè)計意圖在于突破本節(jié)課的重點：綜合法、分析法的定義，思考過程）

引入：因為本節(jié)屬于推理性證明，所以我以學生熟悉的《名偵探柯南》中一個片段引導學生熟悉有序的邏輯思考過程

（看完影片后我要求學生回答從影片中都有什么收獲）

提示：每一個結(jié)論的得出都必須有證據(jù)存在，已有事實是推理的依據(jù)。

①學生演示例1的做題過程

例

1、在?ABC中，三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證：?ABC為等邊三角形

②教師以推理的結(jié)構(gòu)重組做題過程

（討論教師書寫結(jié)構(gòu)的特點以及看到這種結(jié)構(gòu)的感想）③歸納綜合法定義 綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立的方法，又叫順推證法。

綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，由條件出發(fā)，推導出所要證明的結(jié)論成立

用P表示已知條件、已有定義、定理、公理等，Q表示所需證明的結(jié)論 則框圖表示為

特點：由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找“已知”的必要條件

提示學生把解題過程進行綜合法概念轉(zhuǎn)化

P(已知條件)?Q1? 1??Q3P（定義）?Q2? 2Q? 3?P(定理)??Q5?Q6?Q7?Q83

?P（已知條件）?Q44?

Q8??Q?Q?9 Q3?總結(jié)綜合法證明問題的步驟

第一步：分析條件，選擇方向.仔細分析題目的已知條件（包括隱含條件），分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系和區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當?shù)慕忸}方法

第二步：轉(zhuǎn)化條件，組織過程.把題目的已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化.組織過程時要有嚴密的邏輯，簡介的語言，清晰的思路

第三步：適當調(diào)整，回顧反思.解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，并對一些語言進行適當?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取

（例2是一個幾何證明題，接下來我做的工作是讓學生）分析例2思考過程，寫出思考過程

（分析完之后教師提示這個過程就是分析法）類比例1總結(jié)做題過程得出分析法的定義及流程圖

分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、公理等）

分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法

用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可得框圖表示為

特點：從“未知”看“需知”，在逐步靠近“已知” 分析法的做題步驟

用分析法證明數(shù)學命題時，一定要恰當?shù)挠煤谩耙C”、“只需證”、“即證”等詞語.2、演練導航，規(guī)范方法

做一個綜合法與分析法綜合使用的例題，熟悉綜合法與分析發(fā)的使用，突破本節(jié)課的難點

3、歸納總結(jié)、布置作業(yè)

（學生總結(jié)什么是綜合法，什么是分析法，聯(lián)系與區(qū)別）

分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的證明過程恰好是綜合法的分析、思考過程，即綜合法是分析法的逆過程?；煜怂麄冎g的區(qū)別和聯(lián)系易產(chǎn)生思維障礙，要注意兩種證明方法的書寫格式，否則易產(chǎn)生邏輯上的錯誤.六、評價分析

設(shè)計意圖：數(shù)學總結(jié)，教師完善.復習課在很大程度上就是一個歸納總結(jié)的過程，特別是注意事項的總結(jié).讓學生養(yǎng)成善于總結(jié)的好習慣，是對學習知識的升華過程.防范錯誤于未然也是我們追求的目標，可見，歸納總結(jié)是非常重要的.同時必要的訓練也是提高學生解題能力的重要途徑.課后反思：通過本節(jié)課的講授，我進行了以下四個方面的反思：

1、力求達到教師主導學生主體的教學理念，積極參與到探索、發(fā)現(xiàn)、討論、交流的學習活動中去。在動手實踐、師生交流、合作探究、生生互動中一次次產(chǎn)生思維火花，使課堂教學成為學生親自參與的豐富數(shù)學思想場所,充分體現(xiàn)了課堂中學生的主體地位。

2、在突破重點問題上，通過學生自主探究、合作交流，質(zhì)疑等教學方式，引導學生體會邏輯過程，使問題自然流暢，層層遞進，體現(xiàn)高效課堂。

3、設(shè)計愉快的引入環(huán)節(jié)讓同學們在愉悅的心情中發(fā)散思維，體會推理帶來的興奮情緒，同時希望能提高同學們對生活細節(jié)的把握，為以后的人際交往打下基礎(chǔ).4、本節(jié)課在課堂的把握上還是有所欠缺，引導不是很到位，這是日后我要改進的地方.我的說課到此結(jié)束，謝謝各位！

第三篇：分析法與綜合法

實驗中學高二數(shù)學（理科）學案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

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2.2分析法與綜合法

學習目標：

1.結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的分析法；

2.會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法、分析法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法.二．【使用說明及學法指導】

1.先精讀一遍教材，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案問題導學部分二次閱讀并回答提出的問題；

2.限時完成導學案合作探究部分，書寫規(guī)范。

3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質(zhì)疑；

三．自學指導：

證明方法可以分為直接證明和間接證明

1．直接證明分為和

2．直接證明是從命題的或出發(fā)，根據(jù)以知的定義，公

里，定理，推證結(jié)論的真實性。

3．綜合法是從推導到的方法。而分析法是一種從追溯到的思維方法，具體的說，綜合法是從已知的條件出

發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達到待證結(jié)論，分析法則是從待證的結(jié)論出發(fā)，一步一步

尋求結(jié)論成立的條件，最后達到題設(shè)的以知條件或以被證明的事實。綜

合法是由導，分析法是執(zhí)索。

【預習自測】

【我的疑惑】

課中案 一.【教學重點與難點】： 重點: 分析法的思維過程及特點 難點：分析法的應用 二．合作、探究、展示 變式1求證

實驗中學高二數(shù)學（理科）學案日期：審核人：班級：_________姓名：_________等級：

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 例2在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足

為F,求證AF?SC.三.課堂檢測

1.2?,其中最合理的是()

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是()ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

【課堂小結(jié)】

1.知識方面

2.數(shù)學思想方法

課后案

1.已知y?x?0,且x?y?1,那么()x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2.若a,b,c?R,則a2?b2?c2ab?bc?ac.

第四篇：綜合法和分析法

課題綜合法與分析法課時 1課時課型 新授課 使用說明及學法指導

1.先精讀教材P60-P64內(nèi)容，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案的問題，二次閱讀教材部分內(nèi)容，并回答，時間為15分鐘.2.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論和質(zhì)疑.3.必須記住的內(nèi)容：綜合法和分析法證明不等式.學習目標

1.理解并掌握綜合法與分析法;2.會利用綜合法和分析法證明不等式

3.高效學習，通過對典型案例的探究，激發(fā)學習數(shù)學激情.學習重點

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.學習難點

根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)淖C明方法.一．預習自學

1.常用直接證明方法有和

2.綜合法：一般的，利用已知條件和某些數(shù)學、、等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫綜合法.綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“已知→可知1→可知2→…結(jié)論”.3.分析法：一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使成立的條件，直至最后，把證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個為止，這種證明方法叫做分析法，分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“結(jié)論→需知1→需知2→…已知”.?.如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.當且僅當時, 等號成立.?.如果a,b?R?,那么a?b?當且僅當時, 等號成立.?.如果a

2?b?c

a,b,c?R?, 那么

3?

當且僅當時, 等

號成立.40.如果a,b,c?R?, 那么

ba?ab?、c?aa

b

?bc

?

二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的實數(shù)，求證：a

2?b2

?c2

?ab?bc?ca． 證明：∵a，b，c?R，∴a2

?b2

≥2ab，b2

?c2

≥2bc，c2

?a2

≥2ac

變式訓練

已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

2.用分析法證明 求證:3?6?21.達標檢測

1.下列說法不正確的是（）

Ａ.綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法Ｂ.分析法是執(zhí)果索因的逆推證法

Ｃ.綜合法與分析法都是直接證法Ｄ.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．分析法是()

A．執(zhí)果索因的逆推法B．執(zhí)因?qū)Ч捻樛品?C．因果分別互推的兩頭湊法D．逆命題的證明方法 3.以下數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）

Ａ．Ｂ．π?2，π?5，π?8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值確定 5.已知

a,b

是不相等的正數(shù)，x?

y?,y，則

x的大小關(guān)系

是.6.用分析法證明（:15??（2）

7.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8

8.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a

?

11b

?

c

?9

變式.已知a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù)，b?c?a

a?c?b

b?c

a

?

b

?

a?c

?3

綜合法與分析法各有何特點？

【思考·提示】 分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡單的一種．平時我們常用分析法探索解題思路，然后用綜合法書寫步驟．

第五篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學習目標：

結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數(shù)）（10）設(shè)a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

通過本節(jié)的學習，學生積極參加課堂教學，順利地完成了教學任務，達到了預期的教學目的。但由于學生的基礎(chǔ)較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學過程中，要特別注意學生的實際水平，讓學生提前預習，以保證課堂教學進度。通過本節(jié)的學習，使學生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養(yǎng)學生的數(shù)學計算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學應該是比較成功的。

考點預測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考常考內(nèi)容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于

a,b對稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實數(shù)x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學案31頁6、7,33頁3、4.作業(yè)：教材P52 練習2、3題.