第一篇：婚禮致辭(李全銀)

各位來(lái)賓：

大家中午好！

歌聲飛揚(yáng)，天賜良緣，在這個(gè)美好的日子里，我謹(jǐn)代表慶陽(yáng)市興慶建設(shè)工程咨詢有限公司全體職工為這對(duì)新人送上最真誠(chéng)、最美好的祝福！同時(shí)，對(duì)今天遠(yuǎn)道而來(lái)的各位親朋好友、各位嘉賓致以衷心的感謝！

今天的白馬王子是我們監(jiān)理公司的一名業(yè)務(wù)骨干，他英俊瀟灑、溫文爾雅；在日常工作中，踏實(shí)勤奮，任勞任怨，深受單位領(lǐng)導(dǎo)的一致好評(píng)，就是這位出類拔萃的小伙子，以他非凡的實(shí)力，打開(kāi)了這位美麗姑娘愛(ài)情的心扉，他就是今天的白雪公主小姐。她溫柔可愛(ài)、美麗大方、是一個(gè)典型東方現(xiàn)代女性的形象代表。真可謂：天生一對(duì)，地造一雙。志同道合結(jié)連理、?？菔癄€共百年，這對(duì)新人終于甜蜜攜手，共同組建了新的家庭。

從今天起，你們將成為人生旅途中的伴侶。希望你們倍加珍惜這百年修得的姻緣，恩恩愛(ài)愛(ài)，舉案齊眉，用勤勞智慧之手，創(chuàng)造美好的明天。希望你們事業(yè)上相互支持，相互勉勵(lì)。生活上相互關(guān)心，相敬如賓。單位上尊敬領(lǐng)導(dǎo)，團(tuán)結(jié)同事。家庭中孝敬父母，恩愛(ài)甜蜜。

最后，讓我們共同祝福這對(duì)新人：婚姻甜蜜！白頭偕老！家庭幸福！歡樂(lè)永遠(yuǎn)！

也祝愿在座的各位：身體健康，萬(wàn)事如意!

第二篇：李銀畢業(yè)論文

齊 齊 哈 爾 大 學(xué)

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

題

目

用概率論的方法證明組合恒等式

學(xué)

院

理

學(xué)

院

專業(yè)班級(jí)

信息與計(jì)算科學(xué) 082

學(xué)生姓名

李 銀

指導(dǎo)教師

崔 繼 賢

成績(jī)

****年**月**日

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

摘要

組合恒等式是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)組成部分，也是組合數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容.本文主要探討如何利用概率方法研究組合恒等式，主要從不同的角度解答同一概率問(wèn)題，得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，由其相等導(dǎo)出組合恒等式.通過(guò)構(gòu)造概率模型，利用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”證明組合恒等式，或者利用古典概率方法證明組合恒等式，也就是在實(shí)際問(wèn)題中將需要證明的組合恒等式引證出來(lái)。對(duì)于需要被證明的組合恒等式，將所構(gòu)造概率模型中相關(guān)事件的概率計(jì)算出來(lái)以后，從而推導(dǎo)出式子兩端相等。每種論證方法中首先總的介紹這種方法是用的什么思想，然后列舉例子加以論證，使所述問(wèn)題更加透徹.關(guān)鍵字：組合恒等式；概率模型； 古典概率； 數(shù)字特征

I

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

Abstract Combinatorial identity is an important part and research field of combinatorics.This paper explores using probabilistic method to derive combinatorial identities.We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question.We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is，the

the equatin will be drawn from the concrete problems.We investigate combinatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type.Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed.Keywords: Combinatorial identity;probabilistic model;classical probability;numeral characters

II

目 錄

摘要............................................................................................................................I Abstract........................................................................................................................II 第1章

緒

論..........................................................................錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。

1.1引言......................................................................................................................1 1.2課題背景............................................................................錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。1.3實(shí)際應(yīng)用方面的價(jià)值..........................................................................................2

1.4本文主要的研究?jī)?nèi)容..........................................................................................3 1.5相關(guān)工作..............................................................................................................3 第2章 運(yùn)用概率論的基本理論證明組合恒等式......................................................4 2.1運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式......................................................................4 2.2運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式......................................................................7

2.3運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式..........................................................................8 第3章 運(yùn)用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式............................................11 3.1運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式....................................................11 3.2運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式................................................................18 3.3運(yùn)用等概率法證明組合恒等式........................................................................22 第4章 由概率方法引申出的恒等式證明................................................................26 4.1 級(jí)數(shù)恒等式的證明............................................................................................26 4.2 初等恒等式的證明............................................................................................27 4.3級(jí)數(shù)組合恒等式的證明....................................................................................27 總結(jié)..............................................................................................................................31 參考文獻(xiàn)......................................................................................................................32 致謝..............................................................................................................................33

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

第1章

緒

論

1.1引言

當(dāng)前，組合恒等式無(wú)論是在中學(xué)還是大學(xué)都應(yīng)用廣泛，很多問(wèn)題都涉及到這方面的解法.在組合數(shù)學(xué)中，有很多類型的組合恒等式.這么多紛繁復(fù)雜的組合恒等式，我們必須尋求一種最簡(jiǎn)便的方法使問(wèn)題得以解決，查閱過(guò)很多資料，通過(guò)很多證明方法的檢驗(yàn)，我們尋求除了一種組合恒等式的證明方法－組合恒等式的概率方法.對(duì)于較為簡(jiǎn)單的組合恒等式，我們可以一步就分析出結(jié)果，稍復(fù)雜的需要我們演算一兩步達(dá)到欲求的結(jié)果，但是并不是所有的組合恒等式都是那么的簡(jiǎn)單，有的組合恒等式很復(fù)雜，我們要深入了解，就必須通過(guò)一步步的證明、深究，證明組合恒等式的方法有很多，譬如有分類法、概率法、求導(dǎo)法等一系列方法證明組合恒等式.本文，我們選用利用概率方法來(lái)證明組合恒等式，我主要介紹這幾種方法：構(gòu)造模型法、概率性質(zhì)法、數(shù)字特征法，這些都是前人通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)的較為好的方法，我們加以更好的應(yīng)用，我們應(yīng)當(dāng)看到組合恒等式與概率二者的結(jié)合，只要把握了這一點(diǎn)，相信就能夠從中受益匪淺，感觸頗多.含有組合數(shù)的恒等式叫做組合恒等式.簡(jiǎn)單的組合恒等式的化簡(jiǎn)和證明，可以直接運(yùn)用課本所學(xué)的基本組合恒等式.事實(shí)上，許多試題中出現(xiàn)的較復(fù)雜的組合數(shù)計(jì)算或恒等式證明，也往往運(yùn)用這些基本組合恒等式，通過(guò)轉(zhuǎn)化，分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的組合恒等式而加以解決.我們簡(jiǎn)單的介紹四種組合恒等式：二項(xiàng)式組合恒等式、關(guān)于Catalan三角數(shù)的組合恒等式、基于格路模型的組合恒等式、由概率引起的組合恒等式.通過(guò)對(duì)一些組合恒等式的了解，我們就選用各種概率的方法加以證明它們，達(dá)到一個(gè)比較完善的效果.1.2課題背景

組合數(shù)學(xué)是以離散結(jié)構(gòu)為主要研究對(duì)象的一門(mén)學(xué)科，它主要研究滿足一定條 件的組態(tài)(一種安排)的存在性、計(jì)數(shù)及構(gòu)造等方面的問(wèn)題.近幾年，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，組合數(shù)學(xué)得到了迅速的發(fā)展。

概率起源于歐洲國(guó)家的一種賭博方式——擲骰子。隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要，概率論在20世紀(jì)迅速地發(fā)展起來(lái)?？?tīng)柲缏宸蚴状斡脺y(cè)度理論定義了什么是概率。他的公理化方法不僅成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，還使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。

由于其他學(xué)科、技術(shù)的推動(dòng)，概率論得到飛速發(fā)展，理論課題不斷擴(kuò)大與深

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)入，應(yīng)用范圍大大拓寬。俄羅斯的彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，繼承和發(fā)展了古典概率論之精華，拯救了瀕臨危機(jī)的概率論；變革和制定了一系列研究方法，振興了概率論學(xué)科；提出和創(chuàng)立了概率論新思想，開(kāi)拓了概率論新領(lǐng)域。由于資料的限制、語(yǔ)言的困難和文化的差異使得國(guó)內(nèi)外系統(tǒng)研究彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派概率思想者還甚少，有關(guān)資料相當(dāng)匱乏，一些相關(guān)論述大都出現(xiàn)在綜合性的書(shū)籍中，傾向于按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的習(xí)慣給出一般性的解釋，且多為簡(jiǎn)要性介紹，讀者難以了解其精髓所在。鑒于彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派在概率論發(fā)展史上的重要地位，本文以概率論思想為主線，通過(guò)建立概率模型,對(duì)概率思想證明恒等式方面進(jìn)行了簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

組合數(shù)學(xué)和概率論的產(chǎn)生都可以追溯到十七世紀(jì)，從17世紀(jì)到20世紀(jì)30年代，組合數(shù)學(xué)受到娛樂(lè)及數(shù)論、概率論、化學(xué)等學(xué)科的推動(dòng)而迅速發(fā)展，得到了一般的存在定理和計(jì)數(shù)原理，如抽屜原理、容斥原理、波利亞計(jì)數(shù)定理等，還解決了一系列著名而有趣的組合學(xué)問(wèn)題，如更列問(wèn)題、家政問(wèn)題、36軍官問(wèn)題等，自20世紀(jì)以來(lái)，許多理論學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科給組合數(shù)學(xué)提出了大量的具有理論和實(shí)際意義的課題，促使了許多新理論的產(chǎn)生，如區(qū)組設(shè)計(jì)、組合算法等，從而解決了一系列理論上的以及與經(jīng)濟(jì)發(fā)展密切相關(guān)的課題。此外證明常見(jiàn)的組合恒等式中概率的方法也有所應(yīng)用。

1.3實(shí)際應(yīng)用方面的價(jià)值

大家都知道，在證明初等恒等式的時(shí)候，如果我們采用初等方法，在一般情況下比較困難，在許多數(shù)學(xué)分支中，有很多的組合恒等式的形式通常不是顯而易見(jiàn)的，證明它們有一定的難度，這就會(huì)使得它們的應(yīng)用受到限制。如果可以對(duì)于會(huì)有帶來(lái)很多的便利。用概率論的方法去解決一些分析學(xué)中的問(wèn)題或者證明一些組合恒等式，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的重要方向之一，根據(jù)有關(guān)資料的例子可以看出，運(yùn)用概率論的方法來(lái)證明組合恒等式，是值得我們探討的一個(gè)十分有意義的新問(wèn)題。因?yàn)樵谶\(yùn)用概率論的方法證明組合恒等式時(shí)，它的思維靈活，背景生動(dòng)并且容易理解，表達(dá)方式單間，并且效率高而被許多數(shù)學(xué)家所喜愛(ài)。但是要熟練掌握這種證明方法，需要掌握知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，而且必須了解知識(shí)的客觀背景，弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，編制知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，抓住問(wèn)題的主要特征。如果在教學(xué)中利用好這類綜合性解題的良好教材，則可以沖發(fā)揮這種類型題材的應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)概率論中，我們首先接觸到得的是古典概型，這些概率模型的特點(diǎn)是所研究的樣本容量中樣本的個(gè)數(shù)是有限的，常利用排列組合方法去解決古典概型中的問(wèn)題，如分配問(wèn)題，伯努利概型等。對(duì)于一些離散型隨機(jī)變量，也可用排列組合方法進(jìn)行討論，如超幾何分布等。反過(guò)來(lái)，可以通過(guò)構(gòu)造這些特殊的概率模型，利用概率模型的性質(zhì)，如概率函數(shù)的規(guī)范性，可以求解一些用常規(guī)方法難證

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)明的恒等式。有些恒等式用常用的分析方法證明是很不易的，如中學(xué)中的排列組合恒等式、或者更復(fù)雜的恒等式的證明，建立了概率模型后，通過(guò)求概率的思想，能很方便地把恒等式證明出來(lái)。

1.4本文主要的研究?jī)?nèi)容

本課題研究的內(nèi)容是利用概率論的知識(shí)，巧妙地將其與組合恒等式有關(guān)的概率構(gòu)造出來(lái)并對(duì)其計(jì)算，分析，同時(shí)對(duì)組合恒等式加以證明，并由此給出了組合恒等式概率論的方法證明的方法和思路。

用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時(shí)候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，也就是說(shuō)對(duì)于需要被證明的組合恒等式，在構(gòu)造構(gòu)造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機(jī)變量的數(shù)字特征，在運(yùn)用概率論的公式，有關(guān)性質(zhì)，結(jié)論等，將所構(gòu)造的模型相關(guān)事件的概率計(jì)算出來(lái)，從而可以推導(dǎo)出需要證明的結(jié)論，從而對(duì)于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。

1.5相關(guān)工作

用概率論的方法證明一些關(guān)系式或者解決其他一些分析學(xué)中的問(wèn)題，是概率論的研究方向之一，本篇論文就是這方面應(yīng)用的結(jié)果。關(guān)于組合恒等式的證明我們通常采用的是分析學(xué)的方法，但是用概率論的方法證明一些組合恒等式卻更加的簡(jiǎn)便。對(duì)于如何使用概率論的方法證明組合恒等式，經(jīng)過(guò)本人得仔細(xì)思考，大致總結(jié)了以下幾個(gè)方法：

（1）運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式（2）運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式

（3）運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式（4）運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式（5）運(yùn)用等概率法證明組合恒等式（6）運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第2章 用概率論的基本理論證明組合恒等式

2.1 運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式

這種方法的基本思想是：我們對(duì)于一些組合恒等式，可以構(gòu)造出適當(dāng)?shù)哪Ｐ停⑶疫x擇出與組合恒等式相關(guān)的隨機(jī)變量，并求出它的分布列

P{??i}?Pi(i?1,2,?,n)?

接著我們?cè)倮猛陚涫录M的性質(zhì)?Pi?1，于是我們便達(dá)到了證明組合和恒等

i?1式的目的。

引理 設(shè){A1,A2,?,An}構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即A1,A2,?,An互斥，nni?Ai?1??，則?P(Ai)?1。[1]

i?1n例

1證明組合恒等式：

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

證明

我們可以利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造成如下概率模型：

假設(shè)盒子里有n副大小不同的手套，現(xiàn)在我們從中隨機(jī)抽取2m只（2m

pk?CpCm?kk2m?2k12m?2k(C2)2m2nC(k?0,1,2,?,m)

m根據(jù)完備事件組的性質(zhì)知道：

n?Pk?0k?1

于是可以得到

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

例

2證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

證明

首先我們將公式變形為

CnCkkn?1?CnCk?1kn?1?1

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：一批貨物共n?1個(gè)，準(zhǔn)備批發(fā)出廠.若已知其中有一個(gè)是廢品，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取k個(gè)貨物出來(lái)?1?k ?n?1?，問(wèn)廢品被抽到的概率是多少？抽出k個(gè)貨物中沒(méi)有廢品的概率又

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)是多少？

若記事件A1為“抽出k個(gè)貨物中沒(méi)有廢品”的事件，那么事件A2?A1就是“抽到k個(gè)貨物中有廢品”的事件，即A1和A2為兩個(gè)對(duì)立事件.有

P?A1??CnCkkn?1.P?A2??PA1???C1Cnk1k?1Cn?1.由于A1,A2構(gòu)成完備事件組，所以，有

P?A1??P?A2??1.從而有

成立，即有

Cnk?1?Cnk?Cnk?1 成立.例

3證明組合恒等式

CmCn?CmCn0k1k?1CnkkCn?1?Cnk?1kCn?1?1

???CmCn?CmCm?Cm?n(其中m,n,k?N,k?m,k?n)

k?11k0k證明

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：設(shè)盒子中有m張紅色卡片和n張白色卡片，每次取出k(k?m?n)張卡片，求得到i(i?m)張卡片的概率。(i?0,1,2,??,k)

記事件Ai為“取得i張紅色卡片和k-i張白色卡片”(i?0,1,2,??,k)則A0?A1???Ak??，且A0,A1,A2,?,Ak互不相容，kk于是

1?P(?)?P(?Ai)?i?0?P(A)

ii?0k又因?yàn)镻(Ai)?CmCnik?ikkCm?n這樣得出

?Ci?0imCmk?i?Cm?n

0k1k?1k?11k0kCn?CmCn???CmCn?CmCm?Cm?n 所以

Cm123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2例

4證明組合恒等式

Cn

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)證明

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：將n個(gè)箱子排成一列，從紅黑白三種顏色的M張卡片中任取n(n?M)張卡片放到這n個(gè)箱子里，如果n張卡片中恰有一張紅色卡片，則包含的基本事件為n2n?1。

記事件Ai為“恰有n-i張白色卡片”（i?n?1），則這n?i張白色卡片放在n個(gè)箱子里共有Cnn?1種放法，而對(duì)于其他i個(gè)箱子只能放1張紅色卡片和i?1張黑色卡片，又有i種方法。所以，事件Ai包含的基本事件數(shù)為iCnn?1 于是

P(Ai)?iCnn2n?1n?1

顯然，A0,A1,A2,?,An互不相容，并且A0?A1???An??

nnin所以

1?P(?)?P(?Ai)?i?1?P(A)??i?1i?1iCnn2n?1n?1

又由于

Cnn?i?Cni

123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2于是

Cn

例5 證明范德蒙（Vendermonde）恒等式

CnCm?CnCm0k1k?1??CnCm?Cn?mk0k

證明 我們首先來(lái)構(gòu)造一個(gè)如下的概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有n?m張不同的卡片，其中n張紅色卡片m張白色卡片，我們隨機(jī)的從中取出k張卡片并且不放回作為一組。

記隨機(jī)變量?為取出的n張卡片所包含的紅色卡片數(shù)，我們可以容易的計(jì)算出?的分布列為

P{??i}?CnCmkik?iCn?mi?0,1,2,?,min(n,k)

并且由分布列的性質(zhì)我們可以得出

min(n,k)min(n,k)?P{?i?0?i}?1即

?Ci?0inCbk?i?Cn?m

kk1k?1k0k?CnCm??CnCm?Cn?m 但是當(dāng)m?n時(shí) Cnm?0 所以Cn0Cm

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)2.2 運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式

引理

設(shè){Bn}為?的一個(gè)有限劃分，即BkBi??（k?i），（k,i?1,2,?,n.）

n?Bk?1k則?A?F?1且P(Bk)?0(k?1,2,?,n)，n，P(A)??P(Bk?1i)P(ABi)成立。

[1]

例

證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明

首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

接著我們利用全概率公式，構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)箱子中有n?m張卡片，但是其中有一張黑色卡片，一張白色卡片，現(xiàn)在隨機(jī)從中抽取k張卡片（1?k?n?1）

記事件A為“抽取的k張卡片中含有黑色卡片”

事件A為“抽取的k張卡片中含有白色卡片” 則P(A)?C1CnCkn?10k,由全概率公式：

C1Cnk1k?1P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?Cn?1?C1Cn?1Cnk?11k?2?C1CnCn?1k0k?C1Cn?1Cnk1k?1?Cn?1kk?2Cn?1?Cn?1kk?1Cn?1由于

P?A??P?A??1 從而得出

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

即

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

如果將上述摸卡片模型稍微需做一下改變，設(shè)箱子中有n?1張卡片，其中僅有一張黑色卡片，其余均為白色卡片，就可以證得組合加法公式：

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

如果我們建立如下摸卡片模型：設(shè)箱子里有m張黑色卡片和n張白色卡片，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取k（0?k?m?n）張卡片，仿照此例子，利用伯努利概率公式

Pk?Cnkpkqn?k 我們可以證明組合公式

CmCn?CmCn0k1k?1???CmCn?CmCm?Cm?n

k?11k0k

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)2.3 運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式

我們利用概率的性質(zhì)來(lái)證明組合恒等式，這是一種方便的證明方法，而且簡(jiǎn)單易懂，通常用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”來(lái)證明。

例1 證明組合恒等式 ?Cnk?k?k?0n?112k?2n

證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個(gè)人有兩瓶牙簽，每瓶n根，每次用牙簽時(shí)，他在兩瓶中任取一瓶．然后抽出一根，使用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽已經(jīng)用完，求另一盒中還有r根牙簽的概率.如果用 A1，A2分別表示甲瓶或者乙瓶中余下r根牙簽.用 Ar 表示一瓶用完，而另一瓶中有r根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一瓶已空時(shí)．這一瓶必定在前面已用過(guò)n次，另一瓶余下r根，從而另一瓶已用過(guò)n?r次，故共用了2n?r?1次.每次取到甲(乙)瓶的概率是12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ?? =C21n2n?r?1??1???????2??2?2n?rnn?r?12Cn2n?r?1??1???????2??2?nn?r

?1?=C2nn?r???2?

n由于r 的取值必定是1,2,?,n之一，故?Ar為必然事件，即

r?1?n?P??Ar??1，?r?1??1?也就是 ?C2nn?r???2?r?1n2n?r?1

令k?n?r, 則k?0,1,?,n?1，?1?所以 ?Cnk?k???2?k?0n?1n?kn?1?1或?Cn?kkk?012k?2.n例2 證明組合恒等式當(dāng)k?n時(shí)，齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

kkk1?2?n?1??n2?n?1?C?1???Cn?1???????1?Cn?1???1

n?n?n????1n證明 我們建立如下概率模型：

設(shè)有k張卡片，等可能地投入n個(gè)箱子，求每一個(gè)箱子中至少有一張卡片的概率.記事件B為每一箱子中至少有一張卡片

事件Ai為第i個(gè)箱子中沒(méi)有卡片（i?1,2,?,n）則 B?A1?A2?A3???An 根據(jù)容斥原理，得

PB?P?A1?A2?A3???An???

?n?P?A???P?A1i?1i1i2?1nni1?Ai2???

??1?n??i1i2?in?1?1i1?i2??in?1kPAi1Ai2?Ain?1???1??n?1P?A1A2?An?

因?yàn)镻?Ai???n?1?knk1????1??（i?1,2,?,n）

n??2????1??(對(duì)任意的i1?i2)

n??kPAi1Ai2????n?2?knk依次類推，對(duì)任意的i1?i2???in，我們有

PAi1Ai2Ai3?????3????1??n??k

PAi1Ai2?Ain?1?n?1????1??n??kk

n??P?A1A2?An???1??n??于是

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)n?i?1n1?1?P?Ai??Cn?1??n??k ?P?AiAi12?i1i2?1i1?i22?2??Cn?1??n??k

??所以1?2?n?1??n2?n?1?PB?C?1???Cn?1???????1?Cn?1??

n?n?n??????kkk1n從而 P?B??1?P?B?

kkk?1?1?2n?1????n即 P?B??1??Cn?1???Cn2?1???????1?Cnn?1?1??nnn????????????

但是由于k?n ,事件B每一箱子中至少有一張卡片為一不可能事件，故

P(B)?0,從而當(dāng)k?nk時(shí).kk1?2?n?1???? C?1???Cn2?1?????(?1)nCnn?1?1??nnn??????1n?1.1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 例3 證明組合恒等式 Cn證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

有一枚均勻的硬幣，我們重復(fù)投擲n次，求它正面向上的次數(shù)的期望。顯然，我們知道?~B(n,)，于是便得出：

2nnn1 E???kp(?i?0?k)??kCi?0kn1n()?2?kCi?0kn2n

而且 ?k???1,第k次試驗(yàn)正面朝上?0,第k次試驗(yàn)反面朝上nnk?1,2,?,n

所以便得到 E(?)?E(??k)?k?1n?i?0E?k?n2

?kC那么

i?0kn2n?n2

1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 整理后，得 Cn

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第3章 運(yùn)用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式

3.1 運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式

在概率論中，我們可以討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征，并且通過(guò)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望而進(jìn)一步證明一些恒等式。而運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征來(lái)證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點(diǎn)，然后構(gòu)造出合適的隨機(jī)變量，并且利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征的定義，性質(zhì)來(lái)證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)方差等。利用數(shù)字特征法是證明組合恒等式的一種比較重要的方法，我們?cè)诹私饬司唧w概念后就用一系列的例子加以說(shuō)明并且具體闡述，從而讓我們了解到這種方法是怎樣的一種方法。

引理3.1.1

若隨機(jī)變量?的方差D(?),則D(?)=E(?2)?E2(?)引理3.1.2

伯努利概型設(shè)有服從二項(xiàng)分布

Ai?{??i},i?0,.1,2,?,n(其中0?p?1，n為非負(fù)整數(shù)n[1])，并有

?Ci?ninp(1?p)in?i?1[1]

k例1

證明組合恒等式

?Ck?minCk?Cn2mmn?m

證明

當(dāng)m=1和m=2時(shí)，我們可以用以下證明方法： 設(shè)?~b（n，p），Pk?Cnkpkqn?k(k?0,1,2,?,n),0?p?1且p?q?1

n當(dāng)m=1時(shí)：

E(?)?12n?kCk?0nknpqkn?k?np

令p=，則?kC?n2knk?1n?11n?1，也就是?Ck1Cnk?Cn 2k?1當(dāng)m=2時(shí)：

nE(?)?E[?(??1)??]?E[?(??1)]?E(?)?2?k(k?1)Ck?1knknPqkn?k?np

n根據(jù)公式D(?)=E(?)?E(?)，從而得出npq?12n22?k(k?1)Ck?2?n(n?1)2n?2

令p=，則

?k(k?1)Ck?2kn?n(n?1)2n?2

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)以上兩個(gè)是特例，它的一般性情況證明如下：

運(yùn)用推廣的伯努利概型和多項(xiàng)式分布，我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有紅黃白三種顏色的卡片若干，每次隨機(jī)抽取一張，取后放回，這樣連續(xù)做n次，p1和p2表示每次抽取紅色卡片與黃色卡片的概率，?1和?2表示每次抽到的紅色卡片與黃色卡片的次數(shù)。于是（?1，?2）服從多項(xiàng)分布，其分布律為

P{?i?i,?j?j}?令p1?14,p2?12n!i!j!(n?i?j)!p1p2(1?p1?p2)ijn?i?j，則聯(lián)合分布率為：

n!i!j!(n?i?j)!?122n?1

P{?i?i,?j?j}?n?m

它的邊緣分布為：P(?2?m)?1?i?0p{?1?i,?12?m} 112n同時(shí)

?2~B(n,),P(?2?m)?Cnm()m()n?m?Cnm222

因?yàn)槎囗?xiàng)分布的邊緣分布是二項(xiàng)分布，從而兩式相等，也就是：

n?m

?Ci?0m?inCm?i?Cn2imn?m

k所以證得原組合恒等式?CniCkm?Cnm2n?m成立。

k?mm?1例2

證明組合恒等式

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

證明

我們利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征，構(gòu)造出一下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中裝有n張白色卡片，m張黑色卡片，一張接一張地將卡片取出，直到取出白色卡片為止，求平均要取多少?gòu)埧ㄆ?/p>

這是求一個(gè)隨機(jī)變量X的期望值：

記事件{X?i}={取出的前i-1張卡片全是黑色卡片}，?1(X?i)令Xi???0(X?i)?，那么

xi?ixi?

?Xi?0??Xi?0??Xi?x?1??1??0?x

i?1i?x?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

i?1x?im?!由于Xi非負(fù)，所以EX??E(Xi?0)??P(Xi?1?i)??Ci?1Cmi?1n?m

但是我們可以將EX更簡(jiǎn)單的表示形式計(jì)算出來(lái)，于是我們假設(shè)已經(jīng)把所有的同時(shí)令X1表示第一張白色卡片之前的黑色卡片n?m張卡片從盒子中取出來(lái)了，張數(shù),?,最后Xn?1表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數(shù)，根據(jù)X1的定義：

X1?X2???Xn?1?m,Ex1?Ex2??Exn?!?m

n!m!(n?m)!在考慮x1,x2,?,xn?1的聯(lián)合分布為P{X1?i1,X2?i2,?,Xn?1?in?1}=中i1,i2,?,in?1是非負(fù)整數(shù)，它們的和為m。，其這是因?yàn)閺暮兄腥〕龅膎?m張卡片一共有(n?m)!種可能方法。而且，取出的先是i1張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是i2張黑色卡片，接著又是一張白色卡片等等，很明顯，共有n!m!種可能方式。因此，就可以得到上述式子。

于是我們可以得到：X1,X2,?,Xm?1的聯(lián)合分布是i1,i2,?,in?1的對(duì)稱函數(shù)，所以對(duì)任意n個(gè)變量求和，所得到的結(jié)果是相同的，于是我們知道xi的邊緣分布相同。從而

EXi?mn?1(i?1,2,?,n?1),EX?[1?Xi]?1?m?1mn?1?n?m?1n?1

于是我們得出

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

如果采用分析學(xué)的方法來(lái)證明這個(gè)組合恒等式是非常難的，所以我們采用數(shù)字特征法來(lái)證明。

nnkn例3

證明組合恒等式

?kCk?1?n2n?1，?kk?12Cn?n(n?1)2kn?2.證明

我們可以考慮下列隨機(jī)變量的數(shù)字特征.設(shè)一名籃球運(yùn)動(dòng)員在條件相同下向同一籃筐投籃n次，每次進(jìn)球的概率為12，考慮“投進(jìn)籃筐次數(shù)”這個(gè)隨機(jī)變量X的數(shù)字特征.?1,第k次投進(jìn)籃筐

記 Xk???0,第k次沒(méi)有進(jìn)籃筐

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)則X1、X2、X3、?、Xn獨(dú)立同為二點(diǎn)分布：P?Xi?1??P?Xi?0??（i?1,2,?,n）, 且X?X1?X2???Xn服從二項(xiàng)分布B(n,所以

EX?E(X1?X2???Xn)=?E?Xk??k?1nn1212)

?k?1P?X1?1??n2

D?X??D?X1?X2???Xn??nn?k?1D?Xk??nD?X1??n4

而

E?X??12nn?kP?Xk?0kn?k??12nnn?kCk?1knkn

?

?kCk?1n2?n

2即

?kCk?1?n2n?1

又

E?X???kP?X2k?0?k??12nn?kk?12kCn

E?X2??D?X??E?X?

2?

12nn?kk?12Ckn?n?????

即 4?2?rn2nkCn?n(n?1)2k?12kn?2

例

4證明組合恒等式

?Ck?0kmCnr?k?Cm?n

r證明 考察從由n?m個(gè)大人和n個(gè)孩子組成的家庭隊(duì)伍中選取r?1個(gè)人參加親子比賽的問(wèn)題.所選r?1個(gè)人中大人的人數(shù)用X 表示，則隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且

P?X?k??Cm?1Cnr?1kr?1?kCm?n?1（k?0,1,?,r?1）

于是

E?X??r?1?kk?0Cm?1CnCrkr?1?k ?r?1m?n?1??m?1??r?1?r?1k?1r?1?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?1?m?1??r?1?kr?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?0

令

?1,第k個(gè)大人被選中Xk???0,第k個(gè)大人未被選中?

P?Xk?1??r?1m?n?（k?1,2,?,m?1）

r?1m?n?1;E?Xk??P?Xk?1??, k?1,2,?,m?1.齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)?

X?X1?X2???Xm?1

?

E?X???E?X???P?Xkk?1k?1nm?1m?1k?1???r?1??m?1?m?n?1k

例

5證明組合恒等式

?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1m?nm(m?1)

證明 一個(gè)盒子中裝有m張白色卡片n張黑色卡片，我們進(jìn)行連續(xù)不放回地抽取卡片，直至摸到白色卡片時(shí)為止，下面考察取黑色卡片數(shù)的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量?表示取黑色卡片數(shù)

?1,前（i-1）次都是取到的黑色卡?i???0,前（i-1）次至少取到白色卡片n片，第i次也取到黑色卡片一次，或第i次取到白色卡片其中i?1,2，?，n則

????i?1i

又

p??i?1??n(n?1)??n?i?1??m?n??m?n?1???m?n?i?1?

且

E?i?p??i?1? 于是我們得出

nniE????E?i?1???m?n??m?n?1???m?n?i?1?i?1n?n?1???n?i?1?n?m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?3??m?2??m?n???m?2??m?1?nn?n?1?n?n?1??4n?n?1??4?3??m?1??2????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?4??m?n???m?3??m?1?nn?n?1?n?n?1??5n?n?1??4??m?1??3????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?5??m?n???m?4??m?1?nn?n?1??????m?n??m?n??m?1??nm?1?n?n?1????n?n?1??3?2?n?n?1??3?2?1?化簡(jiǎn)時(shí)，每一次只將最后兩項(xiàng)通分?k個(gè)?????????

同時(shí)，???k???黑，黑，?黑，白??????? 其中k?0,1,2,?,n.k?1??k?1?.則p???k??Cnk?m/Cm?n

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)從而

E????k?p??k?0nk?1n?1k?1n?k??kn?K?Ck?1kn?m/?k?1??Ck?1m?n?m?n?Cn?1/?m?n??C?m?n??1k?1k?1n?k?1??1

?Cm?nmn/Cm?n?1n 由E?的唯一性知：nmnm?n?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1knm?1

k整理即得：?Cnk??11/Cm??n?1k?1m?nm?m?1?n.例6

證明組合和恒等式

?k?2k?0k?C2n?k??2n?1??C2n?2nn2n

證明

首先，我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)某人有兩瓶牙簽，每一瓶都有n根，每次用牙簽的時(shí)候，他在兩盒中任取一盒，然后抽出一根適用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽已經(jīng)用完，求另一瓶中有k根牙簽的概率。

如果用 A1，A2分別表示甲或乙瓶中余下 k根牙簽.用 Ar 表示一盒用完，而另一盒中有 k根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一盒已空時(shí)． 這一盒必定在前面已用過(guò) n次，另一盒余下k根，從而另一盒已用過(guò)n—k 次，故共用了2 n —k +1 次.每次取到甲(乙)瓶的概率是

12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ???1??1?

=C2nn?r?????2?2??2?1nn?r?1??1?n?C2n?r?????2?2??2?1nn?r

=C于是我們得出：

n2n?r?1????2?2n?r

p???k??C2n?kn?1?????2?2n?k,k?0,1,2,?,n.下面用不同的方法計(jì)算隨機(jī)變量?的期望值.齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

2n?k根據(jù)定義：E??122n?k?p??k?0nn?k??n?k?Ck?0n2n?k?1?????2?

=?K?2k?0kn?C2n?k

另一方面，設(shè)E??u，由?p???k??1知：

k?0nnnn?u?n??p???k??k?0?K?P??k?0n?1k?0?K??K???n?k??P??k?0n?k???1?????2???n?k??P??2n?k????n?k??Ck?0n?1n?k2n?k???n?k??Ck?0n?1n?1n?k2n?k?1?????2?2n?k??????2n?k??Ck?0n?1k?0n?k?12n?k?1?1????2?2n?k?1?1?????2???2n?k??p??2n?122n?12?k?1??112n?1?p??k?0n?1?k?1??2k?0??k?1??p???k?1??1?p???0????/2

2n?122n移項(xiàng)整理得：E???2n?1??p???0??1?由E?的唯一性知：n?C2n?1

nn122nn?k?0k?2?C2n?k?kn2n?122nC2n?1

整理即得：?k?2k?C2nn?k??2n?1??C2nn?22n

k?0n?1例7 證明組合恒等式 ?k(k?1)(n?k)?2Cn4?1

k?2證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)有n張撲克牌，其中只有3張是K,我們將撲克牌洗一遍之后再?gòu)闹须S機(jī)不放回抽取，直到抽取到第二張K為止，此時(shí)抽出的紙牌數(shù)為?，求它的期望。

首先我們先需要計(jì)算出?的分布列，按照古典概率的計(jì)算：

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)P(??k)?3!(n?3)!(k?1)(n?k)n!?6(k?1)(n?k)n(n?1)(n?2),k?2,3,?,n?1

然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義我們可以得出：

n?1E???kp(?k?2?k)?k(k?1)(n?k)? ?n(n?1)(n?2)k?26n?1另外，我們假設(shè)從最低下開(kāi)始一張一張地翻牌，直到抽取到第二張K出現(xiàn)為止，此時(shí)抽出的紙牌數(shù)目為?，由對(duì)稱性可知，?與?有相同的分布列，于是也有相同的數(shù)學(xué)期望，即E??E?,而且它們有關(guān)系：????n?1 對(duì)這個(gè)式子兩邊求期望：E??E??n?1 所以E??n?12然后將其帶入?式可得

n?1?k(k?1)(n?k)?2C

4n?1k?23.2 運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式

運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合和恒等式大體上分為兩步：

n 第一步，將待證明的組合恒等式改寫(xiě)為?Pi?1的形式；

i?1 第二步，通過(guò)構(gòu)造出合適的概率模型，使得完備事件組Ai(i?1,2,?,n)互斥，n并且?Ai??，同時(shí)P(Ai)?pi(i?1,2,?,n)。

i?1 其中第一步需要掌握靈活的恒等式變形能力，以及敏銳的觀察力，而要完成關(guān)鍵的第二步，必須對(duì)于古典概率問(wèn)題有深刻的理解，還要把握許多的綜合條件，同時(shí)具有豐富的聯(lián)想能力。由于證明中的關(guān)鍵是對(duì)隨機(jī)事件概率的逆過(guò)程的求解——我們需要由Pk去尋找Ak,故在思考過(guò)程中起主導(dǎo)作用的是發(fā)散性思維，創(chuàng)造性思維。

例1 證明組合恒等式 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明 首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)接下來(lái)，我們構(gòu)造這樣的概率模型：

一個(gè)盒子里裝有n?1張卡片，其中有一張紅色卡片，一張黑色卡片，n?1張白色卡片，現(xiàn)隨機(jī)地從盒子中抽取k張卡片.設(shè)事件A為k張卡片中有紅色卡片的事件，事件A的逆事件記為A.則 P?A??C1CnC1k?1kn?1;

設(shè)事件B為k張卡片中有黑色卡片的事件，事件B的逆事件記為B,由事件間的關(guān)系有

A?A?B?B??AB?AB.從而 P?A??P?AB?AB?

?P?AB??P?AB? 所以 P?A??C1C1Cn?1Ckn?101k?1?C1C1Cn?1CCnkn?100k.k?1k由對(duì)立事件和得性質(zhì)P?A??P?A??1.可得

k?1kCn?1?Cn?1Cn?1?Cn?1Cn?1kk?1

從而 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

例2 證明組合恒等式 1?Cn?mC1n?11?Cn?m?Cn?m?1C1n?111?C1n?2??Cn?m?C3C2C1C1n?11111?C1m?1C1m?nm.證明 我們首先將公式變形為 CmCn11?CmCn?mCnCn?11111?CmCn?mCn?m?1CnCn?1Cn?2111111???CmCn?m?C3C2C1CnCn?1?Cm?1Cm111111111?1

接下來(lái)，我們構(gòu)造這樣的概率模型：

一個(gè)盒子中中裝有n張卡片，其中有m張紅色卡片，現(xiàn)在從中連續(xù)取出卡片并且不放回，求取得紅色卡片的概率。

記事件A為取得紅色卡片，事件Ai為第i次取得紅色卡片 于是我們得到 A=A1??A1A2???A1A2A3?????A1A2?An?m?An?m?1? 由加法公式、乘法公式及條件概率的定義，得

P?A??CmC1n1?Cn?mC1n1?CmC1n?11???Cn?mC1n1?Cn?m?1C1n?11??C1C11m?1?CmC1m1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)顯然，只要逐個(gè)取卡片，早晚是要取得紅色卡片的.即事件A為一必然事件，故P(A)?1.所以1?Cn?mCn?111?Cn?m?Cn?m?1Cn?1?Cn?21111??Cn?m?C3C2C1Cn?1?Cm?1Cm1111111?nm.古典概率與組合數(shù)有著十分密切的聯(lián)系，某些組合式本身或稍加整理，就具有某種明顯的概率意義.例如

CmCn?mCrnkr?k就可視為下面概率問(wèn)題的解：“某盒中有n個(gè)球，其中有紅球m個(gè)，今從盒中任取 r個(gè)球，求恰有k個(gè)紅球的概率”，基于這一點(diǎn)，對(duì)某些組合恒等式，我們可采用古典概率的方法來(lái)證明.n?kkn例3 證明組合恒等式 ?CmCr?k?Cm?r?1 ?n?m? ?kk?0n證明 我們構(gòu)造如下古典模型：

一個(gè)城市的道路是經(jīng)緯均勻網(wǎng)狀，李某的家庭住址和上班地點(diǎn)恰好分別處于兩個(gè)交叉點(diǎn).以李某的家庭住址所在的兩條路為坐標(biāo)軸、交叉點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，并使李某的上班地點(diǎn)處于坐標(biāo)系第一象限之中.設(shè)李某的上班地點(diǎn)位于點(diǎn)(m?n?r?1,n).考慮李某從家庭住址到上班地點(diǎn)走過(guò)的路最短時(shí)所選擇的路徑問(wèn)題，（即在以(0,0)、(0,n)、(m?n?r?1,n)、(m?n?r?1,0)為頂點(diǎn)的矩形內(nèi)，李某從住處到單位上班沿與X軸平行的方向行走時(shí)只能向左拐，沿與Y軸平行的方向行走時(shí)只能向右拐）.易知，李某從家庭住址到上班地點(diǎn)走過(guò)的路最短所選擇經(jīng)過(guò)的路徑共有Cm?r?1種不同方式.n記Ak表示事件“李某經(jīng)過(guò)端點(diǎn)為(r,k)和(r?1,k)的路徑數(shù)”

Ak所包含的基本事件個(gè)數(shù)為:從(0,0)點(diǎn)到(r,k)點(diǎn)走過(guò)的路徑數(shù)乘以從(r?1,k)點(diǎn)到(m?n?r?1,n)點(diǎn)的路徑條數(shù).n?kkn?k?Cr?kCm?k 即為 Crk?kCm?n?r?1?(r?1)?n?k? P?Ak??Cr?kCm?kCnm?r?1kn?k（k?1,2,?,n）

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)由Ak的定義知，A0、A1、?Ar構(gòu)成一個(gè)完備事件組.?r? ? 1?P?A??k????k?0?n?P?A???kk?0k?0rrCr?kCm?kCnm?r?1kn?k

n?kn上式整理得： ?Crk?kCm?Cm?r?1 ?kk?0令m?n得： Cr0?Cr1???Crn?n?Crn?n?1

n例4 證明組合恒等式 Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

證明 我們構(gòu)造如下古典概率模型：

設(shè)將n張相同的卡片放到r個(gè)不同的盒子中，把這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為一個(gè)向量(x1,x2,?,xr)，其中xi表示被分到第i個(gè)盒子中的卡片數(shù)，于是滿足 x1?x2???xr?n(?)的向量(x1,x2,?,xr)的個(gè)數(shù)。

考慮n張白色卡片與r?1張黑色卡片組成的排列，將每一個(gè)這樣的排列與(?)式按照下面的方式對(duì)應(yīng)起來(lái)：使x1等于排列中第一張黑色卡片左邊的白色卡片的張數(shù)，x2等于第二張黑色卡片間白色卡片的張數(shù)，如此繼續(xù)到xr，它等于最后一張黑色卡片右邊的白色卡片的張數(shù)。很容易得到n張白色卡片與r?1張黑色卡片的所有排列與方程(?)的全體解一一對(duì)應(yīng)，由于排列共有

(n?r?1)!n!(r?1)!n?Cnn?r?1個(gè)，即解也有Cnn?r?1個(gè)，所以得到Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

或者還可以如下：我們很明顯看出x1可取0,1,2,?,n的n?1個(gè)值，x2,?,xr可以組成一個(gè)r?1維向量(x2,?,xr)

令A(yù)0：當(dāng)x1=0時(shí)，(x2,?,xr)的解的個(gè)數(shù)為Cnn??rn?

2;?;

An：當(dāng)x1=n時(shí)，(x2,?,xr)的解的個(gè)數(shù)為Cnn?r?2

nn?Ci?0n?in?i?r?2由于 ?P(Ai)?i?0Cn?r?121

n?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)所以得到 Cnnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

r例5 證明組合恒等式 Crr?m??Cj?0jm?j?1

?1r證明 之前的例子我們證明過(guò)這樣一個(gè)組合恒等式：Cnr?Cnr??Cn?1 1這個(gè)需要被證明的組合恒等式實(shí)際就是該組合恒等式的推廣，于是我們建立如下古典概率模型：

現(xiàn)在將m?r張卡片從1進(jìn)行編號(hào)，并從中抽取r張卡片作為一組，用n來(lái)表示1,2,?,n號(hào)都被選出而n?1號(hào)未被選出的最大值，如1號(hào)未被選出那么n?0.若1號(hào)選上了而2號(hào)未被選上，則n?1，如此等等，令n?i，不同組的卡片數(shù)顯然等于從編號(hào)為i?2,i?3,?,i?m的卡片中抽出r?i張卡片的選法總數(shù)。于是

rn?i的組有Cr?im?r?i?1個(gè)，因此總數(shù)Crm?r滿足Crrm?r??Ci?0r?im?r?i?1

我們令j?r?i得 Crr?m??Cj?0jm?j?1

3.3運(yùn)用等概率法證明組合恒等式

我們從不同的角度解答同一個(gè)概率問(wèn)題，就可以得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，并且由它們相等來(lái)證明組合恒等式。在概率問(wèn)題中，我們往往不能局限在一種思維，其實(shí)可以用多角度的思想去解答，這樣也會(huì)給證明帶來(lái)便利。

1nn???Cn?2 例1 證明Cn0?Cn證明 這是一個(gè)重要的組合恒等式, 這里用概率的思想證明.為此我們構(gòu)造如下概率模型：

“某人投籃命中率，現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)投籃了n次，問(wèn)投進(jìn)的概率是多

21少？”

記事件Ak為投籃n次投進(jìn)了k次（k?1,2?,n）, 于是問(wèn)題是求P?A1?A2???An?.由于A1,A2,A3?An兩兩互斥，得

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)P?A1?A2???An???P?A?

kk?1n1??1? =?Cnk??????2??2?k?1nkn?kn??k?1Cn2nk

又因A1?A2???An的對(duì)立事件是A1?A2?An，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求1?PA1?A2?An，而 ?? P?A1?A2?An??Cn2n0

Cn2n01?PA1?A2?An?1???

1nn???Cn?2.即Cn0?Cn1例2 證明組合恒等式 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

222證明 根據(jù)組合式的性質(zhì).Cnr?Cnn?r, 原式左邊可變形為：

CnCn?CnCn0n1n?1???CnCn?C2nn0n

兩端同除以C2nn，得：

CnCnC2nn0n?CnCnC2nnkn?1???CnCnC2nnn0?1

我們來(lái)觀察上面這個(gè)式子式的概率意義，可以構(gòu)造下面的模型：

“一盒子里有2n張卡片，其中n張白色卡片n張紅色卡片，今從中任取n張卡片，求至少有一張紅色卡片的概率.”

記事件A為抽得的n個(gè)球中至少有一張紅色卡片；

事件Ai為抽得的n個(gè)球中恰有i張紅色卡片

則 P?Ai??CnCnCn2nin?i（i?1,2?,n）

而 A?A1?A2???An 且 Ai?Aj?? ?i?j? 根據(jù)有限可加性，得

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)P?A??P?A1??P?A2????P?An? ?CnCnC2nn1n?1?CnCnC2nn2n?2???CnCnC2nnn0

另一方面 A?{ 抽得的 n 張卡片都是白色卡片 } 而 P?A??CnCnCn2n0n

CnCnC2nn0n于是

P?A??1?PA?1???

所以 CnCnCn2n1n?1?CnCnCn2n2n?2??CnCnCn2nn0?1?CnCnCn0nn2n CnCn?CnCn2001n?1???CnCn?C2n2n01即 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

2m例3 證明組合恒等式 ?CniCnm??ii?Cnm?2m

i?0證明 我們構(gòu)造以下概率模型：

設(shè)箱子中有n付大小不同的手套，現(xiàn)在我們隨機(jī)從中取出m只，計(jì)算取出的手套全不配對(duì)的概率.把從2n只手套中取出m只不同手套的組合作為樣本點(diǎn)，則樣本點(diǎn)總數(shù)為C2nm.記事件A為取出的m只手套全不配對(duì)，接下來(lái)計(jì)算P(A).方法一 A發(fā)生要求m只手套必須取自于不同型號(hào)種類的手套，而手套的種類有n種，因而m只手套可有n種可供選取，共有Cnm個(gè)選取種數(shù).同時(shí)，在每一

1種類型號(hào)的手套中又有“左”、“右”兩只手套可選擇，有C2種取法，這樣，取11??C（出m只手套共有C2m個(gè)）種取法.綜合上述，A的基本事件數(shù)目為Cnm?2m，2則P?A??Cnm?2m/C2mn.方法二 令A(yù)i?取出的m只手套中含有i個(gè)“左”只手套，i?0,1,?m.顯然

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)A??Ai 且 AiAj??（i?j)則 P?A??i?0m?P?A?.又因?yàn)锳中的i只“左”

imii?0手套可有n種“左”手套可供選取，共有Cni種取法.其余另外的m?i只手套全是“右”手套，為了使得取出的m只手套全不配對(duì)，那么，這n?i只“右”手套只能在剩下的n?i種型號(hào)的手套所對(duì)應(yīng)的n?i“右”手套中選取，共有Cnm??ii種取法.于是，由乘法原理可得，Ai的基本事件數(shù)目為CniCnm??ii（i?0,1,2?m）那么

P?Aii??Cim?nCn?i/Cm2n mm由此可得 P?A???P?A?im?ii??CnCn?i/Cm2n

i?0i?0綜合上述可得組合恒等式:

m?Cim?imnCn?i?Cn?2m i?0n例4 證明組合恒等式 ?Cin?iaCb?Cna?b?Cnb

i?1證明 我們構(gòu)造如下的概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有a張黑色卡片，b張白色卡片，我們現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取

(n?min(a,b))張卡片，求所取的卡片中至少有一張黑色卡片的概率。

記事件A為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片；

事件Ai為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片（i?1,2,?,n）

nn那么A1,A2,?,An是互不相容事件并且?Ai??，則?P(Ai)?1

i?1i?1in?i而

P(AaCbi)?Cn(iC?1,2,?,n)

a?bni?in?CaCnb于是

P(A)??P(A)?i?1in

i?1Ca?b記事件A為任取的n張卡片中沒(méi)有黑色卡片

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

n則

P(A)?CbCna?b

Cbnn那么

P(A)?1?P(A)?1?nCa?b

所以我們得到

?Ci?1iaCbn?iCna?b?1?CbCnna?b

n整理可得

?Ci?1iaCbn?i?Ca?b?Cbnn

第4章 由概率論方法引申出的恒等式證明

4.1 級(jí)數(shù)恒等式的證明

?例 證明級(jí)數(shù)恒等式 ?n?1n(n?1)!?1

證明 我們建立如下概率模型：

設(shè)有一個(gè)盒子，里面裝有黑色卡片和白色卡片，設(shè)其為事件A，其中白色卡片一張，黑色卡片無(wú)數(shù)張，則事件A只包含兩個(gè)基本事件摸出為黑色卡片（設(shè)為事件B）和摸出白色卡片（設(shè)為事件C）的隨機(jī)試驗(yàn)，我們進(jìn)行有放回的隨機(jī)抽取卡片，并且為獨(dú)立重復(fù)n次試驗(yàn)，則在第k次試驗(yàn)中，B出現(xiàn)的概率P(k)，不出現(xiàn)的概率為Q(k)，則Q(k)?1?P(k)。

現(xiàn)令T(n)表示在n次獨(dú)立試驗(yàn)中B首次出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中的概率，于是有T(1)?P(1)，T(2)?Q(1)P(2)，??，T(n)?Q(1)Q(2)??Q(n?1)P(n), 令P(N)??T(n)，?(N)??Q(n)，則有P(N)??(N)?1。

n?1n?1NN取P(n)?nn?1，則?(N)??Q(n)??n?1NNn?1NNN1n?1n，N故P(N)??(N)??T(n)??Q(n)??n?1Nn?1n?1（n?1）!???n?11n?1?1

由于N??，lim?1n?1N??n?1?0，所以有?n?1n(n?1)!?1，齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)4.2 初等組合恒等式的證明

例

證明下面兩個(gè)組合恒等式

?1(1)Cnr?Cnr?1?Cnr?1

其中n,r,s,?N

(2)Cns?1?Cn?1?Cn?2????Cs 其中n,r,s,?N sss證明

(1)我們建立如下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中裝有n張卡片,其中僅有一張紅色卡片，現(xiàn)從盒子中取出r張卡片，則有Cnr種取法。于是我們可將這Cnr種取法分為兩類：一類是包含紅色卡片的，取定了那個(gè)紅色卡片之外，還需在剩下的n?1張卡片中取出r?1張卡片來(lái)，?1共有C11Cnr?種取法；另一類是不含紅色卡片，應(yīng)在除去紅色卡片后的n?1張卡片1中取出r張卡片，因此共有C10Cnr?1種取法，并且這兩類取法之和即為取法總數(shù)，即Cnr種取法。所以有

Cn?C1Cn?1?C1Cn?1?Cn?1?Cn?1，故(1)式得證。

下面證(2)式：

對(duì)(2)式作變換：令r?s?1有

Cns?1r1r?10rr?1r?Cn?1?Cn?1

s?1ss?1s再令n?n?1有

Cn?1?Cn?2?Cn?2

以此類推…

Cs?2?Cs?1?Cs?1?Cs?Cs?1

s?1sss把上面的式子左右各相加，化簡(jiǎn)有 Cn?Cn?1?Cn?2?......?Cs。

s?1s?1s?1sss(2)式得證。

4.3 級(jí)數(shù)組合恒等式的證明

例

證明下面的級(jí)數(shù)組合恒等式

ki?0(1)?CCimk?in?Ckn?mki?0

(2)?CC?Ciminnn?mki?0

(3)?CnCn?ii(2n)!(n!)2

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

??0當(dāng)1?r?nn?kkr?(?1)C(n?k)?當(dāng)r?n(4)?n!nk?0?n(n?1)?n!當(dāng)r?n+1?2證明

(1)我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有n張白色卡片和m張黑色卡片，我們現(xiàn)從中隨機(jī)地取出k張卡片，考慮取出的k張卡片中有i張白色卡片的事件Ai(i=0，1，?，k)的概率，于是可得

P?Ai???A0,A1，??，AkkkCmCnCik?ikn?m，i?0,1,2??????k，是互不相容的事件，且這k?1個(gè)事件之并是必然事件，即UAi??，則?P(Ai)?P(?)?1，i?0i?0k于是?CmCnkik?iki?0i?0Cn?m?1，即?CmCnik?i?Cn?m.k(2)令k?n，由式(1)可得式(2)；(3)令n?m，由式(2)可得式(3)。(4)欲證此等式，首先引入一個(gè)引理

引理：設(shè)隨機(jī)事件A1，A2,??????,An滿足

P(Ai)?p1,(i?1??n)

P(Ai1Ai2)?p2,(1?i1?i2?n)

P(Ai1Ai2Ai3)?p3,(1?i1?i2?i3?n)

??，P(A1A2??An)?pn，nk?1nk?1則有P(?Ak)??(?1)k?1CnP(k)

（1）

k為了證明本式，我們建立如下概率模型：

從1到n這n個(gè)自然數(shù)中每次任取一數(shù)，有放回地抽取r次，令A(yù)i={取出的r個(gè)

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)數(shù)均不等于i，i?1，2，??，n則

pk?P(Ai1Ai2??????Aik)?(nk?1nk?1n?knk?1),(1?i1?i2????ik?n,k?1,2??n)

n?knr則由(1)式P(?Ak)??(?1)Cn(k)，（2）

nr當(dāng)1?r?n時(shí)，必存在i使得取出的r個(gè)數(shù)均不等于i，因此?Ai是必然事件，于

i?1是，由(2)式有

n?(?1)k?1k?1C(knn?kn_r)?P(?Ai)?1?C，即

?(?1k)?1Cnkn(?k)?，0

rni?10nnk?1① 當(dāng)r?n時(shí)，Ai={取出的n個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)等于i}，i = 1,2,?,n，于是，n?Ai?{取出的n個(gè)數(shù)均不相同}，由[7]知其概率為i?1n!nn，從而有

n!nnni?1ni?1P(UAi)?1?P(?Ai)?1?n

kkr(?k)?n!把上式代入(2)式整理可得

?(?1)Cnnk?0ni?1ni?1② 當(dāng)r?n?1時(shí)，則?Ai?{取出的n?1個(gè)數(shù)恰有兩個(gè)數(shù)相同}，其概率P(?Ai)，n于是得出可知 P(?Ai)?i?1n!nnn?1Cn?1，2n!2P(UA)?1?P?(A?)?1C從而有

iin?1 n?1i?1i?1nnnk?o代入(2)式整理可得?(?1)Cn(n?k)?n!Cn?1?kkr2n(n?1)2n!

③ 當(dāng)r?0時(shí)，考慮隨機(jī)試驗(yàn)：從大于n的自然數(shù)中任取一數(shù)，令A(yù)i={取出的數(shù)大于i}，i =1,?,n，則顯然

pk?P(Ai1Ai2??Aik)?1,(1?i1?i2????ik?n,k?1.2.?.n)

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

kk且?P(UAi)?1?C，代入(1)式整理可得?(?1)Cn?0，k?oi?10nnnnk?o??0當(dāng)1?r?nn?kkr當(dāng)r?n所以有 ?(?1)Cn(n?k)??n!

k?0綜上所述，證明完畢。

??n(n?1)?2n!當(dāng)r?n+130

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

總 結(jié)

本文通過(guò)概率理論給出了證明組合恒等式的方法，主要應(yīng)用了概率論中的古典概率，完備事件，互不相容，基本事件總數(shù)等相關(guān)知識(shí)。其主要思想是針對(duì)所要證明的組合恒等式構(gòu)造出適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停蟪鲈撃Ｐ椭杏嘘P(guān)事件的概率。而構(gòu)造概率模型來(lái)證明組合恒等式的基本方法是：首先根據(jù)需要被證明的組合恒等式特點(diǎn)建立相對(duì)應(yīng)的概率模型；然后在概率模型中分析思考問(wèn)題。然后根據(jù)概率的一些性質(zhì)，推出應(yīng)有的結(jié)論。組合恒等式的證明方法有很多，而用概率論的方法來(lái)證明組合恒等式不僅提供了組合恒等式的不同證明途徑，而且有助于加深我們對(duì)概率論基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握。

本文主要研究了如何運(yùn)用概率論的方法證明一些組合恒等式，一共分為三章：

第一章緒論中，簡(jiǎn)單介紹了概率論方法研究的背景和發(fā)展?fàn)顩r，自然引出了需要研究的問(wèn)題；

第二章主要介紹如何運(yùn)用概率論的基本理論來(lái)證明組合恒等式； 第三章主要介紹如何運(yùn)用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型；來(lái)證明組合恒等式； 第四章針對(duì)前面的證明方法進(jìn)行推廣證明一些其他的恒等式，以便于更加深刻理解這種用概率理論證明恒等式的好處。

組合恒等式的證明問(wèn)題通常需要超高的技巧，有意識(shí)的積累一些組合恒等式的證明方法是很有益的。特別是運(yùn)用概率論的方法證明，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ图右哉f(shuō)明和解釋則非常有助于恒等式的記憶，理解與運(yùn)用。

通過(guò)對(duì)本文的深入研究，不但使我對(duì)于概率論的方法證明組合恒等式有了更深一步了解，而且了解概率論在科學(xué)研究和實(shí)際生活中的很多應(yīng)用，這更堅(jiān)定了我努力研究數(shù)學(xué)知識(shí)并將這些知識(shí)應(yīng)用于生活中的決心。

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

參考文獻(xiàn)

[1] 紀(jì)玉卿，祝廣大.組合恒等式的概率證法[J].許昌師專學(xué)報(bào), 1999，18(5)：84-87 [2] 譚毓澄，張勁松，王玉娟.由一概率問(wèn)題引出的組合恒等式[J].江西教育學(xué)院學(xué)報(bào)（綜合），2008，29(6): 7-8

[3] 田俊忠，魏淑清.恒等式的概率方法證明[J].固原師專學(xué)（自然科學(xué)版）,1997，18(13): 10-12

[4] 盧開(kāi)澄,盧華明.組合數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2006

[5] 姚仲明.恒等式證明的概率模型法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 2003,9(4)：37-38

[6] 張?zhí)?用概率思想證明組合恒等式[J].《張?zhí)剑河酶怕仕枷胱C明組合恒等式》1999，10(2)：67-70

[7] 潘茂桂.用概率方法證明組合恒等式[J].牡丹江師范學(xué)院報(bào)(自然科學(xué)版).2000，1(2):39-40

[8] 潘茂桂，撒曉嬰.用概率方法證明組合恒等式[J].西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1993，11(4):436-440

[9] 鮑煥明.組合恒等式的概率證明[J].牡丹江師范學(xué)院報(bào)(自然科學(xué)版).2000, 1(2):39-40

[10]Brualdi R A.Introductory combinatorics [M].New York:North-Holland, 1997,1-50.[11]Probablity Theory I 4th Edition [M].New York:Springer-Verlag,1977,189-195.32

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

致 謝

我要感謝我的導(dǎo)師崔繼賢老師，他為人隨和熱情，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心。在閑聊中他總是能像知心朋友一樣鼓勵(lì)我，在論文的寫(xiě)作和措辭方面他總會(huì)以“專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)” 嚴(yán)格要求我，從選題定題開(kāi)始，一直到論文最后的反復(fù)修改，潤(rùn)色，崔老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給與我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)，幫助我開(kāi)拓研究思路，熱心點(diǎn)撥，熱忱鼓勵(lì)。正是崔老師的無(wú)私幫助與熱忱鼓勵(lì)，我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成，再次謝謝崔老師。

然后還要感謝大學(xué)四年來(lái)所有的老師，為我打下數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)，感謝李學(xué)院和我的母?！R齊哈爾大學(xué)四年來(lái)對(duì)我的大力栽培。

最后我要感謝我四年的大學(xué)同學(xué)，感謝我的家人和那些永遠(yuǎn)忘不了的朋友，他們的支持與情感，是我永遠(yuǎn)的財(cái)富

第三篇：李旭杰婚禮領(lǐng)導(dǎo)致辭

李旭杰婚禮致辭

尊敬的各位來(lái)賓，女士們、先生們：

在這個(gè)浪漫溫馨、吉慶祥和的日子里，我們歡聚一堂，為李旭杰、陶世禎兩位新人舉行婚禮，請(qǐng)?jiān)试S我代表沙井驛街道全體干部職工向兩位新人表示熱烈的祝賀和衷心的祝福，向前來(lái)參加婚禮的各位來(lái)賓和朋友表示誠(chéng)摯的謝意！

今天，能夠和各位來(lái)賓共同見(jiàn)證這美好的時(shí)刻，分享兩位新人的幸福甜蜜，我感到非常高興，也非常榮幸。李旭杰在沙井驛街道黨政辦工作，自參加工作以來(lái)，認(rèn)真學(xué)習(xí)，勤奮工作，尊敬領(lǐng)導(dǎo)，團(tuán)結(jié)同事，受到了街道領(lǐng)導(dǎo)的充分肯定和同志們的廣泛贊揚(yáng)。作為單位領(lǐng)導(dǎo)，看到李旭杰找到了一位同樣優(yōu)秀善良、溫柔美麗的同事陶世禎作為愛(ài)人和伴侶，攜手人生，共結(jié)連理，在高興之余我更感到非常欣慰。

千里姻緣一線牽，百年修得同船渡。李旭杰家在甘肅平?jīng)鍪?，陶世禎家在蘭州市安寧區(qū)，相距近千里之遙，兩人因?yàn)橥履軌蛳嘧R(shí)、相知、相戀，直到今天走進(jìn)婚姻的殿堂，可以說(shuō)是天作之合促成了這段美好的姻緣，美好的姻緣寫(xiě)就了這段感人的佳話。希望你們珍惜這份緣分，永結(jié)同心，恩愛(ài)百年！

婚姻既是愛(ài)情的升華，更是責(zé)任的開(kāi)始，是人生的重要篇章，也是走向社會(huì)的重要一步。今天，你們?cè)谒衼?lái)賓的見(jiàn)證下，共同組建了新的家庭，在今后的人生道路上，就要肩負(fù)起這份愛(ài)的責(zé)任，互幫互助，攜手共進(jìn)，共同面對(duì)人生的喜怒哀樂(lè)，共同分擔(dān)生活的酸甜苦辣。把戀愛(ài)時(shí)期的浪漫和激情，在婚姻現(xiàn)實(shí)和物質(zhì)生活中，一直保留到永遠(yuǎn)。要互相包容、互相理解、互相關(guān)心，孝敬雙方父母，團(tuán)結(jié)雙方親人，把自己的小家打造成溫馨幸福的港灣，同時(shí)為雙方的大家庭增添和諧和歡樂(lè)。以工作上的進(jìn)步、事業(yè)上的成功、生活上的幸福報(bào)答各位長(zhǎng)輩和親朋的厚愛(ài)。

最后，讓我們共同祝福兩位新人百年好合，婚姻幸福。祝各位來(lái)賓身體健康，萬(wàn)事如意，吉祥滿堂！謝謝大家！

第四篇：婚禮致辭

尊敬的各位來(lái)賓，各位親朋大家中午好！

今天，風(fēng)和日麗、喜氣盈門(mén)，在這個(gè)大好日子，我兒子X(jué)X和兒媳XX喜結(jié)良緣，攜手走進(jìn)婚姻的殿堂，即將開(kāi)始他們的幸福生活，身為父母我們感到十分高興。

大家在百忙之中抽出時(shí)間，共同齊聚這里為兩個(gè)孩子的婚事祝福、慶賀。你們的光臨給今天的新婚喜宴增添了光彩，使婚禮宴廳貴賓滿堂、蓬蓽生輝。為此，我代表全家及兒子兒媳向各位親朋好友表示熱烈歡迎和衷心的感謝。

在這里我要對(duì)兩個(gè)孩子說(shuō)：結(jié)婚是人生一件大喜事，標(biāo)志著從此你們成家立業(yè)了，從今天起你們的人生又樹(shù)立了一個(gè)新的里程碑，我衷心希望兒子兒媳在新的里程碑面前有新的打算、新的起點(diǎn)。在今后相濡以沫的日子里，相互多一些寬容和厚愛(ài)，少一些埋怨和爭(zhēng)吵。你們未來(lái)的生活道路是非常美好的，愛(ài)情基礎(chǔ)也很深厚，但是在長(zhǎng)期的共同生活中，難免會(huì)出現(xiàn)磕磕碰碰，希望你們用純真的愛(ài)情做橋梁，用理解和寬容去化解，只有這樣，在寒冷的冬天也會(huì)變成溫暖的春天，喧囂的家庭就會(huì)變成寧?kù)o的港灣。希望你們互相支持、互相理解、互相配合，共同達(dá)到互敬互愛(ài)、互幫互助、互慰互勉。希望你們?cè)诩彝ブ凶鹄蠍?ài)幼、孝敬父母；在工作中互相支持、百尺竿頭、更近一步；在社會(huì)中，與人為善、和睦相處。我們老人的最大心愿是希望你們和和美美、恩愛(ài)百年，攜起手來(lái)，用你們的勤勞和智慧共創(chuàng)美好的未來(lái)。

最后，祝愿各位來(lái)賓身體健康、合家歡樂(lè)、工作順利、萬(wàn)事如意。祝愿大家在今天的喜宴上吃得舒心、喝得痛快、玩得高興。

謝謝大家！

第五篇：婚禮致辭

致辭

（注意：向來(lái)賓鞠躬）

尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位來(lái)賓、各位親朋，女士們、先生們：

大家中午好！

秋去冬來(lái)，喜事連連。在舉國(guó)上下歡度“中秋”“國(guó)慶”盛大節(jié)日之后、喜迎黨的“十八大”勝利召開(kāi)之際，我的女兒和女婿旅游結(jié)婚啦，今天在這里隆重舉行答謝宴會(huì)。大家不辭辛勞，大駕光臨，歡聚一堂，共同祝賀我的女兒和女婿喜結(jié)良緣，我非常地高興和激動(dòng)。為此，我謹(jǐn)代表女兒、女婿的雙方父母及他們本人，向出席今天答謝宴會(huì)的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位來(lái)賓、各位親朋表示最誠(chéng)摯的歡迎和衷心的感謝！

結(jié)婚是人生的大事，子女結(jié)婚也是父母的大事。在這美好而重要的時(shí)候，我要對(duì)女兒、女婿說(shuō)：祝愿你們夫妻恩愛(ài)、婚姻幸福！從今以后，無(wú)論貧困還是富有，無(wú)論健康還是疾病，無(wú)論順利還是挫折，無(wú)論年青還是變老，都要相敬如賓，相愛(ài)一生。在工作中互相支持，在生活中互相照顧，在人生的征途中心心相印，比翼雙飛！我也要對(duì)女兒、女婿說(shuō)：希望你們?nèi)魏螘r(shí)候都要擁有一顆感恩的心，不要忘記關(guān)心、幫助和支持你們成長(zhǎng)的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位長(zhǎng)輩、各位老師、各位親朋、各位同仁，做到尊敬領(lǐng)導(dǎo)、團(tuán)結(jié)同志、幫助他人、惦記親朋、孝順父母、努力工作、瀟灑生活。我還要對(duì)我的女兒、女婿說(shuō)：你們結(jié)婚了，意味著你們的父母漸漸老啦，愿你們撐起一片藍(lán)天，開(kāi)創(chuàng)新的時(shí)代，?；丶铱纯茨菨u漸老去的父母！

今天，請(qǐng)?jiān)试S我再一次代表女兒、女婿的雙方父母及他們本人，衷心祝愿在座的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位來(lái)賓、各位親朋事業(yè)興旺，家庭幸福，身體健康，萬(wàn)事如意！在這里，我提議，斟滿酒，舉起杯，為祝福我女兒、女婿的幸福和我們?nèi)w同胞的友誼干杯！

很抱歉，由于條件有限，酒菜不好，接待不周，加之我和親家不勝酒力，不能帶領(lǐng)女兒、女婿前來(lái)逐席敬酒，多有失禮，敬請(qǐng)大家多多包涵。謝謝！