第一篇：李銀澤事跡

李銀澤，彝族，中共黨員，1980年12月出生，1999年12月入伍，2003年11月入黨，現(xiàn)任昆明市公安消防支隊特勤大隊一中隊專勤班班長，二級士官。入伍5年來，李銀澤同志始終牢記全心全意為人民服務(wù)的宗旨，正確樹立革命人生觀、價值觀、世界觀，忠實履行一名消防戰(zhàn)士的職責(zé)和神圣使命，他一直戰(zhàn)斗在滅火救援保衛(wèi)第一線，把5年最美好的青春年華無私地獻給了昆明消防特勤事業(yè)。5年來，李銀澤同志在艱苦的訓(xùn)練場上摸爬滾打，與肆虐的大火拼殺搏斗，用青春、汗水和熱血保衛(wèi)著春城人民生活的安寧，體驗著追求理想的艱辛與幸福，展現(xiàn)著自己人生的價值。他先后參與了全市及省內(nèi)部分地區(qū)的多起重、特大火災(zāi)撲救以及化學(xué)泄漏、山體滑坡等特殊災(zāi)害事故的處置，屢立戰(zhàn)功，為保衛(wèi)國家經(jīng)濟建設(shè)和人民群眾生命財產(chǎn)的安全做出了突出貢獻。在5.12安寧泥磷泄漏火災(zāi)撲救戰(zhàn)斗中，李銀澤再一次深入險境，勇挑重?fù)?dān)，完成了最危險、最艱巨的任務(wù)，為部隊撲救火災(zāi)、處置泄漏作出了突出貢獻，用自己的青春年華在烈火中譜寫出壯麗詩篇。

一、不畏犧牲迎難而上深入險地偵察堵漏

2005年5月12日凌晨零時，云南馬龍產(chǎn)業(yè)集團股份有限公司安寧分公司儲存有100余噸泥磷物料的4號沉降濃縮槽發(fā)生泄漏事故。泥磷燃燒生成的刺激有毒煙霧籠罩了整個廠區(qū)，彌漫至附近村莊，情況十分危急，如果泄漏擴大，災(zāi)害蔓延，引發(fā)鄰近儲罐事故，后果將更加不堪設(shè)想。關(guān)鍵時刻，特勤官兵臨危受命，迅速出動，苦戰(zhàn)4天3夜，打下硬仗，再顯神威。

李銀澤隨首批出動力量于12日4時50分左右達到現(xiàn)場，這樣的場面對于他來說也是第一次，許多新同志都有點發(fā)懵，但李銀澤清楚自己是老同志，不能亂了陣腳，一切聽從中隊指揮員的命令。現(xiàn)場濃煙滾滾，情況不明，處置事故無從下手。李銀澤整頓好自己帶領(lǐng)的人員，做好個人防護主動請戰(zhàn)，同副中隊長一起前往火場深處進行偵察。高溫和濃煙讓他們難以靠近，但還是初步了解和熟悉了沉降槽底部泄漏和燃燒的基本情況。李銀澤撤出燃燒區(qū)域，脫下厚重的避火服頭盔，來不及擦去汗水便開始向指揮員匯報情況，得到燃燒區(qū)域的一些寶貴情況，現(xiàn)場官兵決定首先出水進行強攻，力爭先滅火再想辦法堵漏。兩個小時過去了，大火滅了又燃，燃了又滅，特勤官兵反復(fù)近戰(zhàn)強攻，然而事與愿違，由于燃燒時間較長，罐底泄漏更加嚴(yán)重，火勢更加猛烈，強攻方案被迫取消。12日上午，現(xiàn)場情況進一步變化，剛成立的指揮部決定由支隊參謀長和特勤大隊顏副大隊長帶領(lǐng)3名士官再次偵察，白天能見度有所好轉(zhuǎn)，偵察組到了罐底泄漏處，正當(dāng)同志們進行勘察觀測時，泄漏口泄漏量瞬間加大。突然，成塊的泥磷落下來，顏華副大隊長躲閃不及,火團濺起的磷水混合物沾染上左腿，不幸被自燃的黃磷燒傷，受傷較重。此時，李銀澤距離顏華副大隊長不足1米，下落的火團濺起的磷水混合物朝他撲去，他往后用力一蹬，濺起的泥磷正好掉在他的戰(zhàn)斗鞋面上，不論是僥幸，還是身手敏捷，他又一次與危險擦肩而過。

顏副大隊長受傷的不幸并沒有使李銀澤在巨大的危險面前退卻，他毅然領(lǐng)受了堵漏的命令，和戰(zhàn)友穿戴好避火服，準(zhǔn)備好各種可能用到的堵漏器材，來到泄漏罐前待命，一旦局部圍堰成功就增加水槍強攻并掩護堵漏。等待是需要勇氣和毅力的，剛才那一幕悲壯的場景，仍是如此清晰，歷歷在目，對此，每一個人都會害怕、恐懼，心理都會產(chǎn)生一定的想法……然而李銀澤的目光是那樣的堅毅，一旦時機成熟，指揮員發(fā)出命令，他會如猛虎下山一般，毫不猶豫地沖上前去完成那可能付出生命代價的艱巨任務(wù)！最終，因為泄漏量太大，火勢猛烈，指揮部被迫決定取消堵漏任務(wù)，但當(dāng)零距離接觸泄漏燃燒區(qū)域，犧牲的危險隨時迫近時，李銀澤那種深入險境，臨危不懼，義無反顧的大無畏精神仍然令在場的官兵無不欽佩。

二、堅守陣地獨當(dāng)一面光榮負(fù)傷堅持戰(zhàn)斗

無法近戰(zhàn)達到速戰(zhàn)速決的目的，特勤官兵只能轉(zhuǎn)入冷卻控制，配合圍堰填埋，處置進入僵持階段。李銀澤帶領(lǐng)本班人員把滿腔熱血轉(zhuǎn)化到了周圍的水槍陣地上，對泄漏罐實施冷卻，掩護工人進行筑堤圍堰?；饒鍪乔ё?nèi)f化的，危險隨時會發(fā)生，由于現(xiàn)場風(fēng)向改變，空氣流動加劇，泥磷燃燒迅速，瞬間濃煙滾滾，遮天蔽日，燃燒的泥磷四處飛濺，火勢瞬間增大，李銀澤和戰(zhàn)友占據(jù)的水槍陣地受到威脅。中隊指揮員“轉(zhuǎn)移水槍陣地，確保冷卻水不見斷”的命令傳來，為避免供水線路受損，他和一名戰(zhàn)友拖著近30米的水帶干線，翻越重重障礙，把水槍陣地轉(zhuǎn)移到上風(fēng)方向的圍堰沙堆上，繼續(xù)戰(zhàn)斗。由于對環(huán)境不熟悉，又要掩護、協(xié)助戰(zhàn)友，加之能見度太低，李銀澤不慎一腳踩空，側(cè)翻在斜坡上，左腿膝關(guān)節(jié)韌帶嚴(yán)重拉傷。然而，這個消息卻是在一天后他撤出現(xiàn)場時才被戰(zhàn)友們發(fā)現(xiàn)。環(huán)境異常艱險，身體傷痛陣陣，可李銀澤哪里顧得上這些，他控制著水槍變換射流，立體冷卻罐體并撲救外圍火點，在全隊官兵的連續(xù)奮戰(zhàn)和共同努力下，四個水槍陣地持續(xù)射水實施滅火、掩護和冷卻，持續(xù)射水將近5000噸，確保了圍堰封堵工程順利合圍，將張狂蔓延的火勢死死封在罐底。

很快，暮色降臨，當(dāng)?shù)貧鈮航档?，大量煙氣沉降并籠罩在部隊宿營地，休整的戰(zhàn)士都戴著防毒口罩席地而眠，李銀澤卻還在忙碌著。身為專勤車駕駛員，他主動趕到火場指揮部前，將車載照明燈升起，對指揮部和周圍區(qū)域?qū)嵤┱彰?。只見他一會鉆進火場與肆虐的火魔展開殊死搏斗，一會又利用輪換休息時間檢查維護車輛和照明裝備，確保指揮部和處置現(xiàn)場的照明到位，就像一部上足了發(fā)條的機器，不知疲倦的工作。13日18時，火勢相對穩(wěn)定，看著雙眼通紅，精疲力竭的李銀澤，大隊領(lǐng)導(dǎo)再也不忍心讓他留在火場，命令他返回中隊休息。直到登車時，李銀澤緩慢的抬起左腳，舉步為艱，戰(zhàn)友們才發(fā)現(xiàn)他的膝蓋受了傷，這時，李銀澤已瞞著領(lǐng)導(dǎo)和戰(zhàn)友，帶傷堅持戰(zhàn)斗了37個小時。在他心中，與國家和人民的利益比起來，這點傷痛算得了什么呢？15日上午，火魔被徹底縛住，勝利的消息傳來，還扎著繃帶的李銀澤盡管沒能親眼看到勝利的場面，但也無比振奮，自己和全隊?wèi)?zhàn)友又一次經(jīng)歷了血與火的洗禮，成為火場中一面屹立不倒的旗幟！戰(zhàn)斗中的成績并非偶然，在長期的工作、訓(xùn)練中，李銀澤又何嘗不是一根樹立表率、創(chuàng)造一流業(yè)績的標(biāo)桿。

三、戰(zhàn)功赫赫屢獲殊榮刻苦訓(xùn)練勇攀高峰

入伍5年多來，他刻苦訓(xùn)練、積極進取，業(yè)務(wù)素質(zhì)不斷提高，各項工作成績突出，所帶班集體更是在全隊脫穎而出，從業(yè)務(wù)考核到年終評比樣樣拿第一，多次被評為優(yōu)秀班集體。他堅持“練為戰(zhàn)”的指導(dǎo)思想，立足本職崗位，苦練精兵，在總隊、支隊歷次考核、競賽中屢屢取得優(yōu)異成績。在執(zhí)勤崗位練兵活動中，他緊緊瞄準(zhǔn)現(xiàn)代火場的需求，刻苦鉆研訓(xùn)練新法，努力探索高科技器材裝備與人結(jié)合發(fā)揮最佳效果的有效途徑，不斷加強業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)，成為云南省消防部隊小有名氣的技術(shù)能手，被戰(zhàn)友們譽為云嶺“特勤尖兵”。他連續(xù)三年參加總隊、支隊執(zhí)勤崗位練兵競賽，以優(yōu)異成績獲得“訓(xùn)練標(biāo)兵”、“技術(shù)能手”等稱號，并被榮記“三等功”二次，獲得2002年度和2003年度全國執(zhí)勤崗位練兵“先進個人”和“技術(shù)能手”稱號，受到公安部通報表彰。

去年以來，李銀澤先后參加了宜良中巴車墜河搜救遇難者，昆明南窯下水道搶救5名中毒人員，東川挖掘機翻車事故搶救被困司機，碧雞關(guān)水庫打牢溺水民工等大小搶險救援任務(wù)20余起，舍生忘死，救死扶傷，戰(zhàn)功顯赫。作為“火鳳凰”突擊隊的主力成員和中隊特種車駕駛員，李銀澤工作成績一流，模范表率作用突出，成為干部眼中的好士官，戰(zhàn)士眼中的好班長。

第二篇：鶴崗市李昕澤事跡心得

鶴崗日報首席記者李昕澤

先進事跡學(xué)習(xí)心得

——追記市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員、《鶴崗日報》首席記者

李昕澤

“社長，我生病住院耽誤工作了。等病情好一點，我想抓緊上班好好寫稿，一定能完成全年各項工作任務(wù)……”3月3日，在北京解放軍302醫(yī)院的病床上，李昕澤流著熱淚對專程看望的報社領(lǐng)導(dǎo)說。自從我學(xué)習(xí)了鶴崗市首席記者李昕澤平凡而又偉大的感人事跡之后，深感李昕澤的敬業(yè)、堅強與博愛，充分體現(xiàn)了李昕澤對工作的無比熱愛及一名優(yōu)秀記者的崇高思想境界和高尚道德情操，成為當(dāng)代媒體記者和新聞工作者的楷模！

“新聞在路上，記者是行者。”李昕澤選擇當(dāng)一名記者，也就選擇了做一個永不疲倦的行者。被稱作“全天候”“老黃牛”記者的他，在工作中兢兢業(yè)業(yè)，甘于奉獻，任勞任怨，為黨的新聞事業(yè)鞠躬盡瘁；在生活中與人為善，樂于助人，品行質(zhì)樸，為同事、朋友和家人付出無怨無悔。從事記者工作15年，他創(chuàng)造了鶴崗日報社多項紀(jì)錄：連續(xù)5年獲得發(fā)稿冠軍的稱號；連續(xù)7年隨團報道省黨代會、人代會；連續(xù)10年帶隊參加全市“兩會”報道，從未出現(xiàn)差錯；數(shù)十篇新聞稿件獲省、市好新聞獎項。李昕澤先后榮獲“市政府記功獎勵”、“市十佳新聞工作者”、“優(yōu)秀新聞工作者”、“市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”等榮譽稱號，是我市2011年首屆評出的三位首席記者之一。

李昕澤和所有的新聞記者們一樣，始終站在新聞采訪的最前線，活躍在城市的各個角落，與被采訪者促膝長談。他們沒有與家人一起享受天倫之樂的時間表，因為他們知道，作為記者必須要在路上行走，在行走中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中選擇，在選擇中報道，在大量的獨家重要報道中完成一個記者的職責(zé)。

在新聞記者的崗位上15年，李昕澤做了15年的政教部記者。他從一個懵懂的小記者跑“兩會”，到連續(xù)10年帶領(lǐng)團隊報道“兩會”，李昕澤完成了一個優(yōu)秀新聞記者的蛻變。

在記者崗位上奔走了15年，李昕澤的足跡踏遍鶴崗大街小巷，筆下寫出了無數(shù)人的喜怒哀樂，可單位和家始終是他簡單而執(zhí)著的生活軌跡。他不愿給別人添麻煩，即便是自己的家人。每次深夜歸來，家里的飯菜涼了，他狼吞虎咽地吃上一口；有時家里沒留飯，他就簡單對付一口，然后打開電腦，繼續(xù)寫那些好似永遠(yuǎn)也寫不完的稿子。妻子心疼他，可又不忍心打擾；女兒想爸爸了，偶爾半夜里偷偷鉆進爸爸的被窩，想找機會跟爸爸撒撒嬌?？墒?，常常是女兒一覺醒來，爸爸已經(jīng)坐在電腦前睡著了。

在女兒的眼里，爸爸有跑不完的采訪，寫不完的稿子。李昕澤重病臥床之初，女兒天真地和媽媽說：“這下好了，我能天天看到爸爸了，咱倆一起伺候他吧，你給他做飯，我給他講笑話……”年幼的女兒，甚至幻想著有一天和爸爸媽媽一塊出去旅游，因為這是爸爸對她的承諾。李昕澤家里很拮據(jù)。每漲一次工資，一家三口就美滋滋地憧憬一下未來——找個時間、攢點路費去旅游，是全家人共同的心愿。每當(dāng)妻子和女兒念叨這件事，李昕澤總是半開玩笑半認(rèn)真地說，“出去逛逛，那是必須的。可是現(xiàn)在，我沒時間??！”他太忙了。就連轉(zhuǎn)院去北京看病，他都囑咐妻子一定要帶著采訪資料。妻子生氣地說：沒有你寫稿子，報紙是不是就辦不下去了？病中的他，憨憨地笑著：這些稿子，我知道哪兒是新聞點，趁檢查身體的空閑好好歸納一下，一定能寫出好新聞來?？墒?，他能想到嗎？動身之前，他已經(jīng)被醫(yī)生宣布為肝硬化晚期腹水，危在旦夕。

人們常說新聞記者是“無冕之王”，都很羨慕記者工作，其實這只是看到了記者風(fēng)光的一面，而沒有看到記者辛苦付出的另一面，其中的艱辛與酸楚只有自己和他的同事、親人最知曉。李昕澤一直告訴自己，新聞記者應(yīng)該堅持行走在路上,一路采訪報道,一路傳遞心聲,一路揚鞭奮進。

李昕澤的生命雖然短暫，卻如此飽滿、充實，如此的動人、美麗。德馨，則芳名遠(yuǎn)播。李昕澤記者，新聞工作者之楷模，人生之榜樣，更是我們現(xiàn)在作為黨員的人生的榜樣!

其實，我們現(xiàn)在要做的就是在區(qū)委區(qū)政府領(lǐng)導(dǎo)下，起到黨員的帶頭作用，完成黨和政府交給我們的任何，成為一個發(fā)揮自己光輝的當(dāng)代黨員，在十二五期間，建設(shè)向陽、發(fā)展向陽、和諧向陽的道路上貢獻自己的力量。

逝者永生，精神永存！李昕澤同志雖然去了，但卻讓人無法不追憶、緬懷，他的光輝形象將永遠(yuǎn)留在大家心中，他的精神激勵著大家前行！新聞人的使命在路上，15年來李昕澤躬身于行，把對新聞工作的激情與執(zhí)著融入了自己的生命中，在平凡的工作中知責(zé)有為，踐行了自己的新聞理想。

李昕澤永遠(yuǎn)地走了，而在懷念他的領(lǐng)導(dǎo)、同事、親人心中，他卻永遠(yuǎn)地活著，重于泰山！愿昕澤一路走好……

第三篇：李澤英全國誠實守信模范事跡

李澤英全國誠實守信模范事跡 李澤英（候選人編號335），女，32歲，貴州省惠水縣高鎮(zhèn)鎮(zhèn)山后村村民。16歲時，李澤英從家鄉(xiāng)到貴陽一戶人家當(dāng)保姆，負(fù)責(zé)照顧剛剛滿月的雙胞胎姐妹。這對雙胞胎姐妹是一卓姓女主人從貴陽醫(yī)學(xué)院附屬醫(yī)院收養(yǎng)的有病棄嬰。在卓家夫婦的多方醫(yī)治和精心照顧下，兩個孩子的病奇跡般地好了。但幾年后的一天，卓家先是離婚，后又突然失蹤，而且沒有留下一分錢，在主人家照顧著小姐妹的李澤英頓時斷絕了經(jīng)濟來源。自己吃飯都成了問題，何況還要帶兩個不到6歲的孩子。舉目無親的李澤英進行著激烈的思想斗爭：走還是留？當(dāng)回頭看到嚎啕大哭的孩子，李澤英緊緊把她們摟在懷里，淚流滿面地許下了一生的承諾：“媽媽走了還有姐姐呢，姐姐永遠(yuǎn)不會丟下你們！”就這樣，李澤英義無反顧地承擔(dān)起了照顧孩子的責(zé)任，開始了艱辛漫長的打工哺養(yǎng)孩子之路。那年，李澤英不到22歲。就在李澤英為了三口人的生計疲于奔命時，卓姓主人的單位又收回了李澤英寄住的房子。無助的李澤英只好帶著兩個孩子在城郊租了一間小屋居住。雖然生活的貧苦和艱難時時刻刻困擾著李澤英，但在她的精心照顧和呵護下，姐妹倆一天天健康長大。XX年9月，在她的努力下，姐妹倆到小學(xué)上學(xué)了。除了日常的生活開支，還要籌措學(xué)費，這使一“家”三口再度陷入困境。幸好此時李澤英的母親得知了女兒的遭遇，不但沒有責(zé)怪女兒，還給予了充分的理解和大力支持，讓李澤英的妹妹來同她們一起生活，共同支撐這個特殊的家庭。XX年，在李澤英的努力和社區(qū)的幫助下，兩個孩子享受了低保。李澤英的事跡感動了貴陽市民，許多媒體都對這位“保姆媽媽”的感人故事進行了報道，李澤英也得到了來自全國各地的幫助和支持。她常說：“我就是一個到城市打工的農(nóng)村女孩，自己做的事情不過如此，卻贏得這么多人的關(guān)心幫助，我很知足。” 如今，小姐妹已經(jīng)升入初三，李澤英也在XX年結(jié)了婚。長期的勞累，使青春過早地從“保姆媽媽”的臉上消褪，但李澤英從不后悔?，F(xiàn)在，她和丈夫帶著姐妹倆和自己的孩子，依舊租住在城郊的小屋里，依舊用汗水和辛勞澆灌著這個溫馨和諧的特殊家庭。李澤英全國誠實守信模范事跡的延伸閱讀——事跡材料寫作注意事項

(1)事實必須真實、可靠。先進典型材料的先進事跡是否真實，直接關(guān)系到先進典型的生命力。只有絕對真實才能使先進典型真正具有教育人、鼓舞人的作用。因此，凡是材料中反映的先進思想、先進事跡和典型經(jīng)驗，一定要認(rèn)真核對清楚，不允許有半點虛假、拔高或拼湊及張冠李戴的情況，不能把道聽途說、未經(jīng)核實的“先進事跡”和“經(jīng)驗”寫入材料。如果確實一時難以搞清楚，寧可暫時不寫，也不能勉強湊數(shù)。

(2)觀點和提法要分寸恰當(dāng)。在敘述先進典型的先進事跡和經(jīng)驗時，要注意擺正先進典型和其他群眾、集體的關(guān)系。許多先進個人、先進集體的事跡，都不是單槍匹馬干成的，是與周圍群眾和其他集體、單位的大力支持分不開的。因此，講先進典型的事跡、經(jīng)驗，一定要注意切不可講那些脫離群眾、脫離整體觀念的過頭話。否則，就不能起到先進典型的帶動作用。

第四篇：李銀畢業(yè)論文

齊 齊 哈 爾 大 學(xué)

畢業(yè)設(shè)計（論文）

題

目

用概率論的方法證明組合恒等式

學(xué)

院

理

學(xué)

院

專業(yè)班級

信息與計算科學(xué) 082

學(xué)生姓名

李 銀

指導(dǎo)教師

崔 繼 賢

成績

****年**月**日

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

摘要

組合恒等式是組合數(shù)學(xué)中的一個組成部分，也是組合數(shù)學(xué)研究的一個重要內(nèi)容.本文主要探討如何利用概率方法研究組合恒等式，主要從不同的角度解答同一概率問題，得到同一事件的概率兩種不同的表達形式，由其相等導(dǎo)出組合恒等式.通過構(gòu)造概率模型，利用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”證明組合恒等式，或者利用古典概率方法證明組合恒等式，也就是在實際問題中將需要證明的組合恒等式引證出來。對于需要被證明的組合恒等式，將所構(gòu)造概率模型中相關(guān)事件的概率計算出來以后，從而推導(dǎo)出式子兩端相等。每種論證方法中首先總的介紹這種方法是用的什么思想，然后列舉例子加以論證，使所述問題更加透徹.關(guān)鍵字：組合恒等式；概率模型； 古典概率； 數(shù)字特征

I

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

Abstract Combinatorial identity is an important part and research field of combinatorics.This paper explores using probabilistic method to derive combinatorial identities.We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question.We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is，the

the equatin will be drawn from the concrete problems.We investigate combinatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type.Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed.Keywords: Combinatorial identity;probabilistic model;classical probability;numeral characters

II

目 錄

摘要............................................................................................................................I Abstract........................................................................................................................II 第1章

緒

論..........................................................................錯誤！未定義書簽。

1.1引言......................................................................................................................1 1.2課題背景............................................................................錯誤！未定義書簽。1.3實際應(yīng)用方面的價值..........................................................................................2

1.4本文主要的研究內(nèi)容..........................................................................................3 1.5相關(guān)工作..............................................................................................................3 第2章 運用概率論的基本理論證明組合恒等式......................................................4 2.1運用完備事件組證明組合恒等式......................................................................4 2.2運用全概率公式證明組合恒等式......................................................................7

2.3運用概率性質(zhì)證明組合恒等式..........................................................................8 第3章 運用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式............................................11 3.1運用隨機變量的數(shù)字特征證明組合恒等式....................................................11 3.2運用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式................................................................18 3.3運用等概率法證明組合恒等式........................................................................22 第4章 由概率方法引申出的恒等式證明................................................................26 4.1 級數(shù)恒等式的證明............................................................................................26 4.2 初等恒等式的證明............................................................................................27 4.3級數(shù)組合恒等式的證明....................................................................................27 總結(jié)..............................................................................................................................31 參考文獻......................................................................................................................32 致謝..............................................................................................................................33

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

第1章

緒

論

1.1引言

當(dāng)前，組合恒等式無論是在中學(xué)還是大學(xué)都應(yīng)用廣泛，很多問題都涉及到這方面的解法.在組合數(shù)學(xué)中，有很多類型的組合恒等式.這么多紛繁復(fù)雜的組合恒等式，我們必須尋求一種最簡便的方法使問題得以解決，查閱過很多資料，通過很多證明方法的檢驗，我們尋求除了一種組合恒等式的證明方法－組合恒等式的概率方法.對于較為簡單的組合恒等式，我們可以一步就分析出結(jié)果，稍復(fù)雜的需要我們演算一兩步達到欲求的結(jié)果，但是并不是所有的組合恒等式都是那么的簡單，有的組合恒等式很復(fù)雜，我們要深入了解，就必須通過一步步的證明、深究，證明組合恒等式的方法有很多，譬如有分類法、概率法、求導(dǎo)法等一系列方法證明組合恒等式.本文，我們選用利用概率方法來證明組合恒等式，我主要介紹這幾種方法：構(gòu)造模型法、概率性質(zhì)法、數(shù)字特征法，這些都是前人通過比較發(fā)現(xiàn)的較為好的方法，我們加以更好的應(yīng)用，我們應(yīng)當(dāng)看到組合恒等式與概率二者的結(jié)合，只要把握了這一點，相信就能夠從中受益匪淺，感觸頗多.含有組合數(shù)的恒等式叫做組合恒等式.簡單的組合恒等式的化簡和證明，可以直接運用課本所學(xué)的基本組合恒等式.事實上，許多試題中出現(xiàn)的較復(fù)雜的組合數(shù)計算或恒等式證明，也往往運用這些基本組合恒等式，通過轉(zhuǎn)化，分解為若干個簡單的組合恒等式而加以解決.我們簡單的介紹四種組合恒等式：二項式組合恒等式、關(guān)于Catalan三角數(shù)的組合恒等式、基于格路模型的組合恒等式、由概率引起的組合恒等式.通過對一些組合恒等式的了解，我們就選用各種概率的方法加以證明它們，達到一個比較完善的效果.1.2課題背景

組合數(shù)學(xué)是以離散結(jié)構(gòu)為主要研究對象的一門學(xué)科，它主要研究滿足一定條 件的組態(tài)(一種安排)的存在性、計數(shù)及構(gòu)造等方面的問題.近幾年，隨著計算機科學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，組合數(shù)學(xué)得到了迅速的發(fā)展。

概率起源于歐洲國家的一種賭博方式——擲骰子。隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要，概率論在20世紀(jì)迅速地發(fā)展起來。柯爾莫哥洛夫首次用測度理論定義了什么是概率。他的公理化方法不僅成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，還使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。

由于其他學(xué)科、技術(shù)的推動，概率論得到飛速發(fā)展，理論課題不斷擴大與深

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)入，應(yīng)用范圍大大拓寬。俄羅斯的彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，繼承和發(fā)展了古典概率論之精華，拯救了瀕臨危機的概率論；變革和制定了一系列研究方法，振興了概率論學(xué)科；提出和創(chuàng)立了概率論新思想，開拓了概率論新領(lǐng)域。由于資料的限制、語言的困難和文化的差異使得國內(nèi)外系統(tǒng)研究彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派概率思想者還甚少，有關(guān)資料相當(dāng)匱乏，一些相關(guān)論述大都出現(xiàn)在綜合性的書籍中，傾向于按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的習(xí)慣給出一般性的解釋，且多為簡要性介紹，讀者難以了解其精髓所在。鑒于彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派在概率論發(fā)展史上的重要地位，本文以概率論思想為主線，通過建立概率模型,對概率思想證明恒等式方面進行了簡單的應(yīng)用。

組合數(shù)學(xué)和概率論的產(chǎn)生都可以追溯到十七世紀(jì)，從17世紀(jì)到20世紀(jì)30年代，組合數(shù)學(xué)受到娛樂及數(shù)論、概率論、化學(xué)等學(xué)科的推動而迅速發(fā)展，得到了一般的存在定理和計數(shù)原理，如抽屜原理、容斥原理、波利亞計數(shù)定理等，還解決了一系列著名而有趣的組合學(xué)問題，如更列問題、家政問題、36軍官問題等，自20世紀(jì)以來，許多理論學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科給組合數(shù)學(xué)提出了大量的具有理論和實際意義的課題，促使了許多新理論的產(chǎn)生，如區(qū)組設(shè)計、組合算法等，從而解決了一系列理論上的以及與經(jīng)濟發(fā)展密切相關(guān)的課題。此外證明常見的組合恒等式中概率的方法也有所應(yīng)用。

1.3實際應(yīng)用方面的價值

大家都知道，在證明初等恒等式的時候，如果我們采用初等方法，在一般情況下比較困難，在許多數(shù)學(xué)分支中，有很多的組合恒等式的形式通常不是顯而易見的，證明它們有一定的難度，這就會使得它們的應(yīng)用受到限制。如果可以對于會有帶來很多的便利。用概率論的方法去解決一些分析學(xué)中的問題或者證明一些組合恒等式，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究的重要方向之一，根據(jù)有關(guān)資料的例子可以看出，運用概率論的方法來證明組合恒等式，是值得我們探討的一個十分有意義的新問題。因為在運用概率論的方法證明組合恒等式時，它的思維靈活，背景生動并且容易理解，表達方式單間，并且效率高而被許多數(shù)學(xué)家所喜愛。但是要熟練掌握這種證明方法，需要掌握知識的內(nèi)部聯(lián)系，而且必須了解知識的客觀背景，弄清楚知識的來龍去脈，編制知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，抓住問題的主要特征。如果在教學(xué)中利用好這類綜合性解題的良好教材，則可以沖發(fā)揮這種類型題材的應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)概率論中，我們首先接觸到得的是古典概型，這些概率模型的特點是所研究的樣本容量中樣本的個數(shù)是有限的，常利用排列組合方法去解決古典概型中的問題，如分配問題，伯努利概型等。對于一些離散型隨機變量，也可用排列組合方法進行討論，如超幾何分布等。反過來，可以通過構(gòu)造這些特殊的概率模型，利用概率模型的性質(zhì)，如概率函數(shù)的規(guī)范性，可以求解一些用常規(guī)方法難證

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)明的恒等式。有些恒等式用常用的分析方法證明是很不易的，如中學(xué)中的排列組合恒等式、或者更復(fù)雜的恒等式的證明，建立了概率模型后，通過求概率的思想，能很方便地把恒等式證明出來。

1.4本文主要的研究內(nèi)容

本課題研究的內(nèi)容是利用概率論的知識，巧妙地將其與組合恒等式有關(guān)的概率構(gòu)造出來并對其計算，分析，同時對組合恒等式加以證明，并由此給出了組合恒等式概率論的方法證明的方法和思路。

用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問題變得簡單，也就是說對于需要被證明的組合恒等式，在構(gòu)造構(gòu)造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機變量的數(shù)字特征，在運用概率論的公式，有關(guān)性質(zhì)，結(jié)論等，將所構(gòu)造的模型相關(guān)事件的概率計算出來，從而可以推導(dǎo)出需要證明的結(jié)論，從而對于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。

1.5相關(guān)工作

用概率論的方法證明一些關(guān)系式或者解決其他一些分析學(xué)中的問題，是概率論的研究方向之一，本篇論文就是這方面應(yīng)用的結(jié)果。關(guān)于組合恒等式的證明我們通常采用的是分析學(xué)的方法，但是用概率論的方法證明一些組合恒等式卻更加的簡便。對于如何使用概率論的方法證明組合恒等式，經(jīng)過本人得仔細(xì)思考，大致總結(jié)了以下幾個方法：

（1）運用完備事件組證明組合恒等式（2）運用全概率公式證明組合恒等式

（3）運用隨機變量的數(shù)字特征證明組合恒等式（4）運用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式（5）運用等概率法證明組合恒等式（6）運用概率性質(zhì)證明組合恒等式

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)第2章 用概率論的基本理論證明組合恒等式

2.1 運用完備事件組證明組合恒等式

這種方法的基本思想是：我們對于一些組合恒等式，可以構(gòu)造出適當(dāng)?shù)哪Ｐ停⑶疫x擇出與組合恒等式相關(guān)的隨機變量，并求出它的分布列

P{??i}?Pi(i?1,2,?,n)?

接著我們再利用完備事件組的性質(zhì)?Pi?1，于是我們便達到了證明組合和恒等

i?1式的目的。

引理 設(shè){A1,A2,?,An}構(gòu)成一個完備事件組，即A1,A2,?,An互斥，nni?Ai?1??，則?P(Ai)?1。[1]

i?1n例

1證明組合恒等式：

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

證明

我們可以利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造成如下概率模型：

假設(shè)盒子里有n副大小不同的手套，現(xiàn)在我們從中隨機抽取2m只（2m

pk?CpCm?kk2m?2k12m?2k(C2)2m2nC(k?0,1,2,?,m)

m根據(jù)完備事件組的性質(zhì)知道：

n?Pk?0k?1

于是可以得到

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

例

2證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

證明

首先我們將公式變形為

CnCkkn?1?CnCk?1kn?1?1

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：一批貨物共n?1個，準(zhǔn)備批發(fā)出廠.若已知其中有一個是廢品，現(xiàn)在從中隨機地抽取k個貨物出來?1?k ?n?1?，問廢品被抽到的概率是多少？抽出k個貨物中沒有廢品的概率又

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)是多少？

若記事件A1為“抽出k個貨物中沒有廢品”的事件，那么事件A2?A1就是“抽到k個貨物中有廢品”的事件，即A1和A2為兩個對立事件.有

P?A1??CnCkkn?1.P?A2??PA1???C1Cnk1k?1Cn?1.由于A1,A2構(gòu)成完備事件組，所以，有

P?A1??P?A2??1.從而有

成立，即有

Cnk?1?Cnk?Cnk?1 成立.例

3證明組合恒等式

CmCn?CmCn0k1k?1CnkkCn?1?Cnk?1kCn?1?1

???CmCn?CmCm?Cm?n(其中m,n,k?N,k?m,k?n)

k?11k0k證明

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：設(shè)盒子中有m張紅色卡片和n張白色卡片，每次取出k(k?m?n)張卡片，求得到i(i?m)張卡片的概率。(i?0,1,2,??,k)

記事件Ai為“取得i張紅色卡片和k-i張白色卡片”(i?0,1,2,??,k)則A0?A1???Ak??，且A0,A1,A2,?,Ak互不相容，kk于是

1?P(?)?P(?Ai)?i?0?P(A)

ii?0k又因為P(Ai)?CmCnik?ikkCm?n這樣得出

?Ci?0imCmk?i?Cm?n

0k1k?1k?11k0kCn?CmCn???CmCn?CmCm?Cm?n 所以

Cm123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2例

4證明組合恒等式

Cn

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)證明

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：將n個箱子排成一列，從紅黑白三種顏色的M張卡片中任取n(n?M)張卡片放到這n個箱子里，如果n張卡片中恰有一張紅色卡片，則包含的基本事件為n2n?1。

記事件Ai為“恰有n-i張白色卡片”（i?n?1），則這n?i張白色卡片放在n個箱子里共有Cnn?1種放法，而對于其他i個箱子只能放1張紅色卡片和i?1張黑色卡片，又有i種方法。所以，事件Ai包含的基本事件數(shù)為iCnn?1 于是

P(Ai)?iCnn2n?1n?1

顯然，A0,A1,A2,?,An互不相容，并且A0?A1???An??

nnin所以

1?P(?)?P(?Ai)?i?1?P(A)??i?1i?1iCnn2n?1n?1

又由于

Cnn?i?Cni

123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2于是

Cn

例5 證明范德蒙（Vendermonde）恒等式

CnCm?CnCm0k1k?1??CnCm?Cn?mk0k

證明 我們首先來構(gòu)造一個如下的概率模型：

設(shè)一個盒子中有n?m張不同的卡片，其中n張紅色卡片m張白色卡片，我們隨機的從中取出k張卡片并且不放回作為一組。

記隨機變量?為取出的n張卡片所包含的紅色卡片數(shù)，我們可以容易的計算出?的分布列為

P{??i}?CnCmkik?iCn?mi?0,1,2,?,min(n,k)

并且由分布列的性質(zhì)我們可以得出

min(n,k)min(n,k)?P{?i?0?i}?1即

?Ci?0inCbk?i?Cn?m

kk1k?1k0k?CnCm??CnCm?Cn?m 但是當(dāng)m?n時 Cnm?0 所以Cn0Cm

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)2.2 運用全概率公式證明組合恒等式

引理

設(shè){Bn}為?的一個有限劃分，即BkBi??（k?i），（k,i?1,2,?,n.）

n?Bk?1k則?A?F?1且P(Bk)?0(k?1,2,?,n)，n，P(A)??P(Bk?1i)P(ABi)成立。

[1]

例

證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明

首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

接著我們利用全概率公式，構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)箱子中有n?m張卡片，但是其中有一張黑色卡片，一張白色卡片，現(xiàn)在隨機從中抽取k張卡片（1?k?n?1）

記事件A為“抽取的k張卡片中含有黑色卡片”

事件A為“抽取的k張卡片中含有白色卡片” 則P(A)?C1CnCkn?10k,由全概率公式：

C1Cnk1k?1P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?Cn?1?C1Cn?1Cnk?11k?2?C1CnCn?1k0k?C1Cn?1Cnk1k?1?Cn?1kk?2Cn?1?Cn?1kk?1Cn?1由于

P?A??P?A??1 從而得出

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

即

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

如果將上述摸卡片模型稍微需做一下改變，設(shè)箱子中有n?1張卡片，其中僅有一張黑色卡片，其余均為白色卡片，就可以證得組合加法公式：

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

如果我們建立如下摸卡片模型：設(shè)箱子里有m張黑色卡片和n張白色卡片，現(xiàn)在從中隨機抽取k（0?k?m?n）張卡片，仿照此例子，利用伯努利概率公式

Pk?Cnkpkqn?k 我們可以證明組合公式

CmCn?CmCn0k1k?1???CmCn?CmCm?Cm?n

k?11k0k

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)2.3 運用概率性質(zhì)證明組合恒等式

我們利用概率的性質(zhì)來證明組合恒等式，這是一種方便的證明方法，而且簡單易懂，通常用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”來證明。

例1 證明組合恒等式 ?Cnk?k?k?0n?112k?2n

證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個人有兩瓶牙簽，每瓶n根，每次用牙簽時，他在兩瓶中任取一瓶．然后抽出一根，使用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽已經(jīng)用完，求另一盒中還有r根牙簽的概率.如果用 A1，A2分別表示甲瓶或者乙瓶中余下r根牙簽.用 Ar 表示一瓶用完，而另一瓶中有r根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一瓶已空時．這一瓶必定在前面已用過n次，另一瓶余下r根，從而另一瓶已用過n?r次，故共用了2n?r?1次.每次取到甲(乙)瓶的概率是12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ?? =C21n2n?r?1??1???????2??2?2n?rnn?r?12Cn2n?r?1??1???????2??2?nn?r

?1?=C2nn?r???2?

n由于r 的取值必定是1,2,?,n之一，故?Ar為必然事件，即

r?1?n?P??Ar??1，?r?1??1?也就是 ?C2nn?r???2?r?1n2n?r?1

令k?n?r, 則k?0,1,?,n?1，?1?所以 ?Cnk?k???2?k?0n?1n?kn?1?1或?Cn?kkk?012k?2.n例2 證明組合恒等式當(dāng)k?n時，齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

kkk1?2?n?1??n2?n?1?C?1???Cn?1???????1?Cn?1???1

n?n?n????1n證明 我們建立如下概率模型：

設(shè)有k張卡片，等可能地投入n個箱子，求每一個箱子中至少有一張卡片的概率.記事件B為每一箱子中至少有一張卡片

事件Ai為第i個箱子中沒有卡片（i?1,2,?,n）則 B?A1?A2?A3???An 根據(jù)容斥原理，得

PB?P?A1?A2?A3???An???

?n?P?A???P?A1i?1i1i2?1nni1?Ai2???

??1?n??i1i2?in?1?1i1?i2??in?1kPAi1Ai2?Ain?1???1??n?1P?A1A2?An?

因為P?Ai???n?1?knk1????1??（i?1,2,?,n）

n??2????1??(對任意的i1?i2)

n??kPAi1Ai2????n?2?knk依次類推，對任意的i1?i2???in，我們有

PAi1Ai2Ai3?????3????1??n??k

PAi1Ai2?Ain?1?n?1????1??n??kk

n??P?A1A2?An???1??n??于是

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)n?i?1n1?1?P?Ai??Cn?1??n??k ?P?AiAi12?i1i2?1i1?i22?2??Cn?1??n??k

??所以1?2?n?1??n2?n?1?PB?C?1???Cn?1???????1?Cn?1??

n?n?n??????kkk1n從而 P?B??1?P?B?

kkk?1?1?2n?1????n即 P?B??1??Cn?1???Cn2?1???????1?Cnn?1?1??nnn????????????

但是由于k?n ,事件B每一箱子中至少有一張卡片為一不可能事件，故

P(B)?0,從而當(dāng)k?nk時.kk1?2?n?1???? C?1???Cn2?1?????(?1)nCnn?1?1??nnn??????1n?1.1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 例3 證明組合恒等式 Cn證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

有一枚均勻的硬幣，我們重復(fù)投擲n次，求它正面向上的次數(shù)的期望。顯然，我們知道?~B(n,)，于是便得出：

2nnn1 E???kp(?i?0?k)??kCi?0kn1n()?2?kCi?0kn2n

而且 ?k???1,第k次試驗正面朝上?0,第k次試驗反面朝上nnk?1,2,?,n

所以便得到 E(?)?E(??k)?k?1n?i?0E?k?n2

?kC那么

i?0kn2n?n2

1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 整理后，得 Cn

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)第3章 運用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式

3.1 運用隨機變量的數(shù)字特征證明組合恒等式

在概率論中，我們可以討論隨機變量的數(shù)字特征，并且通過隨機變量的數(shù)學(xué)期望而進一步證明一些恒等式。而運用隨機變量的數(shù)字特征來證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點，然后構(gòu)造出合適的隨機變量，并且利用隨機變量的數(shù)字特征的定義，性質(zhì)來證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)方差等。利用數(shù)字特征法是證明組合恒等式的一種比較重要的方法，我們在了解了具體概念后就用一系列的例子加以說明并且具體闡述，從而讓我們了解到這種方法是怎樣的一種方法。

引理3.1.1

若隨機變量?的方差D(?),則D(?)=E(?2)?E2(?)引理3.1.2

伯努利概型設(shè)有服從二項分布

Ai?{??i},i?0,.1,2,?,n(其中0?p?1，n為非負(fù)整數(shù)n[1])，并有

?Ci?ninp(1?p)in?i?1[1]

k例1

證明組合恒等式

?Ck?minCk?Cn2mmn?m

證明

當(dāng)m=1和m=2時，我們可以用以下證明方法： 設(shè)?~b（n，p），Pk?Cnkpkqn?k(k?0,1,2,?,n),0?p?1且p?q?1

n當(dāng)m=1時：

E(?)?12n?kCk?0nknpqkn?k?np

令p=，則?kC?n2knk?1n?11n?1，也就是?Ck1Cnk?Cn 2k?1當(dāng)m=2時：

nE(?)?E[?(??1)??]?E[?(??1)]?E(?)?2?k(k?1)Ck?1knknPqkn?k?np

n根據(jù)公式D(?)=E(?)?E(?)，從而得出npq?12n22?k(k?1)Ck?2?n(n?1)2n?2

令p=，則

?k(k?1)Ck?2kn?n(n?1)2n?2

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)以上兩個是特例，它的一般性情況證明如下：

運用推廣的伯努利概型和多項式分布，我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個盒子中有紅黃白三種顏色的卡片若干，每次隨機抽取一張，取后放回，這樣連續(xù)做n次，p1和p2表示每次抽取紅色卡片與黃色卡片的概率，?1和?2表示每次抽到的紅色卡片與黃色卡片的次數(shù)。于是（?1，?2）服從多項分布，其分布律為

P{?i?i,?j?j}?令p1?14,p2?12n!i!j!(n?i?j)!p1p2(1?p1?p2)ijn?i?j，則聯(lián)合分布率為：

n!i!j!(n?i?j)!?122n?1

P{?i?i,?j?j}?n?m

它的邊緣分布為：P(?2?m)?1?i?0p{?1?i,?12?m} 112n同時

?2~B(n,),P(?2?m)?Cnm()m()n?m?Cnm222

因為多項分布的邊緣分布是二項分布，從而兩式相等，也就是：

n?m

?Ci?0m?inCm?i?Cn2imn?m

k所以證得原組合恒等式?CniCkm?Cnm2n?m成立。

k?mm?1例2

證明組合恒等式

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

證明

我們利用隨機變量的數(shù)字特征，構(gòu)造出一下概率模型：

設(shè)一個盒子中裝有n張白色卡片，m張黑色卡片，一張接一張地將卡片取出，直到取出白色卡片為止，求平均要取多少張卡片。

這是求一個隨機變量X的期望值：

記事件{X?i}={取出的前i-1張卡片全是黑色卡片}，?1(X?i)令Xi???0(X?i)?，那么

xi?ixi?

?Xi?0??Xi?0??Xi?x?1??1??0?x

i?1i?x?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

i?1x?im?!由于Xi非負(fù)，所以EX??E(Xi?0)??P(Xi?1?i)??Ci?1Cmi?1n?m

但是我們可以將EX更簡單的表示形式計算出來，于是我們假設(shè)已經(jīng)把所有的同時令X1表示第一張白色卡片之前的黑色卡片n?m張卡片從盒子中取出來了，張數(shù),?,最后Xn?1表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數(shù)，根據(jù)X1的定義：

X1?X2???Xn?1?m,Ex1?Ex2??Exn?!?m

n!m!(n?m)!在考慮x1,x2,?,xn?1的聯(lián)合分布為P{X1?i1,X2?i2,?,Xn?1?in?1}=中i1,i2,?,in?1是非負(fù)整數(shù)，它們的和為m。，其這是因為從盒中取出的n?m張卡片一共有(n?m)!種可能方法。而且，取出的先是i1張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是i2張黑色卡片，接著又是一張白色卡片等等，很明顯，共有n!m!種可能方式。因此，就可以得到上述式子。

于是我們可以得到：X1,X2,?,Xm?1的聯(lián)合分布是i1,i2,?,in?1的對稱函數(shù)，所以對任意n個變量求和，所得到的結(jié)果是相同的，于是我們知道xi的邊緣分布相同。從而

EXi?mn?1(i?1,2,?,n?1),EX?[1?Xi]?1?m?1mn?1?n?m?1n?1

于是我們得出

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

如果采用分析學(xué)的方法來證明這個組合恒等式是非常難的，所以我們采用數(shù)字特征法來證明。

nnkn例3

證明組合恒等式

?kCk?1?n2n?1，?kk?12Cn?n(n?1)2kn?2.證明

我們可以考慮下列隨機變量的數(shù)字特征.設(shè)一名籃球運動員在條件相同下向同一籃筐投籃n次，每次進球的概率為12，考慮“投進籃筐次數(shù)”這個隨機變量X的數(shù)字特征.?1,第k次投進籃筐

記 Xk???0,第k次沒有進籃筐

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)則X1、X2、X3、?、Xn獨立同為二點分布：P?Xi?1??P?Xi?0??（i?1,2,?,n）, 且X?X1?X2???Xn服從二項分布B(n,所以

EX?E(X1?X2???Xn)=?E?Xk??k?1nn1212)

?k?1P?X1?1??n2

D?X??D?X1?X2???Xn??nn?k?1D?Xk??nD?X1??n4

而

E?X??12nn?kP?Xk?0kn?k??12nnn?kCk?1knkn

?

?kCk?1n2?n

2即

?kCk?1?n2n?1

又

E?X???kP?X2k?0?k??12nn?kk?12kCn

E?X2??D?X??E?X?

2?

12nn?kk?12Ckn?n?????

即 4?2?rn2nkCn?n(n?1)2k?12kn?2

例

4證明組合恒等式

?Ck?0kmCnr?k?Cm?n

r證明 考察從由n?m個大人和n個孩子組成的家庭隊伍中選取r?1個人參加親子比賽的問題.所選r?1個人中大人的人數(shù)用X 表示，則隨機變量X服從超幾何分布，且

P?X?k??Cm?1Cnr?1kr?1?kCm?n?1（k?0,1,?,r?1）

于是

E?X??r?1?kk?0Cm?1CnCrkr?1?k ?r?1m?n?1??m?1??r?1?r?1k?1r?1?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?1?m?1??r?1?kr?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?0

令

?1,第k個大人被選中Xk???0,第k個大人未被選中?

P?Xk?1??r?1m?n?（k?1,2,?,m?1）

r?1m?n?1;E?Xk??P?Xk?1??, k?1,2,?,m?1.齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)?

X?X1?X2???Xm?1

?

E?X???E?X???P?Xkk?1k?1nm?1m?1k?1???r?1??m?1?m?n?1k

例

5證明組合恒等式

?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1m?nm(m?1)

證明 一個盒子中裝有m張白色卡片n張黑色卡片，我們進行連續(xù)不放回地抽取卡片，直至摸到白色卡片時為止，下面考察取黑色卡片數(shù)的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機變量?表示取黑色卡片數(shù)

?1,前（i-1）次都是取到的黑色卡?i???0,前（i-1）次至少取到白色卡片n片，第i次也取到黑色卡片一次，或第i次取到白色卡片其中i?1,2，?，n則

????i?1i

又

p??i?1??n(n?1)??n?i?1??m?n??m?n?1???m?n?i?1?

且

E?i?p??i?1? 于是我們得出

nniE????E?i?1???m?n??m?n?1???m?n?i?1?i?1n?n?1???n?i?1?n?m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?3??m?2??m?n???m?2??m?1?nn?n?1?n?n?1??4n?n?1??4?3??m?1??2????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?4??m?n???m?3??m?1?nn?n?1?n?n?1??5n?n?1??4??m?1??3????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?5??m?n???m?4??m?1?nn?n?1??????m?n??m?n??m?1??nm?1?n?n?1????n?n?1??3?2?n?n?1??3?2?1?化簡時，每一次只將最后兩項通分?k個?????????

同時，???k???黑，黑，?黑，白??????? 其中k?0,1,2,?,n.k?1??k?1?.則p???k??Cnk?m/Cm?n

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)從而

E????k?p??k?0nk?1n?1k?1n?k??kn?K?Ck?1kn?m/?k?1??Ck?1m?n?m?n?Cn?1/?m?n??C?m?n??1k?1k?1n?k?1??1

?Cm?nmn/Cm?n?1n 由E?的唯一性知：nmnm?n?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1knm?1

k整理即得：?Cnk??11/Cm??n?1k?1m?nm?m?1?n.例6

證明組合和恒等式

?k?2k?0k?C2n?k??2n?1??C2n?2nn2n

證明

首先，我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)某人有兩瓶牙簽，每一瓶都有n根，每次用牙簽的時候，他在兩盒中任取一盒，然后抽出一根適用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽已經(jīng)用完，求另一瓶中有k根牙簽的概率。

如果用 A1，A2分別表示甲或乙瓶中余下 k根牙簽.用 Ar 表示一盒用完，而另一盒中有 k根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一盒已空時． 這一盒必定在前面已用過 n次，另一盒余下k根，從而另一盒已用過n—k 次，故共用了2 n —k +1 次.每次取到甲(乙)瓶的概率是

12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ???1??1?

=C2nn?r?????2?2??2?1nn?r?1??1?n?C2n?r?????2?2??2?1nn?r

=C于是我們得出：

n2n?r?1????2?2n?r

p???k??C2n?kn?1?????2?2n?k,k?0,1,2,?,n.下面用不同的方法計算隨機變量?的期望值.齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

2n?k根據(jù)定義：E??122n?k?p??k?0nn?k??n?k?Ck?0n2n?k?1?????2?

=?K?2k?0kn?C2n?k

另一方面，設(shè)E??u，由?p???k??1知：

k?0nnnn?u?n??p???k??k?0?K?P??k?0n?1k?0?K??K???n?k??P??k?0n?k???1?????2???n?k??P??2n?k????n?k??Ck?0n?1n?k2n?k???n?k??Ck?0n?1n?1n?k2n?k?1?????2?2n?k??????2n?k??Ck?0n?1k?0n?k?12n?k?1?1????2?2n?k?1?1?????2???2n?k??p??2n?122n?12?k?1??112n?1?p??k?0n?1?k?1??2k?0??k?1??p???k?1??1?p???0????/2

2n?122n移項整理得：E???2n?1??p???0??1?由E?的唯一性知：n?C2n?1

nn122nn?k?0k?2?C2n?k?kn2n?122nC2n?1

整理即得：?k?2k?C2nn?k??2n?1??C2nn?22n

k?0n?1例7 證明組合恒等式 ?k(k?1)(n?k)?2Cn4?1

k?2證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)有n張撲克牌，其中只有3張是K,我們將撲克牌洗一遍之后再從中隨機不放回抽取，直到抽取到第二張K為止，此時抽出的紙牌數(shù)為?，求它的期望。

首先我們先需要計算出?的分布列，按照古典概率的計算：

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)P(??k)?3!(n?3)!(k?1)(n?k)n!?6(k?1)(n?k)n(n?1)(n?2),k?2,3,?,n?1

然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義我們可以得出：

n?1E???kp(?k?2?k)?k(k?1)(n?k)? ?n(n?1)(n?2)k?26n?1另外，我們假設(shè)從最低下開始一張一張地翻牌，直到抽取到第二張K出現(xiàn)為止，此時抽出的紙牌數(shù)目為?，由對稱性可知，?與?有相同的分布列，于是也有相同的數(shù)學(xué)期望，即E??E?,而且它們有關(guān)系：????n?1 對這個式子兩邊求期望：E??E??n?1 所以E??n?12然后將其帶入?式可得

n?1?k(k?1)(n?k)?2C

4n?1k?23.2 運用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式

運用構(gòu)造概率模型證明組合和恒等式大體上分為兩步：

n 第一步，將待證明的組合恒等式改寫為?Pi?1的形式；

i?1 第二步，通過構(gòu)造出合適的概率模型，使得完備事件組Ai(i?1,2,?,n)互斥，n并且?Ai??，同時P(Ai)?pi(i?1,2,?,n)。

i?1 其中第一步需要掌握靈活的恒等式變形能力，以及敏銳的觀察力，而要完成關(guān)鍵的第二步，必須對于古典概率問題有深刻的理解，還要把握許多的綜合條件，同時具有豐富的聯(lián)想能力。由于證明中的關(guān)鍵是對隨機事件概率的逆過程的求解——我們需要由Pk去尋找Ak,故在思考過程中起主導(dǎo)作用的是發(fā)散性思維，創(chuàng)造性思維。

例1 證明組合恒等式 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明 首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)接下來，我們構(gòu)造這樣的概率模型：

一個盒子里裝有n?1張卡片，其中有一張紅色卡片，一張黑色卡片，n?1張白色卡片，現(xiàn)隨機地從盒子中抽取k張卡片.設(shè)事件A為k張卡片中有紅色卡片的事件，事件A的逆事件記為A.則 P?A??C1CnC1k?1kn?1;

設(shè)事件B為k張卡片中有黑色卡片的事件，事件B的逆事件記為B,由事件間的關(guān)系有

A?A?B?B??AB?AB.從而 P?A??P?AB?AB?

?P?AB??P?AB? 所以 P?A??C1C1Cn?1Ckn?101k?1?C1C1Cn?1CCnkn?100k.k?1k由對立事件和得性質(zhì)P?A??P?A??1.可得

k?1kCn?1?Cn?1Cn?1?Cn?1Cn?1kk?1

從而 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

例2 證明組合恒等式 1?Cn?mC1n?11?Cn?m?Cn?m?1C1n?111?C1n?2??Cn?m?C3C2C1C1n?11111?C1m?1C1m?nm.證明 我們首先將公式變形為 CmCn11?CmCn?mCnCn?11111?CmCn?mCn?m?1CnCn?1Cn?2111111???CmCn?m?C3C2C1CnCn?1?Cm?1Cm111111111?1

接下來，我們構(gòu)造這樣的概率模型：

一個盒子中中裝有n張卡片，其中有m張紅色卡片，現(xiàn)在從中連續(xù)取出卡片并且不放回，求取得紅色卡片的概率。

記事件A為取得紅色卡片，事件Ai為第i次取得紅色卡片 于是我們得到 A=A1??A1A2???A1A2A3?????A1A2?An?m?An?m?1? 由加法公式、乘法公式及條件概率的定義，得

P?A??CmC1n1?Cn?mC1n1?CmC1n?11???Cn?mC1n1?Cn?m?1C1n?11??C1C11m?1?CmC1m1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)顯然，只要逐個取卡片，早晚是要取得紅色卡片的.即事件A為一必然事件，故P(A)?1.所以1?Cn?mCn?111?Cn?m?Cn?m?1Cn?1?Cn?21111??Cn?m?C3C2C1Cn?1?Cm?1Cm1111111?nm.古典概率與組合數(shù)有著十分密切的聯(lián)系，某些組合式本身或稍加整理，就具有某種明顯的概率意義.例如

CmCn?mCrnkr?k就可視為下面概率問題的解：“某盒中有n個球，其中有紅球m個，今從盒中任取 r個球，求恰有k個紅球的概率”，基于這一點，對某些組合恒等式，我們可采用古典概率的方法來證明.n?kkn例3 證明組合恒等式 ?CmCr?k?Cm?r?1 ?n?m? ?kk?0n證明 我們構(gòu)造如下古典模型：

一個城市的道路是經(jīng)緯均勻網(wǎng)狀，李某的家庭住址和上班地點恰好分別處于兩個交叉點.以李某的家庭住址所在的兩條路為坐標(biāo)軸、交叉點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，并使李某的上班地點處于坐標(biāo)系第一象限之中.設(shè)李某的上班地點位于點(m?n?r?1,n).考慮李某從家庭住址到上班地點走過的路最短時所選擇的路徑問題，（即在以(0,0)、(0,n)、(m?n?r?1,n)、(m?n?r?1,0)為頂點的矩形內(nèi)，李某從住處到單位上班沿與X軸平行的方向行走時只能向左拐，沿與Y軸平行的方向行走時只能向右拐）.易知，李某從家庭住址到上班地點走過的路最短所選擇經(jīng)過的路徑共有Cm?r?1種不同方式.n記Ak表示事件“李某經(jīng)過端點為(r,k)和(r?1,k)的路徑數(shù)”

Ak所包含的基本事件個數(shù)為:從(0,0)點到(r,k)點走過的路徑數(shù)乘以從(r?1,k)點到(m?n?r?1,n)點的路徑條數(shù).n?kkn?k?Cr?kCm?k 即為 Crk?kCm?n?r?1?(r?1)?n?k? P?Ak??Cr?kCm?kCnm?r?1kn?k（k?1,2,?,n）

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)由Ak的定義知，A0、A1、?Ar構(gòu)成一個完備事件組.?r? ? 1?P?A??k????k?0?n?P?A???kk?0k?0rrCr?kCm?kCnm?r?1kn?k

n?kn上式整理得： ?Crk?kCm?Cm?r?1 ?kk?0令m?n得： Cr0?Cr1???Crn?n?Crn?n?1

n例4 證明組合恒等式 Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

證明 我們構(gòu)造如下古典概率模型：

設(shè)將n張相同的卡片放到r個不同的盒子中，把這一實驗結(jié)果作為一個向量(x1,x2,?,xr)，其中xi表示被分到第i個盒子中的卡片數(shù)，于是滿足 x1?x2???xr?n(?)的向量(x1,x2,?,xr)的個數(shù)。

考慮n張白色卡片與r?1張黑色卡片組成的排列，將每一個這樣的排列與(?)式按照下面的方式對應(yīng)起來：使x1等于排列中第一張黑色卡片左邊的白色卡片的張數(shù)，x2等于第二張黑色卡片間白色卡片的張數(shù)，如此繼續(xù)到xr，它等于最后一張黑色卡片右邊的白色卡片的張數(shù)。很容易得到n張白色卡片與r?1張黑色卡片的所有排列與方程(?)的全體解一一對應(yīng)，由于排列共有

(n?r?1)!n!(r?1)!n?Cnn?r?1個，即解也有Cnn?r?1個，所以得到Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

或者還可以如下：我們很明顯看出x1可取0,1,2,?,n的n?1個值，x2,?,xr可以組成一個r?1維向量(x2,?,xr)

令A(yù)0：當(dāng)x1=0時，(x2,?,xr)的解的個數(shù)為Cnn??rn?

2;?;

An：當(dāng)x1=n時，(x2,?,xr)的解的個數(shù)為Cnn?r?2

nn?Ci?0n?in?i?r?2由于 ?P(Ai)?i?0Cn?r?121

n?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)所以得到 Cnnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

r例5 證明組合恒等式 Crr?m??Cj?0jm?j?1

?1r證明 之前的例子我們證明過這樣一個組合恒等式：Cnr?Cnr??Cn?1 1這個需要被證明的組合恒等式實際就是該組合恒等式的推廣，于是我們建立如下古典概率模型：

現(xiàn)在將m?r張卡片從1進行編號，并從中抽取r張卡片作為一組，用n來表示1,2,?,n號都被選出而n?1號未被選出的最大值，如1號未被選出那么n?0.若1號選上了而2號未被選上，則n?1，如此等等，令n?i，不同組的卡片數(shù)顯然等于從編號為i?2,i?3,?,i?m的卡片中抽出r?i張卡片的選法總數(shù)。于是

rn?i的組有Cr?im?r?i?1個，因此總數(shù)Crm?r滿足Crrm?r??Ci?0r?im?r?i?1

我們令j?r?i得 Crr?m??Cj?0jm?j?1

3.3運用等概率法證明組合恒等式

我們從不同的角度解答同一個概率問題，就可以得到同一事件的概率兩種不同的表達形式，并且由它們相等來證明組合恒等式。在概率問題中，我們往往不能局限在一種思維，其實可以用多角度的思想去解答，這樣也會給證明帶來便利。

1nn???Cn?2 例1 證明Cn0?Cn證明 這是一個重要的組合恒等式, 這里用概率的思想證明.為此我們構(gòu)造如下概率模型：

“某人投籃命中率，現(xiàn)獨立地重復(fù)投籃了n次，問投進的概率是多

21少？”

記事件Ak為投籃n次投進了k次（k?1,2?,n）, 于是問題是求P?A1?A2???An?.由于A1,A2,A3?An兩兩互斥，得

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)P?A1?A2???An???P?A?

kk?1n1??1? =?Cnk??????2??2?k?1nkn?kn??k?1Cn2nk

又因A1?A2???An的對立事件是A1?A2?An，問題可以轉(zhuǎn)化為求1?PA1?A2?An，而 ?? P?A1?A2?An??Cn2n0

Cn2n01?PA1?A2?An?1???

1nn???Cn?2.即Cn0?Cn1例2 證明組合恒等式 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

222證明 根據(jù)組合式的性質(zhì).Cnr?Cnn?r, 原式左邊可變形為：

CnCn?CnCn0n1n?1???CnCn?C2nn0n

兩端同除以C2nn，得：

CnCnC2nn0n?CnCnC2nnkn?1???CnCnC2nnn0?1

我們來觀察上面這個式子式的概率意義，可以構(gòu)造下面的模型：

“一盒子里有2n張卡片，其中n張白色卡片n張紅色卡片，今從中任取n張卡片，求至少有一張紅色卡片的概率.”

記事件A為抽得的n個球中至少有一張紅色卡片；

事件Ai為抽得的n個球中恰有i張紅色卡片

則 P?Ai??CnCnCn2nin?i（i?1,2?,n）

而 A?A1?A2???An 且 Ai?Aj?? ?i?j? 根據(jù)有限可加性，得

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)P?A??P?A1??P?A2????P?An? ?CnCnC2nn1n?1?CnCnC2nn2n?2???CnCnC2nnn0

另一方面 A?{ 抽得的 n 張卡片都是白色卡片 } 而 P?A??CnCnCn2n0n

CnCnC2nn0n于是

P?A??1?PA?1???

所以 CnCnCn2n1n?1?CnCnCn2n2n?2??CnCnCn2nn0?1?CnCnCn0nn2n CnCn?CnCn2001n?1???CnCn?C2n2n01即 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

2m例3 證明組合恒等式 ?CniCnm??ii?Cnm?2m

i?0證明 我們構(gòu)造以下概率模型：

設(shè)箱子中有n付大小不同的手套，現(xiàn)在我們隨機從中取出m只，計算取出的手套全不配對的概率.把從2n只手套中取出m只不同手套的組合作為樣本點，則樣本點總數(shù)為C2nm.記事件A為取出的m只手套全不配對，接下來計算P(A).方法一 A發(fā)生要求m只手套必須取自于不同型號種類的手套，而手套的種類有n種，因而m只手套可有n種可供選取，共有Cnm個選取種數(shù).同時，在每一

1種類型號的手套中又有“左”、“右”兩只手套可選擇，有C2種取法，這樣，取11??C（出m只手套共有C2m個）種取法.綜合上述，A的基本事件數(shù)目為Cnm?2m，2則P?A??Cnm?2m/C2mn.方法二 令A(yù)i?取出的m只手套中含有i個“左”只手套，i?0,1,?m.顯然

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)A??Ai 且 AiAj??（i?j)則 P?A??i?0m?P?A?.又因為A中的i只“左”

imii?0手套可有n種“左”手套可供選取，共有Cni種取法.其余另外的m?i只手套全是“右”手套，為了使得取出的m只手套全不配對，那么，這n?i只“右”手套只能在剩下的n?i種型號的手套所對應(yīng)的n?i“右”手套中選取，共有Cnm??ii種取法.于是，由乘法原理可得，Ai的基本事件數(shù)目為CniCnm??ii（i?0,1,2?m）那么

P?Aii??Cim?nCn?i/Cm2n mm由此可得 P?A???P?A?im?ii??CnCn?i/Cm2n

i?0i?0綜合上述可得組合恒等式:

m?Cim?imnCn?i?Cn?2m i?0n例4 證明組合恒等式 ?Cin?iaCb?Cna?b?Cnb

i?1證明 我們構(gòu)造如下的概率模型：

設(shè)一個盒子中有a張黑色卡片，b張白色卡片，我們現(xiàn)在從中隨機抽取

(n?min(a,b))張卡片，求所取的卡片中至少有一張黑色卡片的概率。

記事件A為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片；

事件Ai為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片（i?1,2,?,n）

nn那么A1,A2,?,An是互不相容事件并且?Ai??，則?P(Ai)?1

i?1i?1in?i而

P(AaCbi)?Cn(iC?1,2,?,n)

a?bni?in?CaCnb于是

P(A)??P(A)?i?1in

i?1Ca?b記事件A為任取的n張卡片中沒有黑色卡片

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

n則

P(A)?CbCna?b

Cbnn那么

P(A)?1?P(A)?1?nCa?b

所以我們得到

?Ci?1iaCbn?iCna?b?1?CbCnna?b

n整理可得

?Ci?1iaCbn?i?Ca?b?Cbnn

第4章 由概率論方法引申出的恒等式證明

4.1 級數(shù)恒等式的證明

?例 證明級數(shù)恒等式 ?n?1n(n?1)!?1

證明 我們建立如下概率模型：

設(shè)有一個盒子，里面裝有黑色卡片和白色卡片，設(shè)其為事件A，其中白色卡片一張，黑色卡片無數(shù)張，則事件A只包含兩個基本事件摸出為黑色卡片（設(shè)為事件B）和摸出白色卡片（設(shè)為事件C）的隨機試驗，我們進行有放回的隨機抽取卡片，并且為獨立重復(fù)n次試驗，則在第k次試驗中，B出現(xiàn)的概率P(k)，不出現(xiàn)的概率為Q(k)，則Q(k)?1?P(k)。

現(xiàn)令T(n)表示在n次獨立試驗中B首次出現(xiàn)在第n次試驗中的概率，于是有T(1)?P(1)，T(2)?Q(1)P(2)，??，T(n)?Q(1)Q(2)??Q(n?1)P(n), 令P(N)??T(n)，?(N)??Q(n)，則有P(N)??(N)?1。

n?1n?1NN取P(n)?nn?1，則?(N)??Q(n)??n?1NNn?1NNN1n?1n，N故P(N)??(N)??T(n)??Q(n)??n?1Nn?1n?1（n?1）!???n?11n?1?1

由于N??，lim?1n?1N??n?1?0，所以有?n?1n(n?1)!?1，齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)4.2 初等組合恒等式的證明

例

證明下面兩個組合恒等式

?1(1)Cnr?Cnr?1?Cnr?1

其中n,r,s,?N

(2)Cns?1?Cn?1?Cn?2????Cs 其中n,r,s,?N sss證明

(1)我們建立如下概率模型：

設(shè)一個盒子中裝有n張卡片,其中僅有一張紅色卡片，現(xiàn)從盒子中取出r張卡片，則有Cnr種取法。于是我們可將這Cnr種取法分為兩類：一類是包含紅色卡片的，取定了那個紅色卡片之外，還需在剩下的n?1張卡片中取出r?1張卡片來，?1共有C11Cnr?種取法；另一類是不含紅色卡片，應(yīng)在除去紅色卡片后的n?1張卡片1中取出r張卡片，因此共有C10Cnr?1種取法，并且這兩類取法之和即為取法總數(shù)，即Cnr種取法。所以有

Cn?C1Cn?1?C1Cn?1?Cn?1?Cn?1，故(1)式得證。

下面證(2)式：

對(2)式作變換：令r?s?1有

Cns?1r1r?10rr?1r?Cn?1?Cn?1

s?1ss?1s再令n?n?1有

Cn?1?Cn?2?Cn?2

以此類推…

Cs?2?Cs?1?Cs?1?Cs?Cs?1

s?1sss把上面的式子左右各相加，化簡有 Cn?Cn?1?Cn?2?......?Cs。

s?1s?1s?1sss(2)式得證。

4.3 級數(shù)組合恒等式的證明

例

證明下面的級數(shù)組合恒等式

ki?0(1)?CCimk?in?Ckn?mki?0

(2)?CC?Ciminnn?mki?0

(3)?CnCn?ii(2n)!(n!)2

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)

??0當(dāng)1?r?nn?kkr?(?1)C(n?k)?當(dāng)r?n(4)?n!nk?0?n(n?1)?n!當(dāng)r?n+1?2證明

(1)我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個盒子中有n張白色卡片和m張黑色卡片，我們現(xiàn)從中隨機地取出k張卡片，考慮取出的k張卡片中有i張白色卡片的事件Ai(i=0，1，?，k)的概率，于是可得

P?Ai???A0,A1，??，AkkkCmCnCik?ikn?m，i?0,1,2??????k，是互不相容的事件，且這k?1個事件之并是必然事件，即UAi??，則?P(Ai)?P(?)?1，i?0i?0k于是?CmCnkik?iki?0i?0Cn?m?1，即?CmCnik?i?Cn?m.k(2)令k?n，由式(1)可得式(2)；(3)令n?m，由式(2)可得式(3)。(4)欲證此等式，首先引入一個引理

引理：設(shè)隨機事件A1，A2,??????,An滿足

P(Ai)?p1,(i?1??n)

P(Ai1Ai2)?p2,(1?i1?i2?n)

P(Ai1Ai2Ai3)?p3,(1?i1?i2?i3?n)

??，P(A1A2??An)?pn，nk?1nk?1則有P(?Ak)??(?1)k?1CnP(k)

（1）

k為了證明本式，我們建立如下概率模型：

從1到n這n個自然數(shù)中每次任取一數(shù)，有放回地抽取r次，令A(yù)i={取出的r個

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)數(shù)均不等于i，i?1，2，??，n則

pk?P(Ai1Ai2??????Aik)?(nk?1nk?1n?knk?1),(1?i1?i2????ik?n,k?1,2??n)

n?knr則由(1)式P(?Ak)??(?1)Cn(k)，（2）

nr當(dāng)1?r?n時，必存在i使得取出的r個數(shù)均不等于i，因此?Ai是必然事件，于

i?1是，由(2)式有

n?(?1)k?1k?1C(knn?kn_r)?P(?Ai)?1?C，即

?(?1k)?1Cnkn(?k)?，0

rni?10nnk?1① 當(dāng)r?n時，Ai={取出的n個數(shù)中至少有一個等于i}，i = 1,2,?,n，于是，n?Ai?{取出的n個數(shù)均不相同}，由[7]知其概率為i?1n!nn，從而有

n!nnni?1ni?1P(UAi)?1?P(?Ai)?1?n

kkr(?k)?n!把上式代入(2)式整理可得

?(?1)Cnnk?0ni?1ni?1② 當(dāng)r?n?1時，則?Ai?{取出的n?1個數(shù)恰有兩個數(shù)相同}，其概率P(?Ai)，n于是得出可知 P(?Ai)?i?1n!nnn?1Cn?1，2n!2P(UA)?1?P?(A?)?1C從而有

iin?1 n?1i?1i?1nnnk?o代入(2)式整理可得?(?1)Cn(n?k)?n!Cn?1?kkr2n(n?1)2n!

③ 當(dāng)r?0時，考慮隨機試驗：從大于n的自然數(shù)中任取一數(shù)，令A(yù)i={取出的數(shù)大于i}，i =1,?,n，則顯然

pk?P(Ai1Ai2??Aik)?1,(1?i1?i2????ik?n,k?1.2.?.n)

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kk且?P(UAi)?1?C，代入(1)式整理可得?(?1)Cn?0，k?oi?10nnnnk?o??0當(dāng)1?r?nn?kkr當(dāng)r?n所以有 ?(?1)Cn(n?k)??n!

k?0綜上所述，證明完畢。

??n(n?1)?2n!當(dāng)r?n+130

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總 結(jié)

本文通過概率理論給出了證明組合恒等式的方法，主要應(yīng)用了概率論中的古典概率，完備事件，互不相容，基本事件總數(shù)等相關(guān)知識。其主要思想是針對所要證明的組合恒等式構(gòu)造出適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停蟪鲈撃Ｐ椭杏嘘P(guān)事件的概率。而構(gòu)造概率模型來證明組合恒等式的基本方法是：首先根據(jù)需要被證明的組合恒等式特點建立相對應(yīng)的概率模型；然后在概率模型中分析思考問題。然后根據(jù)概率的一些性質(zhì)，推出應(yīng)有的結(jié)論。組合恒等式的證明方法有很多，而用概率論的方法來證明組合恒等式不僅提供了組合恒等式的不同證明途徑，而且有助于加深我們對概率論基礎(chǔ)知識的理解和掌握。

本文主要研究了如何運用概率論的方法證明一些組合恒等式，一共分為三章：

第一章緒論中，簡單介紹了概率論方法研究的背景和發(fā)展?fàn)顩r，自然引出了需要研究的問題；

第二章主要介紹如何運用概率論的基本理論來證明組合恒等式； 第三章主要介紹如何運用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型；來證明組合恒等式； 第四章針對前面的證明方法進行推廣證明一些其他的恒等式，以便于更加深刻理解這種用概率理論證明恒等式的好處。

組合恒等式的證明問題通常需要超高的技巧，有意識的積累一些組合恒等式的證明方法是很有益的。特別是運用概率論的方法證明，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ图右哉f明和解釋則非常有助于恒等式的記憶，理解與運用。

通過對本文的深入研究，不但使我對于概率論的方法證明組合恒等式有了更深一步了解，而且了解概率論在科學(xué)研究和實際生活中的很多應(yīng)用，這更堅定了我努力研究數(shù)學(xué)知識并將這些知識應(yīng)用于生活中的決心。

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參考文獻

[1] 紀(jì)玉卿，祝廣大.組合恒等式的概率證法[J].許昌師專學(xué)報, 1999，18(5)：84-87 [2] 譚毓澄，張勁松，王玉娟.由一概率問題引出的組合恒等式[J].江西教育學(xué)院學(xué)報（綜合），2008，29(6): 7-8

[3] 田俊忠，魏淑清.恒等式的概率方法證明[J].固原師專學(xué)（自然科學(xué)版）,1997，18(13): 10-12

[4] 盧開澄,盧華明.組合數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2006

[5] 姚仲明.恒等式證明的概率模型法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）, 2003,9(4)：37-38

[6] 張?zhí)?用概率思想證明組合恒等式[J].《張?zhí)剑河酶怕仕枷胱C明組合恒等式》1999，10(2)：67-70

[7] 潘茂桂.用概率方法證明組合恒等式[J].牡丹江師范學(xué)院報(自然科學(xué)版).2000，1(2):39-40

[8] 潘茂桂，撒曉嬰.用概率方法證明組合恒等式[J].西南民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1993，11(4):436-440

[9] 鮑煥明.組合恒等式的概率證明[J].牡丹江師范學(xué)院報(自然科學(xué)版).2000, 1(2):39-40

[10]Brualdi R A.Introductory combinatorics [M].New York:North-Holland, 1997,1-50.[11]Probablity Theory I 4th Edition [M].New York:Springer-Verlag,1977,189-195.32

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致 謝

我要感謝我的導(dǎo)師崔繼賢老師，他為人隨和熱情，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心。在閑聊中他總是能像知心朋友一樣鼓勵我，在論文的寫作和措辭方面他總會以“專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)” 嚴(yán)格要求我，從選題定題開始，一直到論文最后的反復(fù)修改，潤色，崔老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給與我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)，幫助我開拓研究思路，熱心點撥，熱忱鼓勵。正是崔老師的無私幫助與熱忱鼓勵，我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成，再次謝謝崔老師。

然后還要感謝大學(xué)四年來所有的老師，為我打下數(shù)學(xué)專業(yè)知識的基礎(chǔ)，感謝李學(xué)院和我的母?！R齊哈爾大學(xué)四年來對我的大力栽培。

最后我要感謝我四年的大學(xué)同學(xué)，感謝我的家人和那些永遠(yuǎn)忘不了的朋友，他們的支持與情感，是我永遠(yuǎn)的財富

第五篇：李澤虓工作總結(jié)

第一大隊工作總結(jié)

新學(xué)期的到來，同學(xué)們來到了華北理工大學(xué)輕工學(xué)院，在這里我們開始了自己新的旅途。2017年9月10號，新生報到的日子，我們帶著自己的夢想聚到了一起。

（一）軍訓(xùn)生活

在炎炎烈日下，學(xué)校組織為期將近兩周的軍訓(xùn)。我們開始了大學(xué)的第一堂課，站軍姿，我們和其他人一樣，一開始對軍訓(xùn)是滿懷期待的，但是頻繁重復(fù)的訓(xùn)練也開始讓一些同學(xué)吃不消。我們從興奮開始慢慢的變成了堅持，這個過程很累，但是也促進了同學(xué)們之間的友誼。有人說：“軍訓(xùn)是一支強心劑，它能讓同學(xué)們在短時間內(nèi)融入班級體中”，的確，正因為軍訓(xùn)，我們變得更加的團結(jié)。

但是通過軍訓(xùn)也反映出了以下幾點內(nèi)容：

1.有些同學(xué)的身體素質(zhì)太差，對于訓(xùn)練項目無法達到教官的標(biāo)準(zhǔn)。2.見習(xí)的人數(shù)較多，有些同學(xué)存在一定的偷懶行為。

當(dāng)然通過軍訓(xùn)，帶給我們的不僅僅是身體素質(zhì)的提高，而且還有團隊意識的提升。在軍訓(xùn)期間，我們組織了軍訓(xùn)大合唱，用歌聲來張揚我們這一屆的青春，最后獲得了學(xué)校二等獎，在軍訓(xùn)匯演中，我們喊著響亮的口號，邁著整齊的步伐，走過主席臺，以飽滿的精神來向我們未來的大學(xué)生活進行吶喊，我們相信，未來

-1-我們會因自己的那份堅持而更加美好。

（二）學(xué)習(xí)生活

軍訓(xùn)的結(jié)束，意味著大學(xué)的生活才剛剛開始，根據(jù)學(xué)校規(guī)定，財務(wù)1班~財務(wù)8班被分為第一大隊。我們開始了正常的學(xué)習(xí)進程。面對新的課堂，每個同學(xué)都有一絲的激動。通過每天的學(xué)習(xí)，我們更加掌握自己的專業(yè)知識。

（三）晚自習(xí)學(xué)習(xí)

為了貫徹學(xué)校的學(xué)風(fēng)建設(shè)，營造一個良好的學(xué)習(xí)氛圍，華北理工大學(xué)輕工學(xué)院規(guī)定了晚自習(xí)學(xué)習(xí)的任務(wù)，我們的晚自習(xí)分為兩個部分，前半個小時集體通過ismart軟件來學(xué)習(xí)英語，后一個小時，用來讓每個同學(xué)自己復(fù)習(xí)自己的內(nèi)容。

學(xué)校安排了學(xué)生及老師來檢查我們的晚自習(xí)秩序及缺勤情況。每個班的班長，團支書，及大隊委員都積極配合工作，為我們提供了一個安靜的學(xué)習(xí)環(huán)境。總隊學(xué)委會根據(jù)每周同學(xué)們對ismart的使用情況來判斷每個大隊晚自習(xí)學(xué)習(xí)英語的狀態(tài)，這也成為各大隊晚自習(xí)學(xué)習(xí)比拼的重要因素之一。所以第一大隊的同學(xué)們

-2-都在努力，把握晚自習(xí)的時間，積極利用好晚自習(xí)每一分鐘，為此在晚自習(xí)的評比中，第一大隊還獲得了晚自習(xí)優(yōu)秀大隊稱號。而且多名同學(xué)在晚自習(xí)的學(xué)習(xí)中獲得了周標(biāo)兵、月標(biāo)兵的稱號。

（四）早操鍛煉

為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，學(xué)校規(guī)定，我們每天早晨要進行早鍛煉，早鍛煉我們以軍體拳、廣播體操、擒敵拳、為訓(xùn)練項目，通過每天早晨跑操來鍛煉同學(xué)們的身體素質(zhì)。早操的訓(xùn)練項目之后會進行評比，我們在軍體拳的比賽中獲得了第二名的好成績。這是我們大家共同努力的結(jié)果，我們也相信，在未來我們能在早鍛煉的評比中拿出更好的成績。

（五）活動內(nèi)容

1.第一大隊積極舉辦了學(xué)習(xí)貫徹十九大精神的主題團日活動。動員第一大隊全體同學(xué)響應(yīng)習(xí)總書記在十九大報告中對青年的寄語，爭做做新時代的新青年，牢記使命，不忘初心。在活動中，同學(xué)們通過唱歌、跳舞、朗誦等多種形式來講述我們眼中的十九大。我們的導(dǎo)員組織我們利用彈性晚自習(xí)的時間觀看電影《建軍大業(yè)》，使每個同學(xué)感悟頗多。不忘初心，牢記使命！我們作為新時代的青少年，應(yīng)該熱愛祖國，勤奮學(xué)習(xí)。

-3-2.通過在禮堂的講座學(xué)習(xí)，第一大隊全體學(xué)生干部進行了總結(jié)，在現(xiàn)如今的管理階層，我們對于整個班級的作用起到了承上啟下的作用，是連接老師與同學(xué)們之間的重要橋梁，當(dāng)同學(xué)們遇到了生活上或是學(xué)習(xí)上的苦難時，我們要首當(dāng)其沖的站出來。

3.在11月份，我們進行了德育開題，我們的輔導(dǎo)員張翠翠老師告知我們，要在大一樹立好自己的目標(biāo)。在班會上，張翠翠老師給我們提出了七點問題：

關(guān)于夢想、關(guān)于學(xué)習(xí)、關(guān)于感情、關(guān)于親情、關(guān)于兼職、關(guān)于社團活動、關(guān)于課余時間的安排等，張翠翠老師希望我們能夠明確自己的大學(xué)規(guī)劃，充分的利用好每一分鐘，讓我們能在大學(xué)生活中不留遺憾。

4.中華人民共和國教育部令第41號于2017年9月1號開始實行，入學(xué)后，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)與教師的引導(dǎo)下，第一大隊全體同學(xué)一致學(xué)習(xí)教育部下發(fā)的41號令，同學(xué)們深有心得體會。在學(xué)習(xí)過程中，我們一起與導(dǎo)員交流并開展班會，使41號令內(nèi)容充分貫徹每個學(xué)生的內(nèi)心。

（六）宿舍整理

為了培養(yǎng)良好的宿舍環(huán)境，我們的導(dǎo)員張翠翠老師每天都會不定時的查看我們的宿舍衛(wèi)生，東西的擺放位置，床鋪的整理，都是每天檢查的要點，雖然有時候我們會偷點懶，但是，也正是因為這樣的嚴(yán)加檢查，才讓我們的宿舍衛(wèi)生得以干凈整潔，在宿舍評比中第一大隊的多個宿舍被評為優(yōu)秀宿舍，給同學(xué)們做出了很好的榜樣。宿舍衛(wèi)生的整理就相當(dāng)于給自己在大學(xué)中的家創(chuàng)造一個良好的生活環(huán)境，我們每個人都義不容辭。

（七）主題班會

在輕工學(xué)院已經(jīng)有半年時間，其中少不了的就是大大小小的班會。半年時間，張老師組織我們進行了多次主題班會。新學(xué)期開始，老師帶領(lǐng)我們認(rèn)識學(xué)校、了解學(xué)校，我們知道了輕工學(xué)院的發(fā)展歷史和教學(xué)優(yōu)勢。開學(xué)一段時間后，張老師又開展主題班會與我們談心，幫我們解決在大學(xué)生活中遇到的瑣事。十九大的開展，老師又帶我們學(xué)習(xí)十九大內(nèi)容，與我們展開討論，領(lǐng)導(dǎo)我們做一名對國家有用的人才，熱愛我們的祖**親。這半年來大大小小的主題班會，讓我們適應(yīng)了大學(xué)生活，學(xué)習(xí)了社會經(jīng)驗，學(xué)會處理生活中大大小小的事情。

（八）運動會

一年一度的運動會如期而至，這是我們大學(xué)生活的第一次集體的活動，我們每個人都很期待，運動會的前期工作是開幕式，我們積極參與開幕式的節(jié)目中來。在運動會準(zhǔn)備期間我們利用休息時間加練瑜伽和體育舞蹈，希望在運動會上展現(xiàn)出更好的自己。

運動會來臨之前，翠翠老師動員我們積極參加，認(rèn)真訓(xùn)練，爭取在運動會奪的好成績。當(dāng)然，每一個想?yún)⒓舆\動會的同學(xué)也在積極的準(zhǔn)備，在運動會的每個比賽項目中，都有第一大隊同學(xué)的身影，他們頑強拼搏，為隊爭光！在體育賽場上發(fā)出著不一樣的光芒！

（九）五個一活動

2017年11月20號至25號我們第一大隊組織開展了五個一活動，讀一本好書，寄一封家書，看一部好電影，參加一個組織，開一次好班會。

書的力量是無窮的，在‘五個一’主題教育中，‘讀一本好書’讓我們認(rèn)識到自我管理，自我教育的重要性，導(dǎo)員張翠翠老師在班會上曾說過：“只有讓我們實現(xiàn)了自我教育，我們的思想道

-6-德素質(zhì)、精神風(fēng)貌和就業(yè)質(zhì)量等才會有明顯的提升。” 在‘寄一封家書’活動中，我們并不是采用書信的方式，我們的一個保平安的短信、一個祝福、一個電話都是‘家書’，在這個活動中，張翠翠老師希望同學(xué)們離家在外的時候能多和父母聯(lián)系聯(lián)系。在看一部好電影的活動中，我們看的是《建軍大業(yè)》，這是一部描寫我國軍隊建軍的愛國影片，該電影主要以1927年南昌起義這一重要歷史事件進行展開，描寫中國軍隊偉大的建軍篇章，展現(xiàn)了人民軍隊的光輝歷程。

在五個一活動中，我們通過多種方式，來表達自己，我們學(xué)會了感恩，我們學(xué)會了管理，我們希望這種活動能夠在以后多多開展。

（十）元旦晚會

在新學(xué)期要結(jié)束的時候，我們迎來了的2018年。我們舉行了第一大隊元旦晚會，第一大隊八個班級的同學(xué)齊聚一堂，同學(xué)們各展才藝，帶來了歡聲笑語。每個舞蹈、歌曲、相聲、小品、游戲都各具特色，精彩紛呈！元旦晚會的成功舉辦，使第一大隊的同學(xué)之間，又多了相互了解，使每位同學(xué)有了展現(xiàn)自己的機會，使整個第一大隊更加團結(jié)向上。

-7-我們在2017年相遇，我們用自己的個性來表達我們的態(tài)度，第一大隊的所有同學(xué)們團結(jié)一心，在最美好的年紀(jì)奮力拼搏著，經(jīng)過了一個學(xué)期的相處，無論是在學(xué)習(xí)上還是在活動上，第一大隊所有同學(xué)將會以一個更加努力的心態(tài)來展現(xiàn)自己。