第一篇：利用小o技術(shù)求分式函數(shù)的極限

?n試?yán)眯技術(shù)證明:lim?x?1???n?11????1?x??

證：對任意自然數(shù)n，容易得到：

nn?1n(1?xn?1)?(n?1)(1?xn)?,?1?x(1?x)(1?x)

n(n?1)xn?1?[(x?1)?1]n?1?n(x?1)?(x?1)2?o((x?1)2)，或者

xn?1?[(x?1)?1]n?1?n(x?1)?o((x?1))

于是有：

n(1?xn?1)?(n?1)(1?xn)?(n?1)(xn?1)?n(xn?1?1)

n(n?1)?(n?1)[n(x?1)?(x?1)2?o((x?1)2)](n?1)n?n[(n?1)(x?1)?(x?1)2?o((x?1)2)](n?1)n??(x?1)2?o((x?1)2)(1?xn)(1?xn?1)?(xn?1)(xn?1?1)

?[n(x?1)?o((x?1))][(n?1)(x?1)?o((x?1))]?n(n?1)(x?1)2?o((x?1)2)

(n?1)n22?(x?1)?o((x?1))?n?n?1因此lim????limx?1?1?x?x?1n(n?1)(x?1)?o((x?1))??

(n?1)no((x?1)2)(n?1)n???(x?1)??1?lim?x?1o((x?1))n(n?1)?(x?1)

第二篇：求函數(shù)極限方法的若干方法

求函數(shù)極限方法的若干方法

摘要： 關(guān)鍵詞：

1引言：極限的重要性

極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。

2極限的概念及性質(zhì)2.1極限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時就有 xn?A <。

2.1.2limx→∞f x =A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當(dāng) x >時就有 f x ?A <。類似可以定義單側(cè)極限limx→+∞f x =A與limx→?∞f(x)。2.2.3類似可定義當(dāng)，整數(shù)，使得當(dāng)

時有

。，時右極限與左極限：。在此處鍵入公式。

2.2極限的性質(zhì)

2.2.1極限的不等式性質(zhì)：設(shè)若若，則，使得當(dāng)，當(dāng)

時有

。時有時有，則

；

。，則

與，使得當(dāng)

在的某空心鄰

時，時有，則。

。

2.2.1（推論）極限的保號性：設(shè)若若,則，使得當(dāng)，當(dāng)2.2.2存在極限的函數(shù)局部有界性：設(shè)存在極限域有

內(nèi)有界，即3求極限的方法

1、定義法

2、利用極限的四則運算性質(zhì)求極限，3、利用夾逼性定理求極限

4、利用兩個重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限，6、利用洛必達(dá)法則求極限，7、利用定積分求極限，8、利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限

9、利用變量替換求極限，10、利用遞推公式求極限，11、利用等價無窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，13、利用泰勒展開式求極限，14、利用兩個準(zhǔn)則求極限

15、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

16、利用單側(cè)極限求極限

17、利用中值定理求極限 3.1定義法

利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)的,總存在一個正整數(shù)

.，當(dāng)

是一個數(shù)列,是實數(shù),如果對任意給定,我們就稱是數(shù)列

時,都有的極限.記為例1 證明

證 任給，取，則當(dāng)時有

，所以。

3.2利用極限的四則運算性質(zhì)求極限 設(shè)，，則

。，例1求解 這是求

型極限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夾逼性定理求極限

當(dāng)極限不易直接求出時, 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。3.3.1（數(shù)列情形）若則。，使得當(dāng)時有，且，3.3.2（函數(shù)情形）若，則，使得當(dāng)。

時有，又

例題

解 ：，其中，因此。

3.4利用兩個重要極限球極限 兩個重要極限是，或。

第一個重要極限可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時，才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=故 例題23.5利用迫斂性求極限 ,且在某個。

內(nèi)有,那么

.則sinx=sin（t)=sint, 且當(dāng)

時

例 求的極限

解：因為.且 由迫斂性知

所以

3.6利用洛必達(dá)法則求極限

假設(shè)當(dāng)自變量和趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)

和

和

滿足：的導(dǎo)數(shù)不為0的極限都是或都是無窮大都可導(dǎo)，并且存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達(dá)法則求極限，可連續(xù)進(jìn)行運算，可簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但是運用時需注意條件。

例題 求

解 原式=注：運用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點：

1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時不可求導(dǎo)。

2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。

3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會錯誤。

3.7利用定積分求極限

利用定積分求和式的極限時首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 例

上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。

解 原式=，由定積分的定義可知。

3.8利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限 利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時常用到。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時, 這個無窮小量可用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡單化。例

解 注意時。

3.9利用變量替換求極限

為將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點，適當(dāng)?shù)囊胄伦兞浚瑏硖鎿Q原有變量，使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。

例 已知證 令

試證

則時，于是

當(dāng)時），故時第二、三項趨于零，現(xiàn)在證明第四項極限也為零。因有界，即，使得

。所以

（當(dāng)

原式得證。

3.10利用遞推公式求極限

用遞推公式計算或者證明序列的極限，也是一常見的方法，我們需要首先驗證極限的存在性。在極限存在前提下，根據(jù)極限唯一性，解出我們所需要的結(jié)果，但是驗證極限的存在形式是比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)來解決。

例 設(shè)，對，定義

且

。證明 時，解 對推出遞推公式解得,，因為，因此，序列

中可以得出

是單調(diào)遞增且有界的，它的極限，設(shè)為，從，即。

3.11利用等價無窮小量代換求極限 所謂的無窮小量即，例如 求極限 解 本題屬于有

型極限，利用等價無窮小因子替換

=

=,，稱

與

是

時的無窮小量，記作

注：可以看出，想利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的 等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能利用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。

小結(jié):在求解極限的時候要特別要注意無窮小等價代換,無窮小等價代換可以很好的簡化解題。

3.12利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

在若處連續(xù)，那么且

在點連續(xù)，則。

例 求的極限

解：由于

及函數(shù)在處連續(xù)，故

3.13利用泰勒展開式求極限 列舉下 例題

3.14利用兩個準(zhǔn)則求極限

3.14.1函數(shù)極限迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）：若一個正整數(shù)，并且例題

3.14.2單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，并且極限唯一。,當(dāng)時，則

則。

利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式求極限。例題

3.15利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則，首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項的極限。例題

3.16利用單側(cè)極限求極限

1）求含的函數(shù)

趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)

趨于的極限;2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3）分段函數(shù)在分段點處的極限;4）含偶次方根的函數(shù)以及

或的函數(shù)，趨向無窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在。例題

3.17利用中值定理求極限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2積分中值定理

第三篇：求函數(shù)極限的常用方法

求函數(shù)極限的常用方法

袁得芝

函數(shù)極限是描述當(dāng)x→x0或x→∞時函數(shù)的變化趨勢，求函數(shù)極限，常用函數(shù)極限的四則運算法則和兩個重要結(jié)論limnnlim1x?x0，?0.涉及到單側(cè)極限與nx?x0x??x

雙側(cè)極限的關(guān)系問題時，一般運用兩個命題：limlimlimf(x)?f(x)?a?f(x)?ax???x???x??和limlimlimf(x)?f(x)?a?f(x)?a予以解決?，F(xiàn)就常見題型及解?x?x?x?xx??00

法舉例如下：

1、分子分母均是x的多項式時，x∞的極限，分式呈現(xiàn)“”型

lima0?alxk?l??ak例1 求極限（其中ai、bi）為與x無關(guān)的常數(shù)，k、l、x??b0xl?blxl?l??bk

為整數(shù)且(a0≠b0≠0).?a0?b(當(dāng)l?k)

?0

????解：原式=?0(當(dāng)l＞?)

????不存在(當(dāng)l＜?)???

注：本例的一般性結(jié)論是：若分子、分母中的x的最高次冪相同時，則極限等于它們的最高次項的系數(shù)比；若分子中x的最高次冪低于分母中x的最高次冪則極限為零；反之極限不存在。

2、分子分母都是x的多項式時，x→x0的極限，分式呈現(xiàn)“0”型 0

x2?1lim例2，求極限 2x?12x?x?

1解：limx2?1

x?12x2?x?1

??lim(x?1)(x?1)x?1(2x?1)(x?1)limx?12?。x?12x?1

3注：因lim

x?x0f(x)?a，這是從x趨向x0的無限變化過程來看f(x)的變化趨

勢的，它對于x0是否屬于函數(shù)f(x)的定義域不作要求，故求解此類題目常采用分解因式，再約去公因式，使之能運用法則求極限的方法。

3、含有根式的一類式予，由x的變化趨勢，呈“∞→∞”型

例3．求極限：lim(x2?1?x2?4x)。x???

lim解：(x2?1?x2?4x)x???

?lim1?4x x???x2?1?x2?4x

1?4lim???2。x???14?2??x?x

注：分子或分母有理化是常采用的方法。

4、已知函數(shù)的極限，求參數(shù)的范圍

例4：已知：limax2?bx?

1x?1x?1?3，求a、b.解：當(dāng)x=1時分母為零，故ax2+bx+1中必有x-1這樣的因式，由多項式除法可知ax2+bx+1除以 x-1商式為ax+a+b，余式為a+b+1。

∴a+b+1=0①

∴l(xiāng)imax2?bx?

1x?1x?1lim(x?1)(ax?a?b)?x?1x?1

?lim(ax?a?b)?2a?b。x?1

∴2a+b=3②

?a?b?1?0??解方程組?

???2a?b?3① ②

?a?4??可得?

???b??

5注：這是一個已知函數(shù)極限要確定函數(shù)解析式的逆向思維問題，應(yīng)靈活使用運算法則。

5、涉及單側(cè)極限與雙側(cè)極限的問題

例5．求函數(shù)f(x)=1+

限。|x?1|在x=-1處的左右極限，并說明在x=-1處是否有極x?1

limlimx?1解：f(x)?(1?)?2，x?1?x??1?x?1

limlim?(x?1)f(x)?(1?)?0 ??x??1x??1x?1

limlim∵f(x)?f(x)，x??1?x??1?

∵f（x）在x=-1處的極限不存在。

注：本例是

limlimlimf(x)?a?f(x)?f(x)?a的直接應(yīng)用。??x?x0x?x0x?x0

原載于《甘肅教育》2005年第4期

第四篇：利用函數(shù)極限定義證明11

習(xí)題2-2

1.利用函數(shù)極限定義證明:

(3).limxsinx?01x?0;

x|?1，則當(dāng) 0?|x|?? 時, 有 證明: 對于任意給定的正數(shù) ??0, 取 ???, 因為 |sin

x1x1xxsin?|x|sin?|x|??，所以limxsinx?0?0.2．利用無窮大量定義證明：

（1）lim1?x

4x????；

1?x

4證明：對于任意給定的正數(shù) G?0, 取 M?4G?1, 則當(dāng) |x|?M 時, 有 |

所以 lim1?x

4??.|?G，x??

5．證明：若limf(x)?A，則lim|f(x)|?|A|.x?x0x?x0證明：對于任意給定的正數(shù) ??0, 由于limf(x)?A，存在??0，使得當(dāng)

x?x0

0?|x?x0|??時, 都有|f(x)?A|??，而

????|f(x)?A|?|f|?|A|?|f?A|??，即||f(x)|?|A||??，所以lim|f(x)|?|A|.x?x0

第五篇：利用定積分的定義求極限

利用定積分的定義求極限 方法：如果?f(x)dx存在，則lim

ab

b?an

n

n??

?

k?1

f(a?

b?an

?k)?

?

ba

f(x)dx

例15求極限

n

（1）lim

n??

?

k?1n

nn?4k

nn?4k

解：lim

n??

?

k?1

?lim

1n

n

n??

?

k?1

11?4()

n

k

?

?

11?4x

dx?

actan2x

|0?

actan2

n

（2）lim

n??

?

k?1n

nx?2kn

解：lim

n??

?

k?1nx?2kn

?lim

n??

k

[x?2()]??nk?1n

n

?

(x?2t)dt?x?1

（3）lim

1n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)

n?1

解：因為

1n

k?0

?ln(1?n)

n

k

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

由于lim

1n

n

n??

?

k?1

ln(1?

kn)?

?

ln(1?x)dx?2ln2?1?ln

4e

故lim

1n

n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

ln

4e

?

4e