第一篇：勾股定理平方關(guān)系的證明

勾股定理：平方關(guān)系的證明

1.⊿ABC中，AD是中線，證明AD2=

12（AB2+AC2-12BC2）

2.四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD是對(duì)角線，證明AC2+BD2=2（AB2+BC2）。

3.P為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB、PC、PA，若PA2=PB2+PC2，求證∠BPC=150°，（注見角度的證明類似，PA、PB、PC為邊的三內(nèi)角，證，將三角形APC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，顯然⊿APC≌⊿BCE。

4.PA：PB：PC=1︰2︰3，求證∠APB=135°

提示：⊿BPC繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)90°，形成⊿

ABG，⊿ABG≌⊿BPC，∠APG=90°，⊿BPG為等腰直角三角形。

5.梯形ABCD，AD//BC，E、F分別是AD與BC的中點(diǎn)，∠B+∠C=90°，求證4EF2=AB2+CD2‘

6.⊿ABC中，AB=AC，∠A=90°，DE在BCE上，∠DAE=45°，求證BD2+CE2=DE2。

證：將DAE分為兩部分，使⊿ABD≌⊿ADG，⊿AEC≌⊿AEG，正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形

7.求證⊿ABC的面積公式，海侖公式，S⊿ =s?

s?a?(s?b)(s?c)。

8.M是直角三角形ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，P、Q在AB、AC上，且PM⊥QM，求證，PQ2=PB2+QC2，構(gòu)成一個(gè)新的直角三角形。

9.四邊形ABCD是正方形，邊長為1，M、N是AD、CD的中點(diǎn)，BE⊥MN，求BE=？

10.∠A=∠C=90°，∠ABC=60°,AD=2,DC=5,求BD=？注意60°的應(yīng)用。

11.D是⊿ABC邊BC上任意一點(diǎn)，∠B=45°，AD=5，AC=7，DC=3，求AB=？

12.⊿ABC中，BD=DC，求證AB2+AC2=2（AD2+BD2），注意次題是否見過。

13.已知∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，求四邊形面積。提示：注意：3、4、5和5、12、13之間的關(guān)系。

222 14.AB=AC，P是BC上任一點(diǎn)，求PB+PC=2PA。

15.已知一個(gè)直角三角形兩直角邊上的中線長分別為5、2，則此三角形斜邊的長為多少？列方程求解直角邊。

16.⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BD=1，DC=2，求AD=？

第二篇：勾股定理證明

勾股定理的歷史及證明

勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。

那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達(dá)哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。

勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)很好的證明。（下圖為歐幾里得和他的證明圖）

中國古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：

周公問：“我聽說您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”

商高回答說：“ 數(shù)的產(chǎn)生來源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形?矩'得到的一條直角邊?勾'等于3，另一條直角邊?股'等于4的時(shí)候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵。”

如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書中（約在公元50至100年間），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦”。

中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明（右圖）。中國古代數(shù)學(xué)家

們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

【證法】（辛卜松證明）

D

D

圖一圖二

設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成圖一所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD

2??a?b?a2?b2?2ab； 的面積為

把正方形ABCD劃分成 圖二所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 =2ab?c2.∴a2?b2?2ab?2ab?c2,∴a2?b2?c2.?a?b?2?4?1ab?c22

第三篇：證明勾股定理

勾股定理的應(yīng)用

一、引言

七年級(jí)上冊(cè)的數(shù)學(xué)有講到如何精確地畫出根號(hào)2。老師說，要畫一個(gè)2×2的，邊長都為1的方格。然后在里面再做出一個(gè)菱形（表示方格面積的一半）。這個(gè)菱形的邊長就是根號(hào)2。當(dāng)時(shí)有人就埋怨方法的麻煩了，老師就回答用勾股定理會(huì)簡便許多。還有印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”： “平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”用勾股定理就可以很簡便的解出。就勾股定理，我查閱了一些資料，弄清楚了它的意義以及它的2種證明方法。

二、提出問題

1、什么是勾股定理？

2、怎么證明勾股定理？

三、問題求解（1）中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一個(gè)的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方（也可以理解成兩個(gè)長邊的平方相減與最短邊的平方相等）。勾股定理示意圖

用數(shù)學(xué)式表達(dá)：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

（2）針對(duì)它的證明方法，我查閱了一些相關(guān)的資料，通過我自己的整理和理解，得出了2種證明方法。

方法一：（課本的證明）

做8個(gè)全部相同的直角三角形，設(shè)它們的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，再做3個(gè)邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成兩個(gè)大正方形，如下圖所示：

由上圖可知，兩個(gè)大正方形的邊長都是a加b，所以面積是相等的。用方程表

1示它們的面積關(guān)系，得：（a+b）2=c2+4× ab

2（a+b）(a+b)=c2+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c2+2ab

a2+ab+ab+b2=c2+2ab

a2+b2+2ab=c2+2ab

a2+b2=c2

方法二：（利用相似三角形性質(zhì)證明）

在直角三角形ABC中，設(shè)直角邊AC和BC的長度分別為a和b，斜邊AB的長度為c。過點(diǎn)C做AB的垂線CD，垂足是D。如圖所示：

在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，因?yàn)榻茿DC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它們互為相似的直角三角形。

因?yàn)樗鼈兓橄嗨频闹苯侨切?，所以它們?cè)诟鱾€(gè)線

段上的三角形邊長的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

對(duì)角相乘得AC2=AD·AB，同理可證，右邊的直角三角形BCD與直角三角形ABC也是互為相似的直角三角形的。從而有了BCAB =BDBC

對(duì)角相乘得 BC2=BD·AB，因?yàn)椋ˋC2=AD·AB）=（BC2=BD·AB）

所以AC2+BC2= AD·AB+BD·AB

AC2+BC2=(AD+BD)·AB

AC2+BC2=AB·AB

AC2+BC2=AB2

即a2+b2=c2.四、總結(jié)與感想 隨著數(shù)學(xué)水平的提高，很多數(shù)學(xué)的定理和公式都被人們一一推敲了出來，勾股定理就是其中的一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)。勾股定理是人們認(rèn)識(shí)宇宙中形規(guī)律的自然起點(diǎn)，無論在東方還是西方文明起源過程中，都有著很多動(dòng)人的故事。勾股定理在幾何學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛，比如用它就可以很方便地把引言中的問題解決掉。答案是3.75尺。從勾股定理出發(fā)開平方、開立方、求圓周率等，運(yùn)用勾股定理數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，就如引言中的畫根號(hào)2一樣。

我想說的是，雖然勾股定理看似簡單，只是一句話，但是它的意義以及作用是無窮大的。認(rèn)識(shí)和掌握勾股定理對(duì)初一的無理數(shù)有著一定的幫助。我作為一個(gè)初一的學(xué)生，能力畢竟有限，只能把勾股定理推敲到這里。以后我一定會(huì)再接再厲，玩轉(zhuǎn)勾股定理！

2013.11

第四篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩?！币虼?，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀(jì)一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄

第五篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)p.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，BC=BD=a.∴BDpC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HpFG是一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則,∴.【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作Qp‖BC，交AC于點(diǎn)p.過點(diǎn)B作BM⊥pQ，垂足為M;再過點(diǎn)

F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90o，Qp‖BC，∴∠MpC=90o，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90o，∴BCpM是一個(gè)矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90o，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90o,∴∠ABG+∠CBJ=90o,∵∠ABC=90o,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀(jì)一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會(huì)嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù))來證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ?，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環(huán)論證)。