第一篇：正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中第一章《解三角形》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個(gè)課題?！墩叶ɡ怼肪o跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識(shí)作為工具，推導(dǎo)出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學(xué)生了解向量的工具性和知識(shí)間的相互聯(lián)系的的開端，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的求解、體會(huì)事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和自主、合作、探究能力。

二、目標(biāo)及其解析

目標(biāo)：（1）正弦定理的發(fā)現(xiàn)；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。解析：先通過(guò)直角三角形找出三邊與三角的關(guān)系，再依次對(duì)銳角三角形與鈍角三角形進(jìn)行探

討，歸納總結(jié)出正弦定理，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個(gè)定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對(duì)角的正弦的關(guān)系，對(duì)于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識(shí)解決幾何問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，這些知識(shí)的掌握，有助于培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生在初中已學(xué)過(guò)有關(guān)直角三角形的一些知識(shí)和有關(guān)任意三角形的一些知識(shí)，學(xué)生在高中已學(xué)過(guò)必修4（包括三角函數(shù)與平面向量），學(xué)生已具備初步的數(shù)學(xué)建模能力，會(huì)從簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型完成教學(xué)目標(biāo)，是切實(shí)可行的。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）教學(xué)基本流程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

①在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？ 學(xué)生容易想到三角函數(shù)式子：（可能還有余弦、正

a切的式子）bc sinC?1sinA?sinB?c b c

②這三個(gè)式子中都含有哪個(gè)邊長(zhǎng)？

c

學(xué)生馬上看到，是c邊，因?yàn)?sinC?1?B C a c③那么通過(guò)這三個(gè)式子，邊長(zhǎng)c有幾種表示方法？

abc ??

sinAsinBsinC

④得到的這個(gè)等式，說(shuō)明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關(guān)系？（各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等）⑥此關(guān)系式能不能推廣到任意三角形？

設(shè)計(jì)意圖: 以舊引新, 打破學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài), 刺激學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)根據(jù)問(wèn)題情境進(jìn)行自我組織, 促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展.從直角三角形邊角關(guān)系切入, 符合從特殊到一般的思維過(guò)程.（二）探究正弦定理

abc

?

?猜想：在任意的△ABC中, 各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等, 即：

sinAsinBsinC

設(shè)計(jì)意圖:鼓勵(lì)學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的思維方式和思維過(guò)程, 大膽拓廣, 主動(dòng)投入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程,發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對(duì)于直角三角形，我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式是成立的，那么我們現(xiàn)在是否需要分情況來(lái)證明此關(guān)系式？ 設(shè)計(jì)意圖:及時(shí)總結(jié)，使方向更明確，并培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)

①那么能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)求證？ ——可以構(gòu)造直角三角形

②如何構(gòu)造直角三角形？

——作高線（例如：作CD⊥AB，則出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形）

ab

?③將欲證的連等式分成兩個(gè)等式證明，若先證明，sinAsinB

那么如何將A、B、a、b聯(lián)系起來(lái)？

——在兩個(gè)直角三角形Rt△BCD與Rt△ACD中，CD是公共邊： 在Rt△BCD中，CD= asinB，在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab

??asinB?bsinA?

sinAsinBbcsinB ?sinC？ ——作高線AE⊥BC，同理可證.設(shè)計(jì)意圖:把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題, 引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問(wèn)題.c?

??若△ABC為鈍角三角形，同理可證明：

sinAsinBsinC

（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，AC＝2620m，C 求AB.(精確到1米)

解：B＝180o－A－C＝ 180o－ 48.57o －101.87o ＝29.56o0

abc

bc由?得c?bsinC?2620?sin48.57?3982 sinBsinCsinBsin29.560

abc

???2R sinAsinBsinC

正弦定理推論（1）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

abc

B?正弦定理推論（2）sinA?，sin,sinC?

2R2R2R

正弦定理：

解決類型：（1）已知三角形的任意兩角與一邊，可求出另外一角和兩邊；

（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可求出另外一邊和兩角。

（四）目標(biāo)檢測(cè)

1．一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30和45，如果45角所對(duì)的邊長(zhǎng)為8，那么30角所對(duì)邊的長(zhǎng)是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

（五）小結(jié)

(1)在這節(jié)課中，學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

正弦定理及其發(fā)現(xiàn)和證明，正弦定理的初步應(yīng)用

(2)正弦定理如何表述？ a?b?c

sinAsinBsinC

（3）表達(dá)式反映了什么？

指出了任意三角形中，各邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式

學(xué)案

1．1正弦定理

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）正弦定理的發(fā)現(xiàn)；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

二、問(wèn)題與例題

問(wèn)題１：在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？ 問(wèn)題２：這三個(gè)式子中都含有哪個(gè)邊長(zhǎng)？？

問(wèn)題３：那么通過(guò)這三個(gè)式子，邊長(zhǎng)c有幾種表示方法？？

問(wèn)題4：得到的這個(gè)等式，說(shuō)明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關(guān)系？ 問(wèn)題5：那么能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)求證？ 例１.（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，CAC＝2620m，求AB.(精確到1米)

三、目標(biāo)檢測(cè)

1．一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30和45，如果45角所對(duì)的邊長(zhǎng)為8，那么30角所對(duì)邊的長(zhǎng)是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1、在△ABC中，若a=，b=，A=300, 則c等于（）A、2B、C、25或D、以上結(jié)果都不對(duì) 2．在△ABC中，一定成立的等式是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA 3.若

sinAcosBcosC

??則△ABC為abc

A．等邊三角形C．有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形

（）

B．等腰三角形

D．有一個(gè)內(nèi)角為30°的等腰三角形

4.△ABC中,∠A、∠B的對(duì)邊分別為a,b，且∠A=60°,a?（）A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解C．無(wú)解5.在△ABC中，a＝26,b?4,那么滿足條件的△ABC

D．不能確定，b＝22，B＝45°，則A等于6.在△ABC中，若c?2，C?60?，a?

3，則A? 3

二、鞏固題(B組)

7.在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為 8.在銳角△ABC中，已知A?2B，則的9.在△ABC中，已知tanA?

a

取值范圍是． b

1，tanB?，則其最長(zhǎng)邊與最短邊的比為． 2

310.已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2、3、x，則x的取值范圍是．

三、提高題(C組)

11．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b

12△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀。

13．為了測(cè)量上海東方明珠的高度，某人站在A處測(cè)得塔尖的仰角為75.5，前進(jìn)38.5m后，到達(dá)B處測(cè)得塔尖的仰角為80.0.試計(jì)算東方明珠塔的高度（精確到1m）.?

?

第二篇：正弦定理 教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

郭來(lái)華

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒(méi)有回答，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問(wèn)題。

本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時(shí)，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且通過(guò)對(duì)定理的探究，能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識(shí)框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過(guò)程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。

三、設(shè)計(jì)思想

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo) 難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）設(shè)置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d?1km。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來(lái)之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請(qǐng)你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。已知船在靜水中的速度v1?5km/h，水流速度v1?3km/h?！驹O(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于

（二）提出問(wèn)題

師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮有關(guān)的問(wèn)題，將各自的問(wèn)題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問(wèn)題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問(wèn)題通過(guò)投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問(wèn)題：

1、船應(yīng)開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時(shí)間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？

5、船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問(wèn)題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問(wèn)題通過(guò)老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

師：誰(shuí)能幫大家講解，應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題？

大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí)：要回答問(wèn)題1，需要解決問(wèn)題2，要解決問(wèn)題2，需要先解決問(wèn)題3和4，問(wèn)題3用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)

A圖 1BC生活”的思想意識(shí)，同時(shí)情境問(wèn)題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。題4，問(wèn)題4與問(wèn)題5是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題。因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題4和5。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角?：

|v|?|v1|?|v2|?|v1||v2|?35, 22BDEC5?3?4，22v1vFAv2圖 2sin?? 用計(jì)算器可求得??37?

BDv1vv2AF圖 3EC船從A開往C的情況如圖3，|AD|?|v1|?5，|DE|?|AF|?|v2|?3，易求得?AED??EAF?45?，還需求?DAE及v，我還不知道怎樣解這兩個(gè)問(wèn)題。

師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？ 部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。

【設(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問(wèn)題？ 生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會(huì)解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點(diǎn)？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中?ADE是直角三角形，而圖3中?ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。

師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來(lái)解呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師的問(wèn)題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，同時(shí)為下一步用特例作為突破口來(lái)研究正弦定理以及用作高的方法來(lái)證明正弦定理做好鋪墊。

生5：能，過(guò)點(diǎn)D作DG?AE于點(diǎn)G（如圖4），?|DG|?|v1|sin?DAG?|DE|sin?AED|AG|?|v1|cos?DAGBDv1vAGv2EC，|EG|?|DE|cos?AED

F圖 4?sin?DAG?|DE|sin?AED|v1|?3sin45?5?3210

|v|?|AG|?|GE|????

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個(gè)直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個(gè)三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師對(duì)學(xué)生的肯定評(píng)價(jià)，創(chuàng)造一個(gè)教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問(wèn)題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和教師的共同成長(zhǎng)。

（三）解決問(wèn)題

1、正弦定理的引入

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩?，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對(duì)于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對(duì)角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。

（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究。

（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過(guò)教師的指導(dǎo)與觀察，及時(shí)掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時(shí)通過(guò)展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。

師：請(qǐng)說(shuō)出你研究的結(jié)論？ 生7：asinA?bsinB?csinC

師：你是怎樣想出來(lái)的？

生7：因?yàn)樵谥苯侨切沃校鼈兊谋戎刀嫉扔谛边卌。

師：有沒(méi)有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。）

師：asinA?bsinB?csinC對(duì)一般三角形是否成立呢？

眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

師：這是個(gè)好主意。那么生9：成立。師：對(duì)任意三角形

asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC對(duì)等邊三角形是否成立呢？

是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，??

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問(wèn)題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問(wèn)題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的能力。

2、正弦定理的探究（1）實(shí)驗(yàn)探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況。

結(jié)論：asinA?bsinB?csinC對(duì)于任意三角形都成立。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。

師：利用上述結(jié)論解決情境問(wèn)題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一致。

生10：（通過(guò)計(jì)算）與生5的結(jié)果相同。

師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊?！钡膯?wèn)題就簡(jiǎn)單多了。

【設(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問(wèn)題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。

（2）點(diǎn)明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請(qǐng)同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：

直角三角形——已驗(yàn)證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。師：請(qǐng)你（生11）到講臺(tái)上，講講你的證明思路？

生11：（走上講臺(tái)），設(shè)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。通過(guò)作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD?csinB?bsinC，所以

bsinB?csinCAcabB，同理可得

asinA?bsinBCD圖 5 銳角三角形

師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。注意： csinB?bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個(gè)簡(jiǎn)捷的證明方法！

【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時(shí)適時(shí)對(duì)學(xué)生作出合情的評(píng)價(jià)。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：

證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是?ABC的三條高。則有

AD?b?sin?ACB，BE?c?sin?BACCF?a?sin?ABCAFcaD圖 6 EbCB。

b?c?sin?BAC?c12c?a?sin?ABC12?S?ABC??a12a?b?sin?ACB??bsin?ABC?

Asin?BACsin?ACB

cB

a證法三：如圖7，設(shè)BD?2r是?ABC外接圓的直徑，則?BAD?90?，?ACB??ADB

?BD?2r

sin?ADBab??2r同理可證：sin?BACsin?ABC?sin?ACB??asin?BAC?bsin?ABC?csin?ACBccb

D

C圖 7 三角形外接圓

【設(shè)計(jì)意圖】在證明正弦定理的同時(shí)，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA?bsinB?csinC?2r一并牽出，使知識(shí)的產(chǎn)生自然合理。

????????、BC、CA間有什么關(guān)系？ 師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？

????師：任意?ABC中，三個(gè)向量AB?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由AB?BC?CA?0轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？

??????????????????????????師：在AB?BC?CA兩邊同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,這里的向量??j可否任意？又如何選擇向量j?

?生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量j與三個(gè)向量中的一????個(gè)向量（如向量BC）垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問(wèn)題？

教師參與學(xué)生的小組研究，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)生通過(guò)小組代表作完成了如下證明。

?????證法四：如圖8，設(shè)非零向量j與向量BC垂直。

?????????????因?yàn)锳B?BC?CA?0，?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

Ac?jbaC圖 8 向量所以bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：能否簡(jiǎn)化證法四的過(guò)程？（留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考）

??????????師：AB?j?CA?j?0有什么幾何意義？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移項(xiàng)可得CA?j?BA?j?????????義可知CA與BA在j方向上的投影相等。，由向量數(shù)量積的幾何意生16：我還有一種證法

????????證法五：如圖9，作AD?BC，則AB與AC在????????????????????AD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C

?c?sinB?b?sin 師：請(qǐng)你到講臺(tái)來(lái)給大家講一講。（學(xué)生16上臺(tái)板書自己的證明方法。）

AcBDabC圖 9 向量故bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡(jiǎn)捷明了！

【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來(lái)證明幾何問(wèn)題，學(xué)生相對(duì)比較生疏，不容易馬上想出來(lái)，教師通過(guò)設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問(wèn)題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。

（四）小結(jié)

師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問(wèn)題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過(guò)程我們也掌握了研究問(wèn)題的一般方法。

（五）作業(yè)

1、回顧本節(jié)課的整個(gè)研究過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程；

2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？

3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？

4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，證明正弦定理。

【設(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有充足的時(shí)間來(lái)完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時(shí)間花得少且比較簡(jiǎn)單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。

七、教學(xué)反思

為了使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。我想到了“情境——問(wèn)題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版）第二章習(xí)題2.5 B組第二題，我將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問(wèn)題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決過(guò)渡性問(wèn)題4與5時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。

總之，整個(gè)過(guò)程讓學(xué)生通過(guò)自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問(wèn)題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問(wèn)題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。

第三篇：《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解并掌握正弦定理，總結(jié)歸納用正弦定理解三角形問(wèn)題的步驟。

2、探究證明定理的方法，理解正弦定理是對(duì)任意三角形中“大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角”的量化研究，從中體會(huì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。

3、在探究及其證明的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，初步感知數(shù)學(xué)中由定性到定量的思維方法。

教學(xué)任務(wù)分析：

正余弦定理作為解三角形的基礎(chǔ)，重要性不言而喻。一方面它們可以合力解決數(shù)學(xué)中的大量問(wèn)題；另一方面，它們?cè)趯?shí)踐中也發(fā)揮著重大作用，比如距離、高度、速度等的測(cè)量。這節(jié)課是正弦定理的第一節(jié)課，需要先證明正弦定理和明確正弦定理可以解決哪些三角形問(wèn)題。正弦定理的證明方法有很多，比如平面幾何法和向量法，也是簡(jiǎn)單的方法，可是它們都無(wú)法輕易得出比值是2R這一結(jié)論，因而我在教學(xué)中采用外接圓的方法，將三角形內(nèi)角轉(zhuǎn)化成直角三角形中的銳角，再利用銳角三角函數(shù)得出定理，過(guò)程稍稍復(fù)雜，可對(duì)于提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力還是有幫助的。這節(jié)課還會(huì)通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生總結(jié)歸納正弦定理解三角形的類型和方法。綜上，我將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：正弦定理的證明及其使用。學(xué)生情況分析：

一方面，正弦定理和余弦定理作為解三角形的理論基礎(chǔ)，它們形式簡(jiǎn)潔漂亮，學(xué)生易于接受。在探究證明方法時(shí)，學(xué)生也具備一定的分析問(wèn)題的能力，也儲(chǔ)備了一些知識(shí)，比如初中時(shí)平面幾何中的知識(shí)和已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)的知識(shí)，他們也知道也將問(wèn)題做類比和轉(zhuǎn)化，這些無(wú)疑都是有利的?？墒?，另一方面，高一的學(xué)生在綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)上還有欠缺，思維也不夠縝密，比如這節(jié)課從直角三角形中得到邊角關(guān)系后，接下來(lái)要證明在任意三角形中也成立，學(xué)生可能束手無(wú)策，不知道將問(wèn)題引向何處，這時(shí)就需要教師的引導(dǎo)。另外，現(xiàn)在很多學(xué)生運(yùn)算能力相對(duì)薄弱，也會(huì)導(dǎo)致用正弦定理解三角形時(shí)漏解或多解情況的出現(xiàn)?？傊?，我認(rèn)為學(xué)好正余弦定理也是將學(xué)生的思維水平和運(yùn)算能力提高的一個(gè)好機(jī)會(huì)。綜上，我將本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：

1、探究定理證明的方法，比值等于2R的由來(lái)。

2、由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性分析正弦

3、應(yīng)用正弦定理解決第二類問(wèn)題時(shí)，可能教學(xué)工具：多媒體課件。教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 問(wèn)題1：初 問(wèn)題2：對(duì)對(duì)小角”僅是的知識(shí)得到這

中時(shí)你學(xué)過(guò)哪些關(guān)于三角形邊角關(guān)系的結(jié)論？ 于任意三角形中的邊角關(guān)系“大邊對(duì)大角、小邊一種感性認(rèn)識(shí)，或者說(shuō)定性分析，能否利用所學(xué)個(gè)邊角關(guān)系準(zhǔn)確的量化表示？如右圖。

定理是一種定量的研究。碰見多解的情況。

設(shè)計(jì)意圖： 對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生可以提供多種答案，教師可以往任意三角形這個(gè)方向引導(dǎo)，問(wèn)題2則開門見山奔向這節(jié)課的主題。

二、正弦定理的證明及其應(yīng)用

（一）定理的證明

對(duì)于邊角關(guān)系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的邊角關(guān)系，我們先得到直角三角形中的結(jié)論，然后看能否推廣到一般三角形中。

如右圖，因而，由于C=900，sinC=1 所以可得

問(wèn)題3：這是一個(gè)連比的式子，三者的比值相等，那么這個(gè)比值具體應(yīng)該是多少呢？

分析：比值等于,聯(lián)想到直角三角形外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)上，即斜邊是外接圓的直徑，用2R表示。

由此得到 設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問(wèn)題的解答很關(guān)鍵，起到承上啟下的作用。接下來(lái)，只需探討該結(jié)論是否適合一般三角形，而2R是三角形外接圓的直徑，就會(huì)自然而然將學(xué)生引向利用外接圓研究一般三角形中的邊角關(guān)系。

以下是銳角三角形和鈍角三角形中該結(jié)論的證明：

若△ABC是銳角三角形，則外接圓圓心在該三角形內(nèi)部。連外接圓的一條直徑BD,則

所以

因而

所以

在與學(xué)生共同探究的過(guò)程中，可以設(shè)置下面的問(wèn)題：

（1）受直角三角形的啟發(fā)，應(yīng)該會(huì)用到銳角三角函數(shù)，所以一定要構(gòu)造直角三角形，在外接圓已經(jīng)做出的情況下，如何去構(gòu)造直角三角形？

（2）如何轉(zhuǎn)化角？即為什么若△ABC是鈍角三角形，則外接圓圓心在三角形外部。連直徑BD,則可得

（想一想，為什么？）

？

在Rt△BCD中，又A=1800-D

所以sinA=sin(1800-D)=

即

得出與銳角三角形中相同

因而在鈍角△ABC中，仍然成立。

綜上，在任意△ABC中，都成立，即各邊與其所對(duì)角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圓的直徑，由于該式涉及角的正弦，即稱作正弦定理。問(wèn)題3：如何說(shuō)明正弦定理是對(duì)任意三角形中邊角關(guān)系的一種量化表示？ 分析：我們不妨反過(guò)來(lái)解釋為什么“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”，即弦定理可知，只需說(shuō)明

即可。

。由正（1）若A、B都是銳角，則。

（2）若A是鈍角，B是銳角，由A+B<而sinB

-A，又因設(shè)計(jì)意圖：此問(wèn)題是本節(jié)課的難點(diǎn)之一，很多同學(xué)會(huì)使用正弦定理，但是對(duì)于定理是刻畫任意三角形邊角關(guān)系這一意義含糊不清。在這會(huì)用到析，尤其是對(duì)于第二種情況，值得同學(xué)思考。定理的變式：（1）

(邊化角)

在上的單調(diào)性進(jìn)行分（2）（3）

（角化邊）

（4）

（二）正弦定理的應(yīng)用 解三角形：

稱為三角形的元素，已知某些元素求其他元素的過(guò)程。

例1：△ABC中，已知=20，A=300，C=450，解此三角形。分析：這屬于已知兩邊一角，求其余的一角兩邊的問(wèn)題。例2：△ABC中，已知，=1，B=450，解此三角形。

分析：這屬于已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求其余兩角一邊的問(wèn)題。

問(wèn)題4：對(duì)于例2，思考，為什么例1只有一解而例2有可能多解？，可能出現(xiàn)兩解，如何取舍？進(jìn)一步設(shè)計(jì)意圖：用正弦定理的時(shí)候很容易出錯(cuò)的就是多解的情形，通過(guò)此例讓學(xué)生探索取舍的辦法。已知兩角一邊實(shí)質(zhì)上該三角形就是確定的，而兩邊及其一邊的對(duì)角時(shí)這樣的三角形并不唯一。如果在課堂上可以順利得出這樣的結(jié)論，那學(xué)生會(huì)有茅塞頓開的感覺(jué)，勢(shì)必會(huì)加強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信。

練習(xí)：已知在△ABC中，A=450，=2，解此三角形。

問(wèn)題5：通過(guò)以上例題和練習(xí)，總結(jié)歸納正弦定理可以解決怎樣的三角形問(wèn)題，歸納出步驟。設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課的收尾問(wèn)題，由學(xué)生自己總結(jié)歸納。正弦定理應(yīng)該是知三求三的過(guò)程，需要知道三個(gè)獨(dú)立的條件，這點(diǎn)需要學(xué)生明白。

三、課堂小結(jié)

1、本節(jié)課的重要內(nèi)容——正弦定理，是任意三角形中邊角關(guān)系的準(zhǔn)確量化。

2、本節(jié)課的思想方法：證明正弦定理時(shí)，先從直角三角形中得到結(jié)論，然后推廣到一般三角形中，這種從特殊到一般的研究方法是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。另外，還有類比、轉(zhuǎn)化、歸納等方法。

四、教后心得

本節(jié)課是我剛上完的課，感觸很深。證明正弦定理的方法很多，有比這種外接圓的方法簡(jiǎn)單的證明方法，比如向量法和課本上通過(guò)高的方法，但是唯有這種方法能夠比較簡(jiǎn)單的得到比值是2R這樣的結(jié)論，當(dāng)然中間的過(guò)程也不算簡(jiǎn)單，要構(gòu)造直角三角形，要將角轉(zhuǎn)化，可是這些對(duì)于學(xué)生思維水平的提高還是很有幫助的，也能使得學(xué)生更加清楚數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己可以動(dòng)手操作的問(wèn)題，我認(rèn)為這一點(diǎn)意義還是很大。還有對(duì)于多解的情況，我希望學(xué)生可以借助內(nèi)角和和大邊對(duì)大角來(lái)判斷，并沒(méi)有加大這一點(diǎn)的難度。當(dāng)然對(duì)于這節(jié)課的教法也希望得到更多老師、專家的指導(dǎo)。

板書設(shè)計(jì)： 1.正弦定理的證明

直角三角形

銳角三角形

鈍角三角形 2.變式 3.例題、練習(xí)

第四篇：《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

2010級(jí)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論專業(yè)華娜學(xué)號(hào)201002101146

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，也是三角形理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，知識(shí)儲(chǔ)備已足夠。它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù)，也是解決實(shí)際生活中許多測(cè)量問(wèn)題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來(lái)學(xué)習(xí)解三角形打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，并能在實(shí)際應(yīng)用中靈活變通。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識(shí)水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：理解并掌握正弦定理的證明，運(yùn)用正弦定理解三角形。

能力目標(biāo)：探索正弦定理的證明過(guò)程，用歸納法得出結(jié)論，并能掌握多種證明方

法。

情感目標(biāo)：通過(guò)推導(dǎo)得出正弦定理，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的整潔對(duì)稱美和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷

解的個(gè)數(shù)。

四、教法分析

依據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，本節(jié)知識(shí)遵循以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想，采用與學(xué)生共同探索的教學(xué)方法，命題教學(xué)的發(fā)生型模式，以問(wèn)題實(shí)際為參照對(duì)象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化，并且運(yùn)用例題和習(xí)題來(lái)強(qiáng)化內(nèi)容的掌握，突破重難點(diǎn)。即指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法。學(xué)生采用自主式、合作式、探討式的學(xué)習(xí)方法，這樣能使學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和探究精神。

五、教學(xué)過(guò)程

本節(jié)知識(shí)教學(xué)采用發(fā)生型模式：

1、問(wèn)題情境

有一個(gè)旅游景點(diǎn)，為了吸引更多的游客，想在風(fēng)景區(qū)兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測(cè)得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B

300。求需要建多長(zhǎng)的索道？

可將問(wèn)題數(shù)學(xué)符號(hào)化，抽象成數(shù)學(xué)圖形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

此題可運(yùn)用做輔助線BC邊上的高來(lái)間接求解得出。

提問(wèn)：有沒(méi)有根據(jù)已提供的數(shù)據(jù)，直接一步就能解出來(lái)的方法？

思考：我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系。那我們能不能得到關(guān)于邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？

2、歸納命題

我們從特殊的三角形

在如圖Rt三角形ABC

a

?

sinA, c

bc

?sin

B

.?c.所以，asinA

?

bsinB

又sinC?1,所以

csinC

asinA

?

bsinB

?

.在直角三角形中，得出這一關(guān)系。那么，對(duì)于一般的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？

3、命題證明

首先考慮銳角三角形，要找到邊與角正弦之間的關(guān)系，就要找到橋梁，那就是構(gòu)造出直角三角形——作高線。

A

作AB上的高CD,根據(jù)三角函數(shù)的定義，CD?asinB,CD?bsinA ,所以，asinB?bsinA.同理，在?ABC中，bsinB

?

csinC

.于是在銳角三角形中，asinA

?

bsinB

?

csinC

也成立。

當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上等式仍然成立嗎？

C

DAcB

由學(xué)生類比銳角三角形的證明方法，同樣可以得出。于是，從以上的討論和探究，得出定理：

正弦定理（laws of sines）在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

asinA

?

?

siBnb

csCin

分析此關(guān)系式的形式和結(jié)構(gòu)，一方面便于學(xué)生理解和識(shí)記，另一方面，讓學(xué)生去

感受數(shù)學(xué)的間接美和對(duì)稱美。

正弦定理描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。我們把三角形的三邊和三個(gè)角叫做三角形的元素，已知幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫解三角形。

分析正弦定理的應(yīng)用范圍，定理形式可知，如果已知三角形的兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，都可以解出這個(gè)三角形。

4、命題應(yīng)用

講解書本上兩個(gè)例題：

例1 在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）。

例1簡(jiǎn)單，結(jié)果為唯一解。

總結(jié)：如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對(duì)邊，都可利用正弦定理來(lái)解三角形。

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。

要求學(xué)生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形。

接著回到課堂引入未解決的實(shí)際問(wèn)題。

在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

B

A

在已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)正弦定理和例1例2的運(yùn)用之后，此題就顯得非常簡(jiǎn)單。接著，課堂練習(xí)，讓學(xué)習(xí)自己運(yùn)用正弦定理解題。

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）：（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°

學(xué)生板演，老師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并解答。

5、形成命題域、命題系

開始我們運(yùn)用分類討論平面幾何三角形的情況證明了正弦定理。那么正弦定理的證明還有沒(méi)有其他的證法？學(xué)生可以自主思考，也可以合作探究。

學(xué)生思考出來(lái)就更好，如果沒(méi)有思考出來(lái)，提示兩種方法（1）幾何法，作三角形的外接圓；（2）向量法。

先讓學(xué)生思考。結(jié)束后，重點(diǎn)和學(xué)生一起討論幾何法，作外接圓的證法。一方面是讓學(xué)生體會(huì)到證明方法的多樣，進(jìn)行發(fā)散性思維，但更主要的是為了得出

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R。即得正弦定理中這一比值等于外接圓半徑的2C

倍的結(jié)

論，讓學(xué)生能更深刻地理解到這一定理的，也方便以后的解題。而提到的向量法，則讓學(xué)生課后自己思考，可以查閱資料證明。

六、課堂小結(jié)與反思

這節(jié)課我們學(xué)到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的適應(yīng)范圍？正弦定理的證明方法？）

1、我們從直角、銳角、鈍角三類三角形出發(fā)，運(yùn)用分類的方法通過(guò)猜想、證明得到了正弦定理

asinA

?

bsinB

?

csinC，它揭示了任意三角形邊和其所對(duì)的角的正弦值的關(guān)系。

2、運(yùn)用正弦定理解決了我們所要解決的實(shí)際問(wèn)題。在解三角形中，若已知兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角可以用正弦定理來(lái)解決。但在第二種情況下，運(yùn)用正弦定理需要考慮多解的情況。

3、正弦定理的證明還可以運(yùn)用向量法和作三角形的外接圓來(lái)證明。其中通過(guò)作外接圓可以得到

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R.這是對(duì)正弦定理的補(bǔ)充。

七、作業(yè)布置

教材第10頁(yè)，習(xí)題1.1，A組第一題、第二題。

第五篇：正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

茂名市實(shí)驗(yàn)中學(xué)張衛(wèi)兵

一、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合初中學(xué)習(xí)過(guò)的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問(wèn)題的過(guò)程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲并培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和樂(lè)于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。

難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)并證明過(guò)程以及已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。

三、教學(xué)基本流程

1、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出問(wèn)題：在三角形中，已知兩角以及一邊，如何求出另外一邊；

2、結(jié)合初中學(xué)習(xí)過(guò)的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；

3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的類型；

4、應(yīng)用正弦定理解三角形。

四、教學(xué)情境設(shè)計(jì)

五、教學(xué)研究

1、新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生在自主探究的過(guò)程中提高數(shù)學(xué)思維能力。本設(shè)計(jì)從生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)創(chuàng)設(shè)了一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題情境來(lái)引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、思考，讓學(xué)生在“疑問(wèn)”、“好奇”、“解難”中探究學(xué)習(xí)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生了的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。

2、新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重“過(guò)程”，要使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程成為在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行“再創(chuàng)造”過(guò)程。本設(shè)計(jì)展示了一個(gè)先從特殊的直角三角形中正弦的定義出發(fā)探索?A的正弦與?B的正弦的關(guān)系從而發(fā)現(xiàn)正弦定理，再將一般的三角形與直角三角形聯(lián)系起來(lái)（在一般的三角形中構(gòu)造直角三角形）進(jìn)而在一般的三角形發(fā)現(xiàn)正弦定理的過(guò)程，使學(xué)生不但體會(huì)到探索新知的方法而且體驗(yàn)到了發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，起到了良好的教學(xué)效果。

3、新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本設(shè)計(jì)以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引入正弦定理并讓學(xué)生在練習(xí)3中解決這一問(wèn)題，這不但使學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)的作用，而且使學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力得到了進(jìn)一步的提高。