第一篇：初中數(shù)學(xué)定理匯總(北師2011版)

初中數(shù)學(xué)公理和定理（北師版）

Ⅰ:公理（不需證明）

1、兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;

2、兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;

3、兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（SAS）

4、角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（ASA）

5、邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（SSS）

6、等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.注：（1）公理作為證明其它定理的依據(jù)。（2）等式和不等式的有關(guān)性質(zhì)也可視為公理。Ⅱ:以下對(duì)初中階段所學(xué)的公理、定理進(jìn)行分類：

一、直線與角

1、兩點(diǎn)之間，線段最短。

2、經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。

3、同角或等角的補(bǔ)角相等，同角或等角的余角相等。

4、對(duì)頂角相等。

二、平行與垂直

5、經(jīng)過直線外或直線上一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直。

6、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

7、經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。

8、夾在兩平行線間的平行線段相等

9、平行線的性質(zhì)：

（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

10、平行線的判定：

（1）同位角相等，兩直線平行。（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。（4）垂直于同一條直線的兩條的直線互相平行.（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。

（6）利用三角形中位線定理。

三、角平分線、垂直平分線、圖形的變化（軸對(duì)稱、平稱、旋轉(zhuǎn)）

11、角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.12、角平分線的判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.13、線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.14、線段垂直平分線的判定：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．

15、軸對(duì)稱的性質(zhì)：

（1）如果圖形關(guān)于某一直線對(duì)稱，那么連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.（2）對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。

16、平移：經(jīng)過平移，圖形上的每個(gè)點(diǎn)都沿著相同方向移動(dòng)了相同的距離，平移后，新圖形和原圖形的形狀和大小都沒有發(fā)現(xiàn)改變，即它們是全等圖形。即對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等。

17、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的性質(zhì)：

(1)圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(3)對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。

18、中心對(duì)稱的性質(zhì)：（1）具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的所有性質(zhì)：

（2）中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。

四、三角形

（一）一般性質(zhì)

19、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°

20、推論（三角形外角的性質(zhì)）：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；②三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角；③三角形的外角和等于360°

21、三邊關(guān)系：（1）兩邊的和大于第三邊；（2）兩邊的差小于第三邊。

22、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

23、三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)（外心），這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

24、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心），這點(diǎn)到三邊的距離（內(nèi)切圓半徑）相等。

（二）特殊性質(zhì)：

25、等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)：

（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等．（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）

（2）“三線合一”定理：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合。

（3）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°．

26、等腰三角形、等邊三角形的判定：

（1）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．（“等角對(duì)等邊”）

（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

27、直角三角形的性質(zhì)：

（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

（2）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.（4）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.28、直角三角形的判定：

（1）勾股定理逆定理：如果一個(gè)三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.（2）三角形一邊的中線等于這邊的一半，這個(gè)三角形是直角三角形。

五、四邊形

29、多邊形中的有關(guān)公理、定理：

（1）四邊形的內(nèi)角和為360°

（2）多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180°.（3）多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和都為360°.30、平行四邊形的性質(zhì)：

（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；（含定義）

（2）平行四邊形的對(duì)角相等；

（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分.（4）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

31、平行四邊形的判定:

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（定義）

（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.32、矩形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

（2）矩形的四個(gè)角都是直角；（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分.33、矩形的判定：

（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（定義）

（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

34、菱形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

（2）菱形的四條邊都相等；

（3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.35、菱形的判定：

（1）四條邊相等的四邊形是菱形.（2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（定義）

（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

☆菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半。即S=（a×b）÷

236、正方形的性質(zhì)：（1）具有矩形、菱形的所有性質(zhì)

（2）正方形的四個(gè)角都是直角；四條邊都相等；

（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.37、正方形的判定：（證明既是矩形又是菱形）

（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；⑵對(duì)角線相等的菱形是正方形

（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形.⑷對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

38、等腰梯形的性質(zhì)：

（1）等腰梯形的同一條底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等；

（2）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等.*梯形的中位線平行于梯形的兩底邊，并且等于兩底和的一半.(課本沒有)

39、等腰梯形的判定：同一條底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形；

☆兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。

六、全等與相似：

40、全等三角形（多邊形）的性質(zhì)：全等三角形（多邊形）的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.41、全等三角形的判定：

（1）公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）。

（2）公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）。

（3）推論：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）。

（4）公理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）。

（5）斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)。

42、比例的性質(zhì)：

（1）基本性質(zhì)：如果a:b=c:d，那么ad=bc； 如果ad=bc，那么a:b=c:d。

aca?bc?d?，那么?。bdbd

acma?c???ma?。（3）等比性質(zhì)：如果????，(b+d+?+n≠0)，那么bdnb?d???nb（2）合比性質(zhì)：如果

43、相似三角形的性質(zhì)：

（1）定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

（2）定理：相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)、對(duì)應(yīng)線段、周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。

44、相似三角形的判定：

（1）判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

（2）判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

（3）判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

☆直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

45、相似多邊形的判定：對(duì)應(yīng)邊成比例且對(duì)應(yīng)角相等.46、圖形的放大與縮?。何凰茍D形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。

七、圓

47、定義：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有的點(diǎn)組成的圖形。

48、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

①點(diǎn)在圓內(nèi)?d＜r； ②點(diǎn)在圓上?d=r； ③點(diǎn)在圓外?d＞r。

49、圓的性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。

50、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

51、推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

注：垂徑定理及推論：如果一條直線具有過圓心、垂直弦、平分弦、平分弦所對(duì)的劣?。▋?yōu)弧）中的兩個(gè)性質(zhì)就具有其余性質(zhì)。如：

①弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

②平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

52、圓的性質(zhì)：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

53、圓心角、弧、弦關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，（所對(duì)的弦的弦心距相等）。

54、推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦（或兩弦的弦心距）中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等。

55、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

56、推論1：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；

☆相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

57、推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

58、確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

59、直線與圓的位置關(guān)系：①直線L和⊙O相交?d＜r ②直線L和⊙O相切?d=r ③直線L和⊙O相離?d＞r。

60、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.。

61、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

62、圓與圓的位置關(guān)系：①兩圓外離d＞R+r；②兩圓外切d=R+r；③兩圓相交R-r＜d＜R+r(R＞r)；④兩圓內(nèi)切d=R-r(R＞r)；⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)。

63、有關(guān)圓的計(jì)算公式：

n?rn?R21?lR。（1）弧長(zhǎng)計(jì)算公式：L＝。（2）扇形面積公式：S扇形?1803602

nr?（3）圓錐側(cè)面積公式：S側(cè)??rl☆圓錐展開扇形圓心角關(guān)系式：360l

永安六中初三數(shù)學(xué)備課組整理

2011年3月

第二篇：初中數(shù)學(xué)定理證明

初中數(shù)學(xué)定理證明

數(shù)學(xué)定理

三角形三條邊的關(guān)系

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內(nèi)角和

三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和

推論3三角形的一個(gè)外角大雨任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

角的平分線

性質(zhì)定理在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

幾何語言：

∵OC是∠AOB的角平分線(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

點(diǎn)p在OC上

∴pE=pF(角平分線性質(zhì)定理)

判定定理到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

幾何語言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴點(diǎn)p在∠AOB的角平分線上(角平分線判定定理)

等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等

幾何語言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)

推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

幾何語言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

推論2等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角等于60°

幾何語言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

幾何語言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角對(duì)等邊)

推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

幾何語言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形)

推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

幾何語言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)

推論3在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

幾何語言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)

線段的垂直平分線

定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

幾何語言：

∵M(jìn)N⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

點(diǎn)p為MN上任一點(diǎn)

∴pA=pB(線段垂直平分線性質(zhì))

逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

幾何語言：

∵pA=pB

∴點(diǎn)p在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判定)

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

定理1關(guān)于某條之間對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，若它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

逆定理若兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

勾股定理

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形

四邊形

定理任意四邊形的內(nèi)角和等于360°

多邊形內(nèi)角和

定理多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)·180°

推論任意多邊形的外角和等于360°

平行四邊形及其性質(zhì)

性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

幾何語言：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四邊形的對(duì)角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四邊形的對(duì)邊相等)

AO=CO，BO=DO(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)

平行四邊形的判定

判定定理1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)

判定定理2兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理3兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

判定定理5一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

矩形

性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

幾何語言：

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四個(gè)角都是直角)

推論直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

幾何語言：

∵△ABC為直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

幾何語言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)

判定定理2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

幾何語言：

∵AC=BD

∴四邊形ABCD是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形)

菱形

性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

性質(zhì)定理2菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

幾何語言：

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四條邊都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角)

判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

幾何語言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四邊形ABCD是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形)

判定定理2對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

幾何語言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

正方形

性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形

定理1關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱

梯形

等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

幾何語言：

∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

幾何語言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四邊形ABCD是等腰梯形(在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位線

三角形中位線定理三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半

幾何語言：

∵EF是三角形的中位線

∴EF=AB(三角形中位線定理)

梯形中位線定理梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半

幾何語言：

∵EF是梯形的中位線

∴EF=(AB+CD)(梯形中位線定理)

比例線段

1、比例的基本性質(zhì)

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性質(zhì)

3、等比性質(zhì)

平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

幾何語言：

∵l‖p‖a

(三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例)

推論平行與三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊

垂直于弦的直徑

垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語言：

∵OC⊥AB，OC過圓心

(垂徑定理)

推論

1(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直徑

(平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)

(2)弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語言：

∵AC=BC，OC過圓心

(弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

幾何語言：

(平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧)

推論2圓的兩條平分弦所夾的弧相等

幾何語言：∵AB‖CD

圓心角、虎弦、弦心距之間的關(guān)系

定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距也相等

推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等

圓周角

定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直角

推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

圓的內(nèi)接四邊形

定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

幾何語言：

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切線的判定和性質(zhì)

切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

幾何語言：∵l⊥OA，點(diǎn)A在⊙O上

∴直線l是⊙O的切線(切線判定定理)

切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)半徑

幾何語言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O于點(diǎn)A

∴l(xiāng)⊥OA(切線性質(zhì)定理)

推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過切點(diǎn)

推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

切線長(zhǎng)定理

定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

幾何語言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C兩點(diǎn)

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切線長(zhǎng)定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠A所對(duì)的是

∴∠BCN=∠A

推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠ACM所對(duì)的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被焦點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等

幾何語言：∵弦AB、CD交于點(diǎn)p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

幾何語言：∵AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推論)

切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

幾何語言：∵pT切⊙O于點(diǎn)T，pBA是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理)

推論從圓外一點(diǎn)因圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等

幾何語言：∵pBA、pDC是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理推論)。

第三篇：初中數(shù)學(xué)幾何定理集錦

初中數(shù)學(xué)幾何定理集錦

1。同角（或等角）的余角相等。

3。對(duì)頂角相等。

5。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

6。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

7。同位角相等，兩直線平行。

12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。

16。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

19。在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。及其逆定理。

21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

22。一組對(duì)邊平行且相等、或兩組對(duì)邊分別相等、或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。

24。有三個(gè)角是直角的四邊形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

25。菱形性質(zhì)：四條邊相等、對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

27。正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

34。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等。

36。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

43。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

37．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

47。切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

48。切線的性質(zhì)定理①經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。②圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。③經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

49。切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。連結(jié)圓外一點(diǎn)和圓心的直線，平分從這點(diǎn)向圓所作的兩條切線所夾的角。

50。弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

51。相交弦定理；切割線定理 ； 割線定理

第四篇：初中定理

初中幾何證明的依據(jù)

1.兩點(diǎn)連線中線段最短.2.同角（或等角）的余角相等.同角(或等角)的補(bǔ)角相等.對(duì)頂角相等.3.平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.4．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等,到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．

5.兩直線平行，同位角相等．同位角相等，兩直線平行．

6.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等(同旁內(nèi)角互補(bǔ))．內(nèi)錯(cuò)角相等(同旁內(nèi)角互補(bǔ))，兩直線平行．

7.經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行．

8.三角形的任意兩邊之和大于第三邊．三角形任意兩邊之差小于第三邊．

9.三角形的內(nèi)角之和等于180°．三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.10.三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半.11.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.12.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.13.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.14.等腰三角形的兩底角相等(等邊對(duì)等角）.底邊上的高、中線及頂角的平分線三線合一.15.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊）.等邊三角形的每個(gè)角都等于60°.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.16.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.如果三角形的一邊的平方等于另外兩邊的平方和,那么這個(gè)三角形是直角三角形.17.直角三角形的兩銳角互余,斜邊上的中線等于斜邊的一半.直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.18.n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°;任意多邊形的外角和等于360°.19.平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、兩對(duì)角線互相平分.20.一組對(duì)邊平行且相等,或兩條對(duì)角線互相平分,或兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.21.矩形的四個(gè)角都是直角,對(duì)角線相等.22.三個(gè)角是直角的四邊形,或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形.23.菱形的四邊相等,對(duì)角線互相垂直平分.24.四邊相等的四邊形,或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形.25.正方形具有菱形和矩形的性質(zhì).26.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.27.等腰梯形同一底邊上的兩底角相等,兩條對(duì)角線相等.28.在同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形.梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.

第五篇：初中數(shù)學(xué)常用定理

1圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合2圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合3圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合4同圓或等圓的半徑相等

5到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半

徑的圓

6和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直

平分線

7到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線

8到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距

離相等的一條直線

9定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

10垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

11推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?、谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧12推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

13圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

14定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦

相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

15推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

16定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

17推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

18推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所

對(duì)的弦是直徑

19推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

20定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

21①直線L和⊙O相交 d＜r

②直線L和⊙O相切 d=r

③直線L和⊙O相離 d＞r

22切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線23切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

24推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

25推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

26切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

27圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

28弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

29推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

30相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等