第一篇：初中平面幾何重要定理匯總

初中平面幾何重要定理匯總

1、勾股定理(畢達哥拉斯定理)（直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊是c；則a*a+b*b=c*c）

2、射影定理(歐幾里得定理)(直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC。等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明))

3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點。

7、三角形的三條高線交于一點

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足為L，則AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(歐拉線)上。

10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點圓)

圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長的一半

14、(旁心)三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點

15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的中心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線。

26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點

31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點。

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。

35、史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點P關(guān)于△ABC的鏡象線。

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點。

41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。

42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點)

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。

48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓[通常稱這個圓為九點圓[nine-point circle],或歐拉圓,費爾巴哈圓.49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點。

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。

60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點共線。

第二篇：初中平面幾何的60個定理

1、勾股定理(畢達哥拉斯定理)小學(xué)都應(yīng)該掌握的重要定理

2、射影定理(歐幾里得定理)重要

3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

重要

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點 學(xué)習(xí)中位線時的一個常見問題，中考不需要，初中競賽需要

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

完全沒有意義，學(xué)習(xí)解析幾何后顯然的結(jié)論，不用知道

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點。重要

7、從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線交于一點 重要

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足不L，則AH=2OL 中考不需要，競賽中很顯然的結(jié)論

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

高中競賽中非常重要的定理，稱為歐拉線

10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，高中競賽中的常用定理

11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上 高中競賽中會用，不常用

12、庫立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點圓)圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓。

高中競賽的題目，不用掌握

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長的一半

重要

14、(旁心)三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點

重要

15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中競賽需要，重要

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中競賽需要，重要

17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD 顯然的結(jié)論，不需要掌握

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上 高中競賽需要，重要

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC 初中競賽需要，重要

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)后是顯然的結(jié)論，不需要掌握

21、愛爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形。不需要掌握

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

不需要掌握

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中競賽需要，重要

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)初中競賽需要，重要

25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線。

不用掌握

26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線

不用掌握

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中競賽需要，重要

28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M 不用掌握

29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中競賽需要，重要

30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點

這個定理用塞瓦定理來證明將毫無幾何美感，應(yīng)該用中位線證明才漂亮

31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點。

不用掌握

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)初中競賽的常用定理

33、西摩松定理的逆定理：(略)初中競賽的常用定理

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。

不用掌握

35、史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點P關(guān)于△ABC的鏡象線。

不用掌握

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點 不用掌握

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。

不用掌握

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點 不用掌握

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點。

不用掌握

41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。不用掌握

42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。

不用掌握

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

不用掌握

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

不用掌握

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

不用掌握

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點)不用掌握

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。

不用掌握

48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓[通常稱這個圓為九點圓[nine-point circle],或歐拉圓,費爾巴哈圓.上面已經(jīng)有了

49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。

不用掌握

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。

不用掌握

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。不用掌握

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點。

不用掌握

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

不用掌握

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

不用掌握

55、莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

這是我認為的平面幾何中最漂亮最神奇的幾個定理之一，但不用掌握

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

高中競賽中常用

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

不用掌握

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

高中競賽中偶爾會用

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。

高中競賽中偶爾會用

60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點共線。高中競賽中重要，一般稱做帕斯卡定理，而且是圓錐曲線內(nèi)接六邊形。

第三篇：奧數(shù)平面幾何幾個重要定理

平面幾何中幾個重要定理及其證明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其證明

定理：在?ABC內(nèi)一點P，該點與?ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交?ABC三邊AB、BC、CA于點D、E、F，且D、E、F三點均不是?ABC的頂點，則有

D F P C A ADBE?

DB?ECCF?1． FAB E ADS?ADPS?ADC?證明：運用面積比可得DB?S． S?BDP?BDC根據(jù)等比定理有

S?ADPS?ADCS?ADC?S?ADPS?APC???S?BDPS?BDCS?BDC?S?BDPS?BPC，ADS?APCBES?APBCFS?BPC??所以DB?S．同理可得，． ECS?APCFAS?APB?BPCADBECF???1． 三式相乘得DBECFA注：在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其證明

定理：在?ABC三邊AB、BC、CA上各有一點D、E、F，ADBECF???1，那么直且D、E、F均不是?ABC的頂點，若

DBECFA線CD、AE、BF三線共點．

證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點P，直線CP交AB于點D/，則據(jù)塞瓦定理有

AD/BECF???1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于點D、D/都

因為

DBECFADBDB在線段AB上，所以點D與D/重合．即得D、E、F三點共線．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證．

二、梅涅勞斯定理

3．梅涅勞斯定理及其證明 定理：一條直線與?ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點D、B E、F，且D、E、F均不是?ABC的頂點，則有

D E C G A F

ADBE??

DBECCF?1． FA證明：如圖，過點C作AB的平行線，交EF于點G．

CGCF?因為CG // AB，所以 ————（1）ADFACGEC?因為CG // AB，所以 ————（2）DBBEADBECFDBBECF???1．??由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運用相似比得出兩個比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證．

4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明

定理：在?ABC的邊AB、BC上各有一點D、E，在邊ACADBECF???1，的延長線上有一點F，若

DBECFA

那么，D、E、F三點共線．

證明：設(shè)直線EF交AB于點D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有

AD/BECF???1． /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于點D、D/都因為

DBECFADBDB

在線段AB上，所以點D與D/重合．即得D、E、F三點共線．

注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律．

三、托勒密定理

5．托勒密定理及其證明

定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有

AB·CD + BC·AD = AC·BD．

證明：設(shè)點M是對角線AC與BD的交點，在線段BD上找一點，使得?DAE =?BAM．

因為?ADB =?ACB，即?ADE =?ACB，所以?ADE∽?ACB，即得

D E A M B C ADDE?，即AD?BC?AC?DE ————（1）ACBC由于?DAE =?BAM，所以?DAM =?BAE，即?DAC =?BAE。而?ABD =?ACD，即?ABE =?ACD，所以?ABE∽?ACD．即得

ABBE??

，即AB?CDACCDA?C ————（B2）

由（1）+（2）得

?BC?

ADA?BC?DA?C?DE?AC?BE? ．所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．

注：巧妙構(gòu)造三角形，運用三角形之間的相似推得結(jié)論．構(gòu)造有特點，不容易想到，要認真分析題目并不斷嘗試．

6．托勒密定理的逆定理及其證明

定理：如果凸四邊形ABCD滿足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四點共圓．

證法1（同一法）：

在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點E，使得?EAB??DAC，?EBA??DCA，則?EAB∽?DAC．

A B 可得AB×CD = BE×AC ———（1）

AEAB且 AD?AC

———（2）

則由?DAE??CAB及（2）可得?DAE∽

E D C ?CAB．于是有

AD×BC = DE×AC ———（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)． 據(jù)條件可得 BD = BE + DE，則點E在線段BD上．則由?EBA??DCA，得?DBA??DCA，這說明A、B、C、D四點共圓．

證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）

延長DA到A/，延長DB到B/，使A、B、B/、A/四點共圓．延長DC到C/，使得B、C、C/、B/四點共圓．（如果能證明A/、B/、C共線，則命題獲證）

那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點也共圓． A/B/?

因此，ABA/DB/C/?，BDBC/

A/ B/ A B C/D． BDD C C/ //AB?AD?BC?CD////

可得 AB?BC?.BDA/C/

另一方面，AC?/A/DAC?AD//AC?，即． CDCDAB?A/D?BC?C/DAC?A/D

欲證=，即證

CDBDAB?CD?A/D?BC?CD?C/D?AC?BD?A/D

//

即 BC?CD?CD?(AC?BD?AB?CD)AD．

據(jù)條件有 AC?BD?AB?CD?AD?BC，所以需證

BC?CD?C/D?AD?BC?A/D，//CD?CD?AD?AD，這是顯然的．所以，即證A/B/?B/C?//ACA/、B/、C/共線．所以?A/B/B與?BB/C/，即

////互補．由于?ABB??DAB，?BBC??DCB，所以?DAB與?DCB互補，即A、B、C、D四點共圓．

7．托勒密定理的推廣及其證明

定理：如果凸四邊形ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有

AB×CD + BC×AD > AC×BD

A B E D C 證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點E，使得?EAB??DAC，?EBA??DCA，則?EAB∽?DAC．

可得AB×CD = BE×AC ————（1）

AEAB?且

————（2）ADAC則由?DAE??CAB及（2）可得?DAE∽?CAB．于是

AD×BC = DE×AC ————（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)因為A、B、C、D四點不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知

AB×CD + BC×AD?AC×BD 所以BE + DE?BD，即得點E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE + DE > BD．

所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．

四、西姆松定理

8．西姆松定理及其證明

定理：從?ABC外接圓上任意一點P向BC、CA、AB或其

延長線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點共線．

證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點D/，連接PD/．

B F A D C E P 因為PE?AE，PF?AF，所以A、F、P、E四點共圓，可得?FAE =?FEP．

因為A、B、P、C四點共圓，所以?BAC =?BCP，即?FAE =?BCP．

所以，?FEP =?BCP，即?D/EP =?D/CP，可得C、D/、P、E四點共圓．

所以，?CD/P +?CEP = 1800。而?CEP = 900，所以?CD/P = 900，即PD/?BC．

由于過點P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點D與D/重合，即得D、E、F三點共線．

注：（1）采用同一法證明可以變被動為主動，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件．但需注意運用同一法證明時的唯一性．

（2）反復(fù)運用四點共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點共圓的運用手法．

五、歐拉定理

9．歐拉定理及其證明

定理：設(shè)ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點共線（歐拉線），且滿足OH?3OG．

BOHADEC

證明（向量法）：連BO并延長交圓O于點D。連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點，連接OE和OC．則

OH?OA?AH ——— ①

因為 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD為平行四邊形．

從而得AH?DC．而DC?2OE，所以AH?2OE．

???1????因為OE?2??OB?OC??，所以AH?OB?OC ——— ②

????????????由①②得：OH?OA?OB?OC ———— ③ 另一方面，OG?OA?AG?OA?2GF?OA?GB?GC．

GC?GO?OC，所以 而GB?GO?OB，??????????????????

1?????OG?OA?2GO?OC?OB?OG??OA?OB?OC??? 3??????????—— ④

由③④得：OH?3OG．結(jié)論得證．

注：（1）運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨特之處，注意掌握向量對幾何問題的表現(xiàn)手法；

（2）此題也可用純幾何法給予證明． 又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點G/；連BO并延長交圓O于點D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點，連接OE和OC，如圖．

因為 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD為平行四邊形．

可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．

因為AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得?AHG/∽

BEOG ADHC?EOG/．所以

AHAG/HG/2?/?/?． OEGEGO1AG/2由/?，及重心性質(zhì)可知點G/就是?ABC的重心，即GE1G/與點G重合．

所以，G、O、H三點共線，且滿足OH?3OG．

六、蝴蝶定理

10．蝴蝶定理及其證明

定理：如圖，過圓中弦AB的中點M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM = MQ．

證明：過點M作直線AB的垂線l，D / FF C/E C / A QQ M P B 作直線CF關(guān)于直線l的對稱直線交圓于點C/、F/，交線段AB于點Q/．連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對稱性可知：

?MFQ =?MFP，?FQM =?FPM； //

//且FF/ // AB，PM = MQ/． 因為C、D、F/、F四點共圓，所以

?CDF +?CFF = 180/

/

0，而由FF/ // AB可得?Q/PF +?CFF/ = 1800，所以

?CDF =?QPF，即?MDF =?QPF． /

/

/

/又因為?Q/PF =?PQ/F/，即?Q/PF =?MQ/F/．所以有

?MDF =?MQF． /

//這說明Q/、D、F/、M四點共圓，即得?MF/Q/ =?Q/DM． 因為?MF/Q/ =?MFP，所以?MFP =?Q/DM．而?MFP =?EDM，所以?EDM =?Q/DM．這說明點Q與點Q/重合，即

得PM = MQ．

此定理還可用解析法來證明： 想法：設(shè)法證明直線DE和CFx軸上的截距互為相反數(shù)．

證：以AB所在直線為x軸，段AB的垂直平分線為y軸建立直坐標系，M點是坐標原點．

設(shè)直線DE、CF的方程分別為

x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；

直線CD、EF的方程分別為

y = k1 x，y = k2 x ．

則經(jīng)過C、D、E、F四點的曲線系方程為

(y –k1 x)(y –k2 x)+?(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．

整理得

(?+k1k2)x 2+(1+?m1m2)y 2–[(k1+k2)+?(m1+m2)]xy

–?(n1+n2)x+?(n1m2+n2m1)y+?n1n2=0． 由于C、D、E、F四點在一個圓上，說明上面方程表示的是一個圓，所以必須

?+ k1 k2 = 1 +?m1 m2 ≠ 0，且

(k1+k2)+?(m1+m2)=0．

DFAQEMyCPBx在線角

若?=0，則k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故?≠0； 又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應(yīng)落在y軸上，故有?(n1 + n2)= 0，從而得n1 + n2 = 0．

這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為相反數(shù)，即得PM = MQ．

注：利用曲線系方程解題是坐標法的一大特點，它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問題．如本題，四條直線方程一經(jīng)組合就魔術(shù)般地變成了圓方程，問題瞬息間得以解決，真是奇妙．運用它解題，不拘泥于小處，能夠從整體上去考慮問題．

另外，待定系數(shù)法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．

第四篇：高中平面幾何定理

（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識（基本定理、基本性質(zhì)）

1． 勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去

這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．

2． 射影定理（歐幾里得定理）

3． 中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點為P，則有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中線長：ma?2b?2c?a2222．

4． 垂線定理：AB?CD?AC2?AD2?BC2?BD2． 高線長：ha?2ap(p?a)(p?b)(p?c)?bc

asinA?csinB?bsinC．

5． 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，則BD

DC?AB

AC；（外角平分線定理）． cosA

2角平分線長：ta?

6． 正弦定理：a

sinA?2b?cb

sinB(p?a)?csinC2bcb?c（其中p為周長一半）． ??2R，（其中R為三角形外接圓半徑）．

7． 余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC．

8． 張角定理：sin?BAC

AD? sin?BAD

AC?sin?DAC

AB．

9． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BD

－AD2·BC＝BC·DC·BD．

10． 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

11．12．

13． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向

一邊作垂線，其延長線必平分對邊．

2214． 點到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點，PO=d，⊙O的半徑為r，則d－r就是點P對

于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點A、B，則PA·PB= |d－r|．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當(dāng)三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．

15． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即2

2AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．

17． 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點即為費馬

點．

18． 拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線

共點，并且AE＝BF＝CD，這個命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心．

19． 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對

邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:

（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;

（3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕． 20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 21． 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 22． 23．

G（銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；

xA?xB?xC,yA?yB?yC)

重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則AG:GD?2:1；

（2）設(shè)G為△ABC的重心，則S?ABG?S?BCG?S?ACG?

交

DEBC

3S?ABC；

（3）設(shè)G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，BC

?FPCA

于

?

F，過

KHAB

?

G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

2DEFPKH

;???2； 3BCCAAB

（4）設(shè)G為△ABC的重心，則

①BC2?3GA2?CA2?3GB2?AB2?3GC2； ②GA2?GB

?GC

?

(AB

?BC

?CA)；

③PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P為△ABC內(nèi)任意一點）；

④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA2?GB2?GC2最??；

⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．

24．垂

aH（cosA

心

xA?

b

：

xB?

三

c

角

xC,形

acosA的yA?

b

三

yB?

條

c

高

yC)

線的交點；

cosBcosC

abc

??

cosAcosBcosCcosBcosC

abc

??

cosAcosBcosC

垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；

（2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；

（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA．

25．內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；

I（axA?bxB?cxC

a?b?c,ayA?byB?cyC

a?b?c)

內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則?BIC?90??

2?A,?AIC?90??

?B,?AIB?90??

?C；

（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若?A平分線交△ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點K，則

AIID?AKKI

?IKKD

?b?ca；

（5）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F，內(nèi)切圓

半

徑

為

r，令

p?

(a?b?c)，則①

S?ABC?pr

；②

AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③abcr?p?AI?BI?CI．

26． 外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；

O（sin2AxA?sin2BxB?sin2CxC

sin2A?sin2B?sin2C,sin2Ay

A

?sin2ByB?sin2CyC

sin2A?sin2B?sin2C)

外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等；

（2）設(shè)O為△ABC的外心，則?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；（3）R

和． 27．

旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設(shè)△ABC的三邊

(a?b?c)，分別與BC,AC,AB外側(cè)相切的旁切圓圓心記為

?

abc4S?

；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之

BC?a,AC?b,AB?c,令p?

IA,IB,IC，其半徑分別記為rA,rB,rC．

旁心性質(zhì)：（1）?BIAC?90??（2）?IAIBIC?

?A,?BIBC??BICC?

?A,（對于頂角B，C也有類似的式子）；

(?A??C)；

（3）設(shè)AIA的連線交△ABC的外接圓于D，則DI

A

； ?DB?DC（對于BIB,CIC有同樣的結(jié)論）

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑R'等于△ABC的直徑為2R． 28． 三角形面積公式

S?ABC?

12aha?

absinC?

a4R

c2b

?2RsinAsinBsinC?

a4（：

?b

?c

oC)o

o

tt

t

A?ccB?c

?pr?

p(p?a)(p?b)(p?c)，其中ha表示BC邊上的高，R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，p?

(a?b?c)．

29． 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系：

A2

rtan

B2tan

C2

r?4Rsinsin

B2

sin

C2

;ra?4Rsin

rtan

A2tan

C2

A2

cos

B2

cos

r

C2,rb?4Rcos

;1ra

?1rb

?

A2

sin

?

B2

1r.cos

C2,rc?4Rcos

A2

cos

B2

sin

C2

;

r

a

?,rb?,rc?

tan

1rc

A2

tan

B2

30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我?/p>

BPPC

?CQQA

?ARRB

?1．（逆定理也成立）

頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有

31． 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB

于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線． 32． 33．

梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線．

塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直

AZBXCY

·．

ZBXCYA

34． 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設(shè)

BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點M．

線交于一點的充要條件是35．

塞瓦定理的逆定理：（略）

36． 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點． 37．

塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點．38． 西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略）40．

關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上．

41． 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其

余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點． 42． 史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于△ABC的點P的西摩松線通

過線段PH的中心． 43．

史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點P關(guān)于△ABC的鏡象線． 44． 牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共

線．這條直線叫做這個四邊形的牛頓線．45． 46．

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線．

笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和

F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線． 47． 笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線． 48． 波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?)．49． 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點． 50． 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取

三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點． 51． 波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR

為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點． 52．

波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點．

53． 卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線． 54．

奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線．

55． 清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則

D、E、F三點共線． 56． 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點

分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線．（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點）57． 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直

線上．58．

從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心．

59． 一個圓周上有n個點，從其中任意n－1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點． 60． 康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n－2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點． 61．

康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上．這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線． 62． 康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線

交于一點．這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點．

63． 康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊

形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上．這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線． 64． 65．

費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切．

莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形．這個三角形常被稱作莫利正三角形．

66． 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線

共點． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或

延長線的）交點共線． 68． 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上．這個圓稱為阿波羅尼斯圓． 69． 庫立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個

三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓． 70． 密格爾（Miquel）點： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點，構(gòu)成四

個三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點． 71． 葛爾剛（Gergonne）點：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點．72． 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點，過M向三邊

作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式： S?DEF

S?ABC

?|R

?d

|

．

4R

第五篇：平面幾何的幾個重要定理--西姆松定理答案

《西姆松定理及其應(yīng)用》

西姆松定理：若從?ABC外接圓上一點P作BC、AB、AC的垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點共線；證明：連接DE、DF，顯然，只需證明?BDE??FDC即可；??BDP??BEP?90??B、E、P、D四點共圓，??BDE??BPE同理可得：?FDC??PFC又??BEP??PFC?90?且?PCF?180???PBA??PBE??BPE??FPC??BDE??FDC?D、E、F三點共線

西姆松的逆定理：從一點P向?ABC的三邊(或它們的延長線)作垂線，若其垂足L、M、N在同一直線上，則P在?ABC的外接圓上；

例1.設(shè)?ABC的三條垂線AD、BE、CF的垂足分別為D、E、F；從點D作AB、BE、CF、AC的垂線，其垂足分別為P、Q、R、S，求證P、Q、R、S在同一直線上；證明：設(shè)?ABC的垂心為O，則O、E、C、D四點共圓?由西姆松定理有：Q、R、S三點共線又?O、F、B、D四點共圓且由西姆松定理有：P、Q、R三點共線?P、Q、R、S四點共圓

例2.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且?D是直角，若從B作直線AC、AD的垂線，垂足分別為E、F，則直線EF平分線段BD。證明：作BG?DC,由西姆松定理有：F、E、G共線，又??BFD??FDG??DGB?90?

?四邊形BFDG為矩形 ?對角線FG平分另一條對角線BD

例3.求證：四條直線兩兩相交所構(gòu)成的四個三角形的外接圓相交于一點，且由該點向四條直線所作垂線的垂足在一條直線上；證明：如圖，設(shè)四條直線AB、BC、CD、AD中，AB交CD于點E，BC交AD于點F，圓BCE與圓CDF的另一個交點為G??BGF??BGC??CGF??BEC??CDA??BGF??A?180?，即圓ABF過點G同理圓AED也過點G?圓BCE、圓CDF、圓ABF、圓AED交于同一點G若點G向AB、BC、CD、DA所作垂線的垂足分別為E、L、M、N、P，由西姆松定理可知L、M、N在一條直線上，M、N、P在一條直線上，故L、M、N、P在同一條直線上

例4.設(shè)?ABC的外接圓的任意直徑為PQ，則關(guān)于P、Q的西姆松線是互相垂直的。

提示：由P、Q向BC作垂線并延長交外接圓于點P'、Q'，先證P'A、Q'A分別與點P、Q的西姆松線平行，再證PP'QQ'是矩形，則P'A?O'A

練習(xí)

1、四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且?CDA是直角，若從B點作直線AC、AD的垂線，垂足分別為E、F，求證：EF或其延長線平分BD；

證明：由B作DC的垂線BG，由西姆松定理可知E、F、G共線

??BFD??FDG?90?

四邊形BGDF是矩形，BD被另一對角線FG所平分

練習(xí)

2、如圖，設(shè)P、Q為?ABC外接圓上的兩點，求證，若?ABC關(guān)于P、Q的西姆松線DE和FG交于M，則?FME＝?PCQ;(奧林匹克數(shù)學(xué)高二分冊P242、11題)證明：設(shè)PE?FG＝N，PE?QG?L由題設(shè)可知，圖中Q、F、G、C和E、L、G、C和C、E、D、P分別四點共圓??EGQ＝?FCQ，?NLQ＝?GCE，?DEP＝?DCP??FME＝?MEN??MNE??DEP??NGL??NLC??DCP??FCQ??RCB??PCQ??FME＝?PCQ，2 練習(xí)

3、設(shè)?ABC的垂心為H，其外接圓上任意一點P，求證:?ABC關(guān)于P點的西姆松線過線段PH的中點。(奧林匹克數(shù)學(xué)高二分冊P242、12題)