第一篇：放縮法是不等式證明中一種常用的方法

放縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法。在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮之后得不出結(jié)論或得出相反結(jié)論的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。下面舉幾個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。

例 1已知,求證：

分析 由把可想到二項(xiàng)式系數(shù)的和為，由可想到二項(xiàng)式定理，利用放縮法構(gòu)造出二項(xiàng)式定理公式，從而得出結(jié)論。轉(zhuǎn)化成證明設(shè)且。

對(duì)任意，有

將上述各式疊加：

例 2 求證：

分析左式是n個(gè)因式連乘的形式，應(yīng)把各因式化為分式，通過(guò)放縮，使之能交替消項(xiàng)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。由于右式是，因此所放縮后的因式應(yīng)與有關(guān)。證明

例

分析左式很難求和，可將右式拆成n項(xiàng)相加的形式，然后證明右式各項(xiàng)分別大于左式各項(xiàng)，疊加得出結(jié)論。

證明

總之，如何確定放縮的尺度，是應(yīng)用放縮法證明中最關(guān)鍵、最難把握的問(wèn)題。但是，只要抓住了欲證命題的特點(diǎn)，勤于觀察和思考，許多問(wèn)題都能迎刃而解。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過(guò)程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無(wú)法放縮。所以在運(yùn)用放

c?a?b[評(píng)析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因?yàn)?c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無(wú)法判斷符號(hào)，因此縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度。

例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對(duì)稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評(píng)析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)。

例3：設(shè)a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設(shè)a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對(duì)稱性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱性。

39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開(kāi)討論。

例5：設(shè)a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡(jiǎn)單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因?yàn)樽筮???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過(guò)頭，縮不能不及。

第三篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學(xué)題目是無(wú)限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對(duì)那無(wú)限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無(wú)邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒(méi)有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒(méi)有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;二是利用做題來(lái)鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒(méi)有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來(lái)屬于自己的春天。

第四篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級(jí)組長(zhǎng)：使用時(shí)間：

放縮法證明不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡(jiǎn)單的不等式。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：放縮法證明不等式。

難點(diǎn)：放縮法證明不等式。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時(shí)獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案；

2.紅筆勾出疑難點(diǎn)，提交小組討論；

3.預(yù)習(xí)p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)縮?。ɑ颍┓质降姆帜福ɑ颍蛲ㄟ^(guò)放大（或縮?。┍粶p式（或）來(lái)證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時(shí)常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮?。悍帜缸兇?，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(dāng)(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節(jié)小結(jié)：

第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識(shí)回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）

③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：

① 此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說(shuō)明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列

滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列

分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說(shuō)明理由；

（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識(shí)回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）

③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：

① 此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯(cuò)誤！未找到引用源。，而錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，解得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。，得錯(cuò)誤！未找到引用源。，例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析 【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.又錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．

故錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。可推廣為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說(shuō)明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見(jiàn)解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯(cuò)誤！未找到引用源。，和②：錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)于①只要錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。令錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。

即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，②式成立，即當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。

要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且

． 的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?duì) 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．

（），使

成等差數(shù)列，則，時(shí)取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時(shí)

4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成錯(cuò)誤！未找到引用源?？汕蟮缅e(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫(xiě)成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。． 又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。．

點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說(shuō)明理由；

（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見(jiàn)解析（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。，又因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問(wèn)時(shí)，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問(wèn)時(shí)，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。；證明第三問(wèn)時(shí)，充分借助（2）的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）見(jiàn)解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，從而錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。都是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比大于錯(cuò)誤！未找到引用源。，首項(xiàng)大于錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見(jiàn)解析.10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。，在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，