第一篇：高中任意角知識點總結(jié)

導語：世上并沒有用來鼓勵工作努力的賞賜，所有的賞賜都只是被用來獎勵工作成果的。以下小編為大家介紹高中任意角知識點總結(jié)文章，歡迎大家閱讀參考!

高中任意角知識點總結(jié)

1.任意角

(1)角的分類：

①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.②按終邊位置不同分為象限角和軸線角.(2)終邊相同的角：

終邊與角相同的角可寫成+k360(kZ).(3)弧度制：

①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，||=，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑.③用弧度做單位來度量角的制度叫做弧度制.比值與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).④弧度與角度的換算：360弧度;180弧度.⑤弧長公式：l=||r，扇形面積公式：S扇形=lr=||r2.2.任意角的三角函數(shù)

(1)任意角的三角函數(shù)定義：

設(shè)是一個任意角，角的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin =y，cos =x，tan =，它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函數(shù)線

設(shè)角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標為(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos =OM，sin =MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan =AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線.

第二篇：教案《任意角》

《任意角》教案

教學目標：要求學生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內(nèi)建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻摻?；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學重點：理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學難點：“旋轉(zhuǎn)”定義角

課標要求：了解任意角的概念

教學過程：

一、引入

同學們在初中時，曾初步接觸過三角函數(shù)，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡單的邊角關(guān)系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，在今后的學習中大家會發(fā)現(xiàn)三角學有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡單地解決許多數(shù)學問題，在中學數(shù)學中有著非常廣泛的應(yīng)用。

二、新課

1．回憶：初中是任何定義角的？

（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”

師：初中時，我們已學習了0○～360○角的概念，它是如何定義的呢？

生：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。

師：如圖1，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角α。旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫α的頂點。

師：在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720o”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校正，需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？

生：逆時針旋轉(zhuǎn)300；順時針旋轉(zhuǎn)300.師：（1）用扳手擰螺母；（2）跳水運動員身體旋轉(zhuǎn)．說明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周……，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認識范圍。本節(jié)課將在已掌握 ～ 角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法．

2.角的概念的推廣：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形 3．正角、負角、零角概念

師：為了區(qū)別起見，我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它00等于30與750；我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學們猜猜看，負角怎么規(guī)定呢？零角呢？

生：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。

00師：如圖3，以O(shè)A為始邊的角α=-150，β=-660。特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為這是形成了一個角，并把這個角稱為零角。師：好，角的概念經(jīng)過這樣的推廣之后，就應(yīng)該包

括正角、負角、零角。這里還有一點要說明：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可簡記為α.4.象限角

師：在今后的學習中，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念。同學們已經(jīng)經(jīng)過預習，請一位同學回答什么叫：象限角？

生：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。

師：很好，從剛才這位同學的回答可以知道，她已經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：

1.定義中說：角的始邊與x軸的非負半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？

2.定義中有個小括號，內(nèi)容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？ 3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？ 處理：學生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。答：1.不行，始邊包括端點（原點）； 2．端點在原點上；

3．不是，一些特殊角終邊可能落在坐標軸上；如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象限。

師：同學們一定要學會看數(shù)學書，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個字都要弄清楚，這樣的預習才是有效果的。

00000師生討論：好，按照象限角定義，圖中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60

0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？

生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

0師：（2）銳角就是小于90的角嗎？

0生：小于90的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；

00師：（3）銳角就是0～90的角嗎？

000000生：銳角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.學生練習（口答）已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？

0000（1）420；

（2）-75；

（3）855；

（4）-510.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.終邊相同的角的表示法

師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)? 390?

?330?

30?

1470?

?1770? 生:終邊重合.0師:請同學們思考為什么？能否再舉三個與30角同終邊的角？

0000000000生：圖中發(fā)現(xiàn)390，-330與30相差360的整數(shù)倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；000與30角同終邊的角還有750，-690等。

0師：好！這位同學發(fā)現(xiàn)了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差360的整數(shù)倍。例0000000如：750=2×360+30；-690=-2×360+30。那么除了這些角之外，與30角終邊相同的角還有：

3×360+30

-3×360+30

0000

4×360+30

-4×360+30

??，??，000由此，我們可以用S={β|β=k×360+30，k∈Z}來表示所有與30角終邊相同的角的集合。6.例題講評

例1 設(shè)E?{小于90o的角｝，F(xiàn)?{銳角｝，G＝{第一象限的角｝，那么有（D 0000）．

（

）

D．

A．例2用集合表示：

B．

C．

（1）各象限的角組成的集合．

（2）終邊落在

o

o

o

軸右側(cè)的角的集合．

解：(1)第一象限角：｛α|k360π＜α＜k360+90,k∈Z｝

oooo第二象限角：｛α|k360+90＜α＜k360+180,k∈Z｝

oooo第三象限角：｛α|k360+180＜α＜k360+270,k∈Z｝

ooo第四象限角：{α|k360+270o＜α＜k360+360 ,k∈Z｝

三.本課小結(jié)

本節(jié)課我們學習了正角、負角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，本節(jié)課的重點是學習終邊相同的角的表示法。判斷一個角 么 是第幾象限角，只要把

改寫成

與角，適合關(guān)系：，那，在第幾象限，則、就是第幾象限角，若角

與 終邊相同；若角 適合關(guān)系：

則、終邊互為反向延長線．判斷一個角所有象限或不同角之間的終邊關(guān)系，可首先把，這種模式（），然后只要考查 的相關(guān)它們化為：

問題即可．另外，數(shù)形結(jié)合思想、運動變化觀點都是學習本課內(nèi)容的重要思想方法．

四.作業(yè):

第三篇：任意角三角函數(shù)定義

“任意角三角函數(shù)定義”的教學認識與設(shè)計

浙江金華第一中學 孔小明

本文首先對三角函數(shù)定義的教學進行從整體到局部的分析，并在此基礎(chǔ)上給出定義教學的主干問題設(shè)計.1．整體把握，使教學線索清晰，層次分明

三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型.高中學習的三角函數(shù)是在初中學習銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過用旋轉(zhuǎn)的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合坐標系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學要以函數(shù)思想為指導，以坐標系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認知的起點，促進任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學習目標是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程,體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程,領(lǐng)悟直角坐標系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗.由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數(shù)定義,與學生初中學習的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個側(cè)重代數(shù)的坐標（比值）表示.與學生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的對應(yīng),而三角函數(shù)首先是實數(shù)（弧度數(shù)）到點的坐標的對應(yīng),然后才是實數(shù)（弧度數(shù)）到實數(shù)（橫坐標或縱坐標）的對應(yīng).學生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進學生理解定義的關(guān)鍵是讓學生經(jīng)歷定義的形成過程,增強學習活動的體驗,在教師的引導下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點在終邊上的位置無關(guān)，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書這樣設(shè)計改變了以往純學術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,反映了數(shù)學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過渡自然,有利于學生步步加深對三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認為,教學設(shè)計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學生的認知特點,進行教學法的深加工即可.2．抓住關(guān)鍵，使教學精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設(shè)計,根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創(chuàng)造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個環(huán)節(jié)進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學生認知特點的具體的教育形態(tài),使學生感受“數(shù)學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數(shù)學課標課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學對高中數(shù)學支持減弱，新課程賦予數(shù)學教學更多的價值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實也是沒必要的.事實上，學生在校以學習間接經(jīng)驗為主,學生的學習主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對教學起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學達到平衡，讓教學效益達到最大化.在引導學生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學習的必要性”問題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問題.之前,在任意角內(nèi)容的學習中,學生已經(jīng)有了在直角坐標系內(nèi)討論角的經(jīng)驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數(shù).筆者認為，從幫助學生理解定義的實質(zhì)，體會坐標思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當?shù)恼Z言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設(shè)計具有啟示性：

現(xiàn)在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內(nèi)的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關(guān)鍵問題展開，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導學生從函數(shù)的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來認識三角函數(shù).在第三個環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應(yīng)關(guān)系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡的角度設(shè)置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認知準備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對學生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對定義合理性認知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，給出如下先行組織者和主干問題設(shè)計.先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會生活和科學實踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內(nèi)容.問題1：在初中，我們已經(jīng)學習了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，為用坐標定義三角函數(shù)作準備.問題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導學生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內(nèi)進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復始”的現(xiàn)象.坐標系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數(shù).問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？

意圖：引導學生用坐標表示銳角三角函數(shù).問題5：各個比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？

意圖：扣準函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強函數(shù)觀念.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結(jié)論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應(yīng)關(guān)系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問題7：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導學生用函數(shù)三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、值域.引導學生思考定義的合理性，先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學設(shè)計

陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，210003）

一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數(shù)學中其他學科的基礎(chǔ)．

角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0°~360°內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果．

比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來了方便．

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．

任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關(guān)鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．

任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、變化、對應(yīng)等數(shù)學思想方法． 二．目標和目標解析

本節(jié)課的目標是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．

學生已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復習銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．

要實現(xiàn)讓學生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關(guān)系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

三．教學問題診斷分析

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學習，從認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關(guān)系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學策略上先復習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．

學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認識的基礎(chǔ)上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．

教學的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)”到底是為了什么．可以在復習銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，四．教學支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學效果．）內(nèi)的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設(shè)計 1．理解銳角三角函數(shù)

要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復習初中所學習過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學習任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：

（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？

意圖：學生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)），對應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．

銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應(yīng)，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．

問題4 你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導學生勤于思考，逐步學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角．

問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權(quán)交給學生，引導學生參與定義過程，發(fā)展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）

因為前面已經(jīng)有引導，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數(shù)值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數(shù)值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數(shù)的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認識三角函數(shù)在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．

教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域

問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導以弧度制表示它的定義域． 5．練習

（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數(shù)值：

6．小結(jié)

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數(shù)，今天又學習了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標檢測設(shè)計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數(shù)的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學片段

上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學生中間，觀察他們的學習行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學生，提示同桌的兩位同學可以商量一下，并提示，完成的同學請舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數(shù)．之后，教師又與學生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？學生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學生說出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問題4：你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”有學生舉手，表示想過這個問題，應(yīng)該是六個，另外三個可以把現(xiàn)有的三個倒一下得到．至此，時間已經(jīng)過去20多分鐘．

教師本以為，學生在初中既然學習過銳角三角函數(shù)，對給出的一個銳角，借助三角板構(gòu)造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學生，這就嚴重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內(nèi)涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

過早，應(yīng)用更少的現(xiàn)象．

（2）問題出在哪里

問題在教學設(shè)計不夠合理，當中的“教學問題診斷分析”不夠準確．沒有準確把握學生的知識基礎(chǔ)與認識能力，對學生在學習中可能出現(xiàn)的困難估計不足．尤其是，對學生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計過高．主要表現(xiàn)在兩個方面，一是初中學習銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來認識，比如關(guān)注它的自變量是角，對應(yīng)的函數(shù)值是比值，更不關(guān)心它的定義域、值域以及對應(yīng)法則這些函數(shù)的要素．只要求運用符號sinA，cosA，tanA的意義來進行有關(guān)的計算，等．現(xiàn)在，要求學生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．

關(guān)于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標準指出：“通過實例認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角．”以及“運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡

單實際問題．”

筆者查閱了按照“課程標準”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

數(shù)．”

以后的內(nèi)容（包括解實際問題），都是有關(guān)三角函數(shù)值的計算，并不強調(diào)它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習，作用并不大．應(yīng)該說，這些都不違背“課程標準” 的要求．可見學生在初中學習過的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函

數(shù)”這個系統(tǒng)．

初中學習銳角三角函數(shù)有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數(shù)的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學生對銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

有教師認為，不必復習銳角三角函數(shù)，直接提出問題“同學們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，你認為應(yīng)該怎樣來定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學生更難回答．原因是對銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認識不足、理解不到位，要讓學生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復習初中銳角三角函數(shù)的概念，因為從銳角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學習．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標或者坐標的比值，在直角坐標系中認識銳角三角函數(shù)，并引導學生從“函數(shù)”的角度認識它，也就是弄清自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的．

（3）對教學的反思

高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學課程標準，了解初中教材，了解學生在初中學習過哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學目標是什么，關(guān)注學生的認知結(jié)構(gòu)．應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學習高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊．以為已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，學生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個明顯的例子．

教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎”其實，學生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過復習，來幫助學生

補上這一點．

2．其他反思

（1）由于學生在復習階段花了較多的時間，影響了新課的學習，用任意角三角函數(shù)概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習不好做”，說明復習銳角三角函數(shù)沒有必要．筆者認為，當“預設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學生的認知水平，尊重學生的認知心理過程，決不簡單化，把結(jié)論直接告訴給學生，追求“結(jié)果”，追求“完成”教學任務(wù)．教師不能認為我已經(jīng)把這個概念告訴你了，你就應(yīng)該知道了．數(shù)學教學不是“告訴教學”，概念不能靠學生“復制”，對概念需要的是理解，需要學生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學任務(wù)”，不能僅限于知識要求，要注意學生的全面發(fā)展．比如，當學生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問題．當學生不能說出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發(fā)類比S＝a2中a表示邊長，而S表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數(shù)的概念”的認識、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務(wù)，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數(shù)間的一一對應(yīng)有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學習的深入，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用，學生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強度的峰值），三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學模型；再比如，當學生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來看三角函數(shù)的定義域，會認識到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實數(shù)更具廣泛性．

這一節(jié)課把教學的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標（或坐標的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負數(shù)”的學生，就已經(jīng)開始接受有理數(shù)，逐漸成為中學生了．

還需要注意的是，應(yīng)該通過什么方式讓學生建立起用坐標（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領(lǐng)會建立這個概念過程

中所蘊涵的數(shù)學思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學生說出的結(jié)果是0.9985．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發(fā)現(xiàn)他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（Mode）設(shè)置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到0.9985（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設(shè)置成了弧度制（Radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學沒有關(guān)注到這節(jié)課剛學習過的概念，運用新概念解決當前的問題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計算器算出來的”這個認識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學具的依賴，影響學生思維能力的發(fā)展．學具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學習；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數(shù)的學習．因此，教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計算結(jié)果．

借班上課，對學生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學進度等問題，學生的知識儲備不足（在教學任意角三角函數(shù)概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學并不理想的一個重要原因．教學過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學生對教師的教學風格的適應(yīng)或認可也有一個過程，比如教師希望學生積極發(fā)言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進的教學理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進教學理念，去承擔反映數(shù)學教學規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實，也是不應(yīng)該的．

課堂教學是一項實踐性很強的工作，除了認真的課前準備外，對教學過程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機應(yīng)變十分重要．教師需要關(guān)注學生的學習行為，關(guān)注學生的認識過程，隨時修改自己的教學設(shè)計，調(diào)整教學內(nèi)容、教學要求，改變策略，選擇恰當?shù)姆椒▽嵤┙虒W，以達到最佳教學效果．這一切都需要教師有很強的基本功．

第四篇：《任意角》教學設(shè)計

《任意角》教學設(shè)計

教材分析：

本小節(jié)是人教版A版必修四第一章第一節(jié)的內(nèi)容。角的概念的考查多結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識進行，對求角的集合的交、并等計算技能的考查，有一定綜合性，涉及的知識點較多，不過多比較淺顯。三角函數(shù)的意義與三角函數(shù)的符號一般在最基本的層面上用選擇、填空題的形式考查。此節(jié)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過具體事例，再利用單位圓進一步研究任意角的三角函數(shù)，并用集合與對應(yīng)的語言來刻畫。這樣，在研究三角函數(shù)之前，就有必要先將角的概念推廣，從而建立角的集合與實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系。信息技術(shù)的使用可動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程，有利于學生觀察到角的變化與終邊位置的關(guān)系，進而更好地了解任意角和弧度的概念，體會角的“周而復始”的變化規(guī)律，為

研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ)。

一、教學目標：

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入大于的概念；

（2）理解任意角并掌握正角、負角、零角的定義；

（3）理解象限角的概念，學會在平面內(nèi)建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻摻牵徊⑦M而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括

角）的表示方法；

角和負角，要求學生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角（5）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度，強化學生的參與意識；（6）揭示知識背景，引發(fā)學生學習興趣；

（7）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念；

2、過程與方法

通過創(chuàng)設(shè)情境：“轉(zhuǎn)體三周半，逆（順）時針旋轉(zhuǎn)”，角有大于

角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，說明角不夠用了，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習.3、情態(tài)與價值

通過本節(jié)的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.理解掌握終邊相同角的表示方法，學會運用運動變化的觀點認識事物.二、教學重、難點

重點: 理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法；及象限角的含義.難點: 終邊相同的角的表示.三、學法與教學用具

之前的學習使我們知道最大的角是周角,最小的角是零角.通過回憶和觀察日常生活中實際例子,把對角的理解進行了推廣.把角放入坐標系環(huán)境中以后,了解象限角的概念.通過角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法.我們在學習這部分內(nèi)容時,首先要弄清楚角的表示符號,以及正負角的表示.另外還有相同終邊角的集合的表示等.教學用具:電腦、電子白板，粉筆，三角板

四、教學設(shè)計 【創(chuàng)設(shè)情境】

思考:

1、初中時我們是如何定義一個角的？角的范圍是多少？

2、如果你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25 小時，你應(yīng)當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？

學生活動：

1、①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．范圍（0°,360°）

2、[實際操作]看看我們教室的時鐘，會發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要順時針方向或逆時針方向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說之前的之間的角已經(jīng)不夠用了，這就是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角 設(shè)計意圖：形象，具體的讓學生感知角可以通過終邊不停的旋轉(zhuǎn)得到，以前的角度范圍明顯不滿足現(xiàn)實要求，所以要進一步推廣 【探究新知】

1、初中時，角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點

從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖1一條射線由原來的位置著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點，就形成角 叫做叫，繞

.旋轉(zhuǎn)開始時的射的頂點.記做：∠AOB或說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為．

圖1

2、再如在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）、自行車車輪、兩個齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖等都是按照不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角,要準確地描述這些角，不僅要知道角形成的結(jié)果，而且要知道角形成的過程，即必須要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive angle),按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角(zero angle).[展示課件]看圖讀角，形象的感知任意角，理解其含義 這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any angle）。注意：（1）零角的終邊與始邊重合，如果是零角則 =0°；

o（2）角的概過推廣后，括正角、負零角．

3、念經(jīng)已包角和在今后的學習中，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant angle).練習：①說出下列各角分別位于第幾象限。175°，225°，-300°

②那 0°，90°，180°，270°呢？（電子白板演示）

注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為軸線角.4、探究與發(fā)現(xiàn)

①-60°，-420°，300°與-660°的終邊有什么關(guān)系？ ② 如圖，與 終邊有什么特點，并說出角的終邊落在射線OB上的角度是2多少？答案是否唯一，為什么？（演示動畫）

分析：不難發(fā)現(xiàn)，-60°，-420°，300°與-660°的終邊相同，且-420°=-60°+（-1）×360° 300°=-60°+×360°

-660°=-60°+×360° 一般地,我們有:所有與角終邊相同的角的表示：

所有與角終邊相同的角，連同在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合終邊相同的角,連同角

在內(nèi),可構(gòu)成一個集合

S={ β | β = + k·360 °，k∈Z}，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和． 注意： ⑴

k∈Z ⑵ α是任一角；

⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差360°的整數(shù)倍；

⑷ 角 + k·720 °與角終邊相同，但不能表示與角終邊相同的所有角．

5、[展示投影]例題講評

例

1、下列說法是否正確，為什么？請舉例說明。（1）第二象限的角一定比第一象限的角大；（2）銳角是第一象限的角，第一象限的角是銳角 ；（3）小于90°的角是銳角；

（4）終邊相同的角有無數(shù)個，在0°～360°范圍內(nèi)與已知角β終邊相同的角有且只有一個。

分析：不要混淆“銳角”“ 第一象限的角”“小于90°的角“等概念；注意終邊在第一象限和第二象限的角，均可正可負，所以不能直接比較大小。例

2、在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.分析：（1）用所給的角除以360，將余角作為β；（2）負角除以360，要保證余角為正角。

解：∵－950°12‘‘= 129048‘‘－3×360°

∴在0°~360°范圍內(nèi), 與－950°12‘‘角終邊相同的角是129°48‘‘, 它是第二象限角.練習①在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．

⑴－120° ⑵ 640 °

例

3、寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示).解：在0°~360°范圍內(nèi),在終邊在y軸上的角有兩個，90°，270° ∴與90°角終邊相同的角構(gòu)成的集合

S1={β|β=90°+k?360°，k?Z} ∴與270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合

S2={β|β=270°+k?360°，k?Z}

={β|β=90°+180°+2k?180°，k?Z} 所以，終邊落在y軸上的角的集合為

S=S1∪S2={β|β=90°+2k?180°，k?Z}∪{β| β=90°+(2k+1)180°k?Z}

={β|β=90°+n?180°，n?Z} 例

4、寫出終邊在直線y = x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤ β <720°的元素寫出來.分析：用終邊相同的角表示集合S,然后求解不等式，取整數(shù)解。

6、[展示投影]練習

教材P5第1、2、3、4、5題.7、課堂小結(jié) ①角的定義； ②角的分類： 負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法．

8、經(jīng)驗交流

1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一的一條終邊與之對應(yīng)，并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.2.終邊相同的角有無數(shù)個，在0°～360°范圍內(nèi)與已知角β終邊相同的角有且只有一個.用β除以360°，若所得的商為整數(shù)k，余數(shù)為α（α必須是正數(shù)），則α即為所找的角.五、作業(yè)：

教材P9習題1.1 A組 1、2、3 思考題：

（1）終邊落在軸正半軸上的角的集合如何表示？終邊落在軸正半軸上的角的集合如何表示？

（2）終邊落在坐標軸上的角的角的集合如何表示？（3）各象限角的范圍如何表示？

第五篇：《任意角三角函數(shù)》說課稿

《任意角三角函數(shù)》說課稿

《任意角三角函數(shù)》說課稿1

各位同仁，各位專家：

我說課的課題是《任意角的三角函數(shù)》，內(nèi)容取自蘇教版高中實驗教科書《數(shù)學》第四冊 第1。2節(jié)

先對教材進行分析

教學內(nèi)容：任意角三角函數(shù)的定義、定義域，三角函數(shù)值的符號。

地位和作用： 任意角的三角函數(shù)是本章教學內(nèi)容的基本概念對三角內(nèi)容的整體學習至關(guān)重要。同時它又為平面向量、解析幾何等內(nèi)容的學習作必要的準備，通過這部分內(nèi)容的學習，又可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念。所以這個內(nèi)容要認真探討教材，精心設(shè)計過程。

教學重點：任意角三角函數(shù)的定義

教學難點：正確理解三角函數(shù)可以看作以實數(shù)為自變量的函數(shù)、初中用邊長比值來定義轉(zhuǎn)變?yōu)樽鴺讼迪掠米鴺吮戎刀x的觀念的轉(zhuǎn)換以及坐標定義的合理性的理解；

學情分析：

學生已經(jīng)掌握的內(nèi)容，學生學習能力

1。初中學生已經(jīng)學習了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。

2。我們南山區(qū)經(jīng)過多年的初中課改，學生已經(jīng)具備較強的自學能力，多數(shù)同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。

3。在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強必須在老師一定的指導下才能進行

針對對教材內(nèi)容重難點的和學生實際情況的分析我們制定教學目標如下

知識目標：

（1）任意角三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域；三角函數(shù)值的符號，

能力目標：

（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

（2）正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；

（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號的推導，提高學生分析探究解決問題的能力。

德育目標：

（1）學習轉(zhuǎn)化的思想，（2）培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；

針對學生實際情況為達到教學目標須精心設(shè)計教學方法

教法學法：溫故知新，逐步拓展

（1）在復習初中銳角三角函數(shù)的定義的基礎(chǔ)上一步一步擴展內(nèi)容，發(fā)展新知識，形成新的概念；

（2）通過例題講解分析，逐步引出新知識，完善三角定義

運用多媒體工具

（1）提高直觀性增強趣味性。

教學過程分析

總體來說， 由舊及新，由易及難，

逐步加強，逐步推進

先由初中的直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義

過度到直角坐標系中銳角三角函數(shù)的定義

再發(fā)展到直角坐標系中任意角三角函數(shù)的定義

給定定義后通過應(yīng)用定義又逐步發(fā)現(xiàn)新知識拓展完善定義。

具體教學過程安排

引入： 復習提問：初中直角三角形中銳角的正弦余弦正切是怎樣定義的？

由學生回答

SinA=對邊/斜邊=BC/AB

cosA=對邊/斜邊=AC/AB

tanA=對邊/斜邊=BC/AC

逐步拓展：在高中我們已經(jīng)建立了直角坐標系， 把“定義媒介”從直角三角形改為平面直角坐標系。

我們知道，隨著角的概念的推廣，研究角時多放在直角坐標系里， 那么三角函數(shù)的定義能否也放到坐標系去研究呢？

引導學生發(fā)現(xiàn)B的坐標和邊長的關(guān)系。進一步啟發(fā)他們發(fā)現(xiàn)由于相似三角形的相似比導致OB上任一P點都可以代換B，把三角函數(shù)的定義發(fā)展到用終邊上任一點的坐標來表示， 從而銳角三角函數(shù)可以使用直角坐標系來定義，自然地，要想定義任意一個角三角函數(shù)，便考慮放在直角坐標中進行合理進行定義了

從而得到

知識點一：任意一個角的三角函數(shù)的定義

提醒學生思考：由于相似比相等，對于確定的角A ，這三個比值的大小和P點在角的終邊上的位置無關(guān)。

精心設(shè)計例題，引出新內(nèi)容深化概念，完善定義

例1已知角A 的終邊經(jīng)過P（2，—3），求角A的三個三角函數(shù)值

（此題由學生自己分析獨立動手完成）

例題變式1，已知角A 的大小是30度，由定義求角A的三個三角函數(shù)值

結(jié)合變式我們發(fā)現(xiàn)三個三角函數(shù)值的大小與角的大小有關(guān)，只會隨角的大小而變化，符合當初函數(shù)的定義，而我們又一直稱呼為三角函數(shù)，

提出問題：這三個新的定義確實問是函數(shù)嗎？為什么？

從而引出函數(shù)極其定義域

由學生分析討論，得出結(jié)論

知識點二：三個三角函數(shù)的定義域

同時教師強調(diào)：由于弧度制使角和實數(shù)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)

例題變式2， 已知角A 的終邊經(jīng)過P（—2a，—3a）（ a不為0），求角A的三個三角函數(shù)值

解答中需要對變量的正負即角所在象限進行討論， 讓學生意識到三角函數(shù)值的正負與角所在象限有關(guān)，從而導出第三個知識點

知識點三：三角函數(shù)值的正負與角所在象限的關(guān)系

由學生推出結(jié)論，教師總結(jié)符號記憶方法，便于學生記憶

例題2：已知A在第二象限且 sinA=0。2 求cosA，tanA

求cosA，tanA

綜合練習鞏固提高，更為下節(jié)的同角關(guān)系式打下基礎(chǔ)

拓展，如果不限制A的象限呢，可以留作課外探討

小結(jié)回顧課堂內(nèi)容

課堂作業(yè)和課外作業(yè)以加強知識的記憶和理解

課堂作業(yè)P16 1，2，4

（學生演板，后集體討論修訂答案同桌討論，由學生回答答案）

課后分層作業(yè)（有利于全體學生的發(fā)展）

必作P23 1（2），5（2），6（2）（4） 選作P23 3，4

板書設(shè)計（見PPT）

《任意角三角函數(shù)》說課稿2

1、教學目標：

一、借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義。

二、根據(jù)三角函數(shù)的定義，能夠判斷三角函數(shù)值的符號。

三、通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學概念的嚴謹性與科學性。

四、讓學生在任意角三角函數(shù)概念的形成過程中，體會函數(shù)思想，體會數(shù)形結(jié)合思想。

2、教學重點與難點：

重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義；三角函數(shù)值的符號。

難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程。

授課過程：

一、引入

在我們的現(xiàn)實世界中的許多運動變化都有循環(huán)往復、周而復始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數(shù)學的方法來刻畫這種變化？從這節(jié)課開始，我們要來學習刻畫這種規(guī)律的數(shù)學模型之一――三角函數(shù)。

二、創(chuàng)設(shè)情境

三角函數(shù)是與角有關(guān)的函數(shù)，在學習任意角概念時，我們知道在直角坐標系中研究角，可以給學習帶來許多方便，比如我們可以根據(jù)角終邊的位置把它們進行歸類，現(xiàn)在大家考慮：若在直角坐標系中來研究銳角，則銳角三角函數(shù)又可怎樣定義呢？

學生情況估計：學生可能會提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點P的坐標。

問題：

1、銳角三角函數(shù)能否表示成第二種比值方式？

2、點P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3、點P在哪個位置，比值會更簡潔？（引出單位圓的定義）。指出sina＝mP的函數(shù)依舊表示一個比值，不過其分母為1而已。

練習：計算的各三角函數(shù)值。

三、任意角的三角函數(shù)的定義

角的概念已經(jīng)推廣道了任意角，那么三角函數(shù)的定義在任意角的范圍里改怎么定義呢？

嘗試：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，你能嘗試著給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？

評價學生給出的定義。給出任意角三角函數(shù)的定義。

四、解析任意角三角函數(shù)的定義

三角函數(shù)首先是函數(shù)。你能從函數(shù)觀點解析三角函數(shù)嗎？（定義域）

對于確定的角a，上面三個函數(shù)值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合和實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)。

五、三角函數(shù)的應(yīng)用。

1、已知角，求a的三角函數(shù)值。

2、已知角a終邊上的一點P（－3，－4），求各三角函數(shù)值。

以上兩道書上的例題，讓學生自習看書，學生看書的同時，老師提出問題：

1、已知角如何求三角函數(shù)值？

2、利用角a的終邊上任意一點的坐標也可以定義三角函數(shù)，你能給出這種定義嗎？（這種定義與課本中給出的定義各有什么特點？）

3、變式：已知角a終邊上點P（－3b，－4b），（b0），求角a的各三角函數(shù)值。

4、探究：三角函數(shù)的值在各象限的符號。

六、小結(jié)及作業(yè)

教案設(shè)計說明：

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發(fā)生過程，這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案，主要圍繞這一點來設(shè)計。

首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數(shù)的定義是否也該推廣到任意角的三角函數(shù)的定義呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。

其次，到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢？讓學生提出自己的想法，同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的？因為一個概念是嚴謹?shù)模茖W的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突。在這個立－破的過程中，讓學生去體驗一個新的數(shù)學概念可能是如何形成，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思。這樣也有助于學生對任意角三角函數(shù)概念的理解。

再次，讓學生充分體會在任意角三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉(zhuǎn)換到直角坐標系下點的坐標這個“數(shù)”的過程的。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想。

《任意角三角函數(shù)》說課稿3

各位領(lǐng)導,各位老師:

我說課的課題是《任意角的三角函數(shù)》，內(nèi)容取自人教版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》④（必修）第1.2.1節(jié)。

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析

本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位：三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)的定義是在初中對銳角三角函數(shù)的定義以及剛學過的“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上討論和研究的。三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，對三角內(nèi)容的整體學習至關(guān)重要，是其他所有知識的出發(fā)點。緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，可以自然地導出本章的具體內(nèi)容：三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導公式、多組變換公式、圖象和性質(zhì)。三角函數(shù)的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內(nèi)容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內(nèi)容的學習作必要的準備。三角函數(shù)知識還是物理學、高等數(shù)學、測量學、天文學的重要基礎(chǔ)。

三角函數(shù)定義必然是學好全章內(nèi)容的關(guān)鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身。

數(shù)學思想方法分析：作為一名數(shù)學老師,不僅要傳授給學生數(shù)學知識,更重要的是傳授給學生數(shù)學思想、數(shù)學意識，因此本節(jié)課在教學中力圖向?qū)W生展示嘗試類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法。

二、教學重點、難點、關(guān)鍵

教學重點：任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的符號規(guī)律。

教學難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程。

教學關(guān)鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）。

三、學情分析

學生已經(jīng)掌握的內(nèi)容及學生學習能力

1.學生在初中時已經(jīng)學習了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。

2.學生的運算能力較差。

3.部分同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。

4.在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，必須在老師一定的指導下才能進行。

四、教學目標

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征，我制定如下教學目標：

1.基礎(chǔ)知識目標：使學生正確理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；

2.能力訓練目標：通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力。

3.情感目標：通過學習，滲透數(shù)形結(jié)合和類比的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的思維習慣。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節(jié)設(shè)定的教學目標，我再從教法和學法上談?wù)劊?/p>

五、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、合作交流、師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。

根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學教法，在課堂結(jié)構(gòu)上，設(shè)計了①創(chuàng)設(shè)情境——揭示課題②推廣認知——形成概念③鞏固新知——探求規(guī)律④總結(jié)反思——提高認識⑤任務(wù)后延——自主探究五個層次的學法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。接下來，我再具體談一談這堂課的教學過程：

六、教學程序及設(shè)想

總體來說,由舊及新,由易及難,逐步加強,逐步推進，給定定義后通過應(yīng)用定義又逐步發(fā)現(xiàn)新知識，拓展、完善定義.

先由初中的直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，過度到直角坐標系中銳角三角函數(shù)的定義，再發(fā)展到直角坐標系中任意角三角函數(shù)的定義。

（一）創(chuàng)設(shè)情境——揭示課題

問題1：在初中我們學習了銳角三角函數(shù)，那么銳角三角函數(shù)是如何定義的？

【設(shè)計意圖】學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）。溫故知新，要讓學生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少。

問題2：角的概念推廣之后，這樣的三角函數(shù)定義還適用嗎？

問題3：若將銳角放入直角坐標系中，你能用角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導。

能表示嗎？怎樣表示？針對剛才的問題點名讓學生回答。用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù)。

【設(shè)計意圖】

從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學生產(chǎn)生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程。

教師對學生回答情況進行點評后布置任務(wù)情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）。

問題4：對于確定的角，這三個比值是否與P在的終邊上的位置有關(guān)？為什么？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再引導學生觀察右圖，

聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角α的每一個確定值，

六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。

得出結(jié)論(強調(diào))：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的.函數(shù)。

（二）推廣認知——形成概念

將銳角的比值情形推廣到任意角α后，水到渠成，師生共同進行探索和推廣出：任意角的三角函數(shù)定義。同時教師強調(diào)：由于弧度制使角和實數(shù)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，對數(shù)學學習能力較好的同學起到了很好的指導作用。

教師指出:sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶。

（關(guān)于值域，到后面再學習）

【設(shè)計意圖】定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域.指導學生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎(chǔ)上記住它、應(yīng)用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握。

（三）鞏固新知——探求規(guī)律

為了使學生達到對知識的深化理解，進而達到鞏固提高的效果，

例1.已知角的終邊過點，求的六個三角函數(shù)值

要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照板書，模仿書面表達格式。

鞏固定義之后，我特地設(shè)計了一組即時訓練題，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力。

例2.求的正弦、余弦和正切值。

分析：終邊上有無窮多個點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要知道終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）

師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。

等待學生基本理解和掌握三角函數(shù)定義后，觀察、分析初、高中所計算的函數(shù)值有何變化，讓學生意識到三角函數(shù)值的正負與角所在象限有關(guān),然后引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，從而導出三角函數(shù)值的正負與角所在象限的關(guān)系，進而由教師總結(jié)符號記憶方法,便于學生記憶。

【設(shè)計意圖】判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求.要引導學生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結(jié)出形象的“才”字符號法則，這也是理解和記憶的關(guān)鍵。

（四）總結(jié)反思——提高認識

由學生總結(jié)本節(jié)課所學習的主要內(nèi)容：⑴任意角的三角函數(shù)的定義及其定義域；⑵三角函數(shù)的符號規(guī)律。讓學生通過知識性內(nèi)容的小結(jié)，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì)；通過數(shù)學思想方法的小結(jié)，使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。

（五）任務(wù)后延——自主探究

學生經(jīng)過以上四個環(huán)節(jié)的學習，已經(jīng)初步掌握了任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)律，有待進一步提高認知水平，因此我針對學生素質(zhì)的差異設(shè)計了有層次的作業(yè)，其中思考題的設(shè)計思想是：綜合練習鞏固提高,更為下節(jié)的學習內(nèi)容打下基礎(chǔ)，同時留給學生課后自主探究，這樣既使學生掌握基礎(chǔ)知識，又使學有佘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的，以有利于全體學生的發(fā)展。

七、簡述板書設(shè)計。

cotα、cscα、secα的定義寫在sinα、cosα、tanα的左下方，突出本節(jié)重要內(nèi)容的主體地位。

結(jié)束：以上，我僅從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。

希望各位領(lǐng)導、同行對本堂說課提出寶貴意見。

《任意角三角函數(shù)》說課稿4

一、教學目標

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義（包括定義域、正負符號判斷）；了解任意角的余切、正割、余割函數(shù)的定義.

2．經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過度到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程.領(lǐng)悟直角坐標系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗.

3．培養(yǎng)學生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義世界觀.

4．培養(yǎng)學生求真務(wù)實、實事求是的科學態(tài)度.

二、重點、難點、關(guān)鍵

重點：任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、定義域、（正負）符號判斷法.

難點：把三角函數(shù)理解為以實數(shù)為自變量的函數(shù).

關(guān)鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）.

三、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.

根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學.

四、教學過程

[執(zhí)教線索：

回想再認：函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)定義（銳角三角形邊角關(guān)系）--問題情境：能推廣到任意角嗎？--它山之石：建立直角坐標系（為何？）--優(yōu)化認知：用直角坐標系研究銳角三角函數(shù)--探索發(fā)展：對任意角研究六個比值（與角之間的關(guān)系：確定性、依賴性，滿足函數(shù)定義嗎？）--自主定義：任意角三角函數(shù)定義--登高望遠：三角函數(shù)的要素分析（對應(yīng)法則、定義域、值域與正負符號判定）--例題與練習--回顧小結(jié)--布置作業(yè)]

（一）復習引入、回想再認

開門見山，面對全體學生提問：

在初中我們初步學習了銳角三角函數(shù)，前幾節(jié)課，我們把銳角推廣到了任意角，學習了角度制和弧度制，這節(jié)課該研究什么呢？

探索任意角的三角函數(shù)（板書課題），請同學們回想，再明確一下：

（情景1）什么叫函數(shù)？或者說函數(shù)是怎樣定義的？

讓學生回想后再點名回答，投影顯示規(guī)范的定義，教師根據(jù)回答情況進行修正、強調(diào)：

傳統(tǒng)定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域.

現(xiàn)代定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱映射?：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f（x），x∈A，其中x叫自變量,自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域.

設(shè)計意圖：

函數(shù)和三角函數(shù)是一般和特殊的關(guān)系，是共性和個性的關(guān)系，學生已經(jīng)學習了函數(shù)的概念，因此對三角函數(shù)的學習就是一個從一般到特殊的演繹的過程,也是以具體函數(shù)豐富函數(shù)概念的過程.教學經(jīng)驗表明：學生對函數(shù)兩種定義的記憶是有一定困難的，容易遺忘，此處讓學生對函數(shù)概念進行回想再認，目的在于明確函數(shù)概念的本質(zhì)，為演繹學習任意角三角函數(shù)概念作好知識和認知準備.

（情景2）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù).請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？

學生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進行強調(diào)：

設(shè)計意圖：

學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）.溫故知新，要讓學生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少.

（二）引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景

（情景3）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導.

能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答.用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于4.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù).

設(shè)計意圖：

從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學生產(chǎn)生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程.

教師對學生回答情況進行點評后布置任務(wù)情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：

把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角α終邊上任取一點P，作Pm⊥x軸于m，構(gòu)造一個RtΔomP，則∠moP=α（銳角），設(shè)P（x,y）（x＞0、y＞0），α的臨邊om=x、對邊mP=y，斜邊長|oP∣=r.

根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應(yīng)列出三個倒數(shù)比值：

設(shè)計意圖：

此處做法簡單，思想重要.為了順利實現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形.由于前一節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數(shù).初中以直角三角形邊角關(guān)系來定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標系來研究，探索的結(jié)論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)定義.這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關(guān)鍵之一，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識,能夠形成遷移能力,為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎(chǔ)（譬如從平面向量到空間向量的擴展，從實數(shù)到復數(shù)的擴展等）.

（情景4）各個比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？

追問：銳角α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點o旋轉(zhuǎn)即α在銳角范圍內(nèi)變化，六個比值隨之變化的直觀形象。結(jié)論是：比值隨α的變化而變化.

引導學生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，

探索發(fā)現(xiàn)：

對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是

確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.

得出結(jié)論(強調(diào))：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).

設(shè)計意圖：

初中學生對函數(shù)理解較膚淺，這里在學生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學過的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個層次，扣準函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，是從函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的主要依據(jù)，是準確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵，也是在認知上把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵.這樣做能夠使學生有效地增強函數(shù)觀念.

（三）分析歸納、自主定義

（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角α嗎?

水到渠成，師生共同進行探索和推廣：

對于一個任意角α，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：

終邊分別在四個象限的情形：終邊分別在四個半軸上的情形：

；

（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）

怎樣刻畫任意角的三角函數(shù)呢？研究它的六個比值：

（板書）設(shè)α是一個任意角，在α終邊上除原點外任意取一點P（x，y），P與原點o之間的距離記作r（r=＞0），列出六個比值：

α=kππ/2時，x=0，比值y/x、r/x無意義；

α=kπ時，y=0，比值x/y、r/y無意義.

追問：α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點o逆時針、順時針旋轉(zhuǎn)即角α變化，六個比值隨之改變的直觀形象。結(jié)論是：各比值隨α的變化而變化.

再引導學生利用相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于任意角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.

綜上得到（強調(diào)）：當角α變化時，六個比值隨之變化；對于確定的角α，六個比值（如果存在的話）都不會隨P在角α終邊上的改變而改變，六個比值是確定的(對應(yīng)的多值性即誘導公式一留到下節(jié)課分析).

因此，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).

根據(jù)歷史上的規(guī)定，對比值進行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復合板書）：

=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）

=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）

教師強調(diào)：sinα表示sin與α的乘積嗎？不是，sinα是函數(shù)記號，是一個整體,相當于函數(shù)記號f（x）.其它幾個三角函數(shù)也如此

投影顯示圖六，指導學生分析其對應(yīng)關(guān)系，進一步體會其函數(shù)內(nèi)涵：

（圖六）

指導學生識記六個比值及函數(shù)名稱.

教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，三角函數(shù)有非常豐富的知識和思想方法，我們以后主要學習正弦、余弦、正切三個函數(shù)的相關(guān)知識和方法，對于余切、正割、余割，只要同學們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）.

引導學生進一步分析理解：

已知角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，對于每一個確定的實數(shù)，把它看成一個弧度數(shù)，就對應(yīng)著唯一的一個角，從而分別對應(yīng)著六個唯一的三角函數(shù)值.因此，（板書）三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，這將為以后的應(yīng)用帶來很多方便.

設(shè)計意圖：

把角的終邊分別在四個象限、四條半軸上的情形全作出來，有利于對任意性的全面把握.明確比值存在與否的條件，為確定函數(shù)定義域作準備.動畫演示比值與角之間的依賴性與確定性關(guān)系，深化理解三角函數(shù)內(nèi)涵.引導學生在理解的基礎(chǔ)上自主地對三角函數(shù)作出明確定義，是本節(jié)課的中心任務(wù).由于學生剛學弧度制，對弧度制的理解有待于在以后的學習應(yīng)用中逐步感悟，因此部分學生對“三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)”的理解有半信半疑之感，有待通過后續(xù)的應(yīng)用加深理解.

（四）探索定義域

（情景6）（1）函數(shù)概念的三要素是什么？

函數(shù)三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域.

正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則是什么？

正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則，實質(zhì)上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應(yīng)，即α→y/r=sinα.

(2)布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出六個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：

三角函數(shù)

sinα

cosα

tanα

cotα

cscα

secα

定義域

引導學生自主探索：

如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍.

關(guān)于sinα=y/r、cosα=x/r，對于任意角α（弧度數(shù)），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數(shù)集R.

對于tanα=y/x，α=kππ/2時x=0，y/x無意義，tanα的定義域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}..........

教師指出:sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶.

（關(guān)于值域，到后面再學習）.

設(shè)計意圖：

定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域.指導學生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎(chǔ)上記住它、應(yīng)用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握.

（五）符號判斷、形象識記

（情景7）能判斷三角函數(shù)值的正、負嗎？試試看！

引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r＞0,三角函數(shù)值的符號決定于x、y值的正負，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：

（同好得正、異號得負）

sinα=y/r：上正下負橫為0cosα=x/r：左負右正縱為0tanα=y/x：交叉正負

設(shè)計意圖：

判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求.要引導學生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結(jié)出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關(guān)鍵.

（六）練習鞏固、理解記憶

1、自學例1：已知角α的終邊經(jīng)過點P（2，-3），求α的六個三角函數(shù)值.

要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照解答，模仿書面表達格式，鞏固定義.

課堂練習：

p19題1：已知角α的終邊經(jīng)過點P（-3，-1），求α的六個三角函數(shù)值.

要求心算，并提問中下學生檢驗，--------

點評：角α終邊上有無窮多個點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要知道α終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）.

補充例題：已知角α的終邊經(jīng)過點P（x，-3），cosα=4/5，求α的其它五個三角函數(shù)值.

師生探索：已知y=-3，要求其它五個三角函數(shù)值，須知r=？，x=？.根據(jù)定義得=（方程思想），x＞0，解得x=4，從而--------.解答略.

2、自學例2：求下列各角的六個三角函數(shù)值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.

提問，據(jù)反饋信息作點評、修正.

師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。課堂練習：p19題2.（改編）填表：

角α（角度）

0°

90°

180°

270°

360°

角α（弧度）

sinα

cosα

tanα

處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義.

強調(diào)：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、π/2、π、3π/2等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值.

設(shè)計意圖：

及時安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結(jié)合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養(yǎng)學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學始終.

（七）回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

要求全體學生根據(jù)教師所提問題進行總結(jié)識記，提問檢查并強調(diào)：

1．你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，---，在終邊上任意取定一點P，---）

2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據(jù)定義，------）

3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號？（根據(jù)定義，想象坐標位置，-----）

設(shè)計意圖：

遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內(nèi)及時總結(jié)識記主要內(nèi)容是上策.此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節(jié)課的主體內(nèi)容，抓住要害，人人參與，及時建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)認知能力.

（八）布置課外作業(yè)

1．書面作業(yè)：習題4.3第3、4、5題.

2．認真閱讀p22“閱讀材料：三角函數(shù)與歐拉”，了解歐拉的生平和貢獻，特別學習他對科學的摯著精神和堅忍不拔的頑強毅力！有興趣的同學可以上網(wǎng)查閱歐拉的相關(guān)情況.

教學設(shè)計說明

一、對本節(jié)教材的理解

三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應(yīng)用.

星星之火，可以燎原.

直角三角形簡單樸素的邊角關(guān)系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數(shù)定義，緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導公式、多組變換公式、輔助角公式、圖象和性質(zhì)，本章教材就是這些內(nèi)容的具體安排.定義直接用于解析幾何（如直線斜率公式、極坐標、部分曲線的參數(shù)方程等），定義還是直接解決某些問題的工具，三角函數(shù)知識是物理學、高等數(shù)學、測量學、天文學的重要基礎(chǔ).

三角函數(shù)定義必然是學好全章內(nèi)容的關(guān)鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身.

二、教學法加工

數(shù)學教材通常用抽象概括的形式化的數(shù)學書面語言闡述其知識和方法，教師只有通過教學法加工，始終貫徹“以學生的發(fā)展為本”的科學教育觀，“將數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”（張奠宙語），引導學生積極主動地進行思考活動，直接參與體驗數(shù)學知識產(chǎn)生發(fā)展的背景、過程，返璞歸真，揭示本質(zhì)，體會其中的思想和方法，學生只有這樣才能真正理解掌握數(shù)學知識和方法，有效地發(fā)展智力、培養(yǎng)能力.

在本節(jié)教材中，三角函數(shù)定義是重點，三角函數(shù)線是難點，為了較好地突出重點和突破難點，分散重點和難點，同時兼顧例題、課堂練習的協(xié)調(diào)匹配，將不按教材順序來進行教學，第一課時安排三角函數(shù)的定義（突出重點）、定義域、符號判斷、例題1、2及p19課堂練習1、2、3，第二課時安排三角函數(shù)線、p15練習（突破難點）、誘導公式一及課本例題3、4和其它練習.本課例屬第一課時.

教學經(jīng)驗表明，三角函數(shù)定義“簡單易記”，學生很容易輕視它，不少學生機械記憶、一知半解.本課例堅持“教師主導、學生主體”的原則，采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的常規(guī)教學方法，在學生的最近發(fā)展區(qū)圍繞學生的學習目標設(shè)計了一系列符合學生認知規(guī)律的程序，通過多媒體輔助教學動畫演示比值與角之間的依賴關(guān)系，拓展思維活動時空，力求使學生全員主動參與，積極思考，體會定義產(chǎn)生、發(fā)展的過程，通過思維過程來理解知識、培養(yǎng)能力.

將六個比值放在一起來研究，同時給出六個三角函數(shù)的定義，能夠增強對比感和整體感，至于大綱對兩組函數(shù)掌握與了解的不同要求，在下一步的教學中注意區(qū)分就行了.

教學中關(guān)于符號sinα、cosα、tanα的出場安排，教材首先對比值取名并給出英文記法，再研究它們與α的函數(shù)關(guān)系；另外可以先研究六個比值與α之間的函數(shù)關(guān)系，然后再對六個比值取名給出記法.后者更能突出函數(shù)內(nèi)涵，揭示三角函數(shù)本質(zhì).本課例采用后者組織教學.

三、教學過程分析（見穿插在教案中的設(shè)計意圖）.

《任意角三角函數(shù)》說課稿5

各位領(lǐng)導，各位老師：

我說課的課題是《任意角的三角函數(shù)》，內(nèi)容取自人教版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》④（必修）第1。2。1節(jié)。

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析

本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位：三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)的定義是在初中對銳角三角函數(shù)的定義以及剛學過的“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上討論和研究的。三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，對三角內(nèi)容的整體學習至關(guān)重要，是其他所有知識的出發(fā)點。緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，可以自然地導出本章的具體內(nèi)容：三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導公式、多組變換公式、圖象和性質(zhì)。 三角函數(shù)的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內(nèi)容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內(nèi)容的學習作必要的準備。三角函數(shù)知識還是物理學、高等數(shù)學、測量學、天文學的重要基礎(chǔ)。

三角函數(shù)定義必然是學好全章內(nèi)容的關(guān)鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身。

數(shù)學思想方法分析：作為一名數(shù)學老師，不僅要傳授給學生數(shù)學知識，更重要的是傳授給學生數(shù)學思想、數(shù)學意識，因此本節(jié)課在教學中力圖向?qū)W生展示嘗試類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法。

二、教學重點、難點、關(guān)鍵

教學重點：任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的符號規(guī)律。

教學難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程。

教學關(guān)鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（ α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）。

三、學情分析

學生已經(jīng)掌握的內(nèi)容及學生學習能力

1。 學生在初中時已經(jīng)學習了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。

2。學生的運算能力較差。

3。部分同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。

4。在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，必須在老師一定的指導下才能進行。

四、教學目標

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征 ，我制定如下教學目標：

1?；A(chǔ)知識目標：使學生正確理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；

2。能力訓練目標：通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力。

3。情感目標：通過學習，滲透數(shù)形結(jié)合和類比的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的思維習慣。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節(jié)設(shè)定的教學目標，我再從教法和學法上談?wù)劊?/p>

五、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、合作交流、師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。

根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學教法， 在課堂結(jié)構(gòu)上，設(shè)計了 ①創(chuàng)設(shè)情境——揭示課題②推廣認知——形成概念③鞏固新知——探求規(guī)律④總結(jié)反思——提高認識⑤任務(wù)后延——自主探究五個層次的學法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。 接下來，我再具體談一談這堂課的教學過程：

六、教學程序及設(shè)想

總體來說， 由舊及新，由易及難，逐步加強，逐步推進，給定定義后通過應(yīng)用定義又逐步發(fā)現(xiàn)新知識，拓展、完善定義。

先由初中的直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，過度到直角坐標系中銳角三角函數(shù)的定義，再發(fā)展到直角坐標系中任意角三角函數(shù)的定義。

（一）創(chuàng)設(shè)情境——揭示課題

問題1：在初中我們學習了銳角三角函數(shù)，那么銳角三角函數(shù)是如何定義的？

【設(shè)計意圖】學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）。溫故知新，要讓學生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少。

問題 2：角的概念推廣之后，這樣的三角函數(shù)定義還適用嗎？

問題 3：若將銳角放入直角坐標系中，你能用角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導。

能表示嗎？怎樣表示？針對剛才的問題點名讓學生回答。 用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù)。

【設(shè)計意圖】

從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學生產(chǎn)生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程。

教師對學生回答情況進行點評后布置任務(wù)情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）。

問題 4：對于確定的角 ，這三個比值是否與P在 的終邊上的位置有關(guān)？為什么？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再引導學生觀察右圖，

聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)： 對于銳角α的每一個確定值，

六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。

得出結(jié)論（強調(diào)）：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。 所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù)。

（二）推廣認知——形成概念

將銳角的比值情形推廣到任意角α后，水到渠成，師生共同進行探索和推廣出：任意角的三角函數(shù)定義。同時教師強調(diào)：由于弧度制使角和實數(shù)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，對數(shù)學學習能力較好的同學起到了很好的指導作用。

教師指出： sinα、csα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟，ctα、cscα、secα的定義域不要求記憶。

（關(guān)于值域，到后面再學習）。

【設(shè)計意圖】定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域。 指導學生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎(chǔ)上記住它、應(yīng)用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握。

（三）鞏固新知——探求規(guī)律

為了使學生達到對知識的深化理解，進而達到鞏固提高的效果，

例1。已知角 的終邊過點 ，求 的六個三角函數(shù)值

要求：讀完題目，思考：計算什么？需要準備什么？閉目心算，對照板書，模仿書面表達格式。

鞏固定義之后，我特地設(shè)計了一組即時訓練題，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力。

例2。 求 的正弦、余弦和正切值。

分析： 終邊上有無窮多個點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要知道 終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）

師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。

等待學生基本理解和掌握三角函數(shù)定義后，觀察、分析初、高中所計算的函數(shù)值有何變化，讓學生意識到三角函數(shù)值的正負與角所在象限有關(guān)， 然后引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，從而導出三角函數(shù)值的正負與角所在象限的關(guān)系，進而由教師總結(jié)符號記憶方法，便于學生記憶。

【設(shè)計意圖】判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求。 要引導學生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結(jié)出形象的“才”字符號法則，這也是理解和記憶的關(guān)鍵。

（四）總結(jié)反思——提高認識

由學生總結(jié)本節(jié)課所學習的主要內(nèi)容：⑴任意角的三角函數(shù)的定義及其定義域；⑵三角函數(shù)的符號規(guī)律。讓學生通過知識性內(nèi)容的小結(jié)，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì)；通過數(shù)學思想方法的小結(jié)，使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。

（五）任務(wù)后延——自主探究

學生經(jīng)過以上四個環(huán)節(jié)的學習，已經(jīng)初步掌握了任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)律，有待進一步提高認知水平，因此我針對學生素質(zhì)的差異設(shè)計了有層次的作業(yè)，其中思考題的設(shè)計思想是：綜合練習鞏固提高，更為下節(jié)的學習內(nèi)容打下基礎(chǔ)，同時留給學生課后自主探究，這樣既使學生掌握基礎(chǔ)知識，又使學有佘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的，以有利于全體學生的發(fā)展。

六、簡述板書設(shè)計。

ctα、cscα、secα的定義寫在sinα、csα、tanα的左下方，突出本節(jié)重要內(nèi)容的主體地位。

結(jié)束：以上，我僅從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。

希望各位領(lǐng)導 、同行對本堂說課提出寶貴意見。