第一篇：任意角的概念, 精品教案

1.1.1任意角

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入大于360?角和負(fù)角；（2）理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；（3）理解任意角以及象限角的概念；

(4)掌握所有與?角終邊相同的角（包括?角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念；

2、過程與方法

通過創(chuàng)設(shè)情境：“轉(zhuǎn)體720?，逆（順）時針旋轉(zhuǎn)”，角有大于360?角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，引入正角、負(fù)角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標(biāo)系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情態(tài)與價值

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對角的概念有了一個新的認(rèn)識，即有正角、負(fù)角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.理解掌握終邊相同角的表示方法，學(xué)會運用運動變化的觀點認(rèn)識事物.教學(xué)重點: 理解正角、負(fù)角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.教學(xué)難點: 終邊相同的角的表示.教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)問題情境

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表 快了1.25 小時，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？ [取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于0??360?之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角.二、探索開發(fā)新結(jié)論

1．初中時，我們已學(xué)習(xí)了0??360?角的概念，它是如何定義的呢？ [展示投影]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角?.旋轉(zhuǎn)

OB叫終邊，開始時的射線OA叫做角的始邊，射線的端點O叫做叫?的頂點.2.如上述情境中所說的校準(zhǔn)時鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720?”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080?”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.同學(xué)們思考一下:能否再舉出幾個現(xiàn)實生活中“大于360?的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子,這些說明了什么問題?又該如何區(qū)分和表示這些角呢? [展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角, 這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.三、總結(jié)概括新結(jié)論 為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive angle),按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角(zero angle).在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant angle).要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.四、驗證開發(fā)新結(jié)論:(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三那么7k(k?Z)天后的那一天是星期幾? 7k(k?Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 探究:將角按上述方法放在直角坐標(biāo)系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應(yīng).反之,對于直角坐標(biāo)系中任意一條射線OB(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系? [展示課件]不難發(fā)現(xiàn),如果?32?的終邊是OB,那么328?,?392??角的終邊都是OB,而328???32??1?360?,?392???32??(?1)?360?.設(shè)S?{?|???32??k?360?,k?Z},則328?,?392?角都是S的元素,?32? 角也是S的元素.因此,所有與?32?角終邊相同的角,連同?32?角在內(nèi),都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素顯然與?32?角終邊相同.一般地,我們有:所有與角?終邊相同的角,連同角?在內(nèi),可構(gòu)成一個集合

S?{?|????k?360?,k?Z},即任一與角?終邊相同的角,都可以表示成角?與整數(shù)個周角的和.五、鞏固應(yīng)用新結(jié)論：

例1.例1在0??360?范圍內(nèi)，找出與－950?12'角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.（注：0?－360?是指0????360?）

例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例3.寫出終邊直線在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式?360???

?720?的元素?寫出來.六、練習(xí)

教材P6第3、4、5題.注意:（1）k?Z；（2）?是任意角（正角、負(fù)角、零角）；（3）終邊相同的角不一定相等；但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360?的整數(shù)倍.七、課堂小結(jié)

(1)你知道角是如何推廣的嗎?(2)象限角是如何定義的呢?(3)你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會寫終邊落在x軸、y軸、直線y?x上的角的集合.八、作業(yè)：

1．習(xí)題1.1 A組第1,2,3題．

2．多舉出一些日常生活中的“大于360?的角和負(fù)角”的例子，熟練掌握他們的表示，進一步理解具有相同終邊的角的特點．

九、板書設(shè)計

第二篇：教案《任意角》

《任意角》教案

教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學(xué)重點：理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學(xué)難點：“旋轉(zhuǎn)”定義角

課標(biāo)要求：了解任意角的概念

教學(xué)過程：

一、引入

同學(xué)們在初中時，曾初步接觸過三角函數(shù)，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡單的邊角關(guān)系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中大家會發(fā)現(xiàn)三角學(xué)有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡單地解決許多數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用。

二、新課

1．回憶：初中是任何定義角的？

（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”

師：初中時，我們已學(xué)習(xí)了0○～360○角的概念，它是如何定義的呢？

生：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。

師：如圖1，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角α。旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫α的頂點。

師：在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720o”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校正，需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？

生：逆時針旋轉(zhuǎn)300；順時針旋轉(zhuǎn)300.師：（1）用扳手?jǐn)Q螺母；（2）跳水運動員身體旋轉(zhuǎn)．說明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周……，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識范圍。本節(jié)課將在已掌握 ～ 角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法．

2.角的概念的推廣：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形 3．正角、負(fù)角、零角概念

師：為了區(qū)別起見，我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它00等于30與750；我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學(xué)們猜猜看，負(fù)角怎么規(guī)定呢？零角呢？

生：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。

00師：如圖3，以O(shè)A為始邊的角α=-150，β=-660。特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認(rèn)為這是形成了一個角，并把這個角稱為零角。師：好，角的概念經(jīng)過這樣的推廣之后，就應(yīng)該包

括正角、負(fù)角、零角。這里還有一點要說明：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可簡記為α.4.象限角

師：在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念。同學(xué)們已經(jīng)經(jīng)過預(yù)習(xí)，請一位同學(xué)回答什么叫：象限角？

生：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。

師：很好，從剛才這位同學(xué)的回答可以知道，她已經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：

1.定義中說：角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？

2.定義中有個小括號，內(nèi)容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？ 3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？ 處理：學(xué)生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。答：1.不行，始邊包括端點（原點）； 2．端點在原點上；

3．不是，一些特殊角終邊可能落在坐標(biāo)軸上；如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任一象限。

師：同學(xué)們一定要學(xué)會看數(shù)學(xué)書，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個字都要弄清楚，這樣的預(yù)習(xí)才是有效果的。

00000師生討論：好，按照象限角定義，圖中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60

0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？

生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

0師：（2）銳角就是小于90的角嗎？

0生：小于90的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；

00師：（3）銳角就是0～90的角嗎？

000000生：銳角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.學(xué)生練習(xí)（口答）已知角的頂點與坐標(biāo)系原點重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？

0000（1）420；

（2）-75；

（3）855；

（4）-510.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.終邊相同的角的表示法

師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)? 390?

?330?

30?

1470?

?1770? 生:終邊重合.0師:請同學(xué)們思考為什么？能否再舉三個與30角同終邊的角？

0000000000生：圖中發(fā)現(xiàn)390，-330與30相差360的整數(shù)倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；000與30角同終邊的角還有750，-690等。

0師：好！這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差360的整數(shù)倍。例0000000如：750=2×360+30；-690=-2×360+30。那么除了這些角之外，與30角終邊相同的角還有：

3×360+30

-3×360+30

0000

4×360+30

-4×360+30

??，??，000由此，我們可以用S={β|β=k×360+30，k∈Z}來表示所有與30角終邊相同的角的集合。6.例題講評

例1 設(shè)E?{小于90o的角｝，F(xiàn)?{銳角｝，G＝{第一象限的角｝，那么有（D 0000）．

（

）

D．

A．例2用集合表示：

B．

C．

（1）各象限的角組成的集合．

（2）終邊落在

o

o

o

軸右側(cè)的角的集合．

解：(1)第一象限角：｛α|k360π＜α＜k360+90,k∈Z｝

oooo第二象限角：｛α|k360+90＜α＜k360+180,k∈Z｝

oooo第三象限角：｛α|k360+180＜α＜k360+270,k∈Z｝

ooo第四象限角：{α|k360+270o＜α＜k360+360 ,k∈Z｝

三.本課小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限，本節(jié)課的重點是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法。判斷一個角 么 是第幾象限角，只要把

改寫成

與角，適合關(guān)系：，那，在第幾象限，則、就是第幾象限角，若角

與 終邊相同；若角 適合關(guān)系：

則、終邊互為反向延長線．判斷一個角所有象限或不同角之間的終邊關(guān)系，可首先把，這種模式（），然后只要考查 的相關(guān)它們化為：

問題即可．另外，數(shù)形結(jié)合思想、運動變化觀點都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法．

四.作業(yè):

第三篇：任意角三角函數(shù)的概念解讀

“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計

陶維林（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)）一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)．

角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0°~360°內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果．

比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來了方便．

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”．因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．

任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關(guān)鍵，是學(xué)會用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．

任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、變化、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析

本節(jié)課的目標(biāo)是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值

擴展為點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．

要實現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學(xué)生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關(guān)系．讓學(xué)生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的． 三．教學(xué)問題診斷分析

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．

學(xué)生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認(rèn)識上會有一定的局限性，所以學(xué)生在用角的終邊上的點的坐標(biāo)來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學(xué)生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認(rèn)識的基礎(chǔ)上，嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．

教學(xué)的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學(xué)生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，點．

四．教學(xué)支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標(biāo)大小的特點，便于學(xué)生認(rèn)識任意角的位置的改變，所對應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學(xué)效果． 五．教學(xué)過程設(shè)計 1．理解銳角三角函數(shù)

要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學(xué)生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：

（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值．）內(nèi)的角，以便分散這個難問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？

意圖：學(xué)生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認(rèn)為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？ 意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)），對應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)比較．

銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應(yīng)，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．

問題4 你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認(rèn)知提示的特點，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角．

問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認(rèn)為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過程，發(fā)展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認(rèn)兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認(rèn)識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）

因為前面已經(jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認(rèn)識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數(shù)值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學(xué)生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標(biāo)，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數(shù)值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數(shù)的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負(fù)數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認(rèn)識三角函數(shù)在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會？

意圖：體驗以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．

教師板書學(xué)生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域

問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習(xí)

（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數(shù)值：

6．小結(jié)

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標(biāo)檢測設(shè)計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數(shù)的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標(biāo)是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

讀書的好處

1、行萬里路，讀萬卷書。

2、書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。

3、讀書破萬卷，下筆如有神。

4、我所學(xué)到的任何有價值的知識都是由自學(xué)中得來的?！_爾文

5、少壯不努力，老大徒悲傷。

6、黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲。——顏真卿

7、寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。

8、讀書要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不學(xué)、不知義。

10、一日無書，百事荒廢?！悏?/p>

11、書是人類進步的階梯。

12、一日不讀口生，一日不寫手生。

13、我撲在書上，就像饑餓的人撲在面包上?！郀柣?/p>

14、書到用時方恨少、事非經(jīng)過不知難。——陸游

15、讀一本好書，就如同和一個高尚的人在交談——歌德

16、讀一切好書，就是和許多高尚的人談話?！芽▋?/p>

17、學(xué)習(xí)永遠不晚?！郀柣?/p>

18、少而好學(xué)，如日出之陽；壯而好學(xué)，如日中之光；志而好學(xué)，如炳燭之光?！獎⑾?/p>

19、學(xué)而不思則惘，思而不學(xué)則殆?！鬃?/p>

20、讀書給人以快樂、給人以光彩、給人以才干?！喔?/p>

第四篇：任意角三角函數(shù)教案（推薦）

問題1 本章研究的問題是三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開平面直角坐標(biāo)系，這在第一節(jié)中已經(jīng)有所感受?，F(xiàn)在請你回憶初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢？

（設(shè)計意圖：將已有知識坐標(biāo)化,分化難點。用新的觀點再認(rèn)識學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，發(fā)揮其正遷移作用，同時使本課時的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗緊密聯(lián)系，使知識有一個熟悉的起點，扎實的固著點。）

預(yù)計的回答：學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標(biāo)語言表述時可能會出現(xiàn)困難——即使將角置于坐標(biāo)系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。

解答過程：

：如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。

（2）坐標(biāo)化：如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），那么，于是。

問題2 回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據(jù)是什么？寫出最簡單的形式。（設(shè)計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認(rèn)識，用數(shù)學(xué)的簡潔美引導(dǎo)學(xué)生進行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問題與問題1結(jié)合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）

預(yù)計的困難：由于學(xué)生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。

解答過程：

單位圓中定義銳角三角函數(shù)：如圖3，線段OP=1，點P的坐標(biāo)為（x，y），那么銳角α的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)表示為：。

（說明：單位圓的定義建議在弧度制一節(jié)中給出。）

依據(jù)：三角形相似，比值與具體的點的位置沒有關(guān)系。

問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數(shù)。（設(shè)計意圖：具體認(rèn)識任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設(shè)計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計中再次強調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化，學(xué)生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學(xué)生用計算器算cosπ的現(xiàn)象。）

活動形式：由學(xué)生分組獨立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認(rèn)識。學(xué)生可能會在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導(dǎo)——用坐標(biāo)表示，并引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識三角函數(shù)的定義域。

預(yù)計的答案：如圖4，針對其中的圖（1）（2）（3）學(xué)生寫出，針對其中的圖（4）學(xué)生寫出，針對其中的圖（5）學(xué)生寫出，tanα無意義。

結(jié)論：給出三角函數(shù)的定義：（略）。

問題4：根據(jù)上述過程，你能寫出三角函數(shù)的定義域嗎？你能用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進行分析嗎？

（設(shè)計意圖：順勢而為形成定義，并將三角函數(shù)的定義進行同化，通過這樣的活動強化學(xué)生對任意角三角函數(shù)定義的理解，達到對概念的初步精致。）

預(yù)計的困難：學(xué)生對三角函數(shù)的自變量認(rèn)識可能會存在問題。

教師的引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預(yù)計的答案：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）。

例1 求的正弦、余弦和正切值。

（設(shè)計意圖：鞏固對定義的理解。）

分析：根據(jù)定義求解，先利用銳角三角函數(shù)知識求出點P的坐標(biāo)，再根據(jù)定義求解。

解：如圖5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以O(shè)C=，CP=，所以點P的坐標(biāo)是。

根據(jù)定義可得：

練習(xí)１（P15練習(xí)3）完成下列表格中的前兩列：

例2 已知角α的終邊經(jīng)過點P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

（設(shè)計意圖：通過問題的轉(zhuǎn)化，進一步加深對定義的理解。）

分析：通過相似求出角α的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，之后再根據(jù)定義求解。解：如圖6，由已知可得： |OP0|=。

設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）,分別過點P和P0作x軸的垂線MP，M 0P0，則

又|OP|=1，根據(jù)∽Δ，可得，即，所以。

所以。

（說明：上述書寫過程基本與例1統(tǒng)一，這樣可以將該題目的求解思路同化，降低學(xué)習(xí)難度。）

問題5 通過本課時的學(xué)習(xí)你有哪些收獲，請從知識、思想方法經(jīng)驗等方面進行小結(jié)。此外你還有哪些需要質(zhì)疑之處。

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，并進一步思考。通過質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識三角函數(shù)，雖然在課堂上不研究其他3個三角函數(shù)，但是可以讓學(xué)生有一個全面的認(rèn)識，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。通過三角函數(shù)定義的一般化，引導(dǎo)學(xué)生用辯證的觀點認(rèn)識事物，理解三角函數(shù)。）

小結(jié)：知識：（略）；

思想方法：（略）；

經(jīng)驗：用函數(shù)的觀點認(rèn)識三角函數(shù)，用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)。

拓展1：3個數(shù)可以形成6個比值，為什么只對其中的三個比值進行定義和研究，其他3個比值又能對應(yīng)什么函數(shù)呢？有興趣的同學(xué)可以自己查閱資料進行研究。

拓展2：通過求解例2，你能發(fā)現(xiàn)還可以怎么定義任意角的三角函數(shù)呢？請閱讀教材的旁白。這是三角函數(shù)定義的等價定義。

六、目標(biāo)檢測設(shè)計 1．P15練習(xí)1，2，3；

（設(shè)計意圖：初步應(yīng)用定義和等價定義。）2．習(xí)題1.2A組2。

（設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生類比、對比解決問題能力。）

3．完成教材P13的探究，之后完成P15練習(xí)4，6，把結(jié)果填在書上。（設(shè)計意圖：將作業(yè)作為課堂教學(xué)的延伸，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣。）七．設(shè)計思路 1．突出單位圓的作用。具體表現(xiàn)在三個方面：第一是將銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化，引入單位圓；第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數(shù)；第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關(guān)系。

2．用函數(shù)同化三角函數(shù)。給出任意角的三角函數(shù)的定義之后，用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進行分析，將之納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并使得原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生順應(yīng)變化。

3．力求在數(shù)學(xué)的自然、必要和學(xué)生的認(rèn)知之間尋找平衡點。根據(jù)聽課時出現(xiàn)的問題，在本教學(xué)設(shè)計中采取了下列處理方式。（1）先坐標(biāo)化再引入單位圓，降低認(rèn)知臺階。

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)這一段的處理基本尊重教材，這是因為在聽課過程中發(fā)現(xiàn)如果將“坐標(biāo)化”與“單位圓”兩個問題同時拋給學(xué)生，雖然能體現(xiàn)出做這兩個工作的必要性，但是跨度較大，學(xué)生感到困難，解決問題的過程費時費力，不但不能使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的必要性，反而制約了學(xué)生的思維。

（2）將問題分解、具體化，通過具體認(rèn)識一般。

在形成任意角的三角函數(shù)的定義時將問題解剖，并采取分組合作的組織方式，旨在將抽象的問題具體化，降低難度。讓學(xué)生根據(jù)角的不同位置寫出定義，特別是對于象限角也進行了相同的處理辦法，這是因為學(xué)生的思維從具體問題開始，而且要形成“初始效應(yīng)”，在新概念學(xué)習(xí)伊始就使得它植根于學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并形成強烈的意識——用新定義解決問題，而不再用計算器或其他辦法。

（3）解題思路求同，強化定義的作用。

例

1、例2兩個題目的解決思路都是相同的：先求出角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，之后再根據(jù)定義求解。差別在于求角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)的具體方法不同，這些求法都是學(xué)生已經(jīng)具備的技能。據(jù)此建議教材中將例2的解題過程修改，將利用相似求線段長的計算前置，分步完成即降低了難度，又統(tǒng)一了思路，突出了定義的作用。

（4）將作業(yè)作為課堂教學(xué)的有效延伸，給學(xué)生思考的空間。

作業(yè)中的第3項的設(shè)計，其意是使得學(xué)生的作業(yè)不但有模仿的，更有需要獨立思考的，培養(yǎng)學(xué)生的能力。

2009-04-09 人教網(wǎng) 關(guān)閉 打印

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第五篇：《任意角和弧度制》教案

《任意角和弧度制》教案

篇一：人教A版高中數(shù)學(xué)必修四

1.1《任意角和弧度制》

1.1

《任意角和弧度制》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解任意角的概念.2.學(xué)會建立直角坐標(biāo)系討論任意角，判斷象限角，掌握終邊相同角的集合的書寫.3.了解弧度制，能進行弧度與角度的換算.4.認(rèn)識弧長公式，能進行簡單應(yīng)用.對弧長公式只要求了解，會進行簡單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.5.了解角的集合與實數(shù)集建立了一一對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用函數(shù)的觀點分析、解決問題.【導(dǎo)入新課】

復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過的知識：角的度量、圓心角的度數(shù)與弧的度數(shù)及弧長的關(guān)系

提出問題：

1．初中所學(xué)角的概念.2．實際生活中出現(xiàn)一系列關(guān)于角的問題.3.初中的角是如何度量的？度量單位是什么？

4.1°的角是如何定義的？弧長公式是什么？

5.角的范圍是什么？如何分類的？

新授課階段

一、角的定義與范圍的擴大

1．角的定義：一條射線繞著它的端點O，從起始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成一個角，點O是角的頂點，射線OA,OB分別是角的終邊、始邊.說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為．

2．角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；

零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零角.說明：零角的始邊和終邊重合.3．象限角：

在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)軸重合，則

（1）象限角：若角的終邊（端點除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也稱象限間角、軸線角）：如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限.例如：90,180,2等等.說明：角的始邊“與x軸的非負(fù)半軸重合”不能說成是“與x軸的正半軸重合”.因為

x軸的正半軸不包括原點，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點為其端點的射線.4．終邊相同的角的集合：由特殊角30看出：所有與30角終邊相同的角，連同30角自身在內(nèi)，都可以寫成30k360

kZ的形式；反之，所有形如

30k360kZ的角都與30角的終邊相同.從而得出一般規(guī)律：

所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k360,kZ，即：任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同.例1在0與360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？

（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，與120角終邊相同的角是240，它是第三象限角；

（2）640280360，所以，與640角終邊相同的角是280角，它是第四象限角；

（3）95012129483360，所以，95012角終邊相同的角是12948角，它是第二象限角.例2

若k3601575,kZ，試判斷角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z

∴與225終邊相同，所以，在第三象限.例3

寫出下列各邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式360720的元素

寫出來：（1）60；（2）21；（3）36314．

解：（1）S|60k360,kZ，S中適合360720的元素是

601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中適合360720的元素是

21036021,211360339,212260699

（3）S|36314k360,kZ

S中適合360720的元素是

36314236035646,3631413603***036314.例4

寫出第一象限角的集合M．

分析：（1）在360內(nèi)第一象限角可表示為090；

（2）與0,90終邊相同的角分別為0k360,90k360,(kZ)；

（3）第一象限角的集合就是夾在這兩個終邊相同的角中間的角的集合，我們表示為：

M|k36090k360,kZ．

學(xué)生討論，歸納出第二、三、四象限角的集合的表示法：

P|90k360180k360,kZ；

N|90k360180k360,kZ；

Q|2k360360k360,kZ．

說明：區(qū)間角的集合的表示不唯一.例5寫出yx(x0)所夾區(qū)域內(nèi)的角的集合.解：當(dāng)終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

當(dāng)終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

所以，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)有集合：S|45k36045k360,kZ．

二、弧度制與弧長公式

1.角度制與弧度制的換算：

∵360=2（rad），∴180=

rad.∴

1=

180

rad0.01745rad.180

1rad57.305718.o

S

l

2．弧長公式：lr.由公式：

lnrlr.比公式l簡單.r180

lR，其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑.2

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積

3．扇形面積公式

S注意幾點：

1．今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)該記住：

3．應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系.任意角的集合實數(shù)集R

例6

把下列各角從度化為弧度：

(1)252；（2）1115；(3)

30；(4)6730.解：(1)

/

（2）0.0625

(3)

(4)

0.375

變式練習(xí)：把下列各角從度化為弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)

；（2）

18720；(3).63

例7

把下列各角從弧度化為度：

（1）；(2)

3.5；(3)

2；(4)

5.4

解：（1）108

o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.變式練習(xí)：把下列各角從弧度化為度：

（1）

；（2）-；（3）.12310

解：（1）15

o；（2）-240o；（3）54o.例8

知扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，求該扇形的面積.解：因為2R+2R=8,所以R=2,S=4.課堂小結(jié)

1．弧度制的定義；

2．弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；

3．.弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運用；

篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立

適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學(xué)重點：理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學(xué)難點：“旋轉(zhuǎn)”定義角

課標(biāo)要求：了解任意角的概念

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負(fù)角和零角；另外還學(xué)習(xí)了象限角的概念，下面請一位同學(xué)敘述一下它們的定義。

生：略

師：上節(jié)課我們還學(xué)習(xí)了所有與α角終邊相同的角的集合的表示法，[板書]

0S={β|β=α+k×360，k∈Z}

這節(jié)課我們將進一步學(xué)習(xí)并運用角的概念的推廣，解決一些簡單問題。

二、例題選講

00例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-360≤β720的元素β

寫出來：

000，（1）60；

（2）-21；

（3）36314

0000解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中適合-360≤β720的元素是

00000000060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.0000（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

000

000

000

-21+0×360=-21

-21+1×360=339-21+2×360=699

0000說明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法來構(gòu)成與-21角終邊相同的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

0，00，0，00，0，00，36314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360=36314

說明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應(yīng)熟練掌握。

例2．寫出終邊在下列位置的角的集合(1)x軸的負(fù)半軸上；（2）y軸上

分析：要求這些角的集合，根據(jù)終邊相同的角的表示法，關(guān)鍵只要找出符合這個條件的一個

0角即α，然后在后面加上k×360即可。

○○0解：（1）∵在0～360間，終邊在x軸負(fù)半軸上的角為180，∴終邊在x軸負(fù)半軸上

00的所有角構(gòu)成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z

}

○○000（2）∵在0～360間，終邊在y軸上的角有兩個，即90和2，∴與90角終邊相

00同的角構(gòu)成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}

000同理，與2角終邊相同的角構(gòu)成的集合是S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}

提問：同學(xué)們思考一下，能否將這兩條式子寫成統(tǒng)一表達式？

師：一下子可能看不出來，這時我們將這兩條式子作一簡單變化：

0000S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}={β|β=90+2k×180，k∈Z

}（1）

00000S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}={β|β=90+180+2k×180，k∈Z

}

00={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

（2）

0師：在（1）式等號右邊后一項是180的所有偶數(shù)（2k）倍；在（2）式等號右邊后一項是

00180的所有奇數(shù)（2k+1）倍。因此，它們可以合并為180的所有整數(shù)倍，（1）式和（2）式

可統(tǒng)一寫成90+n×180（n∈Z），故終邊在y軸上的角的集合為

0000S=

S1∪S2

={β|β=90+2k×180，k∈Z

}∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

00={β|β=90+n×180，n∈Z

}

處理：師生討論，教師板演。

提問：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示？

00（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z

},{β|β=k×90，k∈Z

}

進一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？

00答：{β|β=45+n×180，n∈Z

}

0推廣：{β|β=α+k×180，k∈Z

}，β，α有何關(guān)系？（圖形表示）

處理：“提問”由學(xué)生作答；“進一步”教師引導(dǎo)，學(xué)生作答；“推廣”由學(xué)生歸納。

例1

若是第二象限角，則2，00，分別是第幾象限的角？

師：是第二象限角，如何表示？

0000解：（1）∵是第二象限角，∴90+k×360180+k×360（k∈Z）

0000∴

180+k×7202360+k×720

∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。

．．．．．．．．

（2）∵k18045

2k18090(kZ)，處理：先將k取幾個具體的數(shù)看一下（k=0，1，2，3），再歸納出以下規(guī)律：

是第一象限的角；

當(dāng)k2n1(nZ)時，n360225n3602(kZ)，是第三象限的22當(dāng)k2n(nZ)時，n36045n36090(kZ)，角。

∴是第一或第三象限的角。

是第一或第二或第四象限的角）

3說明：配以圖形加以說明。

（3）學(xué)生練習(xí)后教師講解并配以圖形說明。（進一步求是第幾象限的角（是第三象限的角），學(xué)生練習(xí)，教師校對答案。

三、例題小結(jié)

1．要注意某一區(qū)間內(nèi)的角和象限角的區(qū)別，象限角是由無數(shù)各區(qū)間角組成的；

2．要學(xué)會正確運用不等式進行角的表述同時要會以k取不同的值討論型如

0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、課堂練習(xí)

練習(xí)2

若的終邊在第一、三象限的角平分線上，則2的終邊在y軸的非負(fù)半軸上.練習(xí)3

若的終邊與60角的終邊相同，試寫出在（0，360）內(nèi)，與000角的終邊相同的3

角。

（20，140，260）

（備用題）練習(xí)4

如右圖，寫出陰影部分（包括邊界）的角

0，的集合，并指出-95012是否是該集合中的角。

000

（{α|

120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）

0000

探究活動

經(jīng)過5小時又25分鐘，時鐘的分針、時針各轉(zhuǎn)多少度？

五、作業(yè)

A組:

1．與

終邊相同的角的集合是___________，它們是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大負(fù)角是___________．

2．在0o~360o范圍內(nèi)，找出下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角：

（1）－265

（2）－1000o

（3）－843o10’

（4）3900o

B組

3．寫出終邊在x軸上的角的集合。

4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－360o≤β＜360o的元素寫出來：

(1)60o

(2)－75o

(3)

－824o30’

(4)

475o

(5)

90o

(6)

2o

(7)

180o

(8)

0oC組：若

是第二象限角時，則，分別是第幾象限的角？

篇三：1.1

任意角和弧度制

教學(xué)設(shè)計

教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入正角和負(fù)角；（2）理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；

（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念.2、過程與方法

通過創(chuàng)設(shè)情境：“轉(zhuǎn)體，逆（順）時針旋轉(zhuǎn)2周”，角有正角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，引入正角、負(fù)角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標(biāo)系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示.3、情態(tài)與價值

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對角的概念有了一個新的認(rèn)識，即有正角、負(fù)角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.學(xué)會運用運動變化的觀點認(rèn)識事物.2.教學(xué)重點/難點

重點:

理解正角、負(fù)角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.難點:

終邊相同的角的表示.3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

任意角

教學(xué)過程

【創(chuàng)設(shè)情境】

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了1.25小時，你應(yīng)

當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？

[取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角.【探究新知】

1．初中時，我們已學(xué)習(xí)了角的概念，它是如何定義的呢？

[展示投影]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點.2.如上述情境中所說的校準(zhǔn)時鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體”

（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.同學(xué)們思考一下:能否再舉出幾個現(xiàn)實生活中“大于的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子,這些說明了什么問題又該如何區(qū)分和表示這些角呢

[展示]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角,這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive

angle),按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角(negative

angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角(zero

angle).[展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負(fù)角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any

angle）,包括正角、負(fù)角和零角.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.3.在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant

angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第二象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.4.[展示投影]練習(xí):

(1)(口答)銳角是第幾象限角第一象限角一定是銳角嗎再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾

天前的那一天是星期幾100天后的那一天是星期幾

5.探究:將角按上述方法放在直角坐標(biāo)系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應(yīng).反之,對于直角坐標(biāo)系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系請結(jié)合4.(2)口答加以分析.[展示課件]不難發(fā)現(xiàn),在教材圖1.1-5中,如果

角的終邊都是,而

.的終邊是，那么

設(shè),則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角

與整數(shù)個周角的和.6.[展示投影]例題講評

例1.在范圍內(nèi)，找出與角

象限角.（注：是指

例2.寫出終邊在軸上的角的集合.上的角的集合,并把中適合不等式終邊相同的角，并判定它是第幾）

例3.寫出終邊直線在的元素寫出來.課堂小結(jié)

(1)

你知道角是如何推廣的嗎

(2)

象限角是如何定義的呢

(3)

你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎會寫終邊落在上的角的集合.課后習(xí)題

軸、軸、直線

板書

《》