第一篇：數(shù)列測試題及答案

數(shù)列測試題及答案：

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，則a7為()

A．6 B．7 C．8 D．9

解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.答案：A

2．若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S33－S22＝1，則數(shù)列{an}的公差是()

A.12 B．1 C．2 D．

3解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故選C.答案：C

3．已知數(shù)列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2 011等于()

A．1 B．－4 C．4 D．

5解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…

故{an}是以6為周期的數(shù)列，∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.答案：A

4．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯誤的是()

A．d＜0 B．a(chǎn)7＝0

C．S9＞S5 D．S6與S7均為Sn的最大值

解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.又S7＞S8，∴a8＜0.假設(shè)S9＞S5，則a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假設(shè)不成立，故S9＜S5.∴C錯誤.答案：C

5．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若S3＝3a3，則公比q的值為()

A．－12 B.1

2C．1或－12 D．－2或12[

解析：設(shè)首項為a1，公比為q，則當q＝1時，S3＝3a1＝3a3，適合題意．

當q≠1時，a1(1－q3)1－q＝3a1q2，∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，解得q＝1(舍去)，或q＝－12.綜上，q＝1，或q＝－12.答案：C

6．若數(shù)列{an}的通項公式an＝5 252n－2－425n－1，數(shù)列{an}的最大項為第x項，最小項為第y項，則x＋y等于()

A．3 B．4 C．5 D．6

解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45，∴n＝2時，an最?。籲＝1時，an最大．

此時x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.答案：A

7．數(shù)列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，則該數(shù)列中相鄰兩項的乘積是負數(shù)的是()

A．a(chǎn)21a22 B．a(chǎn)22a23 C．a(chǎn)23a24 D．a(chǎn)24a25

解析：∵3an＋1＝3an－2，∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．

令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.答案：C

8．某工廠去年產(chǎn)值為a，計劃今后5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加10%，則從今年起到第5年，這個廠的總產(chǎn)值為()

A．1.14a B．1.15a

C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a

解析：由已知，得每年產(chǎn)值構(gòu)成等比數(shù)列a1＝a，w

an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．

∴總產(chǎn)值為S6－a1＝11×(1.15－1)a.答案：C

9．已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}的前20項的和為100，那么a7a14的最大值為()

A．25 B．50 C．1 00 D．不存在解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10.∴a7＋a14＝10.又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.答案：A

10．設(shè)數(shù)列{an}是首項為m，公比為q(q≠0)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，對任意的n∈N*，點an，S2nSn()

A．在直線mx＋qy－q＝0上

B．在直線qx－my＋m＝0上

C．在直線qx＋my－q＝0上

D．不一定在一條直線上

解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y(tǒng)，②

由②得qn＝y(tǒng)－1，代入①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0.答案：B

11．將以2為首項的偶數(shù)數(shù)列，按下列方法分組：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n組有n個數(shù)，則第n組的首項為()

A．n2－n B．n2＋n＋2

C．n2＋n D．n2－n＋2

解析：因為前n－1組占用了數(shù)列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2項，所以第n組的首項為數(shù)列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1項，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.答案：D

12．設(shè)m∈N*，log2m的整數(shù)部分用F(m)表示，則F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是()

A．8 204 B．8 192

C．9 218 D．以上都不對

解析：依題意，F(xiàn)(1)＝0，F(xiàn)(2)＝F(3)＝1，有2 個

F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22個．

F(8)＝…＝F(15)＝3，有23個．

F(16)＝…＝F(31)＝4，有24個．

…

F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29個．

F(1 024)＝10，有1個．

故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①

則2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②

①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝

2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，∴T＝8×210＋2＝8 194，m]

∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.答案：A

第Ⅱ卷(非選擇 共90分)

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．

13．若數(shù)列{an} 滿足關(guān)系a1＝2，an＋1＝3an＋2，該數(shù) 列的通項公式為__________．

解析：∵an＋1＝3an＋2兩邊加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，∴{an＋1}是以a1＋1＝3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1.答案：an＝3n－

114．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，則M與N的大小關(guān)系是__________．

解析：設(shè){an}的公差為d，則d≠0.M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]

＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.答案：M＜N

15．在數(shù)列{an}中，a1＝6，且對任意大于1的正整數(shù)n，點(an，an－1)在直線x－y＝6上，則數(shù)列{ann3(n＋1)}的前n項和Sn＝__________.解析：∵點(an，an－1)在直線x－y＝6上，∴an－an－1＝6，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，∴an＝6n2.∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1

∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.答案：6nn＋1

16．觀察下表：3

4 5 6 75 6 7 8 9 10

…

則第__________行的各數(shù)之和等于2 0092.解析：設(shè)第n行的各數(shù)之和等于2 0092，則此行是一個首項a1＝n，項數(shù)為2n－1，公差為1的等差數(shù)列．

故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005.答案：1 00

5三、解答題：本大題共6小題，共70分．

17．(10分)已知數(shù)列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.(1)求證：{bn}是等比數(shù)列，并求bn；

(2)求通項an并求{an}的前n項和Sn.解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，∴{bn}是等比數(shù)列．

∵b1＝a1－2＝－32，∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2

＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.18．(12分)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n.(1)求{an}的通項公式；

(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求數(shù)列{cn}的通項公式及其前n項和Tn.解析：(1)由題意Sn＝2n，得Sn－1＝2n－1(n≥2)，兩式相減，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．

當n＝1時，21－1＝1≠S1＝a1＝2.∴an＝2(n＝1)，2n－1(n≥2).(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…

bn－bn－1＝2n－3.以上各式相加，得

bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)

＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，∴cn＝－2(n＝1)，(n－2)×2n－1(n≥2)，∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n

＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n

＝2n－2－(n－2)×2n

＝－2－(n－3)×2n.∴Tn＝2＋(n－3)×2n.19．(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若從數(shù)列{an}中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第2n項，…，按原來順序組成一個新數(shù)列{bn}，記該數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn的表達式．

解析：(1)依題意，得

3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1.(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)

＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.20．(12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.(1)證明：當b＝2時，{an－n2n－1}是等比數(shù)列；

(2)求通項an.新 課 標 第 一 網(wǎng)

解析：由題意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，兩式相減，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.①

(1)當b＝2時，由①知，an＋1＝2an＋2n.于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n

＝2an－n2n－1.又a1－ 120＝1≠0，∴{an－n2n－1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．

(2)當b＝2時，由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1

當b≠2時，由①得

an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n

＝ban－12－b2n，因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.得an＝2，n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]，n≥2.21．(12分)某地在抗洪搶險中接到預報，24小時后又一個超歷史最高水位的洪峰到達，為保證萬無一失，抗洪指揮部決定在24小時內(nèi)另筑起一道堤作為第二道防線．經(jīng)計算，如果有 20輛大型翻斗車同時作業(yè)25小時，可以筑起第二道防線，但是除了現(xiàn)有的一輛車可以立即投入作業(yè)外，其余車輛需從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘就有一輛車到達并投入工作．問指揮部至少還需組織多少輛車這樣陸續(xù)工作，才能保證24小時內(nèi)完成第二道防線，請說明理由．

解析：設(shè)從現(xiàn)有這輛車投入工作算起，各車的工作時間依次組成數(shù)列{an}，則an－an－1＝－13.所以各車的工作時間構(gòu)成首項為24，公差為－13的等差數(shù)列，由題知，24小時內(nèi)最多可抽調(diào)72輛車．

設(shè)還需組織(n－1)輛車，則

a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.所以n2－145n＋3 000≤0，解得25≤n≤120，且n≤73.所以nmin＝25，n－1＝24.故至少還需組織24輛車陸續(xù)工作，才能保證在24小時內(nèi)完成第二道防線．

22．(12分)已知點集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，點列Pn(an，bn)在點集L中，P1為L的軌跡與y軸的交點，已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為1，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(3)設(shè)cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．

解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.∵P1為L的軌跡與y軸的交點，∴P1(0,1)，則a1＝0，b1＝1.∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為1，∴an＝n－1(n∈N*)．

代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．

＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.∵n∈N*，(3)當n≥2時，Pn(n－1,2n－1)，∴c2＋c3＋…＋cn

＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.

第二篇：數(shù)列測試題及答案

數(shù)列

一、選擇題

1、（2010全國卷2理數(shù)）如果等差數(shù)列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?（A）14（B）21（C）28（D）35 【答案】C

【解析】a3?a7)

4?a5?3a4?12,a4?4,?a1?a2?

?aa1?a7?

7（2?7a4?28

2、（2010遼寧文數(shù)）設(shè)Sn為等比數(shù)列?an?的前n項和，已知3S3?a4?2，3S2?a3?2，則公比q?

（A）

3（B）

4（C）

5（D）6

解析：選B.兩式相減得，3a3?a4?a3，a4?4a3,?q?

a4

a?4.33、（2010安徽文數(shù)）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn?n2，則a8的值為（A）15(B)16(C)49（D）64 答案：A

【解析】a8?S8?S7?64?49?15.4、（2010浙江文數(shù)）設(shè)sS

5n為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2?a5?0則S?

2(A)-1

1(B)-8(C)5(D)115、(2009年廣東卷文)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a

23·a9=2a5，a2=1，則a1=A.12B.2

2C.2D.2

【答案】B

【解析】設(shè)公比為q,由已知得a2

81q?a1q?2?

a41q

?2,即q

?2,又因為等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，所以q?故aa21?

q??

2,選B

6、（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列{a，且a2n

n}滿足an?0,n?1,2,5?a2n?5?2(n?3)，則當n?1時，log2a1?log2a3??log2a2n?1?

A.n(2n?1)B.(n?1)2C.n

2D.(n?1)2

【解析】由an2

5?a2n?5?22(n?3)得an?22n，an?0，則ann?2，log2a1?log2a3?????

log2a2n?1?1?3?????(2n?1)?n2，選C.7、（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項, S8?32,則S10等于

A.18B.24C.60D.90 答案：C

【解析】由a

24?a3a7得(a1?3d)2?(a1?2d)(a1?6d)得2a1?3d?0,再由S8?8a56

1?

2d?32得 2a1?7d?8則d?2,a1??3,所以S10?10a1?

d?60,.故選C

8、（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列{ a6n}的前n 項和為Sn，若

SS=3，則S= 3S6

（A）2（B）

73（C）8

3（D）3 【解析】設(shè)公比為q ,則S6(1?q3)S

3S?

＝1＋q3＝3?q3＝2 3S3

于是S391?q?q61?2?47

S?1?q3

?? 61?23

【答案】B9、（2009安徽卷理）已知?an?為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示?an?的前n項和，則

使得Sn達到最大值的n是

（A）21（B）20（C）19（D）18

[解析]：由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由a2?a4?a6=99得3a4?99即a4?33，∴d??2，a?2)?41?2n，由??

an?0

n?a4?(n?4)?(得n?20，選B?an?

1?010、2009上海十四校聯(lián)考）無窮等比數(shù)列1,22,12,24,…各項的和等于（）

A．2?2 B．2?2

C．2?

1D．2?1

答案B11、（2009江西卷理）數(shù)列{a2

2n?n}的通項an?n(cos

3?sin2n?)，其前n項和為Sn，則S30為 A．470B．490C．495D．510 答案：A

【解析】由于{cos

n?3?sin2n?

以3 為周期,故 ?(?12?22?3)?(?42?52S2

30?62(?282?292

22)?

??3022)

??[?(3k?2)2?(3k?1)210

?(3k)2

]?k?12?[9k?5]?9?10?11?25?470故選k?

122A12、2009湖北卷文）設(shè)x?R,記不超過x的最大整數(shù)為[x],令{x}=x-[x]，則{5?12}，[5?1?

12],2A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 【答案】B

【解析】可分別求得????

?，?1.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.二、填空題

13、(2010遼寧文數(shù)）（14）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3?3，S6?24，則a9?

???S3?3a1??2d?3解析：填15.?2,解得??6?5?a1??1d?2，?a9?a1?8d?15.??

S6?6a

1?2d?24?

14、（2010福建理數(shù)）11．在等比數(shù)列?an?中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式

an?．

【答案】

4n-

1【解析】由題意知an-1

1?4a1?16a1?21，解得a1?1，所以通項an?4。

15、（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q?12，前n項和為SS

n，則4a?

4答案：1

5【解析】對于sa41(1?q)

3s41?q44?1?q,a4?a1q,?a?3?15

4q(1?q)

16、（2009北京理）已知數(shù)列{an}滿足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N?,則a2009?________；

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.屬于創(chuàng)新題型.依題意，得a2009?a4?503?3?1，三、解答題17、2009全國卷Ⅱ文）

已知等差數(shù)列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0,求{an}前n項和sn.解：設(shè)?an?的公差為d，則

???

?a1?2d??a1?6d???16

??5d?0

?a1?3d?a1?a21?8da2即?1?12d??16

a?4d

?1?解得?

?a1??8,?a1?8

2,或 ?d??

?d??

2因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?，或Sn?8n?n?n?1???n?n?9?

18、（2010重慶文數(shù)）

已知?an?是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，Sn為?an?的前n項和.（Ⅰ）求通項an及Sn；

（Ⅱ）設(shè)?bn?an?是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列?bn?的通項公式及其前n項和Tn.19、（2010山東理數(shù)）（18）（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列?an?滿足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；

（Ⅱ）令b

1n=a2?1

(n?N*)，求數(shù)列?bn?的前n項和Tn．

n【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d，因為a3?7，a5?a7?26，所以有

??

a1?2d?7，解得?2a10d?26

a1?3,d?2，1?所以an?3?（2n?1)=2n+1；Sn(n-1)

n=3n+

2?2=n2+2n。（Ⅱ）由（Ⅰ）知a1

111111n?2n+1，所以bn=

a2?1=（2n+1)2?1=4?n(n+1)=

4?(n-n+1)，n所以T1n=

?(1-111+111142+2?3+n-n+1)=4?(1-n+1)=n

4(n+1)，即數(shù)列?bn?的前n項和Tn

n=

4(n+1)。

20、2009全國卷Ⅱ理）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2（I）設(shè)bn?an?1?2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列

（II）求數(shù)列{an}的通項公式。

解：（I）由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?4a1?2,a2?3a1?2?5,?b1?a2?2a1?3由Sn?1?4an?2，．．．①則當n?2時，有Sn?4an?1?2．．．．．② ②－①得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1)又

bn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首項b1?3，公比為２的等比數(shù)列．

（II）由（I）可得b?1，?

an?1n?an?1?2an?3?2n2n?

1?an

32n?

4?數(shù)列{

an

2n

是首項為12，公差為3

4的等比數(shù)列．?an?1?(n?13?n3?，1a?22n2444

n?(3n?1)?2n 21、（2009江西卷文）（本小題滿分12分）數(shù)列{a2

2n?n}的通項an?n(cos3?sin2n?)，其前n項和為Sn.(1)求Sn;

(2)bS3n

n?

n?4n,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.解:(1)由于cos2n?3?sin2n?2n?3?cos

3,故

S3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)?

?(a3k?2?a3k?1?a3k)

?(?12?22?32)?(?42?52?62(3k?2)2?(3k?1)2 22)?

?(?2

?(3k)2))

?

1318k?5k(9k?2?312

??

2?4)

2, Sk(4?9k)

3k?1?S3k?a3k?2,S?Sak(4?9k)(3k?1)213k?2

13k?2

3k?1?3k?1?2?2?2?k??3?6,???n?1,n?3k?2?

36故S?(n?1)(1?3n),n?3k?1(k?N*n??

?

6)??n(3n?4)

?

6,n?3k(2)bn?

S3nn?4n?9n?

42?4

n,T113229n?4n?2[4?42??4n

], 4T1229n?4n?2[13?4??4

n?1],兩式相減得

3T199?n

2[13?4??9n?419n?419nn?4n?1?4n]?2[13??]1?4n?8?22n?3?22n?1, 4

故T81n?3?

3?22n?3?3n

22n?1

.22、（2009執(zhí)信中學）設(shè)函數(shù)

f?x??

x2?a

bx?c

?b,c?N??.若方程f?x??x的根為0和2, 且

f??2???

.(1)求函數(shù)

f?x?的解析式；

(2)已知各項均不為零的數(shù)列

?an?滿足: 4Snf(1a)?1(Sn為該數(shù)列前n項和),求該數(shù)列的通項an.n

【解析】

?

⑴設(shè)x?a2?2?0?c??a?0bx?c?x,得?1?b?x?cx?a?0,??1?c?ab,??

b?1? ?

2?0?1?b??

2f(x)?x2(1?c)x?c,f(?2)??2??1

?c?3, 1?c2又 b,c?Nx2

?,?c?2,b?c，?f?x??

2x?1?x?1?⑵由已知得2Sn?a22

n?an,?2Sn?1?an?1?an?1,兩式相減得?an?an?1??an?an?1?1??0, ?an??an?1或an?an?1??1.當n

?1，2a21?a1?a1?a1??1，若an??an?1，則a2?1，這與an?1矛盾.?an?an?1??1,?an??n.⑶由an?1

?f?an??a?an1?11?n?1

2a???2????11

n?2an?1??an2??

2?2,?an?1?0或an?1?2.若an?1

?0，則an?1?3；若an?1?2，則aan?an?2?n?1?an?

?2a?0

n?1??an?在n?2時單調(diào)遞減.a2

2?a?1482a??8

2，?an?a2??3在n?2時成立1?22?4?23

3.

第三篇：第二章 數(shù)列測試題(題目+答案)

第2章 數(shù)列 單元測試

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x等于（）A．1

1B．1C．1

3D．1

41答案：C an?an?1?an?2

2．2?1與2?1，兩數(shù)的等比中項是（）

A．1

B．?1

C．?1

D．21 22.答案C x?(2?1)(2?1)?1,x??1

3．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝（）．

A．33 B．72

C．84

D．189 3答案：C

本題考查等比數(shù)列的相關(guān)概念，及其有關(guān)計算能力．

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由題意得a1＋a2＋a3＝21，即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．

解得q＝2或q＝－3(不合題意，舍去)，∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84． 4．如果a1，a2，…，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則（）．

A．a(chǎn)1a8＞a4a5 B．a(chǎn)1a8＜a4a

5C．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4a5 4答案．B．

解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．

又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8． 5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列, 則a2＝（）．

A．－4 B．－6

C．－8

D． －10 5答案．B

解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6．

6．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若A．1 B．－1

a5S5＝，則9＝（）． a3S59

C．2

D．2

9(a1?a9)9?a5S9526答案．A

解析：∵9＝＝＝·＝1，∴選A．

5(a1?a5)5?a3S5592og7．等比數(shù)列?an?的各項均為正數(shù)，且a5a6?a4a7?18，則l31a?log32a..?log?310a?（）

A．12

B．10

C．1?log35

D．2?log35

7答案：B

log3a1?log3a2?...?log3a10?log3(a1a2...a10)?log3(a4a5)?log3(3)?10 8．數(shù)列?an?的通項公式an?A．2

B．3 8答案：B an?5101n?n?1，則該數(shù)列的前15項之和等于（）。

C．4

D．5

1n?n?1?n?1?n,Sn?2?1?3?2?...?n?1?n=n?1?1

S15?15?1?1?3

29．在等差數(shù)列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，則n＝（）．

A．38

B．20

C．10

D．9

229．答案C

解析：∵{an}為等差數(shù)列，∴an＝an－1＋an＋1，∴an＝2an，又an≠0，∴an＝2，{an}為常數(shù)數(shù)列，而an＝

S2n?138，即2n－1＝＝19，2n?122∴n＝10．

n10．等比數(shù)列?an?前n項的和為2?1，則數(shù)列an??前n項的和為 ______________。

2?4n?14n?14n+1?12?4n?1?1A．

B．

C．

D．

333310．答案B Sn?2?1,Sn?1?2nn?11?4n4n?1?1,an?2,an?4,a?1,q?4,Sn?=

1?43n?12n?121

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11．數(shù)列7,77,777,7777…的一個通項公式是______________________。11答案：.an?71(10n?1)9,99,999,9999...?120?1,31?0974 01,?10?1,1?91,7912.已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，若a4?a7?a10?17，a4?a5?a6???a12?a13?a14?77且ak?13,則k?_________。

12．答案：18

解析 3a7?17,a7?

13?7?k(?172,11a9?77,a9?7,a9=a7+2d，d?,ak?a9?(k?9)d 3329?)k?,3 1813．計算log333...3?___________.???????n11??...?n1n13．答案：1?n

解析 ：log333...3?log3(32?34???32)?log3(3242)

???????2n111111[1?()n]1112?1? ??2?...?n?2n122221?214．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝

；當n＞4時，f(n)＝

．

14．答案：5，1(n＋1)(n－2)． 2解析：同一平面內(nèi)兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條直線都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．

由f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，……

f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝

1(n＋1)(n－2)．

2三、解答題（本大題共6小題，共81分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15．已知數(shù)列?an?的通項公式an??2n?11，如果bn?an(n?N)，求數(shù)列?bn?的前n項和。

解：bn?an???11?2n,n?5n2，當n?5時，Sn?(9?11?2n)?10n?n

2?2n?11,n?6 當n?6時，Sn?S5?Sn?5?25?n?5(1?2n?11)?n2?10n?50 2 2???n?10n,(n?5)∴Sn??2

??n?10n?50,(n?6)16.設(shè)等比數(shù)列?an?前n項和為Sn，若S3?S6?2S9，求數(shù)列的公比q 解：顯然q?1，若q?1則S3?S6?9a1,而2S9?18a1,與S3?S6?2S9矛盾

a1(1?q3)a1(1?q6)2a1(1?q9)由S3?S6?2S9? ??1?q1?q1?q12q9?q6?q3?0,2(q3)2?q3?1?0,得q3??,或q3?1，23而q?1，∴q??42

17．(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n，求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列.(2)已知111b?cc?aa?b，成等差數(shù)列，求證，也成等差數(shù)列.abcbca分析：判定給定數(shù)列是否為等差數(shù)列關(guān)鍵看是否滿足從第2項開始每項與其前一項差為常數(shù)．

答案：證明：（1）n＝1時，a1＝S1＝3－2＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，n＝1時，亦滿足，∴an＝6n－5(n∈N*)．

首項a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常數(shù))(n∈N*)，∴數(shù)列{an}成等差數(shù)列且a1＝1，公差為6．（2）∵ ∴111，成等差數(shù)列，abc211＝＋化簡得2ac＝b(a＋c)． bacbc＋c2＋a2＋abb(a＋c)＋a2＋c2(a＋c)2(a＋c)2b＋ca＋ba＋c ＋＝＝＝＝＝2·，b(a＋c)acacacabc2∴b＋cc＋aa＋b，也成等差數(shù)列． abc2n18．求和：（1）(a?1)?(a?2)?...?(a?n),(a?0)

（2）1?2x?3x?...?nx22n?1

n2n答案：（1）解：原式=(a?a?...?a)?(1?2?...?n)?(a?a?...?a)?n(n?1)2 ?a(1?an)n(n?1)?(a?1)??1?a2??

2?n?n(a?1)??22（2）解：記Sn?1?2x?3x?...?nx2n?1，當x?1時，Sn?1?2?3?...?n?231n(n?1)2n?1當x?1時，xSn?x?2x?3x?...?(n?1)x?nxn，(1?x)Sn?1?x?x?x?...?x23n?11?xn?nx,Sn??nxn

1?xn?1?xnn?nx(x?1)??1?x∴原式=?

?n(n?1)(x?1)??219.已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N).*（I）求數(shù)列?an?的通項公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足4142?4nb?1b?1b?1?(an?1)bn(n?N*),證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

?an?1?1?2(an?1), 解：（I）解：?an?1?2an?1(n?N)，*??an?1?是以a1?1?2為首項，2為公比的等比數(shù)列。?an?1?2n.即 an?2?1(n?N).2*bn?1bnb1?1b2?144?4?(a?1)n（II）證法一：∵

∴4(b1?b2???bn)?n?2nbn

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0, ③ nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.④

③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0, 即 bn?2?2bn?1?bn?0, ?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*), ??bn?是等差數(shù)列。

*20.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且?1,Sn,an?1成等差數(shù)列，n?N,a1?1.函數(shù)f(x)?log3x.（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（II）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn?1(n?3)[f(an)?2]，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，試比較

52n?5?12312的大小.解：（I）??1,Sn,an?1成等差數(shù)列，?2Sn?an?1?1①

當n?2時，2Sn?1?an?1②.Tn與①－②得：2(Sn?Sn?1)?an?1?an，?3an?an?1，當n=1時，由①得?2S1?2a1?a2?1，又a1?1,?an?1?3.an

a2?3,a1

?a2?3,? ?{an}是以1為首項3為公比的等比數(shù)列，?an?3n?1.n?1（II）∵f?x??log3x，?f(an)?log3an?log33?n?1，11111bn???(?)(n?3)[f(an)?2](n?1)(n?3)2n?1n?3，1111111111111?Tn?(?????????????)224354657nn?2n?1n?3

2n?511111?5?,?(???)122(n?2)(n?3)223n?2n?3

52n?5Tn與?12312的大小，只需比較2(n?2)(n?3)與312 的大小即可.比較又2(n?2)(n?3)?312?2(n2?5n?6?156)?2(n2?5n?150)?2(n?15)(n?10)

52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??;**12312 ∵n?N,∴當1?n?9且n?N時，52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??;12312 當n?10時，52n?52(n?2)(n?3)?312,即T??*n12312.當n?10且n?N時，

第四篇：高一數(shù)列測試題

高一數(shù)列測試題

一、選擇題（5分×10=50分）

1、4、三個正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，則lga、lgb、lgc是（）

A、等比數(shù)列B、既是等差又是等比數(shù)列C、等差數(shù)列D、既不是等差又不是等比數(shù)列

2、前100個自然數(shù)中，除以7余數(shù)為2的所有數(shù)的和是（）A、765B、653C、658D、6603、如果a,x1,x2,b 成等差數(shù)列，a,y1,y2,b 成等比數(shù)列，那么(x1+x2)/y1y2等于

A、(a+b)/(a-b)B、(b-a)/abC、ab/(a+b)D、(a+b)/ab4、在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=A、1B、-1C、-3D、35、在等比數(shù)列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126，則n的值為A、5B、6C、7D、86、若{ an }為等比數(shù)列，Sn為前n項的和，S3=3a3,則公比q為A、1或-1/2B、-1 或1/2C、-1/2D、1/2或-1/27、一個項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項之和為24，偶數(shù)項之和為30，最后一項比第一項大21/2，則最后一項為（）A、12B、10C、8D、以上都不對

8、在等比數(shù)列{an}中，an>0,a2a4+a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值是A、20B、15C、10D、59、等比數(shù)列前n項和為Sn有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后來發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)算錯了，錯誤的是

A、S1B、S2C、S3D、S410、數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a7,a10,a15是一等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項，若該等比數(shù)列的首項b1=3則bn等

n-1n-1n-1n-1于A、3·(5/3)B、3·(3/5)C、3·(5/8)D、3·(2/3)

11、公差不為0的等差數(shù)列的第2，3，6項依次構(gòu)成一等比數(shù)列，該等比數(shù)列的公比q12、各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，公比q?1,a5,a7,a8成等差數(shù)列，則公比q=

13、已知a,b,a+b成等差數(shù)列,a,b,ab成等比數(shù)列，且0

14、已知a n=an－2+a n－1(n≥3), a 1=1,a2=2, b n=an,15、已知整數(shù)對的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，an?1

2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，則第60個數(shù)對為

16、有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個數(shù)為等差數(shù)列，其和為12，求此四個數(shù)。

17、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-n2,an=log5bn，其中bn>0，求數(shù)列{bn}的前n項和。

18．已知正項數(shù)列?an?，其前n項和Sn滿足10Sn?an2?5an?6,且a1,a2,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列?an?的通項an.19、在數(shù)列?an?中，a1?8,a4?2且an?2?2an?1?an?0，n?N.?

①求數(shù)列?an?的通項公式。②設(shè)Sn?|a1|?|a2|???|an|.求Sn20、已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn，且滿足an?2SnSn?1?0(n?2)，a1?1，2

①求證：數(shù)列??1??是等差數(shù)列；②求數(shù)列?an?的通項公式。

?Sn?

21、在等差數(shù)列{an}中，a1?2，a1?a2?a3?12。(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)令bn?an?3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

第五篇：高考數(shù)列試題及答案

數(shù)列試題

1．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9=2a5，a2=1，則a1=（）A.2．已知

為等差數(shù)列，B。1C.3D.7，則等于（）212B.。C.222D.2A.-1

3．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項, S8?32,則S10等于（）

A.18B.24C。60D.90

4．設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項和，已知a2?3，a6?11，則S7等于（）

A．13B．35C。49D． 63

5．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3 =6，a1=4，則公差d等于（）

A．1B

６.已知?an?為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,則公差d＝

（A）－2（B）。－

5C。-2D 3 311（C）（D）2 22

７.設(shè)等比數(shù)列{ an}的前n 項和為Sn，若

S6S

=3，則9 = S3S6

（A）2（B）。

（C）（D）3 33

８．等比數(shù)列?an?的前n項和為sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列。若a1=1，則s4=（A）7（B）8（ｃ）。15（4）16

９．等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,則m?

（A）38（B）20（C）。10（D）9

本題注意：因為?an?是等差數(shù)列，所以，am?1?am?1?2am

１０.（本小題滿分14分）設(shè)?an?是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，滿足

a22?a32?a42?a52,S7?7。求數(shù)列?an?的通項公式及前n項和Sn；

１１。已知等差數(shù)列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0求{an}前n項和sn.n?1

１２。已知數(shù)列?an?的前n項和Sn??an?()?2（n為正整數(shù)），令bn?2nan，12

求證數(shù)列?bn?是等差數(shù)列，并求數(shù)列?an?的通項公式；

１３。.設(shè)數(shù)列?an?的前n項和為Sn，對任意的正整數(shù)n，都有an?5Sn?1成立，記

bn?

4?an

(n?N*)。1?an

（I）求數(shù)列?an?與數(shù)列?bn?的通項公式；

（II）設(shè)數(shù)列?bn?的前n項和為Rn，是否存在正整數(shù)k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k；若不存在，請說明理由；

１４ 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2

（I）設(shè)bn?an?1?2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列（II）求數(shù)列{an}的通項公式。

１５ 等比數(shù)列{an}的前n 項和為sn，已知S1,S3,S2成等差數(shù)列（1）求{an}的公比q；（2）求a1－a3＝3，求sn

1’a2?2,an＋2＝１６。已知數(shù)列?an}滿足，a1＝

an?an?1,n?N*.2

(Ⅱ)求?an}的通項公式。

???令bn?an?1?an，證明：{bn}是等比數(shù)列；

１７。已知a1?1,a2?4,an?2?4an?1?an,bn?

an?1,n?N?． an

（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；（Ⅱ）設(shè)cn?bnbn?1,Sn為數(shù)列?cn?的前n項和，求證：Sn?17n

答案：１２在Sn??an?()

n?1

?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?1

?2，?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?1，2

當n?2時，Sn?1??an?1?()

n?2

?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?1.?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即當n?2時，bn?bn?1?1.又b1?2a1?1,?數(shù)列bn?是首項和公差均為1的等差數(shù)列.?

n.n21

１３（I）當n?1時，a1?5S1?1,?a1??

于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?

n

又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

?an?1?an?5an?1,即

11an?11

??∴數(shù)列?an?是首項為a1??，公比為q??的等比數(shù)

44an4

1n

4?(?)1n列，∴an?(?)，bn?(n?N*)

1?(?)n

14?(?)n

5?4?（II）不存在正整數(shù)k，使得Rn?4k成立。證明由（I）知bn?n

n(?4)?11?(?)4

552015?16k?40

?b2k?1?b2k?8???8?k?k?8?k?8.k

(?4)2k?1?1(?4)2k?116?116?4(16?1)(16?4)

∴當n為偶數(shù)時，設(shè)n?2m(m?N)

?

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 當n為奇數(shù)時，設(shè)n?2m?1(m?N)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴對于一切的正整數(shù)n，都有Rn?4k

?

∴不存在正整數(shù)k，使得Rn?4k成立。

１４解由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?a4,1?2a2?3a1?2?5,?b???1a22a13

由Sn?1?4an?2，．．．①則當n?2時，有Sn?4an?1?2．．．．．② ②－①得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1)

又?bn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首項b1?3，公比為２的等比數(shù)列．（II）由（I）可得bn?an?1?2an?3?2n?1，??數(shù)列{

an?1an3

?n? n?1

224

an13

}是首項為，公差為的等比數(shù)列．

242n

a1331??(n?1?n??n，an?(3n?1)?2n?2n22444

１５解：（Ⅰ）依題意有a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q2)

由于 a1?0，故 2q2?q?0 又q?0，從而q?－

（（Ⅱ）由已知可得a1?a1?）?3故a1?4

1n

（41?（?））

81n從而Sn??1?（?））

1321?（?）

１６（1）證b1?a2?a1?1, 當n?2時，bn?an?1?an?所以?bn?是以1為首項，?

an?1?an11

?an??(an?an?1)??bn?1, 222

為公比的等比數(shù)列。2

1n?1

（2）解由（1）知bn?an?1?an?(?),當n?2時，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?1?1?(?)???(?)

1212

n?2

11?(?)n?1

21521?1?[1?(?)n?2]??(?)n?1, ?1?

323321?(?)

5211?1

當n?1時，?(?)?1?a1。

332521n?1*

所以an??(?)(n?N)。

332

.１７。解：（Ⅰ）?a2?4,a3?17,a4?72，所以b1?4.b2?（Ⅱ）由an?2?4an?1?an得

1772,b3? 417

an?2a1

?4?n即bn?1?4? an?1an?1bn

所以當n≥2時，bn?4于是c1?b1,b2?17,cn?bnbn?1?4bn?1?17所以Sn?c1?c2???cn?17n

(n≥2)