第一篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則及其推導(dǎo)過程． 2．掌握復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

3．讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法． 4．培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角形式是本節(jié)內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算． 難點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，不易為學(xué)生掌握． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師：前面我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的三角形式，請(qǐng)大家用5分鐘的時(shí)間，完成以下兩道題的演算．（利用投影儀出示）

1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；

想出算法后，請(qǐng)大家在筆記本上演算，允許同學(xué)之間交換意見．

（教師在教室里巡視，稍過幾分鐘，請(qǐng)一位已經(jīng)做完的同學(xué)在黑板上寫出推導(dǎo)過程）學(xué)生板演：

z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）

=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 師：很好，你是怎樣想出來的？為什么這樣想？

生：我們已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算，因此把三角形式化為代數(shù)形式，按著代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則就可以完成運(yùn)算．根據(jù)數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的原則，運(yùn)用三角公式把結(jié)果化簡(jiǎn)． 在已知的基礎(chǔ)上發(fā)展和探索未知的東西，解題時(shí)，把未知轉(zhuǎn)化成已知，這是重要的思想方法．我是根據(jù)這個(gè)思想才想出來的．

師：觀察這個(gè)問題的已知和結(jié)論，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的復(fù)角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和． 師：利用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：

這就是復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算公式．

三角形式是由模和輻角兩個(gè)量確定的，進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？ 使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是復(fù)數(shù)必須是三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，輻角不要求一定是主值．

同學(xué)們已經(jīng)了解，復(fù)數(shù)通過幾何表示，把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立起一一對(duì)應(yīng)后，復(fù)數(shù)不僅取得了實(shí)際的解釋，而且確實(shí)逐步展示了它的廣泛應(yīng)用．我們已經(jīng)研究了復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，并感覺到了它的用途，請(qǐng)大家討論一下，學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有什么啟發(fā)呢？

（同學(xué)分組討論，請(qǐng)小組代表發(fā)言．如果條件允許，在學(xué)生發(fā)言同時(shí)，用多媒體輔助教學(xué)，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉(zhuǎn)）

生：復(fù)數(shù)的乘法對(duì)應(yīng)的向量，就是由對(duì)應(yīng)于被乘數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角|θ2|，再把其模變?yōu)樵瓉淼膔2倍（r2＞1，應(yīng)伸長(zhǎng)；0＜r2＜1，應(yīng)縮短；r2=1，模長(zhǎng)不變），所得的向量就表示積z1·z2．這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

師：解此題復(fù)數(shù)是否一定化成三角形式？

生：復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，無論是代數(shù)形式還是三角形式都表示同一個(gè)復(fù)數(shù)和向量，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，因此不一定化成三角形式，應(yīng)根據(jù)需要來選擇．

師：說得好，請(qǐng)同學(xué)們寫一下解題過程．（找一名同學(xué)到黑板板演）

解：所求的復(fù)數(shù)就是-1+i乘以一個(gè)復(fù)數(shù)z0的積，這個(gè)復(fù)數(shù)z0的模是1，輻角的主值是120°．所求的復(fù)數(shù)是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）

師：為什么？

生丙：乘數(shù)sin30°+icos 30°不是復(fù)數(shù)三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，應(yīng)化為cos 60°＋isin 60°，這樣才能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義來解題．

師：同學(xué)們應(yīng)注意到旋轉(zhuǎn)的角度是輻角來確定的，而輻角的大小又是由復(fù)數(shù)的三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式來確定．

同學(xué)們開始討論解決：

生庚：復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義是在復(fù)平面內(nèi)實(shí)施的，因此要建立直角坐標(biāo)系． 師：你分析得正確，如圖8－13，建立坐標(biāo)系．取正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)1．

生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，這樣，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分別看作B1，B2，B3三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角主值，下面應(yīng)考慮B1，B2，B3對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是什么？

按著老師規(guī)定的單位長(zhǎng)，B1，B2，B3三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，2＋i，3＋i． 師：好，你先談到這里，如果單位長(zhǎng)度有新的規(guī)定，例如邊長(zhǎng)為2，則三點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影響復(fù)數(shù)的輻角主值的大小，不過計(jì)算要繁一些．同學(xué)們繼續(xù)討論．

生壬：2＋i，3＋i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個(gè)乘數(shù)輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 師：你分析得很好，請(qǐng)你計(jì)算一下：

師：今天這節(jié)課，從知識(shí)上要掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則和乘法的幾何意義及其推導(dǎo)過程．從思考方法上要善于從未知與已知、數(shù)與形以及復(fù)數(shù)的各種形式互相轉(zhuǎn)換角度上考慮問題．現(xiàn)在布置作業(yè)：

第二篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義．

2．滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題能力． 3．培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：復(fù)數(shù)減法法則．

難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義．

（板書課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復(fù)數(shù)減法

師：首先規(guī)定，復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板書）1．復(fù)數(shù)減法法則

（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算；

（2）法則：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推導(dǎo)這個(gè)法則呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（學(xué)生口述，教師板書）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 師：說一下這樣推導(dǎo)的想法和依據(jù)是什么？

生：把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，利用乘法分配律和復(fù)數(shù)加法法則．

師：轉(zhuǎn)化的想法很好．但復(fù)數(shù)和乘法分配律在這里作為依據(jù)不合適，因?yàn)閺?fù)數(shù)乘法還沒有學(xué)，邏輯上出現(xiàn)一些問題． 生：我覺得可以利用復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算的規(guī)定來推導(dǎo)．（學(xué)生口述，教師板書）

推導(dǎo)：設(shè)（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即復(fù)數(shù)x+yi為復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差．由規(guī)定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依據(jù)加法法則，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 師：這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù)．

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是什么數(shù)？ 生：仍是復(fù)數(shù)．

師：兩個(gè)復(fù)數(shù)相減所得差的結(jié)果會(huì)不會(huì)是不同的復(fù)數(shù)？ 生：不會(huì)． 師：這說明什么？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是唯一確定的復(fù)數(shù)．

師：復(fù)數(shù)的加（減）法與多項(xiàng)式加（減）法是類似的．就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加（減），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義

師：我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？（板書：2．復(fù)數(shù)減法幾何意義）生：用向量表示兩個(gè)做減法的復(fù)數(shù)．（學(xué)生口述，教師板書）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），對(duì)應(yīng)向量分別

師：我們應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)這個(gè)方程？（學(xué)生困惑，教師引導(dǎo)）

師：我們先看方程左式，右式分別表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模． 師：有什么幾何意義嗎？

生：是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（1，1）間的距離．（學(xué)生活躍起來，紛紛舉手回答）

生：方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（-2，-1）間距離．這個(gè)方程表示的是到兩點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線．（2）|z+i|+|z-i|=4；（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動(dòng)點(diǎn)軌跡．

師：這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么曲線呢？（學(xué)生稍有遲疑，有些同學(xué)小聲議論）生：是橢圓吧．

師：似乎回答的不夠肯定，不妨回憶一下橢圓的定義．

（學(xué)生在教師的提示下一起回答）生：在平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓． 師：滿足這個(gè)方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是不是橢圓呢？

生：是．因?yàn)辄c(diǎn)Z到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是常數(shù)4，并且大于兩點(diǎn)（0，-1），（0，1）間的距離2，所以滿足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：這個(gè)方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個(gè)定點(diǎn)（-2，0），（2，0）距離差等于1的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)軌跡是雙曲線． 師：說的再準(zhǔn)確些． 生：是雙曲線右支．

師：很好．由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程．使有些曲線方程形式變得更為簡(jiǎn)捷．且反映曲線的本質(zhì)特征．

例4 設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z=x+yi對(duì)應(yīng)，定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p=a+bi對(duì)應(yīng)．求（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；（學(xué)生口述，教師板書）

解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．

師：利用復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．

（五）小結(jié)

師：我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．

（六）布置作業(yè)P193習(xí)題二十七：2，3，8，9． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．復(fù)數(shù)加法法則是規(guī)定的，而復(fù)數(shù)減法法則需要推導(dǎo)．推導(dǎo)過程要求每一步都要有合理依據(jù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維品質(zhì)．復(fù)數(shù)減法幾何意義是教學(xué)難點(diǎn)，主要由于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)及其幾何表示還不很熟悉，在復(fù)數(shù)加法幾何意義學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自己得到復(fù)數(shù)減法幾何意義，有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)減法幾何意義理解． 2．對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)分三個(gè)層次．

例1主要訓(xùn)練學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)用，并通過此例題使學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義有具體認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步使學(xué)生理解向量與向量終點(diǎn)表示復(fù)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，并體會(huì)兩個(gè)相等向量表示兩個(gè)復(fù)數(shù)差的各自方便之處．

例2是對(duì)復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，這既是對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義再次應(yīng)用，同時(shí)也為對(duì)復(fù)數(shù)方程的認(rèn)識(shí)打下基礎(chǔ)．

例3和例4是在例2公式基礎(chǔ)上將復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用推廣到用復(fù)數(shù)研究解析幾何某些曲線、不等式等問題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)減法幾何意義的重要性．

第三篇：復(fù)數(shù)與幾何教案

復(fù)數(shù)與幾何·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握復(fù)平面、向量等有關(guān)概念；弄清復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；弄清復(fù)數(shù)模的幾何意義．

2．通過數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù)，提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，突出比較與類比的研究方法．

3．感受到為真理執(zhí)著追求的精神．進(jìn)行辯證唯物主義教育． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)與點(diǎn)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及復(fù)數(shù)的模．

難點(diǎn)：自由向量與位置向量的區(qū)別，以及它們與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？ 生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補(bǔ)充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）

師：a，b∈R的條件很重要，實(shí)際上我們是用實(shí)數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對(duì)于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實(shí)數(shù)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？我們能不能像實(shí)數(shù)那樣來表示復(fù)數(shù)呢？

生：數(shù)軸上的點(diǎn)不能表示虛數(shù)，只能表示實(shí)數(shù)．

師：那么用什么可以表示復(fù)數(shù)呢？注意復(fù)數(shù)是由a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)決定的，可以大膽設(shè)想一下，我們可以利用什么來表示復(fù)數(shù)？

生：可以用直角坐標(biāo)系里的點(diǎn)來表示嗎？ 師：××提出了一個(gè)想法，用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)．這種想法行不行呢？

（在黑板上畫出直角坐標(biāo)系，任取一點(diǎn)（a，b））師：能不能用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)呢？

生：可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R），就有一個(gè)點(diǎn)（a，b），而有一個(gè)點(diǎn)（a，b），就有一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi．

師：他剛才所說的實(shí)際想說明一點(diǎn)復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)成的集合是一一對(duì)應(yīng)的．的確，由復(fù)數(shù)相等的概念，我們知道一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．因此我們完全可以建立復(fù)數(shù)集與點(diǎn)集之間的一一對(duì)應(yīng)．看來，用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)是完全可以的．為了區(qū)別表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)與其它的點(diǎn)，我們把這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．那么在這個(gè)坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)與y軸上的點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)分別具有什么特點(diǎn)呢？

生：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，即復(fù)數(shù)的虛部為0，因此x軸上的點(diǎn)代表實(shí)數(shù)．

師：既然x軸上的點(diǎn)代表了所有實(shí)數(shù)，我們就把復(fù)平面中的x軸叫實(shí)軸．那么y軸上的點(diǎn)代表什么樣的復(fù)數(shù)呢？

生：由于y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是零，因此y軸上的點(diǎn)表示的是純虛數(shù)． 師：同學(xué)們認(rèn)為他說得對(duì)嗎？

（大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為他說得對(duì)，少數(shù)人有疑惑）

生：原點(diǎn)也在y軸上，但0不是純虛數(shù)，而是實(shí)數(shù)．所以y軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外表示的都是純虛數(shù)．

師：他說得很對(duì)．y軸上只有這個(gè)原點(diǎn)搗亂，不然就可以表示所有的純虛數(shù)．因此，我們把去掉原點(diǎn)后的y軸叫虛軸．這樣虛軸上所有的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．那么，直角坐標(biāo)平面與復(fù)平面有什么區(qū)別？

生：直角坐標(biāo)平面中的x軸與y軸交于原點(diǎn)，而復(fù)平面中的實(shí)軸與虛軸沒有交點(diǎn)．

師：我們通過建立復(fù)平面，將復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣復(fù)數(shù)對(duì)我們來說，也就不顯得那樣遙遠(yuǎn)了．但對(duì)于復(fù)數(shù)的認(rèn)可，在19世紀(jì)可沒那么簡(jiǎn)單．第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”，幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個(gè)名字——虛數(shù)．但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虛幻的縮寫）來表示它的單位．后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無縹緲，盡管他也感到它的作用．1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)a＋bi，使復(fù)數(shù)有了立足之地，人們才最終承認(rèn)了它．看來復(fù)數(shù)從發(fā)現(xiàn)到最終被人們承認(rèn)，的確經(jīng)過了一個(gè)漫長(zhǎng)坎坷的過程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，人們才覺得復(fù)數(shù)的存在．

（學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史方面的知識(shí)很感興趣，因?yàn)樗麄兏械綌?shù)學(xué)的發(fā)展是那樣神秘，可以憑空造出數(shù)來，學(xué)生聽得聚精會(huì)神，當(dāng)最后得知是用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)這一理論使復(fù)數(shù)得以被人承認(rèn)后，甚至還有些成就感）

師：用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，我們還要介紹一種表示復(fù)數(shù)的方法，連接坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)Z，得到一個(gè)具有長(zhǎng)度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 師：能不能舉出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量．

師：現(xiàn)在的問題是我們能不能用向量來表示復(fù)數(shù)？我們一般將起點(diǎn)為O，終點(diǎn)為Z的向量記作

．

生：當(dāng)然可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)向量就對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，而有一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，而點(diǎn)與復(fù)數(shù)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可用向量表示復(fù)數(shù)．

（學(xué)生議論紛紛，看起來有不同意見）生：那我在復(fù)平面內(nèi)任意畫一個(gè)有向線段（大家在思考）

師：這個(gè)問題提得很好．實(shí)際上，大家可以想一想，剛才××同學(xué)說一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，對(duì)不對(duì)？怎么樣改一下就對(duì)了？ 生：應(yīng)改為起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，也就是起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)．

師：既然這樣，我們就知道，起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．那其它向量怎么辦？它們對(duì)應(yīng)什么復(fù)數(shù)？能不能將他們移到原點(diǎn)來？，這個(gè)向量表示哪個(gè)復(fù)數(shù)呢？

生：只要它們的長(zhǎng)度和方向與合的位置上．

相同，就可以平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)，與 重師：實(shí)際上，我們把長(zhǎng)度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實(shí)，我們只要規(guī)定相等的向量對(duì)應(yīng)同一個(gè)復(fù)數(shù)，我們就可以用向量來表示復(fù)數(shù)了．對(duì)那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)了呢？ 生：只要將它們平移到起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，這時(shí)向量終點(diǎn)所確定的復(fù)數(shù)就是那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量所表示的復(fù)數(shù)．

（教師給予肯定）

師：在這個(gè)正六邊形中有多少對(duì)向量相等，它們分別對(duì)應(yīng)著哪些復(fù)數(shù)？

師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個(gè)問題：復(fù)數(shù)與向量．我們弄清楚了向量可以來表示復(fù)數(shù)，相等的向量對(duì)應(yīng)著同一個(gè)復(fù)數(shù)．一個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量唯一嗎？

生：一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)際上可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)長(zhǎng)度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同．

師：現(xiàn)在我們知道復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)和向量來表示，它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用下圖來表示．

有了這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系后，我們常把復(fù)數(shù)z=a＋bi說成點(diǎn)Z（a，b），或說成向量 ．

師：在用有向線段表示向量時(shí)，有向線段的長(zhǎng)度我們定義為向量的模，即線段OZ的長(zhǎng)度為向量 的模．那么

可以表示復(fù)數(shù)z=a＋bi，那么 的?？梢员硎緩?fù)數(shù)的哪個(gè)量呢？在實(shí)數(shù)集中，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)數(shù)集中呢？

生：向量 的模就是復(fù)數(shù)的絕對(duì)值．

師：他的意思說出來了，但在復(fù)數(shù)中，我們一般不叫絕對(duì)值，叫復(fù)數(shù)的模．因此 的模就叫復(fù)數(shù)的模，只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，我們叫絕對(duì)值．那么復(fù)數(shù)的模具有什么樣的幾何意義？

生：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．

（教師給予肯定，并指出復(fù)數(shù)模的幾何意義與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義是統(tǒng)一的．）

師：復(fù)數(shù)的模用什么表示呢？

生：用實(shí)數(shù)集中絕對(duì)值的符號(hào)表示，z的模，記作|z|． 師：復(fù)數(shù)z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（學(xué)生板演）

師：我們知道復(fù)數(shù)一般不能比較大小，而復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)，可以比較大?。▽1，z2所表示的點(diǎn)畫在復(fù)平面上，再將它們所表示的向量畫出來，強(qiáng)調(diào)這三者的轉(zhuǎn)化）

例2 設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)． 師：這樣的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)什么圖形？ 生：是原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓． 師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？

生：應(yīng)該是表示只有邊界的圓．因?yàn)榕c復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為4．所以z表示的點(diǎn)Z構(gòu)成一個(gè)半徑為4的圓． 生：（2）表示一個(gè)圓環(huán)．由于|z|的幾何意義是點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，所以2≤|z|＜4表示到原點(diǎn)距離大于等于2，小于4的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形．

師：準(zhǔn)確地說這個(gè)圖形應(yīng)當(dāng)是半徑為2與半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)容及內(nèi)邊界．包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的．

例3 用復(fù)數(shù)表示下圖中的陰影部分．

生甲：|z|＜3且虛部＜-1．由于圖中所示的點(diǎn)在半徑為3的圓中，且縱坐標(biāo)小于-1．

師：這種表示是否正確？（學(xué)生小聲議論）

生：是兩條直線．

師：夾在這兩條直線中間又滿足|z|＜3的點(diǎn)顯然不僅僅是陰影部

（學(xué)生到黑板畫出圖）

師：因此剛才乙同學(xué)的想法是好在不滿足于用一種方法表示，肯思考，但這個(gè)題無法用實(shí)部來表示．

（下面提問第2小題）生：|z|≥3，且實(shí)部≤-1．

生：不對(duì)．

師：看來用實(shí)部還是虛部表示，一定要全盤考慮，表示出來后，還要反過來檢查一下是否符合題設(shè)條件．

（教師小結(jié)）

師：這節(jié)課我們共同探尋了復(fù)數(shù)的幾何表示方法以及復(fù)數(shù)模的幾何意義．要特別重視數(shù)與點(diǎn)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在研究的過程中要特別注意與實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

補(bǔ)充作業(yè)

1．判斷下列命題的真假，并說明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡．

4．設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）實(shí)部＞0，虛部＞0且|z|＜4．

作業(yè)答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓；

（2）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；

（3）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3和5的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，包括外邊界；（4）以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分，不包括邊界． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本節(jié)課是一節(jié)內(nèi)容較為簡(jiǎn)單的概念課，但所涉及的知識(shí)內(nèi)容，非常重要，它是學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的重要一環(huán)．

本設(shè)計(jì)著重突出主體性教學(xué)的原則，盡量做到讓學(xué)生來發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的幾何表示法，由實(shí)數(shù)自然地過渡到復(fù)數(shù)．本節(jié)課還將復(fù)數(shù)的點(diǎn)的表示與向量的表示集中在一節(jié)課處理，筆者認(rèn)為這樣有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的整體把握． 在教學(xué)中還注意通過數(shù)學(xué)史的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，并自然地將思想教育滲透到教學(xué)中．

第四篇：復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)

1．若復(fù)數(shù)(a2－4a＋3)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是．

2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，實(shí)數(shù)a與b的值分別是．

z2－2z3．已知復(fù)數(shù)z＝1－i． z－

14．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC

AG的重心，則＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的GD

四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面

AO的距離都相等”，則＝． OM

5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：

①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，則a－b＞0”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”． 其中類比得到的結(jié)論正確的序號(hào)為．

6．已知復(fù)數(shù)z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝________．

7．＝6

8．復(fù)數(shù)z1＝

數(shù)a的值．

119．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若＋a＋bb＋c

＝3，試問A、B、C是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均為實(shí)數(shù))，則猜測(cè)a＝________，b＝________． b

成等差數(shù)列，請(qǐng)給出證明．

解答：

1．a(chǎn)＝

3??a＝42．? ?b＝5?

z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－

14．①②

6，此時(shí)易知3

13點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等積法有r3

41366666＝?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124

＝3.4125．【解析】 如圖設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則易知其高AM

6．k＝

27． 6 3

58．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a

32??＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ??

＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)

∵z1＋z2是實(shí)數(shù)，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【證明】 A、B、C成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明：

113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋c

ca∴＝1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac

2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差數(shù)列．

第五篇：復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

2011年高考總復(fù)習(xí)制作：孫老師2010-11-17

復(fù)數(shù)知 識(shí) 點(diǎn)

1.⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：

① 復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中a，b?R）；

② 實(shí)數(shù)—當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；

③ 虛數(shù)—當(dāng)b?0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；

④ 純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且b?0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.⑤ 復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）⑥ 復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件：

① z=a+bi∈R?b=0（a、b∈R）；②z∈R?z=z；③Z∈R?Z?Z2。

復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件：

① z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0（a、b∈R）；②z是純虛數(shù)或0?Z+z=0； ③z是純虛數(shù)? z2＜0。

⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.2⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復(fù)數(shù)，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]

2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(dāng)(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時(shí)，上式成立）

2、復(fù)數(shù)加、減、乘、除法的運(yùn)算法則：

設(shè)z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R)，則z1?z2?(a?c)?(b?d)i；

z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i；z1ac?bdbc?ad?2?2i。22z2c?dc?d

加法的幾何意義：設(shè)OZ1，OZ2各與復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)，以O(shè)Z1，OZ2為邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ就與z1+z2對(duì)應(yīng)。

減法的幾何意義：設(shè)OZ1，OZ2各與復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)，則圖中向量Z1Z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是z2-z1。｜z1-z2｜的幾何意義是分別與Z1，Z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。

3.⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)z1和z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以z0為圓心，r為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對(duì)值不等式：

設(shè)z1，z2是不等于零的復(fù)數(shù)，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.4.共軛復(fù)數(shù)：兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)。即z=a+bi，則z=a-bi，（a、b∈R），實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是其本身

性質(zhì)22z?z、z1?z2?z1?z2、z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）、z?z?|z|?|z|

??nnz1?z2?z1?z2、z1?z2?z1?z2、?z1??z1（z2?0）、z?(z)???z2?z

2注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]

nz??z??z?...z(n?N?)②對(duì)任何z，z1,z2?C及m,n?N?有 5.⑴①復(fù)數(shù)的乘方：z???

n

mnm?nmnm?nnnn③z?z?z,(z)?z,(z1?z2)?z1?z2

注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如i??1,i?1若由i?2421142(i)?12?1就會(huì)得到?1?1的錯(cuò)誤結(jié)論.②在實(shí)數(shù)集成立的|x|?x2.當(dāng)x為虛數(shù)時(shí)，|x|?x2，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不

能采用兩邊平方法.⑵常用的結(jié)論：

i??1,i24n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1i?i

i，2nn?1?in?2?in?32?0,(n?Z)(1?i)??2i,1?i1?i?i,??i 1?i1?i若?是1的立方虛數(shù)根，即????

21nn則?3 ? 1 , ??? ?2, ?1 ? ?n ? 2(.??,?? ,1?? 0?? ?? 0n?Z)?

6.⑴復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件： 12

①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數(shù)?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù).特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.7.復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：

2在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)時(shí)，應(yīng)注意下述問題：

①當(dāng)a,b,c?R時(shí)，若?＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根x1,2?

?b??|i

2a?b??b；若?=0，則有二相等實(shí)數(shù)根x1,2??；2a2a若?＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根x1,2?（x1,2為共軛復(fù)數(shù)）.②當(dāng)a,b,c不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.【典型例題】

2m2?3m?2例

1、當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z＝+（m2+3m－10）i； 2m?2

5（1）是實(shí)數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)．

解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法．

?m2?3m?10?0（1）z為實(shí)數(shù)，則虛部m+3m－10=0，即?，2?m?25?0

2解得m=2，∴ m=2時(shí)，z為實(shí)數(shù)。

?m2?3m?10?0（2）z為虛數(shù)，則虛部m+3m－10≠0，即?，2?m?25?02

解得m≠2且m≠±5.當(dāng)m≠2且m≠±5時(shí)，z為虛數(shù)．

?2m2?3m?2?0?（3）?m2?3m?10?0，?2?m?25?0

11解得m=－, ∴當(dāng)m=－時(shí)，z為純虛數(shù)． 22

詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分別為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時(shí)必須具備的相應(yīng)條件，還應(yīng)特別注意分母不為零這一

要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的實(shí)數(shù)m＝.解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虛數(shù)不能比較大小，?m2?10?|m|?10??2?,解得?m?0或m?3,?m?3.∴?m?3m?0

?2?m?3或m?1m?4m?3?0???

當(dāng)m＝3時(shí)，原不等式成立．

注：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時(shí)必須都為實(shí)數(shù)這一條件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i，求z．

解：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對(duì)數(shù)方程的解法．

?2x?y?8?0?x?y?3∵ 2?ilog2x?8?(1?log2y)i，∴?，∴?，logx?1?logyxy?2??2

2?x?2?x?1解得?或?, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y?1y?2??x?y

注：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件這一關(guān)鍵點(diǎn)，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對(duì)數(shù)方程）。

例

3、若復(fù)數(shù)z滿足z=1?ti（t∈R），求z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的軌跡方程． 1?ti

解：此題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，點(diǎn)的軌跡方程的求法等．

1?ti(1?ti)21?t22t設(shè)z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==??i，221?ti(1?ti)(1?ti)1?t1?t

?1?t

2x??2?1?t∴ ?，消去參數(shù) t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

?y?2t

?1?t2?

∴ 所求z的軌跡方程為x2＋y2＝1（x≠－1）．

詮釋：解此題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件，從而得到參數(shù)方程，消去參數(shù)，或者利用模的定義和性質(zhì)，求出|z|即可．

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1、設(shè)條件甲：x=0，條件乙：x＋yi（x，y∈R）是純虛數(shù)，則（）

A、甲是乙的充分非必要條件B、甲是乙的必要非充分條件

C、甲是乙的充分必要條件D、甲是乙的既不充分，又不必要條件

2、已知關(guān)于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m應(yīng)取的值是（）

111B、m≤－C、m= 4412A、m≥－ D、m=－1 1

2(?1?)

3、?2?i

(1?i)6?1?2i等于（）

A、0B、1C、－1D、i4、設(shè)f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，則z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一實(shí)根的條件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)m，n的值為（A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7、已知下列命題：

（1）在復(fù)平面中，x軸是實(shí)軸，y軸是虛軸；

（2）任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。?/p>

（3）任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)；

（4）若 t＋si=3－4i，則 t=

3、s=－4．

其中真命題為．

8、若復(fù)數(shù)z滿足z+12||=－1＋2i，則z.9、設(shè)z∈C，|z|=1，則|z++i|的最大值為.三、解答題（本大題共4題，共50分）

10、設(shè)z

z?1是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程．

11、已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝5，且（3+ 4i）z是純虛數(shù)，求z．）

試題答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)，四則運(yùn)算和點(diǎn)的軌跡方程的求法．

zzzz??0, 是純虛數(shù)，∴()??0，即z?1?1z?1z?1z?

12z??z?∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），?0，∴(?1)(z?1)∵

設(shè)z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即為復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程． 2

4詮釋：解此題應(yīng)抓住虛數(shù)的定義和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用運(yùn)算法則進(jìn)行求解。

11、解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，模的定義及計(jì)算．

設(shè) z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是純虛數(shù)，?x?4?x??4?3x?4y?0或?∴ ?，聯(lián)立三個(gè)關(guān)系式解得?，y?3y??34x?3y?0???

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．