第一篇：釘子板教案

時間：12月9日 地點：會議室 做課人：焦海云

釘子板上的多邊形

一、板書課題：由談話導入

二、出示教學目標：探索釘子板上的多邊形的面積與它邊上的釘子數(shù)之間的關系，并用含有字母的式子表示規(guī)律。

三、交流探索，尋找規(guī)律：

1、出示釘子圖：

2、出示自學指導(一): 請打開課本108頁:(1)認真數(shù)一數(shù)，算一算：釘子板上這些圖形的面積各是多少平方厘米？每 個多邊形邊上的釘子各是多少枚？（完成108頁表格）(2)、從這些圖形中，你發(fā)現(xiàn)了什么?用字母怎樣表示？(重點看西紅柿、小蘑菇、小蘿卜、青辣椒的提示）

（比比看誰看書最認真，完成后同桌互相說一說，時間為3分鐘）

（3）、先學: ①數(shù)一數(shù)，算一算（完成108頁表格）② 說一說

③、總結(jié)規(guī)律：當a=1,s=n÷2

3、出示自學指導(二):

請出示釘子圖，看探索二中的圖形：

(1)、認真數(shù)一數(shù)，算一算：釘子板上這些多邊形內(nèi)都有2枚釘子，它們的 面積各是多少平方厘米？每個多邊形邊上的釘子各是多少枚？（完成探索二的表格）

(2)、它們的面積與它們邊上的釘子數(shù)有什么關系？用字母又怎樣表示？（動手算一算，再和同桌說一說，時間為2分鐘）

（3）先學:①數(shù)一數(shù)，算一算（完成釘子圖（1）的表格）② 說一說

③、總結(jié)規(guī)律：當a=2,s=n÷2+1

4、出示自學指導(三): 請出示釘子圖，看探索三中的圖形：

(1)、數(shù)出各多邊形邊上的釘子數(shù)，算出它的面積.（完成探索三的表格）(2)、你發(fā)現(xiàn)了什么？用字母又怎樣表示？

（動手數(shù)一數(shù)，算一算，時間為2分鐘）

（3）先學:①數(shù)一數(shù)，算一算（完成釘子圖（2）的表格）② 說一說

③、總結(jié)規(guī)律：當a=3,s=n÷2+2

5、猜想并驗證規(guī)律：（1）畫一畫（2）算一算，數(shù)一數(shù)

（3）總結(jié)規(guī)律：當a=4,s=n÷2+3 當a=5,s=n÷2+4當a=0,s=n÷2-1

四、總結(jié)規(guī)律：當a=m時S=n÷2+(m-1)

五、課堂檢測我最棒：小牛刀試

六、回顧探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會？

第二篇：釘子板上的多邊形教案

基地數(shù)學學科《釘子板上的多邊形》教學設計

溧陽市平橋小學

潘紅星

教學目標：

1.經(jīng)歷畫圖、填表、分析數(shù)據(jù)、探索規(guī)律的過程，讓學生自主發(fā)現(xiàn)釘子板上的釘子數(shù)與面積之間的關系。

2.初步感悟通過固定某些變量的值來探求其余變量的變化規(guī)律的科學思維方法。3.培養(yǎng)學生獲取由簡單到復雜的探究問題的方法和經(jīng)驗。教學過程：

一、認識釘子板

同學們，大屏幕上的是什么？今天我們要學習與釘子板有關的數(shù)學知識，老師沒有帶釘子板，怎么辦，有沒有替代品。

講述：釘子板上的多邊形是用橡皮筋圍的，今天我們就用畫的形式表示好嗎？

二、揭題

1.今天我們學習的數(shù)學內(nèi)容是什么？ 生：釘子板上的多邊形 師板書：釘子板上的多邊形

師：你覺得我們今天會研究多邊形的什么數(shù)學問題呢？ 生：面積、周長……

2.師：今天我們就學習多邊形的面積，想一想，今天學習的多邊形面積還可能和什么有關系？ 生：釘子板

師補充：釘子板上的釘子，你覺得會有什么樣的關系呢？ 生：釘子越多，面積越大

師：這只是你的猜想，要想得到證明，我們還要進行操作是嗎？ 師：我們從簡單的圖形學起 師：說一說上面圖形的面積各是多少 說一說你是用什么方法的呢？

根據(jù)學生的回答板書：算 說一說你是用什么方法的 根據(jù)學生的回答板書：數(shù)

3.師提問：剛才我們說多邊形的面積可能和什么有關系?。?生：釘子數(shù)

4.多媒體出示：多邊形邊上的釘子數(shù) 一起讀一讀，我們要數(shù)什么 5.一起和老師數(shù)，師點生數(shù) 6.你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：釘子數(shù)÷2＝面積

…… 讓3－4名學生說一說。

師：很難說，如果我們用字母表示就簡單多了。

用s表示多邊形的面積，用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)你會表示嗎？ 學生根據(jù)自己的理解得到S＝N÷2

三、引發(fā)矛盾

師：剛才我們的圖上是不是還有4幅圖形啊，我們一起來驗證一下好嗎？ 師：你有什么想要說的

師：現(xiàn)在我們從不同中找相同，回頭再看看前面4幅圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 生：中間只有一枚釘子 師：點一點

師：你覺得剛才我們的這句話應該怎么說才更合適呢？ 生：當中間只有一枚釘子時，師：如果中間釘子數(shù)用字母ａ表示，這個公式應該怎么表示。

四、反思與小結(jié)

師：剛才我們研究了什么，你能不能用一句話說一說。生：多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)除以2。

五、遷移研究

師：接下來，我們應該研究什么了，生：A＝2 師出示：兩幅圖，你還記得剛才的數(shù)據(jù)嗎？說一說

師：現(xiàn)在拿出你的釘子板紙，在上面畫一個中間有兩枚釘子的多邊形，并寫出他的面積與邊上的釘子數(shù)。生演示并匯報，師填寫

師：你有什么發(fā)現(xiàn)，在小組里和大家說一說。指名說一說你的發(fā)現(xiàn)

師：剛才我們又研究了什么，你能不能用一句話說給大家聽一聽。研究A＝3 師：你覺得接下來我們要研究什么了。在你的釘子板上畫一畫，小組里完成表格。遷移知識：如果A＝4、5…..當A＝0的時候呢？

學生利用學習研究單分別研究出A＝2、3、4、5等多邊形的面積與邊上釘子數(shù)的關系。

師：象這樣的研究我們還可以繼續(xù)，如果你有興趣的話，老師推薦你一本書有兩個人。

出示兩個關于這一數(shù)學現(xiàn)象研究的數(shù)學家。六：全課小結(jié)

這節(jié)課，我們一起研究了什么？能不能把你的發(fā)現(xiàn)和大家說一說。

第三篇：釘子板上的多邊形教案

釘子板上的多邊形

教學目標：

1.經(jīng)歷畫圖、填表、分析數(shù)據(jù)、探索規(guī)律的過程，發(fā)現(xiàn)皮克公式。

2.初步感悟通過固定某些變量的值來探求其余變量的變化規(guī)律的科學思維方法。

3.獲取由簡單到復雜的探究問題的方法和經(jīng)驗。

4.能類比遷移探求問題的方法，嘗試拓展研究同類新問題。教學重點：

發(fā)現(xiàn)、得出多邊形的面積與邊上釘子數(shù)和多邊形中間釘子數(shù)之間的規(guī)律 教學難點：

類比推導出一般規(guī)律 教學準備：

作業(yè)紙，多媒體課件 教學過程：

一、激趣生疑，直觀感知

1、呈現(xiàn)一個釘子板上的多邊形

說明：每相鄰的四個釘子構(gòu)成一個正方形，邊長是1，面積是1個面積單位。提問：這個圖形有幾個面積單位？你是怎么知道的？ 組織交流：（1）、面積公式計算；（2）、分割數(shù)方格

2、啟發(fā)：你能再圍一個面積和剛才不一樣的多邊形嗎？在圍過程中想一想多邊形的面積可能跟什么有關呢？

學生動手圍一圍，同桌相互說一說怎樣求出面積的。

3、追問：跟哪里的釘子數(shù)有關？

4、揭題：面積與釘子數(shù)之間是否存在一定的規(guī)律呢？我們這節(jié)課就來研究釘子板上的多邊形面積與釘子數(shù)之間的關系。提問：想一想，我們可以怎樣來研究？ 提出猜想——驗證猜想——概括結(jié)論

二、簡單入手，探究多邊形內(nèi)有一枚釘子的情況

1、個例發(fā)現(xiàn)，形成猜想

出示：一組釘子板上的多邊形。提問：每個多邊形各有多少個面積單位？邊上的釘子數(shù)各有多少枚？先數(shù)一數(shù)、算一算，把結(jié)果填入表中，再和同桌說說你的發(fā)現(xiàn)。

生獨立計數(shù)，完成表格 出示資源： 提問：（1）校對結(jié)果

（2）你有什么發(fā)現(xiàn)？

全班交流：（1）多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積越大

（2）多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半

如果用S表示面積單位的個數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，你能用字母表達式表示這一發(fā)現(xiàn)嗎？動手寫一寫。

2、舉例驗證，明確前提

引導：由剛才這四個圖形，有了這樣的發(fā)現(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)是否也適用于釘子板上的其他圖形呢？我們還要舉例驗證。

要求：在釘子板上畫一些多邊形，驗證剛才的發(fā)現(xiàn)。并列呈現(xiàn)學生資源，引導觀察。

（1）符合規(guī)律（2）不符合規(guī)律

提問：看來剛才的發(fā)現(xiàn)并不適合釘子板上的所有圖形，到底怎樣的圖形才具有這樣的規(guī)律呢？，它們有什么共同的特點？仔細觀察，把你的發(fā)現(xiàn)說給同桌聽聽。

指名交流：多邊形中間只有一枚釘子

3、歸納概括，形成結(jié)論

總結(jié)：看來要使這一發(fā)現(xiàn)成立，還要加個前提，誰能把這個規(guī)律完整的說一說？

同桌互相說一說，再指名交流。

當多邊形里面只有1枚釘子時，多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半。

如果把多邊形里面的釘子數(shù)用a來表示，完善字母表達式?？偨Y(jié)：看來釘子板上的多邊形的面積不僅跟多邊形邊上的釘子數(shù)有關，還跟多邊形里面的釘子數(shù)有關。

正因為面積和兩個量都有關系，所以我們研究是時候先確定一個量（里面的釘子數(shù)）

三、運用結(jié)構(gòu)，探究多邊形內(nèi)有多枚釘子的情況

1、探究形內(nèi)有2枚釘子的情況

形內(nèi)只有1枚釘子的情況已經(jīng)研究了，往下我們應該研究？

當形內(nèi)有2枚釘子時會有怎樣的規(guī)律呢？同學們也像剛才那樣畫一些形內(nèi)只有2枚釘子的多邊形，老師這里也提供一些，算一算，數(shù)一數(shù)，多邊形有幾個面積單位？多邊形邊上的釘子數(shù)有幾枚？把結(jié)果填入表中，再與同桌說說你的發(fā)現(xiàn)。

過程指導：也像剛才那樣，把釘子數(shù)除以2，再跟面積進行比較?？纯从惺裁匆?guī)律。

如果用字母表達式來表示這一規(guī)律應該怎么寫？ 學生獨立探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 個別交流：當多邊形內(nèi)有2枚釘子時，多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)÷2＋1 同桌互說規(guī)律 學生獨立完成

板書：當a=2時，S= n÷2＋1

2、推想形內(nèi)有2枚以上釘子的情況

提問：比較這兩個規(guī)律，你覺得a=3、4時會有怎樣的規(guī)律? 如果你能直接推想出規(guī)律，那就寫出你的猜想，然后舉例驗證，如果不能，那也像剛才那樣先畫出圖形內(nèi)有3枚釘子的多邊形，再數(shù)一數(shù)、算一算，看看有什么規(guī)律。左邊同學研究a=3的情況，右邊同學研究a=4的情況。

分工合作，推想規(guī)律 個別交流規(guī)律

當a=3時，S=n÷2＋2 當a=4時，S=n÷2＋3

3、歸納推理，形成一般公式

像這樣推想下去，當a=m時，s=？ 學生獨立完成 個別交流：

當a=m時，s=n÷2＋m－1 同學們：今天我們通過對形內(nèi)有1枚、2枚、3枚、4枚釘子數(shù)的的多邊形的研究，發(fā)現(xiàn)多邊形的面積單位個數(shù)與釘子數(shù)之間的關系，并歸納推理出一般公式，當a=m時，s=n÷2＋m－1，這一公式對于形內(nèi)有5、6…甚至更多釘子時是否成立，我們還需舉例驗證，下節(jié)課我們就來驗證這一規(guī)律。板書設計：

釘子板上的多邊形

當多邊形內(nèi)只有1枚釘子時，多邊形面積單位的個數(shù)等于多邊形邊上的釘子數(shù)÷2 當a=1時，S=n÷2

當a=2時，S=n÷2＋1 當a=3時，S=n÷2＋2 當a=m時，s=n÷2＋m－1

第四篇：釘子板上的多邊形 教學設計

釘子板上的多邊形

教學內(nèi)容：五年級上冊p108-109探索規(guī)律“釘子板上的多邊形” 教學目標：

1、使學生探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍城的多邊形的面積，與圍城的多邊形邊上的釘子 數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關系，并嘗試用字母式子表示關系。

2、使學生經(jīng)歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關釘子數(shù)間的關系的過程，體 會規(guī)律的復雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關系的簡潔性，發(fā)展 觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。

3、使學生獲得探索規(guī)律成功的體驗，樹立學習數(shù)學的自信心，感受數(shù)學規(guī)律的奇 妙，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心，提高學習數(shù)學的興趣和積極性。

教學重點：探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關系 教學難點：綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關系 教學過程：

課前活動:每個小組里發(fā)一個釘子板實物。并激發(fā)他們在釘子板上圍多邊形。玩出精彩！有一位數(shù)學家就在小小的釘子板上玩出了精彩。皮克定理是世界上的最重要的100個數(shù)學定理之一。今天我們也走進釘子板的世界去看一看。

一：創(chuàng)設情境，引出問題

今天我們研究————釘子板上的多邊形（出示課題）

師：為了研究的方便，我們通常用這樣的點陣圖代替釘子板。每相鄰兩個釘子之間的距離都是1cm，相鄰4個點圍成一個面積是1cm2。你們看現(xiàn)在點陣圖上的點子可以怎么分分類？

邊上的釘子，圖形內(nèi)的釘子、圖形外的釘子

出示課件：釘子板上的多邊形，共3個不同的多邊形。問題1：你想研究釘子板上的多邊形的哪些項目呢？

生：多邊形的面積、面積的大小和什么有關？······

問題2：你猜想下，釘子板上的多邊形的面積會有什么因素有關？

生：釘子數(shù)、多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)的釘子數(shù)······

師小結(jié)：這些多邊形的面積是否和以上的各個因素有關呢？下面我們就來研究下這些圖形。

二：自主研究，得出猜想

問題1：你想怎樣研究？

生：畫圖、計算、數(shù)······

師：很好，下面我們就來研究影響多邊形面積的因素，我們從最簡單的一組圖形開始。

研究1：獨立完成“釘子板上的多邊形”研究單1

1、學生通過算一算、數(shù)一數(shù)，完成研究單1；

2、師展示學生的研究單，說一說你的研究過程；——學生自己介紹表格中數(shù)據(jù)的由來。

3、觀察分析表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

——同桌互相說一說

——個別的匯報

4、通常我們用S表示面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，你能用一個式子表示上面得到的關系嗎？

——S=n÷2

小結(jié)：根據(jù)學生的研究和匯報，初步得出多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)除以2.三、質(zhì)疑驗證，歸納結(jié)論

S=n÷2這個規(guī)律是否對釘子板上所有的多邊形都成立呢？應該怎么辦？————驗證

1、完成研究單1上面的第二題的①②兩個，并填表。

2、出示課件上⑦⑧兩個圖形，再次驗證。

3、通過兩次的驗證，你有什么發(fā)現(xiàn)？——發(fā)現(xiàn)S=n÷2在其它的多邊形中不成立。

4、思考：為什么呢？

引導學生再次觀察①②③④四個圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？同桌互相說一說，再個 別發(fā)表看法?！贸觯孩佗冖邰芩膫€多邊形內(nèi)部都只有一個點。

5、再次驗證：每位學生再提供的備用點子圖上畫一個內(nèi)部只有一個點的多邊形，計算并觀察多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)是否符合S=n÷2？

6、誰能完整的把剛才的規(guī)律說一說？

小結(jié)：多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數(shù)有關，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關。多邊形內(nèi)的釘子數(shù)用a表示，上面的規(guī)律可以歸納為：

當a=1時，S=n÷2 數(shù)學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深。----高斯

四、合作探究，得出規(guī)律

引入：多邊形內(nèi)有一枚釘子的情況，同學們已經(jīng)研究過了，而且找出了一般規(guī)律，那下面你們想研究什么呢？——————多邊形內(nèi)有2枚釘子的時候，面積和釘子數(shù)的關系。

合作交流,完成研究單1的第二題。

1、首先獨立畫一個內(nèi)部兩個點的多邊形，得出S和n；

2、同桌交流，完善表格。

3、觀察表格中的S與n的 值，再互相說一說，你有什么發(fā)現(xiàn)？

4、個別同學匯報發(fā)現(xiàn)，其他同學根據(jù)自己的圖形驗證發(fā)現(xiàn)是否正確。

小結(jié)：多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數(shù)有關，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關。多邊形內(nèi)的釘子數(shù)用a表示，上面的規(guī)律可以歸納為：

當a=2時，S=n÷2+1

五、推想、驗證，得出規(guī)律

引入：當a=1時，S=n÷2 當a=2時，S=n÷2+1 猜想：當a=3、4、5······時，S與n之間有什么關系呢？

學生猜想：當a=3時，S=n÷2+2 當a=4時，S=n÷2+3 學生驗證：分組研究，分成4人小組

1、組內(nèi)確定研究主題：a=3或者a=4.2、三人每人分別畫一個，并且得出S與n的值，第四個人匯總并匯報小組的研究成果。

3、觀察比較分析，研究的結(jié)果和猜想的結(jié)論是否一致？

小 結(jié)： 根據(jù)剛才同學們的研究，我們得到了這些規(guī)律

當a=1時，S=n÷2 當a=2時，S=n÷2+1 當a=3時，S=n÷2+2 當a=4時，S=n÷2+3

請你說一說

當a=5時，S=

······

當a=10時，S=

·······

問題：你能用一個含有S、n、a的式子概括出以上所有的規(guī)律嗎？

——————

S=n÷2+a-1

六：拓展研究，形成體系

出示：釘子板上的多邊形實物圖形，觀察這些多邊形有什么特點？

——內(nèi)部的釘子數(shù)為0.即a=0

問題：當a=0時，上面的規(guī)律還成立嗎？你是怎么想的？說一說你的想法和結(jié)論。

七：總結(jié)收獲，形成方法。

說明：我們今天研究的規(guī)律，就是數(shù)學上著名的皮克定理（適當介紹）。有興趣的同學，可以在網(wǎng)絡上或書籍里了解皮克定理。如果有進一步認識的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作《格點和面積》，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。

回顧過程，交流體會。

提問：回顧剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會和收獲？ 追問：還有什么疑問嗎？

小結(jié)：今天我們一起研究了釘子板上多邊形面積與釘子數(shù)之間的關系。在研究的過程中，我們從簡單情形入手，通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算等方法，經(jīng)歷觀察、比較、猜想、驗證等活動，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。從上面的過程中我們發(fā)現(xiàn)，要從各種不同情況的多邊形中研究，要善于發(fā)現(xiàn)不同多邊形中的共同點，比如形狀、大小不同的多邊形中都有幾個釘；發(fā)現(xiàn)的不同關系式中的共同規(guī)律等。在探索規(guī)律時，一定要注意認真觀察、反復比較，舉例驗證。表示數(shù)學規(guī)律一般用含有字母的式子，它具有簡潔、明了、易記的特點。

第五篇：釘子板上的多邊形面積說課稿

《釘子板上的多邊形》說課稿 橫板橋鎮(zhèn)中心小學 廖為火

一、說教學內(nèi)容：

蘇教版（新版）五年級上冊第8單元108-109探索規(guī)律“釘子板上的多邊形”

二、說教學目標：

1、使學生探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍城的多邊形的面積，與圍城的多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關系，并嘗試用字母式子表示關系。

2、使學生經(jīng)歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關釘子數(shù)間的關系的過程，體會規(guī)律的復雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關系的簡潔性，發(fā)展觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。

3、使學生獲得探索規(guī)律成功的體驗，樹立學習數(shù)學的自信心，感受數(shù)學規(guī)律的奇妙，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心，提高學習數(shù)學的興趣和積極性。

三、說教學重點難點：

探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關系

綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關系

四、說教學過程：

一、問題引入，揭示課題

1.設疑激趣。

PPT出示點子板上圍成的多邊形，提出問題：不準分割你能迅速計算出下列方格圖中每個多邊形的面積嗎（說明：這里的每個格子面積1cm2的正方形）？

在學生學習了常見多邊形面積計算后，咋一看以為用常規(guī)方法能解答以上問題，但仔細一看題目要求，這些圖形的面積計算就比較困難，這樣就激發(fā)起學生強烈的求知欲。此時教師提出：用數(shù)格點的方法可以解決。此時學生腦里想的是：格點是什么？怎么數(shù)？與圖形面積有什么關系？帶著這一系列疑問，我出示第二組圖形（圖1-圖3）

2.引入課題。

談話：釘子板上多邊形的面積與哪里的釘子數(shù)有關，有怎樣的關系呢？我們這節(jié)課就來研究這個問題，看看到底有怎樣的關系。

二、分層探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）引導嘗試，初步感知。

1.引導學生觀察 圖1-圖3。

引導：請大家觀察PPT上面的多邊形，按上面要求數(shù)一數(shù)，在教材第108頁的表格里填一填。

（1）數(shù)一數(shù)或算一算每個多邊形的面積各是多少平方厘米；

（2）數(shù)一數(shù)每個多邊形上的釘子各有多少枚；

（3）想一想多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)有怎樣的關系。

2.學生交流，完成第108頁的表格。

3.觀察數(shù)據(jù)，比較發(fā)現(xiàn)。

引導：你能看出這些多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關系嗎？同桌先說一說。

交流：你發(fā)現(xiàn)這里的多邊形面積和邊上的釘子數(shù)有什么關系？（板書：多邊形的面積=多邊形上的釘子數(shù)÷2）

說明：為了更簡潔、方便地表示出這個規(guī)律，我們可以用字母來表示。如果用n表示多邊形上的釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積，那上面發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律可以怎樣表示？

教師確認、說明字母表示的關系式，PPT出示：

S=n÷2 4.觀察比較，反思質(zhì)疑。

（二）繼續(xù)研究，拓展認識。

1.提出問題，引發(fā)思考。PPT出示圖4-圖6：

引導：如果多邊形內(nèi)部都有2枚釘子，多邊形面積與它邊上的釘子數(shù)又有什么關系呢？現(xiàn)在請大家自己在方格紙中畫圖，數(shù)一數(shù)、比一比，看看有沒有規(guī)律。

2.小組合作，探究規(guī)律。

引導：現(xiàn)在請你們四人小組合作，按照下面的辦法研究多邊形的面積。

出示活動要求：

（1）每人在方格紙中畫一個內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，數(shù)出邊上的釘子數(shù)，算出它的面積；

（2）每人把獲得的數(shù)據(jù)在小組內(nèi)交流，并記錄在課本第109頁的表格里；

（3）觀察表格中的數(shù)據(jù)，小組討論交流：你有什么發(fā)現(xiàn)？

學生操作、填表、比較、思考，教師巡視。

3.交流引導，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

PPT 出示圖4-圖6及表格，指名學生交流結(jié)果，在表格里呈現(xiàn)。

引導：我們剛才已經(jīng)知道，這里的面積不等于n÷2，但和n÷2 有點什么關系嗎？同桌互相討論，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

提問：通過數(shù)據(jù)比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：通過這里的多邊形的比較，可以發(fā)現(xiàn)，當多邊形內(nèi)部釘子數(shù)a=2時，面積S=n÷2+1。（板書：a=2 S=n÷2+1）

追問：檢查你畫的內(nèi)部有2個釘子的多邊形，面積符合這個規(guī)律嗎？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：現(xiàn)在沒有學生提出反例，所以的都符合這里的規(guī)律。從大家的圖形和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當多邊形內(nèi)部有2個釘子時，也就是a=2時，S=n÷2+1。

（三）引導猜想，概括規(guī)律。

1.引發(fā)學生猜想。

提問：上面發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)部釘子數(shù)a=1時，S=n÷2；a=2時，S=n÷2+1。你能聯(lián)系這里的規(guī)律，猜一猜，如果多邊形內(nèi)部有3枚釘子，它的面積與邊上釘子數(shù)又有怎樣的關系呢？先想一想，再告訴大家你的猜想。

交流：你猜想的規(guī)律是怎樣的？（板書：a=3 S=n÷2+2 ？）怎樣想的？

2.畫圖舉例，驗證猜想。

讓學生在點子圖上畫出圖形，驗證上面的猜想。

交流：你畫出的是怎樣的圖形，驗證的結(jié)果有什么結(jié)論？（指名學生呈現(xiàn)圖形驗證結(jié)論）

PPT出示圖7-圖9，引導學生完成表格。

確認：當多邊形內(nèi)釘子數(shù)是3時，面積S就等于n÷2+2。

追問：現(xiàn)在我們又有什么發(fā)現(xiàn)？

3.拓展延伸，揭示規(guī)律。

引導學生觀察關系式：a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引導：你覺得如果a=4，會有什么規(guī)律？a=5呢？

那你能任選一個a等于幾，畫一畫、算一算來驗證嗎？自己畫圖驗證。指名學生交流，呈現(xiàn)不同例子的圖形用數(shù)據(jù)驗證，并板書關系式。

提問：你現(xiàn)在能發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形面積的規(guī)律了嗎？

指出：如果用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那么，多邊形的面積S就等于邊上的釘子數(shù)n除以2，再加上內(nèi)部的釘子數(shù)a，然后減1。（板書：S=n÷2+a-1）

驗證：請大家用這個規(guī)律解決本課開始的問題。PPT返回到本課 最早的三個多邊形圖，用上面的公式迅速計算，體驗成功的快樂。

(四).適當介紹，拓展視野。PPT

說明：我們今天研究的規(guī)律，就是數(shù)學上著名的皮克定理（一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點數(shù)，b表示多邊形邊界上的點數(shù)，s表示多邊形的面積）。有興趣的同學，可以在網(wǎng)絡上或書籍里了解皮克定理。如果有進一步認識的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作《格點和面積》，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。