第一篇:拋物線的幾何性質(zhì)例題2
x2y2??1,求以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]已知雙曲線的方程是89及拋物線的準(zhǔn)線方程.選題意圖:考查拋物線的基本性質(zhì).x2y2??1的右頂點(diǎn)坐標(biāo)是(22,0). 解:∵雙曲線89∴p?22,且拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上.2∴所求拋物線的方程和準(zhǔn)線方程分別為 y?82x,x??22.[例2]若拋物線的焦點(diǎn)為(2,2),準(zhǔn)線方程為x+y-1=0,求此拋物線的方程.選題意圖:考查拋物線的定義.解:設(shè)P(x,y)是拋物線上的任意一點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為F,由拋物線的定義得: |PF|=d(d為P到準(zhǔn)線的距離),∴(x?2)2?(y?2)2?2
2x?y?12.整理得:x-2xy+y-6x-6y+15=0.說明:由于拋物線不在標(biāo)準(zhǔn)位置,所以采用拋物線定義求其方程.[例3]定長為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2?x上移動(dòng),求AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離 的最小值,并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).選題意圖:考查對(duì)拋物線知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.
解:如圖,設(shè)F是拋物線y2?x的焦點(diǎn),A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD,M點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線為MN,N為垂足,則
|MN|=1(|AC|+|BD|).213(|AF|+|BF|)≥.221.4根據(jù)拋物線定義得:|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.∴|MN|=設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,則|MN|=x+∴x?MN?1315???.4244等號(hào)成立的條件是弦AB過點(diǎn)F,由于|AB|>2p=1.∴AB過焦點(diǎn)是可能的,此時(shí)M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離是即AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
5.45,4當(dāng)F在AB上時(shí),設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、y2,則y1y2=-p=-21,從而 451222(y1+y2)=y1?y2?2y1y2?2???2
42∴y1+y2=±2.∴此時(shí)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±
2.2552∴M的坐標(biāo)為(,?)時(shí),M到y(tǒng)軸距離的最小值為.442說明:此題的難點(diǎn)是求最小值.而利用拋物線定義及梯形中位線性質(zhì)等幾何知識(shí)使問題變得非常簡(jiǎn)單,這再一次說明在解題中注意運(yùn)用圓錐曲線的定義及有關(guān)的幾何知識(shí),對(duì)解題是非常有益的.
第二篇:新《拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教案
拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)
使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì),并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā),推導(dǎo)這些性質(zhì).(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā),推導(dǎo)拋物線的性質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力.(三)學(xué)科滲透點(diǎn)
使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法,加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線方程的關(guān)系概念的理解,這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題.
二、教材分析
1.重點(diǎn):拋物線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用.
(解決辦法:引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)得出.)2.難點(diǎn):拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.
(解決辦法:通過幾個(gè)典型例題的講解,使學(xué)生掌握幾何性質(zhì)的應(yīng)用.)3.疑點(diǎn):拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦長公式.(解決辦法:引導(dǎo)學(xué)生證明并加以記憶.)
三、教學(xué)過程
問題 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的?
與橢圓、雙曲線一樣,通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以研究它的幾何性質(zhì).
下面我們根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
【探索研究】
1.拋物線的幾何性質(zhì)
(1)范圍
因?yàn)椋煞匠炭芍?/p>
,所以拋物線在 軸的右側(cè),當(dāng) 的值增大時(shí),也增
來研究它的幾何性質(zhì).
大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.
(2)對(duì)稱性
以的軸.
(3)頂點(diǎn)
/ 3
代,方程不變,所以拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱.我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線
拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn),在方程中,當(dāng)頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).
(4)離心率
時(shí),因此拋物線的拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,叫做拋物線的離心率,由拋物線的定義可知
其他三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)可類似地求得
再向?qū)W生提出問題:與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)比較,拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)?
(1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它也可以無限延伸,但沒有漸近線;
(2)拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;
(3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;
(4)拋物線的離心率是確定的,為1.
【例題分析】
例1已知拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程。
2yl
例2 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線?4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段
,求它的AB的長.解:拋物線的焦點(diǎn) F(1 , 0), 直線l的方程為:y?x?1
/ 3
?y?x?1?x2?6x?1?0?2?y?4x
???x1?3?22?x2?3?22?? 或 ??y1?2?22?y2?2?22 ??AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8
(三)隨堂練習(xí)
1.求適合下列條件的拋物線方程
①頂點(diǎn)在原點(diǎn),關(guān)于 軸對(duì)稱,并且經(jīng)過點(diǎn)
②頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)是
③頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線是
④焦點(diǎn)是
(四)總結(jié)提煉,準(zhǔn)線是
拋物線的性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來,差別較大.它的離心率等于1;它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、一條準(zhǔn)線;它沒有中心,也沒有漸近線.
(五)布置作業(yè)
/ 3
第三篇:8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(一)
高二圓錐曲線方程同步練習(xí)4(雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì))
例1 已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,焦距為213,另一雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),且橢圓的長半軸比雙曲線的實(shí)半軸大4,兩曲線的離心率之比為3:7,求兩曲線方程.例2 直線y-ax-1=0和雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點(diǎn),a為何值時(shí),以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).x2y22例3 在雙曲線2?2?1(a>0,b>0)的兩條漸近線上分別取A、B兩點(diǎn),使OA?OB?c,其中cab是半焦距,O是中心,求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.—1— 例4 已知雙曲線c的實(shí)半軸長與虛半軸長的乘積等于3,c的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,直線l過F2點(diǎn),且與直線F1F2的夾角為φ,tanφ=
21,l與F1F2線段的垂直平分線的交點(diǎn)是P,線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)2為Q,且PQ:QF2?2,求此雙曲線的方程.說明:此題意在增強(qiáng)學(xué)生建立坐標(biāo)系的意識(shí),并進(jìn)一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)及待定系數(shù)法.—2—
第四篇:§8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(四)
[例1]過點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線x2?4y2?4相交于A、B兩點(diǎn),且P是線段AB的中點(diǎn),求直線AB的方程.選題意圖:考查直線與曲線位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).解:設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)
則x12?4y12=4 ①
x2?4y2?4 ② 22①-②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 ∵P是線段AB的中點(diǎn),∴x1?x2?16,y1?y2?2 ∴y1?y2x1?x2?x1?x24(y1?y2)?2
∴直線AB的斜率為2,∴直線AB的方程為y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.說明:此題也可設(shè)直線的斜率為k,然后待定k的值.[例2]過雙曲線xa22?yb22?1的焦點(diǎn)F(c,0)作漸近線
y?bax的垂線,求證:垂足H在與此焦點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線x證明:過F與y?ba?a2c上.??ab(x?c)x垂直的直線的方程是y2?a?x??c得??y?ab?c?.a?y??(x?c)??b由方程組??y?bx?a?
即H點(diǎn)的坐標(biāo)是(∴H在直線上x?a2c2,abc),ac.y?2?0[例3]已知雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x?是(-2,與這條準(zhǔn)線相對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)的坐標(biāo),2),且雙曲線的離心率為
2,求雙曲線的方程.選題意圖:靈活運(yùn)用雙曲線的定義解決數(shù)學(xué)問題.解:設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn),P到直線x?x?y?22y?2?0的距離為
.P到焦點(diǎn)的距離為
(x?2)?(y?22)2,∴(x?2)2?(y?22)2?2
x?y?2∴(x?2)2?(y?2)2?x?y?2.兩邊平方,得:
x2?22x?2?y2?22y?2?x2?y2?2?2xy?22x?22y
∴xy=-1.即所求雙曲線的方程為xy=-1.[例4]如圖,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為λ,雙曲線過C、D、E三點(diǎn),且以A、B為焦點(diǎn),當(dāng)23???34時(shí),求雙曲線離心率e的取值范圍.選題意圖:考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,雙曲線的概念和性質(zhì),推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.分析:關(guān)鍵找e與λ的關(guān)系.解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)雙曲線方程為
xa22?yb22?1.∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D,且以A、B為焦點(diǎn),由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱.依題意,記A(-c,0),c(,h),E(x0,y0)
2c其中c?12AB,h是梯形的高.?(??2)c2(1??),y0?由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0?h1??
ca∵點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e= e2代入雙曲線方程得:
4e?2hb(22?1 ①
??2??1hb4)222?(e???12)?2hb22?1 ②
由①得: ?又?ee22?4?1代入②并整理得:
?1?2
34,,得:
23?ee2223????1?2?34
解得7≤e≤10
∴雙曲線離心率的取值范圍為[7,10].說明:?e2?ee22?1?2也可整理成
?31???2?1?2?1????2?2??31??
觀察之7≤e≤10
第五篇:§8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(三)
[例1]已知雙曲線
xa22?yb22b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-c,0)和F2(c,0),P(x0,y0)?1(a>0,是雙曲線上的任一點(diǎn),求證:|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|,其中e是雙曲線的離心率.選題意圖:鞏固雙曲線的第二定義,給出雙曲線焦半徑的推導(dǎo)方法.證明:雙曲線x??a2xa22?yb22?1的兩焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是
c和x?a2c.∵雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)雙曲線的離心率.∴PF1x0?a2?e,PF2x0?a2?e.cc化簡(jiǎn)得:|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|.說明:|PF1|、|PF2|都是雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離,習(xí)慣稱作焦半徑.|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|稱作焦半徑公式.
[例2]雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為4,一條準(zhǔn)線方程是x程.選題意圖:研究離心率、準(zhǔn)線與a、b、c的關(guān)系,考查準(zhǔn)線的幾何意義.解:∵ca?4,a2?12,求雙曲線的方c?12
∴a=2,c=8,∴b2?82?22?60.∴雙曲線的方程是x24?y260?1.說明:雙曲線的準(zhǔn)線總與實(shí)軸垂直.[例3]在雙曲線倍.選題意圖:考查雙曲線準(zhǔn)線方程、第二定義等基本內(nèi)容.
解:設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).∵雙曲線的準(zhǔn)線方程為x∴PF1x?165?PF2x?165x216?y29?1上求一點(diǎn)P,使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩
??165..∵|PF1|=2|PF2|, ∴P在雙曲線的右支上,∴2PF2x?165485?PF2x?165,?x?4852
把x?代入方程x216?y9?1得:y??35119.所以,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(485,?35119)
此題也可用焦半徑解答.