第一篇：拋物線的幾何性質(zhì)例題2

x2y2??1，求以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程［例1］已知雙曲線的方程是89及拋物線的準(zhǔn)線方程.選題意圖：考查拋物線的基本性質(zhì).x2y2??1的右頂點(diǎn)坐標(biāo)是(22，0). 解：∵雙曲線89∴p?22,且拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上.2∴所求拋物線的方程和準(zhǔn)線方程分別為 y?82x,x??22.［例2］若拋物線的焦點(diǎn)為(2，2)，準(zhǔn)線方程為x+y-1=0，求此拋物線的方程.選題意圖：考查拋物線的定義.解：設(shè)P(x,y)是拋物線上的任意一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義得： ｜PF｜=d(d為P到準(zhǔn)線的距離)，∴(x?2)2?(y?2)2?2

2x?y?12.整理得：x-2xy+y-6x-6y+15=0.說(shuō)明：由于拋物線不在標(biāo)準(zhǔn)位置，所以采用拋物線定義求其方程.［例3］定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2?x上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離 的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).選題意圖：考查對(duì)拋物線知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

解：如圖，設(shè)F是拋物線y2?x的焦點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD，M點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線為MN，N為垂足，則

｜MN｜=1（｜AC｜+｜BD｜）.213（｜AF｜+｜BF｜）≥.221.4根據(jù)拋物線定義得：｜AC｜=｜AF｜,｜BD｜=｜BF｜.∴｜MN｜=設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則｜MN｜=x+∴x?MN?1315???.4244等號(hào)成立的條件是弦AB過(guò)點(diǎn)F，由于｜AB｜＞2p=1.∴AB過(guò)焦點(diǎn)是可能的，此時(shí)M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離是即AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

5.45，4當(dāng)F在AB上時(shí)，設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、y2，則y1y2=-p=-21,從而 451222(y1+y2)=y1?y2?2y1y2?2???2

42∴y1+y2=±2.∴此時(shí)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±

2.2552∴M的坐標(biāo)為(,?)時(shí)，M到y(tǒng)軸距離的最小值為.442說(shuō)明：此題的難點(diǎn)是求最小值.而利用拋物線定義及梯形中位線性質(zhì)等幾何知識(shí)使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單，這再一次說(shuō)明在解題中注意運(yùn)用圓錐曲線的定義及有關(guān)的幾何知識(shí)，對(duì)解題是非常有益的.

第二篇：新《拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教案

拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)這些性質(zhì)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問(wèn)題．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)得出．)2．難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．

(解決辦法：通過(guò)幾個(gè)典型例題的講解，使學(xué)生掌握幾何性質(zhì)的應(yīng)用．)3．疑點(diǎn)：拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式．(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生證明并加以記憶．)

三、教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？

與橢圓、雙曲線一樣，通過(guò)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以研究它的幾何性質(zhì)．

下面我們根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

【探索研究】

1．拋物線的幾何性質(zhì)

（1）范圍

因?yàn)?，由方程可?/p>

，所以拋物線在 軸的右側(cè)，當(dāng) 的值增大時(shí)，也增

來(lái)研究它的幾何性質(zhì)．

大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．

（2）對(duì)稱性

以的軸．

（3）頂點(diǎn)

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代，方程不變，所以拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱．我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線

拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，在方程中，當(dāng)頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（4）離心率

時(shí)，因此拋物線的拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義可知

其他三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)可類似地求得

再向?qū)W生提出問(wèn)題：與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)比較，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)？

（1）拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；

（2）拋物線只有一條對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心；

（3）拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線；

（4）拋物線的離心率是確定的，為1．

【例題分析】

例1已知拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程。

2yl

例2 斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線?4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段

，求它的AB的長(zhǎng).解：拋物線的焦點(diǎn) F(1 , 0), 直線l的方程為：y?x?1

/ 3

?y?x?1?x2?6x?1?0?2?y?4x

???x1?3?22?x2?3?22?? 或 ??y1?2?22?y2?2?22 ??AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8

（三）隨堂練習(xí)

1．求適合下列條件的拋物線方程

①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于 軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

②頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是

③頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是

④焦點(diǎn)是

（四）總結(jié)提煉，準(zhǔn)線是

拋物線的性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來(lái)，差別較大．它的離心率等于1；它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、一條準(zhǔn)線；它沒(méi)有中心，也沒(méi)有漸近線．

（五）布置作業(yè)

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第三篇：8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(一)

高二圓錐曲線方程同步練習(xí)4（雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)）

例1 已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為213，另一雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)半軸比雙曲線的實(shí)半軸大4，兩曲線的離心率之比為3:7，求兩曲線方程.例2 直線y－ax－1=0和雙曲線3x2－y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn).x2y22例3 在雙曲線2?2?1(a>0,b>0)的兩條漸近線上分別取A、B兩點(diǎn)，使OA?OB?c，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.—1— 例4 已知雙曲線c的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的乘積等于3，c的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，直線l過(guò)F2點(diǎn)，且與直線F1F2的夾角為φ,tanφ=

21,l與F1F2線段的垂直平分線的交點(diǎn)是P，線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)2為Q，且PQ:QF2?2，求此雙曲線的方程.說(shuō)明：此題意在增強(qiáng)學(xué)生建立坐標(biāo)系的意識(shí)，并進(jìn)一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)及待定系數(shù)法.—2—

第四篇：§8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(四)

［例1］過(guò)點(diǎn)P(8，1)的直線與雙曲線x2?4y2?4相交于A、B兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.選題意圖：考查直線與曲線位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).解：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）

則x12?4y12=4 ①

x2?4y2?4 ② 22①-②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 ∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴x1?x2?16,y1?y2?2 ∴y1?y2x1?x2?x1?x24(y1?y2)?2

∴直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.說(shuō)明：此題也可設(shè)直線的斜率為k，然后待定k的值.［例2］過(guò)雙曲線xa22?yb22?1的焦點(diǎn)F(c,0)作漸近線

y?bax的垂線，求證：垂足H在與此焦點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線x證明：過(guò)F與y?ba?a2c上.??ab(x?c)x垂直的直線的方程是y2?a?x??c得??y?ab?c?.a?y??(x?c)??b由方程組??y?bx?a?

即H點(diǎn)的坐標(biāo)是(∴H在直線上x(chóng)?a2c2,abc)，ac.y?2?0［例3］已知雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x?是(-2，與這條準(zhǔn)線相對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)的坐標(biāo),2),且雙曲線的離心率為

2，求雙曲線的方程.選題意圖：靈活運(yùn)用雙曲線的定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.解：設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，P到直線x?x?y?22y?2?0的距離為

.P到焦點(diǎn)的距離為

(x?2)?(y?22)2，∴(x?2)2?(y?22)2?2

x?y?2∴(x?2)2?(y?2)2?x?y?2.兩邊平方，得：

x2?22x?2?y2?22y?2?x2?y2?2?2xy?22x?22y

∴xy=-1.即所求雙曲線的方程為xy=-1.［例4］如圖，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)23???34時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍.選題意圖：考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.分析：關(guān)鍵找e與λ的關(guān)系.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為

xa22?yb22?1.∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱.依題意，記Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c?12AB,h是梯形的高.?(??2)c2(1??),y0?由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0?h1??

ca∵點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e= e2代入雙曲線方程得：

4e?2hb(22?1 ①

??2??1hb4)222?(e???12)?2hb22?1 ②

由①得： ?又?ee22?4?1代入②并整理得：

?1?2

34,，得：

23?ee2223????1?2?34

解得7≤ｅ≤10

∴雙曲線離心率的取值范圍為［7，10］.說(shuō)明：?e2?ee22?1?2也可整理成

?31???2?1?2?1????2?2??31??

觀察之7≤ｅ≤10

第五篇：§8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(三)

［例1］已知雙曲線

xa22?yb22b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）?1(a＞0，是雙曲線上的任一點(diǎn)，求證：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.選題意圖：鞏固雙曲線的第二定義，給出雙曲線焦半徑的推導(dǎo)方法.證明：雙曲線x??a2xa22?yb22?1的兩焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是

c和x?a2c.∵雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)雙曲線的離心率.∴PF1x0?a2?e,PF2x0?a2?e.cc化簡(jiǎn)得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.說(shuō)明：｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜稱作焦半徑公式.

［例2］雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為4，一條準(zhǔn)線方程是x程.選題意圖：研究離心率、準(zhǔn)線與a、b、c的關(guān)系，考查準(zhǔn)線的幾何意義.解：∵ca?4,a2?12,求雙曲線的方c?12

∴a=2,c=8,∴b2?82?22?60.∴雙曲線的方程是x24?y260?1.說(shuō)明：雙曲線的準(zhǔn)線總與實(shí)軸垂直.［例3］在雙曲線倍.選題意圖：考查雙曲線準(zhǔn)線方程、第二定義等基本內(nèi)容.

解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).∵雙曲線的準(zhǔn)線方程為x∴PF1x?165?PF2x?165x216?y29?1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩

??165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，∴2PF2x?165485?PF2x?165,?x?4852

把x?代入方程x216?y9?1得：y??35119.所以，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(485,?35119)

此題也可用焦半徑解答.