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      拋物線的幾何性質(zhì)例題2

      時間:2019-05-15 02:36:45下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《拋物線的幾何性質(zhì)例題2》,但愿對你工作學(xué)習(xí)有幫助,當(dāng)然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《拋物線的幾何性質(zhì)例題2》。

      第一篇:拋物線的幾何性質(zhì)例題2

      x2y2??1,求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線標準方程[例1]已知雙曲線的方程是89及拋物線的準線方程.選題意圖:考查拋物線的基本性質(zhì).x2y2??1的右頂點坐標是(22,0). 解:∵雙曲線89∴p?22,且拋物線的焦點在x軸的正半軸上.2∴所求拋物線的方程和準線方程分別為 y?82x,x??22.[例2]若拋物線的焦點為(2,2),準線方程為x+y-1=0,求此拋物線的方程.選題意圖:考查拋物線的定義.解:設(shè)P(x,y)是拋物線上的任意一點,拋物線的焦點為F,由拋物線的定義得: |PF|=d(d為P到準線的距離),∴(x?2)2?(y?2)2?2

      2x?y?12.整理得:x-2xy+y-6x-6y+15=0.說明:由于拋物線不在標準位置,所以采用拋物線定義求其方程.[例3]定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2?x上移動,求AB中點到y(tǒng)軸距離 的最小值,并求出此時AB中點M的坐標.選題意圖:考查對拋物線知識的綜合運用能力.

      解:如圖,設(shè)F是拋物線y2?x的焦點,A、B兩點到準線的垂線分別是AC、BD,M點到準線的垂線為MN,N為垂足,則

      |MN|=1(|AC|+|BD|).213(|AF|+|BF|)≥.221.4根據(jù)拋物線定義得:|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.∴|MN|=設(shè)M點的橫坐標為x,則|MN|=x+∴x?MN?1315???.4244等號成立的條件是弦AB過點F,由于|AB|>2p=1.∴AB過焦點是可能的,此時M點到y(tǒng)軸的最短距離是即AB的中點橫坐標為

      5.45,4當(dāng)F在AB上時,設(shè)A、B的縱坐標分別為y1、y2,則y1y2=-p=-21,從而 451222(y1+y2)=y1?y2?2y1y2?2???2

      42∴y1+y2=±2.∴此時AB中點的縱坐標為±

      2.2552∴M的坐標為(,?)時,M到y(tǒng)軸距離的最小值為.442說明:此題的難點是求最小值.而利用拋物線定義及梯形中位線性質(zhì)等幾何知識使問題變得非常簡單,這再一次說明在解題中注意運用圓錐曲線的定義及有關(guān)的幾何知識,對解題是非常有益的.

      第二篇:新《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》教案

      拋物線的簡單幾何性質(zhì)

      一、教學(xué)目標(一)知識教學(xué)點

      使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì),并能從拋物線的標準方程出發(fā),推導(dǎo)這些性質(zhì).(二)能力訓(xùn)練點

      從拋物線的標準方程出發(fā),推導(dǎo)拋物線的性質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力.(三)學(xué)科滲透點

      使學(xué)生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法,加深對直角坐標系中曲線方程的關(guān)系概念的理解,這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題.

      二、教材分析

      1.重點:拋物線的幾何性質(zhì)及初步運用.

      (解決辦法:引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)得出.)2.難點:拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

      (解決辦法:通過幾個典型例題的講解,使學(xué)生掌握幾何性質(zhì)的應(yīng)用.)3.疑點:拋物線的焦半徑和焦點弦長公式.(解決辦法:引導(dǎo)學(xué)生證明并加以記憶.)

      三、教學(xué)過程

      問題 拋物線的標準方程是怎樣的?

      與橢圓、雙曲線一樣,通過拋物線的標準方程可以研究它的幾何性質(zhì).

      下面我們根據(jù)拋物線的標準方程:

      【探索研究】

      1.拋物線的幾何性質(zhì)

      (1)范圍

      因為,由方程可知

      ,所以拋物線在 軸的右側(cè),當(dāng) 的值增大時,也增

      來研究它的幾何性質(zhì).

      大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.

      (2)對稱性

      以的軸.

      (3)頂點

      / 3

      代,方程不變,所以拋物線關(guān)于 軸對稱.我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線

      拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點,在方程中,當(dāng)頂點就是坐標原點.

      (4)離心率

      時,因此拋物線的拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離的比,叫做拋物線的離心率,由拋物線的定義可知

      其他三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì)可類似地求得

      再向?qū)W生提出問題:與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)比較,拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點?

      (1)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它也可以無限延伸,但沒有漸近線;

      (2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;

      (3)拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;

      (4)拋物線的離心率是確定的,為1.

      【例題分析】

      例1已知拋物線關(guān)于 軸對稱,它的頂點在坐標原點,并且經(jīng)過點標準方程。

      2yl

      例2 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線?4x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段

      ,求它的AB的長.解:拋物線的焦點 F(1 , 0), 直線l的方程為:y?x?1

      / 3

      ?y?x?1?x2?6x?1?0?2?y?4x

      ???x1?3?22?x2?3?22?? 或 ??y1?2?22?y2?2?22 ??AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8

      (三)隨堂練習(xí)

      1.求適合下列條件的拋物線方程

      ①頂點在原點,關(guān)于 軸對稱,并且經(jīng)過點

      ②頂點在原點,焦點是

      ③頂點在原點,準線是

      ④焦點是

      (四)總結(jié)提煉,準線是

      拋物線的性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來,差別較大.它的離心率等于1;它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線;它沒有中心,也沒有漸近線.

      (五)布置作業(yè)

      / 3

      第三篇:8.4雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例題(一)

      高二圓錐曲線方程同步練習(xí)4(雙曲線的簡單幾何性質(zhì))

      例1 已知橢圓中心在原點,焦點在坐標軸上,焦距為213,另一雙曲線與橢圓有公共焦點,且橢圓的長半軸比雙曲線的實半軸大4,兩曲線的離心率之比為3:7,求兩曲線方程.例2 直線y-ax-1=0和雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點,a為何值時,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點.x2y22例3 在雙曲線2?2?1(a>0,b>0)的兩條漸近線上分別取A、B兩點,使OA?OB?c,其中cab是半焦距,O是中心,求AB中點P的軌跡方程.—1— 例4 已知雙曲線c的實半軸長與虛半軸長的乘積等于3,c的兩個焦點為F1、F2,直線l過F2點,且與直線F1F2的夾角為φ,tanφ=

      21,l與F1F2線段的垂直平分線的交點是P,線段PF2與雙曲線的交點2為Q,且PQ:QF2?2,求此雙曲線的方程.說明:此題意在增強學(xué)生建立坐標系的意識,并進一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)及待定系數(shù)法.—2—

      第四篇:§8.4雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例題(四)

      [例1]過點P(8,1)的直線與雙曲線x2?4y2?4相交于A、B兩點,且P是線段AB的中點,求直線AB的方程.選題意圖:考查直線與曲線位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識.解:設(shè)A、B的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)

      則x12?4y12=4 ①

      x2?4y2?4 ② 22①-②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 ∵P是線段AB的中點,∴x1?x2?16,y1?y2?2 ∴y1?y2x1?x2?x1?x24(y1?y2)?2

      ∴直線AB的斜率為2,∴直線AB的方程為y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.說明:此題也可設(shè)直線的斜率為k,然后待定k的值.[例2]過雙曲線xa22?yb22?1的焦點F(c,0)作漸近線

      y?bax的垂線,求證:垂足H在與此焦點相對應(yīng)的準線x證明:過F與y?ba?a2c上.??ab(x?c)x垂直的直線的方程是y2?a?x??c得??y?ab?c?.a?y??(x?c)??b由方程組??y?bx?a?

      即H點的坐標是(∴H在直線上x?a2c2,abc),ac.y?2?0[例3]已知雙曲線的一條準線方程為x?是(-2,與這條準線相對應(yīng)的焦點的坐標,2),且雙曲線的離心率為

      2,求雙曲線的方程.選題意圖:靈活運用雙曲線的定義解決數(shù)學(xué)問題.解:設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點,P到直線x?x?y?22y?2?0的距離為

      .P到焦點的距離為

      (x?2)?(y?22)2,∴(x?2)2?(y?22)2?2

      x?y?2∴(x?2)2?(y?2)2?x?y?2.兩邊平方,得:

      x2?22x?2?y2?22y?2?x2?y2?2?2xy?22x?22y

      ∴xy=-1.即所求雙曲線的方程為xy=-1.[例4]如圖,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,點E分有向線段AC所成的比為λ,雙曲線過C、D、E三點,且以A、B為焦點,當(dāng)23???34時,求雙曲線離心率e的取值范圍.選題意圖:考查坐標法、定比分點坐標公式,雙曲線的概念和性質(zhì),推理、運算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.分析:關(guān)鍵找e與λ的關(guān)系.解:建立如圖所示的直角坐標系,設(shè)雙曲線方程為

      xa22?yb22?1.∵雙曲線經(jīng)過點C、D,且以A、B為焦點,由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱.依題意,記A(-c,0),c(,h),E(x0,y0)

      2c其中c?12AB,h是梯形的高.?(??2)c2(1??),y0?由定比分點坐標公式得x0?h1??

      ca∵點C、E在雙曲線上,將點C、E的坐標和e= e2代入雙曲線方程得:

      4e?2hb(22?1 ①

      ??2??1hb4)222?(e???12)?2hb22?1 ②

      由①得: ?又?ee22?4?1代入②并整理得:

      ?1?2

      34,,得:

      23?ee2223????1?2?34

      解得7≤e≤10

      ∴雙曲線離心率的取值范圍為[7,10].說明:?e2?ee22?1?2也可整理成

      ?31???2?1?2?1????2?2??31??

      觀察之7≤e≤10

      第五篇:§8.4雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例題(三)

      [例1]已知雙曲線

      xa22?yb22b>0)的焦點坐標是F1(-c,0)和F2(c,0),P(x0,y0)?1(a>0,是雙曲線上的任一點,求證:|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|,其中e是雙曲線的離心率.選題意圖:鞏固雙曲線的第二定義,給出雙曲線焦半徑的推導(dǎo)方法.證明:雙曲線x??a2xa22?yb22?1的兩焦點F1(-c,0)、F2(c,0)相應(yīng)的準線方程分別是

      c和x?a2c.∵雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應(yīng)準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.∴PF1x0?a2?e,PF2x0?a2?e.cc化簡得:|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|.說明:|PF1|、|PF2|都是雙曲線上的點到其焦點的距離,習(xí)慣稱作焦半徑.|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|稱作焦半徑公式.

      [例2]雙曲線的中心在坐標原點,離心率為4,一條準線方程是x程.選題意圖:研究離心率、準線與a、b、c的關(guān)系,考查準線的幾何意義.解:∵ca?4,a2?12,求雙曲線的方c?12

      ∴a=2,c=8,∴b2?82?22?60.∴雙曲線的方程是x24?y260?1.說明:雙曲線的準線總與實軸垂直.[例3]在雙曲線倍.選題意圖:考查雙曲線準線方程、第二定義等基本內(nèi)容.

      解:設(shè)P點的坐標為(x,y),F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.∵雙曲線的準線方程為x∴PF1x?165?PF2x?165x216?y29?1上求一點P,使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩

      ??165..∵|PF1|=2|PF2|, ∴P在雙曲線的右支上,∴2PF2x?165485?PF2x?165,?x?4852

      把x?代入方程x216?y9?1得:y??35119.所以,P點的坐標為(485,?35119)

      此題也可用焦半徑解答.

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