第一篇：2018年高考前必做題 橢圓的簡單幾何性質(zhì)典型例題

橢圓的簡單幾何性質(zhì)典型例題

例

1橢圓的一個頂點(diǎn)為A?2，0?，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置． 解：（1）當(dāng)A?2，0?為長軸端點(diǎn)時，a?2，b?1，x2y2??1； 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：41（2）當(dāng)A?2，0?為短軸端點(diǎn)時，b?2，a?4，x2y2??1； 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

416說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，給出一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．

例2 一個橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率．

a21?2?

∴3c2?a2，解：?2c?c3∴e?13． ?33說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可．

例3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線x?y?1?0交于A、B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．

x22解：由題意，設(shè)橢圓方程為2?y?1，a?x?y?1?0?222由?x2，得??1?ax?2ax?0，2?2?y?1?a1x1?x21?a2?2，yM?1?xM?∴xM?，1?a22a ?kOM?yM11?2?，∴a2?4，xMa4x2?y2?1為所求． ∴4說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點(diǎn)、弦斜率問題．

x2y?9?例4橢圓??1上不同三點(diǎn)A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?與焦點(diǎn)F?4，0?的2595??距離成等差數(shù)列．

（1）求證x1?x2?8；

（2）若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k．

證明：（1）由橢圓方程知a?5，b?3，c?4． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：2AFa2?x1c?c，a∴

AF?a?ex1?5?同理

CF?5?4x1． 54x2． 59，5∵

AF?CF?2BF，且BF?∴

?5???4??4?18x1???5?x2??，5??5?5即

x1?x2?8．

（2）因?yàn)榫€段AC的中點(diǎn)為?4，1??y?y2??，所以它的垂直平分線方程為 2?

y?y1?y2x1?x2?x?4?． ?2y1?y2又∵點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為?x0，0?，代入上式，得

2y12?y

2x0?4?

2?x1?x2?又∵點(diǎn)A?x1，y1?，B?x2，y2?都在橢圓上，925?x12 2592225?x2

y2? 25922?x1?x2??x1?x2?． ∴ y1?y2??25∴ y1?2????將此式代入①，并利用x1?x2?8的結(jié)論得

x0?4??36 2∴ kBT 9?055??．

4?x04x2y例5 已知橢圓??1，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)M，使M到43左準(zhǔn)線l的距離MN是MF1與MF2的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解：假設(shè)M存在，設(shè)M?x1，y1?，由已知條件得

2a?2，b?3，∴c?1，e?∵左準(zhǔn)線l的方程是x??4，∴MN?4?x1． 又由焦半徑公式知：

1． 21x1，21MF2?a?ex1?2?x1．

2MF1?a?ex1?2?∵M(jìn)N2?MF1?MF2，2∴?x1?4???2?2??1??1?x1??2?x1?． 2??2?整理得5x1?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1??12．

① 5另一方面?2?x1?2．

②

則①與②矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)M不存在． 說明：

（1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程．

（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷．

（3）本例也可設(shè)M2cos?，3sin?存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）．

??x2?11?例6 已知橢圓?y2?1，求過點(diǎn)P?，?且被P平分的弦所在的直線方程．

2?22?分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k，利用條件求k． 解法一：設(shè)所求直線的斜率為k，則直線方程為y?整理得

11???k?x??．代入橢圓方程，并22???1?2k?x??2k22213?2kx?k2?k??0．

22?2k2?2k由韋達(dá)定理得x1?x2?． 21?2k∵P是弦中點(diǎn)，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直線方程為2x?4y?3?0．

分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為?x1，y1?、?x2，y2?，列關(guān)于x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：

1． 2y1?y2．

x1?x2?11??22?解法二：設(shè)過P?，?的直線與橢圓交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，則由題意得

?x122?y，1?1??22?x22??y2?1，?2?x1?x2?1，??y1?y2?1.①② ③④2x12?x22?y12?y2?0．

⑤ ①－②得2將③、④代入⑤得

1y1?y21??，即直線的斜率為?．

2x1?x22 所求直線方程為2x?4y?3?0．

說明：

（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．

（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率．（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線問題也適用．

例7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)?2，?6?；

（2）在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6．

x2y22分析：當(dāng)方程有兩種形式時，應(yīng)分別求解，如（1）題中由2?2?1求出a?148，abx2y2y2x2??1． ??1后，不能依此寫出另一方程b?37，在得方程

14837148372x2y2y2x2解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?2?1或2?2?1．

abab由已知a?2b．

① 又過點(diǎn)?2，?6?，因此有

?22??6??6?22?2?1或2?2?1．

② a2bab22由①、②，得a?148，b?37或a?52，b?13．故所求的方程為 2222x2y2y2x2?1． ??1或?521314837x2y22（2）設(shè)方程為2?2?1．由已知，c?3，b?c?3，所以a?18．故所求方程abx2y2??1． 為189說明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”．關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置

x2y2y2x2是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程2?2?1或2?2?1．

abab

x2y2??1的右焦點(diǎn)為F，例8 橢圓過點(diǎn)A1點(diǎn)M在橢圓上，當(dāng)AM?2MF，3，1612??為最小值時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率e?最小值．一般地，求AM?1，把2MF轉(zhuǎn)化為M到右準(zhǔn)線的距離，從而得21MF均可用此法． e1解：由已知：a?4，c?2．所以e?，右準(zhǔn)線

2l：x?8．

過A作AQ?l，垂足為Q，交橢圓于M，故顯然AM?2MF的最小值為AQ，即MMQ?2MF．為所求點(diǎn)，因此yM?3，且M在橢圓上．故xM?23．所以M23，3．

說明：本題關(guān)鍵在于未知式AM?2MF中的“2”的處理．事實(shí)上，如圖，e???1，2即MF是M到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的MQ，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)M，使M到A的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值．

x2?y2?1上的點(diǎn)到直線x?y?6?0的距離的最小值． 例9 求橢圓3分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值．

?x?3cos?，解：橢圓的參數(shù)方程為?設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為

?y?sin?.直線的距離為

?3cos?，sin??，則點(diǎn)到d????2sin?????63cos??sin??6?3?． ?22????????1時，d最小值?22． ?3?當(dāng)sin?說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程．

例10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e?3?3?，已知點(diǎn)P?0，?到2?2?這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)．

分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d的最大值時，要注意討論b的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．

x2y2解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是2?2?1，其中a?b?0待定．

abc2a2?b2b2?1?2可得 由e?2?aa2a2b31?1?e2?1??，即a?2b． a42設(shè)橢圓上的點(diǎn)?x，y?到點(diǎn)P的距離是d，則

3?y2?9?2?2?d?x??y???a?1??y?3y? 2??2?4??b?22291??

?4b?3y?3y???3?y???4b2?3

42??222其中?b?y?b． 如果b?12，則當(dāng)y??b時，d（從而d）有最大值． 2由題設(shè)得???7?3113??7??b??，由此得b?7??，與b?矛盾．

2222??22因此必有b?由題設(shè)得112成立，于是當(dāng)y??時，d（從而d）有最大值． 222?4b2?3，可得b?1，a?2．

x2y2??1． ∴所求橢圓方程是41由y??11?1???及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)??3，??，點(diǎn)?3，??到點(diǎn)22?2??? ?3?P?0，?的距離是7． ?2?解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是??x?acos?，其中a?b?0，待定，?y?bsin?0???2?，?為參數(shù)．

c2a2?b2?b?2由e?2??1???可得 2aa?a?b31?1?e2?1??，即a?2b． a42設(shè)橢圓上的點(diǎn)?x，y?到點(diǎn)P?0，?的距離為d，則

222??3?2?3?3???d2?x2??y???a2cos2???bsin???

2?2?????

?4b?3bsin??3bsin22229 41??

??3b2?sin????4b2?3

2b??如果11?1，即b?，則當(dāng)sin???1時，d2（從而d）有最大值． 2b2由題設(shè)得成立． ??31113??7??b??，由此得b?7??，與b?矛盾，因此必有?12222b2??22于是當(dāng)sin???由題設(shè)知12時d（從而d）有最大值． 2b?7?2?4b2?3，∴b?1，a?2．

∴所求橢圓的參數(shù)方程是??x?2cos?．

?y?sin?由sin??? 131??1??，cos???，可得橢圓上的是??3，??，?3，??． 222??2??例11 設(shè)x，y?R，2x?3y?6x，求x?y?2x的最大值和最小值． 分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程2x?3y?6x與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一

222222致．設(shè)x2?y2?2x?m，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值．

解：由2x2?3y2?6x，得

3???x??y22???1

?93????2?4?可見它表示一個橢圓，其中心在?，0?點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過（0，0）點(diǎn)和（3，0）點(diǎn)．

設(shè)x2?y2?2x?m，則

?x?1??y2?m?1 22?3??2?它表示一個圓，其圓心為（－1，0）半徑為m?1?m??1?．

在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當(dāng)圓過（0，0）點(diǎn)時，半徑最小，即m?1?1，此時m?0；當(dāng)圓過（3，0）點(diǎn)時，半徑最大，即m?1?4，∴m?15．

∴x?y?2x的最小值為0，最大值為15． 22

x2y2例12 已知橢圓C：2?2?1?a?b?0?，A、B是其長軸的兩個端點(diǎn)．

abb如何變化，?APB?120．（1）過一個焦點(diǎn)F作垂直于長軸的弦PP?，求證：不論a、（2）如果橢圓上存在一個點(diǎn)Q，使?AQB?120，求C的離心率e的取值范圍．

?? 分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從?APB和?AQB的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手．本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率e滿足

?的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：x?a，y?b，根據(jù)?AQB得到?120a222ay22b、??3，將x?a?2y代入，消去x，用a、以便利用y?bc表示y，bx2?y2?a2列出不等式．這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成．

解：（1）設(shè)F?c，0?，A??a，0?，B?a，0?．

?x?c?b2??P?c，?

?222222?? abx?ay?ab???于是kAPb2b2，kBP?． ?a?c?a?a?c?a?∵?APB是AP到BP的角．

b2b2?2a2a?c?a?a?c?a?∴tan?APB???2

b4c1?22ac?a2??∵a?c ∴tan?APB??2

故tan?APB??

3∴?APB?120．（2）設(shè)Q?x，y?，則kQA??22yy，kQB?． x?ax?a由于對稱性，不妨設(shè)y?0，于是?AQB是QA到QB的角．

yy?2ay?a?∴tan?AQB?x?ax 2222yx?y?a1?2x?a2∵?AQB?120，∴?2ay??3

x2?y2?a2整理得3x2?y2?a2?2ay?0 ??a22∵x?a?2y

b22 ?a2?2∴3??1?b2??y?2ay?0

??2ab2∵y?0，∴y? 23c2ab2∵y?b，∴?b 23c2ab?3c2，4a2a2?c2?3c2

∴4c?4ac?4a?0，3e?4e?4?0 ∴e?2??422442362或e??2（舍），∴?e?1． 231x2y2??1的離心率e?，求k的值． 例13 已知橢圓

2k?89分析：分兩種情況進(jìn)行討論．

解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時，a?k?8，b?9，得c?k?1．由e?當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時，a?9，b?k?8，得c?1?k．

2222221，得k?4． 211?k15?，即k??．，得29445∴滿足條件的k?4或k??．

4由e?說明：本題易出現(xiàn)漏解．排除錯誤的辦法是：因?yàn)閗?8與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上．故必須進(jìn)行討論．

x2y2例14 已知橢圓2?2?1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為b(b?1)，求P到左準(zhǔn)線4bb的距離．

分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解．

x2y23解法一：由2?2?1，得a?2b，c?3b，e?．

24bb由橢圓定義，PF1?PF2?2a?4b，得

PF1?4b?PF2?4b?b?3b．

由橢圓第二定義，PF1d1?e，d1為P到左準(zhǔn)線的距離，∴d1?PF1e?23b，即P到左準(zhǔn)線的距離為23b．

解法二：∵PF2d2PF2e?e，d2為P到右準(zhǔn)線的距離，e?23b． 3c3，?a2∴d2??a283又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為2??b．

c3∴P到左準(zhǔn)線的距離為

8323b?b?23b． 33說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性．否則就會產(chǎn)生誤解．

橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運(yùn)用自如．一般地，如遇到動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義．

?x?4cos?,?例15 設(shè)橢圓?(?為參數(shù))上一點(diǎn)P與x軸正向所成角?POx?，求

3?y?23sin?.P點(diǎn)坐標(biāo)．

分析：利用參數(shù)?與?POx之間的關(guān)系求解．

解：設(shè)P(4cos?,23sin?)，由P與x軸正向所成角為

?，3∴tan?3?23sin?，即tan??2．

4cos?525，sin??，55而sin??0，cos??0，由此得到cos??∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(45415,)． 55x2y2例16 設(shè)P(x0,y0)是離心率為e的橢圓2?2?1(a?b?0)上的一點(diǎn)，P到左焦

ab點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2的距離分別為r1和r2，求證：r1?a?ex0，r2?a?ex0．

分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離．

a2a2解：P點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線l：x??的距離，PQ?x0?，cc由橢圓第二定義，PF1PQ?e，∴r1?a?ex0． 1?ePQ?a?ex0，由橢圓第一定義，r2?2a?r說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問題時，有著廣泛的應(yīng)用．請寫出橢圓焦點(diǎn)在y軸上的焦半徑公式．

x2y2??1內(nèi)有一點(diǎn)A(1,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)例17 已知橢圓95P是橢圓上一點(diǎn)．

P坐標(biāo)；(1)求PA?PF1的最大值、最小值及對應(yīng)的點(diǎn)(2)求PA?3PF2的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 2分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法．二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法．本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解．

解：

(1)如上圖，2a?6，F(xiàn)2(2,0)，AF2?2，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由，∴PF1?PF2?2a?6，PA?PF2?AF2PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，等號僅當(dāng)PA?PF2?AF2時成立，此時P、A、F2共線．

由PA?PF∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，等2?AF2，P、A、F2共線． 號僅當(dāng)PA?PF2?AF2時成立，此時建立A、F2的直線方程x?y?2?0，解方程組??x?y?2?0,?5x?9y?4522得兩交點(diǎn)

9***P(?2,?2)P(?2,?2)．、127***P點(diǎn)與P2重合時，綜上所述，P點(diǎn)與P1重合時，PA?PF1取最小值6?2，PA?PF2取最大值6?2．

(2)如下圖，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，作PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線，Q為垂足，由a?3，c?2，∴e?PF2232．由橢圓第二定義知，∴PQ?PF2?e?32PQ3，∴3PF2?PA?PQ，要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準(zhǔn)線距離．右29準(zhǔn)線方程為x?．

2PA?∴A到右準(zhǔn)線距離為

7．此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條2

件的點(diǎn)P坐標(biāo)(65,1)． 51PF2的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過A向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段．巧e說明：求PA?用焦點(diǎn)半徑PF2與點(diǎn)準(zhǔn)距PQ互化是解決有關(guān)問題的重要手段．

x2y2??1的參數(shù)方程； 例18(1)寫出橢圓94(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．

分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題．

?x?3cos?解：(1)?(??R)．

y?2sin??(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為S，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(shè)

?(3cos?,2sin?)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，(0???)，2則S?4?3cos??2sin??12sin2??12

故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．

說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便．

例19 已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且?F1PF2?60?．(1)求橢圓離心率的取值范圍；

(2)求證?PF1F2的面積與橢圓短軸長有關(guān)． 分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為

x2y2?2?1（a?b?0），P(x1,y1)（y1?0）． 2ab思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即tan60??KPF2?KPF11?KPF2KPF1?3，設(shè)P(x1,y1)，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，化簡可得3x1?3y1?2cy1?3c2?0．又x1y1222，兩方程聯(lián)立消去得??1x3cy1?2b2cy1?3b4?0，由y1?(0,b]，可以122ab確定離心率的取值范圍；解出y1可以求出?PF1F2的面積，但這一過程很繁．

思路二：利用焦半徑公式PF在?PF1F2中運(yùn)用余弦定理，1?a?ex1，PF2?a?ex1，求x1，再利用x1?[?a,a]，可以確定離心率e的取值范圍，將x1代入橢圓方程中求y1，便可求出?PF1F2的面積．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合PF1?PF2?2a求解． 2222

x2y2解：(法1)設(shè)橢圓方程為2?2?1（a?b?0），P(x1,y1)，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，abc?0，則PF1?a?ex1，PF2?a?ex1． 在?PF1F2中，由余弦定理得

1(a?ex1)2?(a?ex1)2?4c2，cos60???22(a?ex1)(a?ex1)4c2?a2解得x1?． 23e2(1)∵x1?(0,a2]，24c2?a2?a2，即4c2?a2?0． ∴0?23e∴e?c1?． a212故橢圓離心率的取范圍是e?[,1)．

4c2?a2x2y2(2)將x1?代入2?2?1得 2ab3e2b4b2y1?2，即y1?．

3c3c2∴S?PF1F211b232?F1F2?y??2c??b． 2233c即?PF1F2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．

(法2)設(shè)PF2F1??，?PF1F2??，1?m，PF2?n，?PF則????120?．

(1)在?PF1F2中，由正弦定理得

mn2c??． sin?sin?sin60? ∴m?n2c ?sin??sin?sin60?∵m?n?2a，∴2a2c，?sin??sin?sin60?∴e?csin60?sin60? ??asin??sin?2sin???cos???2211??． ???22cos2當(dāng)且僅當(dāng)???時等號成立．

故橢圓離心率的取值范圍是e?[,1)．(2)在?PF1F2中，由余弦定理得：

12(2c)2?m2?n2?2mncos60?

?m2?n2?mn ?(m?n)2?3mn

∵m?n?2a，22∴4c?4a?3mn，即mn?424(a?c2)?b2． 33∴S?PF1F2?132mnsin60??b． 23即?PF1F2的面積與橢圓短軸長有關(guān)．

說明：橢圓上的一點(diǎn)P與兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過變形，使之出現(xiàn)PF1?PF2的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)a，c的關(guān)系式，使問題找到解決思路．

x2y2例20 橢圓2?2?1(a?b?0)與x軸正向交于點(diǎn)A，若這個橢圓上總存在點(diǎn)P，ab使OP?AP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率e的取值范圍．

分析：∵O、A為定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，可以P點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把OP?AP，轉(zhuǎn)化為P 點(diǎn)坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于a、b、c的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是??x?acos?(a?b?0)，?y?bsin?則橢圓上的點(diǎn)P(acos?,bsin?)，A(a,0)，∵OP?AP，∴bsin?bsin????1，acos?acos??a22b2即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos??2，2a?b222b2?1，又b2?a2?c2 ∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?22a?ba2∴0?2?2，c∴e?22，又0?e?1，∴?e?1． 222,1)，求證在橢圓上總存在點(diǎn)P使OP?AP．如何2說明：若已知橢圓離心率范圍(證明？

第二篇：雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 典型例題解析

典例剖析

x2y2［例1］已知雙曲線2?2=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是雙曲線上的任一點(diǎn)，求證｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.x2y2【證明】 雙曲線2?2=1的兩焦點(diǎn)F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－和x=.cc∵雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.∴PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.化簡得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【點(diǎn)評】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜稱作焦半徑公式.［例2］雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為4，一條準(zhǔn)線方程是x=程.1,求雙曲線的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴雙曲線的方程是=1.?460【點(diǎn)評】 雙曲線的準(zhǔn)線總與實(shí)軸垂直.x2y2［例3］在雙曲線=1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩?169倍.【解】 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).∵雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=±

16.5∴PF116x?5?PF216x?5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.?16165x?x?5548x2y2把x=代入方程=1得： ?1695y=±3119.5483，±119)

55【點(diǎn)評】 此題也可用焦半徑解答.所以，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

第三篇：雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 典型例題解析

典例剖析

［例1］已知雙曲線的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程.【解】 把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

ya2222222

2?xb22=1，由此可知，實(shí)半軸長為a,虛半軸長為b，c=a2?b2.焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,－a2?b2),(0, 漸近線方程為x=±【點(diǎn)評】 雙曲線近線為x=±baxaa2?b2).ba22y,即y=±

?yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的漸近線為y=±x,雙曲線

ya22?xb22=1的漸y,即y=±

abx，應(yīng)仔細(xì)區(qū)分兩雙曲線的漸近線的異同點(diǎn).［例2］求一條漸近線方程是3x+4y=0，一個焦點(diǎn)是(4，0)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，并求雙曲線的離心率.【解】 雙曲線的漸近線方程可寫成（λ≠0）

∵焦點(diǎn)在x軸上，∴λ＞0 把雙曲線的方程寫成x2x4?y3=0,因此雙曲線的方程可寫成x216?y29＝λ

16??y29?＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2 ＝1

25625?14425∵a2=25625,即a=165，ca?4165?54∴雙曲線的離心率e=.【點(diǎn)評】 漸近線為對角線證明.xa?yb＝0的雙曲線方程總是

xa22?yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等軸雙曲線的兩個頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于雙曲線實(shí)軸的直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn).求證：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【證明】（1）不妨設(shè)等軸雙曲線的方程為設(shè)直線MN的方程為x=b(b>a)

xa22?yb22＝1 如圖8—7易求得

N(b,a2?b2)

圖8—7 b2∴tanNA1x＝?a2a?b2=

b?ab?a

tanNA2x＝b?a2b?a=

b?ab?a

∴tanNA1x＝?21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均為銳角

∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90° 根據(jù)對稱性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°（2）仿(1)可求得M(b，－b2?a2)?b?ab?a22∴kMA?kA12N??b?ab?a22＝－1 ∴MA1⊥A2N同理可證MA2⊥A1N.【點(diǎn)評】 利用對稱性把要證等式轉(zhuǎn)化為證明∠NA2x＋∠NA1x＝90°為本題證明的突破口，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化意識.

第四篇：橢圓幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

篇一：教學(xué)設(shè)計(jì)-橢圓的簡單幾何性質(zhì)

《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》說教學(xué)設(shè)計(jì)

一.教材分析 1.地位和作用

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（選修2-1）第二章第2節(jié)，橢圓的簡單幾何性質(zhì)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，這節(jié)課是結(jié)合橢圓圖形發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì),再利用橢圓的方程探討橢圓的幾何性質(zhì),是數(shù)與形的完美結(jié)合，讓學(xué)生在了解如何用曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，充分認(rèn)識到“由數(shù)到形，由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化，體會了數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，也從中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，受到了數(shù)學(xué)文化熏陶，為后繼研究解析幾何中其它曲線的幾何性質(zhì)奠定了重要基礎(chǔ)。2.教材的內(nèi)容安排和處理

考慮到橢圓的性質(zhì)有較多拓展，我將本節(jié)內(nèi)容分為兩課時來完成，本課為第一課時，主要介紹橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率）及其初步運(yùn)用，在解析幾何中，利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)對學(xué)生來說是第一次，因此可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況及認(rèn)知特點(diǎn)，改變了教材中原有研究順序，引導(dǎo)學(xué)生先從觀察課前預(yù)習(xí)所作的具體圖形入手，按照通過圖形先發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，在利用方程去說明性質(zhì)的研究思路，循序漸近進(jìn)行探究。在教學(xué)中不僅要注重對橢圓幾何性質(zhì)的理解和運(yùn)用，而且更應(yīng)重視對學(xué)生進(jìn)行這種研究方法的思想滲透，通過教師合理的情境創(chuàng)設(shè)，師生的共同討論研究，學(xué)生的親身實(shí)踐體驗(yàn)，使學(xué)生真正意義上理解在解析幾何中，怎樣用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)，鞏固數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，達(dá)到切實(shí)地用數(shù)學(xué)分析解決問題的能力。3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：知識上，要掌握如何利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì)；學(xué)生的體驗(yàn)上，需要關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過程中思維的過程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。

教學(xué)難點(diǎn)；利用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過程。

二.學(xué)生的學(xué)情心理分析

我的任教班是普班,大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱, 獨(dú)立分析問題，解決問題的能力不是很強(qiáng), 但是他們的思維活躍，參與意識強(qiáng)烈,又具備了高一學(xué)習(xí)階段的知識基礎(chǔ)，因此依據(jù)以上特點(diǎn),在教學(xué) 設(shè)計(jì)方面，我打算借助多媒體手段，創(chuàng)設(shè)問題情境，結(jié)合圖形啟發(fā)引導(dǎo)，組織學(xué)生合作探究等形式，都符合我班學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，為他們創(chuàng)設(shè)了一個自然和諧的課堂氛圍。

三.教學(xué)目標(biāo)

本著新課程標(biāo)準(zhǔn)的貫徹原則,結(jié)合我的學(xué)生的實(shí)際情況，我制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識與技能：

掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì),并能初步運(yùn)用其探索方法研究問題。

過程與方法：

通過學(xué)生親身的實(shí)踐體驗(yàn)，利用橢圓的方程討論橢圓的幾何性質(zhì)，經(jīng)歷由形到數(shù),由數(shù)到形的

思想跨越，感知用代數(shù)的方法探究幾何性質(zhì)的過程，感受“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”的數(shù)學(xué)真諦，進(jìn)一步體會“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)中的重要地位。

情感、態(tài)度與價值觀：

在自然和諧的教學(xué)氛圍中，通過師生間的、生生間的平等交流，塑造學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，鉆研探究的品質(zhì)和態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生研究問題的能力；通過對橢圓幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生得到美的感受，體驗(yàn)到探究之后的成功與喜悅。四.教學(xué)方法與手段

課堂教學(xué)應(yīng)有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的形成與發(fā)展，使學(xué)生扎實(shí)地學(xué)會學(xué)習(xí)，真正的學(xué)以置用，為此我制定了本節(jié)課的教學(xué)方法和手段如下：

教學(xué)方法：

我采用的教學(xué)方法主要是情境激趣法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、合作探究法等等。

（一）情境激趣法：注重?cái)?shù)學(xué)知識與實(shí)際的聯(lián)系，同時也發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，開闊他們的視野。

（二）引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：符合教學(xué)原則，充分調(diào)動學(xué)生的主動性與積極性。

（三）合作探究法：1.體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識 2.使學(xué)生體驗(yàn)到團(tuán)結(jié)協(xié)作的力量以及探索發(fā)現(xiàn)的成就，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

教學(xué)手段：

新課標(biāo)要求,立體幾何的教學(xué)要直觀感知,操作確認(rèn)。對于本節(jié)內(nèi)容,我也采用了這樣的思路。

本節(jié)借助多媒體輔助手段及實(shí)物投影，創(chuàng)設(shè)問題情境，并通過圖形引導(dǎo)學(xué)生形象直觀地體驗(yàn)由數(shù)到形的過渡，便于學(xué)生觀察、認(rèn)知、探求、發(fā)現(xiàn)、歸納。

五.學(xué)法指導(dǎo)

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，教師應(yīng)注意指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究式學(xué)習(xí)和體驗(yàn)式學(xué)習(xí)（興趣是前提）。例如導(dǎo)入，通過“神六”號這樣一個人們關(guān)注的話題引入，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣。再如，這節(jié)課是學(xué)生第一次利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，為了解決這一難點(diǎn)，在課前設(shè)計(jì)中改變了教材中原有研究順序，讓學(xué)生從觀察一個具體橢圓圖形入手，從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，調(diào)動了學(xué)生主動參與教學(xué)的積極性，使他們進(jìn)行自主探究與合作交流，親身體驗(yàn)幾何性質(zhì)的形成與論證過程，變靜態(tài)數(shù)學(xué)為動態(tài)數(shù)學(xué)。

教學(xué)中也突出多媒體輔助知識產(chǎn)生、發(fā)展和突破重、難點(diǎn)的優(yōu)勢，從而強(qiáng)化學(xué)生對知識的過程與方法的掌握，有利于學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用。

六.教學(xué)過程

這是本節(jié)課教學(xué)過程的流程圖,我將本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計(jì)為五大環(huán)節(jié),特點(diǎn)是以知識與技能為載體，過程與方法為主線，情感、態(tài)度與價值觀為目標(biāo)的設(shè)計(jì)原則，突出多媒體這一教學(xué)手段在本節(jié)課輔助知識產(chǎn)生，發(fā)展和突破重難點(diǎn)的優(yōu)勢。

篇二：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

哈工大附中 閆曉麗

教材： 人民教育出版社a版選修1—1 【教學(xué)目標(biāo)】 1.知識目標(biāo)：

(1).使學(xué)生掌握橢圓的性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)正確地作出橢圓草圖；掌握橢圓中 a、b、c的幾何意義及相互關(guān)系；

(2)通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生知道在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)的，逐步領(lǐng)會解析法（坐標(biāo)法）的思想。(3)能利用橢圓的性質(zhì)解決實(shí)際問題。2.能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決 實(shí)際問題的能力。

3.德育目標(biāo)：(1)通過對問題的探究活動，親歷知識的建構(gòu)過程，使學(xué)生領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵 的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，體驗(yàn)探索中的成功和快樂，使學(xué)生在探索中喜歡數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)。(2)通過“神舟7號”飛天圓夢，激發(fā)學(xué)生愛國之情。

(3)培養(yǎng)學(xué)生既能獨(dú)立思考，又能積極與他人合作交流的意識和勇于探索創(chuàng)新的精神。

【教學(xué)重點(diǎn)】橢圓性質(zhì)的探索過程及性質(zhì)的運(yùn)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】利用曲線方程研究橢圓性質(zhì)的方法及離心率的概念。

【教學(xué)方法】發(fā)現(xiàn)探究式

【教學(xué)組織方式】學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流、師生共同探究相結(jié)合。

【教學(xué)工具】多媒體課件、實(shí)物投影儀。

【教學(xué)過程】

一．創(chuàng)設(shè)情境

教師：請同學(xué)們看大屏幕（課件展示“神舟 七號”飛船在變軌前繞地球運(yùn) 行的模擬圖）： 2008.9.25，是我國航天史上一個非常重要的日子，“神舟 七號”載人飛船成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了幾代中國人遨游太空的夢想,這是我們中華民族的驕傲。我們知道，飛船繞地運(yùn)行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中 心為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠(yuǎn)的距 離，即近地點(diǎn)距地面的距離和遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面的距離，如何確定飛船運(yùn)行的軌道方 程？要想解決這一實(shí)際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起 探求橢圓的性質(zhì)。（引出課題）

教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，誰能說說橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（學(xué)生回答）。

二．探索研究 1.范圍

教師：同學(xué)們繼續(xù)觀察橢圓，如果分別過a1、a2作y軸的平行線，過b1、b2作x軸的平行線（課件展示），同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生能答出：橢圓圍在一個矩形內(nèi)。

教師補(bǔ)充完整：橢圓位于四條直線x=±a, y=±b所圍成的矩形里，說明橢圓 是有范圍的。x2y2 教師：下面我們想辦法再用方程2+2=1(a>b>0)來證明這一結(jié)論的正確ab 性。啟發(fā)學(xué)生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。

從方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，師生共同分析，給出證明過程。x2y2 由2+2=1，利用兩個實(shí)數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識得，ab x2≤a2且y2≤b2,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．對稱性的發(fā)現(xiàn)與證明

教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦 點(diǎn)所在的直線上下對折，沿兩焦點(diǎn)連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質(zhì)？（學(xué)生動手折紙，課前教師要求學(xué)生把上節(jié)學(xué)習(xí)橢圓定義時畫的橢圓拿來。）

學(xué)生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對稱性。

教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？

稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對稱性。

教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結(jié)果，怎樣用方程證明它的對稱性？ 師生討論后，需要建立坐標(biāo)系，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。不妨建立焦點(diǎn)在xx2y2 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，它的方程就是2+2=1。ab 教師：這節(jié)課就以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例來研究橢圓的性質(zhì)。教師：這樣建立的坐標(biāo)系對稱軸恰好重合于坐標(biāo)軸，我們先證橢圓關(guān)于y軸對稱。

為了證明對稱性，先作如下鋪墊：（一起回顧）教師：在第一冊學(xué)過，曲線關(guān)于y軸對稱是指什么呢？

學(xué)生：曲線上的每一點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)仍在曲線上。

教師：要證曲線上每一點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)仍在曲線上，只要證明-----學(xué)生：曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)仍在曲線上。

在學(xué)生嘗試進(jìn)行問題解決的過程中，當(dāng)他們難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識的聯(lián)系時，這就需要教師適時進(jìn)行啟發(fā)點(diǎn)撥。

教師：同學(xué)們閱讀教材中橢圓對稱性的證明過程，仔細(xì)體會并思考“為什么把x換成-x時，方程不變，則橢圓關(guān)于y軸對稱”。

請一位學(xué)生講解橢圓對稱性的證明過程，以此來訓(xùn)練學(xué)生表述的邏輯性、完整性和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

教師對學(xué)生的證明進(jìn)行評價。

教師：用類似的方法可以證明橢圓關(guān)于x軸對稱,關(guān)于原點(diǎn)對稱。課件展示x2y2 對稱性并總結(jié)：方程2+2=1表示的橢圓，坐標(biāo)軸是其對稱軸，原點(diǎn)是其對稱ab 中心.從而橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,有一個對稱中心(簡稱中心).教師引導(dǎo)學(xué)生對這一環(huán)節(jié)進(jìn)行反思，即通過建立坐標(biāo)系，用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)，這種方法我們今后經(jīng)常用到。

投影顯示下圖及問題

問題：圖中的橢圓有對稱軸和中心嗎？

指導(dǎo)學(xué)生思考討論后獲取共識：坐標(biāo)系是用來研究曲線的重要工具，而橢圓的對稱性是橢圓本身固有的性質(zhì)，無論橢圓在坐標(biāo)系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對稱軸，有一個中心，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。（此問題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。3.頂點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)與確定

教師：我們研究曲線，常常需要根據(jù)曲線上特殊點(diǎn)的位置來確定曲線的位置。教師提問：你認(rèn)為橢圓上哪幾個點(diǎn)比較特殊？

由學(xué)生觀察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上存在著四個特殊點(diǎn)，這四個點(diǎn)就是橢圓與坐標(biāo) 軸的交點(diǎn)，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點(diǎn)。

教師啟發(fā)學(xué)生與一元二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點(diǎn)作類比，并給出橢圓的頂點(diǎn)定義。

教師：能根據(jù)方程確定這四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

由學(xué)生自主探究,求出四個頂點(diǎn)坐標(biāo)。即令x=0,得 y=±b，因此b1(0,-b), b2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此a1(-a,0), a2(a,0)。

結(jié)合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點(diǎn)明方程中a、b和c的幾何意義和數(shù)量關(guān)系。

由學(xué)生探究得出橢圓的一個焦點(diǎn)f2到長軸兩端點(diǎn)a1 , a2的距離分別為a+c 和a-c。教師指出，這在解決天體運(yùn)行中的有關(guān)實(shí)際問題時經(jīng)常用到。4．離心率

教師：我們在學(xué)習(xí)橢圓定義時，用同樣長的一條細(xì)繩畫出的橢圓形狀一樣 嗎？

同學(xué)們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。

請同學(xué)們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關(guān)呢？

課件動畫演示

此時學(xué)生展開討論，可能有的說與a、c有關(guān)，也可能說與a、b有關(guān)等等。通過觀察演示實(shí)驗(yàn)，化抽象為具體，引導(dǎo)學(xué)生思考。

教師引導(dǎo)學(xué)生從演示實(shí)驗(yàn)觀察到由于橢圓位于直線x=±a,y=±b圍成的矩形 里，矩形的變化對橢圓形狀的影響。

矩形越狹長，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當(dāng)矩形變?yōu)檎叫螘r，即a=b時,橢圓變?yōu)閳A。

即當(dāng)比值bb越小，橢圓越扁；比值越大，橢圓越接近于圓。aa bcbc2a2?c2a2?c2 由于 ===，所以當(dāng)越大時，越小，橢圓?()aaaaaa2 cbc越小時，越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，aaa 分析出離心率的范圍：0＜e＜1。

結(jié)論：橢圓在-a＜x＜a，-b＜x＜b內(nèi)，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說離心率是描述橢圓圓扁程度的量。

bc由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映橢圓的圓扁程度，為什aa c么定義是橢圓的離心率呢？因?yàn)閍、c這兩個量是橢圓定義中固有的，是決定a c橢圓形狀最關(guān)鍵的要素，隨著今后的學(xué)習(xí)可以看到還有更重要的幾何意義。a 三．鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用 越扁；當(dāng)

例1求橢圓 16x2?25y2?400 的長軸長、短軸長、離心率和頂點(diǎn)，并畫出它的草圖。

本題采用講練結(jié)合的方式。前一部分由學(xué)生口述求解過程，后一部分由教師 介紹畫橢圓草圖的方法（考慮到畫草圖對學(xué)生來說比較實(shí)用）。

解：由于a=5, b=4，c=25?16=3 橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=8 c3 離心率e== a5 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教師：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖，方法如下：（課件展示）

首先確定橢圓的四個頂點(diǎn)，其次畫出表示范圍的矩形框，然后畫出橢圓在第一象限的部分，最后根據(jù)對稱性用平滑的曲線將四個頂點(diǎn)連成一個橢圓的基本圖形。

教師提醒學(xué)生：畫圖時注意橢圓的對稱性和頂點(diǎn)附近的平滑性。

學(xué)生根據(jù)畫草圖的方法畫出上述方程表示的橢圓。

教師說明，如果需要比較準(zhǔn)確地畫出橢圓，可以按教材例1那樣，用描點(diǎn)法 畫出橢圓在第一象限的部分，再根據(jù)對稱性畫出整個橢圓（要求學(xué)生課下閱讀教材中的描點(diǎn)法作圖）。x2y2 練習(xí)：如果把例1中的橢圓方程改為+=1，則長軸長、短軸長、離心1625 率和頂點(diǎn)有什么變化。

此處是一個創(chuàng)新點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想解決問題的能力，也通過與上題

做比較，使學(xué)生體會到橢圓的性質(zhì)是其本身固有的，是客觀存在的，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

學(xué)生的回答可能會因?yàn)殚L軸位置發(fā)生變化而導(dǎo)致頂點(diǎn)坐標(biāo)出錯，教師要予以糾正。（此題用實(shí)物投影展示或由學(xué)生到黑板板書）

例2 我國發(fā)射的“神舟七號”飛船在變軌前是沿以地球的中心f2為一個焦 點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的。已知它的近地點(diǎn)a（離地面最近的點(diǎn)）距地面約為200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)b（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且f2、a、b在同一直線上，求飛船運(yùn)行的軌道方程。（結(jié)果精確到0.01km）

設(shè)置本題的主要意圖是:第一,為增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

師生共同分析：先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。（求神舟五號飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。

教師：求橢圓的方程又需要先做什么呢？（建立坐標(biāo)系）。怎樣建系？（以過a、b的直線為x軸，f2為橢圓的右焦點(diǎn)，記f1為左焦點(diǎn)x2y2 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（課件上作圖、建系）則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=1 ab(a>b>0)。

下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？

學(xué)生對照圖形認(rèn)真思考，相互討論由學(xué)生得出解法。

｜f2 a｜=6371+200，｜f2 b｜=6371+350 又∵｜f2 a｜=｜o a｜-｜of2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o a｜-｜of2｜=｜f2 a｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o b｜+｜of2｜=｜f2b｜=6371+350=6721 解得 a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 x2y2 因此，飛船的軌道方程為+=1 664626645.582 學(xué)生可能出現(xiàn)的另一種解法：

由2a =｜ab｜=｜bn｜+｜nm｜+｜ma｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜of2｜=｜o a｜-｜f2 a｜ =6646-6371-200=75 以下做法同上。

計(jì)算過程由學(xué)生用計(jì)算器求得。

教師最后課件展示：用計(jì)算機(jī)畫出飛船運(yùn)行的軌跡。

四．總結(jié)提煉

教師：通過這節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？（教師引導(dǎo)學(xué)生從知識和方法兩方面進(jìn)行歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)過程的意識）

篇三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案

課題：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)內(nèi)容是橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是在學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程之后展開的，它是繼續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容起到一個鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材。本教案的設(shè)計(jì)遵循啟發(fā)式的教學(xué)原則，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動能力。

教學(xué)目標(biāo)：了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點(diǎn)的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用橢圓的定義解決實(shí)際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義． 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法。

教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

二過程與方法目標(biāo)

（1）復(fù)習(xí)與引入過程

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點(diǎn)，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點(diǎn)的概念，容易得出橢圓的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及長軸、短軸的概念；④通過p48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．

〖板書〗橢圓的簡單幾何性質(zhì)．

（2）新課講授過程

（i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，知道對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點(diǎn)及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．

（ii）橢圓的簡單幾何性質(zhì) y2x2 ①范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，2?1?2?0，進(jìn)一步得：?a?x?a，同理可ba 得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心；

③頂點(diǎn)：先給出圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)．因此橢圓有四個頂點(diǎn)，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e?c叫做橢圓的離心率（0?e?1），a，b?當(dāng)e?1時，c?a，?圓圖形越扁?橢?0?當(dāng)e?0時，c?0，b?a；? ． ?橢圓越接近于 圓

（iii）例題講解與引申、擴(kuò)展

例1 求橢圓16x?25y?400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 分析：由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出a,b,c．引導(dǎo)學(xué)生

用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的定義即可求相關(guān)量．

擴(kuò)展：已知橢圓mx?5y?5m?m? 0?的離心率為e?22225 求m的值．

解法剖析：依題意，m?0,m?5，但橢圓的焦點(diǎn)位置沒有確定，應(yīng)分類討論：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，即0?m? 5時，有a?b?c?，∴?，得

m?3；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，即m?5時，有a?b?c?，∴?25?m?． 3 例2 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．過對對稱的截口bac是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)f1上，片門位于另一個焦點(diǎn)f2上，由橢圓一個焦點(diǎn)f1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點(diǎn)f2．已知bc?f1f2，f1b?2.8cm，f1f2?4.5cm．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口bac所在橢圓的方程． x2y2 解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?2?1，算出a,b,c的ab 值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則；②關(guān)于a,b,c的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定．

引申：如圖所示，“神舟”截人飛船發(fā)射升空，進(jìn)入預(yù)定

軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心f2為一個焦點(diǎn)的橢 圓，近地點(diǎn)a距地面200km，遠(yuǎn)地點(diǎn)b距地面350km，已知

地球的半徑r?6371km．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的軌跡方程．

例3如圖，設(shè)m?x,y?與定點(diǎn)f?4,0?的距離和它到直線l：x?25的距離的比是常數(shù)4 4，求點(diǎn)m的軌跡方程． 5 分析：若設(shè)點(diǎn)m?x,y?，則

mf?，到直線l：x?25的距離4d?x?25，則容易得點(diǎn)m的軌跡方程． 4 引申：（用《幾何畫板》探究）若點(diǎn)m?x,y?與定點(diǎn)f?c,0? a2 的距離和它到定直線l：x?的距離比是常數(shù)c a2cx?則點(diǎn)m的軌跡方程是橢圓．其中定點(diǎn)f?c,0?是焦點(diǎn)，定直線l：e??a?c?0?，ca a2 x??．相應(yīng)于f的準(zhǔn)線；由橢圓的對稱性，另一焦點(diǎn)f???c,0?，相應(yīng)于f?的準(zhǔn)線l?：(3)c 小結(jié)

1．知識總結(jié)：橢圓的幾何性質(zhì) 2．思想方法總結(jié)：

教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充、歸納、點(diǎn)評。

第五篇：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

<<橢圓的幾何性質(zhì)>>教學(xué)設(shè)計(jì)

山西省運(yùn)城中學(xué)

趙彥明

一、教學(xué)分析：

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

橢圓是生活中常見的曲線，是學(xué)生學(xué)習(xí)第二章所接觸到的第一個重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質(zhì)，對于后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線有著重要的指導(dǎo)作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)對象分析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)。按照學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，改變了教材中原有安排順序，引導(dǎo)學(xué)生從觀察課前預(yù)習(xí)所作的圖形入手，從分析對稱開始，循序漸進(jìn)進(jìn)行探究。

（三）教學(xué)環(huán)境分析

因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容比較抽象，再者學(xué)校條件的有限所以利用電腦模擬動點(diǎn)運(yùn)動,增強(qiáng)直觀性,激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、數(shù)學(xué)想像能力和抽象思維能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能

掌握橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，學(xué)會由已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的幾何性質(zhì)的一般方法與步驟。

（二）過程與方法

通過實(shí)際活動培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽象、概括的能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)；經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。

（三）情感與態(tài)度

通過有關(guān)橢圓幾何性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生研究橢圓的幾何性質(zhì)的積極性。

三、教學(xué)重難點(diǎn)及教具

（一）教學(xué)重點(diǎn)：由標(biāo)準(zhǔn)方程分析出橢圓的幾何性質(zhì)

（二）教學(xué)難點(diǎn)：橢圓離心率幾何意義的理解

（三）教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片，學(xué)生每人一個橢圓形紙板（同桌相同），直尺

四、教學(xué)方法過程及整合點(diǎn)

（一）教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)法、討論法、情境教學(xué)法、小組合作交流

（二）教學(xué)過程： １.創(chuàng)設(shè)情境，欣賞傾聽

這節(jié)課我們繼續(xù)研究有關(guān)橢圓的相關(guān)知識，在進(jìn)入本節(jié)課的知識之前，我們先看一段視頻短片：

（整合點(diǎn)：播放中央電視臺新聞中關(guān)于國家大劇院外部景觀介紹的視頻短片）﹝設(shè)計(jì)意圖:提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣﹞

提出問題：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設(shè)計(jì)呢？ ﹝設(shè)計(jì)意圖:激發(fā)學(xué)生的求知欲，引入課題﹞

教師指出其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特性？讓我們一起來研究一下——橢圓的幾何性質(zhì)，以方程x2y2??1(a?b?0)為研究對象。a2b2（板書）12.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)

2．探究問題，觀察發(fā)現(xiàn)

從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質(zhì)呢?學(xué)生紛紛討論之后老師確定從橢圓的 2

對稱性、頂點(diǎn)、范圍、離心率來探究。探究一：橢圓的對稱性

問題1：你能找到橢圓紙板的中心嗎？

﹝設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生直觀感知，操作確認(rèn)，更深入認(rèn)識橢圓的對稱性﹞

學(xué)生活動:用手中的紙板折紙——把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點(diǎn)，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。實(shí)物演示部分可以由學(xué)生同桌兩兩一組共同完成（整合點(diǎn)：學(xué)生通過實(shí)物投影儀展示活動成果，教師通過幾何畫板演示 “橢圓的對稱性.gsp”）

得出結(jié)論：橢圓具有對稱性。

①兩條折痕為對稱軸——橢圓是軸對稱圖形，它關(guān)于x軸和y軸對稱； ②實(shí)物演示：橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)180?后與原橢圓重合——橢圓也是中心對稱圖形，這時坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

問題2：從方程看如何判斷橢圓的對稱性？

﹝設(shè)計(jì)意圖:經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。﹞

學(xué)生討論：設(shè)P（x，y），則P點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲線關(guān)于x軸對稱，則P點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)也在曲線上，即（x，-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題3：通過上面研究同學(xué)們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有這些對稱性？

﹝設(shè)計(jì)意圖: 為培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問題的能力。為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。﹞

學(xué)生討論得出：以-x代x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；以-y代y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱；同時以-x代x、以-y代 y，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。

（板書）橢圓的對稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對稱。探究二：橢圓的頂點(diǎn)

問題4：橢圓與它的對稱軸有交點(diǎn)嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點(diǎn)？你能求出交點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?

學(xué)生易得：橢圓與對稱軸有交點(diǎn)，有四個交點(diǎn)。問題5：從方程看如何求出橢圓的頂點(diǎn)？ ﹝設(shè)計(jì)意圖:體驗(yàn)用代數(shù)的方法研究幾何問題過程﹞ 令x=0則有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教師指出：其實(shí)，我們把橢圓x2?y2?1(a?b?0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

abA1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)就叫做橢圓的頂點(diǎn)。

其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長軸在x 軸上。（整合點(diǎn)：教師通過ppt演示 “橢圓的頂點(diǎn)”）

（板書）橢圓的頂點(diǎn)：A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)。探究三：橢圓的范圍

問題6：請同學(xué)們拿起手中的作業(yè)紙，思考如果在一張矩形紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應(yīng)如何做？

﹝設(shè)計(jì)意圖: 讓學(xué)生通過動手操作更深入認(rèn)識橢圓的范圍﹞

學(xué)生活動:分小組討論，并動手解決本問題，盡量使回答準(zhǔn)確、精練。得出結(jié)論：橢圓是有范圍的。

教師引導(dǎo)學(xué)生動手動腦，將具體實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)圖形，數(shù)學(xué)問題，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)來研究：如下圖，﹝設(shè)計(jì)意圖:利用“橢圓的頂點(diǎn).ppt”課件展示，使學(xué)生直觀

感性認(rèn)識橢圓范圍所在區(qū)域﹞

學(xué)生得出：橢圓位于直線x??a,y??b所圍成的矩形內(nèi)。

問題7：如何從數(shù)的角度（也就是方程）來驗(yàn)證我們剛才從直觀（也就是形）得來的結(jié)論呢？

﹝設(shè)計(jì)意圖:體驗(yàn)用代數(shù)的方法研究幾何問題過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想﹞

（整合點(diǎn)：用多種方法探究，匯報(bào)研究成果并用實(shí)物投影展示或到黑板板書。）學(xué)生可能有如下方法: 方法1：由且，則有

利用兩個實(shí)數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識得

。那么它的范圍就是直線所圍成的區(qū)域。

方法2：從中解出，利用可得y的取值范圍，同樣可得x的取值范圍。

方法3：把和分別看作是一個函數(shù)，只需求范圍。的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得(板書)教師指出橢圓的范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：橢圓的離心率

橢圓的簡單的幾何性質(zhì)中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學(xué)生的理解與接受，設(shè)計(jì)如下的課堂活動，讓全體學(xué)生參與到課堂中來，在自己的探究中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，學(xué)習(xí)的快樂，并且可以使不同程度的學(xué)生都有所收獲。

問題8：請同學(xué)們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？

﹝設(shè)計(jì)意圖:在同學(xué)們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關(guān)注想與大家交流，同時，在其他同學(xué)們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關(guān)注其他同學(xué)手中的橢圓的形狀，進(jìn)而與自己手中的橢圓進(jìn)行比較。在比較的過程中就會發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。﹞

有的同學(xué)手中的橢圓形紙板扁長，有的同學(xué)手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學(xué)手中的橢圓更接近于圓形。

本過程中，由具體的同學(xué)們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標(biāo)系中橢圓形狀的變化的過程中，幾何畫板的強(qiáng)大功能會發(fā)揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓學(xué)生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進(jìn)而對橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認(rèn)識。

(整合點(diǎn)：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長不變，拖動兩焦點(diǎn)改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學(xué)生觀察出橢圓形狀的變化。)

教師指出：在剛才的演示中，我們發(fā)現(xiàn)在橢圓長軸長不變的前提下，兩個焦點(diǎn)離開中心的程度不一樣，可以用離心率來描述

1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。2）定義式：問題9：那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關(guān)系呢？

﹝設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變化的規(guī)律，他到突破難點(diǎn)的效果﹞

再一次演示幾何畫板。學(xué)生發(fā)現(xiàn)不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。

從式子上看：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時

時的特例。，此時也可認(rèn)為線段為橢圓也可認(rèn)為圓為橢圓在橢圓變扁，直至成為極限位置線段在時的特例。

(板書)橢圓的離心率：3．反思構(gòu)建，性質(zhì)應(yīng)用，1）求橢圓9x2＋25y2＝225的長軸和短軸的長，離心率、交點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。2）下列各組橢圓中，哪一個更接近于圓？

x2y2(1)4x?9y?36與??12520x2y222(2)9x?4y?36與??11216223）請你動手用尺子測量一下你手中的橢圓的長軸長和短軸長，寫出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

由于每個同學(xué)手里的橢圓長軸與短軸長度不一樣，因此在這個過程中學(xué)生都熱情非常高的參與到這個測量的活動中來，進(jìn)而寫出其手中的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

本過程兩個方面考察學(xué)生對于橢圓及其幾何性質(zhì)的掌握,應(yīng)用2)更是突出了對學(xué)生的實(shí)際動手能力和觀察能力的培養(yǎng)。4．課堂小結(jié)，競爭合作

請你談?wù)勍ㄟ^這節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)習(xí)到了什么?并且請各組成員互相評價。5．首尾呼應(yīng), 解決問題

我們對于橢圓的幾何性質(zhì)的探索由來已久，現(xiàn)在橢圓的幾何性質(zhì)也正在被廣泛的應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，國家大劇院是其中最典型的代表之一。當(dāng)然,國家大劇 7

院之所以會選擇了橢球形的設(shè)計(jì)，還有其他方面的考慮，例如很多科技方面的因素,感興趣的同學(xué)可以自己課下查找一些資料,對這個問題全面了解。6．課后作業(yè)，鞏固提高

1）求出你的橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)，離心率，并通過測量將焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)在你的橢圓上；

2）完成焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)的研究。

探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中的其他應(yīng)用。