第一篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時:第2課時 授課時間: 授課類型：新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3．情態(tài)與價值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)善于思考、勤于動手的學(xué)習(xí)品質(zhì)。【教學(xué)重點】利用均值定理求極值與證明?！窘虒W(xué)難點】利用均值定理求極值與證明。

【教學(xué)過程】

1、復(fù)習(xí)：

定理：如果a,b是正數(shù)，那么

a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”號).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當(dāng)x取什么值時，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個底面積為12m2，深為3m的長方體無蓋水池，如果底面造價每平方米600元，側(cè)面造價每平方米400元，問怎樣設(shè)計使總造價最低，最低總造價是多少元？

9）一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結(jié)：利用均值定理求極值

課堂練習(xí)：第73頁習(xí)題3-2B:1,2 課后作業(yè)：第72頁習(xí)題3-2A:3,4,5 2

板書設(shè)計：

教學(xué)反思：

第二篇：均值不等式教案

§3.2 均值不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解均值不等式

2.能利用均值不等式求最值或證明不等式

【教學(xué)重點】

掌握均值不等式

【教學(xué)難點】

利用均值不等式證明不等式或求函數(shù)的最值，【教學(xué)過程】

一、均值不等式：

均值定理：如果a,b?R?,那么_______________________(當(dāng)且僅當(dāng)_______時取等號)證明：

定理說明：

a?b1、稱為正數(shù)a,b的______________稱ab為正數(shù)a,b的___________因2此定理又?jǐn)⑹鰹椋篲_______________________________________

2、幾種變形：

（１）a?b?2ab

（_______________）

?a?b?

（２）???ab

（_______________）

2??

（３）a2?b2?2ab

（_______________）

3、應(yīng)用定理注意的問題：

（１）應(yīng)用定理的條件_____________________

（２）定理注意_____________________

二、定理應(yīng)用：證明簡單的不等式或求最值

ba例

1、已知ab?0，求證：??2

ab

1例

2、當(dāng)x?0時,求x?的最值,并求取最值時x的值.x

21??1??變式：

1、已知a,b?R?,求證:?a???b???4

a??b??

2、若x?3,函數(shù)y?x?

13、若x?0,求x?的最值.x1,當(dāng)x為何值時函數(shù)有最值,此時x是何值? x?3

?2x2?x?3?x?0?的最大值,以及此時x的值.例

3、求函數(shù)f?x??x

x2?2x?3?x?0?的最小值及取得最小值時x的值.變式：求函數(shù)f?x??x

例

4、（1）一個矩形的面積為100m2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？

（2）已知矩形的周長為36cm，問這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？

結(jié)論：（１）___________________________________________________

（２）___________________________________________________ 變式：已知直角三角形的面積為50，問兩直角邊各為多少時，它們的和最??？這個最小值是多少？

課堂小結(jié)：

課后練習(xí)：課本練習(xí)A、B

第三篇：均值不等式教案

3．2均值不等式 教案（3）

（第三課時）

教學(xué)目標(biāo)：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用

教學(xué)重點：

了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用

教學(xué)過程

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應(yīng)設(shè)法通過適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用不等式的性質(zhì)證得原命題．

a2b2c

2???a?b?c 例

2、若a,b,c?R，則bca?

本題若用“求差法”證明，計算量較大，難以獲得成功，注意到a , b , c∈R，從結(jié)論的特點出發(fā)，均值不等式，問題是不難獲證的．

＋

例

3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca 證明：∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca

以上三式相加：2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca

∴a?b?c?ab?bc?ca

例

4、已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222

2分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時證明：∵a,b,c,d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞得

ab?cdac?bd??0,??0.22

由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

小結(jié)：正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

課堂練習(xí)：第77頁練習(xí)A、B

課后作業(yè)：略

第四篇：均值不等式教案2

課 題： 第02課時 三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式(第二課時）教學(xué)目標(biāo)：

1．能利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題； 2．了解基本不等式的推廣形式。

教學(xué)重點：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

教學(xué)難點：利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題 教學(xué)過程：

一、知識學(xué)習(xí)：

定理3：如果a,b,c?R?，那么推廣：

a?b?c3?abc。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時，等號成立。3a1?a2???ann≥a1a2?an。當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時，等號成立。

n語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

思考：類比基本不等式，是否存在：如果a,b,c?R?，那么a?b?c?3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時，等號成立）呢？試證明。

二、例題分析： 例1：求函數(shù)y?2x?223333(x?0)的最小值。x解一： y?2x?31112?2x2???332x2???334∴ymin?334 xxxxx33312223解二：y?2x??22x??26x當(dāng)2x?即x?時 x2xx23 ∴ymin?26?12?23312?26324 21的最小值。

(a?b)b上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？ 變式訓(xùn)練1 若a,b?R?且a?b,求a?由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關(guān)鍵是要_____________________ 例2 ：如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？

變式訓(xùn)練2 已知：長方體的全面積為定值Ｓ，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值． 由例題，我們應(yīng)該更牢記 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定____________，和定______________.三、鞏固練習(xí)1.函數(shù)y?3x?12(x?0)的最小值是（）2xA.6

B.66

C.9

D.12 2．函數(shù)y?x4(2?x2)(0?x?2)的最大值是（）

D.2727A.0

B.1

C.四、課堂小結(jié)：

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

P10習(xí)題1.1第11，12，13題

六、教學(xué)后記：

第三課時（略）

第五篇：不等式證明,均值不等式

1、設(shè)a,b?R，求證：ab?(ab)?aba?b2?abba2、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a24、設(shè)a,b?R?，且a?b?1，求證：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求證：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求證：a?b?

7、a,b,c,d?R求證：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c11118、求證2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求證：?2n?1n?22n10、求下列函數(shù)的最值

（1）已知x＞0，求y?2?x?

（2）已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2）x1的最小值（4）x?

2111（3）已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（）221611、若正數(shù)a,b滿足ab?(a?b)?1則a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正數(shù)a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值為（）（4）

13、求函數(shù)y?

14、二次函數(shù)f(x)?x?ax?x?a的兩根x1,x2滿足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范圍（）（0，15、關(guān)于x的方程x?2m(x?3)?2m?14?0有兩個實數(shù)根，且一個大于1，一個小于1，則m的取值范圍是（）（m＜-

22221）

416、關(guān)于x的方程mx?2x?1?0至少有一個負(fù)根，則m的取值范圍是（m?1）

17、關(guān)于x的方程2kx?2x?3k?2?0有兩個實數(shù)根，一個小于1，另一個大于1，求實數(shù)k的取值范圍（k＞0或k＜-4）

218、為使方程x2?2px?1?0的兩根在（-2,2）內(nèi)，求p的取值范圍（-＜p＜

19、函數(shù)f(x)?ax2?x?1有零點，則a的取值范圍是（a?

20、判斷函數(shù)f(x)?x-

21、已知方程x?22343）41）41?1的零點的個數(shù)（一個）x3?95?x?k在??1,1?上有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍（??,?）2?162?

22、已知方程7x2?(m?13)x?m2?m?2?0有兩個實數(shù)根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范圍（(?2,?1)?(3,4)）

23、關(guān)于的方程2ax?x?1?0在（0,1）內(nèi)恰有一解，求實數(shù)a的取值范圍(1,??)

24、若關(guān)于的方程lg(x

x2x2?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一實根，求a的取值范圍