第一篇：均值不等式說課稿

說課題目：高中數(shù)學人教B版必修第三章第二節(jié)

-------均值不等式（1）

一、本節(jié)內(nèi)容的地位和作用

均值不等式又叫做基本不等式，選自人教B版（必修5）的第3章的2節(jié)的內(nèi)容，是在上節(jié)不等式性質(zhì)的基礎上對不等式的進一步研究．同時也是為了以后學習中的幾種重要不等式，以及不等式的證明作鋪墊，起著承上啟下的作用。

本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識靈活解決實際問題的能力。

二、教學目標和重難點

教學目標：

1.知識與技能：學會推導并掌握均值不等式，理解這個均值不等式的幾何意義，并掌握定理中取等號的條件。

2.過程與方法：探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法； 培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3.情感態(tài)度與價值觀： 通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)。

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認為結果固然重要，但數(shù)學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。

三、教法、學法

教法：本節(jié)課主要采用探究歸納，啟發(fā)誘導，講練結合的教學方法。以學生為主體，以均值不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索 學法： 從實際生活出發(fā)，通過創(chuàng)設問題情境，讓學生經(jīng)歷由實際問題出發(fā)，探求均值不等式，發(fā)現(xiàn)均值不等式的實質(zhì)，利用均值不等式解決實際問題的過程。

四、學情分析

學生已學習了不等關系和不等式的性質(zhì)，這為本節(jié)課學習奠定了必要的知識基礎。學生具有一定的分析能力、觀察能力，思維較活躍。但數(shù)學基礎相對比較薄弱，缺乏知識的探究歸納能力。

五、教學流程圖

六、教學過程設計

1、創(chuàng)設情境

從古至今中國人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動了和推動著世界的前進，在這璀璨的星空里，最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國際數(shù)學家大會會徽的《趙爽弦圖》

如圖

如圖，在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長

為a,b那么正方形的邊長為

, 這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積

為

由于4個直角三角形的面積和小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式 a2?b2?2ab

2、探索發(fā)現(xiàn)

均值不等式：

a?b 如果a>0，b>0那么 2?ab當且僅當a=b時，式中等號成立。

3、例題講解

例

矩形的面積為100m 2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形周長最短。最短周長是多少？ 解題

1：審題（把實際問題數(shù)學化）

2：分析（矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù)，求長與寬的和的2倍的最小值；）3：解題

4：回顧（給出規(guī)律：規(guī)律：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值）。

4、自我嘗試

練習：

已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？ 規(guī)律：

兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值

5、歸納總結：

知識：:均值定理及其成立的條件，及其均值定理的應用

方法：一正，二定，三相等。思想：類比和數(shù)形結合的思想

七、說明：

本節(jié)課采取多媒體展示，師生互動，生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。

第二篇：均值不等式說課稿

《均值不等式》說課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國星

尊敬的各位評委、老師們：

大家好！我今天說課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學目標，教學重點、難點，教學方法，學生學法，教學過程，板書設計，效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內(nèi)容。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學習有利于學生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學目標：

1、知識與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。

2、過程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法；

（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3、情感態(tài)度與價值觀：

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；

（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度；

(3)認識到數(shù)學是從實際中來，通過數(shù)學思維認知世界。

三、教學重點和難點：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認為結果固然重要，但數(shù)學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應用，需重點掌握，而用好均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學重點。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出現(xiàn)錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。

四、教學方法：

為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點，我本著以教師為主導的原則，再結合本節(jié)的實際特點，確定本節(jié)課的教學方法。

突出重點的方法：我將通過引導啟發(fā)、學生展示來突出均值不等式的推導；通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點的方法：我將采用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調(diào)均值不等式和

來突破均值不等式成立的條件這個難點。

此外還將繼續(xù)采用個人和小組積分法，調(diào)動學生積極參與的熱情。

五、學生學法：

在學生的學習中，注重知識與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學生是主體，具體如下：

1、課前預習----學會；、明確重點、解決疑點；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭相回答；

4、自主探究----學生實踐，鞏固提高；

六、教學過程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式，運用學案導學開展本節(jié)課的教學，首先進行

:課前預習

（一）成果反饋

1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實生活中的問題：

“今有一臺天平，兩臂不等長，要用它稱物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質(zhì)量分別為a,b，問：能否用a,b的平均值表示物體的真實質(zhì)量？若不能，這二者是什么關系？”

進行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導出式中等號成立的條件。

與此同時，其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題，教師巡視并參與討論，適時點撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對嗎？

② 等號成立的條件，當且僅當__________時，________=_________ ③ 語言表述：兩個___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點：兩個正數(shù)的______中項不小于它們的_____中項

。⑥ 幾何解釋（見右圖）：________________

⑦常見變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個矩形的面積為100 m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有______值； 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有______值。

等待兩名同學做完后，適時終止討論，學生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動學生上來捉錯（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結合多媒體進行有針對性的講解（重點應強調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程，使定理“形化”），進一步加深學生對定理的認識及應用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點撥 1.例：求函數(shù)f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時x的值。

先和學生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學生們獨立完成，教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題，通過多媒體演示來解決問題，該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對錯：

?這幾道辨析題先讓學生們捉錯，再由

多媒體給出答案，創(chuàng)設情境加深學生對用均值定理求函數(shù)最值時注意“一正、二定、三相等”的認識

（三）有效訓練

1.(獨立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”，待學生完成后，隨機抽取幾名學生說一下答案，選D，應該不會有問題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0)，當α為何值時，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運用均值不等式不會出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學生討論過后，先通答案，??2時扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺上講解，及時反饋矯正。

（四）本節(jié)小結

小結本節(jié)課主要內(nèi)容，知識點，由學生總結，教師完善，不外乎： 1.兩個重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

?

2.用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達標（必做，獨立完成）：

1、課本第71頁練習A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數(shù)f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過作業(yè)使學生進一步鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容，注重分層次設計題目，更加關注學生的差異。

七、板書設計：

由于本節(jié)采用多媒體教學，板書比較簡單，且大部分是學生的展示。

八、效果分析：

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式，通過學案導學，多媒體展示，師生互動，生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。

我的說課到此結束，懇請各位評委和老師們批評指正，謝謝！

第三篇：均值不等式說課稿1

一教材分析

1、教材地位和作用

均值不等式又叫做基本不等式，選自人教B版（必修5）的3章的2節(jié)的內(nèi)容，是在上節(jié)不等式性質(zhì)的基礎上對不等式的進一步研究．同時也是為了以后學習中的幾種重要不等式，以及不等式的證明作鋪墊，起著承上啟下的作用。

本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識靈活解決實際問題的能力。

“均值不等式”在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值是高考的熱點。它在科學研究、經(jīng)濟管理、工程設計上都有廣泛的作用。

2、教學目標

A．知識目標：學會推導并掌握均值不等式，理解這個均值不等式的幾何意義，并掌握定理中取等號的條件.B．能力目標：通過對均值不等式的推導過程，提高學生探究問題，分析與解決問題的能力。參透類比思想，數(shù)形結合的思想，優(yōu)化了學生的思維品質(zhì)。

C.情感目標:（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。（2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)，并形成勇于提出問題、分析問題的習慣。

3、教學重點、難點：

重點：

通過對新課程標準的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認為結果固然重要，但數(shù)學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點

難點：

很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點

二教法學法分析

1.教法

本節(jié)課主要采用探究歸納，啟發(fā)誘導，講練結合的教學方法。以學生為主體，以均值不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索。

2、教學手段

為了使抽象變?yōu)榫唧w，我使用了多媒體。為了突出重點我使用了彩色粉筆。3，學法

從實際生活出發(fā)，通過創(chuàng)設問題情境，讓學生經(jīng)歷由實際問題出發(fā)，探求均值不等式，發(fā)現(xiàn)均值不等式的實質(zhì)，利用均值不等式解決實際問題的過程。使學生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解并掌握基本不等式。

三教學過程

（一）、創(chuàng)設情景，引入課題

從古至今中國人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動了和推動著世界的前進，在這璀璨的星空里，最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國際數(shù)學家大會會徽的《趙爽弦圖》（動畫打出）。

如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。這就是公元前1000多年前我國數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經(jīng)》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》；它比歐洲畢達哥拉斯學派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。

你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？

設計意圖：勾起學生強烈的民族自豪感和強烈的求知欲，并對學生滲透愛國主義教育，同時告訴學生記住我國光輝而燦爛的歷史。

探究圖形中的不等關系（用提問題的方式）

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。

設直角三角形的兩條直角邊長為a,b

4個直角

22三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為a?b。

由于4個直角三角形的面積和小于正方形的面積，22我們就得到了一個不等式：a?b?2ab。

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，22正方形EFGH縮為一個點，這時有a?b?2ab。

22a,b?R,那么a?b?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)得到結論：重要不等式：如果

具有這種形式的式子就是我們今天要討論的問題.（二）新課講授。

1給出均值定理（在老師寫均值不等式定理時，要求同學在課本上了解均值定理，并思考怎樣證明。），師生一起證明均值不等式。

a?ba?0，b?0)2要證：?????????①

即證：a?b????????????②

要證②，只要證：a?b??0????③

2要證③，只要證：（-）?0 ??④

點評，強調(diào)取等條件；

2.?a?b2的幾何意義 a?b?a?0，b?0)2當a≠b時，OC>CD，即

a?b?當a=b時，OC=CD，即

2我們是否能從圖中看見當D向O點移動時CD是逐漸變長了，當D,O重合時CD最長，并且a=b.a?b

3.在數(shù)學中，我們稱2為正數(shù)a、b的算術平均數(shù)，稱ab為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).均值不等式還可敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).設計意圖：探索發(fā)現(xiàn)，觀察歸納，形成概念，加深對均值不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力．讓學生積極的參與到學習中來，激發(fā)學生的學習興趣。

（三）例題講解（精講第一題）

例，矩形的面積為100 m2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形周長最短。最短周長是多少？

用波利亞的4環(huán)節(jié)來進行解題

1：審題（把實際問題數(shù)學化）

2：分析（矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù)，求長與寬的和的2倍的最小值；）3：解題

4：回顧（給出規(guī)律：規(guī)律：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值）。

設計意圖：這個例題體現(xiàn)了基本不等式的實用價值。隨著高考綜合科目的確定，聯(lián)系各個學科的試題將會不斷出現(xiàn)，數(shù)學作為工具性的學科，學好數(shù)學，也增強了攻讀好其他學科的信心。

為了體現(xiàn)夸美紐斯的鞏固性原則，我設計了下面練習。

練習：已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

先老師對該練習進行提示，再抽一位同學在黑板上來練習，其他同學在下面練習。做完后大家一起點評該練習，不讓同學通過上面的回顧來終結下面的規(guī)律：

兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值

四小結（教師引導學生小結本節(jié)課）:

知識:均值定理及其成立的條件，及其均值定理的應用

方法：一正，二定，三相等。

思想：類比和數(shù)形結合的思想。

設計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

五作業(yè)：

基礎題：課本 第77頁A組 1.提高題：課本 第77頁A組 3.4研究題：設正數(shù)a、b,試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式

板書設計：

為了更好的板書本節(jié)課的內(nèi)容，使整個板面重點突出，層次分明，我將黑板分為四版.定理例題練習副版

定理的證明講解講解

第四篇：均值不等式及其應用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復習數(shù)學學案

均值不等式及其應用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.重難點：1.主要考查應用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設正實數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學）設a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓練

2、已知a,b,c都是實數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第五篇：常用均值不等式及證明證明

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數(shù)滿足Hn?Gn?

An?Qn

?、ana1、a2、?R?，當且僅當a1?a2??

?an時取“=”號

僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用

均值不等式的變形：

(1)對實數(shù)a,b，有a

2?b2?2ab(當且僅當a=b時取“=”號)，a,b?0?2ab

(4)對實數(shù)a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對非負實數(shù)a,b，有

(8)對實數(shù)a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對實數(shù)a,b,c，有

均值不等式的證明：

方法很多，數(shù)學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B

n

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學歸納法)。

當n=2時易證；

假設當n=k時命題成立，即

那么當n=k+1時，不妨設ak?1是則設

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設

下面介紹個好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數(shù)f?x?,x1,x2,?,xn是函數(shù)f?x?在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個點，設f?x??lnx，f

?x?為上凸增函數(shù)所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）