第一篇：九年級數(shù)學(xué)下冊 第一章 第一節(jié) 從梯子的傾斜程度談起教案 北師大版

遼寧省凌海市石山初級中學(xué)九年級數(shù)學(xué)下冊 第一章 第一節(jié) 從梯子的傾斜程度談起教案（2）北師大版

一、學(xué)生知識狀況分析

本節(jié)課從生活實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生觀察多種梯子傾斜的情況，對于梯子的傾斜問題學(xué)生在生活中也有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，可以很容易通過觀察分析出簡單的梯子傾斜情況，但對于傾斜角度非常接近的情況，就需要通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)利用直角三角形三邊的關(guān)系來判斷。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下： 知識與技能：

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能夠用正切進(jìn)行簡單的計算.過程與方法：

1.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題.提高解決實(shí)際問題的能力.2.體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.情感態(tài)度與價值觀：

1.積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)：理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)：理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備——社會調(diào)查、情境引入、統(tǒng)計圖的選擇、合作學(xué)習(xí)、練習(xí)提高、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié) 生活情景（獲取信息，體會特點(diǎn)）

活動內(nèi)容：從生活實(shí)踐開始，讓學(xué)生思考如何測量一座古塔的高度，并回答以下問題：

１在直角三角形中,知道一邊和一個銳角,你能求出其它的邊和角嗎？ ２猜一猜,這座古塔有多高? ３想一想,你能運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測出這座古塔的小明在A處仰望塔頂,測得∠1的大小,再往塔的方向前進(jìn)50m到B處,又測得

∠2的大小,根據(jù)這些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的嗎？

活動目的：讓學(xué)生初步從生活中去體會利用直角三角形的邊角關(guān)系，可以知道一邊和一個銳角,求出其它的邊和角，并通過測古塔高度這一實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生初步感受到傾斜程度在生活中的應(yīng)用。

實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生能理解小明測古塔的方法，并能初步感受到傾斜程度在生活中的應(yīng)用，生動的課堂引入讓學(xué)生很快進(jìn)入了求知的狀態(tài)。

第二環(huán)節(jié) 同類問題的多種分析，課題引入

活動內(nèi)容：

1、分析４位同學(xué)的四個相同的問題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)探索梯子的傾斜程度。問題：下列４個圖中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

２、引出思考：

?直角三角形的邊與角的關(guān)系

1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關(guān)系? B1C1AC1B2C2AC2(2).和有什么關(guān)系?

３如果改變B2在梯子上的位置(如B3C3)呢? ４由此你得出什么結(jié)論?

活動目的：讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲。形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣。并讓他們從實(shí)例中發(fā)現(xiàn)不同情況中對比梯子的傾斜程度需要除了觀察還需要更多其他方法。

實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生經(jīng)過前一環(huán)節(jié)對測量古塔的高度一例已經(jīng)有了對梯子傾斜度的初步認(rèn)識，對與上面4個圖，學(xué)生可以很快分辨出圖1和圖4中梯子的傾斜程度，但是對于兩條直角邊長度都不一致的圖2圖3感到難度，并且發(fā)現(xiàn)需要利用其他新的知識來認(rèn)識梯子 的傾斜程度，這也就很自然地引入了本節(jié)課的知識點(diǎn)：正切值。

第四環(huán)節(jié) 課題重點(diǎn)

活動內(nèi)容： 正切的定義

（1）明確各邊的名稱。（2）tanA??A的對邊?A的鄰邊B斜邊A。

∠A的對邊C∠A的鄰邊（3）明確要求：1）必須是直角三角形；2）是∠A的對邊與∠A的鄰邊的比值。（4）tanA的值越大，梯子AB越陡；∠A越大,梯子AB越陡。

活動目的：經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

實(shí)際教學(xué)效果： 學(xué)生經(jīng)歷了觀察、探索等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。通過上面的例子體驗(yàn)了數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提高解決實(shí)際問題的能力。理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

第五環(huán)節(jié) 練習(xí)與提高

活動內(nèi)容： １例1 下圖表示兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡?

２如圖，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，求BC、AB的長。

３、如圖，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.BCA活動目的：讓學(xué)生運(yùn)用新知識能解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題，并將進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想，體會數(shù)形結(jié)合的方法。學(xué)生能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡單的計算。

實(shí)際教學(xué)效果：以上３個例題都比較基礎(chǔ)，并且層層深入，其中第３題，學(xué)生需要做輔助線，加深學(xué)生對正切的理解，正切的前提必須是一個直角三角形。

第六環(huán)節(jié) 小結(jié)與拓展

活動內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)本堂課所學(xué)的知識點(diǎn)

活動目的：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談自己的收獲與感想（學(xué)生暢所欲言，教師給予鼓勵），讓學(xué)生能正確闡述對正切、傾斜程度、坡度等數(shù)學(xué)意義的理解。

實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生能暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，對各知識點(diǎn)掌握透徹。

第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè)

作業(yè)：書本 P 6 隨堂練習(xí)： 1、2 ；習(xí)題1.1 1、2四、教學(xué)反思

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能運(yùn)用新知識解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想，體會數(shù)形結(jié)合的方法。但是課堂上學(xué)生的參與還不足，學(xué)生的積極回答還有待進(jìn)一步提高。

第二篇：從梯子的傾斜程度談起教案

《從梯子的傾斜程度談起》教學(xué)設(shè)計

哈鎮(zhèn)學(xué)校 付利萍

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識目標(biāo)

1．經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系．

2．能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡單的計算．

(二)能力目標(biāo)

1．經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn)． 2．體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提高解決實(shí)際問題的能力． 3．體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．(三)情感與價值觀

1．積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲． 2．形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣．教學(xué)重點(diǎn) 1．從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系．

2．理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系． 教學(xué)難點(diǎn)

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比． 教學(xué)方法 引導(dǎo)—探索法． 教具準(zhǔn)備 WPS演示文稿 教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

課件展示“小猴爬梯找香蕉”圖片及問題引入課題

二、講授新課

[師]梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w．我們經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的？“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的？請同學(xué)們看下圖，并回答問題(用多媒體演示3、4、5、)學(xué)生小組討論，并匯報。

[師]通過三個實(shí)例，我們明確了要想判斷兩個梯子哪個更陡，可以通過兩個直角三角形的兩直角邊的比值來判斷，也就是說可以運(yùn)用兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度。

多媒體演示：

[師]如果我現(xiàn)只有一個梯子AB1搭在城墻上,而我手中只有皮尺與計算器，請你設(shè)想一下，我可以通過測量哪些數(shù)據(jù)來刻畫梯子AB1的傾斜程度。[生]討論小結(jié)

[師]如果我的皮尺沒那么長，或我不想爬到城墻上來測量，那我還可以通過測量什么來刻畫梯子的傾斜程度呢？

[生]討論小結(jié)

[師]也就是說無論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的． 現(xiàn)在如果改變∠A的大小，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？ [師]你又能得出什么結(jié)論呢？ [師]介紹正切的概念。（多媒體演示）注意：

1．tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”． 2．tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比． 3．tanA不表示“tan”乘以“A”．

4．初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切． 思考：1．∠B的正切如何表示？

2．前面我們討論了梯子的傾斜程度，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎？ [師]tanA的值越大，梯子越陡；反過來，梯子越陡，tanA的值越大。[變式訓(xùn)練]多媒體演示 [例題講解]多媒體演示課本例1 [師]像我們在日常生活中研究梯子的傾斜程度類似，在工程上也經(jīng)常研究上坡的坡度，正切也經(jīng)常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度．例如：展示第11張幻燈片

[例題講解]多媒體演示例2

三、隨堂練習(xí)多媒體演示 見課本P6

四、課時小結(jié)

五、課后作業(yè)

第三篇：從梯子的傾斜程度談起教案

教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡單的計算.(二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提高解決實(shí)際問題的能力.3.體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.(三)情感與價值觀要求1.積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.教學(xué)方法引導(dǎo)探索法.教具準(zhǔn)備FLASH演示教學(xué)過程Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現(xiàn)：[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2]隨著改革開放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過多少年的城市發(fā)展，上海最高大廈的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎?通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書課題1.1.1從梯子的傾斜程度談起).

第四篇：(教案)從梯子的傾斜程度談起

第一章 直角三角形的邊角關(guān)系

§1.1 從梯子的傾斜程度談起

課時安排 2課時 從容說課

直角三角形中邊角之間的關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之—.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊與角的關(guān)系問題.本節(jié)首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第—個銳角三角函數(shù)——正切.因?yàn)橄啾戎?，正切是生活?dāng)中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節(jié)從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角：三角形邊角關(guān)系的過程中，理解銳角三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計算.本節(jié)的重點(diǎn)就是理解tanA、sinA、cosA的數(shù)學(xué)含義.并能夠根據(jù)它們的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行直角三角形邊角關(guān)系的計算，難點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)情境中理解tanA、sim4、cosA的數(shù)學(xué)含義.所以在教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際的問題情境，引出銳角三角函數(shù)的概念，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，鼓勵他們有條理地進(jìn)行表達(dá)和思考，特別關(guān)注他們對概念的理解.第一課時

課 題

§ 1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點(diǎn)

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進(jìn)行簡單的計算.(二)能力訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題.提高解決實(shí)際問題的能力.3.體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.(三)情感與價值觀要求

1.積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)

1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.教學(xué)方法

引導(dǎo)—探索法./ 8 教具準(zhǔn)備

FLASH演示 教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現(xiàn)： [問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎? [問題2]隨著改革開放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過多少年的城市發(fā)展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎? 通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書課題§1.1從梯子的傾斜程度談起).Ⅱ.講授新課

用多媒體演示如下內(nèi)容：

[師]梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w.我們經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的?請同學(xué)們看下圖，并回答問題(用多媒體演示)(1)在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?

[生]梯子AB比梯子EF更陡./ 8 [師]你是如何判斷的? [生]從圖中很容易發(fā)現(xiàn)∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我覺得是因?yàn)锳C＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC

[師]我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問中得到什么啟示呢? [生]在第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡.[師]這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問的圖中，哪個梯子更陡，應(yīng)該從梯子 AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學(xué)們算一下梯子AB和EF哪一個更陡呢？

AC48??, BC1.53ED3.535??.FD1.313835∵??, 313[生]∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒體演示： 想一想

如圖，小明想通過測量B1C1：及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2)B1C1BC和22和有什么關(guān)系? AC1AC23 / 8(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結(jié)論? [師]我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度.下面請同學(xué)們思考上面的三個問題，再來討論小明和小亮的做法.[生]在上圖中，我們可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的.因?yàn)椤螧2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根據(jù)相似的條件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]由圖還可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得 B2C2//B1C1，Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得

B1C1AC1BCBC?,即11?22.B2C2AC2A1C1AC2 如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到Rt△B2C2A∽Rt△Rt△B1C1A，仍能得到B1C1B2C2BCBC因此，無論B2在梯子的什么位置(除A外)，11?22總成立.?AC1AC2AC1AC2 [師]也就是說無論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的.現(xiàn)在如果改變∠A的大小，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎? [生]∠A的大小改變，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變.[師]你又能得出什么結(jié)論呢? [生]∠A的對邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無關(guān).也就是說，當(dāng)直角三角形中的一個銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.[師]這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價? [生]小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無 關(guān)，即與直角三角形的大小無關(guān).[生]但我覺得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y量B1C1的長度，需攀到梯子的最高端，危險并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成.[師]這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué).由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示)如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即

tanA=?A的對邊.?A的鄰邊4 / 8 注意：

1.tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”.2.tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切.思考：1.∠B的正切如何表示?它的數(shù)學(xué)意義是什么? 2.前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1—3，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎? [生]1.∠B的正切記作tanB，表示∠B的對邊與鄰邊的比值，即 tanB=?B的對邊.?B的鄰邊 2.我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在圖1—3 中，梯子越陡，tanA的值越大；反過來，tanA的值越大，梯子越陡.[師]正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等.正切經(jīng)常用來描述山 坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在 水平方向上每前進(jìn)100 m，就升高60 m，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tanα就是

tanα=α603?.1005 這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例題講解

多媒體演示

[例1]如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?

分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα= ??的對邊55??.??的鄰邊12132?52 乙梯中，tanβ=??的對邊63??.??的鄰邊84因?yàn)閠anβ＞tanα，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值./ 8 分析：要求tanA，tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長度.解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm), tanA=AB2?BC2?202?122

?A的對邊BC123???，?A的鄰邊AC164?B的對邊AC164???.?B的鄰邊BC12334，tanB=.43tanB=所以tanA= Ⅳ，隨堂練習(xí)

1.如圖，△ABC 是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給 數(shù)據(jù)求出tanC嗎? 分析：要求tanC.需從圖中找到∠C所在的直角三角形，因?yàn)锽D⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的對邊與鄰邊的比，即

BD的值.DC 解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，11AC＝×3＝1.5.22BD1.5 在Rt△BDC中，tanC＝ =＝1.DC1.5 ∴CD＝ 2.如圖，某人從山 腳下的點(diǎn)A走了200m后 到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B，已知點(diǎn) B到山腳的垂直距離為55 m，求山的坡度.(結(jié)果精確到0.001)分析：由圖可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA為山的坡度.解：根據(jù)題意：

在Rt△ABC中，AB=200 m，BC＝55 m，AC=2002?552?51479?5?38.46=192.30(m).TanA=BC55??0.286.AC192.30所以山的坡度為0.286.Ⅴ.課時小結(jié)

本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在“Rt△”中定義了tanA＝?A的對邊.?A的鄰邊6 / 8 接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在 現(xiàn)實(shí)生活中是一個具有實(shí)際意義的一個很重要的概念.Ⅵ.課后作業(yè)

1.習(xí)題1.1第1、2題.2.觀察學(xué)校及附近商場的樓梯，哪個更陡.Ⅶ.活動與探究(江蘇鹽城)如圖，Rt△ABC是一防 洪堤背水坡的橫截面 圖，斜坡AB的長為 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結(jié)果保留根號)[過程]要求DB的長，需分別在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12 m，則可根據(jù)勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比為1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.[結(jié)果]根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形.設(shè)BC=AC＝xm，則

222 x+x＝12，x=62，所以BC＝AC=62.在Rt△ADC中，tanD=

AC1?, CD1.5 即621?CD=92.CD1.5 所以DB＝CD-BC＝92-62=32(m).板書設(shè)計

§1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)1.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：

在Rt△ABC中，銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比隨之確定，這個比叫做∠A的正切，記作tanA，即 tanA＝?A的對邊.?A的鄰邊注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習(xí)5.課時小結(jié) 備課資料 / 8 [例1](浙江沼興)若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來的位置升高_(dá)_______米.分析：根據(jù)題意(如圖)：在Rt△ABC 中

AC：BC＝3：4，AB＝10米.設(shè)AC＝3x，BC＝4x，根據(jù)勾股定理，得(3x)+(4x)＝10，∴x＝2.∴AC＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前進(jìn)10米后，所在位置比原來的位置升高6米.解：應(yīng)填“6 m”.[例2](內(nèi)

蒙古赤峰)菱形的兩條 對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱 形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.分析：如圖，菱形ABCD，BD＝16，AC＝12，∠ABO＝θ，在Rt△AOB中，AO= BO=

1AC=6，21BD=8.2OA63??.tanθ=OB843 解：應(yīng)填“”.4 / 8

第五篇：《從梯子的傾斜程度談起》第二課時教案

1.1 從梯子的傾斜程度談起(二)編寫人： 審核人：

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，認(rèn)識正弦和余弦的意義.2.能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算.4.經(jīng)歷類比、猜想等過程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).5.體會數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問題。教學(xué)重點(diǎn)

1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算.教學(xué)難點(diǎn)

用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.教學(xué)方法

探索——交流法.教具準(zhǔn)備

多媒體演示.教學(xué)過程

一、.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引入新課

[師]我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當(dāng)傾斜角確定時，其對邊與斜邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān).并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切.現(xiàn)在我們提出兩個問題：

[問題1]當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎? [問題2]梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎?如果有，是怎樣的關(guān)系?

二、講授新課

/ 8 1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義

多媒體演示如下內(nèi)容： 想一想：如圖

(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C有什么關(guān)系?(2A2C2BC1BC2A1C1和和有什么關(guān)系?呢? BA1BA2BA1BA2[生] ∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，∴A1C1//A2C2.∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.A2C2BC1BC2A1C1和和相等相等(相似三角形對應(yīng)邊成比例).BA1BA2BA1BA2(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論? 由于A2是梯子A1B上的任意—點(diǎn)，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述結(jié)論仍成立.由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大小無關(guān).(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論? 請同學(xué)們討論后回答.[生]如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.[師]我們會發(fā)現(xiàn)這是一個變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時，如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關(guān)系呢? [生]函數(shù)關(guān)系.2 / 8 [師]很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示)在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即 sinA＝?A的對邊

斜邊 ∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即 cosA=?A的鄰邊

斜邊 銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)(trigonometricfunction).[師]你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢? [生]我們在前面已討論過，當(dāng)直角三角形中的銳角A確定時.∠A的對邊與斜邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值，∠A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“∠A的三角函數(shù)”概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°

[師]我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關(guān)系呢?如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系? [生]如圖所示，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sinA=Rt△A1B1C中，sinA1=BC，在 ABB1C.A1B1 ∵ BCBC＜1, A1B1AB 即sinA

ACAC cosA1＝1，A1B1AB ∵AB=A1B1

ACAC＞1 即cosA>cosA1，A1B1AB 所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡.[師]同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切.3.例題講解

多媒體演示.[例1]如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的長.分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示∠A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA＝0.6，BC＝0.6.AC 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200.sinA＝0.6，即=BC0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.AC 思考：(1)cosA＝?(2)sinC＝？ cosC＝?(3)由上面計算，你能猜想出什么結(jié)論? 解：根據(jù)勾股定理，得

AB＝AC2?BC2?2002?1202=160.在Rt△ABC中，CB＝90°.AB1604??＝0.8，AC2005AB1604 sinC= ??=0.8，AC2005BC1203 cosC＝ ?? ＝0.6，AC2005 cosA＝ 由上面的計算可知

/ 8 sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.因?yàn)椤螦+∠C＝90°，所以，結(jié)論為“一個銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個銳角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝

12，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、13sinA呢?你還能得出類似例1的結(jié)論嗎?請用一般式表達(dá).分析：這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用，同時進(jìn)一步滲透sin(90°-A)＝cosA，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝12AC，cosA＝, 13ABcosA1213126∴AB=Ac?10?10?13?65, sinB＝Ac?cosA?12

AB13根據(jù)勾股定理，得

22252652265?60BC＝AB-AC＝()-10=?2

3666222∴BC＝25.625∴cosB＝BC?6?25?5, AB6565136sinA＝BC?5

AB13可以得出同例1一樣的結(jié)論.∵∠A+∠B=90°，∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；

/ 8 cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).三、隨堂檢測

多媒體演示

1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構(gòu)造∠B所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可過A作AD⊥BC，D為垂足.解：過A作AD⊥BC，D為垂足.∴AB=AC，∴BD=DC=

1BC=3.2 在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，∴AD＝4.AD4BD3? cosB＝?，AB5AB5AD4 tanB=?.BD3 sinB＝ 2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 解：sinA=

4，BC=20，求△ABC的周長和面積.5BC4，∵sinA=，BC＝20，AB5BC20 ∴AB＝＝＝25.?sinA45 在Rt△BC中，AC＝252?202=15，∴ABC的周長＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，△ABC的面積：11AC×BC=×15×20＝150.223.(2003年陜西)(補(bǔ)充練習(xí))在△ABC

1，則sinA=.2BC1 解：如圖，tanA==.AC2中.∠C=90°，若tanA=設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得 AB=x2?(2x)2?5x.∴sinA=BCx15???.AB55x5 6 / 8

四、課時小結(jié)

本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<∠A<90°；三個比值是因變量.當(dāng)∠A確定時，三個比值分別唯一確定；當(dāng)∠A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng).類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來解決實(shí)際問題.五、課后作業(yè)

習(xí)題1.2第1、3、4題

六、活動與探究

已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函數(shù)的定義證明)

[過程]根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)

角就相等，不必只局限于某一個直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以圖中含有三個直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及線段BC、BD、AB，BCBD，cosB=.ABBCBC [結(jié)果]在Rt△ABC中，cosB＝

AB由正弦、余弦的定義得cosB＝ 又∵CD⊥AB.∴在Rt△CDB中，cosB＝∴

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BD BCBCBD2=BC＝AB·BD.ABBC板書設(shè)計

1.1 從梯子傾斜程度談起(二)1.正弦、余弦的定義在Kt△ABC中，如果銳角A確定.sinA＝?A的對邊

斜邊斜邊cosA＝?A的對邊

2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān)嗎? sinA的值越大，梯子越陡 cosA的值越小，梯子越陡 3.例題講解 4.隨堂檢測

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