第一篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第一章

遼寧石油化工大學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案

第一章 概率論的基本概念

【基本要求】

1、理解隨機事件和樣本空間的概念，熟練掌握事件之間的關(guān)系與基本運算；

2、理解事件頻率的概念，了解隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性；

3、理解古典概率的定義，了解概率的定義

4、掌握概率的基本性質(zhì)，會應(yīng)用這些性質(zhì)進行概率計算；

5、理解條件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式，并會應(yīng)用這些公式進行概率計算；

6、理解事件獨立性的概念，會應(yīng)用事件的獨立性進行概率計算。

【本章重點】理解概率的定義、性質(zhì)；掌握概率的計算及事件的獨立性

【本章難點】判別事件概率的類型；注意‘有放回抽樣’與‘無放回抽樣’的區(qū)別；條件概率、全概率公式及貝葉斯公式的應(yīng)用

【學(xué)時分配】16學(xué)時 【授課內(nèi)容】 引言

1.確定性現(xiàn)象與不確定性現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象）：

在自然界與人類社會生活中，存在著兩類截然不同的現(xiàn)象：一類是確定性現(xiàn)象。例如：早晨太陽必然從東方升起；在標準大氣壓下，純水加熱到100攝氏度必然沸騰；邊長為a，b的矩形，其面積必為ab等。對于這類現(xiàn)象，其特點是：在試驗之前就能斷定它有一個確定的結(jié)果，即在一定條件下，重復(fù)進行試驗，其結(jié)果必然出現(xiàn)且唯一。另一類是隨機現(xiàn)象。例如：某地區(qū)的年降雨量；打靶射擊時，彈著點離靶心的距離；投擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)“正面”，也可能出 遼寧石油化工大學(xué)

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現(xiàn)“反面”，事先不能作出確定的判斷。因此，對于這類現(xiàn)象，其特點是可能的結(jié)果不止一個，即在相同條件下進行重復(fù)試驗，試驗的結(jié)果事先不能唯一確定。就一次試驗而言，時而出現(xiàn)這個結(jié)果，時而出現(xiàn)那個結(jié)果，呈現(xiàn)出一種偶然性。

概率論就是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)分支。其研究對象為：隨機現(xiàn)象

研究內(nèi)容為：隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。2.隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性：

以前，由于隨機現(xiàn)象事先無法判定將會出現(xiàn)那種結(jié)果，人們就以為隨機現(xiàn)象是不可捉摸的，但是后來人們通過大量的實踐發(fā)現(xiàn)：在相同條件下，雖然個別試驗結(jié)果在某次試驗或觀察中可以出現(xiàn)也可以不出現(xiàn)，但在大量試驗中卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性，這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性。例如：在投擲一枚硬幣時，既可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，預(yù)先作出確定的判斷是不可能的，但是假如硬幣均勻，直觀上出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的機會應(yīng)該相等，即在大量的試驗中出現(xiàn)正面的頻率應(yīng)接近50%，這正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱藏著的規(guī)律支配的，而問題只是在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律?！币虼?，人們買彩票經(jīng)常不能中獎，總是抱怨運氣不好，其最主要的原因就是沒有進行大量的重復(fù)試驗，從而也就不能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部隱藏著的規(guī)律。

§1.1 隨機試驗

下面具一些試驗的例子：

E1：拋一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況。

E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況。

E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。遼寧石油化工大學(xué)

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E5：電話總機在單位時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)

E6：在一批燈泡中任意抽取一次，測試它的壽命。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。

上面舉出了七個試驗的例子，它們有著共同的特點。例如，試驗E1有兩種可能的結(jié)果，出現(xiàn)H 或者出現(xiàn)T，但在拋擲之前不能確定出現(xiàn)H還是出現(xiàn)T，這個試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進行。又如試驗E6，我們知道燈泡的壽命（以小時計）t?0，但在測試之前不能確定它的壽命有多長。這一試驗也可以在相同的條件下重復(fù)進行。概括起來，這些試驗具有以下的特點：

① 可以在相同的條件下重復(fù)進行；

② 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果； ③ 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。

在概率中，我們將具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗。簡而言之，就是對隨機現(xiàn)象的一次觀察或試驗。通常用大寫的字母‘E’表示。本書中以后提到的試驗都是指隨機試驗。

我們是通過研究隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的。

§1.2 樣本空間.隨機事件

（一）樣本空間

由隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S.樣本空間的元素，即．．E的每個結(jié)果，稱為樣本點。

下面寫出§1.1中試驗Ek(k?1,2,?,7)的樣本空間Sk： ｛H，T｝ S1：｛HHH，HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT｝ S2：｛0, 1, 2, 3｝ S3：｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝ S4： 遼寧石油化工大學(xué)

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S5:{0,1,2,3,?} ｛t|t?0｝ S6：｛(x,y)|T0?x?y?T1｝，這里x表示最低溫度，y表示最高溫度。并設(shè)這一地區(qū)的溫度S7：不會小于T0也不會大于T1.注：①樣本空間是一個集合，它是由樣本點構(gòu)成。其表示方法，可以用列舉法，也可以用描述法。

②在樣本空間中，樣本點可以是一維的，也可以是多維的；可以是有限個，也可以是無限個。

③在同一試驗中，當試驗的目的不同時，樣本空間往往是不同的，但通常只有一個會提供最多的信息。例如，在E2和E3中同時將一枚硬幣連拋三次，由于試驗的目的不一樣，其樣本空間也不一樣。

（二）隨機事件

我們稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件。用字母A，B，C等表示。顯然它是由部分樣本點構(gòu)成的。

如在上面試驗E2中，若我們關(guān)心出現(xiàn)一次正面的情況，滿足這一條件的樣本點組成S2的一個子集A={HTT，THT，TTH}，那么A稱為試驗E2的一個隨機試驗。

下面了解以下幾個概念：

1．事件發(fā)生：在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生。2．基本事件：由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件。例如，試驗E1有兩個基本事件{H}和{T}；E2有8個基本事件。

3．必然事件：樣本空間S所包含所有的樣本點，它是S自身的子集，在每次試驗中它總是發(fā)生的，稱為必然事件。遼寧石油化工大學(xué)

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4．不可能事件：空集?不包含任何樣本點，它也作為樣本空間的子集，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件。

例如，在上述擲骰子的試驗中，“點數(shù)小于7”是必然事件，“點數(shù)大于6”是不可能事件。注：嚴格來講，必然事件與不可能事件反映了確定性現(xiàn)象，可以說它們并不是隨機事件，但為了研究問題的方便，我們把它們作為特殊的隨機事件。

有了上述討論，可見事件與集合之間建立了一定的對應(yīng)關(guān)系，從而可用集合的一些術(shù)語、符號去描述事件之間的關(guān)系與運算。

（三）、事件間的關(guān)系 1.事件的包含：

當事件A發(fā)生時必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱A包含于B或B包含A，記為A?B或B?A。

即A?B?{若??A,則??B}，用文（Venn）圖表示為： 反之，B?A?若B不發(fā)生，則必然A也不會發(fā)生。

顯然，對任意事件A有：⑴A?A；⑵??A??；⑶若A?B，B?C，則A?C。2.事件的相等：

若事件A的發(fā)生能導(dǎo)致B的發(fā)生，且B的發(fā)生也能導(dǎo)致A的發(fā)生，則稱A與B相等。記為A＝B，即A與B有相同的樣本點。顯然有A＝B?A?B且B?A

3.事件的互斥（互不相容）：若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥，記為AB＝?。

顯然有：⑴基本事件是互斥的；⑵?與任意事件互斥。遼寧石油化工大學(xué)

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（四）、事件的運算（和、差、積、逆運算）1.事件的和（并）：

兩個事件A、B中至少有一個發(fā)生的事件，稱為事件A與 事件B的并（或和），記為A?B（或A＋B）。

即A?B＝｛ω/ω?A或ω?B｝

顯然有：⑴A?A?A；⑵A?A?B，B?A?B；

⑶若A?B，則A?B?B。特別地，A????,A???A。

2.事件的積（交）：

兩個事件A與B同時發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的積（或交）。記為A?B（或AB）

即A?B???/??A且??B?。顯然有：⑴A?B?A，A?B?B；

⑵若A?B，則A?B＝A，特別地A?＝A； ⑶若A與B互斥，則AB＝?，特別地?A＝?。

注：事件之間的和、積運算可以推廣到有限個和可列無窮多個事件的情形。

?Ak?1?k?1nnk?A1?A2???An???/??A1或??A2或?或??An} ?A1?A2???An?????/??A1或??A2或?或??An?? ?A1?A2???An???/??A1且??A2且...且??An} ?A1?A2???An?????/??A1且??A2且?且??An?? ?Ak?1?k?A?Ak?1kk3.事件的差：

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的差，記為A-B。即A?B?{??A而??B}。遼寧石油化工大學(xué)

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顯然有：⑴不要求A?B，才有A?B，若A?B，則A-B??；

⑵若A與B互斥，則A－B＝A，B－A＝B；

A－B?A－AB且A－AB?A－B）⑶A－B＝A－AB（證明：利用；

⑷A?(B?C)?A?B?C（左邊為A的子事件，而右邊不是）。

4.事件的逆（對立事件）：

若事件A與事件B滿足A?B＝?且AB＝?，則稱B為A的逆，記為B＝A。即A???/??A，???} 顯然有：⑴A?A＝?，A?A＝?

⑵A－B＝AB（證明：A－B＝A－AB＝A（?－B）＝AB）

注：互逆事件與互斥事件的區(qū)別：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在樣本空間只有兩個事件時存在，互斥還可在樣本空間有多個事件時存在。

例如，在拋硬幣的試驗中，設(shè)A={出現(xiàn)正面}，B={出現(xiàn)反面}，則A與B互斥且A與B互為對立事件；而在擲骰子的試驗中，設(shè)A={出現(xiàn)1點}，B={出現(xiàn)2點}，則A與B互斥，但A與B不是對立事件。

(五)、事件的運算性質(zhì)（規(guī)律）

由前面可知，事件之間的關(guān)系與集合之間的關(guān)系建立了一定的對應(yīng)法則，因而事件之間的運算法則與布爾代數(shù)中集合的運算法則相同。1.交換律：A?B?B?A，AB＝BA 2.結(jié)合律：A?(B?C)?(A?B)?C,A(BC)?(AB)C

3.分配律：A?(B?C)?(AB)?(AC),A?BC)?(A?B)(A?C)4.德莫根（對偶）定律：①?Ai??Ai（和的逆＝逆的積）

i?1i?1nn 7 遼寧石油化工大學(xué)

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②?Ai??Ai（積的逆＝逆的和）

i?1i?1nn(六)、舉例

例1：設(shè)A、B、C為任意三個事件，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件：

①三個事件中至少一個發(fā)生 A?B?C

②沒有一個事件發(fā)生 ABC?A?B?C（由對偶律）③恰有一個事件發(fā)生 ABC?ABC?ABC ④至多有兩個事件發(fā)生（考慮其對立事件）

(ABC?ABC?ABC)?(ABC?ABC?ABC)?(ABC)?ABC?A?B?C ⑤至少有兩個事件發(fā)生 ABC?ABC?ABC?ABC?AB?BC?CA

§1.3 頻率與概率

隨機事件在一次試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，具有偶然性。但是，人們從實踐中認識到，在相同的條件下，進行大量的重復(fù)試驗中，試驗的結(jié)果具有某中內(nèi)在的規(guī)律性，即隨機事件發(fā)生的可能性大小是可以比較的，是可以用一個數(shù)字進行度量的。例如，在投擲一枚均勻的骰子試驗中，事件A‘擲出偶數(shù)點’，B‘擲出2點’，顯然事件A比事件B發(fā)生可能性要大。

對于一個隨機試驗，我們不僅要知道它可能出現(xiàn)哪些結(jié)果，更重要的是研究各種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小，從而揭示其內(nèi)在的規(guī)律性。為此，首先引入頻率，它描述了事件發(fā)生的頻繁程度，進而引出表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)——概率。

（一）頻率

(1)定義：在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值

nA為事件A發(fā)生的頻率，記為fn(A)。n8 遼寧石油化工大學(xué)

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(2)頻率的性質(zhì)：

⑴非負性：對任意A，有1?fn(A)?0

⑵規(guī)范性：fn(S)?1

⑶可加性：若A1,A2,?,Ak是兩兩不相容的事件，則

fn(A1?A2???Ak)?fn(A1)?fn(A2)???fn(Ak).(3)頻率的穩(wěn)定性：

在大量的重復(fù)試驗中，頻率常常穩(wěn)定于某個常數(shù)，稱為頻率的穩(wěn)定性。

通過大量的實踐，我們還容易看到，若隨機事件A出現(xiàn)的可能性越大，一般來講，其頻率fn(A)也越大。由于事件A發(fā)生的可能性大小與其頻率大小有如此密切的關(guān)系，加之頻率又有穩(wěn)定性，故而可通過頻率來定義概率。

（二）概率

(1)定義：設(shè)E是隨機試驗，S是它的樣本空間.對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記為P（A），稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件：

1.非負性：對任意A，P(A)?0 2.規(guī)范性：P(S)?1

3.可列可加性（完全可加性）：設(shè)A1，A2，?，是兩兩互不相容的事件，即對于 i?j,AiAj??,i,j?1,2,?，則有P(?Ai)＝?P(Ai)

i?1i?1??(2)概率的性質(zhì) ①P(?)?0

證明：??????...???...，9 遼寧石油化工大學(xué)

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由公理1，P(?)?P(?)???P(?)??，?P(?)為非負實數(shù)，?P(?)?0

②有限可加性：若A1，A2，?，A.n兩兩互不相容，即AiAj??(i?j)，則有P(?Ai)＝?P(Ai)

i?1nni?1證明：因為?Ai＝?Ai?????...，利用公理一有

i?1i?1nnP(?Ai)?P(?Ai????)?P(A1)???P(An)?P(?)????P(Ai)

i?1i?1i?1nnn③對任意事件A，有P(A)?1?P(A)

證明：因為A?A??,AA??,所以P(A)?P(A)?P(A?A)?P(?)?1 ④P(A?B)?P(A)?P(AB)。特別，若B?A，則P(A-B)＝P(A)?P(B)。證明：因為A＝(A?B)?AB且(A?B)?AB＝?

所以P(A)＝P((A?B)?AB)?P(A?B)?P(AB)，即證。推論：（單調(diào)性）若B?A,則P(B)?P(A)。

＝P(A?B)?0 證明：P(A)?P(B)⑤加法公式：對任意的事件A、B有：P（A?B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

特別，若A與B互斥，則有P(A?B)?P(A)?P(B)

證明：因為A?B?A?(B?AB)且A?（B－AB）＝?

所以P(A?B)?P(A)?P(B-AB)＝P(A)?P(B)-P(AB)（因為AB?B）

例:從數(shù)字1、2、?、9中有放回地取出n個數(shù)字，求取出這些數(shù)字的乘積能被10整除的概率？

解：“符號化” 令A(yù)={取出的數(shù)字中含5}，B={取出的數(shù)字中含偶數(shù)}，3n5n4n則 P(AB)?1?P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)=1?n?n?n

999課后作業(yè)：

1、仔細閱讀P1-12； 遼寧石油化工大學(xué)

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2、作業(yè)：P29 2, 4，5，6，7，8；

3、預(yù)習P12-2

4§1.4 等可能概型（古典概型）

古典概率(其產(chǎn)生的源泉是古典型隨機試驗)1.古典概型：一個隨機試驗若滿足：

①樣本空間中只有有限個樣本點（有限性）②樣本點的發(fā)生是等可能的（等可能性）

則稱該隨機試驗為等可能概型。它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為古典概型。等可能概型的一些概念具有直觀容易理解的特點，有著廣泛的應(yīng)用。2.古典概率的計算公式：

設(shè)古典型隨機試驗的樣本空間S?{e1,e2,...,en}，若事件A中含有

k(k?n)個樣本點，則稱k為A發(fā)生的概率，記為 nP(A)?kA包含的基本事件數(shù)?。nS中基本事件的總數(shù)3.古典概率的性質(zhì)：

⑴非負性：對任意A，P(A)?0 ⑵規(guī)范性：P(?)?1 遼寧石油化工大學(xué)

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⑶可加性：若A和B互斥，則P(A?B)?P(A）＋P(B)⑷P(?)?0 ⑸P(A)?1?P(A)

例1：從標號為1，2，?,10的10個同樣大小的球中任取一個，求下列事件的概率：A:‘抽中2號’，B:‘抽中奇數(shù)號’，C:‘抽中的號數(shù)不小于7’。

解：令i表示“抽中i號”，i?1,2,?10，則??{1,2,3,...10}，所以

P(A)?154,P(B)?,P(C)? 101010例2：從6雙不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一雙配對的概率；⑵至少有兩只鞋子配成一雙的概率。

解：⑴分析：先從6雙中取出一雙，兩只全??；再從剩下的5雙中任取兩雙，每雙中取到一

12211只，則⑴中所含樣本點數(shù)為C6C2C5C2C2 412211所以所求概率P＝C6C2C5C2C2/C12＝33⑵設(shè)B表示‘至少有兩只鞋子配成一雙’，則：

4.1111P(B)?1?P(B)?1－C64.C2C2C2C2/C12＝

1717412112，或＝[C6＝ C5C2C2?C6]/C123333122【注】：不能把有利事件數(shù)取為C6從而出現(xiàn)重復(fù)事件。這是因為，若鞋子標有號碼1，2，?，C2C10，216時，C6可能取中第i號鞋，此時C10可能取中j號一雙，此時成為兩雙的配對為(i,j)；但也2存在配對(j,i)，(i,j)與(j,i)是一種，出現(xiàn)了重復(fù)事件，即多出了C6個事件。

例3：將n只球隨機地放入N(N?n)個盒子中去，試求每個盒子至多有一只球的概率（設(shè)盒子的容量不限）

解：設(shè)A={每個盒子至多有一只球}

nN(N?1)?(N?n?1)AN?n

p(A)?NnN例4：設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有D件次品，今從中任取n件，問其中恰有k(k?D)件次品的概12 遼寧石油化工大學(xué)

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率是多少？

解：設(shè)A={其中恰有k件次品} ?D??N?D???k????n?k??????

P(A)??N???n????上式即所謂超幾何分布的概率公式。

例5：將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生，問（1）每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？（2）3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少？

解：（1）設(shè)A={ 每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生}

3!?12!3!CCC25p(A)??4!4!4!??0.2747

15!91CCC5!5!5!***（2）設(shè)B={ 3名優(yōu)秀生分配在同一班級}

3?12!3CCC6p(B)??2!5!5!??0.0659

15!91CCC5!5!5!***5例6：某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的。

（反證法）假設(shè)接待站的接待時間是沒有規(guī)定的。A={12次接待都是在周二和周四進行的}

212p(A)?12?0.0000003 人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上是幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）。現(xiàn)在概率很?。ㄖ挥星f分之三）的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假定的正確性。從而推斷接待站不是每天都接待來訪者。即認為其接待時間是有規(guī)定的。遼寧石油化工大學(xué)

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§1.5條件概率

設(shè)A、B為任意兩個事件，假設(shè)事件B已發(fā)生，前面我們已經(jīng)研究了P（B），而在實際問題往往需要我們?nèi)パ芯看藭rA發(fā)生的概率，為區(qū)別起見，我們把這種情況下的概率記為P(A/B)，稱為事件B已經(jīng)發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率。

例1：考慮有兩個孩子的家庭：??{(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)} 43B：‘家中至少有一個女孩’，則P（B）＝

4212P(AB)而P(AB)? 所以P(A/B)??4?

323P(B)4A：‘家中至少有一個男孩’，則P（A）＝這就有了：

（一）、條件概率

1、定義：設(shè)A，B是兩個隨機事件，且P(B)?0，稱P(A/B)?P(AB)/P(B)為在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率。

注：①P(B)?0時，條件概率無意義。（即條件不能是不可能事件）

②P(A/?)?P(A?)/P(?)?P(A)。（即P(A)是特殊的條件概率）

2、條件概率亦是概率，具有概率的某些性質(zhì)：

①P(?/B)?0

②P(A/B)?1?P(A/B)

③P(A1?A2/B)?P(A1/B)?P(A2/B)?P(A1A2/B)

例2：設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)進行無放回地從中取出兩件，求在第一次取到次品的條件下，第二次取到的也是出次品的概率。

解：（符號化）令A(yù)i表示‘第i次取到次品’，i=1,2則要求的概率為

3232P(A2/A1)?P(A1A2)/P(A1)?()()/?

10910914 遼寧石油化工大學(xué)

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（二）、乘法公式

由條件概率的定義：P(A/B)?P(AB)/P(B)?P(AB)?P(B)P(A/B)(P(B)?0)

P(B/A)?P(AB)/P(A)?P(AB)?P(A)P(B/A)

(P(A)?0)

定理1（乘法公式）：一般地，對任意n個事件A1,...,An，若P(A1...An)＞0，則 P(A1...An)＝P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1...An?1)（＊）

證明：因為A1A2...An?A1...An?1?...?A1A2?A1

由概率的性質(zhì)4的推論（單調(diào)性）有：P(A1)?P(A1A2)?...?P(A1A2...An?1)?0 又由條件概率的定義有：（＊）式右＝P(A1)P(A1A2)/P(A1)P(A1A2A3)...P(A1A2...An)/P(A1A2...An?1)

P(A1A2)?P(A1A2...An)?左

例3：設(shè)袋子中有r只紅球，t只白球，從中任取一球，觀察顏色后放回，并加進同顏色的a個球，再到第二次，方法同上，如此進行下去，求：①第一、二次取到紅球，第三、四次取到白球的概率

解：令Bi＝{第i次取到白球}；Rj＝{第j次取到紅球} 則P(R1R2B3B4)?P(R1)?P(R2R1)?P(B3R1R2)P(B4R1R2B3)?rr?att?a?? t?rt?r?at?r?2at?r?3a①注意這個答案只與白球及紅球出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，而與出現(xiàn)的順序無關(guān)，這個模型曾被Polya用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型。這是很一般的摸球模型，特別取a?0，則是有放回摸球，取a??1，則是不放回摸球。

例4：袋中有a只白球，b只黑球，從中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。

解：設(shè)B＝{第二次取到白球},則要求P（B）遼寧石油化工大學(xué)

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令A(yù)＝{第一次取到白球}，則A＝{第一次取到黑球} ?A?A??,B?B???B?(A?A)?BA?BA且BA?BA??

?P(B)?P(BA?BA)?P(BA)?P(BA)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?aa?1baa??

a?ba?b?1a?ba?b?1a?b（依次類推，第n次摸到白球與第一次摸到白球的概率相等，這就是抓鬮的科學(xué)性）

（三）、全概率公式和貝葉斯公式（Bayes）

定義：完備事件組：設(shè)A1,A2,..,An是S的一組事件，若?Ai?S，且AiAj??(i?j)，i?1n則稱A1,A2,..,An為S的一個完備事件組或一個分割。顯然，任一事件A與A就是一個完全事件組。

定理（全概率公式）：設(shè)A1,A2,..,An是S的一個完備事件組，且P(Ai)?0（i=1,2,?,n）則對任一事件B有 P(B)??P(Ai)P(B/Ai)

i?1n證明：由B?BS?B?(?Ai)??AiB且(AiB)?(AjB)?(AiAj)B??,i?j

i?1i?1nnAiB)??P(AiB)??P(Ai)P(BAi)由有限可加性及乘法公式有P(B)?P(?i?1i?1i?1nnn例5：某工廠有三個車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，第一車間的次品率為0.05，第二車間的次品率為0.03，第三車間的次品率為0.01，各車間的產(chǎn)品數(shù)量分別為2500，2000，1500件，出廠時，三車間的產(chǎn)品完全混合，現(xiàn)從中任取一產(chǎn)品，求該產(chǎn)品是次品的概率。解：設(shè)B＝{取到次品}，Ai＝{取到第i個車間的產(chǎn)品}，i＝1,2，3 則有A1?A2?A3?S，且A1?A2??，A1?A3??，A2?A3?? 利用全概率公式得

P(B)??P(Ai)P(BAi)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)

i?13?16 250020001500?5%??3%??1%?3.3% 600060006000遼寧石油化工大學(xué)

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定理 貝葉斯公式（Bayes）（逆全概率公式）：設(shè)A1,A2,..,An是S的一個完備事件組，且P(Ai)?0（i=1,2,?,n）。若對任一事件B，P(B)>0，則有：P(Aj/B)?P(Aj)P(B/Aj)?P(A)P(B/A)iii?1n j=1,2，?，n 證明：由條件概率公式P(AjB)?P(AjB)P(B)?P(Aj)P(BAj)?P(A)P(BA)iii?1nj?1,2.?,n

例6：某機器由A、B、C三類元件構(gòu)成，其所占比例分別為0.1，0.4，0.5，且其發(fā)生故障的概率分別為0.7，0.1，0.2?，F(xiàn)機器發(fā)生了故障，問應(yīng)從哪個元件開始檢查？ 解：設(shè)D‘發(fā)生故障’；A‘元件是A類’；B‘元件是B類’；C‘元件是C類’ 則 P(D)?P(A)P(D/A)?P(B)P(D/B)?P(C)P(D/C)

?0.1?0.7?0.4?0.1?0.5?0.2?0.21

所以P(A/D)=P(AD)P(D)=7/21；P(B/D)=4/21；P(C/D)=10/21，故應(yīng)從C元件開始檢查。

例7：對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為90%，而當機器發(fā)生某一故障時，其合格率為30%。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為75%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整得良好的概率是多少？

解：設(shè)A={產(chǎn)品合格} B={機器調(diào)整得良好} 已知 P(A)?0.9,P(A)?0.3,P(B)?0.75P(B)?0.25 BB由貝葉斯公式

P(A)P(B)BP(B)?AP(A)P(B)?P(A)P(B)BB0.9?0.75??0.90.9?0.75?0.3?0.25 遼寧石油化工大學(xué)

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這就是說，當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時，此時機器調(diào)整良好的概率是0.9，概率0.75是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，叫做先驗概率。而在得到信息（即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品）之后在重新加以修正的概率（即0.9）叫做后驗概率。有了后驗概率我們就能對機器的情況有進一步的了解。

例7：醫(yī)學(xué)上用某方法檢驗“非典”患者，臨床表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳，已知人群中既發(fā)熱又干咳的病人患“非典”的概率為5%；僅發(fā)熱的病人患“非典”的概率為3%；僅干咳的病人患“非典”的概率為1%；無上述現(xiàn)象而被確診為“非典”患者的概率為0.01%；現(xiàn)對某疫區(qū)25000人進行檢查，其中既發(fā)熱又干咳的病人為250人，僅發(fā)熱的病人為500人，僅干咳的病人為1000人，試求：

(1)該疫區(qū)中某人患“非典”的概率；

(2)被確診為“非典”患者是僅發(fā)熱的病人的概率。

A?{既發(fā)熱又干咳的病人}，B?{僅發(fā)熱的病人}，}，D?{無明顯癥狀的人}解：(1)設(shè) C?{僅干咳的病人則易知A，B，C，D構(gòu)成了一完備事件組，由全概率公式得：

P(E)?P(A)P(E/A)?P(B)P(E/B)?P(C)P(E/C)?P(D)P(E/D)***??5%??3%??1%??0.01%?0.00***0002500025000

E={確診患了“非典”}

(2)由貝葉斯公式知：

500?3%P(B)P(E/B)25000P(B/E)???0.37665P(E)0.001593

全概率公式和Bayes公式是概率論中的兩個重要公式，有著廣泛的應(yīng)用。若把事件Ai理解為‘原因’，而把B理解為‘結(jié)果’，則P(B/Ai)是原因Ai引起結(jié)果B出現(xiàn)的可能性，P(Ai)是各種原因出現(xiàn)的可能性。全概率公式表明綜合引起結(jié)果的各種原因，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)的可能性的大?。欢鳥ayes公式則反映了當結(jié)果出現(xiàn)時，它是由原因Ai引起的可能性的大小，故常用于可靠性問題。18 遼寧石油化工大學(xué)

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如：可靠性壽命檢驗、可靠性維護、可靠性設(shè)計等。課后作業(yè)：

1、仔細閱讀P12-25；

2、作業(yè)：P32 26, 27, 28, 29, 34；

3、預(yù)習P25-28

§1.6 獨立性

一般來說，P(A/B)?P(A),?P(B)?0)?這表明事件B的發(fā)生提供了一些信息影響了事件A發(fā)生的概率。但是有些情況下，P（A/B）＝P（A），從這可以想象得到這必定是事件B的發(fā)生對A的發(fā)生不產(chǎn)生任何影響，或不提供任何信息，也即：事件A與B是‘無關(guān)’的。從概率上講，這就是事件A、B相互獨立。

1.定義：若兩事件A，B滿足P(AB)?P(A)P(B)，則稱A與B相互獨立。注：①定義中，當P(B)?0或P(B)?1時，仍然適用，即?,?與任何事件相互獨立；

②事件的獨立與事件的互不相容是兩個不同的概念：前者是相對于概率的概念，但可以同時發(fā)生；而后者只是說兩個事件不能同時發(fā)生，與概率無關(guān)。

例1：投擲兩枚均勻的骰子一次，求出現(xiàn)雙6點的概率。遼寧石油化工大學(xué)

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解：設(shè) A‘第一枚骰子出現(xiàn)6’；B‘第二枚骰子出現(xiàn)6’ 則P(AB)?P(A)P(B)?111?? 6636我們知道，對于分別擲兩顆骰子，其出現(xiàn)6點相互之間能有什么影響呢？不用計算也能肯定它們是相互獨立的。在概率論的實際應(yīng)用中，人們常常利用這種直覺來肯定事件的相互獨立性，從而使問題和計算都得到簡化，但并不是所有的問題都是那么容易判斷的，看下面一個例子：

例2：一家中有若干個小孩，假定生男生女是等可能的，令A(yù)={家中男、女孩都有}，B={家中至多有一女孩} ①考慮三個孩子的家庭：

???(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b),(g,b,b),(g,b,g),(g,g,b),(b,g,g),(g,g,g)?，則P(AB)?3/8?64??P(A)P(B)?A、B相互獨立。88②考慮兩孩子的家庭：

???(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)?，則P(AB)?2/4，P(A)?2/4，P(B)?3/4，P(AB)?P(A)P(B)?A、B不相互獨立。

定理1：若P（B）＞0，則A、B相互獨立?P（A/B）＝P（A）。結(jié)論：若A、B獨立，則A與B，A與B，A與B也相互獨立。例3：甲、乙二人同時向同一目標射擊一次，甲擊中率為0.8，乙擊中率為0.6，求在一次射擊中，目標被擊中的概率。

解：設(shè)A＝{甲擊中}，B＝{乙擊中}，C＝{目標被擊中}，則C＝A?B P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.8?0.6?0.8?0.6?0.92

或P(C)?1?P(C)?1?P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?(1?0.8)(1?0.6)?0.92

思考：若P（A）＞0，P（B）＞0，且P(A/B)?P(A/B)?1,則A、B相互獨立。遼寧石油化工大學(xué)

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2.多個事件的獨立

定義1：對于三個事件A、B、C，若下列四個等式同時成立

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），則稱A、B、C相互獨立。

注：①對于兩個以上的事件時，事件的兩兩獨立不能推出總起來相互獨立。

反例1：有四張同樣大小的卡片，上面標有數(shù)字，從中任抽一張，每張被抽到的概率相同。分析：令A(yù)i＝{抽到卡片上有數(shù)字i}, i=1,2,3，則： P（Ai）＝2/4＝1/2，即P（A1）＝P（A2）＝P（A3）

而P（A1A2）＝1/4＝P（A1）P（A2）；P（A1A3）＝1/4＝P（A1）P（A3）； P（A2A3）＝1/4＝P（A2）P（A3）

可見Ai兩兩之間是獨立的，但是總起來看P(A1A2A3)?1/4?P(A1)P(A2)P(A3)?1/8 并不相互獨立。

②對于兩個以上的事件時，總起來相互獨立也不能推出事件的兩兩獨立。

反例2：八張同樣大小的卡片，任抽一張。分析：P(Ai)?4/8?1/2,i?1,2,3.P(A1A2A2)?1/8?P(A1)P(A2)P(A3)但P(A1A2)?3/8?P(A1)P(A2)

因此對多個事件的獨立性要求比較嚴格。

定義2：對任意n個事件，A1,A2,..,An，若： P(AiAj)?P(Ai)P(Aj),1?i?j?n

P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj)P(Ak),1?i?j?k?n

遼寧石油化工大學(xué)

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??

P(A1A2...An)?P(A1)P(A2)...P(An)（共2n?n?1個式子）均勻成立，則稱A1,A2,..,An相互獨立。

例4：用步槍射擊飛機，設(shè)每支步槍命中率均為0.004，求：①現(xiàn)用250支步槍同時射擊一次，飛機被擊中的概率；②若想以0.99的概率擊中飛機，需要多少支步槍同時射擊？ 解：①Ai‘第i支擊中’,則要求P(A1?A2?...?An)而P(A1?A2?...?An)?1?P(A1?A2?...?An)?1?P(A1A2...An)

?1?P(A1)P(A2)...P(An)＝1－0.996250?0.63 ②由1?0.996n?0.99?n?1150

五、獨立性在系統(tǒng)可靠性中的應(yīng)用

元件的可靠性：對于一個元件，它能正常工作的概率稱為元件的可靠性。系統(tǒng)的可靠性：對于一個系統(tǒng)，它能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性。

例5：設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為r，0?r?1且各元件能否正常工作是相互獨立的，求下面附加通路系統(tǒng)的可靠性：

解：每條通路正常工作，當且僅當通路上各元件 正常工作，其可靠性為

Rc?P(A1A2...An)?P(A1)P(A2)...P(An)?rn，即每條通路發(fā)生故障的概率為1?rn； 由于系統(tǒng)是由兩條通路并聯(lián)而成，則兩通路同時發(fā)生故障的概率為(1?rn)2，所以上述系統(tǒng)的可靠性為Rs?1?(1?rn)2?rn(2?rn)?Rc(2?Rc)??Rc?2Rc，2?Rc?1?Rs?Rc

故附加通路能使系統(tǒng)的可靠性增加。遼寧石油化工大學(xué)

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課后作業(yè)：

1、仔細閱讀P25-28；

2、作業(yè)：P32 30, 31, 32, 33；

3、預(yù)習P34-44 23

第二篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》公共基礎(chǔ)課教學(xué)實踐

1012502-31 湯建波

概率與數(shù)理統(tǒng)計在現(xiàn)實的牛產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，因此，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》作為公共課是很多專業(yè)所必修的。但是，由于這門課的學(xué)習方法與《微積分》《線性代數(shù)》等其他課程有著極大的差異，很多學(xué)生在學(xué)習過程中感到難以把握概念與理論，在遇到問題時不知如何人手。因此，筆者在總結(jié)這幾年教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，提出以下思考。

一、適度引入案例。形成生動教學(xué)及啟發(fā)性教學(xué)

概率論源于博弈，是賭博中的很多問題催生了概率論這門數(shù)學(xué)學(xué)科。在開課伊始，教師就適度引入觸發(fā)概率論的一些問題，如“De．mere”問題，“分賭金問題”等等，使學(xué)生在故事中不僅得到r課本里所沒有的歷史知識，而且無形中可以提高學(xué)習興趣，消弭一部分同學(xué)的畏難情緒。另外，再在隨后的教學(xué)過程中引入“彩票中獎問題”“蒙特卡羅法求訂法”“保險付賠問題”等等，引導(dǎo)學(xué)生了解、探索這門學(xué)科在現(xiàn)實中的應(yīng)用，使學(xué)乍實現(xiàn)由知識向能力的轉(zhuǎn)化，從而增強學(xué)，F(xiàn)利用概率統(tǒng)計解決實際問題的“欲望”，促使他們更好地認識現(xiàn)實世界。

概念是概率課程中最基本的內(nèi)容，對概念的理解程度直接影響學(xué)生對這門課程的學(xué)習與掌握程度。在教學(xué)中，應(yīng)盡量從實際問題入手，先提出問題，接著在問題的分析和解決中抽象出概念，讓學(xué)生清楚概念的來龍去脈，而不是硬性給出定義，讓學(xué)生死記硬背。例如，在講述“事件”這個定義時，引入“衛(wèi)瞿嫦娥二號將于2010年10月1日發(fā)射”這一現(xiàn)實中的“事件”在概率論中應(yīng)該是“實驗”，而其結(jié)果“發(fā)射成功”才能算是概率論所定義的“事件”，這樣，在區(qū)別現(xiàn)實的“事件”與概率論所研究的“事件”基礎(chǔ)上，學(xué)生加深了對“事件”這一定義的理解。在闡明相互獨立和互不相容之間的區(qū)別有P(A)>0，P(B)>0時，A、B相瓦獨屯與互不相容是不能同時成立的，直觀上可以這樣解釋：相互獨立意味這

4、B其中一方發(fā)生與否并不影響另一方的發(fā)生，而互不相容意味著A、B只要其中一方發(fā)生了，另一方就一定不發(fā)生，所以這兩個關(guān)系不能同時存在。從公式上解釋是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，則P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率為0，如，如果A=西，則A與B既相互獨立又互不相容，因為此時P(AB)=P(A)P(B)=0。綜上所述，相互獨立與互不相容并沒有必然的聯(lián)系。

而在區(qū)別“不相關(guān)”與“相互獨立”的區(qū)別時，可以通過舉例得知J]|f、y不相關(guān)不一定就獨立，因為X、l，之間有可能存在其他的函數(shù)關(guān)系，但是存在函數(shù)關(guān)系的隨機變量是否就不獨立了呢？答案是未必，例子如下：

考察隨機變量X、l，和Z：假定x與l，獨立月．都服從參數(shù)為P的(0—1)分布，令z為x與y的函數(shù)：

可以得到當P=1／2時，Z與X相互獨立。轉(zhuǎn)載于 無憂論文網(wǎng) http://004km.cn

通過這些舉例，避免了學(xué)生將“獨立”和“互不相容”等同起來，又說明了“獨立”與“函數(shù)關(guān)系”之間的聯(lián)系。

二、課堂教學(xué)中注重數(shù)學(xué)思想的教育。培養(yǎng)學(xué)生建模能力

概率統(tǒng)計中的很多問題都可以歸結(jié)為同一類問題，數(shù)學(xué)模型就是這類事物共同本質(zhì)的抽象?！皵?shù)學(xué)建模”是指對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用隨處可見，模型化方法貫穿本課程全過程，因此，在教學(xué)過程中應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生抽象出問題的本質(zhì)以建立起一般的數(shù)學(xué)模型的能力。

如“將n只球隨機地放入Ⅳ(N大于等于n)個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率”與“班級同學(xué)生日各不相同”具有相同的數(shù)學(xué)模型。另外，還有古典概型、貝努利概型、正態(tài)分布等等這些都是生產(chǎn)生活中抽象出來的，在很多問題中都可以歸結(jié)為以上的模型。如以下兩個

：

例1，設(shè)有80臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0．01，且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。

例2，保險公司在一天內(nèi)承保了5000張相同年齡、為期1年的壽險保單，每人一份。在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司賠付3萬元。設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0．0015，且各個投保人是否死亡相互獨立。求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率。

以上兩個例子雖然不同，但都可以歸結(jié)為伯努利概型，利用二項分布解決。對這類模型，不應(yīng)簡單地給出它的結(jié)果，而應(yīng)注秀模型的建立、模型的應(yīng)用范圍以及如何把實際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)的數(shù)學(xué)模型去解決。

三、適度引入多媒體教學(xué)及數(shù)據(jù)處理軟件。促進課堂教學(xué)手段多樣化

在概率統(tǒng)計教學(xué)中，實際題目信息及文字很多，“一支粉筆、一塊黑板，以講授為主”的傳統(tǒng)教學(xué)方法顯然已經(jīng)跟不上現(xiàn)代化的教學(xué)要求，不利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力。因此，有必要借助于現(xiàn)代化媒體技術(shù)和統(tǒng)計軟件，制作內(nèi)容、圖形、聲音、圖像等結(jié)合起來的多媒體課件?！矫?，采用多媒體教學(xué)手段進行輔助教學(xué)，能夠?qū)⒔處煆暮芏嘀貜?fù)性的勞動中解脫出來，教師可以將更多的精力和時間投入到如何分析和解釋問題，以提高課堂效率，與學(xué)生有效地進行課堂交流。另一方面，用圖形動畫和模擬實驗等多媒體作為輔助教學(xué)手段，便于學(xué)生對概念、圖形等的理解。如投幣試驗、高爾頓板釘實驗等小動畫在不占用太多課堂時間的同時，又增添了課堂的趣味性。又如在利用Mathematica軟件演示大數(shù)定律和中心極限定理時，就能將抽象的定理化為形象的直觀認識，達到一定的教學(xué)效果。在處理概率統(tǒng)計問題中，教師也會面對大量的數(shù)據(jù)，另外，集數(shù)學(xué)計算、處理與分析為一身的數(shù)據(jù)處理軟件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在計算一些冗長數(shù)據(jù)時可以簡化計算，降低理論難度。而且，在教師的演示過程中，能讓學(xué)生初步了解如何應(yīng)用計算機及軟件，將所學(xué)的知識用于解決生產(chǎn)生活中的實際問題，從而激發(fā)他們學(xué)習概率知識的熱情，提高他們利用計算機解決問題的能力。

最后，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該考慮到各個專業(yè)的學(xué)生今后學(xué)習與發(fā)展的需要，在滿足教學(xué)大綱的要求下，選擇與其專業(yè)關(guān)系緊密的知識點進行重點講授。同時，在講授過程中，本著以人為本的教學(xué)理念，注意多種方法靈活應(yīng)用，建立積極的互動教學(xué)模式，盡量避免教師在課堂上滿堂灌、填鴨式地教學(xué)，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習的主動性，挖掘?qū)W生的學(xué)習潛能，最大限度地發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的聰明才智，使學(xué)生能理解概率統(tǒng)計這一學(xué)科領(lǐng)域思想方法的精髓。

論文參考文獻：

[1]盛驟，謝式千。潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜啟源．數(shù)學(xué)模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐鐘濟．蒙特卡羅方法[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985：171—188．

[4] 郝曉斌，董西廣．數(shù)學(xué)建模思想在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中的應(yīng)用[J]．經(jīng)濟研究導(dǎo)刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐榮聰，游華．(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)課程案例教學(xué)法[J]．寧德師專學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008(2)：145—147．

第三篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計，運籌學(xué)，計算數(shù)學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，還有新增的應(yīng)用數(shù)學(xué)，每個學(xué)校情況不太一樣，每個導(dǎo)師研究的方向也不太一樣?？茨銏蟮哪膫€學(xué)校了~~ 贊同

數(shù)學(xué)的方向還是比較多的，比如金融，計算機，理科的方向 贊同

參看08年該校碩士招生簡章中的專業(yè)目錄及參考書目，先做到心里有數(shù) 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生簡章都是在上一年的研究生招生錄取工作結(jié)束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 現(xiàn)在不要急 先按照08的看 一般兩三年之內(nèi)不會有什么變化 即使有 也是在原有基礎(chǔ)上 增加或改動一兩本參考書的版本 不會有實質(zhì)性的變動 而且 你如果現(xiàn)在就開始準備考研復(fù)習那就算比較早的了 一般從暑假開始復(fù)習就可以的 所以這個時期是基礎(chǔ)段復(fù)習可把精力主要放在英語上 強化英語考研詞匯是非常必要的 至于專業(yè)課 可以先按08的指定參考書初步復(fù)習等新的招生簡章出來 再進行有針對性地復(fù)習不用擔心萬一改動了我會不會白白看了 以一個過來人的經(jīng)驗 知識儲備的越多越好 名校的試題往往不局限于指定參考書的范圍（樓主既然這么問了，這要好好慢慢的回答）

建議樓主考清華的經(jīng)濟學(xué)研究生，清華的工科類要強于北大（個人意見）；2，清華現(xiàn)在要考考A版的數(shù)學(xué)對你的有點好處，但影響不大，復(fù)試對你有利。3，清華的專業(yè)課考的難都因人而異，初試復(fù)試考一樣的專業(yè)課,包括金融學(xué)（含國際金融、證券投資、投資市場、保險精算等，本專業(yè)所招人數(shù)最多）、國際經(jīng)貿(mào)（研究生階段叫做世界經(jīng)濟）、西方經(jīng)濟學(xué)、財政學(xué)、政治經(jīng)濟學(xué)專業(yè);報考時可以隨意報考自己喜歡的專業(yè)，錄取時先全院統(tǒng)一錄?。ò捶謹?shù)高低），再按分數(shù)與志愿選擇；專業(yè)課考的不是很難；（建議樓主去看下金融學(xué)基礎(chǔ)，復(fù)旦大學(xué)出版社簡稱白皮書，或許對你有幫助）4，清華經(jīng)濟就業(yè)形勢就目前環(huán)境下就業(yè)非常棒，中國才處于開始階段，每年畢業(yè)生到各大銀行、金融機構(gòu)、保險機構(gòu)、證券公司、財政貨幣機關(guān)、國家機關(guān)及高校任職，待遇非常之高！

網(wǎng)站，你可以試試去這里看看。在頁面中部的對話框輸入學(xué)校或?qū)I(yè)就可以任意查。在這里，你還可以查到任意學(xué)校的招生簡章，復(fù)習指導(dǎo)，網(wǎng)上報名及其它重要信息。全國各校公布分數(shù)線的時間也在這里最早發(fā)布。你可以試試，相信不會讓你失望。。

因你是轉(zhuǎn)專業(yè)，再給你一點個人建議吧

一、慎重選擇：不要輕易下決定

不斷地學(xué)習不同領(lǐng)域的知識，是所有有求知欲的人們的美好愿望，然而，這同樣會成為朝三暮四的借口。

其實，很多考研人本來就存有逃避現(xiàn)實社會的壓力，而選擇繼續(xù)呆在學(xué)校的心理;而在跨專業(yè)考研的人中，更有許多人根本就沒有好好學(xué)過原來的專業(yè)，甚至從沒認真考慮過是否自己適合它，只為了逃避，才選個看起來容易的專業(yè)去考。

如果是這樣，請先停下來想想自己到底想要什么再說。因為一顆對待生活從不認真的心，是不會因為換了個專業(yè)就能有起色的。

如果不是這樣，那么，也請三思。就因為一直認真，這次更要謹慎。

首先，考研復(fù)習將是艱巨的歷程。隔行如隔山——這句古諺將貫穿之后的整個求學(xué)過程。自己原來的專業(yè)，再不濟也學(xué)了三四年，耳濡目染，基礎(chǔ)知識一定比沒學(xué)過的扎實，細節(jié)也許沒鉆研，但大的格局和概念、思維方式是存在于腦海中的，即使是每次考前一個月的突擊，突擊了四年，也不是沒有用的。這就是本專業(yè)對于外專業(yè)的一大優(yōu)勢。反過來，即是跨專業(yè)者相對于本專業(yè)者的劣勢。

復(fù)習的時候，要花更多的時間在專業(yè)課上，使得基礎(chǔ)課很容易就被擱置了，而任何一科的掉隊，都會影響整個復(fù)習過程的心態(tài)和考試結(jié)果。

其次，備考中可能出現(xiàn)意想不到的困難。

不熟悉專業(yè)試題的答題慣例，會莫名其妙丟掉不該丟的分。而且，筆試通過了，復(fù)試中存在的不確定性因素，使跨專業(yè)者總是難以擁有“盡在掌握”的自信，而它確實也是難以“盡在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面對基本功扎實的同學(xué)們，還是面對有一定要求和標準的導(dǎo)師，還是面對也許讓自己一時找不到坐標點的新求學(xué)生涯——如何給自己定位，如何重拾自信，如何建立對新專業(yè)的“新感情”，如何規(guī)劃以后的職業(yè)和人生，這都是需要付出比別人更多心力去克服的問題。所以，是否要轉(zhuǎn)變方向，換一個專業(yè)，需要尖銳嚴格地審視自身，而不是盲目跟風，可以考慮以下幾點：

是否真正熱愛將要為之付出心血的新專業(yè)?

長遠來看，這個新領(lǐng)域是否有自己的天賦和性格發(fā)揮的空間?

是否可以肯定學(xué)習三年之后真能豐富完善自己的知識結(jié)構(gòu)，而不是剃頭擔子兩頭塌?最后也是最基本最當前的問題：基礎(chǔ)課是否有自身優(yōu)勢?沒有優(yōu)勢怎么撥得出更多的時間給專業(yè)課的復(fù)習?

二、審時度勢：了解自己，踏實去做

經(jīng)過了自我的拷問，還堅定地要跨專業(yè)考研的朋友——相信你一定是個頭腦清醒、夢想堅定的人。

在此，我們不得不再次強調(diào)跨專業(yè)考研的理由和標準：第一，熱愛;第二，基于對自身才智和優(yōu)勢短處進行全面評估而做出的決定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以舉個例子。一個在學(xué)校并非不認真對待自己學(xué)業(yè)的考研人，在經(jīng)過四年的學(xué)習之后，發(fā)現(xiàn)仍然不喜歡自己所學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)，而愛好文史哲。如果基礎(chǔ)課英語政治還不錯，那么他就具備了考慮跨專業(yè)考研的最低要求。那么，接下來怎么確定專業(yè)呢?首先，看愛好。對新聞傳播、考古、文學(xué)皆有興趣，怎么辦?一個一個排除。對于新聞，多搜集資料，看作為一個新聞工作者需要什么樣的素質(zhì)，比如，敏銳的新聞感、強烈的爭取和參與意識、健康的身體。直面自己的優(yōu)缺點，如果有敏銳的新聞感，卻沒有強烈的爭取和參與意識，甚至都無法面對需要長時間的工作強度，那么放棄。對于考古，作同樣評估;另外，如果這時你的父母親反對你的考古夢想，請把他們的憂慮考慮進去，一意孤行并不可取，要考慮到家庭的實際情況;并且，父母也是了解你的人，他們對你的性格、天分其實很了解。那么如果你認為父母意見的可接受性大過你對于考古的熱忱，考古這一項，也被劃去。最后剩下文學(xué)，如果經(jīng)過一系列評估，覺得可行，那么它之下還有很多專業(yè)細分，是中國文學(xué)還是世界、比較文學(xué)，是古代文學(xué)還是現(xiàn)當代文學(xué)?要根據(jù)自己平時看書的偏好、積累的多少、考試試題能否應(yīng)付等等內(nèi)在和外在的因素來決定。這些將和下一部分聯(lián)系起來談。

這只是一個例子，跨專業(yè)的方向轉(zhuǎn)變五花八門，幾頁紙不可能描述詳盡，我們只能通過這個例子，了解一下需要考慮和平衡的各方面因素。

當然，請牢記，內(nèi)心的熱愛和對自己學(xué)習能力的自信在選擇中最為重要。有了這兩點，相

信你的選擇會是對你而言最好的選擇。這將是一個美麗的決定，決定之后，一定有云開見日的感覺。方向確定了，就朝著那兒毫不回頭地走吧。

三、報考準備：眼觀六路，耳聽八方

讓我們直接進入主題。

第一，細分專業(yè)和學(xué)校，確定報考目標。一定要看自己喜歡哪個城市，既然想借助這次的考研改變現(xiàn)狀開始一段新的求學(xué)歷程，一直想去哪個(或哪些)城市念書就不要將就。圈出大致范圍，再找到那里學(xué)校的招生簡章、專業(yè)招生表——網(wǎng)上查找或動用一切關(guān)系。特別要注意的是，你有意向的專業(yè)是否拒絕跨專業(yè)考生。在進行認真細致的對比之下確定兩到三個你想去的名校和你喜歡的專業(yè)。這一步可以和前面確定城市同時進行，每個人情況不同，自行制定每一步適合自己的計劃是必要的，而且能從中得到極大的充實感，總之，它讓我們感到：一切都在自己的控制之下。

然后，盡可能地多找一些這幾個可選學(xué)?？蛇x專業(yè)的歷年試題，仔細研究，看看哪一類的試題自己更有把握。這一步至關(guān)重要，這一步不可省略也不可推后，它將直接影響到以后的考試發(fā)揮。經(jīng)過這一步，學(xué)校和細分專業(yè)幾乎都能定下來了。

這一階段什么時候進行呢?越早越好。我們不提倡把戰(zhàn)線拉得太長，真正有效的復(fù)習從4月到次年1月足矣;然而跨專業(yè)不同，需要“醞釀”。可以不用過早開始真正的復(fù)習，但至少要比別人早兩個月到半年開始尋找學(xué)校、涉獵與新專業(yè)相關(guān)的期刊、書籍、尋找對于新專業(yè)的親近感和對于新學(xué)校新未來的向往感——這是真正復(fù)習開始的前站，用這段時間彌補跨專業(yè)的不足，在真正的戰(zhàn)役打響時，我們將更加堅定更有信心。

第二，專業(yè)課教材到位。前面把工作真正做到細致，4月份到5月份一定要定下最終要考的學(xué)校和專業(yè)。定下之后，就要相信自己的判斷，不要猶疑，快去買專業(yè)課教材!按照學(xué)校列出的書目買全專業(yè)課教材，還要找出一兩個能幫上忙師兄師姐、找同學(xué)、找親戚，甚至找網(wǎng)友去打聽沒有列出的那些。

這里有兩個問題：買書和找?guī)熜謳熃恪约耗苜I到的書，盡量自己去買，有學(xué)?？梢脏]購，有書店可以搜尋，再不行，去圖書館系統(tǒng)或網(wǎng)上找出這本書的出版社，找到出版社電話，打電話、匯款去郵購。不要一開始就事事麻煩別人，自己能解決的自己找渠道解決。后面有更重要的事去麻煩他們。實在不行了，去找?guī)熜謳熃悖钪匾氖菃栴}要明確。隨便說：“我要考你們學(xué)校某專業(yè)，請幫助我”是沒用的。要明確說出你的具體問題，要考哪些書，重點看哪些泛讀看哪些，打聽到哪里能買到自己卻沒辦法，請他們幫忙——聽到這么明確的問題，人人都會樂意幫忙。6月底之前，主要的專業(yè)課教材一定要到位。

第三，復(fù)習時要注意的問題。

首先，基礎(chǔ)課不能偏廢。前面說了，基礎(chǔ)課要有一定把握，才可能跨專業(yè)考研，否則到關(guān)鍵時刻就會感到分身乏術(shù)。在主攻專業(yè)課時，基礎(chǔ)課一天都不能停?？梢杂迷绯?、吃午飯前、吃晚飯前以及睡覺前的時間去復(fù)習英語：閱讀、單詞、聽力，一個都不能少。如果每天堅持，就是這些邊邊角角的時間都足夠英語的復(fù)習準備。政治也一樣，最好報一個秋季班，幾個月上下來，有老師領(lǐng)著復(fù)習，比自己摸索更有效率，大致的知識脈絡(luò)也會清晰起來了。請相信自己，從初中就開始學(xué)的這門課，不會差到哪里去，但也要在心里培養(yǎng)對它的興趣，一討厭它、擱置一段日子，一切都晚了;反過來，每天花兩個小時，只要堅持，就會既輕松又有成就感。

跨專業(yè)考生往往把一腔熱情放在專業(yè)課上，有意無意地就偏廢了基礎(chǔ)課，等發(fā)覺時間緊迫的時候，回頭一看基礎(chǔ)課落下一大截，這會大大影響后面沖刺和考試的信心。

其次，專業(yè)課復(fù)習。11月份報名之前一定要把專業(yè)書踏踏實實至少細讀一遍。這一遍不要欺騙自己，質(zhì)量至上，一定要全部弄通弄懂。這樣在后面的兩個月才會更有底。

筆記一定要做。當11月報名時間來臨時，你會發(fā)現(xiàn)越來越多的人們討論起復(fù)習進度。那時候本專業(yè)考生和別的跨專業(yè)考生所做的準備和進度會讓你大驚失色——有那么多人準備得那么好!本來就對不熟悉的專業(yè)容易產(chǎn)生的“心虛”這個時候會更加強烈，那么回過頭總結(jié)一下自己的成果，只有實實在在密密麻麻的幾本筆記會成為自己的強心劑，數(shù)數(shù)看，幾本筆記，七八萬字是少不了的。加上政治英語，你會為自己所做的上10萬字的筆記而驚訝的。這是積聚信心、抬頭挺胸的重要來源。

四、全力復(fù)習：堅持到底，毫不畏懼

首先，研究歷年試題，自己劃重點。歷年試題非常非常重要，報名之前即11月初，一定要把學(xué)校相關(guān)專業(yè)的歷年試題弄到手。這需要積極調(diào)動網(wǎng)絡(luò)資源，自己能下載的下載，能買到的去買，最后一招：求助師兄師姐。這時提出的請求也一樣要盡可能明確。有一個女生，考某大學(xué)某專業(yè)，通過同學(xué)的同學(xué)的姐姐，找到一位師姐，打電話給她：“我知道你們學(xué)校圖書館五樓的閱覽室有歷年試題的專柜，可以借出來復(fù)印。請幫忙復(fù)印某年到某年某專業(yè)的??”該師姐大驚：“我都不知道有這樣一個地方，你怎么知道的?”這個女生慢慢說來，怎么從網(wǎng)上找到該學(xué)校專欄討論、怎么了解到的，師姐大開眼界，興趣高漲，幫她把相關(guān)專業(yè)能找到的試題全都復(fù)印一通寄去。

接下來就是更仔細地研究試題。只需要一個晚上時間，把歷年試題全都擺在桌面，總結(jié)規(guī)律和重點難點，老師出題的習慣等等。借此可以劃出下一步復(fù)習的重點(甚至是考試的重點)，不再一律通讀，而是有頭腦的、有目標的復(fù)習。不要怕系內(nèi)老師改朝換代，再改也有一脈相承的科研風格，掌握了大體，以不變應(yīng)萬變。

劃完重點，一股“運籌帷幄”的氣勢油然而生，趁著這股氣勢，投入到更深入的復(fù)習中去，一定事半功倍。

其次，為考試做準備，掌握專業(yè)答題習慣。在剩下的兩個月當中，一定要找點時間去學(xué)校的自己要考的專業(yè)宿舍混混，目的是了解專業(yè)答題有什么慣例、有什么特殊要求和需要注意的地方。隨便哪個學(xué)校都行，自己方便找的、正規(guī)的大學(xué)就可以;當然，方便的話，最佳選擇就是所考學(xué)校研一同專業(yè)學(xué)生宿舍，這樣就不僅了解試題情況，還可以挖掘更多這兩個月應(yīng)該注意的問題。

考試的時候，和復(fù)習中所強調(diào)的一樣——一定要自信。要相信自己經(jīng)過了周密的計劃、萬全的準備。拿到試卷的時候，要像熱愛專業(yè)書籍一樣熱愛它們，冷靜的頭腦，熱情的心靈，一定戰(zhàn)無不勝。

最后，就是復(fù)試了。關(guān)于導(dǎo)師是否要找，各有各的說法，能找到最好，沒找過的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其實接到復(fù)試通知書的時候，一般都沒有更多時間去擴展知識面了，這些是最初就應(yīng)該做的。這時候跨專業(yè)考生常常擔心自己的基礎(chǔ)不夠，再次心虛。那么與其瞎抓一把，不如把以前看過的書拿出來再翻一遍，總有用得上的，做生不如做熟。對于某些領(lǐng)域的熟悉或精通，比泛泛而談更能顯出自己的特色。用真誠的微笑和哪怕是使勁鼓才能鼓起的信心和勇氣，去直面導(dǎo)師。好歹經(jīng)過這一年的學(xué)習，我們也算復(fù)合型人才了，怕什么!

說到這里，整個過程看起來完了——其實沒有!拿到錄取通知書的時候，是一個開始。

進入研究生階段的學(xué)習，是一個更自主、更專業(yè)的學(xué)習過程，跨專業(yè)學(xué)生一踏入這片天地，肯定會受到?jīng)_擊。不熟悉的領(lǐng)域，老師覺得應(yīng)該是常識自己卻聞所未聞的知識，難以找到的新生活定位??這些都要有心理準備。建議在5月到8月這段天堂般的生活中也不要忘記看看與專業(yè)相關(guān)的書籍(并非專業(yè)課本)，繼續(xù)打基礎(chǔ)，進入研究生生活根本沒有時間給你去打基礎(chǔ)。

總之，對于勇敢的考研人，繼續(xù)用韌性和信心，在開學(xué)前調(diào)養(yǎng)好身心，并不放棄不斷學(xué)習的好習慣，為進入一個新的求學(xué)生涯做好準備，都是必要的。相信這樣貫穿始終的準備，一定會迎來新的局面，實現(xiàn)挑戰(zhàn)人生充實自己的夢想。對生活認真，生活也會認真地回報你。要相信，要堅持。

第四篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

一、隨機事件和概率

考試內(nèi)容

隨機事件與樣本空間 事件的關(guān)系與運算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質(zhì) 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公式 事件的獨立性 獨立重復(fù)試驗

考試要求

1．了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運算．

2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式．

3．理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件概率的方法.二、隨機變量及其分布

考試內(nèi)容

隨機變量 隨機變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì) 離散型隨機變量的概率分布 連續(xù)型隨機變量的概率密度 常見隨機變量的分布 隨機變量函數(shù)的分布

考試要求

1．理解隨機變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率．

2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應(yīng)用．

3.了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布.4．理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為 的指數(shù)分布 的概率密度為

5．會求隨機變量函數(shù)的分布．

三、多維隨機變量及其分布

考試內(nèi)容

多維隨機變量及其分布 二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機變量的獨立性和不相關(guān)性 常用二維隨機變量的分布 兩個及兩個以上隨機變量簡單函數(shù)的分布

考試要求

1．理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分布的概念和性質(zhì).理解二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變量相關(guān)事件的概率．

2．理解隨機變量的獨立性及不相關(guān)性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件.3．掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義．

4．會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數(shù)的分布.四、隨機變量的數(shù)字特征

考試內(nèi)容

隨機變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標準差及其性質(zhì) 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)

考試要求

1．理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會

運用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征．

2.會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.五、大數(shù)定律和中心極限定理

考試內(nèi)容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大數(shù)定律 伯努利（Bernoulli)大數(shù)定律 辛欽（Khinchine）大數(shù)定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列維－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考試要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律(獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二項分布以正態(tài)分布為極限分布)和列維-林德伯格定理(獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理)．

六、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

考試內(nèi)容

總體 個體 簡單隨機樣本 統(tǒng)計量 樣本均值 樣本方差和樣本矩分布分布分布 分位數(shù) 正態(tài)總體的常用抽樣分布

考試要求

1．理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性質(zhì)，了解上側(cè) 分位數(shù)的概念并會查表計算．

3．了解正態(tài)總體的常用抽樣分布．

七、參數(shù)估計

考試內(nèi)容

點估計的概念 估計量與估計值 矩估計法 最大似然估計法 估計量的評選標準 區(qū)間估計的概念 單個正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計 兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計

考試要求

1．理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念．

2．掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法．

3．了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性．

4、理解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.八、假設(shè)檢驗

考試內(nèi)容

顯著性檢驗 假設(shè)檢驗的兩類錯誤 單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗

考試要求

1．理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設(shè)檢驗的基本步驟，了解假設(shè)檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤．

2．掌握單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗．

數(shù)學(xué)大綱和去年相比變化之處

從拿到大綱的情況來說，今年的大綱和往年是沒有什么變化，這一點和我前面所預(yù)測的是基本上一致的。當然大綱沒有變化，對大家也有一個好處，也就是大家可以按照原先的計劃，按步就班的走，不用考慮有一些計劃

調(diào)整等等這樣一類的東西。

2011年考試的難度是有一個怎樣的趨勢

至于難度，咱們要說2011年的難度，可以看一下這幾年的難度水平。數(shù)一2008，2009年的難度水平基本上是一致的，2010年的考試難度有一定的上升，我認為2011年難度水平應(yīng)該有所下降。大綱沒有變，而考研是一個選拔性的考試，要求有一定的穩(wěn)定性。所以，數(shù)一的同學(xué)，2011年的考試試題難度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。對數(shù)二和數(shù)三來說，水平應(yīng)該和往年基本上是一致的。

2011年的考察重點會在哪個方面

由于今年考研大綱沒有變化，我們可以根據(jù)考試的一些要求，還有歷年考試真題的情況，咱們可以看一下歷

年考試的重難點。

咱們看高等數(shù)學(xué)部分，高等數(shù)學(xué)部分第一部分函數(shù)、極限連續(xù)這一塊，重點要求掌握兩個重要極限，未定式的極限、等價無窮小代換，這樣一些東西，還有一些極限存在性問題，間斷點的類型，這些東西在歷年的考察中都比較高，而我上課的時候一直給大家強調(diào)，考極限的話，主要考的是洛必達法則加等價無窮小代換，特別針對

數(shù)三的同學(xué)，這兒可能出大題。

第二部分是一元函數(shù)微分學(xué)，這塊大家主要處理這幾個關(guān)系，連續(xù)性，可導(dǎo)性和可微性的關(guān)系，掌握各種函數(shù)的求導(dǎo)方法。比如隱函數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)等等這一類的，還有注意一元函數(shù)的應(yīng)用問題，這也是歷年考試的一個重點。數(shù)三的同學(xué)這兒結(jié)合經(jīng)濟類的一些試題進行考察。

一元函數(shù)微分學(xué)涉及面非常廣，題型比較多，而且這一部分還有一個比較重點的內(nèi)容，就是出證明題。咱們知道中值定理是歷年經(jīng)?？嫉囊粋€考點，所用的主要方式就是構(gòu)造輔助函數(shù)的方法進行證明。當然，這里還包含

一部分等式和不等式的證明，零點問題，以及極值和凹凸性。

多元函數(shù)微分學(xué)，這一塊內(nèi)容實際上也是按照一元函數(shù)微分學(xué)的形式進行考察的，比如咱們求偏導(dǎo)數(shù)，先固定一個變量，給另一個變量求導(dǎo)數(shù)，歸根到底還是考察一元函數(shù)微分學(xué)。對多元函數(shù)微分學(xué)，大家還有一個內(nèi)容

要掌握，連續(xù)性、偏導(dǎo)性和可微性，特別是抽象函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)和二階混合偏導(dǎo)這一類的題。

當然，還有一個問題，多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用，主要牽扯兩方面，一個是條件極值，一個是最值問題。這兩

塊。

積分學(xué)包含兩塊，也就是一元函數(shù)積分學(xué)和多元函數(shù)積分學(xué)，對于一元函數(shù)積分學(xué)一個是不定積分和定積分的計算，對不定積分一定要非常熟練掌握基本運算，對于定積分除了掌握用不定積分計算的方式，還要注意用定

積分的性質(zhì)，比如定積分的奇偶性，周期性，單調(diào)性等等。

還有一塊，定積分應(yīng)用，主要考察面積問題，體積問題，或者說這塊和微積分的結(jié)合等等。對于數(shù)一的同學(xué)來說，咱們還牽扯到一塊，三重積分，曲線和曲面積分這兩塊，對于三重積分來說，大家主要掌握一些基本的，比如對球體、錐體、圓柱的積分，對于曲線和曲面積分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二類曲線積分轉(zhuǎn)化成二重積分，利用高斯公式把曲面積分轉(zhuǎn)化成三重積分進行運算，這里有一個比較常考的知識點，曲

線積分與路徑無關(guān)，這個要作為一個主要的知識點進行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有兩個重點，一個是一元線性微分方程，第二個是二階常系數(shù)齊次/非齊次線性微分方程，對第一部分，大家掌握九種小類型，針對每一種小類型有不同的解題方式，針對每個不同的方程，套用不同的公式就行了。對于二階常系數(shù)線性微分方程大家一定要理解解的結(jié)構(gòu)。另一塊對于非齊次的方程來說，大家要注意它和特征方程的聯(lián)系，有齊次為方程可以求它的通解，當然給出的通解大家也要寫出它的特征

方程，這個變化是咱們這幾年的一個趨勢。這一類問題就是逆問題。

對于二階常系數(shù)非齊次的線性方程大家要分類掌握。當然，這一塊對于數(shù)三的同學(xué)來說，還有一個差分方程的問題，差分方程不作為咱們的一個重點，而且提醒大家一下，學(xué)習的時候要注意，差分方程的解題方式和微方

程是相似的，學(xué)習的時候要注意這一點。

第五個，級數(shù)問題，主要針對數(shù)一和數(shù)三，有兩個重點，一個是常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，包括斂散性。

第二塊，牽扯到冪級數(shù)，大家要熟練掌握冪級數(shù)的收斂區(qū)間的計算，收斂半徑與和函數(shù)，冪級數(shù)展開的問題，要掌握一個熟練的方法來進行計算。對于冪級數(shù)求和函數(shù)它可能直接給咱們一個冪級數(shù)求它的和函數(shù)或者給出一

個常數(shù)項級數(shù)讓咱們求它的和，要轉(zhuǎn)化成適當?shù)膬缂墧?shù)來進行求和。

關(guān)于線性代數(shù)這一塊，有這樣幾個重點的內(nèi)容，一個是逆矩陣和矩陣的秩。第二個，向量的線性相關(guān)性和向量的線性表示。向量組合的相關(guān)性，這一塊極有可能考的類似于計算的證明題。比如讓咱們證明幾個向量線性無關(guān)。第三塊是方程組的解的討論，其中還包括有待定參數(shù)的解的討論，這塊的問題，往年也考得比較多。

第四塊特征值和特征向量的性質(zhì)，以及矩陣的對角化。

第五塊，正定二次型的判斷。大家在學(xué)線代的時候，還要注意一個方向，就是線性代數(shù)各個章節(jié)的連貫性是比較強的，我們在復(fù)習總結(jié)的時候，特別是后期，對于這一塊內(nèi)容要自己有一個總結(jié)，然后還可以看一看比如咱

們的復(fù)習全書或者復(fù)習指南這之類的書，在腦海中對線性參數(shù)的知識點要形成一個知識性框架。

概率統(tǒng)計這塊（數(shù)二不考），概率統(tǒng)計要注重這幾塊內(nèi)容，一個是概率的性質(zhì)與概率的公式，這一塊要求咱們非常熟練的掌握，比方說加法公式，減法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，這塊要非常熟悉的掌握。

還有一部分，古典概率和幾何概率，這塊大家掌握中等難度的題就可以了。

第二塊，一維隨機變量函數(shù)的分布，這個要重點掌握連續(xù)性變量的這一塊。這里面有個難點，一維隨機變量函數(shù)這是一個難點，求一元隨機變量函數(shù)的分布有兩種方式，一個是分布函數(shù)法，這是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相對比較便捷，但是應(yīng)用范圍有一定的局限性。

第三塊，多維隨機變量的聯(lián)合分布和邊緣分布還有條件分布，多維隨機變量的獨立性，這塊是考試的重點，當然也是一個難點。這塊還有一個問題要求大家掌握的，隨機變量的和函數(shù)和最值函數(shù)的分布。

第四塊，隨機變量的數(shù)字特征，這塊很重要，要記住一維隨機變量的數(shù)字特征都要記熟，數(shù)字特征很少單獨性考察，往往和前面的一維隨機變量函數(shù)和多維隨機變量函數(shù)和第六章的數(shù)理統(tǒng)計結(jié)合進行考察。特別針對數(shù)一的同學(xué)來說，考察矩估計和最大似然估計的時候會考察無偏性。

第五塊，參數(shù)估計這一點是咱們經(jīng)常出大題的地方，這一塊對咱們數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三的同學(xué)，包含兩塊知識點，一個是矩估計，一個是最大似然估計，這兩個集中出大題。數(shù)一的同學(xué)，咱們特別強調(diào)一點，考這個矩估計

或者最大似然估計，極有可能結(jié)合無偏性或者有效性進行考察。

第五篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗報告

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

實驗報告

題目1：n個人中至少有兩人生日相同的概率是多少？通過計算機模擬此結(jié)果。

問題分析：n編程：

n=input('請輸入總?cè)藬?shù)n=');a=365^n;m=n-1;b=1;

for i=0:1:m

b=b*(365-i);end

f=1-b/a 個人生日的組合為a=n365，n個人中沒有生日相同的組合為

b=365*364*......*(365-n+1),則n個人中至少有兩個人生日相同的概率為1-b/a。

輸出結(jié)果：（令n=50）

結(jié)果分析：當人數(shù)為50人時，輸出結(jié)果為0.9704，此即說明50人中至少有兩人生日相同的概率為0.9704。

題目2：設(shè)x~N(μ,σ2)，（1）當μ=1.5，σ=0.5時，求p｛1.8

問題分析：（1）、（2）題直接調(diào)用相應(yīng)函數(shù)即可，（3）題需要調(diào)用繪圖的相關(guān)函數(shù)。編程：

x1=[1.8,2.9];x2=-2.5;

x3=[0.1,3.3];

p1=cdf('Normal',x1,1.5,0.5);p2=cdf('Normal',x2,1.5,0.5);p3=cdf('Normal',x3,1.5,0.5);f1=p1(2)-p1(1)f2=1-p2

f3=1-p3(2)+p3(1)%2(1)x=icdf('Normal',0.95,0,1)

%2(2)

x=[-4:0.05:10];

y1=pdf('Normal',x,1,0.5);y2=pdf('Normal',x,2,0.5);y3=pdf('Normal',x,3,0.5);y4=pdf('Normal',x,4,0.5);

plot(x,y1,'K-',x,y2,'K--',x,y3,'*',x,y4,'+')輸出結(jié)果：

f1 = 0.2717 f2 = 1.0000 f3 = 0.0027 x = 1.6449（右圖為概率密度函數(shù)圖像）

題目3：已知每百份報紙全部賣出可獲利14元，賣不出去將賠8元，設(shè)報紙的需求量 的分布律為

試確定報紙的最佳購進量。（要求使用計算機模擬）

問題分析：由題意知賣出百份可賺14元而賣不出的一百份會賠8元，所以購進整百份報紙比較劃算。設(shè)X（k）為購進k百張報紙后賺得的錢，分別計算E（X（k））（k=0,1,2,3,4,5），由此得到當k=3時，E（X（k））最大，故最佳購進量為300。下面用計算機模擬該過程。

編程：

T=[];

for k=0:5;s=0;

for n=1:3000;x=rand(1,1);if x<=0.05;y=0;

elseif x<=0.15;y=1;

elseif x<=0.4;y=2;

elseif x<=0.75;y=3;

elseif x<=0.9;y=4;

else x<1;y=5;

end;

if k>y;

w=22*y-8*k;

else;

w=14*k;

end s=s+w;end

t=s/3000;T=[T,t];end T

輸出結(jié)果：T =0 12.8193 23.6807 28.7120 27.3780 20.3167 結(jié)果分析：本題利用利用計算機模擬購進量不同時利潤的不同,得到3000次隨機試驗利潤的樣本均值，最終是購進300份報紙時獲利期望最大為28.8440元，故最佳購進量是300張。

題目4：就不同的自由度畫出t分布的概率密度曲線。

編程:(在命令窗口中輸入n=20)x=[-4:0.00005:4];y1=pdf('T',x,1);y2=pdf('T',x,2);y3=pdf('T',x,5);y4=pdf('T',x,10);

n=input('自由度n=');y5=pdf('T',x,n);

plot(x,y1,'K-',x,y2,'Y--',x,y3,'R:',x,y4,'-.',x,y5,'m')輸出結(jié)果：（如下圖）

題目5：:設(shè)某工件長度X服從正態(tài)分布（a，16），今抽取9件測量其長度，的數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：142 138 150 165 148 132 135 160.求參數(shù)在（147.333-x,147.333+x）的置信度(平均值為147.333 n=9）

編程：（在命令窗口中輸入x=0.05）

x=input('x=')a=3*x/4

specs=[-a,a]

pp=normspec(specs,0,1)

輸出結(jié)果：

x=0.05 pp = 0.0299

結(jié)果分析：參數(shù)在（147.333-0.05,147.333+0.05）區(qū)間犯錯誤的概率為0.0299，即參數(shù)在此區(qū)間的置信度為1-0.0299=0.9801。

題目6：為了了解一臺測量長度的儀器的精度，對一根長為30mm的標準金屬棒進行了六次重復(fù)測量，結(jié)果如下（單位：mm）

30.1 29.9 29.8 30.3 30.2 29.6

若儀器無系統(tǒng)偏差，即μ=30,求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間。

編程：

x=[30.1,29.9,29.8,30.3,30.2,29.6];u=30;

for i=1:6;

b=[x-u].^2;end

c=b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+b(5)+b(6);f1=chi2inv(0.025,6);f2=chi2inv(0.975,6);c1=c/f1 c2=c/f2

輸出結(jié)果：

c1 =0.2829 c2 =0.0242 結(jié)果分析：在犯錯誤的概率不超過

0.05的前提下，（0.0242,0.2829）。

該參數(shù)的置信區(qū)間為