第一篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B教學(xué)大綱

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（B）”教學(xué)大綱

The Theory of Probability and Mathematical Statistics(B)

預(yù)修課程: 高等數(shù)學(xué) 總學(xué)時: 54 學(xué)分：3

一、教學(xué)目標(biāo)及要求

本課程是高校理工類各專業(yè)的基礎(chǔ)課，通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能系統(tǒng)正確地掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)知識和應(yīng)用方法，為學(xué)習(xí)專業(yè)課程打下基礎(chǔ)。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)思想方法的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)概念的直觀理解。

三、教材及主要參考書

教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》陳希孺編，中國科技大學(xué)出版社，1992年。

主要參考書:《基本統(tǒng)計(jì)方法教程》傅權(quán)、胡蓓華編，華東師范大學(xué)出版社，1986年。

四、課程章節(jié)與課時分配

第一章 事件的概率（9學(xué)時）§1.1概率是什么? §1.2古典概率計(jì)算

§1.3事件的運(yùn)算,條件概率與獨(dú)立性

第二章 隨機(jī)變量及其概率分布（9學(xué)時）§2.1一維隨機(jī)變量 §2.2多維隨機(jī)變量

§2.3條件概率分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 §2.4隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布

第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征（9學(xué)時）§3.1數(shù)學(xué)期望與中位數(shù) §3.2方差與矩

§3.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

§3.4大數(shù)定理和中心極限定理

第四章 參數(shù)估計(jì)（12學(xué)時）§4.1數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 §4.2矩估計(jì),極大似然估計(jì) §4.3點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則 §4.4區(qū)間估計(jì)(置信區(qū)間)

第五章 假設(shè)檢驗(yàn)（15學(xué)時）§5.1問題的提法和基本概念 §5.2重要參數(shù)的檢驗(yàn) §5.3擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

第二篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)A,教學(xué)大綱

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)A

Probability & Statistics A

課程編碼：09A00210 學(xué)分：3.5 課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)課 計(jì)劃學(xué)時：56

其中講課：56 實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`：0 上機(jī)：0 適用專業(yè)：部分理工類、經(jīng)濟(jì)、管理類學(xué)院各專業(yè)，主要有信息學(xué)院、機(jī)械學(xué)院、電氣自動化、土建學(xué)院、資環(huán)學(xué)院、商學(xué)院、物理學(xué)院等。

推薦教材：楊殿武 苗麗安主編，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，科學(xué)出版社，2014年;參考書目：浙江大學(xué)盛驟主編，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，高等教育出版社，2009年;吳贛昌主編，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，中國人民大學(xué)出版社，2006年。

課程的教學(xué)目的與任務(wù)

本課程是大部分理工科、管理、經(jīng)濟(jì)類各專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，課程內(nèi)容側(cè)重于講解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論與方法，同時在教學(xué)中結(jié)合各專業(yè)的特點(diǎn)介紹性地給出在各領(lǐng)域中的具體應(yīng)用。課程的任務(wù)在于通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得：隨機(jī)事件與概率、一元與多元隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征；、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決隨機(jī)問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和解決實(shí)際問題的能力。

課程的基本要求

（一）概率論基礎(chǔ)

掌握古典概型、幾何概型的計(jì)算；掌握全概率公式及貝葉斯公式的運(yùn)用及獨(dú)立性。

（二）隨機(jī)變量及其分布

掌握一維離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布的計(jì)算及一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。

（三）多維隨機(jī)變量及其分布

1、掌握二維離散型隨機(jī)變量的概率分布及二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的性質(zhì)。

2、掌握二維離散和連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布和隨機(jī)變量的獨(dú)立性及二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。

（四）隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、掌握數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及運(yùn)算;掌握六種常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差。

2、掌握協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)性。

（五）大數(shù)定律與中心極限定理

了解切比雪夫不等式，了解獨(dú)立同分布中心極限定理和棣莫佛--拉普拉斯定理。

（六）參數(shù)估計(jì)

掌握三大分布χ2 分布、t分布及F分布及正態(tài)總體的常用的統(tǒng)計(jì)量分布；掌握矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)的方法。

（七）假設(shè)檢驗(yàn)

理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，掌握單個正態(tài)總體的均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)，了解兩個正態(tài)總體均值與方差相等的假設(shè)檢驗(yàn)。

各章節(jié)授課內(nèi)容、教學(xué)方法及學(xué)時分配建議

第1章 概率論基礎(chǔ) 建議學(xué)時：10學(xué)時

[教學(xué)目的與要求] 理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算；理解概率、條件概率的定義，掌握概率的基本性質(zhì)，會計(jì)算古典概型和幾何概型的概率；掌握概率的加法公式，乘法公式，會應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式；理解事件獨(dú)立性的概念，掌握應(yīng)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算的方法.[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 重點(diǎn)：事件之間的關(guān)系與運(yùn)算、概率的基本性質(zhì)與計(jì)算；難點(diǎn)：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學(xué)為主，結(jié)合課堂練習(xí)與討論，課后練習(xí)及答疑為輔。[授 課 內(nèi) 容] 1.1 概率論的基本概念 1.2 概率的定義 1.3 條件概率 1.4 事件的獨(dú)立性

第2章 隨機(jī)變量及其分布

建議學(xué)時：10學(xué)時

[教學(xué)目的與要求] 理解隨機(jī)變量、分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會計(jì)算與隨機(jī)變量有關(guān)的事件的概率；理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布及其應(yīng)用；理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系；掌握正態(tài)分布，均勻分布和指數(shù)分布及其應(yīng)用；會求簡單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 重點(diǎn)：離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算，六種常見隨機(jī)變量的分布；難點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學(xué)為主，結(jié)合課堂練習(xí)與討論，課后練習(xí)及答疑為輔。[授 課 內(nèi) 容] 2.1 隨機(jī)變量

2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布 2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第3章 多維隨機(jī)變量及其分布 建議學(xué)時：10學(xué)時

[教學(xué)目的與要求] 理解二維隨機(jī)變量、聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及兩種基本形式：離散型聯(lián)合概率分布，邊緣分布和條件分布；連續(xù)型聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度，會利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率；理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性的概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件；掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度；會求兩個獨(dú)立隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 重點(diǎn)：二維離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算，獨(dú)立性的概念；難點(diǎn)：二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算，隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學(xué)為主，結(jié)合課堂練習(xí)與討論，課后練習(xí)及答疑為輔。[授 課 內(nèi) 容] 3.1 多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 3.2 二維隨機(jī)變量及其分布 3.3 隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布 3.4 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第4章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征 建議學(xué)時：8學(xué)時

[教學(xué)目的與要求] 理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)）的概念；并會運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征；掌握常用分布的數(shù)字特征的概念意義和實(shí)際背景；會根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會根據(jù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；掌握隨機(jī)變量獨(dú)立性與相關(guān)系數(shù)的相互關(guān)系。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 重點(diǎn)：常用六種隨機(jī)變量的數(shù)字特征的概念意義及計(jì)算，邊緣分布的求法；難點(diǎn)：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征，相關(guān)系數(shù)。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學(xué)為主，結(jié)合課堂練習(xí)與討論，課后練習(xí)及答疑為輔。[授 課 內(nèi) 容]

4.1 數(shù)學(xué)期望

4.2 方差

4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

第5章 大數(shù)定律與中心極限定理 建議學(xué)時：2學(xué)時

[教學(xué)目的與要求] 了解大數(shù)定律與中心極限定理的中心思想與意義。[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 辛欽大數(shù)定律、棣莫佛--拉普拉斯定理。[授 課 方 法] 以課堂講授為主，課堂討論和課下自學(xué)為輔。[授 課 內(nèi) 容]

5.1 大數(shù)定律

5.2 中心極限定理

第6章 參數(shù)估計(jì)

建議學(xué)時：8學(xué)時

[教學(xué)目的與要求] 理解樣本和統(tǒng)計(jì)量等基本概念;掌握樣本均值、樣本方差的計(jì)算;熟悉χ2 分布、t分布及F分布及正態(tài)總體的常用的統(tǒng)計(jì)量的分布。理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念；掌握矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法；了解估計(jì)量的無偏性，有效性和一致性的概念，并會驗(yàn)證估計(jì)量的無偏性；了解區(qū)間估計(jì)的概念，會求單正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] χ2 分布、t分布及F分布及正態(tài)總體的常用統(tǒng)計(jì)量的分布，矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法，正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學(xué)為主，結(jié)合課堂練習(xí)與討論，課后練習(xí)及答疑為輔。[授 課 內(nèi) 容]

6.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 6.2 點(diǎn)估計(jì)

6.3 區(qū)間估計(jì)

第7章 假設(shè)檢驗(yàn)

建議學(xué)時：8學(xué)時

[教學(xué)目的與要求] 理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯誤；了解單正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)方法及雙正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)方法。

[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)] 單正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)；雙正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學(xué)為主，結(jié)合課堂練習(xí)與討論，課后練習(xí)及答疑為輔。[授 課 內(nèi) 容] 7.1 假設(shè)檢驗(yàn)概述 7.2 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 7.3 兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)

撰稿人：王金梅

審核人：楊殿武

第三篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)大綱

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)大綱

（2002年制定 2004年修訂）

課程編號：

英 文 名：Probability Theory and Mathematical Statistics 課程類別：學(xué)科基礎(chǔ)課 前 置 課：高等數(shù)學(xué)

后 置 課：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、抽樣調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、貝葉斯統(tǒng)計(jì)、非參數(shù)估計(jì)、統(tǒng)計(jì)分析軟件、時間序列分析、統(tǒng)計(jì)預(yù)測與決策、多元統(tǒng)計(jì)分析、風(fēng)險(xiǎn)理論

學(xué) 分：5學(xué)分 課

時：85課時 修讀對象：統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)學(xué)生 主講教師：楊益民等

選定教材：盛驟等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，北京：高等教育出版社，2001年（第三版）

課程概述：

本課程是統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)課程，其理論及方法與數(shù)學(xué)其它分支、相互交叉、滲透，已經(jīng)成為許多自然科學(xué)學(xué)科、社會與經(jīng)濟(jì)科學(xué)學(xué)科、管理學(xué)科重要的理論工具。由于其具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，特別是隨著統(tǒng)計(jì)應(yīng)用軟件的普及和完善，使其應(yīng)用面幾乎涵蓋了自然科學(xué)和社會科學(xué)的所有領(lǐng)域。本課程是統(tǒng)計(jì)專業(yè)學(xué)生打開統(tǒng)計(jì)之門的一把金鑰匙，也是經(jīng)濟(jì)類各專業(yè)研究生招生考試的重要專業(yè)基礎(chǔ)課。本課程由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩部分組成。概率論部分側(cè)重于理論探討，介紹概率論的基本概念，建立一系列定理和公式，尋求解決統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程問題的方法。其中包括隨機(jī)事件和概率、隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理等內(nèi)容；數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分則是以概率論作為理論基礎(chǔ)，研究如何對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。包括數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)統(tǒng)計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、非參數(shù)檢驗(yàn)、方差分析和回歸分析等。教學(xué)目的：

通過本課程的學(xué)習(xí)，要求能夠理解隨機(jī)事件、樣本空間與隨機(jī)變量的基本概念，掌握概率的運(yùn)算公式，常見的各種隨機(jī)變量（如0－1分布、二項(xiàng)分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等）的表述、性質(zhì)、數(shù)字特征及其應(yīng)用，一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、二維隨機(jī)變量的和分布、順序統(tǒng)計(jì)量的分布。理解數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的本質(zhì)涵義，掌握數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用各種計(jì)算公式。了解大數(shù)定律和中心極限定量的內(nèi)容及應(yīng)用，熟悉數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)推斷的各種基本方法，能用所掌握的方法具體解決所遇到的各種社會經(jīng)濟(jì)問題，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)專業(yè)課打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)方法：

本課程具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，在教學(xué)過程中要注意理論聯(lián)系實(shí)際，從實(shí)際問題出發(fā)，通過抽象、概括，引出新的概念。由于本課程是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，學(xué)生之前從未接觸過，學(xué)習(xí)起來會感到難度較大，授課時應(yīng)突出重點(diǎn)，講清難點(diǎn)。要使學(xué)生明白，本課程主要研究哪些方面的問題，從何角度、用何原理和方法進(jìn)行研究的，是怎樣研究的，得到哪些結(jié)論，如何用這些方法和結(jié)論處理今后遇到的社會經(jīng)濟(jì)問題。在教育中要堅(jiān)持以人為本，全面體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，教師應(yīng)充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，注意隨時根據(jù)學(xué)生的理解狀況調(diào)整教學(xué)進(jìn)度。授課要體現(xiàn)兩方面的作用：一是為學(xué)生自學(xué)準(zhǔn)備必要的理論知識和方法，二是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)。在教學(xué)中要體現(xiàn)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的作用，采用多媒體技術(shù)，提高課堂教學(xué)的信息量。通過課堂計(jì)算機(jī)演示實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生加深對概念的理解。每次課后必須布置較大數(shù)量的思考題和作業(yè)，并加強(qiáng)課外輔導(dǎo)和答疑。

各章教學(xué)要求及教學(xué)要點(diǎn)

第一章 概率論的基本概念

課時分配：13課時 教學(xué)要求：

1、了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算。

2、理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計(jì)算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、減法公式、全概率公式，以及貝葉斯公式。

3、理解事件的獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法。教學(xué)內(nèi)容：1、2、3、4、5、6、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件與樣本空間。

事件的關(guān)系與運(yùn)算、完全事件組。

概率的概念、概率的基本性質(zhì)、概率的基本公式。等可能概型（古典概型）、幾何型概率。條件概率、全概率公式、貝葉斯公式。

事件的獨(dú)立性、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

思考題：

1、事件A表示三個人對某問題的回答中至少有一人說“否”，B表示三個人對某問題的回答都說“是”。試問：事件A?B、AB各表示什么涵義？

2、社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是否只分成確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象？“某天的天氣狀況”是否屬于這兩類現(xiàn)象？試舉出至少三種不屬于這兩類現(xiàn)象的社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。

3、隨機(jī)事件與集合的對應(yīng)關(guān)系是怎樣的？

4、對立事件和不相容事件有何區(qū)別？

5、全概率公式和貝葉斯公式有何區(qū)別，各自能解決什么問題？

6、“小概率事件”是否不會發(fā)生？

7、“概率為零的事件”是否必然是不可能事件？

第二章 隨機(jī)變量及其分布

課時分配：10課時 教學(xué)要求：

1、理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念；理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)；會計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率。

2、理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用。

3、了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布。

4、理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布N(μ，?)、指數(shù)分布及其應(yīng)用。

5、根據(jù)自變量的概率分布求其簡單函數(shù)的概率分布。

2教學(xué)內(nèi)容：1、2、3、4、5、隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)。離散型隨機(jī)變量及其分布律。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度。常見隨機(jī)變量的概率分布。

隨機(jī)變量的函數(shù)分布。

思考題：

1、引入隨機(jī)變量的意義何在？如何用微積分的工具來研究隨機(jī)試驗(yàn)？

2、分布函數(shù)有哪些性質(zhì)？

n3、離散型隨機(jī)變量的分布律有哪些性質(zhì)？若有一組數(shù)pi?0，且?i?1它們是不是某pi?1.2，個離散型隨機(jī)變量的概率分布？

4、二項(xiàng)分布何時取得極大值？其極大值是什么？

5、什么類型的實(shí)際問題可以用二項(xiàng)分布來研究？如何解決二項(xiàng)分布的計(jì)算問題？

6、什么類型的實(shí)際問題可以用泊松（Poisson）分布來研究？

7、指數(shù)分布的密度函數(shù)在不同的教材上有不同的定義，它們的區(qū)別何在？

8、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度有哪些性質(zhì)？

9、正態(tài)分布N(μ，?)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)之間有何聯(lián)系？如何利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來計(jì)算正態(tài)分布N(μ，?)落在某個區(qū)間的概率？

10、什么是正態(tài)分布的“3?法則”？如何利用“3?法則”來研究實(shí)際問題？

11、若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)不單調(diào)，如何求Y?f(X)密度函數(shù)？

第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布

課時分配：12課時 教學(xué)要求：

1、理解二維隨機(jī)變量的概念、理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及兩種基本形式：離散型聯(lián)合概率分布，邊緣分布和條件分布；連續(xù)型聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度。會利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率。

2、理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件。

3、掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。

4、會求兩個隨機(jī)變量的簡單函數(shù)（和、順序統(tǒng)計(jì)量）的分布。教學(xué)內(nèi)容：

1、二維隨機(jī)變量及其概率分布。

2、二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布。

3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，常用二維隨機(jī)變量的概率分布。

4、隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性。

5、兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布。思考題： 221、二維隨機(jī)變量概率分布和相應(yīng)的兩個一維隨機(jī)變量的概率分布間有何聯(lián)系？

2、如何用一張概率分布表同時表示二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律？能否同時表示兩個條件分布律？

3、二維均勻分布的聯(lián)合概率密度與一維均勻分布的概率密度有何共性？如何由此推出三維及n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度？

4、二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度和相應(yīng)的兩個一維正態(tài)分布的概率密度間有何聯(lián)系？

5、二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度各參數(shù)的涵義是什么？何時相應(yīng)的兩個一維正態(tài)分布是相互獨(dú)立的？

6、如何確定條件密度表達(dá)式的函數(shù)定義域？

7、設(shè)某離散型隨機(jī)變量與某連續(xù)型隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，如何求它們的和分布？

8、哪些獨(dú)立隨機(jī)變量具有可加性？

9、隨機(jī)變量的獨(dú)立性與事件的獨(dú)立性有何區(qū)別？

第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

課時分配：12課時 教學(xué)要求：

1、理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，并會運(yùn)用數(shù)字特征基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布（如0－1分布、二項(xiàng)分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等）的數(shù)字特征。

2、會根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會根據(jù)二維隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

3、了解切比雪夫不等式及其應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：

1、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

2、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)，切比雪夫（Chebyshev）不等式。

3、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)。

4、矩、協(xié)方差矩陣。思考題：

1、數(shù)學(xué)期望和方差的統(tǒng)計(jì)意義是什么？

2、如何求一維與二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望？

3、寫出0－1分布、二項(xiàng)分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。

4、數(shù)學(xué)期望和方差有哪些重要性質(zhì)？其中哪些性質(zhì)需要“相互獨(dú)立”這一前提條件？

5、切比雪夫不等式的表達(dá)式是什么？它的證明過程中關(guān)鍵步驟是什么？它在處理實(shí)際問題中有何作用？

6、方差與協(xié)方差的實(shí)用計(jì)算公式是什么？

7、不相關(guān)與相互獨(dú)立之間的關(guān)系是怎樣的？若隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，它們是否必然相互獨(dú)立？若隨機(jī)變量X與Y是正態(tài)分布，結(jié)論怎樣？

8、若隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)r=0，是否說明X與Y之間沒有關(guān)系？舉例說明之。

9、事件A與B的相關(guān)系數(shù)是如何定義的？寫出其定義式。

10、n維正態(tài)分布有哪些重要性質(zhì)？

第五章 大數(shù)定律和中心極限定理

課時分配：4課時 教學(xué)要求：

1、了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的大數(shù)定律）。

2、了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維－林德伯格定理（獨(dú)立同分布的中心極限定理）。教學(xué)內(nèi)容：

1、幾乎處處收斂、依概率收斂、依分布收斂。

2、切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽（Khinchine）大數(shù)定律。

3、棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理、列維－林德伯格（Levy－Lindberg）定理。思考題：

1、幾乎處處收斂、依概率收斂、依分布收斂之間的關(guān)系是怎樣的？

2、切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽（Khinchine）大數(shù)定律成立的條件是什么，它們之間的差別是什么？

3、哪個大數(shù)定律可以用來說明頻率的穩(wěn)定性？試說明之。

4、棣莫弗－拉普拉斯定理和列維－林德伯格定理之間的關(guān)系是怎樣的？

5、如何用列維－林德伯格定理來近似求獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和分布？

第六章 樣本及抽樣分布

課時分配：6課時 教學(xué)要求：

1、理解總體、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念。

2、了解? 分布、t分布和F分布的概念及性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會查表計(jì)算。

3、了解正態(tài)總體的某些常用抽樣分布。教學(xué)內(nèi)容：

1、總體、個體、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差和樣本矩。

2、? 分布、t分布和F分布，分位數(shù)，正態(tài)總體的常用抽樣分布。思考題：

1、總體和隨機(jī)變量之間有何關(guān)系？

2、什么是簡單隨機(jī)樣本？

3、數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所說樣本空間和隨機(jī)變量X的樣本空間是否同一概念？

4、為何能用樣本觀察值推斷總體的狀況？它依據(jù)的原理是什么？

5、什么叫統(tǒng)計(jì)量？常用的統(tǒng)計(jì)量有哪些？

6、? 分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質(zhì)？它的主要作用是什么？寫出它的數(shù)學(xué)期望和方差。

7、t分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質(zhì)？它的主要作用是什么？寫出它的數(shù)學(xué)期望和方差。

8、F分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質(zhì)？它的主要作用是什么？寫出它的數(shù)學(xué)期望和方差。2229、隨機(jī)變量的上側(cè)?分位數(shù)和雙側(cè)?分位數(shù)是怎樣定義的？如何通過查表求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、? 分布、t分布和F分布的?分位數(shù)？

210、關(guān)于正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差有何重要結(jié)論？

第七章 參數(shù)估計(jì)

課時分配：8課時 教學(xué)要求：

1、理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念。

2、掌握矩估計(jì)法（一階、二階矩）和最大似然估計(jì)法。

3、了解估計(jì)量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗(yàn)證估計(jì)量的無偏性。

4、了解區(qū)間估計(jì)的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)內(nèi)容：

1、點(diǎn)估計(jì)的概念、估計(jì)量與估計(jì)值。

2、矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法。

3、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)。

4、區(qū)間估計(jì)的概念。

5、單個正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計(jì)。

6、兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)。

7、（0-1）分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。

8、單側(cè)置信區(qū)間。思考題：

1、參數(shù)估計(jì)主要處理在社會經(jīng)濟(jì)中遇到的什么類型的問題？

2、矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)和缺陷各是什么？

3、最大似然估計(jì)法依據(jù)的原理是什么？

4、寫出一般情況下最大似然估計(jì)法的解題步驟。這個步驟對服從均勻分布的總體是否適用？如何用最大似然估計(jì)法對服從均勻分布的總體進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)？

5、估計(jì)量有哪幾個評選標(biāo)準(zhǔn)？其中最基本的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

6、為何要進(jìn)行參數(shù)的區(qū)間估計(jì)？它與點(diǎn)估計(jì)相比有何優(yōu)越性？

7、寫出確定參數(shù)的置信區(qū)間的一般步驟。

8、單個正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)用到哪幾種抽樣分布？

9、單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)用到哪種抽樣分布？

10、兩個正態(tài)總體的均值差的區(qū)間估計(jì)用到哪幾種抽樣分布？

11、兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)用到哪種抽樣分布？

第八章 假設(shè)檢驗(yàn)

課時分配：7課時 教學(xué)要求：

1、理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯誤。

2、了解單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)，會用公式進(jìn)行單邊及雙邊假設(shè)檢驗(yàn)。

3、了解分布擬合檢驗(yàn)和秩和檢驗(yàn)概念與步驟。教學(xué)內(nèi)容：

1、顯著性檢驗(yàn)。

2、單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)。

3、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯誤，樣本容量的選取。

4、區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系。

5、分布擬合檢驗(yàn)。

6、秩和檢驗(yàn)。思考題：

1、假設(shè)檢驗(yàn)分為哪兩種類型？

2、假設(shè)檢驗(yàn)主要處理在社會經(jīng)濟(jì)中遇到的什么類型的問題？

3、假設(shè)檢驗(yàn)依據(jù)的原理是什么？

4、確定雙邊假設(shè)檢驗(yàn)與單邊假設(shè)檢驗(yàn)的原則是什么？

5、對單邊假設(shè)檢驗(yàn)如何確定備擇假設(shè)？

6、寫出顯著性檢驗(yàn)的一般步驟。

7、單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)用到哪幾種抽樣分布？它和區(qū)間估計(jì)有何異同？

8、單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)用到哪種抽樣分布？它和區(qū)間估計(jì)有何異同？

9、兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)用到哪幾種抽樣分布？它和區(qū)間估計(jì)有何異同？

10、兩個正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)用到哪幾種抽樣分布？它和區(qū)間估計(jì)有何異同？

11、什么叫施行特征函數(shù)？如何用它來描述犯“取偽”錯誤的概率？

12、對單邊及雙邊假設(shè)檢驗(yàn)，為同時控制犯兩類錯誤的概率，其必要樣本容量應(yīng)取多大？分別寫出其表達(dá)式。

13、假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)之間的差別何在？

14、? 擬合檢驗(yàn)法、偏度、嶧度檢驗(yàn)法、秩和檢驗(yàn)法各自適用于檢驗(yàn)什么問題？如何提出原假設(shè)？

第九章

方差分析和回歸分析

課時分配：9課時 教學(xué)要求：

1、了解方差分析的基本思想，試驗(yàn)因素和水平的意義。

2、掌握平方和的分解，會作出方差分析表。

3、了解回歸分析的基本思想。

4、掌握一元線性回歸，了解可化為線性回歸的一元非線性回歸和多元線性回歸。

5、了解線性相關(guān)性檢驗(yàn)和利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制。教學(xué)內(nèi)容：

1、單因素和雙因素試驗(yàn)的方差分析。

2、一元線性回歸、非線性回歸、多元線性回歸。思考題：

1、方差分析主要處理在社會經(jīng)濟(jì)中遇到的什么類型的問題？

2、寫出方差分析的一般步驟。

23、如何進(jìn)行平方和的分解？總偏差平方和、誤差平方和、效應(yīng)平方和的統(tǒng)計(jì)特性怎樣？它們的自由度之間有何關(guān)系？

4、回歸分析主要處理在社會經(jīng)濟(jì)中遇到的什么類型的問題？

5、如何用最小二乘法求一元線性回歸方程的系數(shù)？

6、相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)間有何關(guān)系？

7、如何將特殊的非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸？

8、如何用回歸方程進(jìn)行預(yù)測與控制？

復(fù)習(xí)、機(jī)動：4課時

附錄：參考書目

1、茆詩松等，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，中國統(tǒng)計(jì)出版社，2000

2、蘇均和，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，1999

3、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992

4、復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《概率論》（第一、二冊），人民教育出版社，1979

5、唐象能、戴儉華，《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，機(jī)械工業(yè)出版社，1994

6、[俄]A.A.史威斯尼科夫等，《概率論解題指南》，上海科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1981

7、周復(fù)恭等，《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)》，中國人民大學(xué)出版社，1989

8、[印度]C.R.勞，《線性統(tǒng)計(jì)推斷及其應(yīng)用》，科學(xué)出版社，1987

9、鄭德如，《相關(guān)分析和回歸分析》，上海人民出版社，1984

10、吳喜之，《非參數(shù)統(tǒng)計(jì)》，中國統(tǒng)計(jì)出版社，1999

11、Vendables, W.N.& Ripley.B.D.，《Modern Applied Statistics with S-plus》，Springer-Verlag，New York，1997

12、張堯庭，《定性資料的統(tǒng)計(jì)分析》，廣西師范大學(xué)出版社，1991

13、[美]戴維.R.安德森等，《商務(wù)與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)》，機(jī)械工業(yè)出版社，2000

執(zhí)筆人： 楊益民 2004年5月 審定人： 管于華 2004年5月 院（系、部）負(fù)責(zé)人： 錢書法 2004年5月

第四篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章教學(xué)大綱

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章教學(xué)大綱

第一章隨機(jī)事件與概率（10學(xué)時）

理論教學(xué)內(nèi)容

1、了解隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算。

2．了解概率的各種定義，掌握概率的基本性質(zhì)，概率的加法公式、減法公式，并能應(yīng)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算．

3．掌握古典概型及其計(jì)算，能將實(shí)際問題歸結(jié)為古典概型并計(jì)算。掌握幾何概型及其計(jì)算，能將實(shí)際問題歸結(jié)為幾何概型并計(jì)算.4．理解條件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能應(yīng)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算。

5．理解事件的獨(dú)立性概念，掌握運(yùn)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算．掌握貝努里概型及其計(jì)算，能夠?qū)?shí)際問題歸結(jié)為貝努里概型，然后用二項(xiàng)概率計(jì)算有關(guān)事件的概率．

重點(diǎn)內(nèi)容：事件間的關(guān)系與運(yùn)算，概率的加法公式，古典概型，乘法公式，全概率公式及貝葉斯公式，事件的獨(dú)立性。

難點(diǎn)內(nèi)容：古典概型的求解，乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的應(yīng)用。

第五篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B教案第二章

第二章

隨機(jī)變量及其分布

在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除對某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量.與普通的變量不同，對于隨機(jī)變量，人們無法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分布.第一節(jié) 隨機(jī)變量的概念

內(nèi)容要點(diǎn):

一、隨機(jī)變量概念的引入

為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果, 揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性, 需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來.1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中, 試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中, 試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示之.二、隨機(jī)變量的定義

定義

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S, 稱定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)X?X(e)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較:(1)它們都是實(shí)值函數(shù),但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個值;(2)因試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,故前者取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.三、引入隨機(jī)變量的意義

隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.由此可見,隨機(jī)事件這個概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動態(tài)的觀點(diǎn)來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例題選講：

例1(講義例1)在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時, 若規(guī)定出現(xiàn)正面時拋擲者贏1元錢, 出現(xiàn)反面時輸1元錢, 則其樣本空間為

S?{正面, 反面}, 記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量X, 則X作為樣本空間S的實(shí)值函數(shù)定義為

?1,e?正面,X(e)????1,e?反面.例2(講義例2)在將一枚硬幣拋擲三次, 觀察正面H、反面T出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中, 其樣本空間

S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};記每次試驗(yàn)出現(xiàn)正面H的總次數(shù)為隨機(jī)變量X, 則X作為樣本空間S上的函數(shù)定義為

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT

X32221110易見, 使X取值為2({X?2})的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為

A?{HHT,HTH,THH}, 故 P{X?2}?P(A)?3/8, 類似地，有

P{X?1}?P{HTT,THT,TTH,TTT}?4/8.例3(講義例3)在測試燈泡壽命的試驗(yàn)中, 每一個燈泡的實(shí)際使用壽命可能是[0,??)中任何一個實(shí)數(shù), 若用X表示燈泡的壽命（小時），則X是定義在樣本空間S?{t|t?0}上的函數(shù)，即X?X(t)?t，是隨機(jī)變量.課堂練習(xí)

1.一報(bào)童賣報(bào), 每份0.15元,其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào), 并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù), 試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

內(nèi)容要點(diǎn):

一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布

定義

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為xi(i?1,2,?), 稱

P{X?xi}?pi,i?1,2,?

為X的概率分布或分布律, 也稱概率函數(shù).常用表格形式來表示X的概率分布:

Xx1x2?xn?

pip1p2?pn?

二、常用離散分布

退化分布

兩點(diǎn)分布

n個點(diǎn)上的均勻分布

二項(xiàng)分布

幾何分布

超幾何分布

泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一.實(shí)際問題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.三、二項(xiàng)分布的泊松近似

定理1(泊松定理)在n重伯努利試驗(yàn)中, 事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn(注意這與試驗(yàn)的次數(shù)n有關(guān)), 如果n??時, npn??(??0為常數(shù)), 則對任意給定的k, 有

limb(k,n,pn)??kk!n??e??.例題選講：

離散型隨機(jī)變量及其概率分布

例1(講義例1)某籃球運(yùn)動員投中籃圈的概率是0.9, 求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.例2(講義例2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為:

?kP{X?K}?a,k?0,1,2,?,??0.k!試確定常數(shù)a.二項(xiàng)分布

例3(講義例3)已知100個產(chǎn)品中有5個次品, 現(xiàn)從中有放回地取3次, 每次任取1個, 求在所取的3個中恰有2個次品的概率.例4(講義例4)某人進(jìn)行射擊, 設(shè)每次射擊的命中率為0.02, 獨(dú)立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.例5(講義例5)設(shè)有80臺同類型設(shè)備, 各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01, 且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法, 其一是由4人維護(hù), 每人負(fù)責(zé)20臺;其二是由3人共同維護(hù)80臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.幾何分布

例6(講義例6)某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊, 直到命中為止, 已知他每發(fā)命中的概率是p, 求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率分布.泊松分布

例7(講義例7)某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)??0.8的泊松分布, 求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.二項(xiàng)分布的泊松近似

例8(講義例8)某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01.問現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少? 例9(講義例9)一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道, 某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)??5的泊松分布來描述, 為了以95%以上的把握保證不脫銷, 問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件? 例10(講義例10)

自1875年至1955年中的某63年間, 上海市夏季(5—9月)共發(fā)生大暴雨180次, 試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.課堂練習(xí)

1.某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2, 求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛, 需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口, 每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立, 且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù), 求X的概率分布.第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)

當(dāng)我們要描述一個隨機(jī)變量時，不僅要說明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣，才能真正完整地刻畫一個隨機(jī)變量, 為此，我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.內(nèi)容要點(diǎn)：

一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義 設(shè)X是一個隨機(jī)變量, 稱

F(x)?P(X?x)為X的分布函數(shù).有時記作X~F(x)或FX(x).分布函數(shù)的性質(zhì)

1.單調(diào)非減.若x1?x2, 則F(x1)?F(x2)； 2.F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1;

x???x???(???x???)

3.右連續(xù)性.即limF(x)?F(x0).?x?x0

二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

Xx1x2?xn?

pip1p2?pn?則X的分布函數(shù)為

F(x)?P(X?x)??P(X?xi)??pi.xi?xxi?x

例題選講：

隨機(jī)變量的分布函數(shù)

例1（講義例1）等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間[a,b]上投點(diǎn), 記X為落點(diǎn)的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo)), 求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).例2（講義例2）判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)? ?0,x??2,?(1)F(x)??1/2,?2?x?0,?1,x?0;??0,x?0,?(2)F(x)??sinx,0?x??,?1,x??;??0,x?0,?(3)F(x)??x?1/2,0?x?1/2,?1,x?1/2.?

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 例3（講義例3）設(shè)

X012pi1/31/61/2, 求F(x).例

4X具有離散均勻分布, 即

P(X?xi)?1/n,i?1,2,?,n，求X的分布函數(shù).例5（講義例4）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

x?1,?0,?9/19,1?x?2,?F(x)??

15/19,2?x?3,??x?3.?1,求X的概率分布.課堂練習(xí)

1．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

X?124

，pi1/41/21/4求X的的分布函數(shù)，并求

P?X?1/2?, P?3/2?X?5/2?, P?2?X?3?.第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

內(nèi)容要點(diǎn)：

一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

定義

如果對隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對于任意實(shí)數(shù)x有

F(x)?P{X?x}??x??f(t)dt.則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱f(x)為X的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說明

1.對一個連續(xù)型隨機(jī)變量X,若已知其密度函數(shù)f(x),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù)F(x), 同時, 還可求得X的取值落在任意區(qū)間(a,b]上的概率:

P{a?X?b}?F(b)?F(a)??f(x)dx

ab2.連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一指定值a(a?R)的概率為0.3.若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù), 則

F?(x)?f(x)

(1)

二、常用連續(xù)型分布

均勻分布

定義

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

?1,a?x?b? f(x)??b?a?0,其它?則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布, 記為X~U(a,b).指數(shù)分布

定義

若隨機(jī)變量X的概率密度為

??e??x,x?0,f(x)????0

其它.?0,則稱X服從參數(shù)為?的指數(shù)分布.簡記為X~e(?).正態(tài)分布

定義

若隨機(jī)變量X的概率密度為

f(x)?1e2???(x??)22?2,???x??.其中?和?(??0)都是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為?和?2的正態(tài)分布.記為X~N(?,?2).注: 正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布, 在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣, 故又常稱為高斯分布.一般來說，一個隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個因素都不起主導(dǎo)作用（作用微?。?，則它服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如, 產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo), 元件的尺寸, 某地區(qū)成年男子的身高、體重, 測量誤差, 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差, 信號噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等, 都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

正態(tài)分布當(dāng)??0,??1時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 此時, 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用?(x)和?(x)表示: ?(x)?1?21e, ?(x)?2?2?x2?e??x?t22dt

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于, 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理

設(shè)X~N(?,?2),則Y?X???~N(0,1).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：

（1）表中給出了x?0時?(x)的數(shù)值, 當(dāng)x?0時, 利用正態(tài)分布的對稱性, 易見有

?(?x)?1??(x);

（2）若X~N(0,1),則

P{a?X?b}??(b)??(a);（3）若X~N(?,?2), 則Y?X???~N(0,1), 故X的分布函數(shù)

?X??x????x???F(x)?P{X?x}?P???;???????????b????a???b????a???P{a?X?b}?P??Y??????.??????????????

例題選講：

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

例1 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

?21?x2,?1?x?1?f(x)???

?0,其它?求其分布函數(shù)F(x).例2（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

0?x?3,?kx,?x?f(x)??2?,3?x?4，2??其它.?0,(1)確定常數(shù)k;(2)求X的分布函數(shù)F(x);(3)求P{1?X?7/2}.例3（講義例2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

x?0?0,?F(x)??x2,0?x?1

?1,1?x?求(1)概率P{0.3?X?0.7};

(2)X的密度函數(shù).常用連續(xù)型分布

均勻分布

例4（講義例3）某公共汽車站從上午7時起, 每15分鐘來一班車, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等時刻有汽車到達(dá)此站, 如果乘客到達(dá)此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.指數(shù)分布

例5（講義例4）某元件的壽命X服從指數(shù)分布, 已知其平均壽命為1000小時，求3個這樣的元件使用1000小時, 至少已有一個損壞的概率.正態(tài)分布

例6（講義例5）設(shè)X~N(1,4), 求 F(5),P{0?X?1.6},P{|X?1|?2}.例7 設(shè)某項(xiàng)競賽成績X~N（65, 100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎，問獲獎分?jǐn)?shù)線應(yīng) 定為多少？

例8（講義例6）將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在d℃，液體的溫度X（以℃計(jì)）是一個隨機(jī)變量，且 X~N(d,0.52)

(1)若 d?90℃，求X小于89℃ 的概率；

(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問d至少為多少？

例9（講義例7）某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人, 臨時工20人;報(bào)考的人數(shù)是1657人, 考試滿分是400分.考試后得知, 考試總平均成績, 即??166分, 360分以上的高分考生31人.某考生B得256分, 問他能否被錄取? 能否被聘為正式工?

例10（講義例8）在電源電壓不超過200伏，在200~240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2.假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220，25)，試求：

(1)該電子元件損壞的概率?;(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200~240伏的概率?.2

課堂練習(xí)

1.已知X~N(8,0.52)，求(1)F(9),F(7);

(3)P{|X?8|?1};

(2)P{7.5?X?10};

(4)P{|X?9|?0.5}.2.某種型號電池的壽命X近似服從正態(tài)分布N(?,?2), 已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92.36%, 為使其壽命在??x和??x之間的概率不小于0.9, x至少為多少?

第五節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布

講解注意：

一、隨機(jī)變量的函數(shù)

定義 如果存在一個函數(shù)g(X), 使得隨機(jī)變量X,Y滿足: Y?g(X), 則稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù).注: 在微積分中,我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時, 主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征, 例如:導(dǎo)數(shù)、積分等.而在概率論中, 我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征, 即由自變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性出發(fā)研究因變量Y的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.一般地, 對任意區(qū)間I, 令C?{x|g(x)?I}, 則

{Y?I}?{g(x)?I}?{X?C}, P{Y?I}?P{g(x)?I}?P{X?C}.注: 隨機(jī)變量Y與X的函數(shù)關(guān)系確定,為從X的分布出發(fā)導(dǎo)出Y的分布提供了可能.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

P{X?xi}?pi,i?1,2,?

易見, X的函數(shù)Y?g(X)顯然還是離散型隨機(jī)變量.如何由X的概率分布出發(fā)導(dǎo)出Y的概率分布? 其一般方法是：先根據(jù)自變量X的可能取值確定因變量Y的所有可能取值, 然后對Y的每一個可能取值yi,i?1,2,?,確定相應(yīng)的Ci?{xj|g(xj)?yi},于是

{Y?yi}?{g(xi)?yi}?{X?Ci}，P{Y?yi}?P{X?Ci}?xj?Ci?P{X?x}.j從而求得Y的概率分布.三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一般地, 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量, 但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形, 此時我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù), 而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知X的分布函數(shù)FX(x)或概率密度函數(shù)fX(x), 則隨機(jī)變量函數(shù)Y?g(X)的分布函數(shù)可按如下方法求得: FY(y)?P{Y?y}?P{g(X)?y}?P{X?Cy}.其中Cy?{x|g(x)?y}.而P{X?Cy}常常可由X的分布函數(shù)FX(x)來表達(dá)或用其概率密度函數(shù)fX(x)的積分來表達(dá):

P{X?Cy}??CyfX(x)dx

進(jìn)而可通過Y的分布函數(shù)FY(x), 求出Y的密度函數(shù).定理1

設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x),x?(??,??),又設(shè)y?g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)?(x)?0(或恒有g(shù)?(x)?0), 則Y?g(X)是一個連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為

?f[h(y)|h?(y)|,??y??fY(y)??

0,其它?其中x?h(y)是y?g(x)的反函數(shù), 且

??min(g(??),g(??)),??max(g(??),g(??)).例題選講：

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例1（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律, 試求Y?(X?1)2的分布律.X?1012

pi0.20.30.10.4

連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例2（講義例2）對一圓片直徑進(jìn)行測量, 其值在[5, 6]上均勻分布, 求圓片面積的概率分布密度.?x/8,0?x?4例3（講義例3）設(shè)X~fX(x)??, 求Y?2X?8的概率密度.0,其它?例4 設(shè)X~N(0,1), 求Y?X2的密度函數(shù).例5（講義例4）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù), 證明Y?F(X)服從[0,1]上的均勻分布.例6（講義例5）設(shè)隨機(jī)變量X~N(?,?2).試證明X的線性函數(shù)Y?aX?b(a?0)也服從正態(tài)分布.例7（講義例6）設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布, 求Y??2lnX的概率密度.例8（講義例8）(對數(shù)正態(tài)分布)隨機(jī)變量X稱為服從參數(shù)為?,?2的對數(shù)正態(tài)分布, 如果Y?lnX服從正態(tài)分布N(?,?2).試求對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).注： 在實(shí)際中, 通常用對數(shù)正態(tài)分布來描述價格的分布, 特別是在金融市場的理論研究中, 如著名的期權(quán)定價公式（Black—Scholes公式）, 以及許多實(shí)證研究都用對數(shù)正態(tài)分布來描述金融資產(chǎn)的價格.設(shè)某種資產(chǎn)當(dāng)前價格為P0, 考慮單期投資問題, 到期時該資產(chǎn)的價格為一個隨機(jī)變量, 記作P1, 設(shè)投資于該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)合收益率為r, 則有

rP1?P0e

從而

r?lnP1?lnP1?lnP0 P0注意到P0為當(dāng)前價格, 是已知常數(shù),因而假設(shè)價格P1服從對數(shù)正態(tài)分布實(shí)際上等價于假設(shè)連續(xù)復(fù)合收益率r服從正態(tài)分布.例9（講義例7）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為?的指數(shù)分布, 求Y?min{X,2}的分布函數(shù).課堂練習(xí)

1.設(shè)X的分布列為

X?10125/2

pi1/51/101/101/103/10試求:(1)2X的分布列;

(2)X2的分布列.2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?2x/?2,0?x??,f(x)??

其它.?0,求Y?sinX的概率密度.