第一篇：抽屜原理

三．制造抽屜是運用原則的一大關(guān)鍵

例1 從2、4、6、…、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是34。

分析與解答 我們用題目中的15個偶數(shù)制造8個抽屜：

凡是抽屜中有兩個數(shù)的，都具有一個共同的特點：這兩個數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的15個偶數(shù)中任取9個數(shù)，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數(shù)在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數(shù)的和是34。

例2：從1、2、3、4、…、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是12。

分析與解答在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。

另外還有4個不能配對的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到（取12個數(shù)：從12個抽屜中各取一個數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12）。

例3： 從1到20這20個數(shù)中，任取11個數(shù)，必有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。

分析與解答 根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原則制造抽屜.把這20個數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：

｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

從這10個數(shù)組的20個數(shù)中任取11個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個數(shù)中，其中一個數(shù)一定是另一個數(shù)的倍數(shù)。

例4：某校校慶，來了n位校友，彼此認(rèn)識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。

分析與解答 共有n位校友，每個人握手的次數(shù)最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.然而，如果有一個校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、…、n-1，握手次數(shù)都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數(shù)一樣多。

在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗。

抽屜原理

把八個蘋果任意地放進(jìn)七個抽屜里，不論怎樣放，至少有一個抽屜放有兩個或兩個以上的蘋果。抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。

形式一：證明：設(shè)把n＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于2（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜2，則因為ai是整數(shù)，應(yīng)有ai≤1，于是有：

a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1這與題設(shè)矛盾。所以，至少有一個ai≥2，即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。

形式二：設(shè)把n?m＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于m＋1。用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜m＋1，則因為ai是整數(shù)，應(yīng)有ai≤m，于是有：

a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n?m＜n?m＋1

n個m 這與題設(shè)相矛盾。所以，至少有存在一個ai≥m＋1

高斯函數(shù)：對任意的實數(shù)x,[x]表示“不大于x的最大整數(shù)”.例如：[3.5]＝3，[2.9]＝2，[－2.5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我們有：[x]≤x＜[x]＋1

形式三：證明：設(shè)把n個元素分為k個集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示這k個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于[n/k]。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜[n/k]，于是有：

a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝n

k個[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 這與題設(shè)相矛盾。所以，必有一個集合中元素個數(shù)大于或等于[n/k]

形式四：證明：設(shè)把q1＋q2＋…＋qn－n＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個i，使得ai大于或等于qi。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜qi，因為ai為整數(shù)，應(yīng)有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n ＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1這與題設(shè)矛盾。

所以，假設(shè)不成立，故必有一個i,在第i個集合中元素個數(shù)ai≥qi

形式五：證明：（用反證法）將無窮多個元素分為有限個集合，假設(shè)這有限個集合中的元素的個數(shù)都是有限個，則有限個有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以，假設(shè)不成立，故必有一個集合含有無窮多個元素。

例題１：400人中至少有兩個人的生日相同.分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個不相同的生日，我們把366個不同的生日看作366個抽屜，400人視為400個蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同.例題2：任取5個整數(shù)，必然能夠從中選出三個，使它們的和能夠被3整除.證明：任意給一個整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r０，r1，r2.至少有一類包含所給５個數(shù)中的至少兩個.因此可能出現(xiàn)兩種情況：１°.某一類至少包含三個數(shù)；２°.某兩類各含兩個數(shù)，第三類包含一個數(shù).若是第一種情況，就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個數(shù)，其和也能被3整除..綜上所述，原命題正確.例題3：某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同.證明：按植樹的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個抽屜，則個問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里.(用反證法)假設(shè)無５人或５人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有５人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：

4(50＋51＋…＋100)＝4× ＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有５人植樹的株數(shù)相同.練習(xí)：1．邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個點，那么這5個點中一定有距離小于0.5的兩點.2．邊長為1的等邊三角形內(nèi)，若有n2＋1個點，則至少存在2點距離小于.3．求證：任意四個整數(shù)中，至少有兩個整數(shù)的差能夠被3整除.4．某校高一某班有50名新生，試說明其中一定有二人的熟人一樣多.5．某個年級有202人參加考試，滿分為100分，且得分都為整數(shù)，總得分為10101分，則至少有3人得分相同.“任意367個人中，必有生日相同的人?！?/p>

“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。”

“從數(shù)1，2，...，10中任取6個數(shù)，其中至少有2個數(shù)為奇偶性不同?！?/p>

......大家都會認(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢？這個原理叫做抽屜原理。它的內(nèi)容可以用形象的語言表述為：

“把m個東西任意分放進(jìn)n個空抽屜里（m>n），那么一定有一個抽屜中放進(jìn)了至少2個東西?！?/p>

在上面的第一個結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367個東西放入 366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。在第二個結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，...，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當(dāng)于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。

抽屜原理的一種更一般的表述為：

“把多于kn個東西任意分放進(jìn)n個空抽屜（k是正整數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進(jìn)了至少k+1個東西?！?/p>

利用上述原理容易證明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)。”因為任一整數(shù)除以3時余數(shù)只有0、1、2三種可能，所以7個整數(shù)中至少有3個數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。

如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：

“把無限多個東西任意分放進(jìn)n個空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進(jìn)了無限多個東西?！?/p>

抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。

1958年6/7月號的《美國數(shù)學(xué)月刊》上有這樣一道題目：

“證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識?！?/p>

這個問題可以用如下方法簡單明了地證出：

在平面上用6個點A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個人。如果兩人以前彼此認(rèn)識，那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線；否則連一條藍(lán)線?？紤]A點與其余各點間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過2種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設(shè)AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD，CD 3條連線中有一條（不妨設(shè)為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個紅色三角形，A、B、C代表的3個人以前彼此相識：如果BC、BD、CD 3條連線全為藍(lán)色，那么三角形BCD即一個藍(lán)色三角形，B、C、D代表的3個人以前彼此不相識。不論哪種情形發(fā)生，都符合問題的結(jié)論。

六人集會問題是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例，這個簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結(jié)論。這些結(jié)論構(gòu)成了組合數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容-----拉姆塞理論。從六人集會問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用。

第二篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計 芙蓉中心小學(xué) 簡淑梅 【教學(xué)內(nèi)容】：

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書●數(shù)學(xué)》六年級（下冊）第四單元數(shù)學(xué)廣角“抽屜原理”第70、71頁的內(nèi)容?！窘滩姆治觥浚?/p>

這是一類與“存在性”有關(guān)的問題，教材通過幾個直觀例子，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法進(jìn)行“證明”，然后再進(jìn)行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對“枚舉法”、“反證法”、“假設(shè)法”等方法進(jìn)行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會運用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，從而抽象出“抽屜原理”的一般規(guī)律。并利用這一規(guī)律對一些簡單的實際問題加以“模型化”。即：只需要確定實際生活中某個物體（或某個人、或種現(xiàn)象）的存在就可以了。【學(xué)情分析】：

抽屜原理是學(xué)生從未接觸過的新知識，很難理解抽屜原理的真正含義，尤其是對平均分就能保證“至少”的情況難以理解。

年齡特點：六年級學(xué)生既好動又內(nèi)斂，教師一方面要適當(dāng)引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創(chuàng)造條件和機會，讓學(xué)生發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。

思維特點：知識掌握上，六年級的學(xué)生對于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對于“數(shù)學(xué)證明”。因此，教師要耐心細(xì)致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和過程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學(xué)生不知其然，更要知其所以然?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：

1．知識與能力目標(biāo)：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。通過猜測、驗證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建模”思想。

2．過程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。

3．情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力?！窘虒W(xué)重點】：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”?！窘虒W(xué)難點】：

理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。【教學(xué)準(zhǔn)備】：

多媒體課件、撲克牌、盒子、鉛筆、書、練習(xí)紙?！窘虒W(xué)過程】：

一、課前游戲，激趣引新。

上課伊始，老師高舉3張卡片。（高興狀）

（1）老師這有3張漂亮的卡片，我想把它們送給在坐的三位同學(xué)，想要嗎？

（2）在送之前，我想請同學(xué)們猜一猜，這三張卡片會到男生手上還是會到女生手上？（學(xué)生思考后回答：可能送給了3名女生、可能送給了3名男生、也有可能送給了2名男生和1名女生、還有可能送給了2名女生和1名男生。）

（3）同學(xué)們列出的這四種情況是這個活動中可能存在的現(xiàn)象，你能從這四種可能存在的現(xiàn)象中找到一種確定現(xiàn)象嗎？（學(xué)生思考后回答：得到卡片的三個同學(xué)當(dāng)中，至少會有兩個同學(xué)的性別相同。）

（4）老師背對著學(xué)生把卡片拋出驗證學(xué)生的說法。

（5）如果老師再拋幾次還會有這種現(xiàn)象出現(xiàn)嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數(shù)學(xué)原理，也就是我們今天這節(jié)課要研究的學(xué)習(xí)內(nèi)容，想不想研究??？

〖設(shè)計意圖〗：在知識探究之前通過送卡片的游戲，從之前學(xué)過的“可能性”導(dǎo)入到今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容。一方面是使教師和學(xué)生進(jìn)行自然的溝通交流；二是要激發(fā)學(xué)生的興趣，引起探究的愿望；三是要讓學(xué)生明白這種“確定現(xiàn)象”與“可能性”之間的聯(lián)系，為接下來的探究埋下伏筆。

二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

1．動手?jǐn)[擺，感性認(rèn)識。

把4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒中。

（1）小組合作擺一擺、記一記、說一說，把可能出現(xiàn)的情況都列舉出來。

（2）提問：不管怎么放，一定會出現(xiàn)哪種情況？討論后引導(dǎo)學(xué)生得出：不管怎樣放，總有一個文具盒里至少放了2只鉛筆。

〖設(shè)計意圖〗：抽屜原理對于學(xué)生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子中

至少放進(jìn)2根小棒”這句話的理解。所以通過具體的操作，列舉所有的情況后，引導(dǎo)學(xué)生直接關(guān)注到每種分法中數(shù)量最多的杯子，理解“總有一個杯子”以及“至少2根”。

2．提出問題，優(yōu)化擺法。

（1）如果把 5支鉛筆放進(jìn)4個文具盒里呢？結(jié)果是否一樣？怎樣解釋這一現(xiàn)象？（學(xué)生自由擺放，并解釋些種現(xiàn)象存在的確定性。）

（2）老師指著一名擺得非?？斓耐瑢W(xué)問：怎么你比別人擺得更快呢？你是否有最簡潔、最快速的方法，快快說出來和同學(xué)一起分享好嗎？

（3）學(xué)生匯報了自己的方法后，教師圍繞假設(shè)法（平均分的方法），組織學(xué)生展開討論：為什么每個杯子里都要放1根小棒呢？

（4）在討論的基礎(chǔ)上，師生小結(jié)：假如每個杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進(jìn)一個杯子里，無論放在哪個杯子里，一定能找到一個杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能地分散，保證“至少”的情況。

〖設(shè)計意圖〗：鼓勵學(xué)生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。

3．步步逼近，理性認(rèn)識。

（1）師：把6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆嗎？為什么？

把7支鉛筆放進(jìn)6個文具盒里呢？

把8枝筆放進(jìn)7個盒子里呢？

把20枝筆放進(jìn)19個盒子里呢？

……

（2）符合這種結(jié)果的情況你能一一說完嗎？你會用一句歸納這些情況嗎？

（筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）

〖設(shè)計意圖〗：通過這個連續(xù)的過程發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維，從而達(dá)到理性認(rèn)識“抽屜原理”。

4．?dāng)?shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法。

7只鴿子要飛進(jìn)5個鴿舍里，無論怎么飛，至少會有兩子鴿子飛進(jìn)同一個鴿舍。為什么？

（1）如果要用一個算式表示，你會嗎？

（2）算式中告訴我們經(jīng)過第一次平均分配后，還余下了2只鴿子，這兩只鴿子會怎么飛呢？（有可能兩只飛進(jìn)了同一個鴿舍里，也有可能飛進(jìn)了不同的鴿舍里。）

（3）不管怎么飛，一定會出現(xiàn)哪種情況？

（4）討論：剛才是鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1枝的情況，現(xiàn)在鴿子數(shù)比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里”？

（4）如果是“8只鴿子要飛進(jìn)取5個鴿舍里呢？”（余下3只鴿子。）

（5）“9只鴿子要飛進(jìn)取5個鴿舍里呢？”（余下4只鴿子。）

根據(jù)學(xué)生的回答，用算式表示以上各題，并板書。

〖設(shè)計意圖〗：從余數(shù)1到余數(shù)2、3、4……，讓學(xué)生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數(shù)也要進(jìn)行二次平均分。并發(fā)現(xiàn)余下的鴿子數(shù)只要小于鴿舍數(shù)，就一定有“至少有兩子鴿子飛進(jìn)同一個鴿舍”的現(xiàn)象發(fā)生。

5．構(gòu)建模型，解釋原理。

（1）觀察黑板上的算式，你有了什么新的發(fā)現(xiàn)？（只要鴿子數(shù)比盒鴿舍數(shù)多，且小于鴿舍數(shù)的兩倍，至少有2只鴿子飛進(jìn)了同一個鴿舍里。）

（2）剛才我們研究的這些現(xiàn)象就是著名的“抽屜原理”，（教師板書課題：抽屜原理）我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜。

（3）課件出示：“抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用?！俺閷显怼钡膽?yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。

（4）請你用“抽屜原理”解釋我們的課前游戲，為什么不管老師怎么送，得到卡片的同學(xué)一定有兩個同學(xué)的性別是一樣的？其中什么相當(dāng)于“物體”？什么相當(dāng)于“抽屜”？

〖設(shè)計意圖〗：通過對不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發(fā)現(xiàn)簡單的抽屜原理。研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去，所以請學(xué)生對課前的游戲的解釋，也是一個建模的過程，讓學(xué)生體會“抽屜”不一定是看得見，摸得著，并讓學(xué)生體會平常事中也有數(shù)學(xué)原理，有探究的成就感，激發(fā)對數(shù)學(xué)的熱情。

三、循序漸進(jìn)，總結(jié)規(guī)律。

（1）出示71頁的例2：把5本書放進(jìn)2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進(jìn)3本書。為什么？

A、該如何解決這個問題呢？

B、如何用一個式子表示呢？

C、你又發(fā)現(xiàn)了什么？

教師根據(jù)學(xué)生的回答，繼續(xù)板書算式。

（2）如果一共有7本書呢？9本書呢？

（3）思考、討論：總有一個抽屜至少放進(jìn)的本數(shù)是“商＋1”還是“商＋余數(shù)”呢？為什么？

教師師讓學(xué)生充分討論后得出正確的結(jié)論：總有一個抽屜至少放進(jìn)的本數(shù)是“商＋1”（教師板書。）

〖設(shè)計意圖〗：對規(guī)律的認(rèn)識是循序漸進(jìn)的。在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生抓住假設(shè)法最核心的思路---“有余數(shù)除法”，學(xué)生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。從而得出“某個抽屜書的至少數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，從而使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。四．運用原理，解決問題。

1、基本類型，說說做做。

（1）8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里。為什么？

（2）張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

2、深化練習(xí)，拓展提升。

（1）有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，如果請五位同學(xué)每人任意抽1張，同種花色的至少有幾張？為什么？

如果9個人每一個人抽一張呢？

（2）某街道辦事處統(tǒng)計人口顯示，本街道轄區(qū)內(nèi)當(dāng)年共有 370名嬰兒出生。統(tǒng)計員斷定：“至少有2名嬰兒是在同一天出生的?！边@是為什么？ 至少有多少名嬰兒是在同一個月出生的？為什么？

〖設(shè)計意圖〗：讓學(xué)生運用所學(xué)知識去分析、解決生活實際問題，不僅是學(xué)生掌握知識的繼續(xù)拓展與延伸，還是他們成功解決問題后獲取愉悅心情的重要途經(jīng)；不同題型、不同難度的練習(xí)不僅能進(jìn)一步調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能滿足不同的孩子學(xué)到不同的數(shù)學(xué)，并體會抽屜原理的形式是多種多樣的。

五、全課小結(jié)，課外延伸。

（1）說一說：今天這節(jié)課，我們又學(xué)習(xí)了什么新知識？你還有什么困惑？

（2）用今天學(xué)到的知識向你的家長解釋下列現(xiàn)象：

從1、2、3……100，這100個連續(xù)自然數(shù)中，任意取出51個不相同的數(shù)，其中必有兩個數(shù)互質(zhì)，這是為什么呢？

〖設(shè)計意圖〗：既讓學(xué)生說數(shù)學(xué)知識的收獲，也引導(dǎo)學(xué)生談情感上的感受，同時培養(yǎng)他們的質(zhì)疑能力，使三維目標(biāo)落到實處；把課堂知識延伸到課外，與家長一起分析思考，主要是想拓展學(xué)生思維，達(dá)到“家校牽手，共話數(shù)學(xué)”的教學(xué)目的。

板書設(shè)計。

抽屜原理

物體數(shù) 抽屜數(shù) 至少數(shù) =商＋1

（鉛筆數(shù)）（盒子數(shù)）

2

3

÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1

〖設(shè)計意圖〗：這樣的板書設(shè)計是在教學(xué)過程中動態(tài)生成的，按講思路來安排的，力求簡潔精練。這樣設(shè)計便于學(xué)生對本課知識的理解與記憶，突出了的教學(xué)重點，使板書真正起到畫龍點睛的作用。

第三篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)反思

嚴(yán)田小學(xué)彭性良

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)必須注意從學(xué)生的生活情景和感興趣的事物出發(fā)，為他們提供參與的機會，使他們體會數(shù)學(xué)就在身邊，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣和親近感。也就是創(chuàng)設(shè)豐富的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過讓學(xué)生放蘋果的環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。通過3個蘋果放入2個抽屜的各種情況的猜測，進(jìn)一步感知抽屜原理。認(rèn)識抽屜原理不同的表述方式：①至少有一個抽屜的蘋果有2個或2個以上；②至少有一個抽屜的蘋果不止一個。

充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，對可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行猜測，然后放手讓學(xué)生自主思考，采用自己的方法進(jìn)行“證明”，接著再進(jìn)行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對“枚舉法”、“假設(shè)法”等方法進(jìn)行比較，教師進(jìn)一步比較優(yōu)化，使學(xué)生逐步學(xué)會運用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。在有趣的類推活動中，引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論，讓學(xué)生體驗和理解“抽屜原理”的最基本原理。最后出示練習(xí)，讓學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識，解決生活中的實際問題，使學(xué)生所學(xué)知識得到進(jìn)一步的拓展。

這種“創(chuàng)設(shè)情境——建立模型——解釋應(yīng)用”是新課程倡導(dǎo)的課堂教學(xué)模式，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)原理的理解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力。

第四篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計

教材分析：現(xiàn)行小學(xué)教材人教版在十一冊編入這一原理，旨在于讓學(xué)生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會用“抽屜原理”解決實際有關(guān)“存在”問題；通過猜測、驗證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動，讓孩子建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

學(xué)情分析：使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2、通過操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3、通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)重點：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

教學(xué)難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

教學(xué)過程

一、游戲引入

3個人坐兩個座位，3人都要坐下，一定有一個座位上至少坐了2個人。

這其中蘊含了有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒里，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進(jìn)（）枝鉛筆先猜一猜，再動手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發(fā)現(xiàn)？

不管怎么放總有一個文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆?？傆惺鞘裁匆馑?？至少是什么意思

2、思考

有沒有一種方法不用擺放就可以知道至少數(shù)是多少呢？

1、3人坐2個位子，總有一個座位上至少坐了2個人2、4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒中，總有一個文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進(jìn)4個文具盒中，6枝鉛筆放進(jìn)5個文具盒中。99支鉛筆放進(jìn)98個文具盒中。是否都有一個文具盒中

至少放進(jìn)2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達(dá)嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個文具盒里，總有一個文具盒至少放進(jìn)幾枝鉛筆？把7枝筆放進(jìn)2個文具盒里呢? 8枝筆放進(jìn)2個文具盒呢? 9枝筆放進(jìn)3個文具盒呢？至少數(shù)=上+余數(shù)嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數(shù)學(xué)小知識

數(shù)學(xué)小知識：抽屜原理的由來最先發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的人是誰呢？最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄里克雷運用于解決數(shù)學(xué)問題的，后人們?yōu)榱思o(jì)念他從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關(guān)在5個籠子里，至少有多少只兔子要關(guān)在同一個籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

4、六年級四個班的學(xué)生去春游，自由活時有6個同學(xué)在一起，可以肯定。為什么？

六、小結(jié)

這節(jié)課你有什么收獲？

七、作業(yè)：課后練習(xí)

第五篇：抽屜原理

4分割圖形構(gòu)造“抽屜”與“蘋果”

在一個幾何圖形內(nèi), 有一些已知點, 可以根據(jù)問題的要求, 將幾何圖形進(jìn)行分割, 用這些分割成的圖形作抽屜, 從而對已知點進(jìn)行分類, 再集中對某個抽屜或某幾個抽屜進(jìn)行討論, 使問題得到解決.命題4在正方體的8個頂點處分別放上8個不同的正整數(shù), 如果它們的和等于55, 那么, 一定能找到某個側(cè)面正方形, 其相對頂點所放的數(shù)都是奇數(shù).證明

首先, 由8個正整數(shù)的和為奇數(shù)知, 當(dāng)中必有奇數(shù)個奇數(shù)；其次,為奇數(shù)的至少有3個, 否則, 假設(shè)最多有一個奇數(shù), 便有55?1?2?4?6?8?10?12?14?57，矛盾!

現(xiàn)以正方體的側(cè)面對角線為棱組成兩個三棱錐, D – A1 BC , B1 – ACD1如圖1, 3個奇數(shù)歸入2個三棱錐, 必有2 個奇數(shù)屬于同一個三棱錐。這兩個歸入奇數(shù)的頂點必是某一側(cè)面正方形的相對頂點。

此命題中的抽屜原理的應(yīng)用屬于“蘋果”(元素)、“抽屜”都未直接給出的類型, 需要從幾何上去構(gòu)造兩個“抽屜”。并運用奇偶分析法找出3 個“蘋果”。

在不超過60的正整數(shù)中任取9個數(shù)，證明：這9個數(shù)中一定有兩個數(shù)（a和b）的比值滿足2a3?? 3b

2例3 任意給定12 個不同的自然數(shù),證明其中必有兩個數(shù)的和或差是20 的倍數(shù).證明 將自然數(shù)按照除以20 所得的余數(shù)分類,得0、l、2、??、19,共20 類.任意給定的12 個不同的自然數(shù),若有兩個數(shù)在同一類(即兩個數(shù)除以20的余數(shù)相同),那么它們的差是20 的倍數(shù),結(jié)論成立。任意給定的12 個不同的自然數(shù)中,每兩個數(shù)都不在同一類,也就是按上面分的20 類中每一類只多有一個已知數(shù)(也可以沒有).此時,我們把自然數(shù)按被20 除的余數(shù)。0、l、2、3、??、19 分成11類: {I,19},{2,18},{3,17},?,{9,11},{10},{0} 每一類當(dāng)做1 個抽屜,己知的12 個自然數(shù)必有兩個在同一個抽屜中,它們的和是20 的倍數(shù)

一般地任取???2個不同的自然數(shù)，必有兩個數(shù)的和或差是n的倍數(shù).2證明 設(shè)所給的自然數(shù)為am（m=1、2、……、???2），有am=ngm+rm，?2??n????n???n??rm??0、1、2、......、? ??2????則???2個自然數(shù)的余數(shù)，分屬???1種情況，看做???1個抽屜，必有兩個數(shù)222ai，aj屬于同一個抽屜，即ri?rj。?n????n????n???.(1)當(dāng)ri?rj時,ai-aj是n的倍數(shù);(2)當(dāng)ri?-rj時, ai?aj是n的倍數(shù)·

綜合(l)、(2)可知,該命題成立

例7 試證:從1,2,3,?,10 這10 個自然數(shù)中,任取6個數(shù),則必能找到兩個數(shù),其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).分析

6個數(shù),需設(shè)計5 個抽屜,把前10個自然數(shù)放在5 個抽屜里,且能使每個抽屜中的數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系,因此得出如下分類方法:{1,7},}2,6 },{3,9},{4,8},}5,10 }.解 將前10 個自然數(shù)分成以下5 組:}l,7},}2,6},{3,9},}4,8},{5,10}.把這5 組看做5 個抽屜.任取6 個數(shù)則必有兩個數(shù)出自同一抽屜里,其中大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù).若題目變?yōu)閺?,2,3,?,20,這20 個自然數(shù)中,任取1 個數(shù),則必能找到兩個數(shù),其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).則應(yīng)這樣設(shè)計抽屜:{l,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},}{3},{15},{17},{19}.把這10 組看做10抽屜.任取11個數(shù),則必有兩個數(shù)出自同一抽屜里,只能是前5 個抽屜,其中大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù).一般地,設(shè)1?a1?a2?...?an?1?2n，則有1?i?j?n?1，故aiaj。

證明 設(shè)ai?2ibi，ai?0，2不能整除b（因為1,2,3，…,2nii=1,2,3,?,n+1,其中bi<2n，中恰有n個不同的奇數(shù),故在b1,….,bn+1中至少有兩個相同,設(shè)bi=bj,1?i?j?n?1,故aiaj。

.這是數(shù)論中的一個定理,1935 年由愛爾特希(erdos)提出,萊梅證明的例6 給定九個不同的實數(shù)a1,a2,...,a9,證明: 至少存在兩個實數(shù)ai,ajai , aj(i?j), 滿足: 0?nai?aj1?aiaj?2?1。

????????y?tan?，k=1,2,…,9,由在??k????,?單調(diào)遞增, ?22?22?????????3??,?分成8個小區(qū)間:??,??，8??22??2證明

設(shè)ak= tan?k??-當(dāng)ai?aj時，?i??j。將???3????3???????,…,根據(jù)抽屜原理, 在?,?,????,?至少存在兩個角?i,?j使得?8?4???82??22?0??i??j??8，則有: 0?tan?i??j?tan???8，0?tan?i?tan?j1?tan?itan?j?2?1, 即有0?ai?aj1?aiaj

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D

C A

B D1 A1 B1

D

C A

B D1 C1 A1

B1