第一篇：分式函數(shù)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題（文）

分式函數(shù)

2x?11．函數(shù)f?x??x的值域?yàn)??1

說(shuō)明：引出分式函數(shù)基本做法，突出對(duì)勾形式函數(shù)f(x)?x?

質(zhì)。

2．（浙江卷文8）若函數(shù)f(x)?x?2a(a?R)的圖象與基本性xa(a?R)，則下列結(jié)論正確的是x

A．?a?R，f(x)在(0,??)上是增函數(shù)

B．?a?R，f(x)在(0,??)上是減函數(shù)

C．?a?R，f(x)是偶函數(shù)

D．?a?R，f(x)是奇函數(shù)

t2?4t?13．【2010·重慶文數(shù)】已知t?0，則函數(shù)y?的最小值為_(kāi)___________.t

x2?3x?3,(x??1)的值域?yàn)樽兪骄毩?xí)：①函數(shù)f?x??x?1

②函數(shù)f?x??

③函數(shù)f?x??

4．【2010·天津文數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=x-

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.?x?y?2?05．動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在不等式組?表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則??a?b?3的取值范圍?x?y?0a?1?y?0?x?1,(x??1)的值域?yàn)?x?3x?3sinx?cosx?1???,x??0,?的值域?yàn)?sinxcosx?2?1,對(duì)任意x?[1,??），f(mx)+mf(x)<0恒成立，x

是．

例題1：經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），日旅游人數(shù)f(t)（萬(wàn)人）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足f(t)?4?1，人均消費(fèi)g(t)（元）與時(shí)間（的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足g(t)?115?|t?15|.t天）

t

（Ⅰ）求該城市的旅游日收益w(t)（萬(wàn)元）與時(shí)間t(1?t?30,t?N)的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值（萬(wàn)元）

例題2：【2010·江蘇卷】將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，2(梯形的周長(zhǎng)）其中一塊是梯形，記S?,求S的最小值。梯形的面積

【解析】考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，一題多解.設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x，則：S?2(3?x)2

?(0?x?1)21?x方法一:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值

.(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)?222(1?

x)1?

x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3)??2222(1?x)(1?x)1S?(x)?0,0?x?1,x?，3

11當(dāng)x?(0,]時(shí)，S?(x)?0,遞減；當(dāng)x?[,1)時(shí)，S?(x)?0,遞增； 33

故當(dāng)x?1時(shí)，S的最小值是。33

方法二:利用函數(shù)的方法求最小值.t211112?令3?x?t,t?(2,3),?

(,)，則：S? 86t32?t?6t?8???1t2t

故當(dāng)?

1t31,x?時(shí)，S

.83

第二篇：分式函數(shù)難點(diǎn)

關(guān)于y=f（x）=x^2/1+x^2函數(shù)求值問(wèn)題

如果記y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示當(dāng)x=1時(shí)y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示當(dāng)x=1/2時(shí)y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

解：

因?yàn)閒（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2

第三篇：專(zhuān)題12分式函數(shù)

12—分式函數(shù)

專(zhuān)題12分式函數(shù)2011.7

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、熟悉分式函數(shù)的代數(shù)和幾何特征，掌握分式函數(shù)的單調(diào)性、最值的求法；

2、能數(shù)形結(jié)合地處理分式函數(shù)、基本不等式等相關(guān)的問(wèn)題.【例題選講】

例1 已知函數(shù)y?b

x?a（為常數(shù)，且a?0，b?0），求

（1）圖像所經(jīng)過(guò)的象限；

（2）它的對(duì)稱(chēng)中心；

（3）單調(diào)區(qū)間.例2 討論f(x)?ax?b

x（a?0,b?R,b?0）的單調(diào)性.（1）設(shè)x?1，求函數(shù)f(x)?x

2例2x?3的最大值；

（2）函數(shù)f(x)?2 x2

（3）函數(shù)y??2

x在[1,3]上的最大值與最小值；

（4）若不等式x2?ax?1?0對(duì)于x?(0,12)恒成立，求a的范圍.【課后習(xí)題】

1、函數(shù)y?2x?

1x?3的值域?yàn)開(kāi)_________.2、函數(shù)f(x)?x?a

x(a?0)的單調(diào)遞增區(qū)間__________.3、函數(shù)f(x)?x?m

m?1?x的對(duì)稱(chēng)中心是(3,n)，則m?2n?________.4、函數(shù)y?b

x?a（a、b為常數(shù)，且a?0，b?0）的圖像所經(jīng)過(guò)的象限是__________.5、設(shè)x?1，則函數(shù)f(x)?x

2x?1的最小值是___________.6、已知f(x)?x?

52x?m的圖像是直線y?x對(duì)稱(chēng)，則m?__________.7、設(shè)函數(shù)f(x)??x

1?|x|(x?R)，區(qū)間M?[a,b]，集合N?{y|y?f(x),x?M}，則使M?N成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有________個(gè).8、設(shè)函數(shù)f(x)?2x?

1x?1(x?0)，則f(x)（）

A．有最大值；B．有最小值；C．是增函數(shù)；D．是減函數(shù).9、函數(shù)y?x

x?1(x??1)的反函數(shù)是（）

A．y?x B．y??x

x?1(x?1)；x?1(x?1)；

C．y?x?

1x(x?0)；D．y?1?x

x(x?0).10、關(guān)于問(wèn)題“函數(shù)f(x)?

x(???

??)的最大值、最小值與函數(shù)

g(x)?x?Z)的最大值與最小值”，下列說(shuō)法正確的是（）

A．f(x)有最大、最小值，g(x)有最大、最小值；

B．f(x)有最大、最小值，g(x)無(wú)最大、最小值；

C．f(x)無(wú)最大、最小值，g(x)有最大、最小值；

D．f(x)無(wú)最大、最小值，g(x)無(wú)最大、最小值.-2-

11、設(shè)x?

0，若函數(shù)f(x)?a的取值范圍并求出此最小值.12、設(shè)f(x)?x?a

x?1(a?R)，x?[0,??)，求f(x)的最小值.13、已知函數(shù)f(x)?x2?a

x(x?0,a?R)，（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)在區(qū)間[2,??)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14、若函數(shù)f(x)?x?2

x?1的圖像是由函數(shù)y?g(x)的圖像由右平移2個(gè)單位，再向下平移

1個(gè)單位所得

求：（1）函數(shù)g(x)的解析式；（2）y?g(x)的對(duì)稱(chēng)中心.

第四篇：分式函數(shù)值域解法

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專(zhuān)文峰分校 張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的切入點(diǎn)，因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象。而對(duì)函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn)，但更多的是以解題的一個(gè)環(huán)節(jié)形式出現(xiàn)，其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識(shí)點(diǎn)之一。為此，如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力，是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán)，值得探討。下面就本人對(duì)分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究，不餒之處、敬請(qǐng)同仁指教。

一、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。

二、分式函數(shù)的類(lèi)型及值域解法

類(lèi)型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。

1.y=(a0)型

例１ 求函數(shù)y=的值域。

解法一：常數(shù)分離法。將y=轉(zhuǎn)化為y=（k1,k2為常數(shù)），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

解：反解y=得x=，對(duì)調(diào) y=（x)，∴函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個(gè)特點(diǎn)：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名。可以考慮借助三角函數(shù)值域解題，其實(shí)質(zhì)跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類(lèi)似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會(huì)出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數(shù)y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域?yàn)閇，0]。

總結(jié)：求一次分式函數(shù)的值域，首先要看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上；其次用反函數(shù)法解題；再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。

類(lèi)型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項(xiàng)至少有一項(xiàng)是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項(xiàng)，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來(lái)解題。

１.y=(a、d不同時(shí)為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域。

例４ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝0，當(dāng)y≠0時(shí)，由△≥0得-

∵函數(shù)定義域?yàn)镽，≤y≤。

∴函數(shù)y＝的值域?yàn)閇-，]。

說(shuō)明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會(huì)放大值域。

2.y=(a、d不同時(shí)為0)，指定的區(qū)間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因?yàn)閤<，所以若用判別式法，可能會(huì)放大其值域?？梢钥紤]使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?4

例６ 求的值域。

錯(cuò)解：=≥2。

分析：在使用均值定理時(shí)一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無(wú)法解決根式問(wèn)題，此時(shí)可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解：用單調(diào)性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增。

∴當(dāng)t=

2、即=

2、x=0時(shí)，ymin

=，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

總結(jié)：不管是求一次分式函數(shù)，還是求二次分式函數(shù)的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對(duì)一類(lèi)題才可以用通解通法。若失去同一類(lèi)前提，只強(qiáng)調(diào)通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯(cuò)誤，用辯證和發(fā)展的眼光看待問(wèn)題，這樣才會(huì)起到事半功倍的效果。

三、提煉知識(shí)，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，它沒(méi)有固定的方法和模式。但我們可以針對(duì)不同的題型進(jìn)行歸類(lèi)總結(jié)，盡最大可能地尋找不同類(lèi)型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法，是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以判別式△≥0，通過(guò)解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時(shí)可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時(shí)，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過(guò)確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

另外，還可以根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說(shuō)明

第五篇：函數(shù)精品復(fù)習(xí)(結(jié)構(gòu)2分式函數(shù))

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7、對(duì)勾函數(shù)y?x?

a

0),(0，??)上為增函數(shù) 是奇函數(shù),a?0時(shí),在區(qū)間(??，x

a?0時(shí),在(0a],[?a,0)遞減 在(??，?a],[,??)遞增

8.分式函數(shù)

典例分析

1．(2007海南、寧夏理)設(shè)函數(shù)f(x)?2．（2009重慶卷理）若f(x)?3若函數(shù)h(x)?2x?

A．[?2,??)

(x?1)(x?a)

為奇函數(shù)，則a?．

x

?a是奇函數(shù)，則a?． 2x?

1（）

kk

?在(1,??)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 x

3B．[2,??)

C．(??,?2]

D．(??,2]

4.（2009全國(guó)卷Ⅱ理）曲線y?

x

在點(diǎn)?1,1?處的切線方程為 2x?1

A.x?y?2?0B.x?y?2?0C.x?4y?5?0D.x?4y?5?0

ax?1?4?

a???的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱(chēng)，則a=。

4x?5?5?

x

2(x?R)的值域是 6.（2007浙江文）函數(shù)y?2

x?1

7.（2002全國(guó)理科）函數(shù)

y?1?的圖象是（）

5.若函數(shù)y?

ex?e?x(2009山東)函數(shù)y?x的圖像大致為().?x

e?e

D

A

9.（12分）函數(shù)f(x)?2x?

a的定義域?yàn)?0,1]（a為實(shí)數(shù)）.x

（1）當(dāng)a??1時(shí)，求函數(shù)y?f(x)的值域；

（2）若函數(shù)y?f(x)在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；

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10.（13分）已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)?x?解析式（2）若g(x)=f(x)+

1?2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng).（1）求函數(shù)f(x)的xa，且g(x)在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x

x?a（a、b為常數(shù)）.x?b

⑴若b?1，解關(guān)于x的不等式f(x?1)?0；

5⑵當(dāng)x?[?1,2]，f(x)的值域?yàn)閇,2]，求a、b的值.411、（2009重慶八中）已知函數(shù)f(x)?

x2?(1?p)x?p(p?0)

12、（2009西南師大附中）已知f(x)?2x?p

（1）若p > 1時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)?0；

（2）若f(x)?2對(duì)2?x?4時(shí)恒成立，求p的范圍．