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      高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 不等式證明中的構(gòu)造函數(shù)策略

      時(shí)間:2019-05-12 20:35:50下載本文作者:會(huì)員上傳
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      第一篇:高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 不等式證明中的構(gòu)造函數(shù)策略

      不等式證明中的構(gòu)造函數(shù)策略

      有些不等式證明問題,如能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),從函數(shù)的單調(diào)性或有界性等角度入手,則可以順利得到證明。把握這種構(gòu)造函數(shù)的證題策略,有利于證明一些用常規(guī)方法難以證明的命題.一、構(gòu)造一次函數(shù)證明不等式

      例1.設(shè)0

      =(1-y-z)x+(y+z-yz)(0

      1∴f(0)= y + z-yz =1-(1-y)(1-z)<1

      1a

      例2.若0

      1b,求證:b-b2 <

      1a?1

      1a?1

      .分析:結(jié)論即b2-b+>0,可將左式

      1a

      看成是以b為主元的二次函數(shù)(其中0

      1b),得x=b∈(0,1a?1).構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=x2-x+

      1a,x∈

      (0,).其對(duì)稱軸為x=

      1a

      21a

      ⑴當(dāng)≤

      12,即a≥2時(shí),f(x)在(0)

      上單調(diào)遞減.于是

      f(x)>f(1a

      1a12)=

      1a

      2?

      1a

      ?

      1a?1

      ?

      1a(a?1)

      >0

      ⑵當(dāng)>,即0

      f(x)> f(f(1)= 1-yz <1 ∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<1

      即x(1-y)+ y(1-z)+ z(1-x)<1 評(píng)注:⑴f(x)=(1-y-z)x +(y+z-yz)在x∈(0,1)上的圖象是線段(不含端點(diǎn)),故

      定軸x=

      f(x)<1?f(0)<1且f(1)<0.⑵本題也可就1-y-z在(-1,1)內(nèi)的不同情況分類說明.二、構(gòu)造二次函數(shù)證明不等式

      1a?

      1)=

      1a?11a

      4>0

      綜上,當(dāng)x∈(0,)時(shí),f(x)= x2-x +

      1a?1

      >0恒成立,即不等式b-b2 <成立.評(píng)注:

      1、本題旨在構(gòu)造二次函數(shù),并對(duì)

      2與動(dòng)區(qū)間(0,1a)間的不同位置情

      況分類討論。

      2、本題也可將結(jié)論轉(zhuǎn)化為(b-b2)a +(b

      用心愛心專心

      1-b2)-1<0(0

      1b),把左式看作是以a為

      分析:分析條件和結(jié)論的形式特征及其內(nèi)在聯(lián)系,聯(lián)想到正、余函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)公式,可構(gòu)造三角函數(shù)來轉(zhuǎn)化并證明結(jié)論.證明:由題意,構(gòu)造函數(shù)x = f(θ)=cosθ,于是x1=cosθ1,x2=cosθ2.主元的一次函數(shù),再予以證明.三、構(gòu)造分式函數(shù)證明不等式

      例3.設(shè)a、b、c∈R+,且a+b>c,求證

      a1?a

      ?

      b1?b

      ?

      c1?c

      .∴x1x2 +(1?x12)(1?x2)

      分析:不等式中各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)相同,只是字母不同,故可構(gòu)造分式函數(shù)f(x)= 行證明.證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=

      x1?x

      x1?x

      進(jìn)

      =cosθ1cosθ2+(1?cos2?1)(1?cos2?2)=cosθ1cosθ2 +|sinθ1sinθ2|

      = 1-

      11?x

      =cosθ1cosθ2±sinθ1sinθ2 =cos(θ1±θ2)≤

      1即 x1x2 +(1?x12)(1?x2)≤1

      (x∈R+),易證函數(shù)f(x)在其定義域R+上是單調(diào)遞增函數(shù).∵a+b>c>0,∴f(a+b)> f(c),即 又 故

      a?b1?a?ba1?aa1?a

      ?b1?bb1?b??

      c1?ca1?a?b?

      c1?c

      評(píng)注:對(duì)于和三角有一定聯(lián)系或結(jié)構(gòu)上有相似之處的不等式證明問題,根據(jù)題目的特

      點(diǎn),合理構(gòu)造三角函數(shù),利用三角公式和性質(zhì)

      ?

      a1?a?b

      ?a?b1?a?b

      進(jìn)行證明,不失為處理問題的一條捷徑.在不等式證明中,通過構(gòu)造函數(shù)模型來探求證題思路是優(yōu)化思維品質(zhì)的有效途徑,也是解題者認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)的具體體現(xiàn).?.評(píng)注:函數(shù)與不等式之間如同一對(duì)孿生兄弟,通過對(duì)不等式結(jié)構(gòu)特征的分析,來構(gòu)造函數(shù)模型,常??梢允盏匠銎嬷苿俚男Ч?四、構(gòu)造三角函數(shù)證明不等式

      例4.已知集合M={x | |x|≤1},x1、x2

      ∈M,求證x1x2 +(1?x1)(1?x2)≤1.用心愛心專心 2

      第二篇:(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      知識(shí)改變命運(yùn)百度提升自我本文為自本人珍藏版權(quán)所有僅供參考

      構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是聯(lián)系各個(gè)數(shù)學(xué)分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中,我們可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),建立起適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,利用函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì),靈活、巧妙地證明不等式.一、二次函數(shù)型:

      1.作差構(gòu)造法.例1.(新教材第二冊(cè)(上)(以下同)P16習(xí)題1(2))求證:a?b?c?ab?bc?ca.分析:將a視為變量,考察函數(shù)f?a??a??b?c?a?b?bc?c.由于該二次函數(shù)的圖象開口向上,且???3?b?c??0,故f?a??0.結(jié)論獲證.22

      2例2.(教材P31.復(fù)習(xí)參考題6)設(shè)a,b,c為?ABC的三條邊,求證:a?b?c<2?ab?bc?ca?.2222

      222

      分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x?2?b?c?x??b?c?.∵f?x?圖象開口向上,對(duì)稱軸x?b?c.∴f?x?在???,b?c?上單調(diào)遞減.∵a,b,c為?ABC的三條邊,∴b?c<a<b?c(不妨設(shè)b?c)∴

      f

      ?a??f?b?c?.2

      ∵f?b?c???b?c??2?b?c??b?c???b?c???4c?b?c??0.∴f?a??0.即結(jié)論成立.2.判別式構(gòu)造法.2222

      例3.(教材P27.例1)已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù),且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.分析:所證結(jié)論即是??2?ac?bd????4?a?b

      ??c

      ?d

      ??0.故可構(gòu)造函數(shù)

      f

      ?x???a

      ?b

      ?x

      ?2?ac?bd?x?c?d.2

      由于f?x???ax?2acx?c

      2???bx?2bdx?d

      ?

      ??ax?c???bx?d

      ?

      ?0.當(dāng)且僅當(dāng)x?

      ca

      ?

      db

      時(shí)取“=”號(hào).又因?yàn)閒?x?的圖象開口向上,故必有??0.結(jié)論成立.2

      練習(xí)1.(教材P16.練習(xí)2)求證:?ac?bd???a?b??c

      n

      ?d

      ?.n

      n

      點(diǎn)撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

      ??

      ab??ii???i?1?

      n

      n

      2i

      n

      ?a??

      i?

      1i?1

      ?2?2

      bi.可構(gòu)造函數(shù)f?x????ai?x?2?aibi?x?

      i?1?i?1?

      ?b

      i?1

      2i

      證之.練習(xí)2.(教材P17.習(xí)題6)已知a,b是不相等的兩個(gè)正數(shù),求證:

      ?a?b??a?b

      3???a?b

      ?

      .用心 愛心 專心

      點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x???a?b?x?2?a?b

      ?x?a

      ?b?a?x?a??b?x?b?證之.22

      練習(xí)3.(教材P17.習(xí)題7)已知a,b都是正數(shù),x,y?R,且a?b?1,求證:

      ax?by

      ??ax?by?.點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?z???a?b?z?2?ax?by?z?ax?by?a?z?x??b?z?y?證之.練習(xí)4.(教材P31.復(fù)習(xí)參考題5)求證:3?1?a?a

      ???1?a?a?

      .點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??3x?2?1?a?a

      ?x?1?a

      ?a??x?1???x?a???x?a?

      證之.二、分式函數(shù)型:

      例4.(教材P12.例2)已知a,b,m都是正數(shù),并且a?b,求證:

      分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??

      x?ax?b

      a?mb?m

      ?ab.x??0,???.由于當(dāng)x??0,???時(shí),f??x??

      b?a

      ?x?b?

      ?0.故f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x

      f

      ?0處右連續(xù),∴f

      ?x?在?0,???上是增函數(shù).∵m

      ?0 ∴

      ?m??f?0? 即

      a?mb?m

      ?

      ab

      .例5.(教材P22.例3)已知a?1,b?1,求證:

      a?x1?ax

      a?b1?ab

      ?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??x???1,1?.由于當(dāng)x???1,1?時(shí),f??x??

      1?a

      2?1?ax?

      ?0.故f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵f?x?在x??1處右連續(xù),在x?1處左連續(xù).∴f?x?在??1,1?上是增函數(shù).∵?1?b?1 ∴f??1??f?b??f?1? ,即?1?

      a?b1?ab

      ?1.ab

      a?cb?d

      cd

      a?b1?ab

      ?1, 即

      例6.(教材P14練習(xí)5)已知a,b,c,d都是正數(shù),且bc?ad,求證:

      ??.a

      分析:聯(lián)想定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,a?cb?d

      可寫成b

      ?1?

      cd

      db.故可構(gòu)造函數(shù)db

      a

      f

      ?x??

      b

      d1?x

      ?

      c

      ?x,x??0,???.∵當(dāng)x??0,???時(shí),用心 愛心 專心 2

      c

      f??x??

      d

      ?

      ab

      ?1?x?

      ?

      bc?adbd?1?x?

      ?0.∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).∵f?x?在x

      ?0處右連續(xù),∴f?x?在?0,???上是增函數(shù).又∵

      cd

      db

      ?0.∴

      ?d?

      f?0??f???limf

      ?b?x???

      ?x?.而

      f?0??

      a?c?d?,f???,limf

      x???bbb?d??

      a

      ?x??

      .故原不等式成立.ac?a

      bc?b

      練習(xí)5.(教材P14.練習(xí)4)已知c?a?b?0,求證:

      點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??

      xc?x

      x??0,c?

      ?.練習(xí)6.(教材P17.習(xí)題9)已知?ABC的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c.且m為正數(shù).求證:

      aa?m

      ?

      bb?m

      ?

      cc?m

      .xx?m?,x??0,???.易證fcc?m

      .而

      aa?m

      ?

      bb?m

      點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)f?x??

      f

      ?x?為增函數(shù).由于

      ?

      aa?b?m

      ?

      ba?b?m

      ?

      a?b?c,故

      ?a?b??

      aa?m

      ?

      f?c?.即b

      ?

      a?ba?b?mc

      .a?ba?b?m

      .故

      b?mc?m

      練習(xí)7.(教材P23.習(xí)題4)求證:

      分析:構(gòu)造函數(shù)f?x??

      三、冪函數(shù)型:

      a?b1?a?b

      ?

      a?b1?a?b

      .x1?x,x??0,???證之.例7.如果a,b都是正數(shù),且a?b,求證:a?b?ab?ab.分析:a?b?ab?ab??a?b

      55322

      3??a

      ?b

      ?.考察函數(shù)f?x??x,(n?N)在?0,???上的單調(diào)性,顯然f?x?在?0,???上為增函數(shù).n

      *

      若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

      ??a??a

      ?b?b

      ??0; ??0。

      若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

      2所以a?b?ab?ab.利用函數(shù)的單調(diào)性證法可以將上述結(jié)論推廣為: 若a、b是正數(shù)且a?b,求證:a四、一次函數(shù)型:

      用心 愛心 專心

      m?n

      55322

      3?b

      m?n

      ?ab?ab.(m,n?N)

      mnnm*

      例8.設(shè)a,b,c??0,1?,求證:a?b?c?ab?bc?ca?1.分析:構(gòu)造函數(shù)f?a???1?b?c?a?b?c?bc?1,a??0,1?.∵f?0??b?c?bc?1??1?c??b?1??0,f?1??1?b?c?b?c?bc?1??bc?0.∴對(duì)任意a??0,1?,恒有f?a??0.故原不等式成立.五、三角函數(shù)型: 例9.(同例3)

      分析:設(shè)a?cos?,b?sin?, c?cos?,d?sin?.則ac?bd?cos??cos??sin??sin?

      ?cos????

      ?

      ?1.練習(xí)8.設(shè)x,y?R,且x?y?1,求證

      :?x?2xy?y?點(diǎn)撥:設(shè)x?rcos?,y?rsin?.其中r?1.以下略.六、指數(shù)函數(shù)型:

      2例10.已知等差數(shù)列?an?和等比數(shù)列?bn?,其中a1?b1,a2?b2,0<a1<a2,證明當(dāng)n?3時(shí),an

      da

      1n?1

      .所以,當(dāng)n?3時(shí),bn?a1q

      q?1?

      ?d?

      ??a1?1?

      ?a1???

      n?1

      ?

      ???dd?11

      ??a1??n?1?d?an.a1?1?Cn?1???a1?1?Cn?1

      ???> a1a1?????

      這兒,我們用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮,完成了證明.七、構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖象的凸性: 例11.(教材P15.例6)求證3+7<2

      5分析:考察函數(shù)f(x)=x的圖象,特征是上凸函數(shù).對(duì)任意x1,x2??0,???, 且x1?x2,都有:所以,即

      212

      ?f(x1)?f(x2)?

      ??f?3??f?7???

      ?f?5?.(3+7)<5.兩條結(jié)論:(1用心 愛心 專心

      值之和越大.例:6?

      7?22?

      5?

      ?

      3?

      ?

      2及

      a?

      a?3?

      a?1?

      a?2

      (2)下凸函數(shù),區(qū)間中點(diǎn)相同時(shí),兩端“距離”區(qū)間中點(diǎn)越近,兩端點(diǎn)函數(shù)值之和越小.練習(xí)9.已知:f?x??tanx,x??0,??

      ??2?

      ?, 若x1,x2??0,?

      ?

      ??2?

      ? 且x1?x2,試判斷

      ??f

      ?x1??

      f

      ?x2???與

      ?x?x2?

      f?1

      ?的大小,并加以證明(94年高考理科試題變式題).2??

      練習(xí)10.已知:f?x??lgx?x?1?,若0?x1?x2,試比較

      年高考文科試題).練習(xí)11.(教材P23.習(xí)題5)求證:lg

      A?B2

      ?

      lgA?lgB

      ??f

      ?x1??

      f

      ?x2???與

      ?x?x2?

      f?1

      ?的大小(942??

      ?AB?0?.以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義,就會(huì)給證明提供思路.八、構(gòu)造連續(xù)函數(shù),應(yīng)對(duì)含離散型變量的不等式問題: 例12.(2001年全國(guó)理)已知i,m,n是正整數(shù),且1﹤i≤m<n.(1)證明nAm<mAn.(2)證明?1?m?>?1?n?.n

      m

      iiii

      i?1i?

      1分析:(1)nAm<mAn可化為:

      i?1

      iiii

      Amm

      i

      i

      Ann

      i

      i

      ??m,即:

      k?0

      ?k?

      i

      ??n?k?

      k?0

      mn

      i

      .構(gòu)造函數(shù)f?x??

      ??x?k?

      k?0

      x

      i

      .(x?i>1).i?1

      兩邊取對(duì)數(shù),得:lnf?x??

      ?

      k?0

      ln?x?k??ilnx.當(dāng)x??i,???時(shí),兩邊求導(dǎo),得:

      f??x?f?x?

      i?1

      ?

      ?

      k?0

      1x?k

      ?

      ix

      i?1

      >?

      k?0

      1x

      ?

      ix

      ?0.由于f?x?>0,故f??x?>0.這說明f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵f?x?在x?i處右連續(xù).∴

      f?x?在?i,???上是增函數(shù).∵i≤m<n.∴f?m?<f?n?.Amm

      ii

      即<

      Ann

      i

      i

      .整理,得:nAm<mAn.用心 愛心 專心

      iiii

      (2)不等式?1?m?>?1?n?兩邊取對(duì)數(shù),得:ln?1?m?>ln?1?n?.n

      m

      n

      m

      整理,得:

      ln?1?m

      m

      ?

      ln?1?n?n

      .構(gòu)造函數(shù)g?x??

      ln?1?x?x

      ?x?2?.x

      求導(dǎo),得:g??x??

      1?x

      ?ln?1?x?xx

      .當(dāng)x?2時(shí),可得:0<

      1?x

      <1,ln?1?x??ln3>1.故g??x?<0.所以g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵g?x?在x?2處右連續(xù).∴g?x?在?2,???上是減函數(shù).∵m<n,∴ g?m?>g?n?.即

      ln?1?m

      m

      ?

      ln?1?n?n

      .整理,得:?1?m?>?1?n?.n

      m

      注:不等式?1?m?>?1?n?

      n

      m

      也可化為:?1?m?

      1m

      >?1?n?

      1n

      .這時(shí),可研究函數(shù)

      h?x???1?x?x?e

      ln?1?x?x的單調(diào)性證之.n?1

      練習(xí)12.已知n是正整數(shù)且n≥3.求證:n

      n

      >?n?1?.n

      點(diǎn)撥:不等式n

      n?1

      >?n?1?兩邊取自然對(duì)數(shù),整理得:

      lnnn

      ln?n?1?n?1

      .構(gòu)造函數(shù)f?x??

      lnxx

      可證之.lnf?x?

      說明:根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們將函數(shù)轉(zhuǎn)化為lnf?x?型或e型,方便了對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算.不等式證明的數(shù)學(xué)模型,除本文介紹的函數(shù)模型外,還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等,請(qǐng)讀者自行研究、總結(jié).作者簡(jiǎn)介:陳兵,男,1976年10月26日出生,山東省滕州市人,中教二級(jí), 學(xué)士學(xué)位.用心 愛心 專心 6

      第三篇:構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中,若使用其它方法不能解決,可將一邊整理為零,而另一邊為某個(gè)字母的二次式,這時(shí)可考慮用判別式法。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的,都可考慮使用判別式,但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。

      例1.設(shè):a、b、c∈R,證明:a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立,并指出等號(hào)何時(shí)成立。

      解析:令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

      ⊿=(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R,∴⊿≤0 即:f(a)?0,∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

      當(dāng)⊿=0時(shí),b?c?0,此時(shí),f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0,∴a??b?c時(shí),不等式取等號(hào)。

      ?4?例2.已知:a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2,求證: a,b,c??0,?。

      ?3??a?b?c?222解析:?2 消去c得:此方程恒成立,a?(b?2)a?b?2b?1?0,22?a?b?c?2∴⊿=(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0,即:0?b??4?同理可求得a,c??0,?

      ?3?4。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式

      對(duì)某些不等式證明,若能根據(jù)其條件和結(jié)論,結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征,通過構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù):f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

      由f(x)?0,得⊿≤0,就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題,獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。

      例3.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1,求證:4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析:構(gòu)造函數(shù):

      f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

      2=8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0,得⊿≤0,即⊿=4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?1,求解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)?(=(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

      1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0(當(dāng)且僅當(dāng)a?,b?,c?時(shí)取等號(hào)),632149得⊿≤0,即⊿=144-4(??)≤0

      abc111149

      ∴當(dāng)a?,b?,c?時(shí),(??)min?36 632abc

      構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      1、利用函數(shù)的單調(diào)性

      +例

      5、巳知a、b、c∈R,且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想,構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之,思路則更為清新。

      a?x+,其中x∈R,0

      b?xb?x證明:令 f(x)= ∵b-a>0 b?a+ 在R上為減函數(shù) b?xb?a+從而f(x)= 在R上為增函數(shù)

      b?x∴y= ∵m>0 ∴f(m)> f(0)

      ∴a?ma> b?mb例

      6、求證:a?b1?a?b≤

      a?b1?a?b(a、b∈R)

      [分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法,很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明,問題將迎刃而解。

      [證明]令 f(x)=

      x,可證得f(x)在[0,∞)上是增函數(shù)(證略)1?x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

      得 f(∣a+b∣)≤ f(∣a∣+∣b∣)

      即: a?b1?a?b≤

      a?b1?a?b

      [說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù),若用定義來證明,則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系;反過來,證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。

      2、利用函數(shù)的值域

      7、若x為任意實(shí)數(shù),求證:—

      x11≤≤ 221?x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明,但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域,于是構(gòu)造函數(shù)f(x)= x11,從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—,]即可。

      1?x222x2證明:設(shè) y=,則yx-x+y=0 21?x ∵x為任意實(shí)數(shù) ∴上式中Δ≥0,即(-1)-4y≥0 1 411得:—≤y≤

      22x11 ∴—≤≤

      21?x22 ∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式,應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。

      另證:類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡(jiǎn)單。

      8、求證:必存在常數(shù)a,使得Lg(xy)≤ Lga.lg2x?lg2y

      對(duì)大于1的任意x與y恒成立。

      [分析]此例即證a的存在性,可先分離參數(shù),視參數(shù)為變?cè)暮瘮?shù),然后根據(jù)變?cè)瘮?shù)的值域來求解a,從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立,則s的最小值為f(t)的最大值;若 s≤f(t)恒成立,則s的最大值為f(t)的最小值。

      22證明:∵lgx?lgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可變形為:Lga≥

      lgx?lgylgx?lgy22

      2(lgx?lgy)2lgxlgy 令 f(x)= == 1?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy ∴ 1

      從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立,只需Lga≥2即 a≥10

      2即可。

      故必存在常數(shù)a,使原不等式對(duì)大于1的任意x、y恒成立。

      3、運(yùn)用函數(shù)的奇偶性

      xx<(x≠0)1?2x2xx 證明:設(shè)f(x)=-(x≠0)x1?22 例

      9、證明不等式:

      ?x?x?x2xx ∵f(-x)=-= x+ ?x1?222?12xxx

      [1-(1-2)]+ 1?2x2xx =-x+= f(x)x1?22 = ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

      x ∵當(dāng)x>0時(shí),1-2<0,故f(x)<0 當(dāng)x<0時(shí),根據(jù)圖象的對(duì)稱性知f(x)<0 故當(dāng) x≠0時(shí),恒有f(x)<0 即:xx<(x≠0)x1?22 [小結(jié)]本題運(yùn)用了比較法,實(shí)質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明的,本題也可以運(yùn)用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對(duì)稱性和奇函數(shù)的中心對(duì)稱性,常能使所求解的問題避免復(fù)雜的討論。

      第四篇:構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      構(gòu)造函數(shù)證明:>e的(4n-4)/6n+3)次方

      不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)(嚴(yán)格遞增)有:

      ln(2^2/2^2-1)+ln(3^2/3^2-1)+...+ln(n^2/n^2-1)>(4n-4)/(6n+3)

      不等式左邊=2ln2-ln1-ln3+2ln3-ln2-ln4+...+2lnn-ln(n-1)-ln(n+1)

      =ln2-ln1+lnn-ln(n+1)=ln

      構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln-(4x-4)/(6x+3)

      對(duì)f(x)求導(dǎo),有:f'(x)=+^

      2當(dāng)x>2時(shí),有f'(x)>0有f(x)在x>2時(shí)嚴(yán)格遞增從而有

      f(n)>=f(2)=ln(4/3)-4/15=0.02>0

      即有l(wèi)n>(4n-4)/(6n+3)

      原不等式等證

      【解】:

      ∏{n^2/(n^2-1)}>e^((4n-4)/(6n+3))

      ∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1)

      ∴∏{n^2/(n^2-1)}=2n/(n+1)

      原式可化簡(jiǎn)為:2n/(n+1)>e^((4n-4)/6n+3))

      構(gòu)建函數(shù):F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))

      其一階導(dǎo)數(shù)F’(n)={2-4e^((4n-4)/(6n+3))}/(n+1)^2

      ∵e^((4n-4)/(6n+3))

      ∴F’(n)>0

      而F=4/(2+1)-e^((8-4)/(12+3))=4/3-e^(4/15)>0

      所以F(n)>0

      即:2n/(n+1)>e^((4n-4)/6n+3))

      故得證。

      一、結(jié)合勘根定理,利用判別式“△”的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      例1若a,b,c∈R,且a≠0,又4a+6b+c>0,a-3b+c<0.求證:9b2>4ac.證明構(gòu)造函數(shù)f(x),設(shè)f(x)=ax2+3bx+c(a≠0),由f(2)=4a+6b+c>0,f(-1)=a-3b+c<0,根據(jù)勘根定理可知:f(x)在區(qū)間(-1,2)內(nèi)必有零點(diǎn).又f(x)為二次函數(shù),由勘根定理結(jié)合可知:

      f(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn).令ax2+3bx+c=0可知△=(3b)2-4ac>0,所以可得:9b2>4ac.命題得證.評(píng)析本題合理變換思維角度,抓住問題本質(zhì),通過構(gòu)造二次函數(shù),將所要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化成判別式“△”的問題,再結(jié)合勘根定理和二次函數(shù)知識(shí),從而使問題獲得解決.二、結(jié)合構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

      例2(2005年人教A版《選修4-5不等式選講》例題改編)已知a,b,c是實(shí)數(shù),求證:

      |a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.證明構(gòu)造函數(shù)f(x),設(shè)f(x)=x1+x(x≥0).由于f′(x)=1(1+x)2,所以結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,∴f(|a+b+c|)≤f(|a|+|b|+|c|),即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.命題得證.三、結(jié)合構(gòu)造函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的最值證明不等式

      例3(第36屆IMO試題)

      設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足abc=1,求證:

      1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.證明構(gòu)造函數(shù),設(shè)f(a,b,c)=1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b),顯然a=b=c=1時(shí),f(a,b,c)=32≥32成立.又abc=1,a,b,c為正實(shí)數(shù),則a,b,c中必有一個(gè)不大于1,不妨設(shè)0f(a,b,c)-f(a,1,c)=(1-b)1a3(b+c)(1+c)+1+b+b2b3(a+c)+1c3(a+b)(1+a)≥0,∴f(a,b,c)≥f(a,1,c),因此要證f(a,b,c)≥32,只要證f(a,1,c)≥32,此時(shí)ac=1,∴a,1,c成等比數(shù)列,令a=q-1,c=q(q>0).f(a,1,c)=q31+q+qq2+1+1q2(1+q)

      =q5+1q2(1+q)+qq2+1

      =(q4+1)-(q3+q)+q2q2+qq2+1

      =(q2+q-2)-(q+q-1)+1q+q-1+1

      =t2-t+1t-1.(其中t=q+q-1,且t≥2).由導(dǎo)數(shù)知識(shí)(方法同例

      2、例3)可知函數(shù)

      f(a,1,c)=t2-t+1t-1(t≥2)是增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)t=2q=1a=c=1時(shí),(f(a,1,c))min=22-2+12-1=32成立,∴f(a,1,c)≥32.故f(a,b,c)≥f(a,1,c)≥32.命題得證。

      第五篇:構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中,若使用其它方法不能解決,可將一邊整理為零,而另一邊為某個(gè)字母的二次式,這時(shí)可考慮用判別式法。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的,都可考慮使用判別式,但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。

      例1.設(shè):a、b、c∈R,證明:a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立,并指出等號(hào)

      何時(shí)成立。

      解析:令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

      ⊿=(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)

      2∵b、c∈R,∴⊿≤0

      即:f(a)?0,∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

      當(dāng)⊿=0時(shí),b?c?0,此時(shí),f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0,∴a??b?c時(shí),不等式取等號(hào)。

      ?4?例2.已知:a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2,求證: a,b,c??0,?。?3?

      ?a?b?c?222解析:?2 消去c得:此方程恒成立,a?(b?2)a?b?2b?1?0,22?a?b?c?

      2∴⊿=(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0,即:0?b?

      ?4?同理可求得a,c??0,? ?3?4。

      3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式

      對(duì)某些不等式證明,若能根據(jù)其條件和結(jié)論,結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征,通過構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù):f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2 由f(x)?0,得⊿≤0,就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題,獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。

      例3.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1,求證:a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。

      解析:構(gòu)造函數(shù):

      f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)2

      =8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)

      由f(x)?0,得⊿≤0,即⊿=4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?1,求

      解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)?(=(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2x?b)2?(3cx?)2 1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc

      111由f(x)?0(當(dāng)且僅當(dāng)a?,b?,c?時(shí)取等號(hào)),632

      149得⊿≤0,即⊿=144-4(??)≤0 abc

      111149∴當(dāng)a?,b?,c?時(shí),(??)min?36 632abc

      構(gòu)造函數(shù)證明不等式

      1、利用函數(shù)的單調(diào)性

      +例

      5、巳知a、b、c∈R,且a

      求證: a?ma> b?mb

      [分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想,構(gòu)造出與所證不

      等式密切相關(guān)的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之,思路則更為清新。

      a?x+,其中x∈R,0

      b?x?b?ab?af(x)==1-b?xb?x證明:令 f(x)=

      ∵b-a>0

      b?a+ 在R上為減函數(shù) b?x

      b?a+從而f(x)= 在R上為增函數(shù) b?x∴y=

      ∵m>0∴f(m)> f(0)∴a?ma> b?mb

      6、求證:a?b

      1?a?b≤a?b

      1?a?b(a、b∈R)

      [分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法,很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明,問題將迎刃而解。

      [證明]令 f(x)=x,可證得f(x)在[0,∞)上是增函數(shù)(證略)1?x

      而0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

      得f(∣a+b∣)≤ f(∣a∣+∣b∣)

      即: a?b

      1?a?b≤a?b

      1?a?b

      [說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù),若用定義來證明,則證明過程是用比較

      法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系;反過來,證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。

      2、利用函數(shù)的值域

      7、若x為任意實(shí)數(shù),求證:—1x1≤≤ 221?x

      2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明,但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域,于是

      構(gòu)造函數(shù)f(x)= x11,從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—,]即可。1?x222

      x2證明:設(shè) y=,則yx-x+y=0 21?x

      ∵x為任意實(shí)數(shù)

      22∴上式中Δ≥0,即(-1)-4y≥0

      411得:—≤y≤ 22

      1x1∴—≤≤ 21?x22∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式,應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。

      另證:類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡(jiǎn)單。

      8、求證:必存在常數(shù)a,使得Lg(xy)≤ Lga.lg2x?lg2y對(duì)大于1的任意x與y恒成立。

      [分析]此例即證a的存在性,可先分離參數(shù),視參數(shù)為變?cè)暮瘮?shù),然后根據(jù)變?cè)瘮?shù)的值域來求解a,從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立,則s的最小值為f(t)的最

      大值;若 s≤f(t)恒成立,則s的最大值為f(t)的最小值。22證明:∵lgx?lgy > 0(x>1,y>1)

      ∴原不等式可變形為:Lga≥lgx?lgy

      lgx?lgy2

      22lgx?lgy)2lgxlgy令 f(x)= == ?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy

      22而 lgx>0,lgy>0,∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0

      ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy

      ∴ 1

      從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立,只需Lga≥2即 a≥102即可。

      故必存在常數(shù)a,使原不等式對(duì)大于1的任意x、y恒成立。

      3、運(yùn)用函數(shù)的奇偶性

      xx<(x≠0)1?2x

      2xx 證明:設(shè)f(x)=-(x≠0)x1?22 例

      9、證明不等式:

      ?x?x?x2xx∵f(-x)=-= x+ ?x1?222?12

      xxx[1-(1-2)]+1?2x2

      xx=-x+= f(x)x1?22=

      ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

      x∵當(dāng)x>0時(shí),1-2<0,故f(x)<0

      當(dāng)x<0時(shí),根據(jù)圖象的對(duì)稱性知f(x)<0

      故當(dāng) x≠0時(shí),恒有f(x)<0

      即:xx<(x≠0)x1?22

      [小結(jié)]本題運(yùn)用了比較法,實(shí)質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明的,本題也可以運(yùn)用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對(duì)稱性和奇函數(shù)的中心對(duì)稱性,常能使所求解的問題避免復(fù)雜的討論。

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