第一篇：傅里葉變換的由來及復(fù)數(shù)下的傅里葉變換公式證明

1、考慮到一個(gè)函數(shù)可以展開成一個(gè)多項(xiàng)式的和，可惜多項(xiàng)式并不能直觀的表示周期函數(shù)，由于正余弦函數(shù)是周期函數(shù)，可以考慮任意一個(gè)周期函數(shù)能否表示成為一系列正余弦函數(shù)的和。假設(shè)可以，不失一般性，于是得到：

2、將后面的正弦函數(shù)展開：

于是得到：

那么如何計(jì)算an,bn,a0這些參數(shù)成為能否展開成為正余弦函數(shù)的關(guān)鍵。

上面的這些積分為0被稱之為正余弦函數(shù)的正交性。這些證明很簡(jiǎn)單，可惜當(dāng)初學(xué)習(xí)正余弦函數(shù)的時(shí)候可能遇到過，但是卻不知道這些東西能干什么用。下面的處理手段凸顯了大師的風(fēng)范：

如果我們隊(duì)原函數(shù)進(jìn)行如下積分，得到很神奇的東西：

后面的積分很明顯是0，于是我們求出了a0的值。

那么如何求出an,如果讓原函數(shù)乘以cos(nx)再進(jìn)行積分。

利用三角函數(shù)的正交性，可以得到：

再用sin(nx)乘，再進(jìn)行積分就會(huì)得到bn,于是乎得到了一個(gè)任意函數(shù)展開成為正余弦函數(shù)的通用表達(dá)式，同時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是讓整個(gè)表達(dá)式更具有通用性，體現(xiàn)一種簡(jiǎn)潔的美。

通過了以上的證明過程，應(yīng)該很容易記住傅里葉變換的公式。

到此為止，作為一個(gè)工程人員不用再去考慮了，可是作為每一個(gè)數(shù)學(xué)家他們想的很多，他們需要知道右側(cè)的展開式為什么收斂于原函數(shù)，這個(gè)好難，有個(gè)叫Dirichlet的家伙證明出如下結(jié)論：

有興趣的可以繼續(xù)找書看，可惜我有興趣沒時(shí)間····

至此以2π為周期的傅里葉變換證明完畢，只不過我們經(jīng)常遇到的周期函數(shù)我想應(yīng)該不會(huì)這么湊巧是2π，于是乎任意的一個(gè)周期函數(shù)如何知道其傅里葉變換呢，數(shù)學(xué)向來都是一個(gè)很具有條理性的東西，任意周期的函數(shù)的傅里葉變換肯定也是建立在2π周期函數(shù)的基礎(chǔ)之上的。

也就是說如何讓一個(gè)以2l為周期的函數(shù)變成一個(gè)以2π為周期的函數(shù)，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),這樣就z就是一個(gè)以2π為周期的函數(shù)了，于是乎得到如下公式：

傅里葉函數(shù)看起來其實(shí)還是比較復(fù)雜的，有沒有一種更簡(jiǎn)單的表達(dá)形式來表示呢。既然提出這個(gè)問題，肯定是有的，我個(gè)人猜想肯定是復(fù)變函數(shù)大師在挖掘復(fù)變函數(shù)的時(shí)候，用復(fù)變函數(shù)去套用經(jīng)典的傅里葉變換，偶然間發(fā)現(xiàn)的······

一個(gè)基本的歐拉公式eiθ=cosθ +i*sinθ,這個(gè)很容易可以從復(fù)數(shù)的幾何意義上得知，我們通過取兩個(gè)互為相反數(shù)的θ可以得到兩個(gè)式子，進(jìn)而可以得到cos 和 sin 的復(fù)數(shù)

表達(dá)形式：

?

fT(t)?c0?

??

?[cne

n?1

j?nt

?c?ne

?j?nt

]

即：fT(t)?

?

n???

cne

j?nt,(n?0,?1,?2,?3,??)?(2)

第二篇：MAtlab傅里葉變換實(shí)驗(yàn)報(bào)告

班級(jí)

信工 142

學(xué)號(hào)

姓名

何巖

實(shí)驗(yàn)組別

實(shí)驗(yàn)日期

室溫

報(bào)告日期

成績

報(bào)告內(nèi)容:(目得與要求, 原理, 步驟, 數(shù)據(jù), 計(jì)算, 小結(jié)等)1、求信號(hào)得離散時(shí)間傅立葉變換并分析其周期性與對(duì)稱性;給定正弦信號(hào) x(t)=2＊ｃｏs(2＊pｉ*1０＊ｔ),ｆs=100ＨZ,求其ＤTFＴ。

(ａ)代碼: ｆ=10;Ｔ=1／f;w=－1０:0、2:10;t1=0:0、000１:１;ｔ２＝0:0。0１:1;n1=-2;ｎ2=8;ｎ０=０;n＝n1:0。0１:n２;ｘ5＝［ｎ>=0.01];x１=2＊cos(2*ｆ＊pi＊ｔ1);x２＝2*coｓ(2＊f*pi＊t２);x3=(exp(—ｊ).^(t2’*w));x４=ｘ２*x３;subplot(2,2,1);ploｔ(t1,x1);axｉs(［０ １ 1、1*min(x2)1。1＊maｘ(ｘ2)]);xlaｂeｌ(’x(n)’);ylabeｌ(’x(n)“);titｌｅ(＇原信號(hào) x1”);ｘlａbeｌ(“t”);ylabeｌ(“x1’);sｕbpｌot(2,2,3);sｔem(t2,ｘ2);axis(［０ 1 1、1＊min(x2)1。１＊max(x2)]);title(’原信號(hào)采樣結(jié)果 x2＇);xlabel(＇ｔ’);ｙlaｂel(＇x2”);ｓubplot(2,2,２);steｍ(n,x5);axiｓ([0 1 1、1*miｎ(x5)1.1*mａx(x5)]);xｌabｅｌ(’n’);ｙｌabel(＇x2“);titlｅ(’采樣函數(shù)ｘ２＇);ｓubｐlｏt(2,2,4);ｓtｅm(t2,ｘ4);axis(［0 1 —0、2＋1。1*min(x４)１、1*ｍａx(x4)］);xlabel(’t”);ylabel(＇x4“);title(”ＤＴFＴ結(jié)果 x4＇);(b)結(jié)果:

２、用以下兩個(gè)有限長序列來驗(yàn)證 DTFT 得線性、卷積與共軛特性;x1(n)=［１ ２ 3 ４ 5 6 7 8 9 10 11 １２];x2(ｎ)=R 10(n)(1)線性:(a)代碼: w=linｓｐaｃe(-8,8,10000);ｎｘ1＝[０:11］;nx2＝［0:9];ｘ1=［1 2 ３ 4 ５ ６ ７ 8 9 10 1１ １２］;x2=[1 １ 1 1 １ 1 1 1 １ １];x3=［x2,ｚeｒｏs(１,(leｎgth(x1)—lｅngth(x2)))］;x4=2＊x1+3＊x3;Ｘ1=x1*exｐ(-j＊ｎx1＇＊w);％頻率特性 X3=x３*exp(-j*ｎｘ1＇＊ｗ);%頻率特性 X4＝ｘ4*exp(—ｊ*ｎｘ1’*w);％頻率特性

suｂplｏt(5,３,１),ｓｔem(nx1,x１),ａxiｓ([-1,１3,0,15］);tiｔle(＇x１’), ｙlabel(“ｘ(n)’);

suｂｐｌot(5,3,2),stem(nx２,x２),ａxis(［—１,１3,0,5］);ｔitｌe(”x2＇);

subplot(5,３,3),steｍ(nx1,x4),axis([-1,13,0,2６]);titlｅ(’x4=2＊ｘ1+3＊ｘ３“);

sｕbplｏt(５,3,4),ｐｌｏｔ(w,abs(X1));ylabｅl(＇幅度’)

subplot(5,３,7),ｐlot(w,aｎgle(Ｘ1));ｙｌabel(’相位＇)

subpｌｏt(5,３,10),ploｔ(w,rｅal(Ｘ１));yｌabel(’實(shí)部’)

sｕbｐlｏt(５,3,13),pｌot(w,imag(X１));yｌａbｅl(”虛部’)ｓuｂploｔ(5,3,5),pｌot(ｗ,aｂs(X３));

ｓubpｌoｔ(5,3,8),plot(w,angｌe(Ｘ3));

subｐlot(５,3,11),ploｔ(w,reａl(X3));subplｏt(5,3,１4),plot(w,imag(X3));

subplｏｔ(５,3,6),ｐlot(ｗ,abs(X4));

sｕbplot(5,3,9),plot(w,anｇｌe(Ｘ４));

subpｌot(5,3,１2),ploｔ(w,rｅal(X４));sｕbploｔ(5,３,15),plot(w,ｉmag(Ｘ4));

(b)結(jié)果:

(2)卷積:(a)代碼: nx１=0:11;ｎｘ2＝０:9;ｎx3=０:20;

w=ｌｉnspace(-８,８,40);％w=[—8,8］分 10000 份

x1＝[1 2 3 ４ ５ 6 ７ ８ 9 10 11 12］;x２＝［1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];x3=cｏnv(x１,ｘ２);％ x1 卷積 x2 ｘ4=x1＊exp(-ｊ＊nx1“*w);％ x１頻率特性 x5=ｘ2*exp(－ｊ＊ｎｘ2’＊w);% x2 頻率特性 x6=x3*exp(-j＊nｘ3”＊w);% x1 卷積 x２頻率特性 x7＝x４、*x5;

sｕｂpｌｏt(2,2,１),stｅm(ｎx1,x1),axｉｓ(［—1,15,0,15］),ｔｉtｌe(’x1“);su ｂ plo ｔ(2,2,2), ｓ ｔ em(nx2, ｘ ２),ax ｉ s([—1, １

5,0,5］),title(’x2’);ｓuｂplot(2,1,２),stem(ｎx3,ｘ3),axiｓ([—1,25,0,80]);ｔitle(＇x１卷積ｘ2 結(jié)果 x3’);figuｒe,subｐlｏt(2,２,1),stｅｍ(x４,”filled’),titｌe(“ｘ１得DTFT 結(jié)果ｘ4’);

subploｔ(2,2,2),ｓtem(x５,”filled＇),titlｅ(’x２得 DTFT結(jié)果 x5’);

ｓｕｂplot(2,２,3),stｅｍ(ｘ6,＇filｌｅd’),ｔitｌｅ(’ｘ3得 DTFT 結(jié)果 x6’);

subｐlot(2,2,4),ｓteｍ(x7,“fｉlled＇),ｔitle(＇x4 得ＤTFT 結(jié)果ｘ7’);

figure,suｂｐlot(3,２,1),stem(ｗ,abｓ(ｘ6)), ylabel(”幅度’),ｔｉｔle(’x1 卷積 x2 得 DTFＴ＇);

ｓuｂplｏｔ(4,2,3),steｍ(w,aｎｇle(ｘ6)),yｌａbeｌ(“相位”)

sｕbpｌoｔ(4,2,5),stem(w,ｒeａl(ｘ6)),ylabｅl(“實(shí)部’)

subplｏｔ(4,2,7),sｔem(w,ｉmag(x6)),ylabeｌ(＇虛部’)

ｓubｐlot(４,2,2),stem(w,abs(x７)), tｉtlｅ(’x1 與 x2 得 DTFＴ得乘積’);

sｕbplot(４,2,4),ｓtem(w,ａngle(x７));

subplot(4,2,6),stｅｍ(w,real(ｘ7));

subpｌot(4,2,８),sｔｅｍ(w,ｉｍag(x7));

(ｂ)結(jié)果:

(3)共軛:(a)代碼: x1n=［1 2 3 4 5 6 7 ８ 9 1０ １1 12］;w=—10:10;N１=ｌｅngth(ｘ1n);n１=0:N1—1;x1=real(x1n);x2=iｍaｇ(ｘ１n);x2n=ｘ1—j＊x2;

Ｘ1＝x2n*(exｐ(－j)、^(n1＇＊ｗ));X2=x１n*(exp(j)、＾(n1’＊w));x3=rｅal(X2);x４＝imａg(Ｘ2);Ｘ２=x３—j*x4;fｉguｒe,subpｌｏt(211);stem(w,Ｘ1,”.’);tiｔｌｅ(“x1ｎ共軛得 DＴFT’);

suｂplot(2１2);sｔem(ｗ,Ｘ2,”、’);tｉｔle(“ｘ1n 得 DＴFT 取共軛且反折”);(b)結(jié)果:

3。

求 LTI 系統(tǒng)得頻率響應(yīng) 給定系統(tǒng) H(Ｚ)=B(Ｚ)/A(Z),A＝[0。９8777 －0。3１18３ 0、０256] B=［0.98997 0.989 ０。989９7］,求系統(tǒng)得幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)、(要求使用ｆｉlｔer(B,Ａ,δ(n))求解。

(a)結(jié)果: A=[0、98777-０。3１1８3 0、０２５6］;Ｂ=[0。９899７ 0、９89 0、９899７];C=[1 0 0 ０ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ０ ０ 0 0 ０ 0 ０ ０ 0 0 0 0 0］ y=filtｅr(B,A,C);suｂpｌot(2,2,1);stem(ｙ,＇、’);titｌｅ(’原始序列“);

mag=abs(ｙ);ｐｈ=ａnｇle(ｙ);ph=ph*1８0／ｐi;sｕbplot(２,2,2);ｓｔｅm(mａｇ,”、＇);title(＇幅頻特性＇);xlａbel(＇時(shí)間信號(hào)ｎ“);ylabel(＇信號(hào)幅度＇);suｂplｏt(2,2,３);stｅm(ph,”、’);ｔitlｅ(“相頻特性”);xlaｂｅｌ(“時(shí)間信號(hào) n＇);yｌabｅl(”信號(hào)相位“);(b)結(jié)果:

4.采樣與頻譜混疊 給定信號(hào)ｘ(t)=100*eｘp(-100*ｔ)＊coｓ(2*ｐi＊500＊t),求該信號(hào)得頻譜;當(dāng)采樣頻率分別為 fs１=200０ＨZ,fｓ2=1000HＺ;fs3=５00HZ;fｓ４=200HZ,時(shí)輸出序列得 DＴFＴ。

(a)代碼: x=100＊ｅxp(-100*t)、＊cos(2＊pｉ＊500＊t);ｔ=—2:０、1:2;w=－10:0。1:10;

y＝ｘ*(exｐ(-j)、^(ｔ’*ｗ));subpｌot(２,1,1),plot(t,ｘ);ｓubpｌot(2,1,2),ｐlｏt(w,ｙ);tｉtle(’原始信號(hào)得頻譜＇);figｕre,ｆｓ1＝2000;Ts１＝1／ｆs1;n1=-2:Tｓ1:2;

fs2＝10００;Ｔs2=1/fs２;n2=－2:Ts2:2;

fs3=500;Ts3=1/fｓ３;n3＝-2:Ts3:2;

fs4=200;Ts4=1/ｆｓ４;n4＝—2:Tｓ4:2;x1＝１00。＊eｘp(—10０＊n1)。*cos(２*pi*500*ｎ１);ｙ１=ｘ1＊(eｘp(-j)。^(n1”＊w));sｕbploｔ(221);plｏt(w,ｙ１);title(“經(jīng) 2000Hz 采樣后信號(hào)得 DTFT”);x2=100。*exｐ(-１0０*ｎ2)、*ｃos(２*ｐｉ*500＊n２);ｙ2＝x2＊(eｘｐ(-j)、^(n2＇*w));subplｏｔ(222);ｐｌot(w,y２);tｉｔle(’經(jīng) 1000Hｚ采樣后信號(hào)得 DTＦT’);x3=１00、＊ｅxp(—１00*n3)、＊coｓ(２＊pi＊5０0＊n3);

ｙ3＝x3*(exｐ(—j)、＾(ｎ３“＊w));suｂpｌｏt(22３);ｐlｏt(ｗ,y3);titlｅ(’經(jīng)５00Hz 采樣后信號(hào)得 DTFＴ”);x4=100.＊exp(—100*n4)。＊cｏs(２*pi*5００*ｎ4);y4=x４*(exp(—ｊ)、^(n4’＊ｗ));suｂplｏt(２24);ploｔ(w,y4);tiｔle(’經(jīng) 2００Hｚ采樣后信號(hào)得 DTＦT＇);(b)結(jié)果:

收獲及感想: DFＴ針對(duì)得就是有限長數(shù)字信號(hào)得傅立葉變換或傅立葉時(shí)頻分析問題。但 以前得傅立葉變換就是定義在整個(gè)時(shí)間軸上得,而且一般針對(duì)得就是連續(xù)信號(hào) ,獲得得就是一個(gè)連續(xù)得頻譜。

離散傅里葉變換(DFT),就是傅里葉變換在時(shí)域與頻域上都呈現(xiàn)離散得形式,將時(shí)域信號(hào)得采樣變換為在離散時(shí)間傅里葉變換(DTＦT)頻域得采樣。在形式上,變換兩端(時(shí)域與頻域上)得序列就是有限長得,而實(shí)際上這兩組序

列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為就是離散周期信號(hào)得主值序列。即使對(duì)有限長得離散信號(hào)作DＦT,也應(yīng)當(dāng)將其瞧作經(jīng)過周期延拓成為周期信號(hào)再作變換。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計(jì)算 DＦT。

物理意義 設(shè) x(n)就是長度為 N 得有限長序列,則其傅里葉變換,Z 變換與離散傅里葉變換分別用以下三個(gè)關(guān)系式表示 Ｘ(e^jω)= ∑n={0,N-1｝ｘ(n)e＾jωｎ X(z)= ∑n＝{0,N-1}x(n)z^－ｎ X(k)= ∑n={0,N-1}x(n)e^－j2π/Ｎnk 單位圓上得 Z 變換就就是序列得傅里葉變換 離散傅里葉變換就是 x(n)得頻譜 X(ejω)在[0,2π］上得 N 點(diǎn)等間隔采樣,也就就是對(duì)序列頻譜得離散化,這就就是 DFＴ得物理意義

第三篇：信號(hào)處理中傅里葉變換簡(jiǎn)介

傅里葉變換

一、傅里葉變換的表述

在數(shù)學(xué)上，對(duì)任意函數(shù)f(x)，可按某一點(diǎn)進(jìn)行展開，常見的有泰勒展開和傅里葉展開。泰勒展開為各階次冪函數(shù)的線性組合形式，本質(zhì)上自變量未改變，仍為x，而傅里葉展開則為三角函數(shù)的線性組合形式，同時(shí)將自變量由x變成ω，且由于三角函數(shù)處理比較簡(jiǎn)單，具有良好的性質(zhì)，故被廣泛地應(yīng)用在信號(hào)分析與處理中，可將時(shí)域分析變換到頻域進(jìn)行分析。

信號(hào)分析與處理中常見的有CFS（連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)）、CFT（連續(xù)時(shí)間傅里葉變換）、DTFT（離散時(shí)間傅里葉變換）、DFS（離散傅里葉級(jí)數(shù)）、DFT（離散傅里葉變換）。通過對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)xc(t)在時(shí)域和頻域進(jìn)行各種處理變換，可推導(dǎo)出以上幾種變換，同時(shí)可得出這些變換之間的關(guān)系。以下將對(duì)上述變換進(jìn)行簡(jiǎn)述，同時(shí)分析它們之間的關(guān)系。

1、CFS（連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)）

在數(shù)學(xué)中，周期函數(shù)f(x)可展開為

由此類比，已知連續(xù)周期信號(hào)x(t)，周期為T0，則其傅里葉級(jí)數(shù)為

其中，為了簡(jiǎn)寫，有

其中，為了與復(fù)數(shù)形式聯(lián)系，先由歐拉公式ejz=cosz+jsinz得

故有

令

則

對(duì)于Dn，有

n≤0時(shí)同理。故

CFS圖示如下：

Figure 1

理論上，CFS對(duì)于周期性信號(hào)x(t)在任意處展開都可以做到無誤差，只要保證n從-∞取到+∞就可以。在實(shí)踐中，只要n取值范圍足夠大，就可以保證在某一點(diǎn)附近對(duì)x(t)展開都有很高的精度。

2、CFT（連續(xù)時(shí)間傅里葉變換）

連續(xù)非周期信號(hào)x(t)，可以將其看成一連續(xù)周期信號(hào)期T0→∞。當(dāng)然，從時(shí)域上將x(t)進(jìn)行CFS展開，有 的周也可以反過來看成x(t)的周期延拓。

若令

則

有

T0→∞使得Ω0→0，則

由此，定義傅里葉變換與其逆變換如下 CFT：

CFT-1：

x(t)是信號(hào)的時(shí)域表現(xiàn)形式，X(jΩ)是信號(hào)的頻域表現(xiàn)形式，二者本質(zhì)上是統(tǒng)一的，相互間可以轉(zhuǎn)換。CFT即將x(t)分解，并按頻率順序展開，使其成為頻率的函數(shù)。上式中，時(shí)域自變量t的單位為秒（s），頻域自變量Ω的單位為弧度/秒（rad/s）。

CFS中的Dn與CFT中的X(jΩ)之間有如下關(guān)系

即從頻域上分析，Dn是對(duì)X(jΩ)的采樣（可將Figure 1與Figure 2進(jìn)行對(duì)比）。

CFT圖示如下：

Figure 2

3、DTFT（離散時(shí)間傅里葉變換）

首先，先從連續(xù)信號(hào)得到離散信號(hào)。用沖激信號(hào)序列

對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)xc(t)進(jìn)行采樣，采樣間隔為Ts，有

此時(shí)的xs(t)還不是真正的離散信號(hào)，它只是在滿足t = nTs的時(shí)間點(diǎn)上有值，在其它時(shí)間點(diǎn)上值為零。對(duì)xs(t)進(jìn)行進(jìn)一步處理有

規(guī)定

則

其中，x[n]是最終所得的離散信號(hào)。xs(t)自變量為t，其單位為秒s，間隔為TS；x[n]自變量為n，其單位為1，間隔為1。

從頻域分析上有

其中

。令，定義

以上式為DTFT定義式。DTFT逆變換為

DTFT是在時(shí)域上對(duì)CFT的采樣（圖示可見Figure 3與Figure 4），在DTFT中，時(shí)域信號(hào)x[n]為離散的，而對(duì)應(yīng)的頻域表示X(ejω)為連續(xù)的，且有周期ωs = 2π。

X(ejω)與Xs(jΩ)之間的關(guān)系為

ω = ΩTs

Xs(jΩ)中，自變量Ω單位為弧度/秒（rad/s），周期為Ωs = 2π/Ts；X(ejω)中，自變量ω單位為弧度（rad），周期為ωs = 2π。

CFT時(shí)域采樣圖示如下：

Figure 3

DTFT圖示如下：

Figure 4

4、DFS（離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)）

在離散時(shí)間信號(hào)x[n]基礎(chǔ)上，用沖激序列

對(duì)DTFT中的X(ejω)進(jìn)行采樣，采樣間隔為Δω = 2π/N，則有

而S(ω)的逆DTFT變換為

對(duì)Xs(ejω)進(jìn)行逆DTFT變換，有

xs[n]相當(dāng)于對(duì)x[n]進(jìn)行了周期延拓，周期為N = 2π/Δω。由上式可得

若延拓周期N大于x[n]的時(shí)長，則延拓不會(huì)發(fā)生混疊，于是

k為任意整數(shù)

令周期信號(hào)，k為任意整數(shù)，則

有

取ω = 2πk/N，令

則有

是以k為自變量的函數(shù)，有以下性質(zhì)

m為任意整數(shù)

即的周期為N。為了避免重復(fù)計(jì)算，我們只考慮一個(gè)周期N內(nèi)的情況，即

同時(shí)，為時(shí)域表示，為頻域表示。故定義DFS為

其逆變換為 的自變量n單位為1，周期為N；的自變量k單位為1，周期也為N。DFS應(yīng)用于離散時(shí)間周期性信號(hào)中，其相當(dāng)于在頻域中

對(duì)DTFT采樣，而對(duì)應(yīng)地在時(shí)域中相當(dāng)于對(duì)DTFT進(jìn)行周期延拓（圖示見Figure 5與Figure 6）。DFS與DTFT的關(guān)系為

DTFT頻域采樣圖示如下：

Figure 5

DFS圖示如下：

Figure 6

5、DFT（離散傅里葉變換）

在DFS基礎(chǔ)上，取離散時(shí)間周期性信號(hào)0,1,2,…N-1這一個(gè)周期內(nèi)的N個(gè)點(diǎn)，得

其中，RN[n]表示當(dāng)n = 0,1,2,…N-1時(shí)函數(shù)取值為1，當(dāng)n取其它值時(shí)函數(shù)取值為0。定義DFT為 的基礎(chǔ)上，其逆變換為

xd[n]的自變量n單位為1，時(shí)長為N；Xd[k]的自變量k單位為1，時(shí)長也為N。DFT相當(dāng)于對(duì)DFS的時(shí)域及頻域都取0,1,2,…N-1這一個(gè)周期內(nèi)的N個(gè)點(diǎn)。

6、傅里葉變換之間的關(guān)系

傅里葉變換之間的關(guān)系主要有兩點(diǎn)，一是采樣與周期延拓之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，二是對(duì)自變量的替換關(guān)系。（1）采樣與周期延拓之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

采樣與周期延拓之間是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，時(shí)域中對(duì)信號(hào)采樣相當(dāng)于在頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行周期延拓，同樣地，頻域中對(duì)信號(hào)采樣相當(dāng)于在時(shí)域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行周期延拓，二者間是對(duì)應(yīng)與平行的關(guān)系，不存在因果關(guān)系。

傅里葉變換中的CFS、CFT、DTFT、DFS、DFT可由連續(xù)非周期信號(hào)xc(t)進(jìn)行采樣及周期延拓處理得到各種變換，它們之間的關(guān)系如圖Figure 7與Figure 8：

Figure 7

Figure 8

上兩圖中，藍(lán)色箭頭表示在時(shí)域或頻域中采取的主動(dòng)措施，白色箭頭表示在頻域或時(shí)域中產(chǎn)生的相應(yīng)變換。（2）對(duì)自變量的替換關(guān)系

在對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣與周期延拓的同時(shí)，對(duì)自變量進(jìn)行某種替換，從而完成傅里葉變換類型的轉(zhuǎn)變。

傅里葉變換中對(duì)自變量的替換情況如圖Figure 9所示。CFS適用于連續(xù)周期性信號(hào)，其自變量t單位為秒（s），相應(yīng)的幅頻譜|Dn|中，自變量n單位為1。而CFT適用于連續(xù)非周期信號(hào)xc(t)，其自變量t單位為秒（s），對(duì)應(yīng)的頻域信號(hào)為Xc(jΩ)，其自變量Ω單位為弧度/秒（rad/s）。由CFS變成CFT相當(dāng)于連續(xù)周期性信號(hào)的周期T0趨于無窮，而在頻域中則為自變量的替換，由n變成Ω，替換關(guān)系為

DTFT適用于離散時(shí)間信號(hào)x[n]，其自變量n單位為1，對(duì)應(yīng)的頻域信號(hào)為X(ejω)，自變量ω單位為弧度（rad）。由CFT變成DTFT相當(dāng)于對(duì)連續(xù)信號(hào)xc(t)采樣及離散化，自變量由t替換為n，替換關(guān)系為t = nTs，而在頻域中則為周期延拓及自變量的替換，由Ω替換為ω，替換關(guān)系為ω = ΩTs。

DFS適用于離散周期性信號(hào)頻域信號(hào)為，其自變量n單位為1，對(duì)應(yīng)的，自變量k單位為1。由DTFT變成DFS相當(dāng)于在頻

域中對(duì)X(ejω)進(jìn)行采樣、離散化與自變量替換，由ω替換為k，替換關(guān)系為ω = 2πk/N。

DFT的時(shí)域與頻域序列長度都為N個(gè)點(diǎn)（0,1,2,…N-1），時(shí)域自變量n單位為1，頻域自變量k單位為1。

由圖Figure

7、Figure 8和Figure 9可以清楚地研究非相鄰變換之間的關(guān)系。

Figure 9

二、與相關(guān)教材內(nèi)容的辨析

1、《Signal Processing and Linear Systems》（B.P.Lathi, Oxford University Press）

書中首先將高等數(shù)學(xué)中的向量理論擴(kuò)展到了信號(hào)系統(tǒng)中，引出正交信號(hào)空間的定義，指出任意信號(hào)x(t)可用正交信號(hào)空間的線性組合表示，進(jìn)而引出三角傅里葉級(jí)數(shù)，將這種表示用三角函數(shù)的線性組合表示。CFS的來源介紹比我對(duì)CFS的自述更加詳細(xì)具體，更有邏輯性，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的延伸，CFS定義部分與我的自述大體相同。

書中由CFS引出CFT，指出連續(xù)非周期信號(hào)xc(t)相當(dāng)于將連續(xù)

周期性信號(hào)的周期T0趨于無窮，然后對(duì)xc(t)按照CFS方法展開，中間過程中引出了CFT。這一部分與我的自述大體相同。只是我在對(duì)傅里葉變換的總結(jié)中將xc(t)進(jìn)行無混疊的周期性延拓，反向也得出了。這只是對(duì)傅里葉變換的又一種理解，但從本源上考慮，還應(yīng)該是由連續(xù)周期性信號(hào)

得出連續(xù)非周期信號(hào)xc(t)。

書中接下來先介紹的是DFS。書中由CFS類比定義了DFS，定義為

其中，這種定義與我對(duì)DFS的自述略有差別。書中完全按照CFS的定義模式定義的，書上在此之后也按照CFS的模式給出了Dr的幅頻譜與相頻譜。而我的自述則采用類似CFT的定義方式，即正變換為從時(shí)域變到頻域，逆變換為從頻域變到時(shí)域，其次書中使用的字母表示方式與我的自述略有差異，不過本質(zhì)上意義是相同的。

緊接著，書中由DFS引出了DFT，指出DFT的時(shí)域及頻域都為N點(diǎn)有限序列，此處與我對(duì)DFT的自述大體相同，但未進(jìn)行深入說

明。之后，類似于由CFS引出CFT，書中由DFS中的離散時(shí)間周期函數(shù)引出離散時(shí)間非周期函數(shù)x[k]（令周期N0→∞），然后對(duì)x[k]按照DFS的方法展開，在中間推導(dǎo)過程中引出了DTFT?？傊陔x散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換中，書上是類比CFS引出CFT的模式，由DFS引出DTFT，而DFT也由DFS引出，只是未做重點(diǎn)講解，實(shí)質(zhì)上是從時(shí)域角度出發(fā)，與連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行同等過程的類比。我對(duì)離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的自述則從頻域角度出發(fā)，與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域推導(dǎo)過程進(jìn)行同等過程的類比。二者分析方向不同，順序不同，但本質(zhì)上是相同的。這也從側(cè)面反映出傅里葉變換將單純的時(shí)域分析引向時(shí)域與頻域的雙領(lǐng)域分析，增加了對(duì)信號(hào)分析與處理的方法與方向，有利于更好地對(duì)信號(hào)進(jìn)行理解。

2、《信號(hào)與系統(tǒng)》

書中也是首先將高等數(shù)學(xué)中的向量理論擴(kuò)展到了信號(hào)系統(tǒng)中，引出正交信號(hào)空間的定義，指出任意周期為T0的信號(hào)x(t)可進(jìn)行正交分解，而正余弦信號(hào)集是比較特殊的正交信號(hào)集，并用正余弦信號(hào)集表示信號(hào)，達(dá)到一種分解的目的，從而定義出CFS，并將正余弦信號(hào)集進(jìn)一步擴(kuò)展為虛指數(shù)信號(hào)集，從而將指數(shù)形式的CFS表示出來。在表示方式上與我的自述基本相同。而書中對(duì)三角形式的CFS與指數(shù)形式的CFS總結(jié)比較清楚，并對(duì)各自形式的幅頻譜進(jìn)行了比較，指出指數(shù)形式CFS的頻譜為雙邊譜，而三角形式的CFS的頻譜為單邊譜。而由CFS導(dǎo)出CFT的敘述則基本與我的自述相同，即連續(xù)非周

期信號(hào)xc(t)相當(dāng)于將連續(xù)周期性信號(hào)的周期T0趨于無窮，然后對(duì)xc(t)按照CFS方法展開，中間過程中引出了CFT。

書中對(duì)DFS的描述，類比于對(duì)CFS的描述，采用離散形式的虛指數(shù)正交信號(hào)集對(duì)離散時(shí)間周期性信號(hào)表示，表示方式與上一本書相同。由DFS引出DTFT時(shí)類比于由CFS引出CFT的過程，將離散時(shí)間周期性信號(hào)周期趨于無窮，得出離散時(shí)間非周期性信號(hào)，按照DFS的方式對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解表示，在推導(dǎo)過程中引出DTFT的定義，過程與上一本書基本相同。而DTFT也可對(duì)離散時(shí)間周期性信號(hào)進(jìn)行處理。對(duì)DFT并未做重點(diǎn)描述。

總之，兩本書對(duì)傅里葉變換的描述都是先對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行討論，然后離散時(shí)間信號(hào)中的討論參考連續(xù)時(shí)間信號(hào)中的討論，層次清晰，可比性強(qiáng)。我的自述主要側(cè)重于對(duì)信號(hào)的時(shí)域或頻域進(jìn)行各種處理，引出傅里葉變換的各種形式，可加深對(duì)傅里葉變換各種形式之間關(guān)系的理解。

三、傅里葉變換的應(yīng)用

1、應(yīng)用

傅里葉變換主要是為了將一般性的信號(hào)用較規(guī)則的、性質(zhì)良好的三角函數(shù)進(jìn)行表示，從而可以從頻域的角度進(jìn)行信號(hào)分析與處理，擴(kuò)充了信號(hào)分析與處理的分析領(lǐng)域，簡(jiǎn)化了分析與處理的過程。從理論上，CFS、CFT、DTFT、DFS、DFT在滿足相應(yīng)的條件下都可以使用。而在實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算機(jī)只能處理離散的、序列長度有限的信號(hào)，故實(shí)際應(yīng)用中，DFT具有應(yīng)用價(jià)值，其它形式的傅里葉變換處理的信號(hào)

是連續(xù)的或無限長的，計(jì)算機(jī)無法處理，所以只能在理論上進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。而DFT利用計(jì)算機(jī)可以快速算出，被稱為快速傅立葉變換（FFT）。FFT可以減少計(jì)算DFT時(shí)乘法的使用次數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高效率。而現(xiàn)代信號(hào)分析與處理中必然要對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣離散化，輸入到計(jì)算機(jī)中進(jìn)行處理，得到頻域形式，所以DFT的實(shí)際應(yīng)用是很廣泛的。

2、限制條件及潛在問題

CFS只適用于連續(xù)周期性信號(hào)，CFT只適用于連續(xù)非周期信號(hào)，DTFT只適用于離散時(shí)間信號(hào)，DFS只適用于離散時(shí)間周期信號(hào)，DFT只適用于有限序列的離散時(shí)間信號(hào)。CFS、CFT、DTFT、DFS處理的信號(hào)具有連續(xù)性或無限長特性，適用于在理論上的定性分析，而在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要快速高效地處理信號(hào)，這必然用到計(jì)算機(jī)，而計(jì)算機(jī)只能處理離散的、有限序列長度的信號(hào)，故只有DFT有實(shí)用意義，CFS、CFT、DTFT、DFS則不行。而DFT計(jì)算需要大量的加法與乘法，往往實(shí)際應(yīng)用中不能直接應(yīng)用，所以實(shí)際應(yīng)用中要根據(jù)需要進(jìn)行優(yōu)化處理，在提高運(yùn)算速度與精度之間進(jìn)行權(quán)衡，原始的DFT只是具有實(shí)際應(yīng)用中的象征意義。

第四篇：傅里葉變換與拉普拉斯變換區(qū)別演講稿

這個(gè)演講分為三部分進(jìn)行展開。在介紹兩者區(qū)別之前，首先將給大家?guī)淼氖莾煞N變換的背景以及兩種變換的給我們帶來的便利。最后進(jìn)入到正題，兩種變換之間的差別。

第一部分 兩種變換的背景。

首先是傅里葉變換的背景。這個(gè)背景想必大家在高數(shù)課，電分課和之前的信號(hào)與系統(tǒng)課上已經(jīng)閱讀過了，那么在這里大家可以稍稍再重溫一遍。

接下來是拉普拉斯變換的背景。

大家一定沒有想到，拉普拉斯變換并不是由拉普拉斯發(fā)明的，而是由這為Heaviside先生發(fā)明的。拉普拉斯對(duì)這項(xiàng)變換的貢獻(xiàn)是進(jìn)行了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，確定其可行性后進(jìn)行了推廣。因此這項(xiàng)變換被稱為拉普拉斯變換。

說一句額外的話，在準(zhǔn)備內(nèi)容時(shí)，我本指望能像傅里葉變換一樣，找到有關(guān)拉普拉斯變換發(fā)展的波瀾歷史，卻因拉普拉斯變換并不是被其發(fā)明者命名，所以有關(guān)Heaviside先生如何得到這種變換的資料少之又少，而拉普拉斯對(duì)其定義的過程相對(duì)來說又很枯燥，并沒有什么值得記載的故事，因此大家可以從剛剛這段說明中看出拉普拉斯的發(fā)展歷史只是草草陳述。這也告訴我們，做事一定要完備，知識(shí)一定要淵博，否則發(fā)現(xiàn)了什么卻忘記對(duì)其進(jìn)行推廣，或者知道要去推廣卻因數(shù)學(xué)功底不足而無法給出嚴(yán)格定義以及證明，流芳百世的機(jī)會(huì)也只能拱手讓人。

因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中的信號(hào)多為因果信號(hào)，因此在此考慮拉普拉斯的現(xiàn)實(shí)意義，引入拉普拉斯單邊變換。下述有關(guān)拉普拉斯變換的討論均基于拉普拉斯單邊變換。

第二部分

兩種變換帶來的便利。

首先是傅里葉變換帶給我們的方便。求解線性電路有了通法。面對(duì)三角函數(shù)信號(hào)，以及電容電感這類原件，時(shí)域中求解電路狀態(tài)變得十分困難。但通過電分的學(xué)習(xí)，我們掌握了頻域解法。又通過傅里葉變換，我們可以將任何信號(hào)變成虛指數(shù)或者說三角函數(shù)形式，對(duì)于線性系統(tǒng)，我們可以依次求解這些三角函數(shù)分量作用時(shí)的電路狀態(tài)，再加和。所以只要是線性系統(tǒng)我們都可以求解！

我們能夠從一個(gè)不隨時(shí)間變換的空間中觀察函數(shù)或者信號(hào)。傅里葉就是通往這個(gè)世界的大門，把時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換至頻域。在這個(gè)域中，時(shí)間不是變量，頻率才是變量。并且在這個(gè)域中，人們可以方便地觀察不同頻率的信號(hào)分量。

其次是拉普拉斯變換帶給我們的便利。其實(shí)這兩項(xiàng)優(yōu)點(diǎn)是同一項(xiàng)，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下學(xué)習(xí)高數(shù)時(shí)，用經(jīng)典法求解常系數(shù)微分方程時(shí)的痛苦?，F(xiàn)在拉普拉斯變換將微分方程統(tǒng)統(tǒng)化成簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式方程，并且把用于求解特解的初值自動(dòng)引入，可謂是十分便利。

下面是最后一部分

兩種變換之間的區(qū)別

首先是兩種變換后得到的信號(hào)從頻域角度來看是否直觀。

以這個(gè)信號(hào)為例，利用matlab對(duì)其進(jìn)行傅里葉展開。這幅圖是其幅度頻譜。（在黑板上寫出傅里葉展開的f(t)?12?????F(j?)ej?td?）從這張圖以及相位頻譜，各位就可以描述

j?tF(j?)e出F(j?)的表達(dá)式。又知道，f（t）即由一系列的d?加和得到，所以從頻域上我們可以直觀看出不同頻率的各個(gè)三角函數(shù)分量。這一點(diǎn)是拉普拉斯變換所不能企及的。這也是為什么傅里葉變換多用于針對(duì)信號(hào)的分析和處理，主要是頻譜分析。

第二個(gè)方面是求解微分方程的簡(jiǎn)易性差別

一方面是可以將時(shí)域內(nèi)的微分與積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘法與除法的運(yùn)算，將微分積分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，從而使計(jì)算量大大減少。這一點(diǎn)個(gè)大家都十分清楚，在許多書中也給出了證明。

另一方面是可以將初始狀態(tài)包含到微分方程中直接求解。主要利用的就是時(shí)域微分性質(zhì)。這里，我查閱許多資料與書籍發(fā)現(xiàn)都沒有這個(gè)性質(zhì)的證明，只是告訴我們?nèi)绾问褂?，但這里我們需要從最本質(zhì)的地方探究傅里葉與拉普拉斯在求解微分方程簡(jiǎn)易程度上的差別，因此課后通過推導(dǎo)，在這里給出證明：

而傅里葉的時(shí)域微分性質(zhì)如下：

可以看到一個(gè)包含了初始狀態(tài)，一個(gè)并沒有。

最后一個(gè)就是拉普拉斯變換相比傅里葉變換可以對(duì)更多函數(shù)進(jìn)行變換，這也是我們最后一個(gè)，也是最顯著的一個(gè)區(qū)別。我們稍后再談。

綜上，可以發(fā)現(xiàn)拉普拉斯變換在求解微分方程上更占優(yōu)勢(shì)

我們來到了最后一個(gè)差別，也是最本質(zhì)的差別，處理的函數(shù)范圍不同。

在查閱了高等數(shù)學(xué)教材后，得到了數(shù)學(xué)上對(duì)傅里葉變換成立的收斂定理，如下： 1 函數(shù)f(x)在每個(gè)有限區(qū)間上可積;2 存在數(shù)M>0,當(dāng)|x|≥M時(shí)，f(x)單調(diào)，且

lim

f(x)=0。

那么對(duì)于一些函數(shù)，例如eαtu(t)(α>0)，無法滿足上述收斂定理，因此不存在傅里葉變換 下面是利用matlab進(jìn)行求解的過程，可以看到，對(duì)于e^3t這個(gè)函數(shù)，無法求解出其傅里葉變換。與此同時(shí)，一些函數(shù)并不滿足絕對(duì)可積條件，從而不能直接從定義而導(dǎo)出它們的傅里葉變換。雖然通過求極限的方法可以求得它們的傅里葉變換，但其變換式中常常含有沖激函數(shù)，使分析計(jì)算較為麻煩。

以斜坡信號(hào)tu(t)為例，對(duì)其用matlab進(jìn)行求解，可以看到包含了dirac函數(shù)，也就是沖激函數(shù)。

因此我們?cè)谛盘?hào)后乘上一個(gè)衰減速度十分快的衰減因子e??t，使得信號(hào)容易滿足絕對(duì)可積條件，而得到的變換式也即拉普拉斯變換式

好的，接下來讓我們看看同樣的函數(shù)，使用拉普拉斯變換看會(huì)得到什么樣的結(jié)果。對(duì)于e^3t*u(t)，得到了1/（s-3）； 對(duì)于tu（t），得到了1/s^2。

傅里葉變換與拉普拉斯變換廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際問題中,不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著應(yīng)用，在測(cè)試技術(shù)及控制工程領(lǐng)域應(yīng)用更為廣泛，搞清兩者的應(yīng)用特點(diǎn)，對(duì)將來會(huì)頻繁使用這兩種變換的我們極其重要。希望本文指出的一些方面能給各位帶來一些啟發(fā)以及想法，在未來給各位帶來些許幫助。

謝謝大家！

第五篇：傅里葉變換紅外光譜儀樣品測(cè)試申請(qǐng)登記表new

嶺南師范學(xué)院新材料研究院 傅里葉變換紅外光譜儀樣品測(cè)試申請(qǐng)登記表 送樣日期： 年 月 日 送樣單位 送樣人 名稱 地址 聯(lián)系電話 研究課題名稱 電子郵件 □國家及省部基金課題 課題類型 □校內(nèi)基金課題 □研究生課題 □本科畢業(yè)論文（人）□其它 樣品編號(hào) 課題負(fù)責(zé)人或指 導(dǎo)老師簽名 電話 樣品數(shù)量 樣品狀態(tài) □粉末 □薄膜 □液體（pH=）樣品分子結(jié)構(gòu)式 □毒性 □放射性 □腐蝕性 □含水 □含油脂 □受熱揮發(fā) □致病微生物 其它說明： 樣品物性描述 是否回收 □回收 □代保管7天 □不必回收 新材料研究院意見 設(shè)備管理老師意見 測(cè)試要求 編號(hào) 1 2 3 4 制樣方法 衰減全反射附件選擇 光譜范圍 采樣次數(shù) 測(cè)試條件 □KBr壓片法 □液膜法 □ZnSe晶體 □Ge晶體 cm-1 次 請(qǐng)?zhí)顠呙璨〝?shù)范圍 備注 其它特殊說明： 為了檢測(cè)工作的順利進(jìn)行和報(bào)告的及時(shí)、準(zhǔn)確，請(qǐng)用戶詳細(xì)填寫以上各欄 注意：

1.樣品可以是粉末、薄膜或者液體，樣品必須充分干燥，否則會(huì)影響測(cè)試結(jié)果。2.如果樣品有毒性或腐蝕性，請(qǐng)事先聲明。

3.測(cè)試完成時(shí)間：一般為1周內(nèi)；對(duì)于疑難樣品，與用戶協(xié)商后分析；遇儀器發(fā)生故障，時(shí)間推后。4.如果沒有認(rèn)真閱讀以上條款，并且沒有預(yù)先處理好樣品，引起儀器故障，需要承擔(dān)相應(yīng)責(zé)任。

收樣人： 收樣時(shí)間： 測(cè)樣人： 測(cè)試時(shí)間：

注：此表一式兩份，一份交新材料研究院辦公室存檔，一份交設(shè)備管理員。