第一篇：空間幾何——平行與垂直證明

三、“平行關(guān)系”常見證明方法

（一）直線與直線平行的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行

2)利用三角形中位線性質(zhì)

3)利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4)利用直線與平面平行的性質(zhì)定理： a∥c?a∥bb∥c

如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

a∥?

a??β a ?a∥

b

α b ????b

5)利用平面與平面平行的性質(zhì)定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．?//???????a??a//b

??

??b??

6)利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理：

垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。

ba?????a∥

b7)利用平面內(nèi)直線與直線垂直的性質(zhì)：

8)利用定義：在同一個平面內(nèi)且兩條直線沒有公共點(diǎn)

（二）直線與平面平行的證明

1)利用直線與平面平行的判定定理：

平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a??b??

?a∥?

b

a∥b

2)利用平面與平面平行的性質(zhì)推論：

兩個平面互相平行，則其中一個平面內(nèi)的任一直線平行于另一個平面。

a??

?∥?

?a∥?

a

β

3)利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點(diǎn)

（二）平面與平面平行的證明

常見證明方法：

1)利用平面與平面平行的判定定理：

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?

?//?

b

2)利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等 3)利用定義：兩個平面沒有公共點(diǎn)

三、“垂直關(guān)系”常見證明方法

（一）直線與直線垂直的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2)看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3)利用直線與平面垂直的性質(zhì)：

如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。

a??

b??

?b?a

b

a

4)利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論：

如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。

???????l

a??b??a?lb?l

?a?

b

5)利用常用結(jié)論：

① 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另

一條直線也垂直于第三條直線。

a∥b

a?c

?b?

c

② 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么

這兩條直線互相垂直。

a??

b∥?

?a?b

b

（二）直線與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側(cè)棱垂直于底面等

2)看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂

直于此平面。

3)利用直線與平面垂直的判定定理：

a??b??a?b?Al?al?b

???

??l?????

l

b

A

a

4)利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理：

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

???????l

a??a?l

?

????

a

l

5)利用常用結(jié)論：

①

a∥bb??

?a??

② 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一

個平面。

?∥?

a??

?

a??

（三）平面與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側(cè)面垂直于底面等

2)看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

a??a??

???

?

?

a

?

第二篇：證明空間線面平行與垂直

證明空間平行與垂直

? 知識梳理

一、直線與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：直線與平面無公共點(diǎn)。

(2）判定定理： a??

b??a//ba//?

?//?

（3）其他方法：a//?a??

a//?

2.性質(zhì)定理：a

?? a//b

????b

二、平面與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：兩平面無公共點(diǎn)。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??a//? ?//?;?//? a???//?

?//?

2.性質(zhì)定理：????a a//b

????b

三、直線與平面垂直

（1）定義：如果一條直線與一個平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。

（2）判定方法

① 用定義.a?ba?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

a??

③ 推論: b??

a//b

（3）性質(zhì) ①

a??a??

a?b②a//bb??b??

四、平面與平面垂直

（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。

a??

（2）判定定理 ???

a??

（3）性質(zhì)

???????l

①性質(zhì)定理???

a??

a?l

???????l②A?l

P??

PA??垂足為A???????④PA??

P??PA??

? “轉(zhuǎn)化思想”

面面平行線面平行 線線平行 面面垂直線面垂直 線線垂直

例題1.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；例

題2.如圖，在棱長為2的正方體

ABCD?A1B1C1D1中,O為BD1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),N為AB的中點(diǎn)，P為BB1的中點(diǎn).（I）求證：BD1?B1C；（II）求證BD1?平面MNP；

例題3.如圖，在三棱錐V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC?BC?a，∠VDC???0???（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；

??

π??． 2?

π

（II）試確定角?的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Ｄ

例題4.（福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都是2，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，AE交A1D于點(diǎn)H.BB

（1）求證：AE?平面A1BD；

（2）求二面角D?BA1?A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；

A1

CHA

C

第三篇：證明平行與垂直

§9.8 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點(diǎn)A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3???2?23????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為???A.15401533，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題6分，共24分?

6.設(shè)a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(的條件.7.若|a|

b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

212,?,?)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”33

3?????9.設(shè)A是空間任一點(diǎn)，n為空間內(nèi)任一非零向量，則適合條件AM·n=0的點(diǎn)M的軌跡

是.三、解答題?共41分?

10.（13分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的一個法向量.

11．(14分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正

方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；

2(2)若點(diǎn)G在BC上，BG＝，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，3垂足為H，求證：EM⊥面BCC1B1.12．(14分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平

面互相垂直，AB2，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??1??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.過A點(diǎn)且以n為法向量的平面

10.解 以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系?如圖所示?.,設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).22??????1??????1?∴AM??1,0,?,AN??0，1?設(shè)平面AMN的一個法向量為n＝?x，y，z?, 2???2?

?????1?n?AM?y?z?0??2? ????1?n?AN??x?y?z?0??

2令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個法向量．

????11.證明 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點(diǎn)B，所以E、B、F、D1四點(diǎn)共面．

(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設(shè)得GM?BF=??3?z?2?0，3????因?yàn)镸(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為 ?，0?、(0,0,1)．

2?2?

?????∴NE＝－1?.2?2?

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是2，2，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝?1?，∵D(2，0,0)，F(xiàn)2，2，1)，2?2?

????DF＝(0，2，1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

第四篇：平行與垂直的證明

立體幾何中平行與垂直的證明

1．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點(diǎn)． 求證：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

1D

B

C

2．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1,AB?1，點(diǎn)E在棱AB上移動。求證：D1E⊥A1D；

3．如圖平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF?

A

E

B

C

AD?2,G是EF的中點(diǎn)，2（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求空間四邊形AGBC的體積。

4．如圖，在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)ABC?A1B1C1中，AB?8，AC?6，BC?10，D是BC邊的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：

5．如圖組合體中，三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)面ABB1A1 是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合一個點(diǎn).（Ⅰ）求證：無論點(diǎn)C如何運(yùn)動，平面A1BC?平面A1AC；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時，求四棱錐A1?BCC1B1與圓柱的體積比．

6．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F(xiàn) 為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．（1）求證：AE⊥BE；

（2）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE

上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE.7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中:（1）求異面直線BC1與AA1所成的角的大?。唬?）求三棱錐B

1?A1C

1B的體積。（3）求證：B1D?

平面A1C1B

AB?A1C；（Ⅱ）求證：AC1∥ 面AB1D；

8． 如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M,N分別是

SA,BD上的點(diǎn)，且

AMBN

=，求證：MN//平面SBC SMND

P

9． 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：AC⊥PB；（Ⅱ）求證：PB∥平面AEC．

E

A

B

D C

10．在多面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，平面CDE是等邊三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）證明：FO∥平面CDE；

（II）設(shè)BC=CD,證明EO⊥平面CDF．

11． 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（Ⅰ）證明PA//平面EDB；（Ⅱ）證明PB⊥平面EFD．

12．如圖，四棱錐P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC?60?，PA?AB?BC，E是PC的中點(diǎn)．

（1）求證：CD?AE；（2）求證：PD?面ABE．

13.如圖在三棱錐P?ABC中，PA?平面ABC，C E

C

P

B

A

DB

_P

AB?BC?CA?3，M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）證明：平面PAB?平面PCM；（2）證明：線段PC的中點(diǎn)為球O的球心；

14.如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA?AB?2，SB?SD? ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為CD的中點(diǎn)．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側(cè)棱SB上是否存在點(diǎn)F，使得CF//平面SAE？并證明你的結(jié)論．

_A_C

_M

_B

D

C

課后練習(xí)

1．如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)。（I）求證：B1C//平面A1BD；（II）求證：B1C1⊥平面ABB1A

（III）設(shè)E是CC1上一點(diǎn)，試確定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并說明理由。

2.如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD 為等邊三角形，AD?DE?2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)（1）求證：AF//平面BCE；

（2）求證：平面BCE?平面CDE；

1． 如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直 角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？若 存在，請確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.5.如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA?AB?

2，SB?SD?底面ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為CD的中點(diǎn)．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側(cè)棱SB上是否存在點(diǎn)F，使得CF//平面SAE？并證明你的結(jié)論．

D

C

【課后記】 1．設(shè)計(jì)思路（1）兩課時；

（2）認(rèn)識棱柱與棱錐之間的內(nèi)在聯(lián)系；（3）掌握探尋幾何證明的思路和方法；（4）強(qiáng)調(diào)書寫的規(guī)范性 2．實(shí)際效果：

（1）用時兩節(jié)半課；

（2）平行掌握的比較好，但垂直問題需要繼續(xù)加強(qiáng)。尤其是面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直后便不知所措。

第五篇：學(xué)霸教你學(xué)數(shù)學(xué)：空間幾何—證明平行

學(xué)霸教你學(xué)數(shù)學(xué)：空間幾何—證明平行

以下題為例講解證明 線面平行,面面平行 的方法

證明線面平行

方法一：找到平面內(nèi)一直線 與 該直線平行

作EG//B1B , FH//C1C

由題意可知AE=BF, 且在正方體中△AB1B≌△BC1C

所以EG平行且等于FH ,EFHG是平行四邊形

找到了面ABCD中的直線GH與EF平行,所以得證

方法二：找到直線所在的平面 與 該平面平行

取點(diǎn)H使EH//AB,由題意可知B1E=C1F ,AE=BF,根據(jù)

△AB1B≌△C1BB1, 有B1E/C1F =AE/BF=B1H/HB ,所以FH//B1C1//BC, 找到了直線所在的平面EHF平行于面ABCD,所以得證

方法三：建立空間直角坐標(biāo)系 ：平面的法向量與直線所在向量的數(shù)量積等于0

以……為原點(diǎn),……分別為X,Y,Z軸,設(shè)AB=1,E(0,t,1-t),F(1-t,0,1-t),得出EF(1-t,-t,0)

求出面ABCD的法向量（這題可直接看出來）

n=（0,0,1）

n*EF=0 ,所以得證

證明面面平行

方法一：找到一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行另一個平面內(nèi)的兩條直線

（如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行。）

AC1//AC,AB//CD1,BC1//AD1

AC1∩AB≠? ……所以得證

方法二：建立空間直角坐標(biāo)系 ：兩平面的法向量平行（不再舉例）

證明線線平行

方法一：平行于同一直線的兩直線平行

方法二：兩平行平面，另一平面與這兩平面相交，兩條交線平行

方法三：建立空間直角坐標(biāo)系

其實(shí)建立空間直角坐標(biāo)系方法是萬能的，不過用在有些題目中會比較麻煩，不如其他方法簡便。