第一篇：空間線面平行與垂直的證明

空間線面平行與垂直的證明

本考點(diǎn)以空間幾何體為載體，既考查幾何體的概念和性質(zhì)，又考查空間線面位置關(guān)系（平行與垂直）的判定與性質(zhì)，還可結(jié)合一些簡(jiǎn)單的計(jì)算進(jìn)行考查，是每年高考的必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容.該部分試題難度適中，一般都可用幾何綜合法解決，少部分不易證明的才通過建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法求解.（1）掌握線面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線面平行與垂直，會(huì)用性質(zhì)定理解決線面平行與垂直的問題.（2）通過線面平行、垂直的證明，培養(yǎng)同學(xué)們的空間觀念及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力.該知識(shí)點(diǎn)的重點(diǎn)、難點(diǎn)是：線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的靈活轉(zhuǎn)化；同時(shí)要注意推理表達(dá)的規(guī)范與完整.（1）證明平行或垂直問題，一般利用平行或垂直的判定定理及其推論，將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明；而無論是線面垂直還是面面垂直，都源自于線線垂直.可見，轉(zhuǎn)化是證明平行、垂直問題的關(guān)鍵.（2）在處理實(shí)際問題的過程中，可以先從題設(shè)條件入手，再?gòu)慕Y(jié)論中分析所要證明的關(guān)系，從而架起已知與未知之間的橋梁.增添輔助線是解決問題的關(guān)鍵，常見的添輔助線的方法有：中點(diǎn)、垂足等特殊點(diǎn)，用中位線、高線轉(zhuǎn)化；有面面垂直的條件，則作交線的垂線，等等.例1 如圖12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點(diǎn)，M為底面△OBF的重心.圖12

（1）求證：平面ADF⊥平面CBF；？搖

（2）求證：PM∥平面AFC.破解思路 對(duì)于第（1）問，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；

（2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，將線面平行的問題轉(zhuǎn)化為面面平行來證明.答案詳解（1）因?yàn)榫匦蜛BCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？搖 又AF？奐平面ABEF，所以CB⊥AF.又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF.又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB.因?yàn)锳F？奐平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？搖

（2）連結(jié)OM并延長(zhǎng)交BF于H，則H為BF的中點(diǎn).又P為CB的中點(diǎn)，所以PH∥CF.又因?yàn)镃F？奐平面AFC，所以PH∥平面AFC.連結(jié)PO，則PO∥AC.因?yàn)锳C？奐平面AFC，所以PO∥平面AFC.又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC.因?yàn)镻M？奐平面POH，所以PM∥平面AFC.？搖

例2 如圖13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，且AB=2，點(diǎn)F，G分別是BC，AE的中點(diǎn).（1）求三棱錐F-ABE的體積；

（2）求證：BG∥平面EFD；

（3）若點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)，求證：BG⊥AP.圖13 圖14

破解思路 對(duì)于第（1）問，求出三棱錐F-ABE的高后可直接求解.對(duì)于第（2）問，根據(jù)線面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出與BG平行的直線即可證明.對(duì)于第（3）問，可通過證明線面垂直來轉(zhuǎn)化.答案詳解（1）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE.因?yàn)镚是等邊三角形ABE的邊AE的中點(diǎn)，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE?BF= ? ?AE?BG?BF= ×2× ×1=.（2）如圖14，取DE的中點(diǎn)M，連結(jié)MG，F(xiàn)M.因?yàn)镸G AD，BF AD，所以MG BF，所以四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG∥FM.又因?yàn)镕M？奐平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.（3）因?yàn)镈A⊥平面ABE，BG？奐平面ABE，所以DA⊥BG.又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE.又AP？奐平面DAE，所以BG⊥AP.1.如圖15，直角梯形ACDE與等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.圖15

（1）求證：平面BCD⊥平面ABC；

（2）求證：AF∥平面BDE；

（3）求四面體B-CDE的體積.2.如圖16，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).圖16

（1）求證：MD⊥AC；

（2）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

第二篇：證明空間線面平行與垂直

證明空間平行與垂直

? 知識(shí)梳理

一、直線與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：直線與平面無公共點(diǎn)。

(2）判定定理： a??

b??a//ba//?

?//?

（3）其他方法：a//?a??

a//?

2.性質(zhì)定理：a

?? a//b

????b

二、平面與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：兩平面無公共點(diǎn)。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??a//? ?//?;?//? a???//?

?//?

2.性質(zhì)定理：????a a//b

????b

三、直線與平面垂直

（1）定義：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。

（2）判定方法

① 用定義.a?ba?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

a??

③ 推論: b??

a//b

（3）性質(zhì) ①

a??a??

a?b②a//bb??b??

四、平面與平面垂直

（1）定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。

a??

（2）判定定理 ???

a??

（3）性質(zhì)

???????l

①性質(zhì)定理???

a??

a?l

???????l②A?l

P??

PA??垂足為A???????④PA??

P??PA??

? “轉(zhuǎn)化思想”

面面平行線面平行 線線平行 面面垂直線面垂直 線線垂直

例題1.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；例

題2.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體

ABCD?A1B1C1D1中,O為BD1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),N為AB的中點(diǎn)，P為BB1的中點(diǎn).（I）求證：BD1?B1C；（II）求證BD1?平面MNP；

例題3.如圖，在三棱錐V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC?BC?a，∠VDC???0???（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；

??

π??． 2?

π

（II）試確定角?的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Ｄ

例題4.（福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，AE交A1D于點(diǎn)H.BB

（1）求證：AE?平面A1BD；

（2）求二面角D?BA1?A的大小（用反三角函數(shù)表示）；

A1

CHA

C

第三篇：空間幾何——平行與垂直證明

三、“平行關(guān)系”常見證明方法

（一）直線與直線平行的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對(duì)邊互相平行

2)利用三角形中位線性質(zhì)

3)利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4)利用直線與平面平行的性質(zhì)定理： a∥c?a∥bb∥c

如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

a∥?

a??β a ?a∥

b

α b ????b

5)利用平面與平面平行的性質(zhì)定理：

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．?//???????a??a//b

??

??b??

6)利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理：

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行。

ba?????a∥

b7)利用平面內(nèi)直線與直線垂直的性質(zhì)：

8)利用定義：在同一個(gè)平面內(nèi)且兩條直線沒有公共點(diǎn)

（二）直線與平面平行的證明

1)利用直線與平面平行的判定定理：

平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a??b??

?a∥?

b

a∥b

2)利用平面與平面平行的性質(zhì)推論：

兩個(gè)平面互相平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一個(gè)平面。

a??

?∥?

?a∥?

a

β

3)利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點(diǎn)

（二）平面與平面平行的證明

常見證明方法：

1)利用平面與平面平行的判定定理：

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?

?//?

b

2)利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等 3)利用定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)

三、“垂直關(guān)系”常見證明方法

（一）直線與直線垂直的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2)看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3)利用直線與平面垂直的性質(zhì)：

如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。

a??

b??

?b?a

b

a

4)利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論：

如果兩個(gè)平面互相垂直，在這兩個(gè)平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。

???????l

a??b??a?lb?l

?a?

b

5)利用常用結(jié)論：

① 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另

一條直線也垂直于第三條直線。

a∥b

a?c

?b?

c

② 如果有一條直線垂直于一個(gè)平面，另一條直線平行于此平面，那么

這兩條直線互相垂直。

a??

b∥?

?a?b

b

（二）直線與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長(zhǎng)方體側(cè)棱垂直于底面等

2)看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂

直于此平面。

3)利用直線與平面垂直的判定定理：

a??b??a?b?Al?al?b

???

??l?????

l

b

A

a

4)利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理：

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

???????l

a??a?l

?

????

a

l

5)利用常用結(jié)論：

①

a∥bb??

?a??

② 兩個(gè)平面平行，一直線垂直于其中一個(gè)平面，則該直線也垂直于另一

個(gè)平面。

?∥?

a??

?

a??

（三）平面與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長(zhǎng)方體側(cè)面垂直于底面等

2)看二面角：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就說這連個(gè)平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定定理

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

a??a??

???

?

?

a

?

第四篇：線線、線面平行垂直的證明

空間線面、面面平行垂直的證明

12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如圖，在正方形ABCD?A'B'C'D'，A'（1）求證：A'B//平面ACD'；

（2）求證：平面ACD'?平面DD'B。

A

4.如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點(diǎn)，求證：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC和BD的交點(diǎn).求證：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1?平面AB1D1．

DA

C1

C

(5題圖)

6.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，點(diǎn)P為

DD1的中點(diǎn)。

（1）求三棱錐D?PAC的體積；（2）求證：直線BD1∥平面PAC；（3）求證：直線PB1?平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如圖，在四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，側(cè)棱

PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF?PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：DE?BC

（3）證明：PB?平面EFD。

8.ABCD?A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱

A

AA1?2，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：AE?平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱錐A?C1D1E的體積.

第五篇：線面平行與垂直的證明題

勤志數(shù)學(xué)

線面平行與垂直的證明

1：如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求證：AC⊥平面B1BDD1；

（2）求三棱錐B-ACB1體積．

2：如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．

A

D

C

B

DA

1B1 1

求證：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC?平面BDE．

3：如圖：在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD?（Ⅰ）求四棱錐S—ABCD的體積；（Ⅱ）證明：平面SBC⊥平面SCD.4：已知多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分別為AB、FC的中點(diǎn)，且AB = 2，AD = EF = 1.（Ⅰ）求證：AF⊥平面FBC；（Ⅱ）求證：OM∥平面DAF.1．

25：．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（1）證明 PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；

6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相

交于AB，點(diǎn)M，N分別在AC和BF上，且AM=FN.求證：MN‖平面BCE.7：如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a（1）求證：直線A1B//平面ACD1（2）求證：平面ACD1?平面BD1D；

8： 如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點(diǎn)，求證：(1)FD∥平面ABC(2)AF⊥平面EDB.C

9：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是CB、CD、CC1的中點(diǎn)，（1）求證：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求證：平面AA1C⊥面EFG.10：如圖，PA?矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).（1）求證：MN//平面PAD；（2）求證：MN?CD；

P

N

D

C

A

M

B

11：如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：⑴AC⊥平面B1D1DB;

⑵求證：BD1⊥平面ACB1⑶ 求三棱錐B-ACB1體積．

D

A

B

C

D

1AB1

P

12: 四棱錐ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)． 求證：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC?平面BDE.13：在三棱錐S?ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為棱AC、SA、SC的中點(diǎn).①求證：EF∥平面ABC.②若SA?SC，BA?BC，求證：平面SBD⊥平面ABC.14：如圖, 已知正三角形PAD, 正方形ABCD,B

平面PAD?平面ABCD, E為PD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：CD?AE;（Ⅱ）求證：AE?平面PCD.15：四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，M、N分別是

AB、PC的中點(diǎn)，PA?AO?a．

（1）求證：MN//平面PAD；（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．（自己畫圖）

P

A

B

C

16：如圖，在三棱錐P?ABC中，PC⊥底面ABC，AB?BC，D、E分別是AB、PB的中點(diǎn).（1）求證：DE∥平面PAC；（2）求證：AB⊥PB；