第一篇：判別式法證明不等式

判別式法證明不等式

x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa

等價(jià)于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0

對(duì)于分式函數(shù)y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)：

由于對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)y,它在函數(shù)f(x)的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)有實(shí)數(shù)解，因此“求f(x)的值域?！边@一問題可轉(zhuǎn)化為“已知關(guān)于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)有實(shí)數(shù)解，求y的取值范圍。”

把x作為未知量，y看作常量，將原式化成關(guān)于x的一元二次方程形式(*)，令這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，然后對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零加以討論：

(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，將對(duì)應(yīng)的y值代入方程(*)中進(jìn)行檢驗(yàn)以判斷y的這個(gè)取值是否符合x有實(shí)數(shù)解的要求，……

(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，∵x∈R，∴Δ≥0，……

此時(shí)直接用判別式法是否有可能產(chǎn)生增根，關(guān)鍵在于對(duì)這個(gè)方程去分母這一步是不是同解變形。

原問題“求f(x)的值域。”進(jìn)一步的等價(jià)轉(zhuǎn)換是“已知關(guān)于x的方程y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解使得dx^2+ex+f≠0，求y的取值范圍?！?/p>

【舉例說明】

1、當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R時(shí)

例1求函數(shù)y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函數(shù)的定義域是R.去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移項(xiàng)整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*)

(1)當(dāng)y≠1時(shí)，由△≥0得0≤y≤4;

(2)當(dāng)y=1時(shí)，將其代入方程(*)中得x=0.綜上所述知原函數(shù)的值域?yàn)椤?，4〕.2、當(dāng)函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集R時(shí)

例2求函數(shù)y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.解：由分母不為零知，函數(shù)的定義域A={x|x≠-2且x≠1}.去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移項(xiàng)整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0.(*)

(1)當(dāng)y≠1時(shí)，由△≥0得y^2≥0?y∈R.檢驗(yàn)：由△=0得y=0，將y=0代入原方程求得x=1，這與原函數(shù)定義域A相矛盾，所以y≠0.(2)當(dāng)y=1時(shí)，將其代入方程(*)中得x=1，這與原函數(shù)定義域A相矛盾，?

所以y≠1.綜上所述知原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠0且y≠1}

對(duì)于分式函數(shù)y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)y,它在函數(shù)f(x)的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實(shí)數(shù)解，把“求f(x)的值域”這問題可轉(zhuǎn)化為“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實(shí)數(shù)解，求y的取值范圍”把x當(dāng)成未知量，y當(dāng)成常量，化成一元二次方程，讓這個(gè)方程有根.先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，再看不為零時(shí)只需看判別式大于等于零了.此時(shí)直接用判別式法是否有可能出問題，關(guān)鍵在于對(duì)這個(gè)方程取分母這一步是不是同解變形。

這個(gè)問題進(jìn)一步的等價(jià)轉(zhuǎn)換是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一個(gè)實(shí)數(shù)解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范圍”

這種方法不好有很多局限情況，如：定義域是一個(gè)區(qū)間的.定義域是R的或定義域是R且不等于某個(gè)數(shù)的還可以用.過程用上面的就可以了.。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對(duì)那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。

第三篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級(jí)組長(zhǎng)：使用時(shí)間：

放縮法證明不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡(jiǎn)單的不等式。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：放縮法證明不等式。

難點(diǎn)：放縮法證明不等式。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時(shí)獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案；

2.紅筆勾出疑難點(diǎn)，提交小組討論；

3.預(yù)習(xí)p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時(shí)，有時(shí)可以通過縮?。ɑ颍┓质降姆帜福ɑ颍蛲ㄟ^放大（或縮?。┍粶p式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時(shí)常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(dāng)(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節(jié)小結(jié)：

第四篇：不等式證明20法

不等式證明方法大全

1、比較法（作差法）

在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的大小時(shí)，可借助a?b的符號(hào)來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）。變形時(shí)常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等。

a?b?ab。例

1、已知：a?0，b?0，求證：

2a?ba?ba?b?2ab(a?b)2

?ab。證明：?ab???0，故得22222、分析法（逆推法）

從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆。

例

2、求證：?7?1?。

證明：要證5?7?1?，即證12?2?16?2，即?2?，35?19?4，4?16，?4，15?16，由此逆推即得5?7?1?。

3、綜合法

證題時(shí)，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等，最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法。

ab例

3、已知：a，b同號(hào)，求證：??2。ba

證明：因?yàn)閍，b同號(hào)，所以abababab?0，?0，則??2??2，即??2。babababa4、作商法（作比法）

在證題時(shí)，一般在a，b均為正數(shù)時(shí)，借助

商——變形——判斷（大于1或小于1）。

例

4、設(shè)a?b?0，求證：aabb?abba。

aaabb?a?證明：因?yàn)閍?b?0，所以?1，a?b?0。而ba???bab?b?a?baa?1或?1來判斷其大小，步驟一般為：作bb?1，故aabb?abba。

5、反證法

先假設(shè)要證明的結(jié)論不對(duì)，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的。

例

5、已知a?b?0，n是大于1的整數(shù)，求證：a?b。證明：假設(shè)a?，則bb?1，即?1，故b?a，這與已知矛盾，所以a?。aa6、迭合法（降元法）

把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證。

例

6、已知：求證： a1b1?a2b2???anbn?1。a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，證明：因?yàn)閍1?a2???an?1，b1?b2???bn?1，所以a1?a2???an?1，b1?b2???bn?1。由柯西不等式

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn?1?1?1，所以原不等

22222

2222222

式獲證。

7、放縮法（增減法、加強(qiáng)不等式法）

在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅虬押停ɑ蚍e）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

1359999

?0.01。例

7、求證：?????

***

證明：令p??????，則

24610000

***32999921

1p?2?2?2??????????，222

2246100002?14?110000?11000110000

所以p?0.01。

8、數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于含有n(n?N)的不等式，當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在n?k(n?N)時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在n?k?1時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì)

n取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立。

例

8、已知：a,b?R?，n?N，n?1，求證：an?bn?an?1b?abn?1。證明：（1）當(dāng)n?2時(shí)，a2?b2?ab?ab?2ab，不等式成立；（2）若n?k時(shí)，ak?bk?ak?1b?abk?1成立，則

ak?1?bk?1?a(ak?bk)?abk?bk?1?a(ak?1b?abk?1)?abk?bk?

1=akb?abk?(a2bk?1?2abk?bk?1)?akb?abk?bk?1(a?b)2?akb?abk，即ak?1?bk?1?akb?abk成立。

根據(jù)（1）、（2），an?bn?an?1b?abn?1對(duì)于大于1的自然數(shù)n都成立。

9、換元法

在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡(jiǎn)化。

例

9、已知：a?b?c?1，求證：ab?bc?ca?。

1證明：設(shè)a??t，b??at(t?R)，則c??(1?a)t，33

3?1??1??1??1??1??1?

ab?bc?ca???t???at????at???(1?a)t????t???(1?a)t?

?3??3??3??3??3??3?11

?(1?a?a2)t2?（因?yàn)??a?a2?0，t2?0），33

所以ab?bc?ca?。

?

10、三角代換法

借助三角變換，在證題中可使某些問題變易。

例

10、已知：a2?b2?1，x2?y2?1，求證：ax?by?1。證明：設(shè)a?sin?，則b?cos?；設(shè)x?sin?，則y?cos? 所以ax?by?sin?sin??cos?cos??cos(???)?1。

11、判別式法

通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變?cè)亩稳?xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。

例

11、設(shè)x,y?R，且x2?y2?1，求證：y?ax??a2。證明：設(shè)m?y?ax，則y?ax?m

代入x2?y2?1中得x2?(ax?m)2?1，即(1?a2)x2?2amx?(m2?1)?0 因?yàn)閤,y?R，1?a2?0，所以??0，即(2am)2?4(1?a2)(m2?1)?0，解得m??a2，故y?ax??a2。

12、標(biāo)準(zhǔn)化法

形如f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn的函數(shù)，其中0?xi??，且

；當(dāng)x1?x2???xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時(shí)，f(x1,x2,?,xn)的值越大（或不變）

x1?x2???xn時(shí)，f(x1,x2,?,xn)取最大值，即

f(x1,x2,?,xn)?sinx1sinx2?sinxn?sinn

x1?x2???xn。

n

A?B。

2標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)A+B為常數(shù)時(shí)，有sinA?sinB?sin2證明：記A+B=C，則

f(A)?sinA?sinB?sin2

A?BC

?sinAsin(C?A)?sin2，22

求導(dǎo)得f`(A)?sin(C?2A)，由f`(A)?0得C=2A，即A=B 又由f``(A)??cos(B?A)?0知f`(A)的極大值點(diǎn)必在A=B時(shí)取得 由于當(dāng)A=B時(shí)，f`(A)?0，故得不等式。同理，可推廣到關(guān)于n個(gè)變?cè)那樾巍?/p>

ABC

1sinsin?。2228ABC11

證明：由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)A=B=C時(shí)，sin?sin?sin?，取最大值，故

22228

ABC1sinsinsin?。2228

例12、設(shè)A，B，C為三角形的三內(nèi)角，求證：sin13、等式法

應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。例13（1956年波蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）、a,b,c為?ABC的三邊長(zhǎng)，求證：

2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4。

證明：由海倫公式S?ABC?其中p?

(a?b?c)。

2兩邊平方，移項(xiàng)整理得

p(p?a)(p?b)(p?c)，16(S?ABC)2?2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 而S?ABC?0，所以2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4。

14、函數(shù)極值法

通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的。

例

14、設(shè)x?R，求證：?4?cos2x?3sinx?2。

83?1?

證明：f(x)?cos2x?3sinx?1?2sin2x?3sinx??2?sinx???

24?8?當(dāng)sinx?

31時(shí)，f(x)取最大值2； 48

當(dāng)sinx??1時(shí)，f(x)取最小值－4。

故?4?cos2x?3sinx?2。

815、單調(diào)函數(shù)法

當(dāng)x屬于某區(qū)間，有f`(x)?0，則f(x)單調(diào)上升；若f`(x)?0，則f(x)單調(diào)下降。推廣之，若證f(x)?g(x)，只須證f(a)?g(a)及f`(x)?g`(x)即可，x?[a,b]。

例15、0?x?，求證：sinx?x?tanx。

2證明：當(dāng)x?0時(shí)，sinx?x?tanx?0，而

?

(sinx)`?cosx?1?x`?sec2x?(tanx)` 故得sinx?x?tanx。

16、中值定理法

利用中值定理：f(x)是在區(qū)間[a,b]上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在?，a???b，滿足f(b)?f(a)?f`(?)(b?a)來證明某些不等式，達(dá)到簡(jiǎn)便的目的。

例

16、求證：sinx?siny?x?y。

證明：設(shè)f(x)?sinx，則sinx?siny?(x?y)sin`??(x?y)cos? 故sinx?siny?(x?y)cos??x?y。

17、分解法

按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的。

1例17、n?2，且n?N，求證：1??????n(n?1?1)。

23n

證明：因?yàn)??

111?1??1??1?

?????n?(1?1)???1????1??????1? 23n?2??3??n?

?2?

所以1?

34n?134n?

1?????n?2??????n?n?1 23n23n

?????n(n?1?1)。23n18、構(gòu)造法

在證明不等式時(shí)，有時(shí)通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達(dá)到簡(jiǎn)捷、明

快、以巧取勝的目的。

例

18、已知：x2?y2?1，a2?b2?2，求證：b(x2?y2)?2axy?2。證明：依題設(shè)，構(gòu)造復(fù)數(shù)z1?x?yi，z2?a?bi，則z1?1，z2?2 所以z1?z2?(x?yi)2(a?bi)?[a(x2?y2)?2bxy]?[b(x2?y2)?2axy]i

b(x2?y2)?2axy?Imz1?z2?z1?z2?

2?

故b(x2?y2)?2axy?2。

19、排序法

利用排序不等式來證明某些不等式。

排序不等式：設(shè)a1?a2???an，b1?b2???bn，則有

其中t1,t2,?,tn是a1bn?a2bn?1???anb1?a1bt1?a2bt2???anbtn?a1b1?a2b2???anbn，1,2,?,n的一個(gè)排列。當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an或b1?b2???bn時(shí)取等號(hào)。

簡(jiǎn)記作：反序和?亂序和?同序和。

例

19、求證：a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da。

證明：因?yàn)閍,b,c,d?R有序，所以根據(jù)排序不等式同序和最大，即

a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da。

20、幾何法

借助幾何圖形，運(yùn)用幾何或三角知識(shí)可使某些證明變易。

a?ma

?。例20、已知：a,b,m?R?，且a?b，求證：

b?mb

證明：以b為斜邊，a為直角邊作Rt?ABC

延長(zhǎng)AB至D，使BD?m，延長(zhǎng)AC至E，使ED?AD，過C作AD的平行線交DE于F，則?ABC∽?ADE，令CE?n，aABa?m

?所以?

bACb?n

a?ma?ma

??。又CE?CF，即n?m，所以

b?mb?nb

E

另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對(duì)值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.H?lder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。

在實(shí)際證明中，以上方法往往相互結(jié)合、互相包含，證題時(shí)，可能同時(shí)運(yùn)用幾種方法，結(jié)合起來加以證明。

第五篇：賦值法證明不等式

賦值法證明不等式的有關(guān)問題

1、已知函數(shù)f(x)=lnx

（1）、求函數(shù)g(x)?(x?1)f(x)?2x?2(x?1)的最小值；

（2）、當(dāng)0

222a(b?a).a2?b22、已知函數(shù)f(x)=xlnx, g(x)= ax?x(a?R)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；

(2)求使f(x)?g(x)恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)求證：不等式ln(e?1)?n?n1(n?N?)恒成立 ne3、設(shè)函數(shù)f(x)?axn(1?x)?b(x?0),n為正整數(shù),a,b為常數(shù).曲線y?f(x)在(1,f(1))處 的切線方程為x?y?1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最大值;

(Ⅲ)證明:f(x)?1 ne4、已知函數(shù)f(x)=lnx-x+

1（1）、求函數(shù)f(x)的最大值；

111??????ln(1?n),n??.23n

2?x5、已知函數(shù)f(x)=?aln?x?1?, x?1（2）、求證： 1?

（1）、若函數(shù)f(x)在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

1?2ln?x?1??2x?4,?x?2?;x?

111111（3）、求證：????lnn?1???(n?N?,n?2).462n2n?1（2）、當(dāng)a=2時(shí)，求證：1?

6、已知函數(shù)f(x)?e?ax?1(a?0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)?0對(duì)任意的x?R恒成立，求a的取值范圍； x

e?1??2??n?1??n??（3）在（2）的條件下，證明：????????（其中n?N）?????nnnne?1????????

8、已知函數(shù)f(x)=e?ax?a, xnnnn

（1）、若a?0,f(x)?0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）、設(shè)g(x)?f(x)?a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是曲線y?g(x)上任意兩點(diǎn)，xe

若對(duì)于任意的a??1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

(3)、求證：1?3?5??(2n?1)?

2、已知函數(shù)f(x)?(x?a)?7blnx?1,其中a，b是常數(shù)，且a?0，（1）若b?1時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； 2nnnn(2n)n(n?N?).e?

14a

2（2）當(dāng)b?時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性； 7

（3）設(shè)n是正整數(shù)，證明ln(1?n)?(1?

5、已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax?x(a?R)

(1)若函數(shù)f(x)在處取得極值，求a的值；

(2)若函數(shù)f(x)的圖像在直線的圖像的下方，求a的取值范圍；

(3)求證：ln(2?3?4??n)?n?1(n?N?).。

解:(Ⅰ)因?yàn)閒(1)?b,由點(diǎn)(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1,即b?0.因?yàn)閒?(x)?anxn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)??a.又因?yàn)榍芯€x?y?1的斜率為?1,所以?a??1,即a?1.故a?1,b?0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?xn(1?x)?xn?xn?1,f?(x)?(n?1)xn?1（令f?(x)?0,解得x?

在(0,n?x).n?12n27111111????)?7(1?????).22223n23nnn,即f?(x)在(0,??)上有唯一零點(diǎn)x0?.n?1n?1n)上,f?(x)?0,故f(x)單調(diào)遞增;n?1

n,??)上,f?(x)?0,f(x)單調(diào)遞減.n?1而在（nnnnnn

故f(x)在(0,??)上的最大值為f(.)?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1

111t?1(t?0),則??(t)??2=2(t?0).tttt

在(0,1)上,??(t)?0,故?(t)單調(diào)遞減;

而在(1,??)上??(t)?0,?(t)單調(diào)遞增.(Ⅲ)令?(t)?lnt?1+

故?(t)在(0,??)上的最小值為?(1)?0.所以?(t)?0(t?1),1即lnt?1?(t?1).t

令t?1?1n?11n?1n?1,得ln,即ln(?)?lne,nnn?1n

nn1n?1n?1所以(.?)?e,即(n?1)n?1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x)?,故所證不等式成立.?(n?1)n?1ne

已知函數(shù)f(x)?alnx?ax?3.(a?R)

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為450，且方程f(x)?m至少有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）求證：ln2ln3lnn1????(n?2,n?N?).23nn