第一篇：幾何法證明不等式

幾何法證明不等式

用解析法證明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

設(shè)一個(gè)正方形的邊為C,有4個(gè)直角三角形拼成這個(gè)正方形,設(shè)三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B,(B>A)A=B,剛好構(gòu)成,若A不等于B時(shí),側(cè)中間會(huì)出現(xiàn)一個(gè)小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經(jīng)化簡(jiǎn)有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因?yàn)?A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因?yàn)锳不等與B,所以不取等號(hào)

可以在直角三角形內(nèi)解決該問(wèn)題

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。

比如證明SINx不大于x(x范圍是0到兀/2，閉區(qū)間)

做出一個(gè)單位圓，以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為角的一條邊

任取第一象限一個(gè)角x，它所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)就是1*x=x

那個(gè)角另一條邊與圓有一個(gè)交點(diǎn)

交點(diǎn)到x軸的距離就是SINx

因?yàn)辄c(diǎn)到直線，垂線段長(zhǎng)度最小，所以SINx小于等于x，當(dāng)且盡當(dāng)x=0時(shí)，取等

已經(jīng)有的方法：第一數(shù)學(xué)歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過(guò)渡到n);重復(fù)遞歸利用結(jié)論法;凸函數(shù)性質(zhì)法;

能給出其他方法的就給分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一個(gè)是算術(shù)，一個(gè)是幾何。人類認(rèn)認(rèn)識(shí)算術(shù)才有幾何，人類吃飽了就去研究細(xì)微的東西，所以明顯有后者小于前者的結(jié)論，這么簡(jiǎn)單都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑歸搞笑，我覺(jué)得可以這樣做，題目結(jié)論相當(dāng)于證

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時(shí)n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個(gè)n元函數(shù)，它是沒(méi)有最大值的(這個(gè)顯然)

我們考慮各元偏導(dǎo)都等于0，得到方程組，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，從而f≥0，里面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。

要的是數(shù)學(xué)法證明也就是代數(shù)法不是用向量等幾何法證明.....有沒(méi)有哪位狠人幫我解決下

【柯西不等式的證明】二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號(hào)在且僅在ad-bc=0即ad=bc時(shí)成立。

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時(shí)，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，展開(kāi)得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2-4AC≤0，移項(xiàng)得AC≥B，欲證不等式已得證。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過(guò)程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無(wú)法放縮。所以在運(yùn)用放

c?a?b[評(píng)析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因?yàn)?c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無(wú)法判斷符號(hào)，因此縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度。

例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對(duì)稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評(píng)析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)。

例3：設(shè)a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設(shè)a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對(duì)稱性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱性。

39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開(kāi)討論。

例5：設(shè)a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡(jiǎn)單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因?yàn)樽筮???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過(guò)頭，縮不能不及。

第三篇：賦值法證明不等式

賦值法證明不等式的有關(guān)問(wèn)題

1、已知函數(shù)f(x)=lnx

（1）、求函數(shù)g(x)?(x?1)f(x)?2x?2(x?1)的最小值；

（2）、當(dāng)0

222a(b?a).a2?b22、已知函數(shù)f(x)=xlnx, g(x)= ax?x(a?R)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；

(2)求使f(x)?g(x)恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)求證：不等式ln(e?1)?n?n1(n?N?)恒成立 ne3、設(shè)函數(shù)f(x)?axn(1?x)?b(x?0),n為正整數(shù),a,b為常數(shù).曲線y?f(x)在(1,f(1))處 的切線方程為x?y?1.(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最大值;

(Ⅲ)證明:f(x)?1 ne4、已知函數(shù)f(x)=lnx-x+

1（1）、求函數(shù)f(x)的最大值；

111??????ln(1?n),n??.23n

2?x5、已知函數(shù)f(x)=?aln?x?1?, x?1（2）、求證： 1?

（1）、若函數(shù)f(x)在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

1?2ln?x?1??2x?4,?x?2?;x?

111111（3）、求證：????lnn?1???(n?N?,n?2).462n2n?1（2）、當(dāng)a=2時(shí)，求證：1?

6、已知函數(shù)f(x)?e?ax?1(a?0)

（1）求f(x)得最小值；

（2）若f(x)?0對(duì)任意的x?R恒成立，求a的取值范圍； x

e?1??2??n?1??n??（3）在（2）的條件下，證明：????????（其中n?N）?????nnnne?1????????

8、已知函數(shù)f(x)=e?ax?a, xnnnn

（1）、若a?0,f(x)?0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）、設(shè)g(x)?f(x)?a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是曲線y?g(x)上任意兩點(diǎn)，xe

若對(duì)于任意的a??1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

(3)、求證：1?3?5??(2n?1)?

2、已知函數(shù)f(x)?(x?a)?7blnx?1,其中a，b是常數(shù)，且a?0，（1）若b?1時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； 2nnnn(2n)n(n?N?).e?

14a

2（2）當(dāng)b?時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性； 7

（3）設(shè)n是正整數(shù)，證明ln(1?n)?(1?

5、已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax?x(a?R)

(1)若函數(shù)f(x)在處取得極值，求a的值；

(2)若函數(shù)f(x)的圖像在直線的圖像的下方，求a的取值范圍；

(3)求證：ln(2?3?4??n)?n?1(n?N?).。

解:(Ⅰ)因?yàn)閒(1)?b,由點(diǎn)(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1,即b?0.因?yàn)閒?(x)?anxn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)??a.又因?yàn)榍芯€x?y?1的斜率為?1,所以?a??1,即a?1.故a?1,b?0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?xn(1?x)?xn?xn?1,f?(x)?(n?1)xn?1（令f?(x)?0,解得x?

在(0,n?x).n?12n27111111????)?7(1?????).22223n23nnn,即f?(x)在(0,??)上有唯一零點(diǎn)x0?.n?1n?1n)上,f?(x)?0,故f(x)單調(diào)遞增;n?1

n,??)上,f?(x)?0,f(x)單調(diào)遞減.n?1而在（nnnnnn

故f(x)在(0,??)上的最大值為f(.)?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1

111t?1(t?0),則??(t)??2=2(t?0).tttt

在(0,1)上,??(t)?0,故?(t)單調(diào)遞減;

而在(1,??)上??(t)?0,?(t)單調(diào)遞增.(Ⅲ)令?(t)?lnt?1+

故?(t)在(0,??)上的最小值為?(1)?0.所以?(t)?0(t?1),1即lnt?1?(t?1).t

令t?1?1n?11n?1n?1,得ln,即ln(?)?lne,nnn?1n

nn1n?1n?1所以(.?)?e,即(n?1)n?1nen

nn1由(Ⅱ)知,f(x)?,故所證不等式成立.?(n?1)n?1ne

已知函數(shù)f(x)?alnx?ax?3.(a?R)

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為450，且方程f(x)?m至少有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）求證：ln2ln3lnn1????(n?2,n?N?).23nn

第四篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學(xué)題目是無(wú)限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對(duì)那無(wú)限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無(wú)邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒(méi)有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒(méi)有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;二是利用做題來(lái)鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒(méi)有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來(lái)屬于自己的春天。

第五篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級(jí)組長(zhǎng)：使用時(shí)間：

放縮法證明不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡(jiǎn)單的不等式。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：放縮法證明不等式。

難點(diǎn)：放縮法證明不等式。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時(shí)獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案；

2.紅筆勾出疑難點(diǎn)，提交小組討論；

3.預(yù)習(xí)p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)縮小（或）分式的分母（或），或通過(guò)放大（或縮?。┍粶p式（或）來(lái)證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時(shí)常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮?。悍帜缸兇螅质街禍p小，分母變小，分

式值增大。

如當(dāng)(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節(jié)小結(jié)：