湖北省恩施州2020年中考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卷相應(yīng)位置上．

1.5的絕對(duì)值是（）

A.5

B.﹣5

C.D.【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值的意義：數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)（O點(diǎn)）的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值，絕對(duì)值只能為非負(fù)數(shù)；

即可得解．

【詳解】解：在數(shù)軸上，數(shù)5所表示的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離是5；

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，解決本題的關(guān)鍵是一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．

2.茶中精品“恩施綠”“利川紅”享譽(yù)世界．去年恩施州茶葉產(chǎn)量約為120000噸，將數(shù)120000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）．

A.B.C.D.【答案】B

【解析】

【分析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．

【詳解】120000=，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考察科學(xué)記數(shù)法，注意n的值的確定方法，當(dāng)原數(shù)大于10時(shí)，n等于原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1，按此方法即可正確求解.3.下列交通標(biāo)識(shí)，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．

【詳解】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念，知：

A、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形；

B、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形；

C、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；

D、既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．

故選：D．

【點(diǎn)睛】掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，折疊后對(duì)稱軸兩旁的部分可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后會(huì)與原圖重合．

4.下列計(jì)算正確的是（）．

A.B.C.D.【答案】B

【解析】

分析】

根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式以及合并同類(lèi)項(xiàng)的法則進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】A、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、，該選項(xiàng)正確，符合題意；

C、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、，不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式以及合并同類(lèi)項(xiàng)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn)．

5.函數(shù)的自變量的取值范圍是（）

A.B.且

C.D.且

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分式分母不等于0列式計(jì)算即可得解．

【詳解】解：根據(jù)題意得，x＋1≥0且x≠0，解得：x≥?1且x≠0．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．

6.“彩縷碧筠粽，香梗白玉團(tuán)”．端午佳節(jié)，小明媽媽準(zhǔn)備了豆沙粽2個(gè)、紅棗烷4個(gè)、臘肉粽3個(gè)、白米粽2個(gè)，其中豆沙粽和紅棗粽是甜粽．小明任意選取一個(gè)，選到甜粽概率是（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【分析】

粽子總共有11個(gè)，其中甜粽有6個(gè)，根據(jù)概率公式即可求出答案.【詳解】由題意可得：粽子總數(shù)為11個(gè)，其中6個(gè)為甜粽，所以選到甜粽的概率為：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的基本運(yùn)算，熟練掌握公式是關(guān)鍵.7.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”：，例如：．如果，則的值是（）．

A.B.1

C.0

D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題目中給出的新定義運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．

【詳解】解：由題意知：，又，∴，∴．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，一元一次方程的解法，本題的關(guān)鍵是能看明白題目意思，根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解即可．

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“盈不足”一章中記載：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，問(wèn)大小器各容幾何”．意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛，1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛．問(wèn)1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個(gè)大桶盛酒斛，1個(gè)小桶盛酒斛，下列方程組正確的是（）．

A.B.C.D.【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)大小桶所盛酒的數(shù)量列方程組即可.【詳解】∵5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛，∴5x+y=3，∵1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛，∴x+5y=2，∴得到方程組，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.9.如圖是由四個(gè)相同小正方體組成的立體圖形，它的主視圖為（）．

A.B.C.D.【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何體的三視圖解答即可.【詳解】根據(jù)立體圖形得到：

主視圖為：，左視圖為：，俯視圖為：，故答案為：A.【點(diǎn)睛】此題考查小正方體組成的幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握三視圖的視圖角度及三視圖的畫(huà)法.10.甲乙兩車(chē)從城出發(fā)前往城，在整個(gè)行程中，汽車(chē)離開(kāi)城的距離與時(shí)刻的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．

A.甲車(chē)的平均速度為

B.乙車(chē)的平均速度為

C.乙車(chē)比甲車(chē)先到城

D.乙車(chē)比甲車(chē)先出發(fā)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)圖象逐項(xiàng)分析判斷即可．

【詳解】由圖象知：

A．甲車(chē)的平均速度為=，故此選項(xiàng)正確；

B．乙車(chē)的平均速度為，故此選項(xiàng)正確；

C．甲10時(shí)到達(dá)B城，乙9時(shí)到達(dá)B城，所以乙比甲先到B城，故此選項(xiàng)正確；

D．甲5時(shí)出發(fā)，乙6時(shí)出發(fā)，所以乙比甲晚出發(fā)1h，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，正確識(shí)別圖象并能提取相關(guān)信息是解答的關(guān)鍵．

11.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在上且，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）．

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.【詳解】連接ED交AC于一點(diǎn)F，連接BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴BF=DF，∴的周長(zhǎng)=BF+EF+BE=DE+BE，此時(shí)周長(zhǎng)最小，∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴AD=AB=4，∠DAB=90°，∵點(diǎn)在上且，∴AE=3，∴DE=，∴的周長(zhǎng)=5+1=6，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角以及正方形的對(duì)稱性質(zhì)，還考查了勾股定理的計(jì)算，依據(jù)對(duì)稱性得到連接DE交AC于點(diǎn)F是的周長(zhǎng)有最小值的思路是解題的關(guān)鍵.12.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點(diǎn)．則以下結(jié)論：①；②二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為；③；④．其中正確的有（）個(gè)．

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)逐個(gè)分析即可．

【詳解】解：對(duì)于①：二次函數(shù)開(kāi)口向下，故a<0，與y軸的交點(diǎn)在y的正半軸，故c>0，故ac<0，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②：二次函數(shù)的圖像與軸相交于、，由對(duì)稱性可知，其對(duì)稱軸為：，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：設(shè)二次函數(shù)的交點(diǎn)式為，比較一般式與交點(diǎn)式的系數(shù)可知：，故，故③正確；

對(duì)于④：當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的，觀察圖像可知時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像的值在軸上方，故，故④正確．

∴只有③④是正確的．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與其系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握二次函數(shù)的圖像性質(zhì)是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵．

二、填空題：不要求寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接寫(xiě)在答題卷相應(yīng)位置上．

13.9的算術(shù)平方根是

．

【答案】3．

【解析】

【分析】

根據(jù)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根就是其正的平方根即可得出.【詳解】∵，∴9算術(shù)平方根為3．

故答案為3．

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵.14.如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，，則______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠4=，利用平行線的性質(zhì)得到∠1=∠3=，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．

【詳解】如圖，延長(zhǎng)CB交于點(diǎn)D，∵AB=BC，∠C=，∴∠C=∠4=，∵，∠1=，∴∠1=∠3=，∵∠C

+∠3+∠2+∠4

=，即

∴

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是輔助線的作法，注意運(yùn)用兩直線平行，同位角相等．

15.如圖，已知半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，連接．若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．（結(jié)果不取近似值）

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)60°特殊角求出AC和BC,再算出△ABC的面積,根據(jù)扇形面積公式求出扇形的面積,再用三角形的面積減去扇形面積即可．

【詳解】∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴BC=,AC=,∴

由以上可知∠CAB=30°,∴扇形ACD的面積=,∴陰影部分的面積為．

故答案為:

．

【點(diǎn)睛】本題考查圓和扇形面積的結(jié)合,關(guān)鍵在于利用圓周角的性質(zhì)找到直角三角形并結(jié)合扇形面積公式解出．

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，．已知，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，…，依此類(lèi)推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

【答案】(-1,8)

【解析】

【分析】

先求出N1至N6點(diǎn)的坐標(biāo)，找出其循環(huán)的規(guī)律為每6個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次即可求解．

【詳解】解：由題意得，作出如下圖形：

N點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，N點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱的N1點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)，N1點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的N2點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,4)，N2點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱的N3點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,8)，N3點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱的N4點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,8)，N4點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的N5點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-4)，N5點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱的N6點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)，此時(shí)剛好回到最開(kāi)始的點(diǎn)N處，∴其每6個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次，∴，即循環(huán)了336次后余下4，故的坐標(biāo)與N4點(diǎn)的坐標(biāo)相同，其坐標(biāo)為(-1,8)

．

故答案為：(-1,8)

．

【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律問(wèn)題，本題需要先去驗(yàn)算前面一部分點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而找到其循環(huán)的規(guī)律后即可求解．

三、解答題：請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．

【答案】，【解析】

【分析】

根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則，先化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)的，將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)分式，代入m值求解即可．

【詳解】；

當(dāng)時(shí)，原式．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵.18.如圖，平分∠ABC交于點(diǎn)，點(diǎn)C在上且，連接．求證：四邊形是菱形．

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，進(jìn)而得到△ABD為等腰三角形，進(jìn)而得到AB=AD，再由BC=AB，得到對(duì)邊AD=BC，進(jìn)而得到四邊形ABCD為平行四邊形，再由鄰邊相等即可證明ABCD為菱形．

【詳解】證明：∵，∴∠ADB=∠DBC，又BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴∠ADB=∠ABD，∴△ABD為等腰三角形，∴AB=AD，又已知AB=BC，∴AD=BC，又，即ADBC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又AB=AD，∴四邊形ABCD為菱形．

【點(diǎn)睛】本題考了角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定方法，平行四邊形的判定方法等，熟練掌握其判定方法及性質(zhì)是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵．

19.某中學(xué)為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)新冠肺炎防控知識(shí)的掌握情況，從全校九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．調(diào)查結(jié)果分為四類(lèi)：A類(lèi)—非常了解；B類(lèi)—比較了解；C—一般了解；D類(lèi)—不了解．現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題：

（1）本次共調(diào)查了______名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）D類(lèi)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的大小為_(kāi)_____；

（4）若該校九年級(jí)學(xué)生共有500名，根據(jù)以上抽樣結(jié)果，估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生對(duì)新冠肺炎防控知識(shí)非常了解的約有______名．

【答案】（1）50名；（2）條形圖見(jiàn)解析；（3）；（4）150名．

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)條形圖和扇形圖得出B類(lèi)人數(shù)為20名，占40%，即可得出總數(shù)；

（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)減去A,B,D的人數(shù)即可得出C的人數(shù)；

（3）用乘以D類(lèi)部分所占百分比即可得出圓心角的度數(shù)；

（4）用500乘以非常了解的部分所占百分比即可得出答案．

【詳解】（1）本次共調(diào)查的學(xué)生數(shù)為：名；

（2）C類(lèi)學(xué)生人數(shù)為：50-15-20-5=10名，條形圖如下：

（3）D類(lèi)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為：；

（4）該校九年級(jí)學(xué)生對(duì)新冠肺炎防控知識(shí)非常了解的人數(shù)為：名．

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖得出相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵．

20.如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在處測(cè)得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)處，在處測(cè)得小島位于其北偏東方向．求此時(shí)船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．

【答案】此時(shí)船與小島的距離約為44海里

【解析】

【分析】

過(guò)P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x值即可求解

【詳解】如圖，過(guò)P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30o=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），答：此時(shí)船與小島的距離約為44海里．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，且．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求和的值．

【答案】(1)

(3，0)；(2)，【解析】

【分析】

(1)令中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)過(guò)C點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于M點(diǎn)，作x軸的垂線交x軸于N點(diǎn)，證明△BCM∽△BAO，利用和OA=3進(jìn)而求出CM的長(zhǎng)，再由求出CN的長(zhǎng)，進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可求解．

【詳解】解：(1)由題意得：令中，即，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，故答案為(3,0)

．

(2)

過(guò)C點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于M點(diǎn)，作x軸的垂線交x軸于N點(diǎn)，如下圖所示：

顯然，CMOA，∴∠BCM=∠BAO，且∠ABO=∠CBO，∴△BCM∽△BAO，∴，代入數(shù)據(jù)：

即：，∴=1，又

即：，∴，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，故反比例函數(shù)的，再將點(diǎn)C(1,2)代入一次函數(shù)中，即，解得，故答案為：，．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握其圖像性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．

22.某校足球隊(duì)需購(gòu)買(mǎi)、兩種品牌的足球．已知品牌足球的單價(jià)比品牌足球的單價(jià)高20元，且用900元購(gòu)買(mǎi)品牌足球的數(shù)量用720元購(gòu)買(mǎi)品牌足球的數(shù)量相等．

（1）求、兩種品牌足球的單價(jià)；

（2）若足球隊(duì)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)、兩種品牌的足球共90個(gè)，且品牌足球的數(shù)量不小于品牌足球數(shù)量的2倍，購(gòu)買(mǎi)兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)8500元．設(shè)購(gòu)買(mǎi)品牌足球個(gè)，總費(fèi)用為元，則該隊(duì)共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？采用哪一種購(gòu)買(mǎi)方案可使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？

【答案】（1）購(gòu)買(mǎi)A品牌足球的單價(jià)為100元，則購(gòu)買(mǎi)B品牌足球的單價(jià)為80元；

（2）該隊(duì)共有6種購(gòu)買(mǎi)方案，購(gòu)買(mǎi)60個(gè)A品牌30個(gè)B

品牌的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是8400元．

【解析】

【分析】

（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A品牌足球的單價(jià)為x元，則購(gòu)買(mǎi)B品牌足球的單價(jià)為（x-20）元，根據(jù)用900元購(gòu)買(mǎi)品牌足球的數(shù)量用720元購(gòu)買(mǎi)品牌足球的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m個(gè)A品牌足球，則購(gòu)買(mǎi)（90?m）個(gè)B品牌足球，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總價(jià)不超過(guò)8500元，以及品牌足球的數(shù)量不小于品牌足球數(shù)量的2倍，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．

【詳解】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A品牌足球的單價(jià)為x元，則購(gòu)買(mǎi)B品牌足球的單價(jià)為（x-20）元，根據(jù)題意，得

解得：x=100

經(jīng)檢驗(yàn)x=100是原方程的解

x-20=80

答：購(gòu)買(mǎi)A品牌足球的單價(jià)為100元，則購(gòu)買(mǎi)B品牌足球的單價(jià)為80元．

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m個(gè)A品牌足球，則購(gòu)買(mǎi)（90?m）個(gè)B品牌足球，則

W=100m+80(90-m)=20m+7200

∵品牌足球的數(shù)量不小于品牌足球數(shù)量的2倍，購(gòu)買(mǎi)兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)8500元．

∴

解不等式組得：60≤m≤65

所以，m的值為：60,61,62,63,64,65

即該隊(duì)共有6種購(gòu)買(mǎi)方案，當(dāng)m=60時(shí)，W最小

m=60時(shí)，W=20×60+7200=8400(元)

答：該隊(duì)共有6種購(gòu)買(mǎi)方案，購(gòu)買(mǎi)60個(gè)A品牌30個(gè)B

品牌的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是8400元．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．

23.如圖，是的直徑，直線與相切于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，點(diǎn)（異于點(diǎn)）在上，點(diǎn)在上，且，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3）如圖，連接并延長(zhǎng)與分別相交于點(diǎn)、，連接．若，求．

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）

【解析】

【分析】

（1）連接OD，根據(jù)等邊對(duì)等角可知：∠CAD=∠CDA，∠OAD=∠ODA，再根據(jù)切線的性質(zhì)可知∠CAO=∠CAD+∠OAD=∠CDA+∠ODA=90°=∠ODC，由切線的判定定理可得結(jié)論；

（2）連接BD，根據(jù)等邊對(duì)等角可知∠ODB=∠OBD，再根據(jù)切線的性質(zhì)可知∠ODE=∠OBE=90°，由等量減等量差相等得∠EDB=∠EBD，再根據(jù)等角對(duì)等邊得到ED=EB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及對(duì)頂角相等可得∠EDF=∠EFD，推出DE=EF，由此得出結(jié)論；

（3）過(guò)E點(diǎn)作EL⊥AM于L，根據(jù)勾股定理可求出BE的長(zhǎng)，即可求出tan∠BOE的值，再利用倍角公式即可求出tan∠BHE的值．

【詳解】（1）連接OD，∵，∴∠CAD=∠CDA，∵OA=OD

∴∠OAD

=∠ODA，∵直線與相切于點(diǎn)，∴∠CAO=∠CAD+∠OAD=90°

∴∠ODC=∠CDA+∠ODA=90°

∴CE是的切線；

（2）連接BD

∵OD=OB

∴∠ODB=∠OBD，∵CE是的切線，BF是的切線，∴∠OBD=∠ODE=90°

∴∠EDB=∠EBD

∴ED=EB

∵AM⊥AB，BN⊥AB

∴AM∥BN

∴∠CAD=∠BFD

∵∠CAD=∠CDA=∠EDF

∴∠BFD=∠EDF

∴EF=ED

∴BE=EF

（3）過(guò)E點(diǎn)作EL⊥AM于L，則四邊形ABEL是矩形，設(shè)BE=x，則CL=4-x，CE=4+X

∴(4+x)2=(4-x)2+62

解得：x=

∵∠BOE=2∠BHE

解得：tan∠BHE=或-3（-3不和題意舍去）

∴tan∠BHE=

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)/，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)并能熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

24.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）為線段上任意一點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)變換下，若（如圖）．

①求證：．

②當(dāng)點(diǎn)在（1）所求的拋物線上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）（，0）；（3）①見(jiàn)解析；②=或=

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)C在拋物線上和已知對(duì)稱軸的條件可求出解析式；

（2）根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)B及已知點(diǎn)C的坐標(biāo)，證明△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出直線EF與x軸的夾角為45°，因此設(shè)直線EF的解析式為y=x+b，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），推出點(diǎn)F（m，6-m），直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式為0得到關(guān)于m的方程，解方程得點(diǎn)M的坐標(biāo)．注意有兩種情況，均需討論．

（3）①過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），由及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△EHM≌△MGP，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m-1，5-m），再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式證明，注意分兩種情況，均需討論；②把E（m-1，5-m）代入拋物線解析式，解出m的值，進(jìn)而求出CM的長(zhǎng)．

【詳解】（1）∵點(diǎn)在拋物線上，∴，得到，又∵對(duì)稱軸，∴，解得，∴，∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如下圖：

∵拋物線的解析式為，對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)A（2，0），頂點(diǎn)B（2，4），∴AB=AC=4，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=45°；

∵將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MEF，∴FM=CM，∠2=∠1=45°，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），∴點(diǎn)F（m，6-m），又∵∠2=45°，∴直線EF與x軸的夾角為45°，∴設(shè)直線EF的解析式為y=x+b，把點(diǎn)F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2m，直線EF的解析式為y=x+6-2m，∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，整理得：，∴Δ=b2-4ac=0，解得m=，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如下圖：

由圖可知，直線EF與x軸夾角仍是45°，因此直線與拋物線不可能只有一個(gè)交點(diǎn)．

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．

（3）①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，∵，由（2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴點(diǎn)G（5，0），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），∵將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MEF，∴EM=PM，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH

=90°，∴∠HEM=∠GMP，在△EHM和△MGP中，∴△EHM≌△MGP（AAS），∴EH=MG=5-m，HM=PG=1，∴點(diǎn)H（m-1，0），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m-1，5-m）；

∴EA==，又∵為線段的中點(diǎn)，B（2，4），C（6，0），∴點(diǎn)D（4，2），∴ED==，∴EA=

ED．

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如下圖：

同理，點(diǎn)E的坐標(biāo)仍為（m-1，5-m），因此EA=

ED．

②當(dāng)點(diǎn)在（1）所求的拋物線上時(shí)，把E（m-1，5-m）代入，整理得：m2-10m+13=0，解得：m=或m=，∴=或=．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵．