第一篇：同濟版高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分
高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
第五章
定積分
教學(xué)目的：
1、理解定積分的概念。
2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。
4、了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。
教學(xué)重點：
1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理
2、定積分的換元積分法與分部積分法。
3、牛頓—萊布尼茨公式。
教學(xué)難點：
1、定積分的概念
2、積分中值定理
3、定積分的換元積分法分部積分法。
4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。§5? 1 定積分概念與性質(zhì)
一、定積分問題舉例
1? 曲邊梯形的面積
曲邊梯形? 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負、連續(xù)? 由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形? 其中曲線弧稱為曲邊?
求曲邊梯形的面積的近似值?
將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形? 每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替? 每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積? 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值? 具體方法是? 在區(qū)間[a? b]中任意插入若干個分點
a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b?
把[a? b]分成n個小區(qū)間
[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]?
它們的長度依次為?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ?
經(jīng)過每一個分點作平行于y 軸的直線段? 把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形? 在每個小區(qū)間 [xi?1? xi ]上任取一點??i ? 以[xi?1? xi ]為底、f(??i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值? 即
A?f(??1)?x1? f(??2)?x2?? ? ?? f(??n)?xn??f(?i)?xi?
i?1n
求曲邊梯形的面積的精確值?
顯然? 分點越多、每個小曲邊梯形越窄? 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
形面積A的精確值? 因此? 要求曲邊梯形面積A的精確值? 只需無限地增加分點? 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零? 記
??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分點? 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零? 相當于令??0? 所以曲邊梯形的面積為
A?lim?f(?i)?xi?
??0i?1n
2? 變速直線運動的路程
設(shè)物體作直線運動? 已知速度v?v(t)是時間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)? 且v(t)?0? 計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S ?
求近似路程?
我們把時間間隔[T 1? T 2]分成n 個小的時間間隔?ti ? 在每個小的時間間隔?ti內(nèi)? 物體運動看成是均速的? 其速度近似為物體在時間間隔?ti內(nèi)某點??i的速度v(??i)? 物體在時間間隔?ti內(nèi) 運動的距離近似為?Si? v(??i)??ti ? 把物體在每一小的時間間隔?ti內(nèi) 運動的距離加起來作為物體在時間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S 的近似值? 具體做法是?
在時間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)任意插入若干個分點
T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2?
把[T 1 ? T 2]分成n個小段
[t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ?
各小段時間的長依次為
?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1?
相應(yīng)地? 在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為
?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n?
在時間間隔[t i?1? t i]上任取一個時刻? i(t i?1?? i? t i)? 以? i時刻的速度v(? i)來代替[t i?1? t i]上各個時刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即
?S i? v(? i)??t i
(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S 的近似值? 即
S??v(?i)?ti?
i?1n
求精確值?
記? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 當??0時? 取上述和式的極限? 即得變速直線運動的路程
S?lim?v(?i)?ti?
??0i?1n
設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?
(1)用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個小區(qū)間?
[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
(2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為
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f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲邊梯形面積A的近似值為
A??f(?)?x? iii?1nn
(3)記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為
A?lim??0?f(?)?x? iii?1
設(shè)物體作直線運動? 已知速度v?v(t)是時間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)?
且v(t)?0? 計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S ?
(1)用分點T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把時間間隔[T 1 ? T 2]分成n個小時間 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 記?ti ?ti?ti?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?
(2)任取?i?[ti?1? ti]? 在時間段[ti?1? ti]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v(?i)?ti
(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值為
S??v(?)?tii?1nni?
(3)記??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精確值為
S?lim??0?v(?)?t? iii?
1二、定積分定義
拋開上述問題的具體意義? 抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括? 就抽象出下述定積分的定義?
定義
設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干個分點
a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b?
把區(qū)間[a? b]分成n個小區(qū)間
[x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ?
各小段區(qū)間的長依次為
?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1?
在每個小區(qū)間[xi?1? xi]上任取一個點? i(xi?1? ? i ? xi)? 作函數(shù)值f(? i)與小區(qū)間長度?xi的乘積
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f(? i)??xi(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作出和
S??f(?i)?xi?
i?1n記? ? max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果不論對[a? b]怎樣分法? 也不論在小區(qū)間[xi?1? xi]上點? i 怎樣取法? 只要當??0時? 和S 總趨于確定的極限I? 這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作?af(x)dx?
即
lim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bnb其中f(x)叫做被積函數(shù)? f(x)dx叫做被積表達式? x叫做積分變量? a 叫做積分下限? b 叫做積分上限? [a? b]叫做積分區(qū)間?
定義
設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n個小區(qū)間? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?
任? i?[xi?1? xi](i?1? 2?? ? ?? n)? 作和
S??f(?)?xii?1ni?
記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果當??0時? 上述和式的極限存在? 且極限值與區(qū)間[a? b]的分法和? i的取法無關(guān)? 則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作即
根據(jù)定積分的定義? 曲邊梯形的面積為A??af(x)dx?
變速直線運動的路程為S??T2v(t)dt?
1?baf(x)dx?
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?
??0i?1nbT
說明?
(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)? 而與積分變量的記法無關(guān)? 即
?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?
(2)和?f(?i)?xi通常稱為f(x)的積分和?
i?1nbbb
(3)如果函數(shù)f(x)在[a? b]上的定積分存在? 我們就說f(x)在區(qū)間[a? b]上可積?
函數(shù)f(x)在[a? b]上滿足什么條件時? f(x)在[a? b]上可積呢？
定理
1設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則f(x)在[a? b]上可積?
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第五章 定積分
定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上有界? 且只有有限個間斷點? 則f(x)在[a? b]上可積?
定積分的幾何意義?
在區(qū)間[a? b]上? 當f(x)?0時? 積分?af(x)dx在幾何上表示由曲線y?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積? 當f(x)?0時? 由曲線y ?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方? 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值?
b?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx?
??0i?1??0i?1nnb
當f(x)既取得正值又取得負值時? 函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方? 而其它部分在x軸的下方? 如果我們對面積賦以正負號? 在x軸上方的圖形面積賦以正號? 在x軸下方的圖形面積賦以負號? 則在一般情形下? 定積分?af(x)dx的幾何意義為? 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數(shù)和?
b用定積分的定義計算定積分?
例1.利用定義計算定積分?0x2dx?
解
把區(qū)間[0? 1]分成n等份??分點為和小區(qū)間長度為
xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?
nn
取?i?i(i?1? 2?? ? ?? n)??作積分和 n
1?f(?i)?xi??i?1i?1nn?i2?xi??(i)2?1
ni?1nnn1?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)?
3?ni?1n66nn
因為??1? 當??0時? n??? 所以?n
?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1???f(?i)?xi?nlim??6nn
3利定積分的幾何意義求積分:
例2??用定積分的幾何意義求?0(1?x)dx?? 解: 函數(shù)y?1?x在區(qū)間[0? 1]上的定積分是以y?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形的面積? 因為以y?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形? 其底邊長及高均為1? 所以 1天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
第五章 定積分
??0(1?x)dx?2?1?1?2??11
1三、定積分的性質(zhì)
兩點規(guī)定?
(1)當a?b時?
(2)當a?b時? ?af(x)dx?0?
?af(x)dx???bf(x)dx?
bbbab
性質(zhì)
1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即
?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx?
bb 證明:?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi
??0i?1nnn
?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi
??0i?1b??0i?1
??af(x)dx??ag(x)dx?
性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面 即
b?akf(x)dx?k?af(x)dx??bnnbbb
這是因為?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx?
??0i?1??0i?1????????性質(zhì)???如果將積分區(qū)間分成兩部分?則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和?即??
?af(x)dx??af(x)dx??cbcbf(x)dx?
這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性?
值得注意的是不論a ?b ?c的相對位置如何總有等式
?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx?
天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 cbcbcb成立? 例如? 當a 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 于是有 ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??c?a1dx??adx?b?a? ?af(x)dx?0(a?b)? ?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)? ?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0? ?af(x)dx??ag(x)dx? bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx? 性質(zhì) 4如果在區(qū)間[a b]上f(x)?1 則 性質(zhì) 5如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)?0? 則 推論 1如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)? g(x)則 這是因為g(x)?f(x)?0? 從而 所以 推論2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)? 這是因為?|f(x)| ? f(x)? |f(x)|???所以 ??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx? 即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx|?? 性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a??b]上的最大值及最小值? 則 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)? 證明 因為 m? f(x)? M ? 所以 從而 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 性質(zhì)7(定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a??b]上連續(xù)? 則在積分區(qū)間[a??b]上至少存在一個點??? 使下式成立? bbbbbbb? ?amdx??af(x)dx??aMdxbbb天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b這個公式叫做積分中值公式? 證明 由性質(zhì)6 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 各項除以b?a 得 b m?1?af(x)dx?M? b?ab再由連續(xù)函數(shù)的介值定理? 在[a??b]上至少存在一點? ? 使 b f(?)?1?af(x)dx? b?a于是兩端乘以b?a得中值公式 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b 積分中值公式的幾何解釋? 應(yīng)注意? 不論a 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 2 微積分基本公式 一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)物體從某定點開始作直線運動? 在t時刻所經(jīng)過的路程為S(t)? 速度為v?v(t)?S?(t)(v(t)?0)? 則在時間間隔[T1? T2]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為 S(T2)?S(T1)及?T2v(t)dt? 1T即 ?T2v(t)dt?S(T2)?S(T1)? 1T 上式表明? 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1? T2]上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間[T1? T2]上的增量? 這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？ 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 并且設(shè)x為[a? b]上的一點??我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間[a? x]上的定積分 ?af(x)dx xx稱為積分上限的函數(shù)? 它是區(qū)間[a? b]上的函數(shù)? 記為 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt? 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù) ?(x)??af(x)dx 在[a? b]上具有導(dǎo)數(shù)? 并且它的導(dǎo)數(shù)為 x ??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x dxxx 簡要證明 若x?(a? b)? 取?x使x??x?(a? b)? ????(x??x)??(x)??a ??af(t)dt??xxx??xx??xf(t)dt??af(t)dt xf(t)dt??af(t)dt x天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ??xx??xf(t)dt?f(?)?x? 應(yīng)用積分中值定理? 有???f(?)?x? 其中?在x 與x??x之間? ?x?0時? ??x ? 于是 ??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)? ?x?0?x?x?0??x 若x?a ? 取?x>0? 則同理可證???(x)? f(a)? 若x?b ? 取?x<0? 則同理可證???(x)? f(b)? 定理 2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù) ?(x)??af(x)dx 就是f(x)在[a? b]上的一個原函數(shù)? 定理的重要意義? 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的? 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系? 三、牛頓??萊布尼茨公式 定理 3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的一個原函數(shù)? 則 x?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb此公式稱為牛頓??萊布尼茨公式? 也稱為微積分基本公式? 這是因為F(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)? ?所以存在常數(shù)C? 使 F(x)??(x)?C(C為某一常數(shù))? 由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb 證明? 已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)? 又根據(jù)定理2? 積分上限函數(shù) ?(x)??af(t)dt 也是f(x)的一個原函數(shù)? 于是有一常數(shù)C? 使 F(x)??(x)?C(a?x?b)? 當x?a時? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 當x?b 時? F(b)??(b)?F(a)? 所以?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? b 為了方便起見? 可把F(b)?F(a)記成[F(x)]ba? 于是天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 a?F(b)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bb 進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系? 例1.計算?0x2dx? 解? 由于1x3是x2的一個原函數(shù)? 所以 1?1213131xdx?[1x3]10??1??0?? 03333 3例2 計算??1dx2? 1?x 解 由于arctan x是12的一個原函數(shù)? 所以 1?x ??13 ??(? ?)?7?? dx?[arctanx]3??arctan3?arctan(?1)?134121?x2? 1例3.計算??21dx? x 解? 1?2?ln 1?ln 2??ln 2????2xdx?[ln|x|]??11 例4.計算正弦曲線y?sin x在[0? ?]上與x軸所圍成的平面圖形的面積? 解? 這圖形是曲邊梯形的一個特例? 它的面積 A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2?? 例5.汽車以每小時36km速度行駛? 到某處需要減速停車?設(shè)汽車以等加速度a??5m/s2剎車? 問從開始剎車到停車? 汽車走了多少距離？ 解 從開始剎車到停車所需的時間? 當t?0時? 汽車速度 v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s? 3600剎車后t時刻汽車的速度為 v(t)?v0?at ?10?5t ? 當汽車停止時? 速度v(t)?0? 從 v(t)?10?5t ?0 得? t?2(s)? 于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為 2?10(m)? s??0v(t)dt??0(10?5t)dt?[10t?5?1t2]0222?天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 即在剎車后? 汽車需走過10m才能停住? 例6.設(shè)f(x)在[0, ??)內(nèi)連續(xù)且f(x)>0? 證明函數(shù)F(x)?在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)? xx 證明? d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故 dxdx?0tf(t)dt x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)xx2xx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)x2x? 按假設(shè)? 當0?t?x時f(t)>0?(x?t)f(t)? 0 ? 所以 ?0f(t)dt?0? x?0(x?t)f(t)dt?0? ?cosxe?tdtx212從而F ?(x)>0(x>0)? 這就證明了F(x)在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)? 例7.求limx?0? 解? 這是一個零比零型未定式? 由羅必達法則? limx?0?cosxe?tdtx2x212limx?0??1cosx?t2edtx2?cosx?limsinxe?1? x?02x2e2提示? 設(shè)?(x)??1e?tdt? 則?(cosx)??1cosx?t2edt? dcosxe?t2dt?d?(cosx)?d?(u)?du?e?u2?(?sinx)??sinx?e?cos2x? dx?1dxdudx 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 3 定積分的換元法和分部積分法 一、換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 函數(shù)x??(t)滿足條件? (1)?(??)?a ? ?(?)?b? (2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且其值域不越出[a? b]? 則有 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 這個公式叫做定積分的換元公式? 證明 由假設(shè)知? f(x)在區(qū)間[a? b]上是連續(xù)? 因而是可積的? f [?(t)]??(t)在區(qū)間[?? ?](或[?? ?])上也是連續(xù)的? 因而是可積的? 假設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)? 則 b??af(x)dx?F(b)?F(a)? 另一方面? 因為{F[?(t)]}??F ?[?(t)]??(t)? f [?(t)]??(t)? 所以F[?(t)]是f [?(t)]??(t)的一個原函數(shù)? 從而 b??f[?(t)]??(t)dt?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)? 因此 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 例1 計算?0a2?x2dx(a>0)? 解 ab???0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt ? ?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt 20??天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 22?1?a2? ?a[t?1sin2t]0224?提示? a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?a cos t ? 當x?0時t?0? 當x?a時t???? 例2 計算?02cos5xsinxdx? 解 令t?cos x? 則 ???20cosxsinxdx???02cos5xdcosx 011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1? 令cosx?t提示? 當x?0時t?1? 當x??時t?0? 2或 ?20?cosxsinxdx???02cos5xdcosx 5??2??1cos6??1cos60?1? ??[1cos6x]066266 例3 計算?0sin3x?sin5xdx? 解 ??0?sin3x?sin5xdx??0sin2x|cosx|dx ?3? ??2sin2xcosxdx???sin2xcosxdx 02?3 ??32sin20?xdsinx??3?2?sin2xdsinx ?55?222 ?[sinx]0?[sin2x]??2?(?2)?4? 555525提示? sinx?sinx?sinx(1?sin35323x)?sin2x|cosx|? 在[0, ?]上|cos x|?cos x? 在[?, ?]上|cos x|??cos x? 4例4 計算?x?2dx? 02x? 1解 ?04x?2dx 令2x?1t2?1?232x?1?t32 ?1?tdt?1?1(t2?3)dt t2312711122? ?[t3?3t]1?[(?9)?(?3)]?232333天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 2t提示? x??1? dx?tdt? 當x?0時t?1? 當x?4時t?3? 2例5 證明? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為偶函數(shù)? 則 ??af(x)dx?2?0aaaf(x)dx? 0a 證明 因為??af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx? 而 所以 ??af(x)dx a0令x??t ??af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx? a0aa??af(x)dx??0aaf(?x)dx??0f(x)dx aa ??0[f(?x)?f(x)]dx???a2f(x)dx?2?0f(x)dx? 討論? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為奇函數(shù)? 問??af(x)dx?？ 提示? 若f(x)為奇函數(shù)? 則f(?x)?f(x)?0? 從而 a??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx?0? ??aa 例6 若f(x)在[0? 1]上連續(xù)? 證明 (1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx?(2)?0xf(sinx)dx? ?2??0?f(sinx)dx? 證明(1)令x???t? 則 ?02f(sinx)dx????2??0f[sin(??t)]dt 2? ??2f[sin(??t)]dt??2f(cosx)dx? 002(2)令x???t? 則 ?0?0xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt ????t)]dt??0(??t)f(sint)dt ??0(??t)f[sin（???0f(sint)dt??0tf(sint)dt 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 ??高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx? 所以 ???0xf(sinx)dx?2?0? ??f(sinx)dx? ?x2?4?xe x?0 例7 設(shè)函數(shù)f(x)??1? 計算?1f(x?2)dx?? ?1?x?0??1?cosx 解 設(shè)x?2?t? 則 ?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt ?01?cost220 ?[tant]?1?[1e?t]0?tan1?1e?4?1? 22222提示? 設(shè)x?2?t? 則dx?dt? 當x?1時t??1? 當x?4時t?2? 二、分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a? b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u?(x)、v?(x)? 由 (uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 式兩端在區(qū)間[a? b]上積分得 ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式? 分部積分過程? ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ? ?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例1 計算? 解 12arcsinxdx? 0 ?12arcsinxdx0112?[xarcsinx]0??12xdarcsinx0 ?1????02xdx 261?x21? ???021221d(1?x2) 1?x21?22???3?1? ??[1?x]012122 例2 計算?0exdx? 解 令x?t? 則 1?0e1xdx?2?0ettdt 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 1高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?2?0tdet ?2[tet] 0 ?2?0etdt ?2e?2[et] 0 ?2? 例3 設(shè)In??02sinnxdx? 證明 (1)當n為正偶數(shù)時? In?n?1?n?3???3?1??? nn?242 2(2)當n為大于1的正奇數(shù)時? In?n?1?n?3???4?2? nn?2 53證明 In??2sinnxdx01111?????02sinn?1xdcosx n?1 ?2x] 0? ??[cosxsin???02cosxdsinn?1x ?? ?(n?1)?02cos2xsinn?2xdx?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1? 2m?12m?12m?353而I0??02dx??? I1??02sinxdx?1? 2因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2??2m?12m?12m?353? 例3 設(shè)In??02sinnxdx(n為正整數(shù))? 證明 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 ?????高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?353 證明 In??02sinnxdx???02sinn?1xdcosx ??[cosxsin?n?1 ?2x] 0???(n?1)?02cos2xsinn?2xdx ? ?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1?I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?I1? 2m?12m?12m?353特別地 I0??2dx??02???? I1??02sinxdx?1? ?因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?3 53天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 4 反常積分 一、無窮限的反常積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上連續(xù)? 取b>a ? 如果極限 b???lim?af(x)dx ??b存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分? 記作?af(x)dx? 即 ?a這時也稱反常積分?af(x)dx收斂???????f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 如果上述極限不存在? 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分?af(x)dx就沒有意義? 此時稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b ]上連續(xù)? 如果極限 a???????lim?af(x)dx(a bb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(??? b ]上的反常積分? 記作???f(x)dx? 即 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ???f(x)dx?alim?f(x)dx? ???a這時也稱反常積分???f(x)dx收斂??如果上述極限不存在? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? ??)上連續(xù)? 如果反常積分 bbbb???f(x)dx和?0f(x)dx 都收斂? 則稱上述兩個反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(??? ??)上的反常積分? 記作 0?????f(x)dx? 即 ???f(x)dx????f(x)dx??00a???????0??f(x)dx b ?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? b???這時也稱反常積分???f(x)dx收斂? 如果上式右端有一個反常積分發(fā)散? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散? 定義1? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上的反常積分定義為 ?????a??f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散? 類似地? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b]上和在區(qū)間(??? ??)上的反常積分定義為 ???f(x)dx?lim?af(x)dx? a???bb???f(x)dx?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? a???b?????0b 反常積分的計算? 如果F(x)是f(x)的原函數(shù)? 則 ?a??f(x)dx?lim?af(x)dx?lim[F(x)]ba b???b???b ?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)? b???x???可采用如下簡記形式? 類似地 ?a???f(x)dx?[F(x)]?a?limF(x)?F(a)? x??????F(b)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]bx???b天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ????limF(x)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]?x???x??????? 例1 計算反常積分???12dx? 1?x 解 ??? ???1?1x2dx?[arctanx]??? ?limarctanx?limarctanx x???x??? ? ??(? ?)??? 例2 計算反常積分?0te?ptdt(p是常數(shù)? 且p>0)? 解 ???0??????te?ptdt?[?te?ptdt]0?[?1?tde?pt]0 p?? ?[?1te?pt?1?e?ptdt]0pp?? ?[?1te?pt?12e?pt]0pp ?lim[?1te?pt?12e?pt]?12?12? t???pppp提示? limte?pt?limtpt?lim1pt?0? t???t???et???pe 例3 討論反常積分?a 解 當p?1時? 當p<1時? 當p>1時? ??1dx(a>0)的斂散性? xp?a??1dx???1dx?[lnx] ?????? a?axxp?a??1dx?[1x1?p] ?????? a1?pxp?a??1dx?[1x1?p] ???a1?p? a1?pp?1xp1?p 因此? 當p>1時? 此反常積分收斂? 其值為a? 當p?1時? 此反常積分發(fā)散? p? 1二、無界函數(shù)的反常積分 定義 2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 而在點a的右鄰域內(nèi)無界? 取?>0? 如果極限 t?alimf(x)dx ??tbb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 這時也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b)上連續(xù)? 而在點b 的左鄰域內(nèi)無界? 取?>0? 如果極限 t?bbblimf(x)dx ??abt存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在[a? b)上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt這時也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上除點c(a 都收斂? 則定義 cb?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx? 否則? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 瑕點? 如果函數(shù)f(x)在點a的任一鄰域內(nèi)都無界? 那么點a稱為函數(shù)f(x)的瑕點? 也稱為無界 定義2? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 點a為f(x)的瑕點? 函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分定義為 bbcb?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散? 類似地?函數(shù)f(x)在[a? b)(b為瑕點)上的反常積分定義為 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt 函數(shù)f(x)在[a? c)?(c? b](c為瑕點)上的反常積分定義為 ?af(x)dx?tlim??ca?btf(x)dx?limf(x)dx? ??tt?cb反常積分的計算? 如果F(x)為f(x)的原函數(shù)? 則有 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?lim[F(x)]bt ?t?a ?F(b)?limF(t)?F(b)?limF(x)? ??t?ax?a可采用如下簡記形式? a?F(b)?limF(x)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?a?b類似地? 有 a?limF(x)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?b?b當a為瑕點時??af(x)dx?[F(x)]bF(x)? a?F(b)?lim?x?ab當b為瑕點時??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?F(a)? a?lim?x?bb當c(a?c?b)為瑕點時? F(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]? ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?[xlim?cx?c??bcb 例4 計算反常積分? 解 因為lim?x?aa01dx? 2a?x21???? 所以點a為被積函數(shù)的瑕點? a2?x ?0a1a?limarcsinx?0??? dx?[arcsinx] 0a2x?a?aa2?x2 1例5 討論反常積分??112dx的收斂性? x 解 函數(shù)12在區(qū)間[?1? 1]上除x?0外連續(xù)? 且lim12??? x?0xx0 0 由于??112dx?[?1]??lim(?1)?1???? 1?xxx?0x01即反常積分??112dx發(fā)散? 所以反常積分??112dx發(fā)散? xx 例6 討論反常積分?a 解 當q?1時? 當q?1時? bbbdx的斂散性? (x?a)qdx?bdx?[ln(x?a)] b???? a?a(x?a)q?ax?adx?[1(x?a)1?q] b???? a?a(x?a)q1?q天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 當q?1時? dx?[1(x?a)1?q] b?1(b?a)1?q? a?a(x?1?qa)q1?qb 因此? 當q<1時? 此反常積分收斂? 其值為1(b?a)1?q? 當q?1時? 此反常積分發(fā)散? 1?q 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 教學(xué)目的 第六章 定積分的應(yīng)用 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。 3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點： 1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。 2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點： 1、截面面積為已知的立體體積。 2、引力。 §6? 1 定積分的元素法 回憶曲邊梯形的面積? 設(shè)y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分? A??af(x)dx b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù) A(x)??af(t)dt x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素? 以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式? 以 [a? b]為積分區(qū)間的定積分? A??af(x)dx ? b 一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區(qū)間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設(shè)dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達式? 以[a? b]為積分區(qū)間求定積分即得 U??af(x)dx? b 用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 §6? 2 定積分在幾何上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積 1．直角坐標情形 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為 S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ? 類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設(shè)平面圖形的面積為? S??c[?右(y)??左(y)]dy? 例1 計算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積?? 解(1)畫圖?? (2)確定在x軸上的投影區(qū)間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2? (4)計算積分 db1?? S??(x?x)dx?[2x2?1x3]1?0033321 3例2 計算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積?? 解(1)畫圖?? (2)確定在y軸上的投影區(qū)間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4? 2(4)計算積分?4?18? S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?222y 例3 求橢圓x2?2?1所圍成的圖形的面積? ab 解 設(shè)整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為[0? a]? 因為面積元素為ydx? 所以 2S?4?0ydx? a橢圓的參數(shù)方程為: x?a cos t ? y?b sin t ? 于是 S?4?0ydx?4??bsintd(acost) 2a0三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 ??4ab??sintdt?2ab?02(1?cos2t)dt?2ab???ab?? 2202? 2．極坐標情形 曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素? 由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為 dS?1[?(?)]2d?? 2曲邊扇形的面積為 ?S???1[?(?)]2d?? 2 例4.計算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應(yīng)于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積? 2?2??4a2?3? 解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]02332 例5.計算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積? ?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d? 22232 ?a2[3??2sin??1sin2?]?0?a?? 242 二、體 積 1．旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸? 常見的旋轉(zhuǎn)體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體? 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 設(shè)過區(qū)間[a? b]內(nèi)點x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)? 當平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ? 于是體積元素為 dV ? ?[f(x)]2dx ? 旋轉(zhuǎn)體的體積為 V??a?[f(x)]2dx? 例 1連接坐標原點O及點P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個直角三角形? 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體? 計算這圓錐體的體積? 解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx? h 所求圓錐體的體積為 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 b高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 22hr?r?1?hr2? V??0?(x)dx?2[1x3]0h3h32y2x 例2? 計算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積? ab 解: 這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓 h y?ba2?x2 a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體? 體積元素為dV? ? y 2dx ? 于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 22a2 V???b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab? ?a33aa 例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積? 解 所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 Vx??0?y2dx???0a2(1?cost)2?a(1?cost)dt ??a3?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt ?5? 2a 3? 所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差? 設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則 22(y)dy??0?x1(y)dy Vy??0?x22a2a2?2?a2? ???2?a2(t?sint)2?asintdt???0a2(t?sint)2?asintdt ???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ? 2．平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[a? b]? 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為 V??aA(x)dx? 例4 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計算這平面截圓柱所得立體的體積? 解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形? 兩個直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 b2???高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為 2RR2R3tan?? V???R1(R2?x2)tan?dx?1tan?[R2x?1x3]?R?223 3例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積? 解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點x(?R A(x)?h?y?hR2?x2? 于是所求正劈錐體的體積為 V???RhR2?x2dx?2R2h?2co2s?d??1?R2h?? 02R? 三、平面曲線的弧長 設(shè)A? B 是曲線弧上的兩個端點? 在弧AB上任取分點A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線? 當分點的數(shù)目無限增加且每個小段Mi?1Mi都縮向一點時? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線i?1n弧AB是可求長的? 定理 光滑曲線弧是可求長的? 1．直角坐標情形 設(shè)曲線弧由直角坐標方程 y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區(qū)間[a? b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度? 取橫坐標x為積分變量? 它的變化區(qū)間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應(yīng)于[a? b]上任一小區(qū)間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(x? f(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應(yīng)的小段的長度為 (dx)2?(dy)2?1?y?2dx? 從而得弧長元素(即弧微分) ds?1?y?2dx? 以1?y?2dx為被積表達式? 在閉區(qū)間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為 s??a1?y?2dx? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 b高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 在曲率一節(jié)中? 我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此 例1? 計算曲線y?2x2上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度? 3解? y??x2? 從而弧長元素 13ds?1?y?2dx?1?xdx? 因此? 所求弧長為 s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]? 3333 3例2? 計算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度? c 解? y??shx? 從而弧長元素為 cds?1?sh2xdx?chxdx? cc因此? 所求弧長為 bbb? s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc 2．參數(shù)方程情形 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? dy??(t)因為? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt? ??(t)所求弧長為 s?????2(t)???2(t)dt? ? 例3? 計算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度?? 解? 弧長元素為 ?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind?? 2所求弧長為 2?s??02asin?d??2a[?2cos?]0?8a? 222?三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 3．極坐標情形 設(shè)曲線弧由極坐標方程 ???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 由直角坐標與極坐標的關(guān)系可得 x??(?)cos??? y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為 ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d?? 從而所求弧長為 s?????2(?)???2(?)d?? 例4? 求阿基米德螺線??a?(a>0)相應(yīng)于? 從0到2? 一段的弧長? 解? 弧長元素為 ds?a2?2?a2d??a1??2d?? 于是所求弧長為 2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]? 作業(yè)：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 §6? 3 功 水壓力和引力 一、變力沿直線所作的功 例 1把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處? 它產(chǎn)生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學(xué)知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為 F?kq(k是常數(shù))? r2當這個單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動到r?b(a 解: 在r軸上? 當單位正電荷從r移動到r+dr時? 電場力對它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 qdr? r2qdr? r2bkq2W??a11dr?kq[?1]ba?kq(?)? rabr 例2? 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹? 把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功? 解? 取坐標系如圖? 活塞的位置可以用坐標x來表示? 由物理學(xué)知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k ? 即 pV?k 或p?k? V 在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為 F?p?S?k?S?k? xSx當活塞從x移動到x?dx時? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx? x于是所求的功為 bbW??akdx?k[lnx]ba?kln? xa 例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內(nèi)盛滿了水? 試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？ 解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區(qū)間為[0? 5]? 相應(yīng)于[0? 5]上任小區(qū)間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 dW?88?2??x?dx? 此即功元素? 于是所求的功為 225(kj)? xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22 5二、水壓力 從物理學(xué)知道? 在水深為h處的壓強為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側(cè)所受的水壓力為 P?p?A? 如果這個平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點處壓強p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算? 例4? 一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內(nèi)盛有半桶水? 設(shè)桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ? 計算桶的一個端面上所受的壓力? 解? 桶的一個端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標系如圖? 在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為 dP?2?xR2?x2dx? 所求壓力為 P??02 ? xR?xdx????(R03R?2rR3? ???[2(R2?x2)2]033R22R2122?x)d(R2?x2) 三、引力 從物理學(xué)知道? 質(zhì)量分別為m 1、m 2? 相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為 F?Gm1m2? r2其中G為引力系數(shù)? 引力的方向沿著兩質(zhì)點連線方向? 如果要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力? 那么? 由于細棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的? 且各點對該質(zhì)點的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計算? 例5? 設(shè)有一長度為l、線密度為?的均勻細直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M? 試計算該棒對質(zhì)點M的引力? 解? 取坐標系如圖? 使棒位于y軸上? 質(zhì)點M位于x軸上? 棒的中點為原點O? 由對稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區(qū)間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點取長為dy 的一小段? 其質(zhì)量為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于2222是在水平方向上? 引力元素為 dFx?Gm?dyam?dy?a?? ??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 定積分的應(yīng)用 引力在水平方向的分量為 Fx???2lG?2l2Gm?lam?dy1???? 223/222a(a?y)4a?l 作業(yè)：P292：3（2），6 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 重積分 【教學(xué)目標與要求】 1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。 3.掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。 4.會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。 【教學(xué)重點】 1.二重積分的計算（直角坐標、極坐標）； 2.三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。 【教學(xué)難點】 1.利用極坐標計算二重積分； 2.利用球坐標計算三重積分； 3.物理應(yīng)用中的引力問題。 【教學(xué)課時分配】(10學(xué)時)第1 次課 §１ 第2 次課 §2 第3 次課 §3 第4 次課 §4 第5次課 習(xí)題課 【參考書】 [1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 §10? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 【回顧】定積分 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積? (1)分割：用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個小區(qū)間? [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為 f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? （3）作和：曲邊梯形面積A的近似值為 A??f(?)?x? iii?1nn(4)取極限：記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為 A?lim??0?f(?)?x? iii?1則 ?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、引例 1? 曲頂柱體的體積V 設(shè)有一立體? 它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D? 其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面? 其頂是曲面z?f(x? y)非負連續(xù)? 稱為曲頂柱體? 若立體的頂是平行于xoy面的平面。 體積=底面積?高 現(xiàn)在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積? （i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域 ： ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 （ii）代替：在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為高而底為?? i的平頂柱體的體積為 f(? i ? ? i)??i (i?1? 2? ? ? ? ? n)? （iii）近似和： 整個曲頂柱體體積V V??f(?i,?i)??i? i?1n分割得越細, 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得“無限細”, 則右端近似值會無限接近于精確值V.（iv）取極限： 記 ??max{?i的直徑},1?i?n 其中??i的直徑是指??i中相距最遠的兩點的距離。則 V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i ??0i?1n2?平面薄片的質(zhì)量? 當平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時，質(zhì)量 = 面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時, 薄板的質(zhì)量不能用上述公式算, 應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M? 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x,y)? 這里?(x,y)非負連續(xù)? 現(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M? （i）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域： ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? （ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量? mi??(? i ? ? i)?? i ? （iii）近似和： 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值? M???(?i,?i)??i? i?1n高等數(shù)學(xué)教案 重積分 將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限： 記 ??max{?的直徑},i1?i?n 則 M?lim??(?i,?i)??i? ??0i?1n兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同： “分割, 代替,近似和,取極限” (2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同 曲頂柱體體積: V?lim?f(?i,?i)??i ??0i?1n平面薄片的質(zhì)量: M?lim??(?i,?i)??i ??0i?1n二、二重積分的定義及可積性 定義： 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 其中?? i表示第i個小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和 ?f(?i,?i)??i? i?1n如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作 ??f(x,y)d?? 即 D lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和? 直角坐標系中的面積元素? 如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 ??f(x,y)dxdy D其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素? 二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的? 說明：當函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時? 則f(x? y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計算：三.二重積分的性質(zhì) 設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì)1 ??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。 D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d?? DDD性質(zhì)2 設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d? DD??1?d????d??|D|，其中(|D|為D的面積)? DD性質(zhì)4 設(shè)D?D1?D2，且D1,D2無公共內(nèi)點，則 ??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?? DD1D2性質(zhì)5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則 ??f(x,y)d????g(x,y)d?? DD特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，則 ??f(x,y)d??0 D （2）|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d?? DD 這是因為?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)| 性質(zhì)6 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? |D|為D的面積? 則 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 m|D|???f(x,y)d??M|D|? D 性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?,?)?D，使 例2.比較下列積分的大?。??f(x,y)d??f(?,?)?? D??(x?y)d?，??(x?y)d?，DD23其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?2} 小結(jié) 1.二重積分的定義： n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i)，(d??dxdy2.二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似） 教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題 在教學(xué)過程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義、性質(zhì)進行比較，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。 師生活動設(shè)計 1.比較下列積分值的大小關(guān)系：I1?2x?y?1??|xy|dxdy，I22?|x|?|y|?1??|xy|dxdy，I3??1?1?1?1|xy|dxdy 22(sinx?cosy)d??2，其中D為0?x?1,0?y?1。??D2.證明：1?講課提綱、板書設(shè)計 作業(yè) P137: 4（1）（3），5（1）（4） §10? 2 二重積分的計算法 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 一、利用直角坐標計算二重積分 X??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? a?x?b ? Y ??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 混合型區(qū)域? 設(shè)f(x? y)?0? D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 此時二重積分柱體的體積? 對于x0?[a? b]? 曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為 A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的曲頂D??(x)1f(x0,y)dy? 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為 V?即 V?可記為 ?aA(x)dx??a[??(x)b?2(x)a?1(x)bb?2(x)f(x,y)dy]dx? ??f(x,y)d???[?Dbf(x,y)dy]dx? ??f(x,y)d???adx??(x)D1?2(x)f(x,y)dy? 類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 則有 ??f(x,y)d???dy?Dcd?2(y)?1(y)f(x,y)dx? 例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y? 1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域? D 解? 畫出區(qū)域D? 方法一? 可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是 422y2x1xx1293?[?]?? ?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy? D11112x2x高等數(shù)學(xué)教案 重積分 解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是 422y3x22y29??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? 222D 例2? 計算??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直線y? 1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)域? 解 畫出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是 11[(1?x2?y2)2]1dx??11(|x|3?1)dx ??y1?x?yd??dxy1?x?ydyx????1?x3??13??1221122D31???(x3?1)dx?? 302 也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x ??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx? 例3 計算 2xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y?x所圍成的閉區(qū)域? ?? 解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2? 其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1 ??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy? 積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是 ??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy ?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2 ?[?y?2y?]?1?5? 24368討論積分次序的選擇? 例 4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積? 解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為 x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了? 第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w? 于是 V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx 16R3? 22(R?x)dx??03 二? 利用極坐標計算二重積分 ?8R 有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標變量?、? 表達比較簡單? 這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分 lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d?? 按二重積分的定義??f(x,y)d????0DnDi? 1下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式? 以從極點O出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為? 111222??(?i???i)???i???i??i??i??i? ?i2其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值? 在??i內(nèi)取點(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標為(? i? ? i)? 則有 ??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i ?i??i cos?i? ?i??i sin?i? lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i? ?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim??0即 ??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d?? DD若積分區(qū)域D可表示為? 1(?)???? 2(?)? ?????? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 則 ??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d?? 討論?如何確定積分限? ??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d?? ??f(?cos?,?sin?)?d?d???d???xe??D2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d?? 例5? 計算域? ?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū) 解 在極坐標系中? 閉區(qū)域D可表示為 0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d? 0002D22?a22??(1?e?a) 注? 此處積分 122?022?d???(1?e?a)? dxdy? 2??e?xD22?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2??e?x?y2 利用x2?y2?a2?xe???y2dxdy??(1?e?a)計算廣義積分?e?xdx? 02??2 設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}? 顯然D1?S?D2? 由于e?x 2?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式 2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy? 因為 ??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2? 000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 ??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)? 42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)? 42于是上面的不等式可寫成?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)? ?404令R???? 上式兩端趨于同一極限 ?? 從而??e?x2dx??? ?4 02 例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積? 解 由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍? V?4??D4a2?x2?y2dxdy? 其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域? 在極坐標系中D可表示為 0???2a cos? ? 0???于是 V?4 ?? 22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d? 3232?2 ?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)? 03323 小結(jié) 1.二重積分化為累次積分的方法； 2.積分計算要注意的事項。 教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題 在教學(xué)過程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標和極坐標，以及在計算時要注意事項，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。 師生活動設(shè)計 1.設(shè)f(x)?C[0,1]，且?f(x)dx?A，求I??dx?f(x)f(y)dy。 00x111?2.交換積分順序I??2??2d??acos?0f(r,?)dr，(a?0) 講課提綱、板書設(shè)計 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 作業(yè) P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2） §10?3 三重積分 一、三重積分的概念 定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個小閉區(qū)域： ?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn 其中?vi表示第i個小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和 ?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv? 即 ?高等數(shù)學(xué)教案 重積分 lim?f(?i,?i,?i)?vi? ???f(x,y,z)dv???0i?1?n 三重積分中的有關(guān)術(shù)語? ???——積分號? f(x? y? z)——被積函數(shù)? f(x? y? z)dv——被?積表達式? dv體積元素? x? y? z——積分變量? ?——積分區(qū)域? 在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作 ???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz? ?? 當函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的? ??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的? 三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似? 比如 ???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv? ??? ?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv? ?1?2? ???dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計算 1? 利用直角坐標計算三重積分 三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d? ?dxb?a?y(x)[?z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? ?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)高等數(shù)學(xué)教案 重積分 即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz? 其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 提示? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 計算???f(x,y,z)dv? ?基本思想? 對于平面區(qū)域D? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)? z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數(shù)F(x? y)? F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz? 然后計算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的三重積分? ??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy? 則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d? z2(x,y) 1?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? f(x,y,z)dz? ?dx即 ?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)???f(x,y,z)dv??adx?y(x)dy?z(x,y)?11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 例1 計算三重積分域? 解 作圖? 區(qū)域?可表示為: 0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? ???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區(qū)?12高等數(shù)學(xué)教案 重積分 于是 ???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00? ??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0 111? ??(x?2x2?x3)dx?4048 討論? 其它類型區(qū)域呢? 有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個平面閉區(qū)域? 則有 ???f(x,y,z)dv??cdz??f(x,y,z)dxdy? ?1c2Dz2y2z2x 例2 計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉 abc?2區(qū)域? 解 空間區(qū)域?可表為: x2?y2?1?z 2? ?c? z?c? ab2c2于是 ????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3? ?c?c15cD2?c2??zc 練習(xí)： 例3? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為三次積分? 其中 (1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? (2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域? (3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域? 例4? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為先進行二重積分再進行定積分的形式? 其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? 2? 利用柱面坐標計算三重積分 設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點? 并設(shè)點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數(shù)?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 0?? 坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義? 點M 的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系? ?x??cos?? x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin? ??z?z 柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz? 簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz? 柱面坐標系中的三重積分? ???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz? ?? 例5利用柱面坐標計算三重積分圍成的閉區(qū)域? 解 閉區(qū)域?可表示為? ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 于是 ???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y與平面z?4所 2????zdxdydz????z?d?d?dz ??1d??(16??4)d? d??d?zdz??0?0??2?02?01164?? ??2?[8?2??6]2?026 3?2422?2? 3? 利用球面坐標計算三重積分 設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r、?、? 來確定? 其中 r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數(shù)r、?、??? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為 0?r 坐標面r?r0? ???0? ???0的意義，點M的直角坐標與球面坐標的關(guān)系? ?x?rsin?cos?? x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin? ??z?rcos?高等數(shù)學(xué)教案 重積分 球面坐標系中的體積元素? dv?r2sin?drd?d? ? 球面坐標系中的三重積分? ???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?? ?? 例6 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積? 解 該立體所占區(qū)域?可表示為? 0?r?2acos?? 0????? 0???2?? 于是所求立體的體積為 V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr ?2??0?sin?d??2acos?0r2dr 316?a ?33??034cos?sin?d??4?a(1?cosa)? 3提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos?? 小結(jié) 1.三重積分的定義和計算； 2.換元積分公式。 教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題 在教學(xué)過程中要注意三重積分的定義和計算以及換元積分公式的應(yīng)用，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。 師生活動設(shè)計 1.將I????f(x,y,z)dv?用三次積分表示，其中?由六個平面x?0,x?2,y?1,x?2y?4,z?x,z?2所圍成，f(x,y,z)?C(?)。 2.設(shè)?由錐面z?2I???(x?y?z)dv ??x2?y2和球面x2?y2?z2?4所圍成，計算講課提綱、板書設(shè)計 作業(yè) P164: 4，5，7，9（1）高等數(shù)學(xué)教案 重積分 §10? 4 重積分的應(yīng)用 一、曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ? 在區(qū)域D內(nèi)任取一點P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則 dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d?? xycos?這就是曲面S的面積元素? 于是曲面S 的面積為 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 或 A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy? ?x?y 設(shè)dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以 dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d?? n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1? 討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？ A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz? ?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx? ?z?x或 A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域? Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域? 例1 求半徑為R的球的表面積? 提示? ?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2?? 222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y 解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍? 上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而 ?y?z??x?z?? ? 222222?x?yR?x?yR?x?y所以 A?22x?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2 ?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?yR0 ?22x?y2?R2?? ??4?RR2??2 ?4?R2? 例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與高等數(shù)學(xué)教案 重積分 地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)? 二、質(zhì)心 設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標? 在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d?? 平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d?? DD 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是 x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D? 提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？ 求平面圖形的形心公式為 ??xd? x?D??yd?? y?D??d?D??d?D? 例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心? 解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 因為 2yd???????sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7?? ??d????22???12?3?? D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)? 3??d?3? 3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標是 x?1M1? x?(x,y,z)dvy????M?1? y?(x,y,z)dvz????M????z?(x,y,z)dv? ? 其中M?????(x,y,z)dv? ? 例4 求均勻半球體的質(zhì)心? 提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2?? 2?2?a???dv???2?2d?00??d??rsin?dr??2sin?d??d??r2dr?2?a? 00003a2???zdv??02d??0??2?42?a1a132d??rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??? 0002420a2? 三、轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量? 在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為 dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ? 整片平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為 Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d?? DD高等數(shù)學(xué)教案 重積分 例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量? 解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix ? Ix????y2d??????2sin2???d?d? DD ?? ?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d? 4031?a4???1Ma2? 4241?a2?為半圓薄片的質(zhì)量? 2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 Ix? Iy? Iz????(y2?z2)?(x,y,z)dv? ??22(z?x)?(x,y,z)dv? ??????(x2?y2)?(x,y,z)dv? ? 例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量? 解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域 ??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}? 所求轉(zhuǎn)動慣量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz ? Iz????(x2?y2)? dv ? ?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d? ? ??8?a5??2a2M? 4rsin?drd?d???d?sin? d?rdr?????0?0?0515?432??3a其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量? 3提示? x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2?? 四、引力 我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力問題? 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)? 在物體內(nèi)任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力近似地為 dF?(dFx,dFy,dFz) ?(G其中?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dF dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)? dFx、dFy、dFz為引力元素 在三個坐標軸上的分量? r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)? 例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力? 解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為 Fz????G?0?z?adv [x2?y2?(z?a)2]3/ ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z22 ?G?0(z?a)dz?d??0R?d?[??(z?a)]23/20 ?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?a1R(z?a)dR2?2az?a2] a??R32R ?2G??0(?2R?2R?2) 3a4?R3??1??GM ??G?? 023aa2 ?2?G?0[?2R?高等數(shù)學(xué)教案 重積分 其中M?4?R3?0為球的質(zhì)量? 3上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點間的引力? 小結(jié) 1.曲面面積的計算； 2.質(zhì)心的計算； 3.轉(zhuǎn)動慣量的定義和求解。 教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題 在教學(xué)過程中要注意曲面面積的計算，質(zhì)心的計算，轉(zhuǎn)動慣量的定義和求解，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。 師生活動設(shè)計 1.設(shè)有一高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程2(x2?y2)，設(shè)長度單位為厘米, 時間單位為小時, 已知體積減少的速率與側(cè)z?h(t)?h(t)面積成正比(比例系數(shù) 0.9), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要多少小時?(2001考研)講課提綱、板書設(shè)計 作業(yè) P175: 1，2，4（1），7（1） 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 習(xí)題課 一、重積分計算的基本方法 —— 累次積分法 1.選擇合適的坐標系 使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序 積分域分塊要少, 累次積分易算為妙.3.掌握確定積分限的方法 圖示法；列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點) 二、重積分計算的基本技巧 1.交換積分順序的方法 2.利用對稱性或重心公式簡化計算 3.消去被積函數(shù)絕對值符號 4.利用重積分換元公式 三、重積分的應(yīng)用 1.幾何方面 面積(平面域或曲面域), 體積 , 形心 2.物理方面 質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心, 引力 3.其它方面 四、例題分析 1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個薄片的重心恰好落在圓心上 ,問接上去的均勻矩形薄片的另一邊長 高等數(shù)學(xué)教案 重積分 度應(yīng)為多少? 2.計算積分3.??(x?y)d?，其中D由yD2x2?y22?2x，x?y?4，x?y?12所圍成。 計算二重積分 DI???(x?xye)dxdy, 其中 （1）D為圓域 x2?y2?1;（2）D由直線y?x,y??1,x?1圍成 P182;6;(1),(3) 第九章 重積分 教學(xué)目的： 1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。 2、掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。 3、掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。 4、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。教學(xué)重點： 1、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）； 2、三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。 3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。教學(xué)難點： 1、利用極坐標計算二重積分； 2、利用球坐標計算三重積分； 3、物理應(yīng)用中的引力問題。 §9? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念 1? 曲頂柱體的體積 設(shè)有一立體? 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D? 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在D上連續(xù)? 這種立體叫做曲頂柱體? 現(xiàn)在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積? 首先? 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域： ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為 高而底為?? i的平頂柱體的體積為 ： f(? i ? ? i)??i(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 這個平頂柱體體積之和：V??f(?i,?i)??i? i?1n可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即 V?lim?f(?i,?i)??i? ??0i?1n其中?是個小區(qū)域的直徑中的最大值? 2?平面薄片的質(zhì)量? 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M? 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量? ?(? i ? ? i)?? i ? 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值? M???(?i,?i)??i? i?1nn 將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量M?lim??(?i,?i)??i? ??0i?1其中?是個小區(qū)域的直徑中的最大值? 定義 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 其中?? i表示第i個小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和 n?i?1f(?i,?i)??i? 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作??f(x,y)d?? 即 D??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i? nf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和? 直角坐標系中的面積元素? 如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 ??Df(x,y)dxdy 其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素? 二重積分的存在性? 當f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時? 積分和的極限是存在的? 也就是說函數(shù)f(x? y)在D上的二重積分必定存在? 我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? 所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的? 二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的? 二? 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則 ??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DD? 性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域? 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和? 例如D分為兩個閉區(qū)域D1與D2? 則 ??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?? D1D 2性質(zhì)3 ??1?d????d???(?為D的面積)? DD 性質(zhì)4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式 ??Df(x,y)d????g(x,y)d?D? 特殊地 |??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d?? DD 性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? ?為D的面積? 則有 m????Df(x,y)d??M?? 性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?? ?)使得 ??Df(x,y)d??f(?,?)?? §9? 2 二重積分的計算法 一、利用直角坐標計算二重積分 X??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? a?x?b ? Y ??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 混合型區(qū)域? 設(shè)f(x? y)?0? D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 此時二重積分??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的D曲頂柱體的體積? 對于x0?[a? b]? 曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為 A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy? 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為 V??A(x)dx??[?aabb?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx? 即 V???f(x,y)d???[?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx? 可記為 ??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy? 類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 則有 ??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx? 例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y? 1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域? D 解? 畫出區(qū)域D? 解法1? 可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是 ??xyd??D21[?xydy]dx??1x21y2x1x4x22912?]1?[x?]1dx??(x3?x)dx?[2212428x2x? 注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy? D1111 2解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是 ??xyd??D21[?xydx]dy??y2212y3y429x222[y?]ydy??(2y?)dy?[y?]1?12288? 例2? 計算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直線y? 1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)D域? 解 畫出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是 ??D1111y1?x?yd???dx?y1?x?ydy???[(1?x2?y2)2]1dx??(|x|3?1)dx x??1x3?13?1222211 ??2?(x3?1)dx?1? 301 2也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x ??yD1?x?yd???ydy?1221??1y1?x2?y2dx? 例3 計算??xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y2?x所圍成的閉區(qū)域? D 解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2? 其中D1: 0?x?1, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 ??Dxyd???dx?01xx?xydy??dx?14xx?2xydy? 積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是 ??Dxyd???dy??12y?2y2xydx??[?121x2y?2y]y2dy?22??1[y(y?2)22?y5]dy 4y621y4352?[?y?2y?]?1?524368? 討論積分次序的選擇? 例 4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積? 解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為 x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了? 第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w? 于是 V?8??R?xd??8?dx?220RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx D ?8?(R2?x2)dx?16R3? 0R3 二? 利用極坐標計算二重積分 有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標變量?、? 表達比較簡單? 這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分??f(x,y)d?? Dn按二重積分的定義??f(x,y)d??limD??0?i?1f(?i,?i)??i? 下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式? 以從極點O出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為? ??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i ??i?(?i???i)2???i???i??i??i??i? 其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值? 在??i內(nèi)取點(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標為(? i? ? i)? 則有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i? nn于是 lim即 ??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?i?1f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i? ??Df(x,y)d??s,?sin?)?d?d?? ??f(?co?D若積分區(qū)域D可表示為 ? 1(?)???? 2(?)? ?????? 則 ??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d?? 討論?如何確定積分限? ??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????(?)0f(?cos?,?sin?)?d?? ??Df(?cos?,?sin?)?d?d???22?0d???(?)0f(?cos?,?sin?)?d?? 例5? 計算??e?xD?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域? 解 在極坐標系中? 閉區(qū)域D可表示為 0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ?x??eD2?y2dxdy?????e?d?d???D22?0[?e???d?]d? ??0a22?0[?1??2ae]0d? 22?21?a?(1?e)?d???(1?e?a)? 02 注? 此處積分??e?xD2?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2?x??e2?y2dxdy? 利用x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy??(1?e?a2)計算廣義積分??? 0e?xdx? 2設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}? S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}? 顯然D1?S?D2? 由于e?x ?x??eD122?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式 2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy? 因為 ?xe??S2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2? 000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 ?x??eD12?y2dxdy??4(1?e?R)2? ?x??eD22?y2dxdy??4(1?e?2R)? 2于是上面的不等式可寫成?(1?e?R)?(?e?xdx)2??(1?e?2R)? 2R22404令R???? 上式兩端趨于同一極限 ?4? 從而?e?xdx??? ??2 02 例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積? 解 由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍? V?4??4a2?x2?y2dxdy? D其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域? 在極坐標系中D可表示為 0???2a cos? ? 0??? ?? 2?于是 V?4??4a2??2?d?d??4?2d??D02acos?04a2??2?d? ?32a2?2(1?sin3?)d??32a2(??2)? 0332?§9?3 三重積分 一、三重積分的概念 定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個小閉區(qū)域 ?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn 其中?vi表示第i個小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區(qū)域的直徑 i?1n中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv? 即 ? ????f(x,y,z)dv?lim??0i?1?f(?i,?i,?i)?vi? n 三重積分中的有關(guān)術(shù)語? ???——積分號? f(x? y? z)——被積函數(shù)? f(x? y? z)dv ?——被積表達式? dv體積元素? x? y? z——積分變量? ?——積分區(qū)域? 在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作 ???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdyd?z?? 當函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的? ??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的? 三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似? 比如 ???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1?????f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?? ???????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv? ?1?2?1??2dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計算 1? 利用直角坐標計算三重積分 三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d? ??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? f(x,y,z)dz? ??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??adx?y(x)?1by2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 提示? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 計算????f(x,y,z)dv? 基本思想? 對于平面區(qū)域D? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)? z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數(shù)F(x? y)? F(x,y)??三重積分? z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz? 然后計算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的 ??DF(x,y)d????[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy? 則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d? ??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? ??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz? 其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 例1 計算三重積分???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的?閉區(qū)域? 解 作圖? 區(qū)域?可表示為: 0?z?1?x?2y? 0?y?1(1?x)? 0?x?1? 2于是 ???xdxdydz? ??dx?0111?x20dy?1?x?2y0xdz ??xdx?01?x20(1?x?2y)dy2 ?14?0(x?2x1?x3)dx?1? 討論? 其它類型區(qū)域呢? 有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個平面閉區(qū)域? 則有 ????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy? c1Dzc 2例2 計算三重積分???zdxdydz? 2?22x2y其中?是由橢球面2?2?z2?1所圍成的空 abc間閉區(qū)域? 解 空間區(qū)域?可表為: 22y2 x2?2?1?z2? ?c? z?c? abc于是 ????c2cz2dxdydz ??z2dz??dxdy??ab(1?z)z2dz?4?abc3? ?2?cDz?cc1 5練習(xí) 1? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為三次積分? 其中 ? (1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? (2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域? (3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域? 2? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為先進行二重積分再進行定積分的形式? ?其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? 2? 利用柱面坐標計算三重積分 設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點? 并設(shè)點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數(shù)?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為? 0?? 坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義? 點M 的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系? x??cos?? y??sin?? z?z ? ?x??cos???y??sin???z?z 柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz? 簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz? 柱面坐標系中的三重積分? ???f(x,y,z)dxdydz?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz? ?? 例3 利用柱面坐標計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x2?y2與平面z?4所圍成的閉區(qū)域? 解 閉區(qū)域?可表示為? ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 于是 ????zdxdydz?????z?d?d?dz2 42? 2??d???d??zdz?1?d???(16??4)d? 002??22006 ?1?2?[8?2?1?6]2??? 026 33? 利用球面坐標計算三重積分 設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r、?、? 來確定? 其中 r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數(shù)r、?、? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為 0?r 坐標面r?r0? ???0? ???0的意義? 點M的直角坐標與球面坐標的關(guān)系? x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?x?rsin?cos???y?rsin?sin???z?rcos??? 球面坐標系中的體積元素? dv?r2sin?drd?d? ? 球面坐標系中的三重積分? ????f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??? 例4 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積? 解 該立體所占區(qū)域?可表示為? 0?r?2acos?? 0????? 0???2?? 于是所求立體的體積為 V????dxdyd?z???rsin?drd?d???d??d??2??2??2aco?s000r2sin?dr ?2??sin?d??0?2aco?s0r2dr 16?a3?3?0?4?a34cos?sin?d??(1?cosa)? 提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos?? §9? 4 重積分的應(yīng)用 元素法的推廣? 有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理? 這種元素法也可推廣到二重積分的應(yīng)用中? 如果所要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(就是說? 當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時? 所求量U相應(yīng)地分成許多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域d?時? 相應(yīng)的部分量可近似地表示為f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?內(nèi)? 則稱f(x? y)d? 為所求量U的元素? 記為dU? 以它為被積表達式? 在閉區(qū)域D上積分? U???f(x,y)d?? D這就是所求量的積分表達式? 一、曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ? 在區(qū)域D內(nèi)任取一點P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則 d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? dA?cos?這就是曲面S的面積元素? 于是曲面S 的面積為 A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? D或 A???1?(?z)2?(?z)2dxdy? D?x?y 設(shè)dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以 dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d?? n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1? 討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？ A???Dyz1?(?x2?x?)?()2dydz?y?z?y?x 或 A???1?(Dzx?y?z)2?()2dzdx? 其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域? Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域? 例1 求半徑為R的球的表面積? 解 上半球面方程為z?R2?x2?y2? x2?y2?R2? 因為z對x和對y的偏導(dǎo)數(shù)在D? x2?y2?R2上無界? 所以上半球面面積不能直接求出? 因此先求在區(qū)域D1? x2?y2?a2(a?R)上的部分球面面積? 然后取極限? x2?y2?a2??RR?x?y222dxdy?R?02?d??ardrR?r220 ?2?R(R?R2?a2)? 于是上半球面面積為lim2?R(R?R2?a2)?2?R2? a?R整個球面面積為 A?2A1?4?R2? 提示? ?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 1?(?z)2?(?z)2??x?yRR?x?y222? 解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍? 上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而 ?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 所以 A?2x2?y2?R2??1?(?z2?z2)?()?x?yR2?R ?2x2?y2?R2??R2?x2?y2R0dxdy?2R?0d???d?R??220 ??4?RR2??2 ?4?R2? 例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)? 解 取地心為坐標原點? 地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸? 建立坐標系? 通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面?是上半球面被半頂角為?的圓錐面所截得的部分? ?的方程為 z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2?? 于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為 A???Dxy1?(?z2?z2)?()dxdy??x?y??DxyRR?x?y222dxdy? 其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影區(qū)域? 利用極坐標? 得 A??d??02?Rsi?nRR2??20?d??2?R?Rsi?n?R2??20d??2?R2(1?co?s)? 由于cos??R? 代入上式得 R?h A?2?R2(1?R)?2?R2hR?hR?h? 由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 Ah36?106 ???42.5%? 4?R22(R?h)2(36?6.4)?106 由以上結(jié)果可知? 衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積? 故使用三顆相隔2?3角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面? 二、質(zhì)心 設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標? 在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d?? 平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d?? DD 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是 x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D? 在閉區(qū)域D上任取包含點P(x? y)小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則 平面薄片對x軸和對y軸的力矩元素分別為 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d?? 平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d?? DD 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是 x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D? 提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？ 求平面圖形的形心公式為 ??xd? x?D??yd?? y?D??d?D??d?D? 例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心? 解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 因為 ??yd?????DD2sin?d?d???sin?d??0?4sin?2sin??2d??7?? 22d????2???1?3???D? ??yd?所以y?D??d?D?7?77?? 所求形心是C(0,)? 3?3 3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標是 x?1M???x?(x,y,z)dv?? y?1M????y?(x,y,z)dv? z?1M???z?(x,y,z)dv? ? 其中M?????(x,y,z)dv? ? 例4 求均勻半球體的質(zhì)心? 解 取半球體的對稱軸為z軸? 原點取在球心上? 又設(shè)球半徑為a? 則半球體所占空間閉區(qū)可表示為 ??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0} 顯然? 質(zhì)心在z軸上? 故x?y?0? ???z?dv???zdv z??????dv??????dv??3a8? 故質(zhì)心為(0, 0, 3a)? 8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2?? 2? ????dv??d??202?0d??rsin?dr??sin?d??020a?22?0d??a02?a3rdr?32? ????zdv??02d??0?2?d??a02?a1a4123? rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??0024202? 三、轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量? 在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為 dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ? 整片平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為 Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d?? DD 例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量? 解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix ? Ix????y2d??????2sin2???d?d? DD ???sin? d??20?a0a4?d????43?0sin? d? 2? ?1?a4???1Ma2? 424其中M?1?a2?為半圓薄片的質(zhì)量? 2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv? ? Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv? ? Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv? ? 例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量? 解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域 ??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}? 所求轉(zhuǎn)動慣量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz ? Iz????(x2?y2)? dv ?2222? cos??r2sin? sin?)r2sin?drd?d? ?????(r2sin?2??a82 3?????r4sin?drd?d????d??sin3? d??r4dr??a5??a2M? ?000155其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量? 3提示? x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2?? 四、引力 我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力問題? 設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)? 在物體內(nèi)任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力近似地為 dF?(dFx,dFy,dFz) ?(G?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)? 其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個坐標軸上的分量? r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)? 例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力? 解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為 Fz????G?0?z?adv[x2?y2?(z?a)2]3/2 ?G?0?(z?a)dz?RRx2?y2?R2?z??dxdy[x2?y2?(z?a)2]3/22 ?G?0?(z?a)dz?d???R0R2?R2?z22?d?[??(z?a)]23/20 R ?2?G?0?(z?a)(1??R1R?2az?a22a?z)dz ?2?G?0[?2R?1?(z?a)dR2?2az?a2] a?RR 2R3?2G??0(?2R?2R?) 3a24?R31M??G??0?2??G23aa ? 4?R3其中M??03為球的質(zhì)量? 上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點間的引力? 習(xí)題課 I 教學(xué)目的與要求： 1.掌握好導(dǎo)數(shù)的定義，會用導(dǎo)數(shù)的定義解決函數(shù)的可導(dǎo)性;2.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法;3.熟練掌握參數(shù)方程的求導(dǎo)方法.II 典型方法與例題: 1.用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 例1 設(shè) f(x)在x?a的某個鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個充分條件是（） 1h???hf(a?2h)?f(a?h)（B）lim h?0hf(a?h)?f(a?h)（C）lim h?02hf(a)?f(a?h)（D）lim h?0h（A）limh[f(a?)?f(a)] 分析 （D） 2.用導(dǎo)數(shù)定義解函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù) 例2 設(shè)f(x)??(a?bx)??(a?bx)，其中的?(x)在x?a處可導(dǎo)，求f?(0)解 知f(0)??(a)??(a)?0 因為只說明的?(x)在x?a處可導(dǎo)，沒說明的?(x)在x?0處是否可導(dǎo)，解f?(0)時必須用導(dǎo)數(shù)的定義 f(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bx)?limx?0x?0x?0x?0[?(a?bx)??(a)]?[?(a?bx)??(a)]?limx?0x?(a?bx)??(a) ?lim ?b?x?0bx?(a?bx)??(a)lim?bx?0?bx?b??(a)?b??(a)?2b??(a)f?(0)?lim3.用導(dǎo)數(shù)定義解函數(shù)方程 設(shè)f(x)在(0,??)的上有定義，且f?(1)?a(?0)，又?x,y?(0,??)，有f(xy)?f(x)?f(y)，解f(x) 解 在f(xy)?f(x)?f(y)讓y?1，得 f(x)?f(x)?f(1) f(1)?0 f(x?xy)?f(x)f(x)?f(1?y)?f(x)?limy?0y?0xyxy f(1?y)f(1?y)?f(1)11?lim?lim??f?(1)?y?0y?0xyyxxf?(x)?lim即 f?(x)?a(?f?(1)?a)xf(x)?alnx?C 讓x?1，得 f(1)?aln1?C 因此 f(x)?alnx 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，從處層到里層一層一層地求導(dǎo)，既不重復(fù)，又不遺漏 1??xsin,x?0,例4 討論函數(shù)f(x)?? x??0,x?0在x?0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性 解 知 limxsinx?01?0?f(0)x函數(shù)xsin又有 1在x?0的處連續(xù)的 xf?(0)?limx?0f(x)?f(0)x?0 1xsin?01x?lim?limsinx?0x?0xx而 limsinx?01不存在 x函數(shù)f(x)在x?0處不可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在x?0處連續(xù)，不可導(dǎo) 3??x?acos?,例5 求函數(shù)? 3??y?asin?;dyd2y的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)2 dxdx解 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)dy??tan? dxd2y1sec4?csc? 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)2?3adxIII 課外作業(yè)： P124 9（1）11 12 15第二篇：第六章 定積分的應(yīng)用(三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案)[范文模版]
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