第一篇：定積分的幾何應(yīng)用教案

4.3.1 定積分在幾何上的應(yīng)用

教材：

《高等數(shù)學(xué)》第一冊(cè)第四版，四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室，2009 第四章第三節(jié) 定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的：

1.理解掌握定積分的微元法；

2.會(huì)用微元法計(jì)算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的微元法。

教學(xué)難點(diǎn)：

計(jì)算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面面積時(shí)的微元如何選取和理解。

教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：通過(guò)大量例題來(lái)理解用微元法求定積分在幾何上的各種應(yīng)用。

部分例題：

(1)求平面圖形的面積

由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過(guò)求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。

例如：求曲線(xiàn)f?x2和直線(xiàn)x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。

分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線(xiàn)和直線(xiàn)，及軸所圍成的圖形的面積。

所以該曲邊梯形的面積為

f??21x223137xdx????

31333222(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積

(I)由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由連續(xù)曲線(xiàn)y=g(y)與直線(xiàn)y=c、y=d(c

cd(III)由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)(f(x)?0)與直線(xiàn)x=a、x=b(0?a

abx2y2例如：求橢圓2?2?1所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋ab轉(zhuǎn)體的體積。

分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓b2y?a?x2(?a?x?a)，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓ax2y2??1所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 a2b2b2vy???(a?x2)?aa?b2213a?2(ax?x)?a?a3a2dx??b2a2?a?a(a2?x2)dx

4?ab23橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓x?a2b?y2,(?b?y?b)，與bx2y2y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓2?2?1所圍成的圖形繞

aby軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

a2?a22vy???(b?y)dy?2?bbb

?a2213b42?2(by?y)?b??abb33b2?b?b22(b?ydy)

(3)求平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)

(I)、設(shè)曲線(xiàn)弧由參數(shù)方程

{x??(t)(??t??)

y??(t)給出其中?'(t),?'(t)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線(xiàn)弧的長(zhǎng)度為s????'[?'(t)2?]?[t(2d)。]x()(Ⅲ)設(shè)曲線(xiàn)弧的極坐標(biāo)方程為r?r(?)(?????)，其中r'(?)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線(xiàn)弧的長(zhǎng)度為s????r2(?)?[r(?)']2d(?)。

x21例如：求曲線(xiàn)y??lnx從x=l到x=e之間一段曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)。

42解：y'?x1?22x，于是弧長(zhǎng)微元為

ds?1?y'2，x111dx?1?(?)2dx?(x?)dx。

22x2x所以，所求弧長(zhǎng)為：s??

e1111x21e(x?)dx?(?lnx)1?(e2?1)。2x224

第二篇：ch 6 定積分的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

第六章

定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。

3、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點(diǎn)：

1、計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。

2、計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：

1、截面面積為已知的立體體積。

2、引力。

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§6 定積分的應(yīng)用

§6.1 定積分的元素法

回憶曲邊梯形的面積?

設(shè)y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說(shuō)積分?

A??af(x)dx

b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù)

A(x)??af(t)dt

x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱(chēng)為曲邊梯形的面積元素?

以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式? 以 [a? b]為積分區(qū)間的定積分?

A??af(x)dx ?

b

一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區(qū)間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設(shè)dU(x)?u(x)dx? 然后以u(píng)(x)dx為被積表達(dá)式? 以[a? b]為積分區(qū)間求定積分即得

U??af(x)dx?

b

用這一方法求一量的值的方法稱(chēng)為微元法(或元素法)?

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§6 定積分的應(yīng)用

§6? 2 定積分在幾何上的應(yīng)用

一、平面圖形的面積

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)平面圖形由上下兩條曲線(xiàn)y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線(xiàn)x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為

S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ?

類(lèi)似地??由左右兩條曲線(xiàn)x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線(xiàn)y?d與y?c所圍成設(shè)平面圖形的面積為?

S??c[?右(y)??左(y)]dy?

例1 計(jì)算拋物線(xiàn)y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積??

解(1)畫(huà)圖??

(2)確定在x軸上的投影區(qū)間: [0? 1]??(3)確定上下曲線(xiàn)???f上(x)?x, f下(x)?x2?

(4)計(jì)算積分 S??0(x?x)dx?[2x2?1x3]10???333213db

例2 計(jì)算拋物線(xiàn)y2?2x與直線(xiàn)y?x?4所圍成的圖形的面積??

解(1)畫(huà)圖??

(2)確定在y軸上的投影區(qū)間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線(xiàn)???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?

2(4)計(jì)算積分?

4?18?

S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?22 例3 求橢圓x2?a2y2?1所圍成的圖形的面積?

2b 解 設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為[0? a]? 因?yàn)槊娣e元素為ydx?

所以 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

S?4?0ydx? a橢圓的參數(shù)方程為: x?a cos t ? y?b sin t ?

于是

S?4?0ydx?4??bsitdn(acots)

2a0?2ab?02(1?co2st)dt?2ab???ab??

??4ab??si2ntdt02?2

2．極坐標(biāo)情形

曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?

由曲線(xiàn)???(?)及射線(xiàn)? ??? ? ??圍成的圖形稱(chēng)為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為

dS?1[?(?)]2d??

2曲邊扇形的面積為

?S???1[?(?)]2d??

2例4.計(jì)算阿基米德螺線(xiàn)??a?(a >0)上相應(yīng)于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?

2??4a2?3?

解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]023322?

例5.計(jì)算心形線(xiàn)??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?

?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d?

22232n?1si2n?]?

?a2[3??2si?0?a??

242

二、體 積

1．旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸? 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體? 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體?

旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線(xiàn)y?f(x)、直線(xiàn)x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體?

設(shè)過(guò)區(qū)間[a? b]內(nèi)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)? 當(dāng)平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ?

于是體積元素為

dV ? ?[f(x)]2dx ?

旋轉(zhuǎn)體的體積為

V??a?[f(x)]2dx?

例1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h? r)的直線(xiàn)、直線(xiàn)x?h 及x 軸圍成一個(gè)直角三角形? 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體? 計(jì)算這圓錐體的體積?

解: 直角三角形斜邊的直線(xiàn)方程為y?rx?

hb

所求圓錐體的體積為

2hh?1?hr2?

V??0?(rx)2dx??r2[1x3]0h33h2y2x 例2? 計(jì)算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)ab的體積?

解: 這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓

y?ba2?x2

a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體? 體積元素為

dV? ? y 2dx ?

于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

22a2 V???a?b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab?

33aa

例3 計(jì)算由擺線(xiàn)x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線(xiàn)y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積?

解

所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

Vx??0?y2dx???0a2(1?cots)2?a(1?cots)dt

??a3?0(1?3cots?3co2st?co3st)dt

?5? 2a 3?

所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差? 設(shè)曲線(xiàn)左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則

22(y)dy??0?x1(y)dy

Vy??0?x22a2a2?2?a2?t)2?asintd?t??0a2(t?sint)2?asintd t

???2?a2(t?sin??

???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ?

2．平行截面面積為已知的立體的體積

設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[a? b]? 過(guò)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為

V??aA(x)dx?

例4 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積?

解? 取這平面與圓柱體的底面的交線(xiàn)為x軸? 底面上過(guò)圓中心、且垂直于x軸的直線(xiàn)為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形? 兩個(gè)直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為

A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為

2R2R3tan?[R2x?1x3]???

V???R1(R2?x2)tan?dx?1tanR?2233Rb2?

例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線(xiàn)段為頂、高為h的正劈錐體的體積?

解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點(diǎn)? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過(guò)x軸上的點(diǎn)x(?R

§6 定積分的應(yīng)用

體得等腰三角形? 這截面的面積為

A(x)?h?y?hR2?x2?

于是所求正劈錐體的體積為

V???RhR?xdx?2Rh?02cos2?d??1?R2h??

2R222?

三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)

設(shè)A? B 是曲線(xiàn)弧上的兩個(gè)端點(diǎn)? 在弧AB上任取分點(diǎn)A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線(xiàn)? 當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小段Mi?1Mi都縮向一點(diǎn)時(shí)? 如果此折線(xiàn)的長(zhǎng)?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱(chēng)此極限為

i?1n曲線(xiàn)弧AB的弧長(zhǎng)? 并稱(chēng)此曲線(xiàn)弧AB是可求長(zhǎng)的?

定理

光滑曲線(xiàn)弧是可求長(zhǎng)的?

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)曲線(xiàn)弧由直角坐標(biāo)方程

y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區(qū)間[a? b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線(xiàn)弧的長(zhǎng)度?

取橫坐標(biāo)x為積分變量? 它的變化區(qū)間為[a? b]? 曲線(xiàn)y?f(x)上相應(yīng)于[a? b]上任一小區(qū)間[x? x?dx]的一段弧的長(zhǎng)度? 可以用該曲線(xiàn)在點(diǎn)(x? f(x))處的切線(xiàn)上相應(yīng)的一小段的長(zhǎng)度來(lái)近似代替? 而切線(xiàn)上這相應(yīng)的小段的長(zhǎng)度為

(dx)2?(dy)2?1?y?2dx?

從而得弧長(zhǎng)元素(即弧微分)

ds?1?y?2dx?

以1?y?2dx為被積表達(dá)式? 在閉區(qū)間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長(zhǎng)為

s??a1?y?2dx?

b

在曲率一節(jié)中? 我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長(zhǎng)元素??因此 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

例1? 計(jì)算曲線(xiàn)y?2x2上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度?

3解? y??x2? 從而弧長(zhǎng)元素

ds?1?y?2dx?1?xdx? 13因此? 所求弧長(zhǎng)為

s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]?

3333

3例2? 計(jì)算懸鏈線(xiàn)y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長(zhǎng)度?

c

解? y??shx? 從而弧長(zhǎng)元素為

cds?1?sh2xdx?chxdx?

cc因此? 所求弧長(zhǎng)為

bbb?

s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc

2．參數(shù)方程情形

設(shè)曲線(xiàn)弧由參數(shù)方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?

因?yàn)閐y??(t)? dx???(t)d t ? 所以弧長(zhǎng)元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt?

??(t)所求弧長(zhǎng)為

s?????2(t)???2(t)dt?

?

例3? 計(jì)算擺線(xiàn)x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長(zhǎng)度??

解? 弧長(zhǎng)元素為

?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind??

2所求弧長(zhǎng)為 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

2??8a?

s??02asin?d??2a[?2cos?]0222?

3．極坐標(biāo)情形

設(shè)曲線(xiàn)弧由極坐標(biāo)方程

???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得

x??(?)cos???

y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長(zhǎng)元素為

ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d??

從而所求弧長(zhǎng)為

s?????2(?)???2(?)d??

例14?

求阿基米德螺線(xiàn)??a?(a>0)相應(yīng)于? 從0到2? 一段的弧長(zhǎng)?

解?

弧長(zhǎng)元素為

ds?a2?2?a2d??a1??2d??

于是所求弧長(zhǎng)為

2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]? 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

§6.3 功

水壓力和引力

一、變力沿直線(xiàn)所作的功

例1 把一個(gè)帶?q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處? 它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)? 這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周?chē)碾姾捎凶饔昧? 由物理學(xué)知道? 如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)O為r的地方? 那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為

F?kq(k是常數(shù))?

r2當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從r?a處沿r軸移動(dòng)到r?b(a

例1?

電量為+q的點(diǎn)電荷位于r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)O處它所產(chǎn)生的電場(chǎng)力使r軸上的一個(gè)單位正電荷從r=a處移動(dòng)到r=b(a

提示: 由物理學(xué)知道? 在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中? 距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場(chǎng)力的大小為F?kq(k是常數(shù))? r

2解: 在r軸上? 當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí)?

電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為

W??abkq2qdr?

r2qdr?

r211dr?kq[?1]ba?kq(?)?

rabr

例2?

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹? 把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處? 計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中? 氣體壓力所作的功?

解? 取坐標(biāo)系如圖? 活塞的位置可以用坐標(biāo)x來(lái)表示? 由物理學(xué)知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k ? 即

pV?k 或p?k?

V

解: 在點(diǎn)x處? 因?yàn)閂?xS? 所以作在活塞上的力為 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

F?p?S?k?S?k?

xSx當(dāng)活塞從x移動(dòng)到x?dx時(shí)? 變力所作的功近似為kdx?

x即功元素為dW?kdx?

x于是所求的功為

bbW??akdx?k[lnx]ba?kln?

xa

例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內(nèi)盛滿(mǎn)了水? 試問(wèn)要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？

解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區(qū)間為[0? 5]? 相應(yīng)于[0? 5]上任小區(qū)間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為

dW?88?2??x?dx?

此即功元素? 于是所求的功為

225(kj)?

xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22

5二、水壓力

從物理學(xué)知道? 在水深為h處的壓強(qiáng)為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側(cè)所受的水壓力為

P?p?A?

如果這個(gè)平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算?

例4? 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶? 桶內(nèi)盛有半桶水? 設(shè)桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ?

計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力?

解? 桶的一個(gè)端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標(biāo)系如圖?

在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為 高等數(shù)學(xué)教案

§6 定積分的應(yīng)用

dP?2?xR2?x2dx?

所求壓力為

P??02 ? xR2?x2dx????(R2?x2)2d(R2?x2)03222R?2rR3?

???[(R?x)2]033RR

1三、引力

從物理學(xué)知道? 質(zhì)量分別為m

1、m 2? 相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為

F?Gm1m2?

r2其中G為引力系數(shù)? 引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線(xiàn)方向?

如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力? 那么? 由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的? 且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來(lái)計(jì)算?

例5? 設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線(xiàn)密度為?的均勻細(xì)直棒? 在其中垂線(xiàn)上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M? 試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力?

例5?? 求長(zhǎng)度為l、線(xiàn)密度為?的均勻細(xì)直棒對(duì)其中垂線(xiàn)上距棒a單位處質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M的引力?

解? 取坐標(biāo)系如圖? 使棒位于y軸上? 質(zhì)點(diǎn)M位于x軸上? 棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)O? 由對(duì)稱(chēng)性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區(qū)間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點(diǎn)取長(zhǎng)為dy 的一小段? 其質(zhì)量

2222為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于是在水平方向上? 引力元素為

dFx?Gm?dyam?dy?a??

??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2引力在水平方向的分量為

Fx???l2G?l22Gm?lam?dy1????

223/222a(a?y)4a?l

第三篇：定積分概念教案(修改)

四川工商學(xué)院

授 課 計(jì) 劃（教 案）

課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)

章節(jié)名稱(chēng)：第六章 第一節(jié) 定積分的概念 使用教材：趙樹(shù)媛主編，《微積分》（第四版），北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2016.8 教學(xué)目的：掌握定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、從具體到一般的抽象思維方式；從已知到未知的研究問(wèn)題的方法，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念

教學(xué)難點(diǎn)：定積分概念建立、分割的思想方法及應(yīng)用

教學(xué)方法：教學(xué)采用啟發(fā)式、數(shù)形結(jié)合，用多媒體輔助教學(xué)。適用層次：應(yīng)用型本科。教學(xué)時(shí)間：45分鐘。

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)

引言

介紹牛頓和萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家以及在微積分方面的研究成果，重點(diǎn)展示在積分方面的成果。（簡(jiǎn)單提及積分產(chǎn)生背景）

（PPT展示肖像，簡(jiǎn)歷和成就。2分鐘）

一、引例

已經(jīng)會(huì)用公式求長(zhǎng)方形、梯形、三角形面積。但對(duì)一些不規(guī)則平面圖形的面積計(jì)算，需要尋求其他方法計(jì)算。

（PPT展示封閉的圖形及分塊，特別強(qiáng)調(diào)曲邊梯形。2分鐘）

（一）求曲邊梯形的面積（板書(shū)）

由x?a,x?b,y?0與y?f?x??0圍成平面圖形，求面積A=?（如圖）（PPT展示）

1.分析問(wèn)題

（1）用小曲邊梯形的面積相加就是A；（PPT展示）

（2）用小矩形代替小曲邊梯形有誤差，但有計(jì)算表達(dá)式（PPT放大圖形）

（3）分的越細(xì)，其和精度越高（PPT）（4）最好是都很細(xì)，或最大的都很?。≒PT）

（PPT展示，4分鐘）

2.分割

（1）在?a,b?內(nèi)任意插入n?1個(gè)分點(diǎn)：

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b

這樣，把?a,b?分成了n個(gè)小區(qū)間?x0,x1?,?,?xi?1,xi?,?,?xn?1,xn?，并記小區(qū)間的長(zhǎng)度為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?（PPT演示，重點(diǎn)說(shuō)明其目的是準(zhǔn)備用小矩形代替小曲邊梯形，以便提高精度。2分鐘）

（2）過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線(xiàn)，這樣一來(lái)，大的曲邊梯形被分成n個(gè)小曲邊梯形?Ai（小范圍）。

3.近似代替

f(在第i 個(gè)小曲邊梯形上任取??i?[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

為底，? i)為高的小矩形, ?1i]并用此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積 ?

A i , 得

?Ai?f(?i)?xi?xi?xi?xi?1，i?1,2,....,n

（PPT演示，重點(diǎn)說(shuō)明乘積的量表示什么。2分鐘）

（1）求和

把n個(gè)小曲邊梯形相加，就得到大曲邊梯形面積的近似值

???A???Ai??f??i??xi（板書(shū)）

i?1i?1nn（PPT演示，重點(diǎn)說(shuō)明，兩個(gè)量的區(qū)別，讓學(xué)生記住后一個(gè)表達(dá)式，這是將來(lái)應(yīng)用的核心部

分。3分鐘）

（2）取極限

當(dāng)分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值?，即趨近于零時(shí)，上述和式極限就是梯形面積的精確值。

nn

A?lim?Ai=limf??i??xi即 ??max{?xi},（板書(shū)）??0??01?i?ni?1i?1

（PPT演示，重點(diǎn)說(shuō)明三個(gè)符號(hào)構(gòu)成一個(gè)新的記號(hào)，重點(diǎn)。3分鐘）

（二）變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程（板書(shū)）

??求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s。

n設(shè)某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔?T1，T2?上t的連續(xù)函數(shù)，且 v(t)?0,S=lim?v??i??ti（板書(shū)）

??0i?1（PPT展示上述結(jié)論，與

（一）對(duì)比，只是將符號(hào)變更，另一方面乘積的量發(fā)生了變化。

3分鐘）

二、定積分的定義

定義：設(shè)函數(shù)f?x?在?a,b?上有定義，任意取分點(diǎn)

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b

把?a,b?分成n個(gè)小區(qū)間，?xi-1，xi?稱(chēng)為子區(qū)間，其長(zhǎng)度記為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?。在每個(gè)子區(qū)間?xi-1，xi?上，任取一點(diǎn)?i??xi-1，xi?，得函數(shù)值fnf(?)?x。??i?，作乘積

ii

f(?i)?xi。把所有的乘積加起來(lái)，得和式 ?i?1當(dāng)n無(wú)限增大，且子區(qū)間長(zhǎng)度的最大長(zhǎng)度趨近于零時(shí)，如果上述和式的極限存在，則稱(chēng)f?x?在子區(qū)間?a,b?上可積，并將此極限值稱(chēng)為函數(shù)f?x?在?a,b?上的定積分。記作：

?f?x?dx

ab即

?f????x

（板書(shū)）?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn

（PPT展示定義，重點(diǎn)說(shuō)明：記號(hào)和等號(hào)，左邊是新的符號(hào)，右邊是其表達(dá)式，即如果可以建立右邊表達(dá)式，就立即將其用左邊符號(hào)表示，換言之，看見(jiàn)左邊符號(hào)，立即聯(lián)想到右邊的表達(dá)式。4分鐘）

（板書(shū)）?f?x?dx，變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程可以表示為：S=?v?t?dt（板書(shū)）曲邊梯形的面積可以表示為：A?abT2T1定理

1設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，則f?x?在?a,b?上可積。

定理2 設(shè)f?x?在?a,b?上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f?x?在?a,b?上可積。

（PPT展示定理。解釋?zhuān)褐灰獫M(mǎn)足條件，lim??0?f????x 就可以與定積分符號(hào)劃等號(hào)。

iii?1n2分鐘）

三、例題

利用定義計(jì)算定積分

?10x2dx

（PPT展示全部計(jì)算過(guò)程及答案，說(shuō)明幾何意義。特別強(qiáng)調(diào)，以后用牛-萊公式計(jì)算，即簡(jiǎn)單又快捷，但要用到不定積分的知識(shí)，提醒學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)。下次課介紹牛-萊公式。2分鐘）

四、總結(jié)（板書(shū)）

（PPT展示定義-符號(hào)、定理，提示復(fù)習(xí)不定積分，核心表達(dá)式板書(shū)。1分鐘）

五、作業(yè)（板書(shū)）

板書(shū)設(shè)計(jì)框架

第五章 第一節(jié) 定積分的概念

一、引例

（一）求曲邊梯形的面積

（二）變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程

二、定積分定義

?f????x ?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn

三、例題

?10x2dx=

四、總結(jié)

五、習(xí)題與提示

第四篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十章定積分的應(yīng)用

《數(shù)學(xué)分析》教案

第十章 定積分的應(yīng)用

教學(xué)要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題化成定積分；

2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等。

教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等

教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí)

§ 1平面圖形的面積（2 時(shí)）

教學(xué)要求：

1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題化成定積分；

2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積

一、組織教學(xué)：

二、講授新課：

（一）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 ： 1.簡(jiǎn)單圖形：

型和

型平面圖形.型和

《數(shù)學(xué)分析》教案

例

5求由雙紐線(xiàn)

所圍平面圖形的面積.解 傾角為 的兩條直線(xiàn)之間).以

軸對(duì)稱(chēng);以

或

.(可見(jiàn)圖形夾在過(guò)極點(diǎn)，代 方程不變，圖形關(guān)于 代 , 方程不變, 圖形關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng).參閱P242 圖10-6 因此.三、小結(jié)：

§ 2 由平行截面面積求體積（2 時(shí)）

教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積

（一）已知截面面積的立體的體積: 設(shè)立體之截面面積為 推導(dǎo)出該立體之體積

..祖暅原理: 夫冪勢(shì)即同 , 則積不容異.(祖暅系祖沖之之子 齊梁時(shí)人 , 大約在五世紀(jì)下半葉到六世紀(jì)初)例1

求由兩個(gè)圓柱面

和

所圍立體體積.P244 例1()

《數(shù)學(xué)分析》教案

和 在區(qū)間

上連續(xù)可導(dǎo)且

..則

上以

和

為端點(diǎn)的弧段的弧長(zhǎng)為為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對(duì) , ,有

Ch 1 §1 Ex 第5題(P4).其幾何意義是: 在以點(diǎn) 超過(guò)第三邊.事實(shí)上，和

為頂點(diǎn)的三角形中,兩邊之差不.為證求弧長(zhǎng)公式, 在折線(xiàn)總長(zhǎng)表達(dá)式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對(duì)式插項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).如果曲線(xiàn)方程為極坐標(biāo)形式 出其參數(shù)方程

.于是

連續(xù)可導(dǎo), 則可寫(xiě).§ 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積(1 時(shí))教學(xué)要求：旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面的面積

第五篇：1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：解決一些在幾何中用初等數(shù)學(xué)方法難以解決的平面圖形面積問(wèn)題（2）過(guò)程與方法：在解決問(wèn)題中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深對(duì)定積分幾何意義的理解

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力．

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】：

（1）應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積問(wèn)題，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)定積分的價(jià)值以及由淺入深的解決問(wèn)題的方法。

（2）數(shù)形結(jié)合的思想方法 【教學(xué)難點(diǎn)】：

利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?，從而把求平面圖形面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積的問(wèn)題．

3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程

課堂小結(jié)