第一篇：高一數(shù)學(xué)正弦定理教案(三)

資料由大小學(xué)習(xí)網(wǎng)收集 004km.cn 課題：正弦定理

（三）【教學(xué)目標(biāo)】

知識目標(biāo)：運用正弦定理及其變形形式解決簡單的實際問題． 能力目標(biāo)：在問題解決中，培養(yǎng)學(xué)生的運用知識解決問題的能力．

情感目標(biāo)：通過用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題,以引起學(xué)生興趣,在數(shù)學(xué)活動中獲得對數(shù)學(xué)良好的感性認識． 【教學(xué)過程】 一．復(fù)習(xí)回顧

正弦定理：

正弦定理的變形形式：

二．?dāng)?shù)學(xué)運用

例1：已知在?ABC中，c?22，a?b，C??4，tanA?tanB?6，試求a，b及三角形的面積．

變題訓(xùn)練：把例題中的條件“a?b”改為“a?b”，再求a，b及三角形的面積．

例2：某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35?，沿傾斜角為20?的斜坡前進1000米后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5?，求山的高度(精確到1米)．

資料由大小學(xué)習(xí)網(wǎng)收集 004km.cn

資料由大小學(xué)習(xí)網(wǎng)收集 004km.cn 練習(xí)：為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B，要測算出A，B兩點間的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC?100m，?B?60，?C?45，試計算AB的長．

例3：在?ABC中，AD是?BAC的平分線，用正弦定理證明：

ABAC???A

B

C

BDDC．

探索：在?ABC中，AD是?BAC的外角平分線，D為外角平分線與BC的延長線的交點，此時ABAC?BDDC成立嗎？

三．回顧小結(jié)：

【教后反思】

資料由大小學(xué)習(xí)網(wǎng)收集 004km.cn

第二篇：高一數(shù)學(xué)《正弦定理》教案

湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

正弦定理

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

(1)掌握正弦定理及其推導(dǎo)過程．

(2)會利用正弦定理求解簡單的斜三角形邊角問題．

(3)能利用計算器進行計算．

（二）過程與能力目標(biāo)

(1)通過用向量的方法證明正弦定理，體現(xiàn)向量的工具性，加深對向量知識應(yīng)用的認識．

(2)通過啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力．

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． 教學(xué)重點

正弦定理的證明及應(yīng)用．

教學(xué)難點

(1)用向量知識證明正弦定理時的思路分析與探索．(2)正弦定理在解三角形時的應(yīng)用思路．

教學(xué)過程

一、引入

解直角三角形需要用到的知識：

①三角形內(nèi)角和定理： A?B?C?180? ②銳角三角函數(shù)：

ababsinA? ,cosA? ,tanA? ,cotA?;

ccbababasinB? ,cosB? ,tanB? ,cotB?.ccab③勾股定理：a?b?c 22

2二、新課

在直角三角形ABC中找出a, b,c與sinA, sinB, sinC之間的關(guān)系：

sinA?acsinB?c?bsinBbcsinC?1 c?csinC即：c?asinA

?asinA?bsinB?csinC 湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

證明：

證法一:

(傳 統(tǒng) 證 法)在任意斜?ABC中：S?ABC?12absinC?1212acsinB?12bcsinABc

abC兩邊同除以asinA?bsinBabc,即得：csinCA?證法二:

(將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中)作?ABC的外接圓O，作直徑BC',連接AC'，則?C??C'，設(shè)圓O半徑R，cc則：??2R;sinCsinC'同理可得：asinA?asinA?2R,?bsinBbsinB??2RcsinC?2RBcabC'C

A這里涉及到三角形中的邊角關(guān)系，而向量中的數(shù)量積則反應(yīng)了邊角關(guān)系.證法三:

(向量知識來證明)?過A作單位向量 j 垂直于AC

AC?CB?AB，兩邊同乘以向量??j?(AC?CB)?j?AB???則：j?AC?j?CB?j?AB? j，B?cj ???j?ACcos90??j?CBcos(90??C)? ?j?ABcos(90??A)?asinC?csinA?asinA?csinCabAC同理：若過?C作j垂直于CB得： cb?，sinCsinBasinA?bsinB?csinCBc?Aa?jbC 當(dāng)?ABC為鈍角三角形時，設(shè)??A?90?，過A作單位向量j垂直于AC可證明.湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

正 弦 定 理 ：

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦csinC比相等，即：.asinA?bsinB?

?2R(R為?ABC外接圓半徑)它適合于任何三角形變 式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S? ABC?12absinC?12bcsinA ?12acsinB

正弦定理可以解決三角形問題：

1.兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2.兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.三、應(yīng)用

例 1.在?ABC中，已知c?10,A?45?, C?30?, 求a、b和B.例 2.已知?ABC中三內(nèi)角的正弦之比為 4 ： 5 ： 6 ,又周長為2152,求三邊長.例 3.在?ABC中，已知sin2A? sinB?sinC,求證?ABC為直角三角形2.練習(xí)

教材第144頁第1題． 課堂小結(jié)：

1.正弦定理及其變形公式2.利用正弦定理解決三角;

形的兩類問題;

作業(yè)：

1.閱讀教材139頁至 144 頁；

2.教材第144頁習(xí)題5.9第1(1)(3)、2、5題．

第三篇：高一數(shù)學(xué)《正弦定理的應(yīng)用》教案

湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

正弦定理的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

會利用正弦定理求解簡單的斜三角形邊角問題．

（二）過程與能力目標(biāo)

(1)通過用向量的方法證明正弦定理，體現(xiàn)向量的工具性，加深對向量知識應(yīng)用的認識．

(2)通過啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力．

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． 教學(xué)重點

正弦定理的應(yīng)用． 教學(xué)難點

正弦定理在解三角形時的應(yīng)用思路． 教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)

正弦定理： abc???2R sinAsinBsinC變 式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S? ABC?111absinC?bcsinA ?acsinB 222正弦定理可以解決三角形問題：

1.兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2.兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.二、應(yīng)用

例 1.在?ABC中，已知a?20,b?28,A?40?, 求B(精確到1?)和c(保留兩個有效數(shù)字).例 2.在?ABC中，已知a?60,b?50,A?38?, 求B(精確到1?)和c(保留兩個有效數(shù)字).湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

歸納：在△ABC中，已知a, b和A時解三角形的各種情況： 1.當(dāng)A為銳角時：

Ca

b

AB

a

CbAaBCbAB2aaB1CbAa?b一解aBa=bsinA一解bsinA

CabAa?b無解BCbAaBa > b一解練習(xí)

在?ABC中，已知A?30?,b?4,試分別討論下列情況的解的個數(shù)(1)a?1,(2)a?1,(3)a?3,(4)a?4,(5)a?5.例 3.在?ABC中, 若a2tanB?b2tanA, 試判斷這個三角形的形狀.例 4.在?ABC中，若?B?30?，AB?23，AC?2，求?ABC的面積.課堂小結(jié)：

已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，其解的6種情況.作業(yè)：

1.閱讀教材139頁至 144 頁； 2.教材第144頁習(xí)題5.9第3題;3.《優(yōu)化設(shè)計》第113~115頁．

第四篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識目標(biāo):通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標(biāo):讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。

3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過做點A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數(shù)量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據(jù)比例的運算性質(zhì)得到第四項。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】優(yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習(xí)1】教材P144練習(xí)1（可以讓學(xué)生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數(shù)學(xué)式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀(jì)金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設(shè)計：

六、教學(xué)反思

第五篇：正弦定理教案[定稿]

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理從容說課本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識也有著密切的聯(lián)系．教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)．教學(xué)重點1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用．教學(xué)難點1.正弦定理的探索和證明； 2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)．教具準(zhǔn)備直角三角板一個三維目標(biāo)

一、知識與技能 1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法； 2.會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、過程與方法 1.讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系； 2.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理； 3.進行定理基本應(yīng)用的實踐操作．

三、情感態(tài)度與價值觀 1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力； 2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．教學(xué)過程導(dǎo)入新課 師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動．師思考：∠C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？生顯然，邊AB的長度隨著其對角∠C的大小的增大而增大．師能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 師在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系．如右圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC =A,AC =B,AB =C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中，.推進新課 [合作探究]師那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如右圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而.（當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.師是否可以用其他方法證明這一等式？生可以作△ABC的外接圓，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，來證明這一關(guān)系．師很好！這位同學(xué)能充分利用我們以前學(xué)過的知識來解決此問題，我們一起來看下面的證法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學(xué)生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,我們可以考慮用前面所學(xué)的向量知識來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?生向量的數(shù)量積的定義式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ為兩向量的夾角.師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?生 可以通過三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sinθ=Cos(90°-θ)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90°-θ,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進一步的運算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90°-θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并

注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時間后,應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B) ∴.(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90°,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得. ∴（形式1）.綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明了正弦定理之后,我們來進一步學(xué)習(xí)正弦定理的應(yīng)用. [教師精講]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價于(形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題.①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本P4的例1就屬于此類問題. ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如．此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件．一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結(jié).［例題剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根據(jù)正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm). [方法引導(dǎo)](1)此類問題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈0.899 9.因為0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）當(dāng)B≈64°時， C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°， C =≈30(cm).（2）當(dāng)B≈116°時， C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°， C=≈13(cm). [方法引導(dǎo)]通過此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當(dāng)然對于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精確到1°)和C(保留兩個有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B

(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1)∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65°，A2≈115°.當(dāng)A1≈65°時，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C1=≈22.當(dāng)A2≈115°時，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30°，B2≈150°.由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°應(yīng)舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應(yīng)為銳角). ∴C=180°-(45°+30°)=105°. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41°,B2≈139°.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°應(yīng)舍去. ∴當(dāng)B=41°時，A=180°-(41°+115°)=24°, A=≈24.(4)sinB= =1.212＞1. ∴本題無解.點評:此練習(xí)目的是使學(xué)生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對角解三角形.布置作業(yè)

（一）課本第10頁習(xí)題1.1 第1、2題.

（二）預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P5～P 8余弦定理 [預(yù)習(xí)提綱](1)復(fù)習(xí)余弦定理證明中所涉及的有關(guān)向量知識.(2)余弦定理如何與向量產(chǎn)生聯(lián)系.(3)利用余弦定理能解決哪些有關(guān)三角形問題.板書設(shè)計正弦定理 1.正弦定理: 2.證明方法: 3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題:(1)平面幾何法(1)已知兩角和一邊(2)向量法(2)已知兩邊和其中一邊的對角