第一篇：排列組合典型例題+詳解

典型例題一

例1 用0到9這10 個數(shù)字．可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

典型例題二

例2 三個女生和五個男生排成一排

（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

典型例題三

例3 排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

典型例題四

例4 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法．

典型例題五

3位司機(jī)和3位售票員，例5 現(xiàn)有3輛公交車、每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票員．問車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？

典型例題六

例6 下是表是高考第一批錄取的一份志愿表．如果有4所重點(diǎn)院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇．若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？

學(xué) 校 1 2 3 1 1 1 專 業(yè) 2 2 2

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典型例題七

例5 7名同學(xué)排隊照相．

(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？

(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？

3名女生，7人中有4名男生，(4)若排成一排照，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？

典型例題八

例8 從2、3、4、5、6五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和．

典型例題九

例9 計算下列各題：(1)A；

(2)A；

(3)21566An?1?An?mAn?1n?1m?1n?m；

(4)1!?2?2!?3?3!???n?n!

(5)

12!?23!?34!???n?1n!

典型例題十

例10 a,b,c,d,e,f六人排一列縱隊，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法．對這個題目，A、B、C、D四位同學(xué)各自給出了一種算式：A的算式是2412A6；B的算式是(A1?A2?A3?A4?A5)?A4；C的算式是A6；

61111144D的算式是C6?A4．上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由．

典型例題十一

例11 八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？

典型例題十二

/ 1jiangshan整理 例12 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）．

145245A．A44?A5

5B．A33?A44?A55

C．C3?A4?A5

D．A2?A4?A5

典型例題十三

例13 由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）．

A．210

B．300

C．46

4D．600

典型例題十四

例14 用1,2,3,4,5，這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）． A．24個

B．30個

C．40個

D．60個

典型例題十五

1238例15(1)計算A1?2A2?3A3???8A8．

(2)求Sn?1!?2!?3!???n!(n?10)的個位數(shù)字．

典型例題十六

例16 用0、組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個1、2、3、4、5共六個數(shù)字，無重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？

典型例題十七

例17 一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相鄰，另一個空位與2個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？

/ 1jiangshan整理 典型例題分析

1、分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：

如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是 2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因為零不能放在千位數(shù)上）．由此解法一與二．

如果從千位數(shù)入手．四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三．

如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四．

解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有A93個；

當(dāng)個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一

112?A8?A8（個）個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有A4．

∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

311

2A9?A4?A8?A8?504?1792?2296個．

解法2：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，同解一有A9個；當(dāng)個位數(shù)上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：A4?(A9?A8)個 132

3∴

沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

313

2A9?A4?(A9?A8)?504?1792?2296個．

解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有

2A5?A5?A8個

干位上從2、4、6、8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有

A4?A4?A8個 11

2∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

112112

A5?A5?A8?A4?A4?A8?2296個．

解法4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)．

43沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A10?A9個．

132其中四位奇數(shù)有A5(A9?A8)個

/ 14

jiangshan整理 ∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

A10?A9?A5(A9?A8)?10?A9?A9?5A9?5A8 431323332?4A9?5A8 ?36A8?5A8

2232?41A8

2?2296個

說明：這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認(rèn)真體會每種解法的實質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運(yùn)用．

2、解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有A66種不同排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有A33對種不同的排法，因此共有A66?A33?4320種不同的排法．

（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔．這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有A5種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位

353置中選出三個來讓三個女生插入都有A6種方法，因此共有A5?A6?14400種不同的排法．

5（3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的226個，有A5種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A6種排法，所以共有A5?A6?14400種不同的排法． 26

解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有A8種不同的排法，從中扣除女生1717排在首位的A3?A7種排法和女生排在末位的A3?A7種排法，但這樣兩端都是女生的排法在8扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以

26還需加一次回來，由于兩端都是女生有A3?A6種不同的排法，所以共有A8?2A3A7?A3A6?1440種不同的排法．0 81726解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有A6種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又都有A5種不同的排法，所以共有A6?A5?14400種不同的排法，5 / 1jiangshan整理 3553（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受

171條件限制了，這樣可有A5?A7種不同的排法；如果首位排女生，有A3種排法，這時末位就1只能排男生，有A5種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有A66種不同的排法，11617116這樣可有A3 ?A5?A6種不同排法．因此共有A5?A7?A3?A5?A6?36000種不同的排法．解法2：3個女生和5個男生排成一排有A88種排法，從中扣去兩端都是女生排法A32?A66種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．

因此共有A88?A32?A66?36000種不同的排法．

說明：解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．

若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時要兼顧其它條件．

若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素．

間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題來得簡單、明快．

捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用．

3、解：（1）先排歌唱節(jié)目有A55種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個454放入舞蹈節(jié)目，共有A6中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：A5A6＝43200.（2）先排舞蹈節(jié)目有A44中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供

55個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A44A5＝2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有A5，再排舞蹈節(jié)目有A6，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。

544、分析與解法1：6六門課總的排法是A566，其中不符合要求的可分為：體育排在5第一書有A5種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有A5種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中Ⅲ，這種情況有A4種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：

54A6?2A5?A4?504（種）． 6 / 14

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分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況：

（1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有A42?A44種；

4（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法A4?A4種；

（3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法A4?A4種；

（4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法A44

這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：

1414

A42?A44?A4． ?A4?A4?A4?504（種）

分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況：

（1）體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開頭一節(jié)，有A42?12種排法；

（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法；

（3）體育在最后一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法；

（4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法．

上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種A44，故總排法數(shù)為21A44?504（種）．

下面再提出一個問題，請予解答．

問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法．

請讀者完成此題．

說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法．

5、分析：可以把3輛車看成排了順序的三個空：，然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入．因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題．

3解：分兩步完成．第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車中，有A3?6種安排方法；第二步

3把3名售票員安排到3輛車中，有A3?6種安排方法．故搭配方案共有

A3?A3?36種． 33說明：許多復(fù)雜的排列問題，不可能一步就能完成．而應(yīng)分解開來考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街螅瑧?yīng)用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決．在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂．

6、分析：填寫學(xué)校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學(xué)校的兩個專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)．因此這是一個排列問題．

/ 1jiangshan整理 解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有A43種不同的排法；第二步，從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有A32?A32?A32種．綜合以上兩步，由分步計數(shù)

3222原理得不同的填表方法有：A4?A3?A3?A3?5184種．

說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)，有時題中并未直接點(diǎn)明，需要根據(jù)實際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點(diǎn)尤其重要．“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合．另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開考慮．

7、分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有A37種排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A44種排法，故一共有A73?A44?A77種排法．事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第4~7個位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是A77，相當(dāng)于7個人的全排列．(2)優(yōu)先安排甲、乙．(3)用“捆綁法”．(4)用“插空法”．

347解：(1)A7?A4?A7?5040種．

1(2)第一步安排甲，有A3種排法；第二步安排乙，有A4種排法；第三步余下的5人排在15剩下的5個位置上，有A5種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有A3?A4?A5?1440種． 115(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有A5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有A3種排法．由分步計53數(shù)原理得，共有A5?A3?720種排法． 53(4)第一步，4名男生全排列，有A4種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名

3男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有A5種插入方法．由分步計數(shù)原理得，443符合條件的排法共有：A4?A5?1440種．

說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列．(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．

/ 1jiangshan整理

8、分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“2”，當(dāng)它位于個位時，即形如的數(shù)共有A42個（從

3、，當(dāng)這些數(shù)相加時，4、5、6四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空）的數(shù)也有A42，那么當(dāng)這些數(shù)由“2”所產(chǎn)生的和是A42?2．當(dāng)2位于十位時，即形如相加時，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A42?2?10．當(dāng)2位于面位時，可同理分析．然后再依次分析3、4、5、6的情況．

解：形如的數(shù)共有A42個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A42?2；形如的數(shù)也有A42的數(shù)也有A42個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A42?2?10；形如個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A42?2?100．這樣在所有三位數(shù)的和中，由“2”

22產(chǎn)生的和是A42?2?111．同理由3、4、5、6產(chǎn)生的和分別是A4?3?111，A4?4?111，A4?5?111，A4?6?111，因此所有三位數(shù)的和是A4?111?(2?3?4?5?6)?26640． 222說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決．如“由1,4,5,x四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，求數(shù)x”．本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了A44?24次，故有24?(1?4?5?x)?288，得x?2．

9、解：(1)A(3)原式?215?15?14?210；

6(2)A6?6!?6?5?4?3?2?1?720;(n?1)!(n?m)!?(n?m)!?1(n?1)!

??(n?m)!?1(n?1)!?1；

(4)原式?(2!?1)?(3!?2!)?(4!?3!)???[(n?1)!?n!]

?(n?1)!?1； n?1n!1(n?1)!1n!(5)∵??，9 / 1jiangshan整理 ∴12!?23!?34!???n?1n!13!

?11!?12!?12!?13!??14!???1(n?1)!?1n!?1?1n!．

說明：準(zhǔn)確掌握好排列公式是順利進(jìn)行計算的關(guān)鍵． 本題計算中靈活地用到下列各式：

n!?n(n?1)!；nn!?(n?1)!?n!；

n?1n!?1(n?1)!?1n!；使問題解得簡單、快捷．

10、解：A中很顯然，“a在b前的六人縱隊”的排隊數(shù)目與“b在a前的六人縱隊”排隊數(shù)目相等，而“六人縱隊”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和．這表明：A的算式正確．

B中把六人排隊這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到a占位的狀況決定了b占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)a占據(jù)第一個位置

1時，b占位方法數(shù)是A5；當(dāng)a占據(jù)第2個位置時，b占位的方法數(shù)是A4；??；當(dāng)a占據(jù)1第5個位置時，b占位的方法數(shù)是A11，當(dāng)a，b占位后，再排其他四人，他們有A44種排法，可見B的算式是正確的．

C中A6可理解為從6個位置中選4個位置讓c,d,e,f占據(jù)，這時，剩下的兩個位置4依前后順序應(yīng)是a,b的．因此C的算式也正確．

這兩個位置讓a,b占據(jù)，顯然，a,b占D中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)C6，據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時，再排其余四人，又有A4種排法，可見D的算式是對的．

說明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)D的解法．

4211、解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況．應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：

A4?A2?A5?A4?A4?A5?8640(種)． 215215解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法．把“甲坐在第一排的八

17人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是A4?A7．在這種前提下，不合題意的方法是“甲

11115坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個數(shù)目是A4?C2?A3?A4?A5．其中第一個因數(shù)

/ 1jiangshan整理 11A4表示甲坐在第一排的方法數(shù)，C2表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，A3表示把選出

11的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個A4則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，A55就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為

A4?A7?A4?C2?A3?A4?A5?8640(種)． 1711115說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)．

12、解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有A22種排列．但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求．所以共有A22?A44?A55種陳列方式． ∴應(yīng)選D．

說明：關(guān)于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列．本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題．

13、解法1：（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬位的排列數(shù)，共有5?A所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有

12?5?A5?300個．

655種，5解法2：（間接法）：取0,1,?,5個數(shù)字排列有A6，而0作為十萬位的排列有A5，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有

12(A6?A5)?300(個)．

655∴應(yīng)選B．

說明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應(yīng)考慮能否用間接法來解．

(2)“個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法．

14、分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷．

解法1：分類計算．

將符合條件的偶數(shù)分為兩類．一類是2作個位數(shù)，共有A4個，另一類是4作個位數(shù)，也有A4個．因此符合條件的偶數(shù)共有A4?A4?24個． 2222 11 / 1jiangshan整理 解法2：分步計算．

1先排個位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字，有A42種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，12三位偶數(shù)應(yīng)有A2?A4?24個．

解法3：按概率算．

用1?5這5個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A53?60個，其中偶點(diǎn)其中的25．因此三位偶數(shù)共有60?25?24個．

解法4：利用選擇項判斷．

用1?5這5個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A53?60個．其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于30個，四個選擇項所提供的答案中，只有A符合條件． ∴應(yīng)選A．

15、分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮．在(1)中，項可抽象為nAn?(n?1?1)An?(n?1)An?nAn?An?1?Annnnnn?1n，(2)中，項為n!?n(n?1)(n?2)?3?2?1，當(dāng)n?5時，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮．

n解：(1)由nAn?(n?1)!?n!

∴原式?2!?1!?3!?2!???9!?8!?9!?1!?362879．(2)當(dāng)n?5時，n!?n(n?1)(n?2)?3?2?1的個位數(shù)為0，∴Sn?1!?2!?3!???n!(n?10)的個位數(shù)字與1!?2!?3!?4!的個位數(shù)字相同． 而1!?2!?3!?4!?33，∴Sn的個位數(shù)字為3．

說明：對排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證：

12!?23!?34!???n(n?1)!n?1(n?1)!13!?1?1(n?1)!1(n?1)!1n!，我們首先可抓等式右邊的

n(n?1)!?n?1?1(n?1)!12!1???1n!?1(n?1)!1，∴左邊?1??2!?????1(n?1)!?1?(n?1)!?右邊．

/ 1jiangshan整理

16、分析：3位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0，由于個位用或者不用數(shù)字0，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用0或者用2、4進(jìn)行分類．一個自然數(shù)能被3整除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類．

解：(1)就個位用0還是用2、2、3、4中任取兩4分成兩類，個位用0，其它兩位從

1、數(shù)排列，共有A42?12(個)，個位用2或4，再確定首位，最后確定十位，共有2?4?4?32(個)，所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：12?32?44(個)．

(2)從0、1、2、3、4、5中取出和為3的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：(012)、(015)、(024)、(045)、(123)、(135)、(234)、(345)，前四組中有0，后四組中沒有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有4?2?A22?16(個)，如果用后3四組，共有4?A3?24(個)，所有被3整除的三位數(shù)的總數(shù)為16?24?40(個)．

17、分析：對于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對待，設(shè)空座梯形依次編號為1、2、3、4、5、6、7．先選定兩個空位，可以在1、2號位，也可以在2、3號位?共有六種可能，再安排另一空位，此時需看到，如果空位在1、2號，則另一空位可以在4、5、6、7號位，有4種可能，相鄰空位在6、7號位，亦如此．如果相鄰空位在2、3號位，另一空位可以在5、6、7號位，只有3種可能，相鄰空位在3、4號，4、5號，5、6號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類．本題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個元素與另一空位插入已坐人的4個座位之間，用插空法處理它們的不相鄰．

解答一：就兩相鄰空位的位置分類：

若兩相鄰空位在1、2或6、7，共有2?4?A4?192(種)坐法．

若兩相鄰空位在2、3，3、4，4、5或5、6，共有4?3?A4?288(種)不同坐法，所以所有坐法總數(shù)為192?288?480(種)．

解答二：先排好4個人，然后把兩空位與另一空位插入坐好的4人之間，共有A4?A5?480(種)不同坐法． 4244解答三：本題還可采用間接法，逆向考慮在所有坐法中去掉3個空位全不相鄰或全部相鄰的情況，4個人任意坐到7個座位上，共有A7種坐法，三個空位全相鄰可以用合并法，13 / 14

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4直接將三個空位看成一個元素與其它座位一起排列，共有A55種不同方法．三個空位全不相鄰仍用插空法，但三個空位不須排列，直接插入4個人的5個間隔中，有A44?10種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數(shù)為A74?A55?10A44?480(種)．

/ 14

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第二篇：排列組合典型例題

典型例題一

例1 用0到9這10 個數(shù)字．可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：

如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是 2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因為零不能放在千位數(shù)上）．由此解法一與二．

如果從千位數(shù)入手．四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三．

如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四．

解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有A9個；

當(dāng)個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有A4?A8?A8（個）．

∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

1123?2296

A9?A4?A8?A8?504?1792個．

解法2：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，同解一有A9個；當(dāng)個位數(shù)上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：13A4?(A9?A82)個

3311

2∴

沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

A9?A4?(A9?A8)?504?1792?2296個．

解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有

A5?A5?A8個

干位上從2、4、6、8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有

11A4?A4?A82個 11231

32∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

A5?A5?A8?A4?A4?A8?2296個．

解法4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)．

沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A10?A9個．

其中四位奇數(shù)有A5(A9?A8)個

/ 13

***∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

4313333A10?A9?A5(A9?A82)?10?A9?A9?5A9?5A82

3?4A9?5A82

?36A82?5A82

?41A82

?2296個

說明：這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認(rèn)真體會每種解法的實質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運(yùn)用．

典型例題二

例2 三個女生和五個男生排成一排

（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有A6種不同排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有A3對種不同的排法，因此共有A6?A3?4320種不同的排法．

（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔．這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有A5種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有A6種方法，因此共有A5?A6?14400種不同的排法．

（3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有A5種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A6種排法，所以共有6A52?A6?14400種不同的排法． 2635353636

解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有A8種不同的排法，從中扣除女生排在首位的A3?A7種排法和女生排在末位的A3?A7種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有A3?A6種不同的排法，所以共有

2617178 2 / 1 8176A8?2A3A7?A32A6?14400種不同的排法．

解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有A6種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又都有A5種不同的排法，所以共有35A6?A5?14400種不同的排法，53（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有A5?A7種不同的排法；如果首位排女生，有A3種排法，這時末位就只能排男生，有A5種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有A6種不同的排法，這樣可有A3?A5?A6種不同排法．因此共有A5?A7?A3?A5?A6?36000種不同的排法．

解法2：3個女生和5個男生排成一排有A8種排法，從中扣去兩端都是女生排法A3?A6種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．

因此共有A8?A3?A6?36000種不同的排法．

說明：解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．

若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時要兼顧其它條件．

若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素．

間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題來得簡單、明快．

捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用． ***6171典型例題三

例3 排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解：（1）先排歌唱節(jié)目有A5種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有A6中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：A5A6＝43200.（2）先排舞蹈節(jié)目有A4中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A4A5＝2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰情況。

4545454 3 / 1 如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有A5，再排舞蹈節(jié)目有A6，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。

54典型例題四

例4 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法．

分析與解法1：6六門課總的排法是A6，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有A5種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有A5556種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中Ⅲ，這種情況有A4種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：

A6?2A5?A4?504（種）．

分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況：

（1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有A4?A4種；

（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法A4?A4種；

（3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法A4?A4種；

（4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法A這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：

A4?A4?A4?A4?A4?A4?504（種）．

分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況：

（1）體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開頭一節(jié)，有A4?12種排法；

（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法；

（3）體育在最后一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法；

（4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法．

上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種A4，故總排法數(shù)為21A4?504（種）．

下面再提出一個問題，請予解答．

問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法．

請讀者完成此題．

說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法．

***46544 4 / 1

3典型例題五

例5 現(xiàn)有3輛公交車、每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票員．問3位司機(jī)和3位售票員，車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？

分析：可以把3輛車看成排了順序的三個空：，然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入．因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題．

解：分兩步完成．第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車中，有A3?6種安排方法；第二步把3名售票員安排到3輛車中，有A3?6種安排方法．故搭配方案共有

33A3?A3?36種．

33說明：許多復(fù)雜的排列問題，不可能一步就能完成．而應(yīng)分解開來考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，?yīng)用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決．在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂．

典型例題六

例6 下是表是高考第一批錄取的一份志愿表．如果有4所重點(diǎn)院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇．若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？

學(xué) 校 1 2 3 1 1 1 專 業(yè) 2 2 2

分析：填寫學(xué)校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學(xué)校的兩個專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)．因此這是一個排列問題．

解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有A4種不同的排法；第二步，從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有A3?A3?A3種．綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：A4?A3?A3?A3?5184種．

說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)，有時題中并未直接點(diǎn)明，需要根據(jù)實際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點(diǎn)尤其重要．“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合．另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開考慮．

32222223典型例題七

/ 1

3例5 7名同學(xué)排隊照相．

(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？

(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？ 3名女生，分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有A7種排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A4種排法，故一共有A7?A4?A7種排法．事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第4~7個位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是A7，相當(dāng)于7個人的全排列．(2)優(yōu)先安排甲、乙．(3)用“捆綁法”．(4)用“插空法”． 解：(1)A7?A4?A7?5040種．

(2)第一步安排甲，有A3種排法；第二步安排乙，有A4種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個位置上，有A5種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有115A3?A4?A5?1440種．

5***(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有A5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有A3種排法．由分步計數(shù)原理得，共有A5?A3?720種排法．

(4)第一步，4名男生全排列，有A4種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有A5種插入方法．由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：A4?A5?1440種．

說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列．(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．

43353534典型例題八

例8 從2、3、4、5、6五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和．

分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“2”，當(dāng)它位于個位時，即形如

/ 1 的數(shù)共有A4個（從

3、，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”4、5、6四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空）所產(chǎn)生的和是A4?2．當(dāng)2位于十位時，即形如

222的數(shù)也有A4，那么當(dāng)這些數(shù)相加時，2由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A4?2?10．當(dāng)2位于面位時，可同理分析．然后再依次分析3、4、5、6的情況．

解：形如2的數(shù)共有A4個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A4?2；形如

222的數(shù)也有A4個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A4?2?10；形如

2的數(shù)也有A42個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A4?2?100．這樣在所有三位數(shù)的和中，由“2”產(chǎn)生的和是A4?2?111．同理由3、4、5、6產(chǎn)生的和分別是A4?3?111，A4?4?111，222?111?(2?3?4?5?6)?26640． A4?5?111，A4?6?111，因此所有三位數(shù)的和是A4222說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決．如“由1,4,5,x四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，求數(shù)x”．本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了A4?24次，故有24?(1?4?5?x)?288，得x?2． 4典型例題九

例9 計算下列各題：

m?1n?mAn?A?1n?m(1)A；

(2)A；

(3)； n?1An?121566(4)1!?2?2!?3?3!???n?n!

(5)

123n?1????? 2!3!4!n!解：(1)A15?15?14?210；(2)A6?6!?6?5?4?3?2?1?720;(3)原式?62(n?1)!1?(n?m)!?

[n?1?(m?1)!](n?1)!(n?1)!1?(n?m)!??1；

(n?m)!(n?1)!?(4)原式?(2!?1)?(3!?2!)?(4!?3!)???[(n?1)!?n!]

/ 1 ?(n?1)!?1；

(5)∵n?111，??n!(n?1)!n!123n?1 ?????2!3!4!n!?111111111??????????1?． 1!2!2!3!3!4!(n?1)!n!n!∴說明：準(zhǔn)確掌握好排列公式是順利進(jìn)行計算的關(guān)鍵．

本題計算中靈活地用到下列各式：

n!?n(n?1)!；nn!?(n?1)!?n!；

n?111??；使問題解得簡單、快捷． n!(n?1)!n!典型例題十

例10 a,b,c,d,e,f六人排一列縱隊，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法．對這個題目，A、B、C、D四位同學(xué)各自給出了一種算式：A的算式是161111144?A2?A3?A4?A5)?A4；C的算式是A6； A6；B的算式是(A124．上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由． D的算式是C62?A4解：A中很顯然，“a在b前的六人縱隊”的排隊數(shù)目與“b在a前的六人縱隊”排隊數(shù)目相等，而“六人縱隊”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和．這表明：A的算式正確．

B中把六人排隊這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到a占位的狀況決定了b占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)a占據(jù)第一個位置時，b占位方法數(shù)是A5；當(dāng)a占據(jù)第2個位置時，b占位的方法數(shù)是A4；??；當(dāng)a占據(jù)第5個位置時，b占位的方法數(shù)是A1，當(dāng)a，b占位后，再排其他四人，他們有A4種排法，可見B的算式是正確的．

1411C中A64可理解為從6個位置中選4個位置讓c,d,e,f占據(jù)，這時，剩下的兩個位置依前后順序應(yīng)是a,b的．因此C的算式也正確．

這兩個位置讓a,b占據(jù)，顯然，a,b占D中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)C62，據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時，再排其余四人，又有A4種排法，可見D的算式是對的． 8 / 1 說明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)D的解法．

典型例題十一

例11 八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？

解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況．應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：

215215A4?A2?A5?A4?A4?A5?8640(種)．

解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是A4?A7．在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個數(shù)目是A4?C2?A3?A4?A5．其中第一個因數(shù)

111A4表示甲坐在第一排的方法數(shù)，C2表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，A3表示把選出

1111517的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個A4則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，A5就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為

1711115A4?A7?A4?C2?A3?A4?A5?8640(種)． 51說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)．

典型例題十二

例12 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）．

A．A4?A

5B．A3?A4?A5

C．C3?A4?A5

D．A2?A4?A5

解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有A2種排列．但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求．所以共有A2?A4?A5種陳列方式．

∴應(yīng)選D．

說明：關(guān)于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列．本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題．

***典型例題十三

/ 1

3例13 由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）．

A．210

B．300

C．46

4D．600 解法1：（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬位的排列數(shù)，共有5?A5種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有

515?5?A5?300個． 265解法2：（間接法）：取0,1,?,5個數(shù)字排列有A6，而0作為十萬位的排列有A5，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有

165(A6?A5)?300(個)． 2∴應(yīng)選B．

說明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應(yīng)考慮能否用間接法來解．

(2)“個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法．

典型例題十四

例14 用1,2,3,4,5，這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）． A．24個

B．30個

C．40個

D．60個

分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷．

解法1：分類計算．

將符合條件的偶數(shù)分為兩類．一類是2作個位數(shù)，共有A4個，另一類是4作個位數(shù)，也有A4個．因此符合條件的偶數(shù)共有A4?A4?24個．

解法2：分步計算．

先排個位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字，有A4種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有A2?A4?24個．

解法3：按概率算．

用1?5這5個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A5?60個，其中偶點(diǎn)其中的32222121222．因此三位偶數(shù)共有60??24個． 55解法4：利用選擇項判斷．

/ 1 用1?5這5個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A5?60個．其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于30個，四個選擇項所提供的答案中，只有A符合條件． ∴應(yīng)選A．

3典型例題十五

例15(1)計算A1?2A2?3A3???8A8．

(2)求Sn?1!?2!?3!???n!(n?10)的個位數(shù)字．

分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮．在(1)中，項可抽象為nnnnn?1nnAn?(n?1?1)An?(n?1)An?nAn?An?1?An1238，(2)中，項為n!?n(n?1)(n?2)?3?2?1，當(dāng)n?5時，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮．

解：(1)由nAn?(n?1)!?n!

∴原式?2!?1!?3!?2!???9!?8!?9!?1!?362879．(2)當(dāng)n?5時，n!?n(n?1)(n?2)?3?2?1的個位數(shù)為0，∴Sn?1!?2!?3!???n!(n?10)的個位數(shù)字與1!?2!?3!?4!的個位數(shù)字相同． 而1!?2!?3!?4!?33，∴Sn的個位數(shù)字為3．

說明：對排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證： n123n1??????1?，我們首先可抓等式右邊的 2!3!4!(n?1)!(n?1)!nn?1?1n?1111?????，(n?1)!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!∴左邊?1?111111???????1??右邊． 2!2!3!n!(n?1)!(n?1)!典型例題十六

例16 用0、組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個1、2、3、4、5共六個數(shù)字，無重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？

/ 1 分析：3位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0，由于個位用或者不用數(shù)字0，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用0或者用

2、一個自然數(shù)能被3整4進(jìn)行分類．除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類．

解：(1)就個位用0還是用2、2、3、4中任取兩4分成兩類，個位用0，其它兩位從

1、數(shù)排列，共有A4?12(個)，個位用2或4，再確定首位，最后確定十位，共有22?4?4?32(個)，所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：12?32?44(個)．

(2)從0、1、2、3、4、5中取出和為3的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：(012)、(015)、(024)、(045)、(123)、(135)、(234)、(345)，前四組中有0，后四組中沒有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有4?2?A2?16(個)，如果用后四組，共有4?A3?24(個)，所有被3整除的三位數(shù)的總數(shù)為16?24?40(個)． 32典型例題十七

例17 一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相鄰，另一個空位與2個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？

分析：對于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對待，設(shè)空座梯形依次編號為1、2、3、4、5、6、7．先選定兩個空位，可以在1、2號位，也可以在2、3號位?共有六種可能，再安排另一空位，此時需看到，如果空位在1、2號，則另一空位可以在4、5、6、7號位，有4種可能，相鄰空位在6、7號位，亦如此．如果相鄰空位在2、3號位，另一空位可以在5、6、7號位，只有3種可能，相鄰空位在3、4號，4、5號，5、6號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類．本題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個元素與另一空位插入已坐人的4個座位之間，用插空法處理它們的不相鄰．

解答一：就兩相鄰空位的位置分類：

若兩相鄰空位在1、2或6、7，共有2?4?A4?192(種)坐法．

若兩相鄰空位在2、3，3、4，4、5或5、6，共有4?3?A4?288(種)不同坐法，所以所有坐法總數(shù)為192?288?480(種)．

解答二：先排好4個人，然后把兩空位與另一空位插入坐好的4人之間，共有4A4?A52?480(種)不同坐法．

44解答三：本題還可采用間接法，逆向考慮在所有坐法中去掉3個空位全不相鄰或全部相

/ 13

鄰的情況，4個人任意坐到7個座位上，共有A7種坐法，三個空位全相鄰可以用合并法，直接將三個空位看成一個元素與其它座位一起排列，共有A5種不同方法．三個空位全不相鄰仍用插空法，但三個空位不須排列，直接插入4個人的5個間隔中，有A4?10種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數(shù)為A7?A5?10A4?480(種)．

454544 13 / 13

第三篇：2011高中數(shù)學(xué)排列組合典型例題精講

高中數(shù)學(xué)排列組合典型例題精講

概念形成1、元素：我們把問題中被取的對象叫做元素

2、排列：從n個不同元素中，任取m（m?n）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順．．．．序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。．．．．．

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列（與位置有關(guān)）

（2合作探究二排列數(shù)的定義及公式

3、排列數(shù)：從n個不同元素中，任取m（m?n）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號Anm議一議：“排列”和“排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？

4、排列數(shù)公式推導(dǎo)

探究：從n個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)An是多少？An呢？An呢？ mn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N?,m?n）23m

說明：公式特征：（1）第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個

因數(shù)是n?m?1，共有m個因數(shù)；

（2）m,n?N,m?n

即學(xué)即練:

1.計算(1）A10；(2）A5 ；(3)A5?A3

2.已知A10?10?9???5，那么m?m4?253

3．k?N?,且k?40,則(50?k)(51?k)(52?k)?(79?k)用排列數(shù)符號表示為()

50?k293030A．A79?kB．A79?kC．A79?kD．A50?k

例1． 計算從a,b,c這三個元素中，取出3個元素的排列數(shù)，并寫出所有的排列。、全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的全排列。

此時在排列數(shù)公式中，m = n

全排列數(shù)：An?n(n?1)(n?2)?2?1?n!（叫做n的階乘）.即學(xué)即練:口答（用階乘表示）：（1）4A3（2）A4（3）n?(n?1)!

排列數(shù)公式的另一種形式：

mAn?3n4(n?m)!

另外，我們規(guī)定 0!=1.例2．求證：An?mAnmm?1m?An?1．

解析：計算時，既要考慮排列數(shù)公式，又要考慮各排列數(shù)之間的關(guān)系；先化簡，以減少運(yùn)算量。

解：

左邊=

n！m?n?。╪-m?1）n！?m?n!(n?1)!????Am

n?1?右邊（n?m）！（n?m?1)!(n?m?1）！(n?m?1）！

點(diǎn)評：(1)熟記兩個公式；（2）掌握兩個公式的用途；(3)注意公式的逆用。

75An?An?89，求n的值。變式訓(xùn)練：已知（n=15）5An

1．若x?n!，則x?（）3!

3n?3n3(B)An(C)A3(D)An?3(A)An

2．若Am?2Am，則m的值為（）53

(A)5(B)3(C)6(D)7

3． 已知An?56，那么n?

4．一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1

列火車）？

1.計算(1）A10；(2）A5 ；(3)A5?A3

2.已知A10?10?9???5，那么m?m24253

3．k?N?,且k?40,則(50?k)(51?k)(52?k)?(79?k)用排列數(shù)符號表示為()

50?k293030A．A79?kB．A79?kC．A79?kD．A50?k

例1． 計算從a,b,c這三個元素中，取出3個元素的排列數(shù)，并寫出所有的排列。

1．若x?n!，則x?（）3!

3n?3n3(B)An(C)A3(D)An?3(A)An

2．若Am?2Am，則m的值為（）53

(A)5(B)3(C)6(D)7

3． 已知An?56，那么n?；

4．一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1

列火車）？

1．下列各式中與排列數(shù)An相等的是（）m

mnAnn!1m?1?1（A）（B）n(n－1)(n－2)??(n－m)（C）（D）AnAn?1 n?m?1(n?m?1)!

2．若 n∈N且 n<20，則(27－n)(28－n)??(34－n)等于（）

（A）A27?n（B）A34?n（C）A34?n（D）A34?n

3．若S=A1?A2?A3????A100，則S的個位數(shù)字是（）

（A）0（B）3（C）5（D）8

4.已知An?6An-5，則。

542A8?7A8? 5.計算5A8?A89

?1An

n?16．解不等式：2＜n?1?42 An?122123100827?n78

1．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）

（A）24個（B）30個（C）40個（D）60個

2．甲、乙、丙、丁四種不同的種子，在三塊不同土地上試種，其中種子甲必須試種，那么不同的試種方

法共有（）

（A）12種（B）18種（C）24種（D）96種

3．某天上午要排語文、數(shù)學(xué)、體育、計算機(jī)四節(jié)課，其中體育不排在第一節(jié)，那么這天上午課程表的不

同排法共有（）

（A）6種（B）9種（C）18種（D）24種

4．五男二女排成一排，若男生甲必須排在排頭或排尾，二女必須排在一起，不同的排法共有種．

例

1、(1)某足球聯(lián)賽共有12支隊伍參加，每隊都要與其他隊在主、客場分別比賽一場，共要進(jìn)行多

少場比賽？

解：

(1)放假了，某宿舍的四名同學(xué)相約互發(fā)一封電子郵件，則他們共發(fā)了多少封電子郵件？

(2)放假了，某宿舍的四名同學(xué)相約互通一次電話，共打了多少次電話？

例

2、（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人1本，共有多少種不同的送法？

（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

例

3、用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

變式訓(xùn)練: 有四位司機(jī)、四個售票員組成四個小組，每組有一位司機(jī)和一位售票員，則不同的分組方

案共有（）

（A）A8種（B）A8種（C）A4·A4種（D）A4種

例

4、三個女生和五個男生排成一排．

（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？

（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？

8444

4（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？

（5）如果三個女生站在前排，五個男生站在后排，有多少種不同的排法？

點(diǎn)評：

1）若要求某n個元素相鄰，可采用“捆綁法”，所謂“捆綁法”就是首先將要求排在相鄰位置上的元素看成一個整體同其它元素一同排列，然后再考慮這個整體內(nèi)部元素的排列。

2）若要求某n個元素間隔，常采用“插空法”。所謂插空法就是首先安排一般元素，然后再將受限

制元素插人到允許的位置上．

變式訓(xùn)練：

1、6個人站一排，甲不在排頭，共有

2．6個人站一排，甲不在排頭，乙不在排尾，共有

1．由0，l，2，3，4，5這六個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，奇數(shù)個數(shù)與偶數(shù)個數(shù)之比為（）

（A）l：l（B）2：3（C）12：13（D）21：23

2．由0，l，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第86個數(shù)是（）（A）

42031（B）42103（C）42130（D）43021

3．若直線方程AX十By=0的系數(shù)A、B可以從o，1，2，3，6，7六個數(shù)中取不同的數(shù)值，則這些方程所表

示的直線條數(shù)是（）

（A）A5一2B）A5（C）A5+2（D）A5－2A522221

4．從a，b，c，d，e這五個元素中任取四個排成一列，b不排在第二的不同排法有（）

A A4A5B A3A3CA5DA4A4

5．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行實驗，有種不

同的種植方法。

6．9位同學(xué)排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，這樣的排法種數(shù)共有種。

7、某產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少種排列加工順序的方法？

（2）如果其中某兩工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？

1．四支足球隊爭奪冠、亞軍，不同的結(jié)果有（）

A．8種B．10種C．12種D．16種

2．信號兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號有

（）

A．3種B．6種C．1種D．27種

3．k?N?,且k?40,則(50?k)(51?k)(52?k)?(79?k)用排列數(shù)符號表示為

（）

50?k293030A．A79?kB．A79?kC．A79?kD．A50?k 1312413

4．5人站成一排照相，甲不站在排頭的排法有（）

A．24種B．72種C．96種D．120種

5.4·５·6·7·?·(n-1)·ｎ等于（）

A.An

2n?4B.Ann?3C.ｎ?。?！D.n!4!6.An?1與An的大小關(guān)系是（）

A.An?1?AnB.An?1?AnC.An?1?An

7．給出下列問題：

2323233D.大小關(guān)系不定

①有10個車站，共需要準(zhǔn)備多少種車票？

②有10個車站，共有多少中不同的票價？

③平面內(nèi)有10個點(diǎn)，共可作出多少條不同的有向線段？

④有10個同學(xué)，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？

⑤從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少種選派方法？

以上問題中，屬于排列問題的是（填寫問題的編號）。

8．若x?{x|?Z,|x|?4}，y?{y|y?Z,|y|?5}，則以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有

9.若x=n!m,則x用An的形式表示為x3!

mm?1mm?110.(1)An?An?1；（2）An?An

m 711．（1）已知A10?10?9???5，那么m?；（2）已知9!?362880，那么A9（3）已

知An?56，那么n?（4）已知An?7An?4，那么n?．

12．從參加乒乓球團(tuán)體比賽的5名運(yùn)動員中選出3名進(jìn)行某場比賽，并排定他們的出場順序，有多少種不

同的方法？

13．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗，有多少中不同的種植方法？

32123414．計算：（1）5A5?4A4（2）A4?A4?A4?A

416．求證： An?mAnmm?1m?An?1；222

565A7?A62A9?3A9617.計算：①6② 659!?A10A6?A5

18．三個數(shù)成等差數(shù)列，其比為3:4:5，如果最小數(shù)加上1，則三數(shù)成等比數(shù)列，那么原三數(shù)為什么？

排列與排列數(shù)作業(yè)(2)

1．與A10?A7不等的是（）

98910(B)81A8(C)10A9(D)A10(A)A1037

2．若Am?2Am，則m的值為（）53

(A)5(B)3(C)6(D)7

3.100×99×98×?×89等于（）

A.A100B.A100C.A100

2101112 D.A100 134.已知An＝132，則n等于（）

A.11B.12C.13D.以上都不對

5．將1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法多少種？（）

A． 6B． 9C． 11D． 23

6．有5列火車停在某車站并排的五條軌道上，若快車A不能停在第三條軌道上，貨車B不能停在第一條

軌道上，則五列火車的停車方法有多少種（）

A．78B．72C．120D．96

7．由0，1，3，5，7這五個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中是5的倍的共有多少個

（）

A．9B．21C． 24D．42

8．從?9,?5,0,1,2,3,7七個數(shù)中，每次選不重復(fù)的三個數(shù)作為直線方程ax?by?c?0的系數(shù)，則傾斜角

為鈍角的直線共有多少條？（）

A．14B．30C． 70D．60

9.把3張電影票分給10人中的3人，分法種數(shù)為（）

A.2160B.240C.720D.120

10.五名學(xué)生站成一排，其中甲必須站在乙的左邊(可以不相鄰)的站法種數(shù)（）

A.A44 B.14A42 C.A5 5D.15A5 2

11．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)

行實驗，有種不同的種植方法。

12．9位同學(xué)排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，這樣的排法種數(shù)共有種。

13．（1）由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成.（2）由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成個無重復(fù)數(shù)字，并且比13000大的正整數(shù)？

14．學(xué)校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的出場順序，除第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定外，4個音樂

節(jié)目要求排在第2、5、7、10的位置，3個舞蹈節(jié)目要求排在第3、6、9的位置，2個曲藝節(jié)目要求排在第4、8的位置，共有種不同的排法？

15．某產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有序的方法.（2）如果其中某兩工序不能放在最前，也不能放在最后，有種排列加順序的方法.16．一天的課表有6節(jié)課，其中上午4節(jié)，下午2節(jié)，要排語文、數(shù)學(xué)、外語、微機(jī)、體育、地理六節(jié)課，要求上午不排體育，數(shù)學(xué)必須排在上午，微機(jī)必須排在下午，共有種不同的排法？

17.求證：A1?2A2?3A3???nAn?An?1?1

123nn?1

第四篇：典型例題

【典型例題】She had a great ___ for the town where she grew up.A.affection

B.affectation

C.infection

D.affectionate 【試題詳解】答案 A 她熱愛她長大的那座小鎮(zhèn) have an affection for 對??有感情

affectation n.矯揉造作 infection n.傳染，感染 affectionate adj.深情的

【常用短語】have an affection for sbsth 【詞匯補(bǔ)充】affect v.喜愛 affectionate adj.深愛的

【典型例題】How to talk to Martin is rather an____ question.A.advanced

B.absolute

C.accurate

D.academic 【試題詳解】答案 D 如何讓與火星人交談是一個學(xué)術(shù)性很強(qiáng)的問題。academic question 學(xué)術(shù)問題;advanced 高級的accurate 準(zhǔn)確的 absolute 絕對的

【詞匯補(bǔ)充】academicals 博士服，碩士服 academic year 學(xué)年 academician 院士 academy 私立中學(xué) academicism 墨守成規(guī)

【典型例題】When you __ big , believe big , and pray big , big things happen!A.affirm

B.know C.agree

D.ensure 【試題詳解】答案是A。句意：當(dāng)你確認(rèn)偉大，相信你偉大，起到偉大，偉大的事情就會發(fā)生！

affirm肯定，斷言；know知道；agree同意；ensure保證，確保。

【典型考題】

The _____ of the past week had left her exhausted.A anxieties

B concerns

C expectations

D anticipation 解析：由同意詞辨析可知此題答案選 A 意為過去一個星期的擔(dān)憂使她筋疲力盡。

【典型考題】: Now,let us come to item No.5 on the __.A.plan

B.program

C.agenda

D.project 解析：答案是C。句意：現(xiàn)在讓我們討論議事日程上的第五項。

agenda待議諸事一覽表；program（行動）計劃；project工程，項目；plan計劃。

【典型考題】

Age affects the range of a person’s ______ A capacities B capabilities

C capacious D capable 解析：答案選B 此題考查易錯詞辨析。句意為年齡影響一個人能力的大小。Capacity 表示

容量容積明顯不符合題意。后兩個答案分別為他們的形容詞形式?！镜湫涂碱}】

He’s had no end of bad luck but he just seems to ______ every time.A.bounce back

B.recover

C.reverse

D.come to 解析：答案選A 句意：他總是遇到不如意的事，但是好像每次都能恢復(fù)過來。bounce back 指失意后恢復(fù)過來?！镜湫涂碱}】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案為B ,此題考查對形近詞的區(qū)分。句意：鼓勵每個人為難民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐贈，出錢（力）”，因為本題是鼓勵每個人，所以不可能是“分發(fā)”食品和衣物，只會是“捐贈”

【Derivative】

contributor n.捐助者，投稿者 ； contribution n.貢獻(xiàn)，捐獻(xiàn)物

contributive adj.有助的，促成的 ；contributory adj.促成的，捐助性的?！镜湫涂碱}】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案為B ,此題考查對形近詞的區(qū)分。句意：鼓勵每個人為難民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐贈，出錢（力）”，因為本題是鼓勵每個人，所以不可能是“分發(fā)”食品和衣物，只會是“捐贈”

Counsel/???????/ noun, verb ? Noun 1.(formal)advice, especially given by older people or experts;a peiece of advice(尤指老年人或?qū)＜业?勸告，忠告，建議：Listen to the counsel of your elders.2 a lawyer or group of lawyers representing sb in a court of law 律師：the counsel for the defence/prosecution.? Verb 1 to listen to and give support or professional advice to sb who needs help.為某人提供幫助：Therapists were brought in to counsel the bereaved.2 to advise sb to do sth 建議，勸告（做某事）Most experts counsel caution in such cases.【Common phrases】

a counsel of despair 知難而退的建議

； a counsel of perfection 聽上去完美卻難以實行的建議

； keep your own counsel 保留自己的意見?！綝erivative】

counseling noun 咨詢，輔導(dǎo)

； counselor noun 顧問，輔導(dǎo)顧問 【易錯詞】

Council;noun a group of people who are elected to govern an area such as a city or county.【典型考題】

The court then heard_____ for the dead woman’s father.A council

B councilor

C counsel

D counselor 解析：答案選C，句意為：法庭接著聽取了已死女人的父親所請律師的陳述。A項意為委員會 此題考查形近詞。[典型考題]

That is Taoist pragmatistic ___and positivist___.a.crisp b.crisis c.crises d.criminate [試題分析] 答案為b.[詳細(xì)解答] 這主要表現(xiàn)為道教的“實用主義危機(jī)”和“實證主義危機(jī).a.crisp是鈔票；c.crises是危險;d.criminate是指控，譴責(zé)的意思，均與原文不符。[典型考題]

I want an appointment for a___time and place.a.definitive b.definitely c.definite d.distinct [試題分析] 答案為c [詳細(xì)解答] 句意：我要有確切的時間和地點(diǎn)的約會。表示“明確的，不可能引起誤解的”；顯然約會的時間和地點(diǎn)是不能含糊的，應(yīng)該明確無誤的。[典型考題] Believe in each child is own----potentiality.a.developmental b.experimental c.formative d.development [試題分析] 答案為a.[詳細(xì)解答] 句意為 相信每一個兒童都有發(fā)展的潛能。b.experimental多用于表達(dá)實驗(性)的, 試驗(性)的；而c.formative是(影響)形成〔構(gòu)成, 發(fā)展〕的，但developmental更貼近句意；d.development為名詞，詞性不符。

[典型考題]。

He could not give a ____explanation of his intention.A.distinct B.Obvious C.clear D.plain [試題分析] 答案為 A.[試題分析] 本題考查近義詞的辨析問題。他不能清楚明白地解釋他的意圖。Distinct指人表達(dá)思想，概念清楚明白；指容易感受到或看到。本題的賓語是“解釋他的意圖”。Obvious指事物一目了然，含無可置疑之意。Clear范圍較廣，指事物清楚明白；plain注重作品等顯而易見的，淺顯易懂的。

[典型考題]：

I was most ____to hear the sad news for your father death.a.distressed b.distressing c.distressful d.distress [試題分析] 分析：答案為a.[試題詳解] distressed我聽到你父親去世的消息，十分難過。Distressed使某人感動痛苦，難過。多用于修飾人。而b.distressing以形容事情令人痛苦為主；c.distressful與b.distressing 的用法相

同，多用于修飾事件；d.distress是動詞，此處應(yīng)為形容詞，詞性不符。

[典型考題] In most universities, males and females live in the same____.a.room b.flat c.chamber d.dorm [試題分析]

分析：答案為d.[試題詳解] 在大部分高校，男生和女生住在相同的宿舍里。room指房間，顯然與原句不合邏輯；flat強(qiáng)調(diào)一套房間，公寓套房；c.chamber是指會議廳，會所。所以只有d.dorm最符合原文。而且學(xué)生公寓一般均用dorm表示。?典型考題?That old professor is a walking____.A.book

B.encyclopedia C.novel

D.fiction ?試題分析?本題為詞義辨析題?？疾槊~的辨義。

?詳細(xì)解答?典型考題答案B。句意：那位老教授是一個活百科。book n.書本，書籍；encyclopedia n.百科全書；novel n.長篇故事，小說；fiction n.虛構(gòu)的文學(xué)作品，小說。典型考題? His____ are limited, and scarcely fit him for his post.A.endorsement

B.engagement C.endowment

D.enlargement ?試題分析?本題是形近詞辨析題。?詳細(xì)解答?典型考題答案C。句意：他的天資很有限，不太適合擔(dān)任這項職務(wù)。endorsement n.1.(公開的)贊同，支持，認(rèn)可,2.(通常為名人在廣告中為某一產(chǎn)品的)宣傳，吹噓；engagement n.預(yù)約，約會，訂婚：enlargement n.擴(kuò)大物（尤指照片），擴(kuò)大，增大;endowment n.天資，天賦。?典型考題? Is it____ to promote cigarettes through advertising? A.ethereal

B.ethnic C.ether

D.ethical ?試題分析?本題是形近詞辨析題。

?詳細(xì)解答?典型考題答案D。句意：通過廣告推銷香煙合乎道德嗎？ethereal adj.輕飄的，靈氣的；ethnic adj.種族的，民族的；ether n.乙醚，太空；ethical adj.合乎道德的?典型考題?Students of social problems investigate the home, social and moral_____(s)of different classes of people.A.surroundings

B.conditions C.environment

C.situation ?試題分析?本題為詞義辨析題?？疾槊~的辨義。?詳細(xì)解答?典型考題答案C。句意：研究社會問題的學(xué)者調(diào)查各階層人民的家庭，社會和精神方面的生活環(huán)境。surrounding 多指 地理環(huán)境；condition 意為“情況，條件”；situation 指“情況，狀況”；environment指“環(huán)境”。

?典型考題?The teacher____ the performance of each student.A.evacuated

B.evaluated

C.equated

D.evoked ?試題分析?本題是詞義辨析題。?詳細(xì)解答?典型考題答案B。句意：老師對每個學(xué)生的成績進(jìn)行評估。evacuate vt.撤退，疏散；equate vt.同等看待，使相等,與equal是同根；evoke vt.喚起，激起；evaluate vt.對某物進(jìn)行評價，評估。

[典型考題]They complained about the ＿＿noise coming from the upstairs flat.A、overladen B、immoderate C、inordinate D、excessive ［試題分析］近義詞辨析 答案為D ［詳細(xì)解答］句意為他們抱怨樓上發(fā)出的噪音太大。A意為裝貨過多的;(房間)裝飾[擺設(shè)]過多的;(工作)負(fù)擔(dān)過多的。B意為無節(jié)制的,極端的C意為紊亂的;放肆的，無限制的, 無節(jié)制的D excessive noise 表示噪音的音量很大

［詞形變換］exceed v.超過 excess n.超過，超越，過量，過度 excessively adv.極端地，過分地

［典型考題］America has suffered the ＿＿crisis.A、economic

B、economical C、financial

D、monetary ［試題分析］近義詞辨析 答案為C ［詳細(xì)解答］固定搭配 financial crisis 金融危機(jī)。A意為經(jīng)濟(jì)的, 經(jīng)濟(jì)學(xué)的

合算的, 有經(jīng)濟(jì)效益的B意為節(jié)約的, 節(jié)儉的, 經(jīng)濟(jì)的 D意為貨幣的;通貨的;錢的;金融的;財政的

［詞形變換］finances n、財力、財源、基金；finance n、財政、金融；financer n、財政家、金融家；financially adv、在財政上、在經(jīng)濟(jì)上

【典型例題】It's the music to ____ the dramatic effect.A.enhance

B.heighten

C.intensify

D.aggravate 【試題詳解】答案 B

那是用于提高戲劇效果的配樂。

區(qū)別 enhanceheightenintensifyaggravate 這些動詞均有“加強(qiáng)，增強(qiáng)”之意： enhance：側(cè)重指增加價值，魅力或聲望等使人或物具有超科尋常的吸引力。

heighten：通常指使某物的某種性質(zhì)變得不同一般的顯著或突出。intensify：指深化或強(qiáng)化某事或某物，尤指其特別之處。aggravate：指加劇令人不快或困難的形勢。

【典型例題】She had no ___ about making her opinions known.A.fear

B.afraid

C.interest

D.inhibition 【試題詳解】答案 D 她敢于公開地談?wù)撟约旱南敕ā?/p>

fear “害怕” 常用搭配“fear of for sth”

afraid “恐懼的” 常用搭配 “be afraid of sth” interest “興趣”

常用搭配 “interest inon sth”

【詞形變換】inhibit v.阻止；使拘束

inhibited adj.拘謹(jǐn)?shù)?【典型考題】 He has ___his mother’s patience.A.inhabited

B.inhibited

C.inhered

D.inherited 【試題詳解】答案 D 這種耐心是母親遺傳給他的。

inhabit v.居住

inhibit v.阻止；抑制

inhere v.存在于??中；歸屬于 inherit v.繼承

【常用短語】 inherit(sth)from sb 【典型例題】Perfume____ with the skin’s natural chemicals.A.communicate

B.influence

C.affect

D.interact 【試題詳解】答案 D 香水和皮膚的天然化學(xué)物質(zhì)相互作用。communicate with sb “與某人溝通”

influence 僅指單方面的影響，對??起作用 affect 同上“influence”

【典型例題】There was a serious incident ___ a group of youths.A.including

B.revolving

C.involving

D.evolving 【試題詳解】答案C 有一起嚴(yán)重的事件涉及一群年輕人。include v.包含，包括 revolve v.旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動

evolve v.發(fā)展，演變

【常用短語】involve(sb)in sthdoing sth

beget involed in sth beget involed with sb 【詞形變換】involved adj.有關(guān)聯(lián)的；復(fù)雜的；關(guān)系密切的1)【典型考題】

The cherk of the House prepares the ___ of the House.A

journal B diary C

record 答案：A 解析：下議院的書記整理了下議院的議事錄。Journal 在這里的是議事程的意思，diary 是指日記，不僅記錄所發(fā)生之事，還強(qiáng)調(diào)包括個人情感與想法。

【典型考題】

As he reached ___ Bandit became more difficult to live with.A mature B ripe

C maturity

D matured 答案：D

解析：然而到了成年之后，邦就變得特別難相處。Reach

maturity 表示長大成熟，為固定搭配，ripe通常表示作物和時機(jī)成熟。

【典型考題】He likes to show off his ___ physique.A.male

B.masculine

C.manly

D.man 答案：B

解析：句意：他喜歡顯示他強(qiáng)健的男子本色。Masculine指在心理上或身體上具有男子特征，本句中形容詞所修飾的名詞是physique(體魄)，所以，masculine 符合題意。

【典型考題】She has a deep ____of strangers, so she never lkes to talk to them.A.mistrust

B.distrust

C.trust

D.untrustworth 答案：A

解析:她對陌生人猜忌及深，她也從不喜歡跟陌生人搭訕。根據(jù)句意。C選項不符合題意，D為形容詞，所填選項必須為名詞，予以排除。distrust 和 mistrust 都有猜忌的意思，但差別很小。distrust 更為通用，語氣稍強(qiáng)，確信某人不誠實或不可信常用distrust.表示并不信任則大概用mistrust.這里只是表示她對陌生人不信任所以選A.【典型考題】Have you listened to ___ this morning ? A newsagent B newspaper C newsdom D newscast 答案：D 解析：newsagent 意為報刊經(jīng)銷人，newspaper 不符合題意，newsdom 代表報界，固選D 代表新聞。

[典型考題] He ____ through themist，trying to find the right path.A.pecked B.peered C.peeped D.peeled [試題分析] 本題考查形近詞的辨析。pecked 啄；peered 仔細(xì)看；peeped 偷窺；peeled 削皮；可知正確答案為B

[典型考題] I ___his commment as a challenge.A． feeled B.observed C.perceived D.comprehend [試題分析] 本題考查近義詞辨析。perceive 的意思是interpret sth in a certain way，與as 搭配。選C 【典型考題】He was born in a ___ family.A single parent B single-parent C single-parents D single-parental 答案：B 解析：single-parent 為固定搭配意為“單親家庭的”。他出身在一個單親家庭。所填詞應(yīng)屬形容詞性質(zhì)，B符合題意。

parental 本身就是形容詞，所以D選項不符合題意，予以排除。

[典型考題] Mr.Smith had an unusual ___, he was first an office clerk, then a sailor, and ended up as a school teacher.A.profession B.occupation C.position D.carrer

[試題分析] 本題考查近義詞辨析。A,B指所從事的職業(yè)，C 是指所在職位，D指職業(yè)生涯。正確答案為D。

[典型試題]

The next edition of the book is ___ for publication in March.A.projected B.propelled C.professed D.protected [試題分析] 本題考查形近詞辨析。project是計劃、規(guī)劃的意思。propel是推動、迫使的意思。C 項 公開表明的。protect 保護(hù)。

[典型考題]

Few people will admit being racially ___.A.pride B.proud C.prejudiced D.pessimistic [試題分析] 本題考查形近詞辨析。A、B項的意思是驕傲的，自豪的；C項是有偏見的、有歧視的；D項的意思是悲觀的。根據(jù)句意，很少有人愿意承認(rèn)他們有種族歧視，正確答案為C。

第五篇：典型例題

典型例題

一、填空題

1.教育是社會主義現(xiàn)代化建設(shè)的基礎(chǔ)，國家保障教育事業(yè)優(yōu)先發(fā)展。全社會應(yīng)當(dāng)關(guān)心和支持教育事業(yè)的發(fā)展。全社會應(yīng)當(dāng)尊重教師。

2.新課程的三維目標(biāo)是 知識與技能目標(biāo)、過程與方法目標(biāo)和情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)。

二、單項選擇題（下列所給的選項中，只有一個最符合題目要求）

1.《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》中指出，國家課程標(biāo)準(zhǔn)（A）

A.是教學(xué)和命題的依據(jù)B.包括教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

C.是大多數(shù)學(xué)生都能達(dá)到的最高要求D.是根據(jù)專家的意見編制的2.人們常說：“教學(xué)有法，而無定法”。這反映了教師勞動具有（B）

A.示范性B.創(chuàng)造性C.間接性D.主體性

三、判斷題（請判斷下列各題的觀點(diǎn)是否正確，正確的打“√”，錯誤的打“”。

1.學(xué)生評教是促進(jìn)教師發(fā)展過程中惟一客觀的評價方式。（×）

2.新課程目標(biāo)取向及精神內(nèi)核就是以學(xué)生的發(fā)展為本。（√）

四、簡單題

1.中小學(xué)教師的職業(yè)道德規(guī)范主要涉及哪些方面？

答：愛國守法、愛崗敬業(yè)、關(guān)愛學(xué)生、教書育人、為人師表、終身學(xué)習(xí)。

2.《中華人民共和國未成年人保護(hù)法》規(guī)定學(xué)校應(yīng)尊重未成年學(xué)生的哪些權(quán)利？

答：學(xué)校應(yīng)當(dāng)尊重未成年學(xué)生受教育的權(quán)利，關(guān)心、愛護(hù)學(xué)生，對品行有缺點(diǎn)、學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，應(yīng)當(dāng)耐心教育、幫助，不得歧視，不得違反法律和國家規(guī)定開除未成年學(xué)生。

五、案例分析題

學(xué)校規(guī)定初三學(xué)生必須在6點(diǎn)鐘到校參加早自修，作為任課教師第二天與學(xué)生一起參與早自修的我在班級中也強(qiáng)調(diào)了一下，可是第二天仍有許多學(xué)生遲到，我看到這一情況，下令讓遲到的學(xué)生在走廊罰站。到了第三天，再也沒有一個學(xué)生遲到。還有一次，初三（2）班的一位男同學(xué)老是不肯做一周一次的時政作業(yè)，每次問他為什么，總都有原因，上次他說忘了，這次又說要點(diǎn)評的報紙沒買，下次他會說作業(yè)本沒帶。這樣幾個星期下來，我光火了，不僅讓他在辦公室反思了一刻鐘，寫下保證書，還對他說，“下次再不交作業(yè)，甭來上課”，他這才有所收斂。

請從有關(guān)師德要求分析“我”的做法，并提出合理解決此類問題的建議。

答：本案主要反映了案例中的“我”以罰代教的教育方法，這明顯違反了新時期我國教師職業(yè)道德內(nèi)容中關(guān)于“對待學(xué)生”的相應(yīng)規(guī)定，違反了不準(zhǔn)以任何借口體罰或變相體罰學(xué)生，不準(zhǔn)因?qū)W生違反紀(jì)律而加罰與違反紀(jì)律無關(guān)的任務(wù)等。

這位教師的做法在我們的身邊也有可能出現(xiàn)。面對那些頑皮學(xué)生，有的教師可能無計可施。只得用“罰站”、“威脅”來對付他們，取得的效果看似有效，其實學(xué)生并非真正地接受，這不是真正的教育。雖然教師的出發(fā)點(diǎn)是好的，但這位教師的處理方法與《中小學(xué)教師職業(yè)道德規(guī)范》背道而馳。

教師對學(xué)生嚴(yán)格要求，要耐心教導(dǎo)，不諷刺、挖苦、歧視學(xué)生，不體罰或變相體罰學(xué)生，保護(hù)學(xué)生的合法權(quán)益。教師應(yīng)該采用“說理”教育來對待那些頑皮學(xué)生，教師以朋友的身份心平氣和地找那些學(xué)生談心，尊重學(xué)生的人格，平等、公正地對待學(xué)生，多付出一點(diǎn)愛，多花時間在他們身上，當(dāng)他們感受到老師在關(guān)心他們時，相信他們會改正缺點(diǎn)，努力做的更好。