第一篇：二次項(xiàng)定理典型例題教師版

典型例題

1??例

1在二項(xiàng)式?x??的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項(xiàng)． 42x??分析：本題是典型的特定項(xiàng)問題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過抓通項(xiàng)公式解決．

解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為： nTr?1?C(x)rnn?r1?1?x?4??Crnr2?2x?r2n?3r

4前三項(xiàng)的r?0,1,2.得系數(shù)為：t1?1,t2?C1n由已知：2t2?t1?t31111?n,t3?C2?n(n?1)，n22481n?1?n(n?1)，∴n?8

816?3r4r1通項(xiàng)公式為Tr?1?C8rx2r?0,1,2?8,Tr?1為有理項(xiàng)，故16?3r是4的倍數(shù)，∴r?0,4,8.1351281?2x?x,T?Cx?x． 98824822564依次得到有理項(xiàng)為T1?x4,T5?C8說明：本題通過抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了r的取值，得到了有理項(xiàng)．類似地，(2?33)100的展開式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有17項(xiàng)．

1??例

2求?x?3?的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)以及系數(shù)最大的項(xiàng)．

2x??分析：本題仍然屬于抓通項(xiàng)公式解決特定項(xiàng)的問題，但是系數(shù)的絕對(duì)值的最大值或系數(shù)的最大值，需要對(duì)所有項(xiàng)的系數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行研究．由于系數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)，我們可以用作商來(lái)研究系數(shù)絕對(duì)值的變化情況，另外各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)交替，又便于用系數(shù)絕對(duì)值的大小變化抓系數(shù)的最大值． 解：展開式的通項(xiàng)公式為：Tr?1?C(?1)?2用前后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值作商得：

r10r?r10?x30?5r6r?2?r，記為tr?1．

系數(shù)的絕對(duì)值為C10tr?2tr?1r?1r?1C10?2?(r?1)C1010!r!(10?r)!10?r?????.r?rrC10?22C10(r?1)!?(9?r)!2?10!2(r?1)令10?r8?1

得：r?

即r?0、1、2時(shí)，上述不等式成立．

2(r?1)35252所以，系數(shù)的絕對(duì)值從第1項(xiàng)到第4項(xiàng)增加，以后逐項(xiàng)減?。?系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，T4?C(?1)2x??15x．

從系數(shù)絕對(duì)值的變化情況及系數(shù)的正負(fù)交替，只要比較第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)，2t3?C10?2?24103?31053452101054x． ?,t5?C10?2?4??.所以，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，t5?841685727例

3已知(1?2x)?a0?a1x?a2x???a7x，求：（1）a1?a2?a3???a7；

（2）a1?a3?a5?a7；（3）

a0?a2?a4?a6．

分析：本題是有關(guān)展開式系數(shù)和的問題，通過對(duì)等式中字母的賦值，往往會(huì)得到此類問題的結(jié)果．字母經(jīng)常取的值有0、1、－1等．

7解：（1）取x?0可得a0?1，取x?1得a0?a1???a7?(?1)??1．

∴a1?a2?a3???a7??2.（2）取x??1得a0?a1?a2?a3???a6?a7?37，記A?a0?a2?a4?a6,B?a1?a3?a5?a7．

∴A?B??1,A?B?3． 可得A?7171(3?1)?1093,B??(1?37)??109從而a1?a3?a5?a7??1094． 22（3）從（2）的計(jì)算已知a0?a2?a4?a6?1093．

說明：賦值法不僅可以用來(lái)求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和，對(duì)于展開式為多項(xiàng)式的代數(shù)式的系數(shù)和大多數(shù)也能用此方法解決，如：(1?x)?(1?2x)的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為多少？可以看到(1?x)(1?2x)的展開式仍是多項(xiàng)式，令5656x?1，即得各項(xiàng)系數(shù)和為25(?1)6?32．再比如：(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2nx2n，則a0?a2?a4???a2n等于多少？本題可以由取x?1得到各項(xiàng)系數(shù)和，取x??1得到奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，兩式相加可得a0?a2???a2n?1n(3?1)．此外，為了賦值的需要，有時(shí)需要用一個(gè)新的二項(xiàng)式替換原來(lái)二項(xiàng)2n式，只要它們的系數(shù)等同即可．如：(x?2log2x)的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是多少？我們可以用一個(gè)更簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式(1?2x)n代替原來(lái)的二項(xiàng)式，它們的系數(shù)并不改變，令x?1便得各項(xiàng)系數(shù)和為3n．

例4

（1）求(1?x)(1?x)展開式中x5的系數(shù)；（2）求(x?3101?2)6展開式中的常數(shù)項(xiàng)． x分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題，（1）可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開式相乘；（2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式．

解：（1）(1?x)(1?x)展開式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：

55x；用(1?x)展開式中的一次項(xiàng)乘以用(1?x)展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以(1?x)展開式中的x5項(xiàng)，可以得到C104445(1?x)10展開式中的x4項(xiàng)可得到(?3x)(C10x)??3C10x；用(1?x)3中的x2乘以(1?x)10展開式中的x3可得到333522253x2?C10x?3C10x；用(1?x)3中的x3項(xiàng)乘以(1?x)10展開式中的x2項(xiàng)可得到?3x3?C10x??C10x，合并同類項(xiàng)5432?C10?3C10?C10)x5??63x5． 得x5項(xiàng)為：(C103103103??11?11?5x??(x??2)??x??（2）x??2??

． ????xxx?x????1?r12?r?1?r6T?C(2)x6?r，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為C12x???924． 由?展開式的通項(xiàng)公式???C12r?112??x??x??說明：?jiǎn)栴}（2）中將非二項(xiàng)式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決．這時(shí)我們還可以通過合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題來(lái)解決．

例

5求(1?x?x)展開式中x5的系數(shù)．

分析：(1?x?x)不是二項(xiàng)式，我們可以通過1?x?x?(1?x)?x或1?(x?x)把它看成二項(xiàng)式展開． 解：方法一：(1?x?x)?(1?x)?x2621212r2626222?26?

?(1?x)?6(1?x)x652?15(1?x)4x4??

5535155其中含x5的項(xiàng)為C6x?6C5x?15C4x?6x．

含x5項(xiàng)的系數(shù)為6．

方法二：(1?x?x)?1?(x?x)26?2?6?1?6(x?x2)?15(x?x2)2?20(x?x2)3?15(x?x2)4?6(x?x2)5?(x?x2)6

其中含x5的項(xiàng)為20(?3)x?15(?4)x?6x?6x．

∴x5項(xiàng)的系數(shù)為6．

方法3：本題還可通過把(1?x?x)看成6個(gè)1?x?x2相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，x5項(xiàng)

5可由下列幾種可能得到．5個(gè)因式中取x，一個(gè)取1得到C56x．

1323個(gè)因式中取x，一個(gè)取?x2，兩個(gè)取1得到C36?C3x?(?x)． 2221個(gè)因式中取x，兩個(gè)取?x2，三個(gè)取1得到C16?C5x?(?x)． 3112555合并同類項(xiàng)為(C56?C6C3?C6C5)x?6x，x項(xiàng)的系數(shù)為6． 2nn?1例6

求證：（1）C1；（2）C0n?2Cn???nCn?n?2n?555526111211Cn?Cn???Cn?(2n?1?1)． n23n?1n?1分析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值．解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)，從而使用二項(xiàng)12nn式系數(shù)性質(zhì)C0n?Cn?Cn???Cn?2．

解：（1）?kCn?k?kn!n!(n?1)!?1??n??nCkn?1

k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!(k?1)!(n?k)!1n?101n?1n?1?右邊． ∴左邊?nC0n?1?nCn?1???nCn?

1?n(Cn?1?Cn?1???Cn?1)?n?2（2）11n!n!1(n?1)!1?1 Ck??????Cknn?1．

k?1k?1k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!n?1(k?1)!(n?k)!n?1111111n?112n?1 Cn?1?C2???C?(C?C???C)?(2n?1?1)?右邊． n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1∴左邊?說明：本題的兩個(gè)小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解．此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例89782子：求29C1010?2C10?2C10???2C10?10的結(jié)果．仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(1?2)的展開式接近，但022991010?C1要注意：

(1?2)10?C1010?2?C10?2???C10?2?C10?2

22991010289910

?1?2?10?2C10???2C10?2C10

?1?2(10?2C10???2C10?2C10)

1029從而可以得到：10?2C10???28C10?29C1010?110(3?1)． 2例7

利用二項(xiàng)式定理證明：32n?2?8n?9是64的倍數(shù)．

分析：64是8的平方，問題相當(dāng)于證明32n?2?8n?9是82的倍數(shù)，為了使問題向二項(xiàng)式定理貼近，變形32n?2?9n?1?(8?1)n?1，將其展開后各項(xiàng)含有8k，與82的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái)．

解：∵32n?2?8n?9?9n?1nn?12n?8n?9?(8?1)n?1?8n?9?8n?1?C1n?1?8???Cn?1?8?Cn?1?8?1?8n?9

nn?12n?1nn?12?8n?1?C1?C1n?1?8???Cn?1?8?8(n?1)?1?8n?9?8n?1?8???Cn?1?8

n?2?1?(8n?1?C1???Cnn?1?8n?1)?64是64的倍數(shù)．

說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù)．

3??例8 展開?2x?． 2?2x??分析1：用二項(xiàng)式定理展開式．

50253?3?3?3??05?14?23??C(2x)??C(2x)??C(2x)?解法1：?2x? ??????555222?22x??2x??2x??2x??3?***3?3??3?35?52?C5(2x)2??2??C54(2x)??2??C5 ?4?7???2??32x?120x?102x2x2xxx8x32x??????分析2：對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開．

53453?(4x3?3)51?0351342332解法2：?2x?2?? ?[C(4x)?C(4x)(?3)?C(4x)(?3)55510102x?32x32x?35?C5(4x3)2(?3)3?C54(4x3)1(?3)4?C5(?3)5]

11512963(1024x?3840x?5760x?4320x?1620x?2437)1032x***3． ?32x5?120x2??4?7?10xx8x32x?說明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a?b)的展開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件．對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開會(huì)更簡(jiǎn)便．

例9 若將(x?y?z)展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）．

A．1B．3C．5D．66 分析：(x?y?z)看作二項(xiàng)式[(x?y)?z]展開．

解：我們把x?y?z看成(x?y)?z，按二項(xiàng)式展開，共有11“項(xiàng)”，即

k(x?y?z)?[(x?y)?z]??C10(x?y)10?k?zk． 1010k?010101010n這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(x?y)不同的乘積C10(x?y)k10?k10?k展開，?zk（k?0,1,?,10）展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)．

k10?k下面，再分別考慮每一個(gè)乘積C10(x?y)其中每一個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由(x?y)?zk（k?0,1,?,10）．

10?k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)． 故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為11?10?9???1?66，∴應(yīng)選D．

n1??例10 若?x??2?的展開式的常數(shù)項(xiàng)為?20，求n．

x??

11?1?????分析：題中x?0，當(dāng)x?0時(shí)，把三項(xiàng)式?x??2?轉(zhuǎn)化為?x??2???x??；當(dāng)x?0時(shí)，同理

xxx??????11???n??．然后寫出通項(xiàng)，令含x的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出n． ?x??2??(?1)??x?x?x????n2nnn2n11?1r???r2n?rr2n?2r解：當(dāng)x?0時(shí)?x??2???x?，(x)(?)?(?1)rC2?，其通項(xiàng)為Tr?1?C2nn(x)xxx????令2n?2r?0，得n?r，∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為(?1)C2n；

nnn2n11???n?當(dāng)x?0時(shí)，?x??2??(?1)??x??，x?x????同理可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為(?1)C2n． 無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為(?1)C2n．

令(?1)C2n??20，以n?1,2,3,?，逐個(gè)代入，得n?3． nnnnnnn2n1??例11 ?x?3?的展開式的第3項(xiàng)小于第4項(xiàng)，則x的取值范圍是______________．

x??分析：首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出展開式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可．

1023101??28?1?37?1?解：使?x?3?有意義，必須x?0；依題意，有T3?T4，即C10(x)?3??C10(x)?3?． x???x??x?∴10?910?9?818．

解得0?x?5648． x??3（∵x?0）2?13?2?19x???858648?．

∴應(yīng)填：0?x?5648． 99?∴x的取值范圍是?x0?x?例12 已知(xlog2x?1)n的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為1∶2∶3，這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112，求x的值．

Cn∶Cn解：設(shè)連續(xù)三項(xiàng)是第k、k?

1、k?2項(xiàng)（k?N?且k?1），則有Cn∶即

k?1kk?1?1∶2∶3，n!n!n!∶∶?1∶2∶3．

(k?1)(n?k?1)!k!(n?k)!(k?1)(n?k?1)!k(n?k)1k1?????(n?k)(n?k?1)?n?k?122111????∶∶?1∶2∶3．∴?∴

k(k?1)2(k?1)2(n?k)(n?k?1)k(n?k)k(k?1)??????k(n?k)3(n?k)3???n?14，k?5所求連續(xù)三項(xiàng)為第5、6、7三項(xiàng)．

又由已知，C14x13log2x?112．即xlog2x?8．

23兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，(log2x)?3，log2x??3，∴x?2，或x?2?3．

說明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解．

例13(1?2x)的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)． 分析：根據(jù)已知條件可求出n，再根據(jù)n的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 解：T6?Cn(2x)，T7?Cn(2x)，依題意有Cn2?Cn2?n?8． ∴(1?2x)的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5?C8(2x)?1120x．

rrr?1r?1??C8?2?C8?2?5?r?6． 設(shè)第r?1項(xiàng)系數(shù)最大，則有?rrr?1r?1??C8?2?C8?2n556655668444∴r?5或r?6（∵r??0,1,2,?,8?）．∴系婁最大的項(xiàng)為：T6?1792x，T7?1792x．

56說明：(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．

(2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．

例14 設(shè)f(x)?(1?x)?(1?x)(m,n?N?)，若其展開式中關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)和為11，問m,n為何值時(shí)，含x項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值．分析：根據(jù)已知條件得到x的系數(shù)關(guān)于n的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題． 22mn12m2?n2?112解：C?C?n?m?11．

C?C?(m?m?n?n)?

221m1n2m2n?110?2mn1199．

∵n?N?，?n2?11n?55?(n?)2?2242∴n?5或6，m?6或5時(shí)，x項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25．

1129911)?的對(duì)稱軸方程為x?，即x?5.5，由于5、6距5.5等距離，且對(duì)n?N?，24211995、6距5.5最近，所以(n?)2?的最小值在n?5或n?6處取得．

24說明：二次函數(shù)y?(x?例15 若(3x?1)?a7x?a6x???a1x?a0，求(1)a1?a2???a7；(2)a1?a3?a5?a7；(3)a0?a2?a4?a6．

解：(1)令x?0，則a0??1，令x?1，則a7?a6???a1?a0?2?128．

①∴a1?a2???a7?129．

(2)令x??1，則?a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0?(?4)② 由

777761①?②7得：a1?a3?a5?a7?[128?（?4）]?8256 22①?②得：a0?a2?a4?a6 2(3)由

1?（[a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0）1?[128?(?4)7]??8128． 22?（?a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0）]說明：（1）本解法根據(jù)問題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法．這是一種重要的方法，它適用于恒等式．(2)一般地，對(duì)于多項(xiàng)式g(x)?(px?q)?a0?a1x?a2x???anx，g(x)的各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)：

n2n11g(x)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為[g(1)?g(?1)]．g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為[g(1)?g(?1)]．

22例16 填空：(1)2?3除以7的余數(shù)_____________；(2)55?15除以8的余數(shù)是________________.分析(1)：將230分解成含7的因數(shù)，然后用二項(xiàng)式定理展開，不含7的項(xiàng)就是余數(shù)．

10解：230?3?(2)?3 ?(8)?3?(7?1)?3?C107?C107???C107?C10?3

09189?7?[C107?C107???C10]?2 ***10又∵余數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需轉(zhuǎn)化為正數(shù)∴2?3除以7的余數(shù)為5∴應(yīng)填：5 分析(2)：將55寫成(56?1)，然后利用二項(xiàng)式定理展開．

55解：55?15?(56?1)?15?C***5515455?C555654???C5556?C55?15

55該式只有?C55?15?14不能被8整除，因此55?15除以8的余數(shù)，即14除以8的余數(shù)，故余數(shù)為6．∴應(yīng)填：6．

nn?1n1??1??例17 求證：對(duì)于n?N?，?1????1??nn?1????rpn1Tr?1?C?r?nr!nrrn?1?．證明：?1??展開式的通項(xiàng)

?n??1n(n?1)(n?2)?(n?r?1)

r!rr?112r?1(1?)(1?)?(1?)． r!nnnn?11??1????n?1?展開式的通項(xiàng)T'r?1?Crn?1rAn1??r(n?1)r!(n?1)rn?112r?1(1?)(1?)?(1?)． r!n?1n?1n?1． 由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)明顯看出Tr?1?T'r?11??1??，所以?1????1???n??n?1?n?1說明：本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同，證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明．

例18 在(x?3x?2)的展開式中x的系數(shù)為（）．

A．160

B．240

C．360

D．800 分析：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用．應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解． 解法1：由(x?3x?2)?[(x?3x)?2]，得Tk?1?C5(x?3x)再一次使用通項(xiàng)公式得，Tr?1?C5?2?C5?k?3xkkrr10?2k?r252525k25?k?2k?C5k?2k?(x2?3x)5?k．，這里0?k?5，0?r?5?k．

令10?2k?r?1，即2k?r?9．

所以r?1，k?4，由此得到x的系數(shù)為C5?2?3?240．

解法2：由(x?3x?2)?(x?1)(x?2)，知(x?1)的展開式中x的系數(shù)為C5，常數(shù)項(xiàng)為1，(x?2)的展開式中x的系數(shù)為C5?2，常數(shù)項(xiàng)為25． 因此原式中x的系數(shù)為C5?2?C5?2?240． 解法3：將(x?3x?2)看作5個(gè)三項(xiàng)式相乘，展開式中x的系數(shù)就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取3x的系數(shù)3，從另外4個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積，即C5?3?C4?2?240．∴應(yīng)選B．

***54425?a9x??的展開式中x3的系數(shù)為，常數(shù)a的值為___________． 例19 已知???x42????ax??的展開式中，分析：利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式．解：在???x2???3r?9?x?rr9?r?1???C9(?1)a????x2． 通項(xiàng)公式為Tr?1????2??2???393根據(jù)題設(shè)，r?9?3，所以r?8．代入通項(xiàng)公式，得T9?ax．

21699根據(jù)題意，a?，所以a?4．∴應(yīng)填：4．

16499?a??C???x?r99?rrr2例20(1)求證：1?3Cn?3?Cn?3?Cn???(?1)3?(?2)

22(2)若(2x?3)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x，求(a0?a2?a4)?(a1?a3)的值． 12233nnn4234分析：(1)注意觀察(1?x)?1?Cnx?Cnx???Cnx的系數(shù)、指數(shù)特征，即可通過賦值法得到證明．(2)注意到(a0?a2?a4)?(a1?a3)?(a0?a1?a2?a3?a4)

122nnx?Cnx???Cnx中令x??3，即有 ?(a0?a1?a2?a3?a4)，再用賦值法求之．解：(1)在公式(1?x)n?1?Cn12n(1?3)n?1?Cn(?3)1?Cn(?3)2???Cn(?3)n12?1?3?Cn?32?Cn???(?1)n?3n∴等式得證． 22n122nn(2)在展開式(2x?3)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x中，令x?1，得a0?a1?a2?a3?a4?(2x?3)；令x??1，得a0?a1?a2?a3?a4?(?2?3)． ∴原式?(a0?a1?a2?a3?a4)?(a0?a1?a2?a3?a4)?(2?3)?(?2?3)?1． 說明：注意“賦值法”在證明或求值中的應(yīng)用．賦值法的模式是，在某二項(xiàng)展開式，如

0n1n?12n?22(a?bx)n?a0?a1x?a2x2???anxn或(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab

nn???Cnb中，對(duì)任意的x?A（a,b?A）該式恒成立，那么對(duì)A中的特殊值，該工也一定成立．特殊值x如何選42344444取，沒有一成不變的規(guī)律，需視具體情況而定，其靈活性較強(qiáng)．一般取x?0,1,?1較多．一般地，多項(xiàng)式f(x)的各

項(xiàng)系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為

11[f(1)?f(?1)]，偶次項(xiàng)系數(shù)和為[f(1)?f(?1)]．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)22012n024135?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1的證明就是賦值法應(yīng)用的范例． Cn?Cn?Cn???Cn?2n及Cn例21 若n?N，求證明：3分析：考慮先將3解：32n?3?2n?3?24n?37能被64整除．

2n?3拆成與8的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項(xiàng)式定理展開．

?24n?37?3?32n?2?24n?37?3?9n?1?24n?37?3?(8?1)n?1?24n?37

0n?11n2n?1nn?1?3?[Cn?Cn???Cn?1?8?1?8?Cn?1?8?1?8?Cn?1]?24n?37 1n2n?1?3?[8n?1?Cn???(n?1)?8?1]?24n?37 ?1?8?Cn?1?81n2n?1n?12?3?[8n?1?Cn???Cn?1?8?Cn?1?8?1?8?(8n?9)]?24n?37 1n?22n?3n?1?3?82[8n?1?Cn?Cn???Cn?1?8?1?8?1]?3?(8n?9)?24n?37 1n?22n?3?3?64[8n?1?Cn?Cn??]?64，?1?8?1?8∵8n?1，Cn?1?81n?2，Cn?1?82n?3，?均為自然數(shù)，∴上式各項(xiàng)均為64的整數(shù)倍．∴原式能被64整除．

說明：用二項(xiàng)式定理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開證之．該類題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項(xiàng)式定理證明簡(jiǎn)捷．

例22 已知(x?3x2)n的展開式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992．(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解：令x?1得展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(1?3)?2，而展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為

012nCn?Cn?Cn???Cn?2n，∴有22n?2n?992．∴n?5． 23n2n(1)∵n?5，故展開式共有6，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng)． ∴T3?C(x)?(3x)?90x，T4?C(x)?(3x)?270x(2)設(shè)展開式中第r?1項(xiàng)的系數(shù)最大．

235?r10?4r***3223．

rTr?1?C5?(x)?(3x2)r?C5r?3r?x1?3?,???C?3?C?3?r6?r，故有?rr即? r?1r?113?C?3?C?35?5??.??5?rr?1r5rr?15r?1794解得?r?．∵r?N，∴r?4，即展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大．T5?C5?(x3)1?(3x2)4?405x3

22說明：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接得出，后者要列不等式組；解不等式組時(shí)可能會(huì)求出幾個(gè)r，這時(shí)還必須算出相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)后再比較大小．

例23 求證：(1)CnCm?CnCm???CnCm?Cm?n；(2)Cn?3Cn?3Cn???3Cn?2?402244nnn?10p1p?1p0p226?2n?1(n?2K，n?N*)

分析：(1)注意到兩列二項(xiàng)式兩乘后系數(shù)的特征，可構(gòu)造一個(gè)函數(shù)；也可用構(gòu)造一個(gè)組合問題的兩種不同解法找到思路．(2)同上構(gòu)造函數(shù)，賦值．

證明：(1)(法1)∵(1?x)∴(1?x)m?nm?n?(1?x)m?(1?x)n，122mm122nn?(1?Cmx?Cmx???Cmx)?(1?Cnx?Cnx???Cnx)．∴此式左右兩邊展開式中xP的系數(shù)必相p等．左邊xP的系數(shù)是Cm?n，右邊xP的系數(shù)是

0p1p?12p?200p1p?12p?2p0pCn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm，∴Cn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cn?Cm?Cm?n．等式成立．

(法2)設(shè)想有下面一個(gè)問題：要從m?n個(gè)不同元素中取出P個(gè)元素，共有多少種取法？該問題可有兩種解法．一種解法是明顯的，即直接由組合數(shù)公式可得出結(jié)論：有Cm?n種不同取法．第二種解法，可將m?n個(gè)元素分成兩組，第一組有m個(gè)元素，第二組有n個(gè)元素，則從m?n個(gè)元素中取出P個(gè)元素，可看成由這兩組元素中分別取出的元素組成，取法可分成P?1類：從第一組取P個(gè)，第二組不取，有Cm?Cn種取法；從第一組取P?1個(gè)，從第二組取1個(gè)，有Cm?Cn種取法，?，第一組不取，從第二組取P個(gè)．因此取法總數(shù)是Cm?Cn?Cm?Cn?Cm而該問題的這兩種解法答案應(yīng)是一致的，故有

0p1p?12p?20pCn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm?Cm?n． p?11p0p?11p?220?Cn???Cm?Cnp．

p0p(2)∵n為偶數(shù)，∴(1?3)?Cn?3Cn?3Cn???3Cn；(1?3)?Cn?3Cn?3Cn???3Cn．

兩式相加得4?2?2(Cn?3Cn?3Cn???3Cn)，∴Cn?3Cn?3Cn???3Cn?2?4nn02244nn02244nnn?1n0122nnn0122nn?2n?1．

說明：構(gòu)造函數(shù)賦值法，構(gòu)造問題雙解法，拆項(xiàng)法、倒序相加法都是證明一些組合數(shù)恒等式（或求和）的常用方法．

第二篇：典型例題

【典型例題】She had a great ___ for the town where she grew up.A.affection

B.affectation

C.infection

D.affectionate 【試題詳解】答案 A 她熱愛她長(zhǎng)大的那座小鎮(zhèn) have an affection for 對(duì)??有感情

affectation n.矯揉造作 infection n.傳染，感染 affectionate adj.深情的

【常用短語(yǔ)】have an affection for sbsth 【詞匯補(bǔ)充】affect v.喜愛 affectionate adj.深愛的

【典型例題】How to talk to Martin is rather an____ question.A.advanced

B.absolute

C.accurate

D.academic 【試題詳解】答案 D 如何讓與火星人交談是一個(gè)學(xué)術(shù)性很強(qiáng)的問題。academic question 學(xué)術(shù)問題;advanced 高級(jí)的accurate 準(zhǔn)確的 absolute 絕對(duì)的

【詞匯補(bǔ)充】academicals 博士服，碩士服 academic year 學(xué)年 academician 院士 academy 私立中學(xué) academicism 墨守成規(guī)

【典型例題】When you __ big , believe big , and pray big , big things happen!A.affirm

B.know C.agree

D.ensure 【試題詳解】答案是A。句意：當(dāng)你確認(rèn)偉大，相信你偉大，起到偉大，偉大的事情就會(huì)發(fā)生！

affirm肯定，斷言；know知道；agree同意；ensure保證，確保。

【典型考題】

The _____ of the past week had left her exhausted.A anxieties

B concerns

C expectations

D anticipation 解析：由同意詞辨析可知此題答案選 A 意為過去一個(gè)星期的擔(dān)憂使她筋疲力盡。

【典型考題】: Now,let us come to item No.5 on the __.A.plan

B.program

C.agenda

D.project 解析：答案是C。句意：現(xiàn)在讓我們討論議事日程上的第五項(xiàng)。

agenda待議諸事一覽表；program（行動(dòng)）計(jì)劃；project工程，項(xiàng)目；plan計(jì)劃。

【典型考題】

Age affects the range of a person’s ______ A capacities B capabilities

C capacious D capable 解析：答案選B 此題考查易錯(cuò)詞辨析。句意為年齡影響一個(gè)人能力的大小。Capacity 表示

容量容積明顯不符合題意。后兩個(gè)答案分別為他們的形容詞形式?！镜湫涂碱}】

He’s had no end of bad luck but he just seems to ______ every time.A.bounce back

B.recover

C.reverse

D.come to 解析：答案選A 句意：他總是遇到不如意的事，但是好像每次都能恢復(fù)過來(lái)。bounce back 指失意后恢復(fù)過來(lái)。【典型考題】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案為B ,此題考查對(duì)形近詞的區(qū)分。句意：鼓勵(lì)每個(gè)人為難民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐贈(zèng)，出錢（力）”，因?yàn)楸绢}是鼓勵(lì)每個(gè)人，所以不可能是“分發(fā)”食品和衣物，只會(huì)是“捐贈(zèng)”

【Derivative】

contributor n.捐助者，投稿者 ； contribution n.貢獻(xiàn)，捐獻(xiàn)物

contributive adj.有助的，促成的 ；contributory adj.促成的，捐助性的?！镜湫涂碱}】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案為B ,此題考查對(duì)形近詞的區(qū)分。句意：鼓勵(lì)每個(gè)人為難民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐贈(zèng)，出錢（力）”，因?yàn)楸绢}是鼓勵(lì)每個(gè)人，所以不可能是“分發(fā)”食品和衣物，只會(huì)是“捐贈(zèng)”

Counsel/???????/ noun, verb ? Noun 1.(formal)advice, especially given by older people or experts;a peiece of advice(尤指老年人或?qū)＜业?勸告，忠告，建議：Listen to the counsel of your elders.2 a lawyer or group of lawyers representing sb in a court of law 律師：the counsel for the defence/prosecution.? Verb 1 to listen to and give support or professional advice to sb who needs help.為某人提供幫助：Therapists were brought in to counsel the bereaved.2 to advise sb to do sth 建議，勸告（做某事）Most experts counsel caution in such cases.【Common phrases】

a counsel of despair 知難而退的建議

； a counsel of perfection 聽上去完美卻難以實(shí)行的建議

； keep your own counsel 保留自己的意見?！綝erivative】

counseling noun 咨詢，輔導(dǎo)

； counselor noun 顧問，輔導(dǎo)顧問 【易錯(cuò)詞】

Council;noun a group of people who are elected to govern an area such as a city or county.【典型考題】

The court then heard_____ for the dead woman’s father.A council

B councilor

C counsel

D counselor 解析：答案選C，句意為：法庭接著聽取了已死女人的父親所請(qǐng)律師的陳述。A項(xiàng)意為委員會(huì) 此題考查形近詞。[典型考題]

That is Taoist pragmatistic ___and positivist___.a.crisp b.crisis c.crises d.criminate [試題分析] 答案為b.[詳細(xì)解答] 這主要表現(xiàn)為道教的“實(shí)用主義危機(jī)”和“實(shí)證主義危機(jī).a.crisp是鈔票；c.crises是危險(xiǎn);d.criminate是指控，譴責(zé)的意思，均與原文不符。[典型考題]

I want an appointment for a___time and place.a.definitive b.definitely c.definite d.distinct [試題分析] 答案為c [詳細(xì)解答] 句意：我要有確切的時(shí)間和地點(diǎn)的約會(huì)。表示“明確的，不可能引起誤解的”；顯然約會(huì)的時(shí)間和地點(diǎn)是不能含糊的，應(yīng)該明確無(wú)誤的。[典型考題] Believe in each child is own----potentiality.a.developmental b.experimental c.formative d.development [試題分析] 答案為a.[詳細(xì)解答] 句意為 相信每一個(gè)兒童都有發(fā)展的潛能。b.experimental多用于表達(dá)實(shí)驗(yàn)(性)的, 試驗(yàn)(性)的；而c.formative是(影響)形成〔構(gòu)成, 發(fā)展〕的，但developmental更貼近句意；d.development為名詞，詞性不符。

[典型考題]。

He could not give a ____explanation of his intention.A.distinct B.Obvious C.clear D.plain [試題分析] 答案為 A.[試題分析] 本題考查近義詞的辨析問題。他不能清楚明白地解釋他的意圖。Distinct指人表達(dá)思想，概念清楚明白；指容易感受到或看到。本題的賓語(yǔ)是“解釋他的意圖”。Obvious指事物一目了然，含無(wú)可置疑之意。Clear范圍較廣，指事物清楚明白；plain注重作品等顯而易見的，淺顯易懂的。

[典型考題]：

I was most ____to hear the sad news for your father death.a.distressed b.distressing c.distressful d.distress [試題分析] 分析：答案為a.[試題詳解] distressed我聽到你父親去世的消息，十分難過。Distressed使某人感動(dòng)痛苦，難過。多用于修飾人。而b.distressing以形容事情令人痛苦為主；c.distressful與b.distressing 的用法相

同，多用于修飾事件；d.distress是動(dòng)詞，此處應(yīng)為形容詞，詞性不符。

[典型考題] In most universities, males and females live in the same____.a.room b.flat c.chamber d.dorm [試題分析]

分析：答案為d.[試題詳解] 在大部分高校，男生和女生住在相同的宿舍里。room指房間，顯然與原句不合邏輯；flat強(qiáng)調(diào)一套房間，公寓套房；c.chamber是指會(huì)議廳，會(huì)所。所以只有d.dorm最符合原文。而且學(xué)生公寓一般均用dorm表示。?典型考題?That old professor is a walking____.A.book

B.encyclopedia C.novel

D.fiction ?試題分析?本題為詞義辨析題。考查名詞的辨義。

?詳細(xì)解答?典型考題答案B。句意：那位老教授是一個(gè)活百科。book n.書本，書籍；encyclopedia n.百科全書；novel n.長(zhǎng)篇故事，小說；fiction n.虛構(gòu)的文學(xué)作品，小說。典型考題? His____ are limited, and scarcely fit him for his post.A.endorsement

B.engagement C.endowment

D.enlargement ?試題分析?本題是形近詞辨析題。?詳細(xì)解答?典型考題答案C。句意：他的天資很有限，不太適合擔(dān)任這項(xiàng)職務(wù)。endorsement n.1.(公開的)贊同，支持，認(rèn)可,2.(通常為名人在廣告中為某一產(chǎn)品的)宣傳，吹噓；engagement n.預(yù)約，約會(huì)，訂婚：enlargement n.擴(kuò)大物（尤指照片），擴(kuò)大，增大;endowment n.天資，天賦。?典型考題? Is it____ to promote cigarettes through advertising? A.ethereal

B.ethnic C.ether

D.ethical ?試題分析?本題是形近詞辨析題。

?詳細(xì)解答?典型考題答案D。句意：通過廣告推銷香煙合乎道德嗎？ethereal adj.輕飄的，靈氣的；ethnic adj.種族的，民族的；ether n.乙醚，太空；ethical adj.合乎道德的?典型考題?Students of social problems investigate the home, social and moral_____(s)of different classes of people.A.surroundings

B.conditions C.environment

C.situation ?試題分析?本題為詞義辨析題。考查名詞的辨義。?詳細(xì)解答?典型考題答案C。句意：研究社會(huì)問題的學(xué)者調(diào)查各階層人民的家庭，社會(huì)和精神方面的生活環(huán)境。surrounding 多指 地理環(huán)境；condition 意為“情況，條件”；situation 指“情況，狀況”；environment指“環(huán)境”。

?典型考題?The teacher____ the performance of each student.A.evacuated

B.evaluated

C.equated

D.evoked ?試題分析?本題是詞義辨析題。?詳細(xì)解答?典型考題答案B。句意：老師對(duì)每個(gè)學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行評(píng)估。evacuate vt.撤退，疏散；equate vt.同等看待，使相等,與equal是同根；evoke vt.喚起，激起；evaluate vt.對(duì)某物進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)估。

[典型考題]They complained about the ＿＿noise coming from the upstairs flat.A、overladen B、immoderate C、inordinate D、excessive ［試題分析］近義詞辨析 答案為D ［詳細(xì)解答］句意為他們抱怨樓上發(fā)出的噪音太大。A意為裝貨過多的;(房間)裝飾[擺設(shè)]過多的;(工作)負(fù)擔(dān)過多的。B意為無(wú)節(jié)制的,極端的C意為紊亂的;放肆的，無(wú)限制的, 無(wú)節(jié)制的D excessive noise 表示噪音的音量很大

［詞形變換］exceed v.超過 excess n.超過，超越，過量，過度 excessively adv.極端地，過分地

［典型考題］America has suffered the ＿＿crisis.A、economic

B、economical C、financial

D、monetary ［試題分析］近義詞辨析 答案為C ［詳細(xì)解答］固定搭配 financial crisis 金融危機(jī)。A意為經(jīng)濟(jì)的, 經(jīng)濟(jì)學(xué)的

合算的, 有經(jīng)濟(jì)效益的B意為節(jié)約的, 節(jié)儉的, 經(jīng)濟(jì)的 D意為貨幣的;通貨的;錢的;金融的;財(cái)政的

［詞形變換］finances n、財(cái)力、財(cái)源、基金；finance n、財(cái)政、金融；financer n、財(cái)政家、金融家；financially adv、在財(cái)政上、在經(jīng)濟(jì)上

【典型例題】It's the music to ____ the dramatic effect.A.enhance

B.heighten

C.intensify

D.aggravate 【試題詳解】答案 B

那是用于提高戲劇效果的配樂。

區(qū)別 enhanceheightenintensifyaggravate 這些動(dòng)詞均有“加強(qiáng)，增強(qiáng)”之意： enhance：側(cè)重指增加價(jià)值，魅力或聲望等使人或物具有超科尋常的吸引力。

heighten：通常指使某物的某種性質(zhì)變得不同一般的顯著或突出。intensify：指深化或強(qiáng)化某事或某物，尤指其特別之處。aggravate：指加劇令人不快或困難的形勢(shì)。

【典型例題】She had no ___ about making her opinions known.A.fear

B.afraid

C.interest

D.inhibition 【試題詳解】答案 D 她敢于公開地談?wù)撟约旱南敕ā?/p>

fear “害怕” 常用搭配“fear of for sth”

afraid “恐懼的” 常用搭配 “be afraid of sth” interest “興趣”

常用搭配 “interest inon sth”

【詞形變換】inhibit v.阻止；使拘束

inhibited adj.拘謹(jǐn)?shù)?【典型考題】 He has ___his mother’s patience.A.inhabited

B.inhibited

C.inhered

D.inherited 【試題詳解】答案 D 這種耐心是母親遺傳給他的。

inhabit v.居住

inhibit v.阻止；抑制

inhere v.存在于??中；歸屬于 inherit v.繼承

【常用短語(yǔ)】 inherit(sth)from sb 【典型例題】Perfume____ with the skin’s natural chemicals.A.communicate

B.influence

C.affect

D.interact 【試題詳解】答案 D 香水和皮膚的天然化學(xué)物質(zhì)相互作用。communicate with sb “與某人溝通”

influence 僅指單方面的影響，對(duì)??起作用 affect 同上“influence”

【典型例題】There was a serious incident ___ a group of youths.A.including

B.revolving

C.involving

D.evolving 【試題詳解】答案C 有一起嚴(yán)重的事件涉及一群年輕人。include v.包含，包括 revolve v.旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)

evolve v.發(fā)展，演變

【常用短語(yǔ)】involve(sb)in sthdoing sth

beget involed in sth beget involed with sb 【詞形變換】involved adj.有關(guān)聯(lián)的；復(fù)雜的；關(guān)系密切的1)【典型考題】

The cherk of the House prepares the ___ of the House.A

journal B diary C

record 答案：A 解析：下議院的書記整理了下議院的議事錄。Journal 在這里的是議事程的意思，diary 是指日記，不僅記錄所發(fā)生之事，還強(qiáng)調(diào)包括個(gè)人情感與想法。

【典型考題】

As he reached ___ Bandit became more difficult to live with.A mature B ripe

C maturity

D matured 答案：D

解析：然而到了成年之后，邦就變得特別難相處。Reach

maturity 表示長(zhǎng)大成熟，為固定搭配，ripe通常表示作物和時(shí)機(jī)成熟。

【典型考題】He likes to show off his ___ physique.A.male

B.masculine

C.manly

D.man 答案：B

解析：句意：他喜歡顯示他強(qiáng)健的男子本色。Masculine指在心理上或身體上具有男子特征，本句中形容詞所修飾的名詞是physique(體魄)，所以，masculine 符合題意。

【典型考題】She has a deep ____of strangers, so she never lkes to talk to them.A.mistrust

B.distrust

C.trust

D.untrustworth 答案：A

解析:她對(duì)陌生人猜忌及深，她也從不喜歡跟陌生人搭訕。根據(jù)句意。C選項(xiàng)不符合題意，D為形容詞，所填選項(xiàng)必須為名詞，予以排除。distrust 和 mistrust 都有猜忌的意思，但差別很小。distrust 更為通用，語(yǔ)氣稍強(qiáng)，確信某人不誠(chéng)實(shí)或不可信常用distrust.表示并不信任則大概用mistrust.這里只是表示她對(duì)陌生人不信任所以選A.【典型考題】Have you listened to ___ this morning ? A newsagent B newspaper C newsdom D newscast 答案：D 解析：newsagent 意為報(bào)刊經(jīng)銷人，newspaper 不符合題意，newsdom 代表報(bào)界，固選D 代表新聞。

[典型考題] He ____ through themist，trying to find the right path.A.pecked B.peered C.peeped D.peeled [試題分析] 本題考查形近詞的辨析。pecked 啄；peered 仔細(xì)看；peeped 偷窺；peeled 削皮；可知正確答案為B

[典型考題] I ___his commment as a challenge.A． feeled B.observed C.perceived D.comprehend [試題分析] 本題考查近義詞辨析。perceive 的意思是interpret sth in a certain way，與as 搭配。選C 【典型考題】He was born in a ___ family.A single parent B single-parent C single-parents D single-parental 答案：B 解析：single-parent 為固定搭配意為“單親家庭的”。他出身在一個(gè)單親家庭。所填詞應(yīng)屬形容詞性質(zhì)，B符合題意。

parental 本身就是形容詞，所以D選項(xiàng)不符合題意，予以排除。

[典型考題] Mr.Smith had an unusual ___, he was first an office clerk, then a sailor, and ended up as a school teacher.A.profession B.occupation C.position D.carrer

[試題分析] 本題考查近義詞辨析。A,B指所從事的職業(yè)，C 是指所在職位，D指職業(yè)生涯。正確答案為D。

[典型試題]

The next edition of the book is ___ for publication in March.A.projected B.propelled C.professed D.protected [試題分析] 本題考查形近詞辨析。project是計(jì)劃、規(guī)劃的意思。propel是推動(dòng)、迫使的意思。C 項(xiàng) 公開表明的。protect 保護(hù)。

[典型考題]

Few people will admit being racially ___.A.pride B.proud C.prejudiced D.pessimistic [試題分析] 本題考查形近詞辨析。A、B項(xiàng)的意思是驕傲的，自豪的；C項(xiàng)是有偏見的、有歧視的；D項(xiàng)的意思是悲觀的。根據(jù)句意，很少有人愿意承認(rèn)他們有種族歧視，正確答案為C。

第三篇：典型例題

典型例題

一、填空題

1.教育是社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)的基礎(chǔ)，國(guó)家保障教育事業(yè)優(yōu)先發(fā)展。全社會(huì)應(yīng)當(dāng)關(guān)心和支持教育事業(yè)的發(fā)展。全社會(huì)應(yīng)當(dāng)尊重教師。

2.新課程的三維目標(biāo)是 知識(shí)與技能目標(biāo)、過程與方法目標(biāo)和情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)。

二、單項(xiàng)選擇題（下列所給的選項(xiàng)中，只有一個(gè)最符合題目要求）

1.《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》中指出，國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)（A）

A.是教學(xué)和命題的依據(jù)B.包括教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

C.是大多數(shù)學(xué)生都能達(dá)到的最高要求D.是根據(jù)專家的意見編制的2.人們常說：“教學(xué)有法，而無(wú)定法”。這反映了教師勞動(dòng)具有（B）

A.示范性B.創(chuàng)造性C.間接性D.主體性

三、判斷題（請(qǐng)判斷下列各題的觀點(diǎn)是否正確，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”。

1.學(xué)生評(píng)教是促進(jìn)教師發(fā)展過程中惟一客觀的評(píng)價(jià)方式。（×）

2.新課程目標(biāo)取向及精神內(nèi)核就是以學(xué)生的發(fā)展為本。（√）

四、簡(jiǎn)單題

1.中小學(xué)教師的職業(yè)道德規(guī)范主要涉及哪些方面？

答：愛國(guó)守法、愛崗敬業(yè)、關(guān)愛學(xué)生、教書育人、為人師表、終身學(xué)習(xí)。

2.《中華人民共和國(guó)未成年人保護(hù)法》規(guī)定學(xué)校應(yīng)尊重未成年學(xué)生的哪些權(quán)利？

答：學(xué)校應(yīng)當(dāng)尊重未成年學(xué)生受教育的權(quán)利，關(guān)心、愛護(hù)學(xué)生，對(duì)品行有缺點(diǎn)、學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，應(yīng)當(dāng)耐心教育、幫助，不得歧視，不得違反法律和國(guó)家規(guī)定開除未成年學(xué)生。

五、案例分析題

學(xué)校規(guī)定初三學(xué)生必須在6點(diǎn)鐘到校參加早自修，作為任課教師第二天與學(xué)生一起參與早自修的我在班級(jí)中也強(qiáng)調(diào)了一下，可是第二天仍有許多學(xué)生遲到，我看到這一情況，下令讓遲到的學(xué)生在走廊罰站。到了第三天，再也沒有一個(gè)學(xué)生遲到。還有一次，初三（2）班的一位男同學(xué)老是不肯做一周一次的時(shí)政作業(yè)，每次問他為什么，總都有原因，上次他說忘了，這次又說要點(diǎn)評(píng)的報(bào)紙沒買，下次他會(huì)說作業(yè)本沒帶。這樣幾個(gè)星期下來(lái)，我光火了，不僅讓他在辦公室反思了一刻鐘，寫下保證書，還對(duì)他說，“下次再不交作業(yè)，甭來(lái)上課”，他這才有所收斂。

請(qǐng)從有關(guān)師德要求分析“我”的做法，并提出合理解決此類問題的建議。

答：本案主要反映了案例中的“我”以罰代教的教育方法，這明顯違反了新時(shí)期我國(guó)教師職業(yè)道德內(nèi)容中關(guān)于“對(duì)待學(xué)生”的相應(yīng)規(guī)定，違反了不準(zhǔn)以任何借口體罰或變相體罰學(xué)生，不準(zhǔn)因?qū)W生違反紀(jì)律而加罰與違反紀(jì)律無(wú)關(guān)的任務(wù)等。

這位教師的做法在我們的身邊也有可能出現(xiàn)。面對(duì)那些頑皮學(xué)生，有的教師可能無(wú)計(jì)可施。只得用“罰站”、“威脅”來(lái)對(duì)付他們，取得的效果看似有效，其實(shí)學(xué)生并非真正地接受，這不是真正的教育。雖然教師的出發(fā)點(diǎn)是好的，但這位教師的處理方法與《中小學(xué)教師職業(yè)道德規(guī)范》背道而馳。

教師對(duì)學(xué)生嚴(yán)格要求，要耐心教導(dǎo)，不諷刺、挖苦、歧視學(xué)生，不體罰或變相體罰學(xué)生，保護(hù)學(xué)生的合法權(quán)益。教師應(yīng)該采用“說理”教育來(lái)對(duì)待那些頑皮學(xué)生，教師以朋友的身份心平氣和地找那些學(xué)生談心，尊重學(xué)生的人格，平等、公正地對(duì)待學(xué)生，多付出一點(diǎn)愛，多花時(shí)間在他們身上，當(dāng)他們感受到老師在關(guān)心他們時(shí)，相信他們會(huì)改正缺點(diǎn)，努力做的更好。

第四篇：二次根式各地中考典型例題總結(jié)(答案)

二次根式

一、選擇題

1、（2012年上海青浦二模）下列運(yùn)算正確的是（D）

A ．9??3；B．9?3；C．9??3；D． 9?3．

2、（201

2為同類二次根式的是（A）13131212A

B

C

D3、（2012年浙江麗水一模）函數(shù)y?2?x的自變量的取值范圍是（D）

A.x?0B.x?2C.x?2D.x?2 4、4 的算術(shù)平方根是（C）

A、4B、±4C、2D、±

25、當(dāng)x??2時(shí),值為（D）

A．1B．±1C．3D．±

36、（2012江蘇無(wú)錫前洲中學(xué)模擬）16的平方根是（D）

A．2B． ?2C．4D．?

47、（2012江蘇無(wú)錫前洲中學(xué)模擬）使x?2有意義的x的取值范圍是（C）

A．x?2B．x?2C．x?2D．x?

28.（2012

＝4．其中錯(cuò)誤的是（C）．

A.①B.②C.③D.④

9、（2012昆山一模）計(jì)算

(B)

A．2B．－2C．－4D．

410、（201

2?a的取值范圍是C A．a(chǎn)≤0；B．a(chǎn)＜0；C．0＜a≤1；D．a(chǎn)＞0

11.（2012年江蘇通州興仁中學(xué)一模）函數(shù)y??

（D）

A．x≥0x中自變量x的取值范圍是x?

1B．x <0且x≠lC．x<0D．x≥0且x≠l12、河南省信陽(yáng)市二中）．

函數(shù)y?的自變量x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（C）

（第3題）

13、（201

2中，x的取值范圍是x?3且x?5，則m為（C）

（A）m?4（B）m?4（C）m?5（D）m?5

14、（2012年北京中考數(shù)學(xué)模擬試卷）函數(shù)y?

(C)

A．x?

2B．x≥2

C．x≤2

D．x?02?x 中，自變量x的取值范圍是

15、（海南省2012年中考數(shù)學(xué)科模擬）函數(shù)y

x的取值范圍

（D）

Ax＞0B.x≠5C.x≤5D.x≥

516、（2012年浙江省杭州市一模）已知：m, n是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)（m

p?q?n?q?m,則p(A)

A.總是奇數(shù)B.總是偶數(shù)C.有時(shí)奇數(shù),有時(shí)偶數(shù)D.有時(shí)有理數(shù),有時(shí)無(wú)理數(shù)

17、（2012年浙江省椒江二中、溫中實(shí)驗(yàn)學(xué)校第一次聯(lián)考）化

簡(jiǎn)-（B）

A．10B

．

．．20的結(jié)果是

218、（2012年浙江省椒江二中、溫中實(shí)驗(yàn)學(xué)校第一次聯(lián)考）若(a?2)?2-a，則a的取值

范圍是-（D）

A．a(chǎn)=2B．a(chǎn)＞2C．a(chǎn)≥2D．a(chǎn)≤

219、（201

2為同類二次根式的是（A）A

；B

C

D

答案：

20、（2012年上海市黃浦二模）分母有

?▲

21、（201

2x的解是x?．答案：2

二、填空題

1、（2012年福建福州質(zhì)量檢查）已知a＝2，則a＝_____________．答案：8

2、（201

2?

3、（201

2?1的解是．答案：x?1

4、(2012年吳中區(qū)一模)

?4?2a，則實(shí)數(shù)a的值為．答案：1

5、（2012年，廣東二模）若x、y為實(shí)數(shù)，且x＋3＋|y－2|＝0，則x＋y＝－1.6、（2012興仁中學(xué)一模）

??0，則答案 x?1??y?20127、（201

2的結(jié)果正確的是.答案：2.8、（2012年宿遷模擬）函數(shù)yx+2中，自變量x的取值范圍是 __答案：x≥-2.9、(2011學(xué)九年級(jí)第二學(xué)期普陀區(qū)期終調(diào)研)方程x2?1?2的根是

答案：x?

10、(2012蘇州市吳中區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)

?4?2a，則實(shí)數(shù)a的值為．

11、（2012荊州中考模擬）

．在函數(shù)y?

x的取值范圍是答案：x≤

212、(2012年北京市延慶縣一診考試)

有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為答案：x≥

313、（2012年上海金山區(qū)中考模擬）在函

數(shù)y中，自變量x的取值范圍是．答案：x?2；

14、（2012年上海金山區(qū)中考模擬）

?x的根是答案：x?1

15、（2011年上海市浦東新區(qū)中考預(yù)測(cè)）方程2x?3?1的根是答案：x=2；

16、(徐州市2012年模擬)若二次根式有意義，則x的取值范圍是答案：x≥

17、（鹽城市亭湖區(qū)2012年第一次調(diào)研考試）函數(shù)y?。答案x??2,且x

x?

2中自變量x的取值范圍是x?

1?1.18、（鹽城市第一初級(jí)中學(xué)2011～201

2x的取值范圍是▲．答案x?

119、(2012年南京建鄴區(qū)一模)4的平方根是?

220、(2012年香坊區(qū)一模)化簡(jiǎn)=

?27=答案：3

321、(2012年福州模擬卷)已知a＝2，則a＝_____________．答案： 8

三、解答題

1、（2012年上海青浦二模）計(jì)算：(?3)0?()?2?27?

2?32?

3(2-)

2答案：解：原式=1?9?3-?10?33?(7?4)?3?

4?32、（2012江蘇無(wú)錫前洲中學(xué)模擬））計(jì)算：

?

（1）?2???1?－4sin4

5----2分

答案：、（1）

2?3------------------4分

?2?22?1-4?

3、(2012蘇州市吳中區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)（本題6分）“欲窮千里目，更上一層樓，”說的是登得高看得遠(yuǎn)，如圖，若觀測(cè)點(diǎn)的高度為h，觀測(cè)者視線能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為d，則d

其中R是地球半徑（通常取6400km）．小麗站在海邊一塊巖石上，眼睛離海平面的高度h為20m，她觀測(cè)到遠(yuǎn)處一艘船剛露出海平面，求此時(shí)d的值．

第5題圖

答案：由R=6400km，h=0.02km??????(2分)得d=2?0.02?6400????????(4分)=256=16(km)

答：此時(shí)d的值為16km????????(6分)(注：沒有答不扣分)

4、（2012年浙江省椒江二中、溫中實(shí)驗(yàn)學(xué)校第一次聯(lián)考）計(jì)算：（-2）（）

原式

=4-

化簡(jiǎn)對(duì)一個(gè)給1分)

第五篇：機(jī)械能守恒定律典型例題

機(jī)械能守恒定律典型例題

題型一：?jiǎn)蝹€(gè)物體機(jī)械能守恒問題

1、一個(gè)物體從光滑斜面頂端由靜止開始滑下，斜面高1 m，長(zhǎng)2 m，不計(jì)空氣阻力，物體滑到斜面底端的速度是多大？

拓展：若光滑的斜面換為光滑的曲面，求物體滑到斜面底端的速度是多大？

2、把一個(gè)小球用細(xì)繩懸掛起來(lái)，就成為一個(gè)擺，擺長(zhǎng)為l，最大偏角為θ，求小球運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)的速度是多大？

.題型二：連續(xù)分布物體的機(jī)械能守恒問題

1、如圖所示，總長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個(gè)光滑的輕小滑輪，開始時(shí)底端相齊，當(dāng)略有擾動(dòng)時(shí)，其一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間的速度多大？

2、一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鏈條，放在光滑水平桌面上，鏈條的一半垂于桌邊，如圖所示，現(xiàn)由靜止開始使鏈條自由滑落，當(dāng)它全部脫離桌面時(shí)的速度多大？

3、如圖所示，粗細(xì)均勻的U型管內(nèi)裝有同種液體，開始兩邊液面高度差為h，管中液體總長(zhǎng)度為4h，后來(lái)讓液體自由流動(dòng)，當(dāng)液面的高度相等時(shí)，右側(cè)液面下降的速度是多大？題型三：機(jī)械能守恒定律在平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用（單個(gè)物體）

1、如圖所示，?AB是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，其下端B與水平直軌道相切，一小球自A點(diǎn)起由靜止開始沿軌道下滑。已知圓弧軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計(jì)各處摩擦。求：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能

1（2）小球下滑到距水平軌道的高度為R時(shí)的速度大小和方向

2（3）小球經(jīng)過圓弧軌道的B點(diǎn)和水平軌道的C點(diǎn)時(shí)，所受軌道支持力各是多大？

2、如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑軌道，半徑為R，一質(zhì)量為m的小球沿逆時(shí)針方向在軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)時(shí)，m對(duì)軌道的壓力為8mg，當(dāng)m運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)B時(shí)，對(duì)軌道的壓力是多大？

3、如上圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以初速度v0沿水平軌道運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入豎直平面內(nèi)半徑為R的圓形軌道.若不計(jì)軌道的摩擦，為使小球能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，則v0至少應(yīng)為多大?

4、如右圖所示，長(zhǎng)度為l的無(wú)動(dòng)力“翻滾過山車”以初速度v0沿水平軌道運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入豎直平面內(nèi)半徑為R的圓形軌道，若不計(jì)軌道的摩擦，且l＞2πR，為使“過山車”能順利通過圓形軌道，則v0至少應(yīng)為多大?

5、游樂場(chǎng)的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來(lái)，如左圖所示，我們把這種情況抽象為右圖所示的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接.使小球從弧形軌道上端滾下,小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動(dòng).實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),只要h 大于一定值.小球就可以順利通過圓軌道的最高點(diǎn).如果已知圓軌道的半徑為R，h至少要等于多大?不考慮摩擦等阻力。

6、如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。要求物塊能通過圓形軌道最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。

7、如圖所示，以固定在豎直平面內(nèi)的光滑的半圓形軌道ABC，其半徑R=0.5m，軌道在C處與水平地面相切。在C處放一小物塊，給它一水平向左的初速度V0=5m/s，結(jié)果它沿CBA運(yùn)動(dòng)，通過A點(diǎn)，最后落在水平面上的D點(diǎn)，求C、m2D間的距離S，取g＝10/s8、如圖所示，一個(gè)光滑的水平軌道與半圓軌道相連接，其中半圓軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R.質(zhì)量為m的小球以某速度從A點(diǎn)無(wú)摩擦地滾上半圓軌道，小球通過軌道的最高點(diǎn)B后恰好做平拋運(yùn)動(dòng)，且正好落在水平地面上的C點(diǎn)，已知AC=AB=2R,求：

（1）小球在A點(diǎn)時(shí)的速度大小．

（2）小球在B點(diǎn)時(shí)半圓軌道對(duì)它的彈力．

9、如圖所示，位于豎直平面上的1/4圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，最后落在水平地面上C點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力，求：

(1)小球運(yùn)動(dòng)到軌道上的B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力多大?(2)小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離s是多少?（3）要使小球的水平射程為最大值，求圓弧軌道半徑R與高度H的關(guān)系。

10、如圖所示,小球用不可伸長(zhǎng)的輕繩懸于O點(diǎn),在O點(diǎn)的正下方有一固定的釘子B，OB = d，開始時(shí)小球拉至 A點(diǎn),且OA水平,小球在A點(diǎn)無(wú)初速度釋放。繩子長(zhǎng)為 L,為了使小球能繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).試求d的取值范圍。

題型四：系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題

1、如圖所示，將A、B兩個(gè)砝碼用細(xì)線相連，掛在定滑輪上。已知mA=200g，mB=50g，托起砝碼A，使其比B的位置高0.2m，然后由靜止釋放，當(dāng)兩砝碼處于同一高度時(shí)，求它們的速度大小。（g=10 m/s2）

2、如圖所示,質(zhì)量為m 的木塊放在光滑的水平桌面上.用輕繩繞過桌邊的定滑輪 與質(zhì)量為M的砝碼相連,已知 M=2m.讓繩拉直后使砝碼從靜止開始下降h（小于桌面)的距離，木塊仍沒離開桌面,則砝碼的速度是多大？

3、如圖所示，半徑為R的光滑半圓上有兩個(gè)小球A、B，質(zhì)量分別為m和M，由細(xì)線掛著，今由靜止開始無(wú)初速度自由釋放，求小球A升至最高點(diǎn)C時(shí)A、B兩球的速度？

4、有一光滑水平板,板的中央有一小孔,孔內(nèi)穿入一根光滑輕線,輕線的上端系一質(zhì)量為M的小球,輕線的下端系著質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)物體。當(dāng)小球在光滑水平板上沿半徑為R的軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),輕線下端的兩個(gè)物體都處于靜止?fàn)顟B(tài),若將兩物體之間的輕線剪斷,則小球的線速度為多大時(shí)才能再次在水平板上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)?

6、如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)桿，中點(diǎn)和右端分別固定著質(zhì)量為m的A球和B球，桿可繞左端在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將桿由靜止釋放，當(dāng)桿擺到豎直位置時(shí)，B球的速率為多少？

7、如圖所示,輕直細(xì)桿長(zhǎng)為2l,中點(diǎn)有一轉(zhuǎn)軸O，兩端分別固定質(zhì)量為2m、m的小球a和b。當(dāng)桿從水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí),兩小球的速度為多大?

8、如圖所示,質(zhì)量為 m=2kg的小球系在輕彈簧的一端, 另一端固定在懸點(diǎn)O處,將彈簧拉至水平位置A處由靜止釋放,小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方距O點(diǎn)h = 0.5 m處的B點(diǎn)時(shí)速度為2 m/s。求小球從A 運(yùn)動(dòng)到B的過程中彈簧彈力做的功。

9、如圖所示,一個(gè)質(zhì)量為 m=0.2 kg的小球系于輕質(zhì)彈簧的一端,且套在光滑豎直的圓環(huán)上，彈簧的上端固定于環(huán)的最高點(diǎn)A,環(huán)的半徑R=0.5m,彈簧的原長(zhǎng)l0 = 0.5m,勁度系數(shù)為4.8N/m。若小球從圖示位置B 點(diǎn)由靜止開始滑動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能Ep=0.6J，（g=10 m/s2）求：（1）小球到C點(diǎn)時(shí)的速度Vc的大?。?）小球在C點(diǎn)對(duì)環(huán)的作用力