【題型綜述】

導(dǎo)數(shù)研究方程的根或不等式的解集

利用導(dǎo)數(shù)探討方程解的存在性，通?？蓪⒎匠剔D(zhuǎn)化為，通過(guò)確認(rèn)函數(shù)或的值域，從而確定參數(shù)或變量的范圍；

類(lèi)似的，對(duì)于不等式，也可仿效此法．

[來(lái)源:Zxxk.Com]

【典例指引】

例1．已知函數(shù)．

（1）若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由；

【思路引導(dǎo)】

（1）方程在上有解，等價(jià)于有解，只需求的最大值即可；（2）假設(shè)存在，可推導(dǎo)出矛盾，即可證明不存在．[來(lái)源:學(xué)。科。網(wǎng)Z。X。X。K]

例2．已知函數(shù)的最大值為，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值；[來(lái)源:Z*xx*k.Com]

(Ⅱ)設(shè)，是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋咳舸嬖?，求?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【思路引導(dǎo)】

(Ⅰ)

由題意得，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得的最大值為，可得。由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得。

(Ⅱ)由題知，則，從而可得在上遞增。假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域是，則，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根的問(wèn)題，即在區(qū)間上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根，令，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)不等實(shí)根。

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根，即方程在區(qū)間上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根，令，則,設(shè),則，故在上遞增，學(xué)&科網(wǎng)

故，所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故方程在區(qū)間上不存在兩個(gè)不相等實(shí)根，綜上，不存在區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是．

點(diǎn)睛：（1）解決導(dǎo)數(shù)綜合題時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性、極值是解題的基礎(chǔ)，在得到單調(diào)性的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)分析可使得問(wèn)題得以解決。

（2）對(duì)于探索性問(wèn)題，在求解的過(guò)程中可先假設(shè)結(jié)論成立，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立；若無(wú)矛盾出現(xiàn)，則說(shuō)明假設(shè)成立，從而說(shuō)明所證明題成立。

例3．已知函數(shù)為常數(shù)

（1）當(dāng)在處取得極值時(shí)，若關(guān)于x的方程

在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）若對(duì)任意的，總存在，使不等式

成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）對(duì)函數(shù)，令，可得的值，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，然后求得的最值，即可得到的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出在上的最大值，則問(wèn)題等價(jià)于對(duì)對(duì)任意，不等式成立，然后構(gòu)造新函數(shù)，再對(duì)求導(dǎo)，然后討論，得出的單調(diào)性，即可求出的取值范圍．

當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)

所以不可能使恒成立，故必有，因?yàn)?/p>

若，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在此區(qū)間上有滿足要求

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上有，與恒成立相矛盾，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．學(xué)&科網(wǎng)

點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問(wèn)題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于難題．在處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后含參數(shù)的問(wèn)題注意分類(lèi)討論，對(duì)于恒成立的問(wèn)題，一般要構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，涉及到的技巧較多，需多加體會(huì)．

【同步訓(xùn)練】

1．設(shè)函數(shù)，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行．

（1）求的值；

（2）是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【思路引導(dǎo)】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得；

（2）求出、的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點(diǎn)存在定理，即可判斷存在k=1．

又，所以存在，使．

因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，學(xué)&科網(wǎng)

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根．

點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值，同時(shí)考查零點(diǎn)存在定理和分段函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，力爭(zhēng)第一二問(wèn)答對(duì)，第三問(wèn)爭(zhēng)取能寫(xiě)點(diǎn)，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類(lèi)討論，對(duì)于恒成立問(wèn)題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù)問(wèn)題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會(huì)．

2．已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）由題意得導(dǎo)函數(shù)在其定義域內(nèi)恒非負(fù)，再根據(jù)二次方程恒成立條件得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將不等式有解問(wèn)題，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍．

則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上至少存在一點(diǎn)，使得，即．

①時(shí)，∵，∴，，則，不符合條件；

②時(shí)，由，可知，學(xué)&科網(wǎng)

則在單調(diào)遞增，整理得．

綜上所述，．

點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決．但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法．

3．已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相關(guān)，而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，故可以根據(jù)的符號(hào)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若不等式

在上有解，那么在上，．但在上的單調(diào)性不確定，故需分

三種情況討論．

（2）若在上存在，使得成立，則在上的最小值小于．

①當(dāng)，即時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，由，可得，②當(dāng)，即時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上的最小值為，由，可得

；學(xué)&科網(wǎng)

③當(dāng)，即時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，因?yàn)?，所以，即，即，不滿足題意，舍去．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性往往需要考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，通常情況下，我們需要把導(dǎo)函數(shù)變形，找出能決定導(dǎo)數(shù)正負(fù)的核心代數(shù)式，然后就參數(shù)的取值范圍分類(lèi)討論．又不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題也常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值討論，比如：“在上有解”可以轉(zhuǎn)化為“在上，有”，而“在恒成立”可以轉(zhuǎn)化為“在上，有”．

4．已知函數(shù)．

（1）若在上遞增，求的取值范圍；

（2）若，與至少一個(gè)成立，求的取值范圍（參考數(shù)據(jù)：）

【思路引導(dǎo)】

（1）由題意可得在，上遞增，又在上遞增，故或，解得或，即為所求。（2）結(jié)合（1）中結(jié)論及條件可得。分，和兩種情況可求得或．

（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴，又，∴，當(dāng)，即時(shí)，顯然成立；學(xué)&科網(wǎng)

當(dāng)，即時(shí)，可得或，∴或

∵，∴，∴或

綜上或．學(xué)&科網(wǎng)

所以的取值范圍為。

點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的方法

（1）若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間容易求出，可轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，在此基礎(chǔ)上得到關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解。

（2）若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不易求出，可利用在所給區(qū)間上恒成立解決，解題時(shí)可根據(jù)分離參數(shù)的方法求解出參數(shù)的范圍。

5．已知函數(shù)．

若，求函數(shù)的極值；

設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

若在區(qū)間上不存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定極值（2）先求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，討論與零大小，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性（3）正難則反，先求存在一點(diǎn),使得成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，由存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，結(jié)合（2）單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的取值范圍，最后取補(bǔ)集得結(jié)果，∴；

當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增

令，則

在遞減，無(wú)解，即無(wú)解；學(xué)&科網(wǎng)

綜上：存在一點(diǎn),使得成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為：

或．

所以不存在一點(diǎn)，使得成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問(wèn)題（有解，恒成立，無(wú)解等），而不等式有解或恒成立問(wèn)題，又可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題．

6．已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù))．

(1)若,求曲線在處的切線方程;

(2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;

(3)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

(1)求出切線的斜率，即可得出切線方程；(2)

[1,e]，分、三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可得出結(jié)論；(3)分、三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性并求出最值,則易得結(jié)論．

⑶當(dāng)時(shí),在上單調(diào)增,的最小值為

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)減,在上單調(diào)增,的最小值為．[來(lái)源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]

因?yàn)閷W(xué)&科網(wǎng)

．

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)減,的最小值為,學(xué)&科網(wǎng)[來(lái)源:Z_xx_k.Com]，綜上,7．已知，其中．

（1）求函數(shù)的極大值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，若在上至少存在一點(diǎn)，使成立，求的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行四類(lèi)討論，得到極大值的情況；（2）在上至少存在一點(diǎn)，使成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）的單調(diào)性情況，求，得到的取值范圍．

8．已知函數(shù)（）

（1）若，求的極值；

（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，成立，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

試題解析：

（2）存在，使得成立，等價(jià)于，（）成立

設(shè)

則

令，解得：

（舍），；

①當(dāng)，在遞減

∴

令，解得：

學(xué)&科網(wǎng)

②當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增

∴與矛盾

綜上，9．已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）函數(shù)求導(dǎo)，從而得單調(diào)區(qū)間；

（2）方程有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)存在零點(diǎn)，分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得有零點(diǎn)時(shí)參數(shù)的范圍．

（2）由題得，．

依題意，方程有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)存在零點(diǎn)．

又．

令，得．

當(dāng)時(shí)，．

即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，而，．

所以函數(shù)存在零點(diǎn)；

點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問(wèn)題解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．

10．已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線．

（1）求的值；

（2）對(duì)任意的，都存在，使得，求的取值范圍；

（3）已知方程有兩個(gè)根，若，求證:

．

【思路引導(dǎo)】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)直線與函數(shù)相切與點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解得，求出；（2）對(duì)任意的，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)的方法分別求、的值域，即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意得,兩式相減得，所以，令，則，則，令，對(duì)求導(dǎo)，判斷的單調(diào)，證明．

(2)

由（1）得，所以，當(dāng)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，依題意得，所以，解得．

(3)

依題意得,兩式相減得，所以，方程可轉(zhuǎn)化為