專題15

超越方程反解難，巧妙構(gòu)造變簡單

【題型綜述】

導(dǎo)數(shù)研究超越方程

超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變數(shù)的多項(xiàng)式或開方表示的函數(shù)，與超越方程相對的是代數(shù)方程．超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進(jìn)行．大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解．

在探求諸如，方程的根的問題時(shí)，我們利用導(dǎo)數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以很好的解決．

此類題的一般解題步驟是：

1、構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域．

2、求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]

3、畫出函數(shù)草圖．

4、數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況求解．

【典例指引】

例1．已知函數(shù)在處取得極小值．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點(diǎn)且，設(shè)線段的中點(diǎn)為，試問是否為的根？說明理由．

例2．設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（3）當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

例3．已知函數(shù)（）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【同步訓(xùn)練】

1．已知函數(shù)（），且的導(dǎo)數(shù)為．

（Ⅰ）若是定義域內(nèi)的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

2．已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，求證：

．

3．已知函數(shù)（），．

（1）若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線．

①求實(shí)數(shù)的值；

②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（2）當(dāng)時(shí)，求證：對于區(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立．

[來源:Z,xx,k.Com]

4．已知函數(shù)．

（1）設(shè)，①記的導(dǎo)函數(shù)為，求；

②若方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在上存在一點(diǎn)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．[來源:學(xué)科網(wǎng)]

5．已知函數(shù)．

（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（2）若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時(shí)，方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍．

6．已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線．

（1）求的值；

（2）對任意的，都存在，使得，求的取值范圍；

（3）已知方程有兩個(gè)根，若，求證:

．

[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]

7．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

（1）若，求在上的最大值的表達(dá)式；

（2）若時(shí)，方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)根的取值范圍；

（3）若，求使的圖象恒在圖象上方的最大正整數(shù)．

8．設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)的值；

（3）若方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，比較與0的大?。?/p>