【題型綜述】

導(dǎo)數(shù)研究超越方程

超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變數(shù)的多項(xiàng)式或開方表示的函數(shù)，與超越方程相對(duì)的是代數(shù)方程．超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進(jìn)行．大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解．

在探求諸如，方程的根的問題時(shí)，我們利用導(dǎo)數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以很好的解決．

此類題的一般解題步驟是：

1、構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域．

2、求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．

3、畫出函數(shù)草圖．

4、數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況求解．

【典例指引】

例1．已知函數(shù)在處取得極小值．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點(diǎn)且，設(shè)線段的中點(diǎn)為，試問是否為的根？說明理由．

【思路引導(dǎo)】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)，解得，最后列表驗(yàn)證（2）即研究是否成立，因?yàn)?，利用，得，所?0，轉(zhuǎn)化為．其中，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定方程解的情況

（2）由（1）知函數(shù)．

∵函數(shù)圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，（），∴，．

兩式相減得

．學(xué)*科網(wǎng)

．

下解．即．

令，∵，∴，即．

令，．

又，∴，∴在上是増函數(shù)，則，從而知，故，即不成立．

故不是的根．學(xué)*科網(wǎng)

例2．設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；[來源:Zxxk.Com]

（2）令，其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（3）當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）先求導(dǎo)數(shù)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間；（2）先構(gòu)造函數(shù)再由以其圖象上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，知導(dǎo)函數(shù)恒成立，再轉(zhuǎn)化為求解；（3）先把握有唯一實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為有唯一實(shí)數(shù)解，再利用單調(diào)函數(shù)求解．

[來源:Z.xx.k.Com]

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、不等式的恒成立和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對(duì)求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間．

例3．已知函數(shù)（）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）求出，分兩種情況討論，分別令

得增區(qū)間，令得減區(qū)間；（2），令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)定理可得結(jié)果．

試題解析：

（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）依題意，令，則，學(xué)*科網(wǎng)

令，則，即在上單調(diào)遞增．

又，存在唯一的，使得．

當(dāng)，在單調(diào)遞增；

當(dāng)，在單調(diào)遞減．，，且當(dāng)時(shí)，又，．學(xué)*科網(wǎng)

故要使不等式解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，的取值范圍應(yīng)為．

【同步訓(xùn)練】

1．已知函數(shù)（），且的導(dǎo)數(shù)為．

（Ⅰ）若是定義域內(nèi)的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得結(jié)果；（Ⅱ）原方程等價(jià)于，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得結(jié)果．

令，解得或．

列表得：

0

0

增

極大值

減

極小值

增

由表可知當(dāng)時(shí)，取得極大值；

當(dāng)時(shí)，取得極小值．

又當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．學(xué)*科網(wǎng)

因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．

2．已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，求證：

．

【思路引導(dǎo)】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由原函數(shù)和切線的斜率為可得方程組，解方程組得值；（2）由題知，可構(gòu)造去絕對(duì)值后的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，最后可令，利用單調(diào)性可得結(jié)論．

且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，學(xué)*科網(wǎng)

記，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則

3．已知函數(shù)（），．

（1）若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線．

①求實(shí)數(shù)的值；[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立．

【思路引導(dǎo)】

（1）①首先求函數(shù)的圖象在處的切線，，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以切線方程為，于是問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象相切，于是可以根據(jù)直線與拋物線相切進(jìn)行解題；②問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，參變量分離得，設(shè)，研究的單調(diào)性、極值，轉(zhuǎn)化為直線與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，于是問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以求出的取值范圍．

∵，∴，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，∵，且時(shí)，∴；

證明：（2）不妨設(shè)，則，∴可化為

∴

設(shè)，即，∴在上單調(diào)遞減，∴恒成立，即在上恒成立，∵，∴，從而，當(dāng)時(shí)，命題成立．

4．已知函數(shù)．

（1）設(shè)，①記的導(dǎo)函數(shù)為，求；

②若方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在上存在一點(diǎn)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）①對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，將代入可得的值；②對(duì)進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性得其符號(hào)，從而可得的單調(diào)性，結(jié)合圖象的大致形狀可得的取值范圍；（2）將題意轉(zhuǎn)化為，令，題意等價(jià)于在上的最小值小于0，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論，判斷單調(diào)性得其最值．

（2）由題可得，∴，∴，令，則在上的最小值小于0，又，1，當(dāng)時(shí)，即，在上遞減，所以，解得；

2，當(dāng)即，在遞增，∴解得；

3，當(dāng)，即，此時(shí)要求又，所以，所以此時(shí)不成立，綜上或．學(xué)*科網(wǎng)

點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求考查函數(shù)與方程的聯(lián)系單調(diào)區(qū)間最值，同時(shí)考查不等式的存在性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．在正確求導(dǎo)的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也是在高考中的必考內(nèi)容也是基礎(chǔ)內(nèi)容；注意存在性問題與恒成立問題的區(qū)別．

5．已知函數(shù)．[來源:Z&xx&k.Com]

（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（2）若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時(shí)，方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍．

【思路引導(dǎo)】

（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)為某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集得的取值范圍，（2）結(jié)合三次函數(shù)圖像確定的取值范圍：當(dāng),且時(shí)，方程在上有可能有三個(gè)不等實(shí)根，再根據(jù)端點(diǎn)值大小確定實(shí)數(shù)的滿足的條件：，最后解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍．

只需滿足即可．

因?yàn)椋?，因而，所以，即，學(xué)*科網(wǎng)

綜上所述，當(dāng),且時(shí)，滿足題意，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是．

6．已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線．

（1）求的值；

（2）對(duì)任意的，都存在，使得，求的取值范圍；

（3）已知方程有兩個(gè)根，若，求證:

．

【思路引導(dǎo)】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)直線與函數(shù)相切與點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解得，求出；（2）對(duì)任意的，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)的方法分別求、的值域，即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意得,兩式相減得，所以，令，則，則，令，對(duì)求導(dǎo)，判斷的單調(diào)，證明．

(2)

由（1）得，所以，當(dāng)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，依題意得，所以，解得．

(3)

依題意得,兩式相減得，所以，方程可轉(zhuǎn)化為

7．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），．

（1）若，求在上的最大值的表達(dá)式；

（2）若時(shí)，方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)根的取值范圍；

（3）若，求使的圖象恒在圖象上方的最大正整數(shù)．

【思路引導(dǎo)】

(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)定義域以及

取值分類討論導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)最值，(2)作差函數(shù)，求導(dǎo)得原函數(shù)先減后增，因此要有兩個(gè)相異實(shí)根，需極小值小于零，兩個(gè)端點(diǎn)值大于零，解不等式可得的取值范圍；

(3)實(shí)際為一個(gè)不等式恒成立問題，先轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題（利用導(dǎo)數(shù)求差函數(shù)最小值），再研究最小值恒大于零問題，繼續(xù)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理限制或估計(jì)極點(diǎn)范圍，最后范圍確定最大正整數(shù)．

試題解析：

(1)

時(shí)，,；

①當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，此時(shí)

③當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，即時(shí)，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，此時(shí)

若，即時(shí)，在上為增函數(shù)，則此時(shí)，綜上所述：

（2），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，實(shí)數(shù)的取值范圍是，8．設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)的值；

（3）若方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，比較與0的大?。?/p>

【思路引導(dǎo)】

(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),根據(jù)定義域舍去,對(duì)進(jìn)行討論,時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為．時(shí),有增有減;(2)

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)必不單調(diào),且最小值小于零,轉(zhuǎn)化研究最小值為負(fù)的條件:,由于此函數(shù)單調(diào)遞增,所以只需利用零點(diǎn)存在定理探求即可,即取兩個(gè)相鄰整數(shù)點(diǎn)代入研究即可得的取值范圍,進(jìn)而確定整數(shù)值,（3）根據(jù)，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比較大小,設(shè),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得最值,即可判定大?。?/p>

(3)證明：因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)不等實(shí)根，由(1)知．

不妨設(shè)，則，．

兩式相減得，即．[來源:Zxxk.Com]

所以．因?yàn)椋c(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)

構(gòu)造差函數(shù)．根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式．（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)．