第一篇：9分離富集習(xí)題及其答案

第9章 分析化學(xué)中的分離與富集方法

思考題答案

1.分析化學(xué)中，為何要進(jìn)行分離富集？如何評價分離效果？

答：將被測組分從復(fù)雜體系中分離出來后測定；把對測定有干擾的組分分離除去；將性質(zhì)相近的組分相互分開；把微量或痕量的待測組分通過分離達(dá)到富集的目的，提高測定靈敏度。用回收率（回收因子）和分離率（分離因子）評價分離效果。

2.某水樣溶液中含有Fe3+、Al3+、Ca2+、Mn2+、Mg2+、Cr3+、Zn2+和Cu2+等離子，加入NH4Cl和氨水后，哪些離子以什么形式存在于沉淀中？哪些離子以什么形式存在于溶液中？如果加入NaOH溶液呢？

答：加入NH4Cl-NH3緩沖液，pH在8-9間，因此溶液中有Ca2+，Mg2+,，Cu(NH3)42-、Zn(NH3)42+等離子和少量Mn2+，而沉淀中有Fe(OH)3，Al(OH)3和Cr(OH)3和少量Mn(OH)2沉淀。試液中Fe3+，A13+，Cr3+可以與Ca2+，Mg2+，Cu2+和Zn2+等離子完全分開，而Mn2+分離不完全。

3.相對于無機共沉淀劑，有機共沉淀劑有何優(yōu)點？其進(jìn)行共沉淀分離有哪些方式？

答：與無機共沉淀劑相比，有機共沉淀劑可經(jīng)灼燒而除去，被測組分則被留在殘渣中，用適當(dāng)?shù)娜軇┤芙夂蠹纯蓽y定；有機共沉淀劑的相對分子質(zhì)量較大，體積也大，有利于微量組分的共沉淀；與金屬離子生成的難溶性化合物表面吸附少，沉淀完全，沉淀較純凈，選擇性高，分離效果好。

進(jìn)行共沉淀分離的方式：利用膠體的凝聚作用進(jìn)行共沉淀；利用形成離子締合物進(jìn)行共沉淀；利用惰性共沉淀劑。

4.試說明分配系數(shù)和分配比的物理意義，兩者有何關(guān)系？分配比與萃取率有何聯(lián)系？如何提高萃取率？

答：分配系數(shù)：是溶質(zhì)在兩相中型體相同組分的濃度比（嚴(yán)格說應(yīng)為活度比）。而分配比：是溶質(zhì)在兩相中的總濃度之比。在給定的溫度下，KD是一個常數(shù)。但D除了與KD有關(guān)外，還與溶液酸度、溶質(zhì)濃度等因素有關(guān)，它是一個條件常數(shù)。

D與KD的關(guān)系：D?cHA,ocHA,w?[HA]o?HA,o[HA]w?HA,w?KD?HA,o?HA,w

D與E的關(guān)系：E?D?100%

D?VW/VO提高萃取效率方法：增加有機溶劑量；增加分配比；少量多次萃取。5.何謂相似相溶原理？它在液-液萃取和液相色譜中有何作用？

答：“相似相溶”原則：極性物質(zhì)易溶于極性溶劑中，非極性物質(zhì)易溶于非極性溶劑中，堿性物質(zhì)易溶于酸性溶劑中，酸性物質(zhì)易溶于堿性溶劑。6.液-液萃取中產(chǎn)生乳濁液的原因是什么？破乳的方法有哪些？

答：因振蕩過于激烈，使一相在另一相中高度分散，形成乳濁液；或反應(yīng)中形成某種微溶化合物，既不溶于水，也不溶于有機相，以致在界面上出現(xiàn)沉淀，形成乳濁液。一般通過采用增大萃取劑用量，加入電解質(zhì)，改變?nèi)芤核岫?，振蕩不過于激烈等措施，使相應(yīng)的乳濁液消失。

7.用離子交換法分離兩種酸（pKa分別為3和4）的混合試樣，問：應(yīng)選用何種類型的的離子交換樹脂？哪一種酸先被洗脫？

答：用陰離子交換樹脂，pKa為4的酸先被洗脫。對強酸型陽離子交換樹脂交換柱，請預(yù)測下列離子用H+洗脫的順序。①Th4+，Na+，Ca2+，Al3+；②Li+，Na+，K+，Cs+。

答：①Na+>Ca2+>Al3+>Th4+

②Li+> Na+>K+>Cs+

9.離子交換樹脂按活性功能基團分類有哪些類型？其交換能力與溶液pH有何關(guān)系？什么是離子交換樹脂的交聯(lián)度和交換容量？

答：陽離子交換樹脂：強酸型（—SO3H），弱酸型（—COOH、—OH，pH越高，交換能力越大）。陰離子交換樹脂：強堿型（季銨基）、弱堿型（伯胺基等），pH越低，交換能力越大）。交換容量是指每克干樹脂能交換離子的物質(zhì)的量（mmol），其大小取決于樹脂網(wǎng)的結(jié)構(gòu)上活性基團的數(shù)目。交聯(lián)劑在樹脂單體總量中所占質(zhì)量分?jǐn)?shù)稱為交聯(lián)度。

10.如用BaSO4重量分析法測定SO42-時，大量Fe3+會產(chǎn)生共沉淀，如何消除Fe3+干擾？如用BaSO4重量分析法測定Ba2+時，大量PO43-會干擾，又如何消除？

答：測定SO42-時，F(xiàn)e3+會產(chǎn)生共沉淀，可通過H+型強酸性陽離子交換樹脂，交換除去Fe3+。測定Ba2+時，PO43-有干擾，可通過Cl-型強堿性陰離子交換樹脂，交換除去PO43-。11.樣品在薄層色譜中展開，5 cm處有一斑點，則10 cm處的斑點是哪一個？

①Rf加倍； ②Rf加倍不變；③樣品移行距離加倍；④樣品移行距離增加，但小于2倍；⑤樣品移行距離增加，但大于2倍。答：①③

12.已知某混合試樣A、B、C三組分的分配系數(shù)分別為400、450、500，則三組分在液相色譜上的Rf值的大小順序如何？ 答：Rf(A)< Rf(B)< Rf(C)

習(xí)題及其答案

1.在HCl介質(zhì)中，用乙醚萃取Ga離子時，分配比D=18，若萃取Ga時Vw = Vo，則Ga的萃取率E為多少 ?

E?D18?100%??100%?94.7%

D?VW/V018?12．有100 mL含有I2 10 mg的水溶液，用90 mL CCl4分別按照下列情況進(jìn)行萃?。?1)全量一次萃取；(2)分三次萃取。求萃取率各為多少？結(jié)果說明了什么？（D＝85）解：（1）m1?m0VW100?10??0.13mg

DVo?VW85?90?100 E??98.7%m0?m110?0.13?100％??100％m010（2）m3?m0(E?100V水)3?5.4?10?4mg)3?10?(85?30?100DV有?V水m0?m110?5.4?10?4?100％??100％?99.99%m010少量多次萃取，但萃取次數(shù)不易過多。

3.含有OsO4的50.0 mL水溶液，欲用CHCl3進(jìn)行萃取，要求萃取率達(dá)到99.8％以上。若每次使用的CHCl3的體積為10.0 mL，則至少需要萃取多少次？（D＝19.1）解：E?m0?m1?100%?99.8% m0∴m1<0.002 m0?50???????0.002 ??19.1?10?50??nnm1?VW??m0??DVo?VWn?4

故至少應(yīng)萃取4次才能達(dá)到題設(shè)要求

4.計算相比為0.75、1.5和4時，分配比D分別等于0.1、1.0、10和50時的萃取率，并以E為縱坐標(biāo)，lgD為橫坐標(biāo)，根據(jù)此圖，歸納出相比和分配比對溶質(zhì)萃取率的影響規(guī)律。解：(1)

D0.1VW??11.76% ?0.75 D=0.1時，E?D?VW/V00.1?0.75VO同理：D=1.0 時，E=57.14% D=10 時，E=93.02% D=50 時，E=98.52%(2)VW?1.5 D=0.1時，E=6.25% VO同理：D=1.0 時，E=40% D=10 時，E=86.96% D=50 時，E=97.09%(3)VW?4 D=0.1時，E=2.44% VO同理：D=1.0 時，E=20% D=10 時，E=71.43% D=50 時，E=92.59% 1008060E40200-1012相比：0.75相比：1.5相比：4lgD

相比一定時，D增大，E增大；D相同時，相比增大，E減小。

5．從水溶液中萃取銅離子和鈷離子，假定相比為1：3，單次萃取后，實測兩相中金屬離子濃度為[Cu]o=32.4 g ?L-1，[Cu]w=0.21 g ?L-1，[Co]o=0.075 g ?L-1，[Co]w=0.47 g ?L-1，試分別計算這兩種金屬離子的分配比、萃取率和分離系數(shù)，并判斷此兩種金屬離子是否被定量分離。解：對Cu2+：D=Co32.4==154.3 Cw0.21E?D?100%?D?VW/V0D1D?3?100%?99.79%

對Co2+：D=0.075=0.16 0..47E=32.65% βCu2+ /Co2+=DCu2?=964<104 DCo2?故：兩種金屬離子不能被定量分離。

6.稱取某R4N+OH-型陰離子交換樹脂2.00 g，置于錐型瓶中，加入0.2000 mol ?L-1 HCl-1 100 mL 浸泡一晝夜。用移液管吸取25.00 mL, 以甲基紅為指示劑，用0.1000 mol ?L-1 NaOH溶液滴定，消耗20.00 mL。計算此陰離子交換樹脂的交換容量。解：

交換容量=CHClVHCl?CNaOHVNaOH?2.010025?0.2000?100?0.1000?20?4=6 mol ?g-1

2.07.用8-羥基喹啉氯仿溶液于pH=7.0時，從水溶液中萃取La3+。已知它在兩相中的分配比D=43，今取含La3+的水溶液（1 mg ?mL-1）20.0 mL，計算用萃取液10.0 mL 一次萃取和用同量萃取液分兩次萃取的萃取率。

解：已知

m0=20.0mg，Vw=20.0mL，Vo=10.0mL，D=43 用10.0mL萃取液一次萃取時：

m1?m0VW20?20??0..89mg

DVo?VW43?10?20E?m0?m1?100%=95.55% m0每次用5.0mL萃取液連續(xù)萃取兩次時：

20??=0.14mg m1?20???43?10?20??E?20?0.14?100%=99.30% 2028.某一弱酸的HA的Ka=2×10-5，它在某種有機溶劑中的分配系數(shù)為30.0，當(dāng)水溶液的（1）pH=1；（2）pH=6時，分配比各為多少？用等體積的有機溶劑萃取，萃取效率各為多少？ 解：(1)pH =1 時，δHA,0 =1 δHA,W?H?≈1 =K??H???a?HA,WD=KD?KD?30.0 ?HA,OE=D?100%=96.77% D?1(2)(1)pH =6 時，δHA,0 =1 δHA,W=?H?=0.048 K??H???aD=KD0.048=1.44 1E=59.02% 9.今有兩種性質(zhì)相似的組分A和B。用紙色譜分離時，它們的比移值分別為0.50和0.68。欲使分離后兩斑點中心間的距離為2 cm，濾紙條應(yīng)取用多長? 解：

a??0.50?l?b?a=0.18 ??l?bRf?B???0.68?l?Rf?A??又b-a=2cm ∴ l> 11.1cm 濾紙條至少為12cm。

10.稱取0.5000g氫型陽離子交換樹脂，裝入交換柱中，用NaCl溶液沖洗，至流出液使甲基橙呈橙色為止。收集全部洗出液，用甲基橙作指示劑，以0.1000 mol?L-1 NaOH標(biāo)準(zhǔn)溶液滴定，用去24.51 mL，計算樹脂的交換容量。

解：用去NaOH溶液的物質(zhì)的量等于被交換到樹脂上Na+的物質(zhì)的量，也等于樹脂上被交換下來的H+的物質(zhì)的量。

交換容量?CNaOH?VNaOHG?0.1000?24.51?4.902(mmol/g)0.5000

第二篇：分析化學(xué)中常用的分離和富集方法教案

第8章 分析化學(xué)中常用的分離和富集方法

教學(xué)目的：學(xué)習(xí)各種常用分離和富集方法的原理、特點及應(yīng)用，掌握復(fù)雜體系的分離與分析；分離法的選擇、無機和有機成分的分離與分析。

教學(xué)重點：掌握各種常用分離和富集方法的原理、特點及應(yīng)用。教學(xué)難點：萃取分離的基本原理、實驗方法和有關(guān)計算。

8.1 概述

干擾組分指樣品中原有雜質(zhì)（溶解）或加入試劑引入的雜質(zhì)，當(dāng)雜質(zhì)量少時可加掩蔽劑消除干擾，量大或無合適掩蔽劑時可采用分離的方法。分離完全的含義：（1）干擾組分少到不干擾；（2）被測組分損失可忽略不計。完全與否用回收率表示

回收率＝分離后測得的量?100％

原始含量對回收率的要求隨組分含量的不同而不同：

含量（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）

回收率

1％以上

>99.9％

0.01－1％

>99%

0.01%以下

90－95％

常用的分離方法：沉淀、揮發(fā)和蒸餾、液－液萃取、離子交換、色譜等。8.1.1沉淀分離法

1.常量組分的分離（自己看書：5分鐘）（1）利用生成氫氧化物

a.NaOH法

＋b.NH3法（NH4存在）

c.有機堿法

六次（亞）甲基四胺

pH＝5-6 d.ZnO懸浮液法

pH＝6（2）硫化物沉淀（3）有機沉淀劑

2.痕量組分的共沉淀分離和富集（1）無機共沉淀分離和富集

＋a.利用表面吸附進(jìn)行共沉淀

CuS可將0.02ug的Hg2從1L溶液中沉淀出 b.利用生成混晶

（2）有機共沉淀劑 灼燒時共沉淀劑易除去，吸附作用小，選擇性高，相對分子質(zhì)量大，體積也大，分離效果好。a.利用膠體的凝聚作用進(jìn)行共沉淀：辛可寧，丹寧，動物膠b.利用形成離子締合物進(jìn)行共沉淀：甲基紫，孔雀綠，品紅，亞甲基藍(lán)c.利用“固體萃取劑”進(jìn)行共沉淀。8.1.2揮發(fā)和蒸餾分離法

揮發(fā)法：選擇性高

As的氫化物，Si的氟化物，As、Sb、Sn、Ge的氯化物

＋蒸餾法：N－NH4－NH3?（酸吸收）

利用沸點不同，進(jìn)行有機物的分離和提純。

8.2 液－液萃取分離法

8.2.1萃取分離法的基本原理

萃?。喊涯辰M分從一個液相（水相）轉(zhuǎn)移到互不相溶的另一個液相（有機相）的過程。反萃取：有機相?水相 ?優(yōu)點：1.萃取分離法設(shè)備簡單；2.操作快速；3.分離效果好；

?缺點：1.費時，工作量較大；2.萃取溶劑常是易揮發(fā)、易燃和有毒的物質(zhì)。1．萃取過程的本質(zhì)

親水性：易溶于水而難溶于有機溶劑的性質(zhì)。金屬離子在水中形成水合離子，具有親水性，常見親水基團有：-OH，-SO3H，-NH2，NH。疏水性：難溶于水而易溶于有機溶劑的性質(zhì)。常見疏水基團有：烷基，鹵代烷基，芳香基萃取過程的本質(zhì)就是將物質(zhì)由親水性轉(zhuǎn)化為疏水性的過程。2．分配系數(shù)和分配比

一定溫度下，溶質(zhì)A在水相和有機相達(dá)平衡，A(水)A（有機）

KD?A?有??A?水――分配定律

KD－分配系數(shù)，只與溫度有關(guān)。

分配定律適用條件：(1).稀溶液，可用濃度代替活度；

(2).溶質(zhì)在兩相中均以單一的相同形式存在，沒有其他副反應(yīng)。

c有c水＝D

D－分配比。

（1）當(dāng)D>1時，說明溶質(zhì)進(jìn)入有機相的量比留在水中的量多。在兩相中以單一形式存在，溶液較稀時，KD＝D。

（2）配比并不是常數(shù)，與溶液的酸度、溶質(zhì)的濃度等因素有關(guān)。3．萃取百分率：表示萃取的完全程度

E?E和D的關(guān)系 被萃取物質(zhì)在有機相中的總量?100%

被萃取物質(zhì)的總量coVoDD??100%等體積萃取，E??100%（1）當(dāng)coVo?cwVwD?Vw/VoD?1 E?分配比不高時，可采用多次連續(xù)萃取的方法來提高萃取率。2.當(dāng)D=1時，萃取一次的萃取百分率為50%；若要求萃取率大于90%，則D必須大于9；

?設(shè)Vw（ml）溶液內(nèi)含有被萃取物m0（g），用Vo（ml）溶劑萃取一次，水相中剩余被萃取物m1（g），則進(jìn)入有機相的質(zhì)量是（m0-m1）（g），此時分配比為D?故：m1?m0?Vw

DVo?Vwnco?m0?m1?/Vo? cwm1/Vw??Vw?若用Vo（ml）溶劑萃取n次，水相中剩余被萃取物為mn（g）：mn?m0??

DV?V????ow??8.2.2重要的萃取體系

1.螯合物萃取體系 2.離子締合物萃取體系 3.溶劑化合物萃取體系 4.簡單分子萃取體系

8.2.3萃取條件的選擇（I）萃取平衡

? 金屬離子Mn+與螯合劑HR作用生成螯合物MRn被有機溶劑所萃取，設(shè)HR易溶于有機相而難溶于水相，則萃取平衡表示： n++（M）W + n（HR）O=====（MRn）O + n（H）W

平衡常數(shù)稱為萃取平衡常數(shù)Kex：

+n [MRn] O ? [H] W Kex = —————————（8-8）

n+n [M]W ? [HR] O

n [MRn] O Kex?[HR] O

D = ———— = —————（8-9）

n++n [M]W [H] W

由式(8—9)可見，金屬離子的分配比決定于Kex，螯合劑濃度及溶液的酸度。（II）萃取條件的選擇主要考慮以下幾點： a．螯合劑的選擇 b．溶液的酸度 c.萃取溶劑的選擇 d．干擾離子的消除 a．螯合劑的選擇

? ? ? 螯合劑與金屬離子生成的螯合物越穩(wěn)定，即Kex越大，萃取效率就越高； 螯合劑含疏水基團越多，親水基團越少，[HR] O越大，萃取效率就越高。螯合劑濃度

nb．溶液的酸度

? 溶液的酸度越低，則D值越大，就越有利于萃取。

? 當(dāng)溶液的酸度太低時，金屬離子可能發(fā)生水解，或引起其他干擾反應(yīng)，對萃取反而不利。? 結(jié)論：必須正確控制萃取時溶液的酸度。

? 示例：用二苯基卡巴硫腙—CCl4萃取金屬離子，都要求在一定酸度條件下才能萃取完全。

2+2-萃取Zn時，適宜pH為6.5一l0，溶液的pH太低：難于生成螯合物 pH太高：形成Zn02。

c.萃取溶劑的選擇 ? 原則：

（1）金屬螯合物在溶劑中應(yīng)有較大的溶解度。通常根據(jù)螯合物的結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)相似的溶劑。

（2）萃取溶劑的密度與水溶液的密度差別要大，粘度要小（3）萃取溶劑最好無毒、無特殊氣味、揮發(fā)性小。? 例如：

含烷基的螯合物用鹵代烷烴(如CCl4，CHCl3)作萃取溶劑 含芳香基的螯合物用芳香烴(如苯、甲苯等)作萃取溶劑 d．干擾離子的消除

（a）控制酸度： 控制適當(dāng)?shù)乃岫龋袝r可選擇性地萃取一種離子，或連續(xù)萃取幾種離子

2+3+2+2+ 示例：在含Hg，Bi，Pb，Cd溶液中，控制酸度用二苯硫腙—CCl4萃取不同金屬離子。

3（b）使用掩蔽劑： 當(dāng)控制酸度不能消除干擾時，可采用掩蔽方法。

+2+ 示例：用二苯硫腙—CCl4萃取Ag時，若控制pH為2，并加入EDTA，則除了Hg，Au(III)外，許多金屬離子都不被萃取。

8.2.4萃取分離技術(shù) 1.萃取方式

在實驗室中進(jìn)行萃取分離主要有以下三種方式。

a．單級萃取 又稱間歇萃取法：通常用60一125mL的梨形分液漏斗進(jìn)行萃取，萃取一般在幾分種內(nèi)可達(dá)到平衡，分析多采用這種方式。

b．多級萃取 又稱錯流萃?。簩⑺喙潭?，多次用新鮮的有機相進(jìn)行萃取，提高分離效果。c．連續(xù)萃?。?使溶劑得到循環(huán)使用，用于待分離組分的分配比不高的情況。這種萃取方式常用于植物中有效成分的提取及中藥成分的提取研究。

? 萃取時間，一般從30s到數(shù)分鐘不等。

2.分層

? 萃取后應(yīng)讓溶液靜置數(shù)分鐘，待其分層，然后將兩相分開。? 注意：在兩相的交界處，有時會出現(xiàn)一層乳濁液

產(chǎn)生原因：因振蕩過于激烈或反應(yīng)中形成某種微溶化合物

消除方法：增大萃取劑用量、加入電解質(zhì)、改變?nèi)芤核岫?、振蕩不過于激烈 3.洗滌

? 所謂洗滌：就是將分配比較小的其它干擾組分從有機相中除去。

? 洗滌方法：洗滌液的基本組成與試液相同，但不含試樣。將分出的有機相與洗滌液一起振蕩。

? 注意：此法使待測組分有一些損失，故適用于待測組分的分配比較大的條件下，且一般洗滌1—2次。4.反萃取

? 反萃?。浩茐谋惠臀锏氖杷院?，將被萃物從有機相再轉(zhuǎn)入水相，然后再進(jìn)行測定。? 反萃取液：酸度一定（與原試液不同），或加入一些其它試劑的水溶液。

? 選擇性反萃?。翰捎貌煌姆摧鸵?，可以分別反萃有機相中不同待測組分．提高了萃取分離的選擇性。

8.3 離子交換分離法

利用離子交換樹脂與溶液中的離子發(fā)生交換反應(yīng)而進(jìn)行分離的方法。此法可用于：（1）分離（2）富集微量物質(zhì)（3）除去雜質(zhì)，高純物質(zhì)的制備（去離子水）8.3.1離子交換劑的種類和性質(zhì)

離子交換樹脂是一種高分子聚合物。1．種類：

陽離子交換樹脂：a.強酸型：活性基團-SO3H，在酸性、中性和堿性溶液中都能使用。國產(chǎn)#732樹脂。

b。弱酸型：活性基團-COOH，-OH，在中性、堿性中使用。國產(chǎn)#724 陰離子交換樹脂：a.強堿型：活性基團為季胺基[-N(CH3)3Cl]，在酸性、中性和堿性溶液中都能使用。國產(chǎn)#717

b.弱堿型：活性基團為伯、仲、叔胺基，在中性和酸性中使用。國產(chǎn)#707螯合樹脂：含有特殊的活性基團，可與某些金屬離子形成螯合物。－N(CH2COOH)2,國產(chǎn)#401 大孔樹脂：氧化還原樹脂：萃淋樹脂：纖維交換劑：

2．結(jié)構(gòu)：離子交換樹脂為具有網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的高分子聚合物。例如，常用的聚苯乙烯磺酸型陽離子交換樹脂，就是以苯乙烯和二乙烯苯聚合后經(jīng)磺化制得的聚合物。

3．交聯(lián)度：指樹脂中含交聯(lián)劑（二乙烯苯）的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。是樹脂的重要性質(zhì)之一。

交聯(lián)度?。壕W(wǎng)眼大，對水膨脹性好，交換速度快，選擇性差，機械性能差。

交聯(lián)度大：網(wǎng)眼小，對水膨脹性差，交換速度慢，選擇性好，機械性能高。樹脂的交聯(lián)度一般以4－14％為宜。4.交換容量：指每克干樹脂所能交換的一價離子的物質(zhì)的量(mmol)。是樹脂性質(zhì)的另一指標(biāo)。

它決定于樹脂網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)內(nèi)所含活性基團的數(shù)目。一般樹脂的交換容量為3-6mmol/g。8.3.3離子交換分離操作 1.樹脂的處理和裝柱

先浸泡在水中－溶脹后－鹽酸浸泡－洗至中性

2．交換：以一定速度由上向下經(jīng)柱交換，“交界層”下移，幾種離子中親和力大的在上層，每種離子集中在柱的某以區(qū)域。

3.洗脫：洗脫(淋洗)就是將交換到樹脂上的離子，用洗脫劑(或淋洗劑)置換下來的過程，是交換過程的逆過程。

4．樹脂再生：

8.3.4離子交換分離法的應(yīng)用 1.水的凈化

2.微量組分的富集 3.陰陽離子的分離 4.相同電荷離子的分離

8.4 液相色譜分離法

何為色譜法？

其利用物質(zhì)在兩相中的分配系數(shù)（由物理化學(xué)性質(zhì)：溶解度、蒸汽壓、吸附能力、離子交換能力、親和能力及分子大小等決定）的微小差異進(jìn)行分離。當(dāng)互不相溶的兩相做相對運動時，被測物質(zhì)在兩相之間進(jìn)行連續(xù)多次分配，這樣原來微小的分配差異被不斷放大，從而使各組分得到分離。8.4.1 紙上色譜分離法 1．方法原理

? ? ? ? ? 原理：紙上色譜分離法是根據(jù)不同物質(zhì)在固定相和流動相間的分配比不同而進(jìn)行分離的。固定相：濾紙——利用紙上吸著的水分(一般的紙吸著約等于自身質(zhì)量20％的水分)流動相：有機溶劑 簡單裝置如圖8—5所示

操作：點樣、展開、干燥、顯色得到如圖8 — 6所示的色譜圖、測定（定性和定量）

展開方式

? 上行法：展開速度慢、容易達(dá)到平衡，分離效果好 ? 下行法：展開速度快、適用于易分離的組分分離

? 雙向法：使用兩種展開劑、90度展開、適用于難分離的混合物的分離 2．比移值

? 比移值〔R)：R＝a／b ff a為斑點中心到原點的距離cm b為溶劑前沿到原點的距離cm（1）Rf值最大等于1，最小等于零。（2）Rf值是衡量各組分的分離情況的數(shù)值（3）Rf值相差越大，分離效果越好（4）使用Rf值定性 3.應(yīng)用

（1）甘氨酸、丙氨酸和谷氨酸混合氨基酸的分離

展開劑：正丁醇：冰醋酸：水＝4：1：2 顯色：三茚酮

（3）萄糖、麥芽糖和木糖混合糖類的分離

展開劑：正丁醇：冰醋酸：水＝4：1：5 顯色：用硝酸銀氨溶液噴灑，即出現(xiàn)Ag的褐色斑點。

定性：由Rf值可判斷是哪種糖；葡萄糖的Rf為0.16，麥芽糖的Rf為0.11．木糖的Rf是0.28。

8.4.2薄層色譜分離法 1.方法原理

原理： 薄層色譜分離法是將固定相吸附劑均勻地涂在玻璃上制成薄層板，試樣中的各組分在固定相和作為展開劑的流動相之間不斷地發(fā)生溶解、吸附、再溶解、再吸附的分配過程。不同物質(zhì)上升的距離不一樣而形成相互分開的斑點從而達(dá)到分離。操作方法：同紙上色譜法 展開方法： 1.固定相：

（1）硅膠：微酸性極性固定相，適用于酸性、中性物質(zhì)分離（可以制備成酸度不同或堿性硅膠擴大使用范圍）

（2）氧化鋁：堿性極性固定相，適用于堿性、中性物質(zhì)分離（可以制備成中性或酸性氧化鋁擴大使用范圍）

（3）聚酰胺：含有酰胺基極性固定相，適用于酚類、醇類化合物的分離（4）纖維素：含有羥基的極性固定相，適用于分離親水性物質(zhì)

? 根據(jù)制備方法不同，吸附劑又可以分為不同的活性，如：硅膠和氧化鋁可以分為五級 2.展開劑：

（4）展開劑對被分離物質(zhì)有一定的解吸能力和溶解度。（5）極性比被分離物質(zhì)略小。吸附劑和展開劑的一般選擇原則是：

? 非極性組分的分離選用活性強的吸附劑，用非極性展開劑；極性組分的分離，選用活性弱的吸附劑，用極性展開劑。實際工作中要經(jīng)過多次實驗來確定。

8.5 氣浮分離法

8.5.1方法原理 何謂氣浮分離法：

? 采用某種方式，向水中通入大量微小氣泡，在一定條件下使呈表面活性的待分離物質(zhì)吸附或粘附于上升的氣泡表面而浮升到液面，從而使某組分得以分離的方法，稱氣浮分離 6 法或氣泡吸附分離法。（浮選分離或泡沫浮選）。

? 分離和富集痕量物質(zhì)的一種有效方法。

一.方法原理

? 原理：表面活性劑在水溶液中易被吸附到氣泡的氣—液界面上。表面活性劑極性的—端向著水相，非極性的一端向著氣相(如圖8—9)，含有待分離的離子、分子的水溶液中的表面活性劑的極性端與水相中的離子或其極性分子通過物理(如靜電引力)或化學(xué)（如配位反應(yīng)）作用連接在一起。當(dāng)通入氣泡時，表面活性劑就將這些物質(zhì)連在一起定向排列在氣—液界面，被氣泡帶到液面，形成泡沫層，從而達(dá)到分離的目的。二.分離的類型 1．離子氣浮分離法

? 在含有待分離離子(或配離子)的溶液中．加入帶相反電荷的某種表面活性劑，使之形成疏水性物質(zhì)。通入氣泡流，表面活性劑就在氣—液界面上定向排列。同時表面活性劑極性的一端與待分離的離子連結(jié)在一起而被氣泡帶至液面。2．沉淀氣浮分離法

? 在含有待分離離子的溶液中，加入一種沉淀劑(無機或有機沉淀劑)使之生成沉淀，再加入表面活性劑并通入氮氣或空氣，使表面活性劑與沉淀一起被氣泡帶至液面。3．溶劑氣浮分離法

在水溶液上覆蓋一層與水不相混溶的有機溶劑，當(dāng)采取某種方式使水中產(chǎn)生大量微小氣泡后，已顯表面活性的待分離組分就會被吸附和粘附在這些正在上升的氣泡表面。溶入有機相或懸浮于兩相界面形成第三相．從而達(dá)到分離溶液中某種組分的目的。三.影響氣浮分離效率的主要因素 a．溶液的酸度 b．表面活性劑濃度 c．離子強度

d．形成絡(luò)合物或沉淀的性質(zhì) e．其他因素 一般要求氣泡直徑在0.1一0.5mm之間，氣泡流速為l一2mL/cm?mm為宜。氣體通常用氮氣或空氣 四.應(yīng)用

? 特點：

氣浮分離法富集速度快，比沉淀或共沉淀分離快得多，富集倍數(shù)大，操作簡便。

? 應(yīng)用：環(huán)境治理、痕量組分的富集等。沉淀氣俘分離法已成功地用于給水凈化和工業(yè)規(guī)模的廢水處理等。離子氣浮分離法和溶劑氣浮分離法目前在分析化學(xué)上應(yīng)用較多。如用于環(huán)境監(jiān)測中富集。

8.6 其它分離富集方法

8.6.1 固相微萃取分離法

固相微萃取分離法屬于非溶劑型萃取法。其中直接固相微萃取分離法是將涂有高分子固相液膜的石英纖維直接插入試祥溶液或氣樣中，對待分離物質(zhì)進(jìn)行萃取，經(jīng)過一定時間在固相涂層和水溶液兩相中達(dá)到分配平衡．即可取出進(jìn)行色譜分析。

1.壓桿 2．筒體 3．壓桿卡持螺釘 4.Z形槽 5.簡體視窗 6．調(diào)節(jié)針頭長度的定位器 7.拉伸彈簧 8.密封隔膜 9．注射針管 10.纖維聯(lián)結(jié)管 11．熔融石英纖維

8.6.2 超臨界流體萃取分離法

1.超臨界流體是介于氣液之間的一種既非氣態(tài)又非液態(tài)的物態(tài)．它只能在物質(zhì)的溫度和壓力超過臨界點時才能存在。

2.超臨界流體的密度較大，與液體相仿．所以它與溶質(zhì)分子的作用力很強，像大多數(shù)液體一樣，很容易溶解其他物質(zhì)。另一方面，它的粘度較小，接近于氣體，所以傳質(zhì)速率很高；加上表面張力小，容易滲透固體顆粒，并保持較大的流速，可使萃取過程在高效、快速又經(jīng)濟的條件下完成。3.二氧化碳與氨

8.6.3 液膜萃取分離法

由浸透了與水互不相溶的有機溶劑的多孔聚四氟乙烯薄膜把水溶液分隔成兩相—萃取相與被萃取相；其中與流動的試樣水溶液系統(tǒng)相連的相為被萃取相，靜止不動的相為萃取相。試樣水溶液的離子流入被萃取相與其中加入的某些試劑形成中性分子(處于活化態(tài))。這種中性分子通過擴散溶人吸附在多孔聚四氟乙烯上的有機液膜中，再進(jìn)一步擴散進(jìn)入萃取相，一旦進(jìn)入萃取相，中性分子受萃取相中化學(xué)條件的影響又分解為離子(處于非活化態(tài))而無法再返回液膜中去。其結(jié)果使被萃取相中的物質(zhì)——離子通過液膜進(jìn)入萃取相中。8.6.4 毛細(xì)管電泳分離法

電泳分離是依據(jù)在電場中溶質(zhì)不同的遷移速率。毛細(xì)管電泳分離法是在充有合流動電解質(zhì)的毛細(xì)管兩端施加高電壓，利用電位梯度及離子淌度的差別，實現(xiàn)流體中組分的電泳分離。對于給定的離子和介質(zhì)，淌度是該離子的特征常數(shù)，是由該離子所受的電場力與其通過介質(zhì)時所受的摩擦力的平衡所決定的 8.6.5 微波萃取分離法

微波萃取分離法是利用微波能強化溶劑萃取的效率，使固體或半固體試樣中的某些有機物成分與基體有效地分離，并能保持分析對象的原本化合物狀態(tài)。微波萃取分離法包括試樣粉碎、與溶劑混合、微波輻射、分離萃取等步驟，萃取過程一般在特定的密閉容器中進(jìn)行。微波萃取分離法具有快速、節(jié)能、節(jié)省溶劑、污染小、儀器設(shè)備簡單廉價，并可同時處理多份試樣等優(yōu)點，所以應(yīng)用很廣。

本章作業(yè)

P305 4 P306 9 , 10 , 12 ,15

第三篇：分離變量法習(xí)題

第十章習(xí)題解答 求解混合問題

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?0??

?u(0,t)?0,u(l,t)?0，其中?(x)??v0?0?u(x,0)?0,u(x,0)??(x)?t?0?x?c??c???x?c?? c???x?l解：用分離變量法：設(shè)混合問題的非零解函數(shù)為u(x,t)?X(x)T(t)，則，utt(x,t)?X(x)T??(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)

代入混合問題中的微分方程可得：

X(x)T??(t)?aX??(x)T(t)?0?2X??(x)X(x)?aT??(t)T(t)2???

由初始條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?u(l,t)?X(l)T(t)?0?X(0)?X(l)?0由此可得，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X(l)?0(0?x?l)

?

若λ<0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1exp(?x)?c2exp(??x)，代入邊值條件后可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ=0，則此定解問題的微分方程的通解為

X(x)?c1?c2x，代入邊值條件后仍可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ>0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1cos代入邊界條件后可得： X(0)?c1cos?0?c2sin?0?c1?0?X(x)?c2sin?x，2?x?c2sin?x，X(l)?c2sin?l?0,X(x)?0?sinn?xl?n???l?0,???n???，?l?所以可取 X(x)?Xn(x)?sin

(n?1,2,?)由T(t)所滿足的方程可得：

T??(t)?a2?2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?ancosn?atln?atl?bnsinn?atl，所以，原混合問題的微分方程的滿足邊界條件的分離變量形式解為 u(x,t)?un(x,t)?Xn(x)Tn(t)?(ancos???bnsinn?atl)sinn?xl，設(shè)原混合問題的解函數(shù)為 u(x,t)??n?1(ancosn?atl?bnsinn?atl)sinn?xl，??則由初始條件可得：0?u(x,0)??n?1ansinn?xl?an?0(n?1,2,?)

?? ut(x,t)??n?1n?albncosn?atlsinn?xln?xl，?? ?(x)?ut(x,0)??n?1n?atlbnsin?bn??n?a2l0?(x)sinn?xldx，bn??n?a2c??c??v0sinn?xldx?2v0ln?a??22(cosn?(c??)ln?xl?cosn?(c??)l)（*）所以，原混合問題的解為 u(x,t)?2 求解混合問題

?bn?1nsinn?atlsin，其中的bn由（*）給出。

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?E,u(l,t)?0

?u(x,0)?0,u(x,0)?0(E為常數(shù)）t?解：由于邊界條件非齊次，需作函數(shù)變換如下：設(shè)

v(x,t)?u(x,t)?El(l?x)?u(x,t)?v(x,t)?El(l?x)，則

vxx(x,t)?uxx(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vtt(x,t)?utt(x,t)，2vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?0，v(0,t)?u(0,t)?

v(x,0)?u(x,0)?ElEl(l?0)?u(0,t)?E?0,v(l,t)?u(l,t)?0?0，(l?x)??El(l?x),vt(x,0)?ut(x,0)?0，所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是：v(x,t)是如下混合問題的解：

?2?vtt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?Ev(x,0)??(l?x),vt(x,t)?0?l?t?0)

（*）

用分離變量法求解此定解問題，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

??

v(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl)sinn?xl，代入初始條件可得：，Bn?0，An???2l?lEl0(l?x)sinn?xldx?2En?(n?1,2,?)

所以，v(x,t)???n?12En?cosn?atlElsinn?xl，??原混合問題的解函數(shù)為u(x,t)?3 求解下列阻尼波動問題的解：

(l?x)??n?12En?cosn?atlsinn?xl

?utt?2hut?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0

?u(x,0)??(x),u(x,0)??(x)t?其中，h為正常數(shù)，且h?a?2l。

解：使用分離變量法，設(shè)原定解問題的微分方程有如下分離變量形式非零解函數(shù)滿足邊界條件：

u(x,t)?X(x)T(t)

則容易算得：uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，代入方程后化簡可得：

T??(t)?2hT?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)???

0?u(0,t)?X(0)T(t)?X(0)?0，0?ux(l,t)?X?(l)T(t)?X?(l)?0，T??(t)?2hT?(t)??aT(t)?0

?X??(x)??X(x)?0

?，?X(0)?0,X(l)?0?2由X(x)的非零性可得??0，此時，X(x)?c1cos?x?c2sin?x，X(0)?c1cos0?c2sin0?c1?0?X(x)?c2sin?x，取c2?1得：X(x)?sin?2n?1??l?0????n????

?2l?22?x,X?(l)??cos?2n?1?將?代入T(t)所滿足的方程可得：T??(t)?2hT?(t)???a?T(t)?0

?l?

?2?2n?1??2h????a??0????n??h??2l?2?(2n?1)?a?h???

2l??222

h??a2l?(2n?1)?a2l??n??h??(2n?1)?a?2???hi2l??(n?1,2,?)

從而有：

T(t)?Tn(t)?e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)，??2n?1??a???2l22其中

?n???h?(n?1,2,?)，（1）

設(shè)原混合問題的解函數(shù)為：

??

u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，??

?(x)?u(x,0)?l?n?1Ansinl(2n?1)?2lx，(2n?1)?xl(1?cosdx?，?0?022l2l22l(2n?1)?xdx(n?1,2,?)

（2）所以

An???(x)sin0l2l而

sin2(2n?1)?xdx?1??ut(x,t)??n?1e?ht((?hAn??nBn)cos?nt?(hBn??nAn)sin?nt))sin(2n?1)?x2l

??

?(x)?ut(x,0)?1?n?1(?hAn??nBn)sin(2n?1)?x2l，Bn??n(hAn?2l?l0?(x)sin(2n?1)?x2ldx)。

（3）

??所以，原混合問題的解是u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，其中的 ?n,An,Bn分別由（1）式、（2）式、（3）式給出。

4 求解混合問題

??uxx?LCutt?(LG?RC)ut?GRu?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?GEu(x,0)?E,u(x,0)??t?C?(0?x?l,t?0)

其中L、C、G、R為常數(shù)，且LG=RC。（提示：作函數(shù)變換u(x,t)?exp(?Rt/L)v(x,t)）

解：記a2?1LC,b?GC?RL，混合問題的微分方程兩邊同除LC，方程可化為

a2uxx(x,t)?utt(x,t)?2but(x,t)?b2u(x,t)，a?22?x(u(x,t)exp(bt))???t22(u(x,t)exp(bt))，設(shè)v(x,t)?u(x,t)exp(bt)，則有

a2vxx(x,t)?vtt(x,t)，而且，vx(x,t)?ux(x,t)exp(bt),()?0,所以

v(0,t)?u(0,t)expbtvt(x,t)?ut(x,t)exp(bt)?bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)?ux(l,t)expbt()?0，vt(x,0)?ut(x,0)?bu(x,0)?0，(?0)?u(x,0)?E, v(x,0)?u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合問題的解函數(shù)，則v(x,t)是如下混合問題的解函數(shù)：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,vx(x,t)?0?v(x,0)?E,v(x,t)?0t?(0?x?l,t?0)

用分離變量法求解此混合問題，設(shè)方程的分離變量解形式的滿足邊界條件的非零解為 v(x,t)?X(x)T(t)，則

vx(x,t)?X?(x)T(t)，vxx(x,t)?X??(x)T(t),vxx(x,t)?X??(x)T(t), X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

由齊次邊界條件可得，X(x)為如下定解問題的解：

?X??(x)??X(x)?0?X(x)?c1cos?x?c2sin?x，??X(0)?0,X(l)?0?

X(0)?0?c1?0，取c2?1得X(x)?sin?x，X?(l)?T??(t)aT(t)2?(2n?1)???cos?l?0????n???2l????n?T(t)?Tn(t)?Ancos(2n?1)?x2l2(n?1,2,?)，(2n?1)?at2l

(2n?1)?at2l?Bnsin，X(x)?Xn(x)?sin??(n?1,2,?)，設(shè)

v(x,t)??n?1(Ancos(2n?1)?at2ll?Bnsin(2n?1)?at2l)sin(2n?1)?x2l

代入初始條件可得：An???2l?0v(x,0)sin(2n?1)?x2ldx?4E(2n?1)?,Bn?0，所以

v(x,t)??(2n?1)?n?1??4Ecos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l

所以，原題目所給的混合問題的解函數(shù)為：

u(x,t)?exp(?bt)?n?14E(2n?1)?cos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l。用固有函數(shù)法求解

?utt?a2uxx?g(const),?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)

解：用分離變量法：設(shè)原混合問題的微分方程對應(yīng)的齊次方程有如下分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，利用分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可求得： ?(2n?1)??

???n???,2l??2X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)

將f(x,t)?g展開成Xn(x)的廣義Fourier級數(shù)如下：

fn(t)?2l?l0f(x,t)Xn(x)dx?2l?l0gsin(2n?1)?x2ldx?4g(2n?1)?，?T??(t)?a2?nT(t)?fn(t)16gl(2n?1)?at?T(t)?T(t)?(1?cos)?n3322l(2n?1)?a?T(0)?0,T?(0)?02[注：方程T??(t)?a?T(t)?fn(t)的通解為

Tn(t)?Ancos

(2n?1)?at2l?Bnsin(2n?1)?at2l?16gl(2n?1)?a332，代入初始條件即可得此處的結(jié)果。] 所以，題目所給的混合問題的解函數(shù)為

??u(x,t)??Tn(t)Xn(x)?n?1?(2n?1)16gl3?a32(1?cos(2n?1)?at2lt?0))sin(2n?1)?x2l。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?6．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?u(const)0?(0?x?l,。

解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ut(x,t)?X(x)T?(t),ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，代入方程后化簡再由邊界條件可得：

T?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,22X??(x)?aX(x)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0,ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X?(l)?0

2?(0?x?l)

?(2n?1)??解之得 ???n???,2l??X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)，2?(2n?1)?a?

T?(t)??na2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)。

2l????設(shè)原問題的解函數(shù)為

u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a?，Anexp?(??t)sin2l2l????2由初始條件可得：

u0?u(x,0)??An?1nsin(2n?1)?x2l4u0，由此可得：

An?2l?l0u0sin(2n?1)?x2ldx?(2n?1)?2(n?1,2,?)，??所以，u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a? exp?(?t)sin?(2n?1)?2l2l??4u0 7 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?7．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)??u(l,t)?0?u(x,0)??(x)?t?0)

解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t)，代入方程后化簡，并由邊界條件可得：

T?(t)??a2T(t)?0,X??(x)??X(x)?0，u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)??u(l,t)?(X?(l)??X(l))T(t)?0?X?(l)??X(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0(0?x?l)

?

?X(0)?0,X(l)??X(l)?0?由u(x,t)是非零解可得：??0?X(x)?c1cos

X(0)?0?c1?0?X(x)?sin?x?x?c2sin?x

(letc2?1)，X?(l)??X(l)?設(shè)

tan?l?????cos?l??sin?l?0?tan?l??(n?1,2,?)，則???n??n

2??

????n?0所以，X(x)?Xn(x)?sin?nx，22((a?n)t)

T?(t)?(a?n)T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(n?1,2,?)，??設(shè)原混合問題的解函數(shù)為

u(x,t)??An?1nexp(?(a?n)t)sin?nx，2利用?Xn(x)?的正交性可求得 An???(x)sin?0lnxdx(n?1,2,?)。

?[注]：可以證明：?Xn(x)?具有正交性。

l0sin?nxdx2 8 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?8．求解混合問題?u(0,t)??,u(l,t)???u(x,0)?u0?(0?x?l,t?0)，其中，?,?,u0為常數(shù)。

解：作函數(shù)變換 v(x,t)?u(x,t)?(??則

ut(x,t)?vt(x,t),???lx)?u(x,t)?v(x,t)?(?????l x)，uxx(x,t)?vxx(x,t)，u(0,t)??,u(l,t)???v(0,t)?0,v(l,t)?0，u(x,0)?u0?v(x,0)?u0?(?????lx)

所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是v(x,t)是如下混合問題的解： ?2?vt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0????v(x,0)?u?(??x)0?l?t?0)

用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

X(x)?Xn(x)?sin??n?xl,?n?a?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)，?l???2

v(x,t)??Tn?1n(t)Xn(x)??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinl?l???2代入初始條件可得：u0?(?????l2lx)?v(x,0)?l?n?1Ansinn?xln?xl

由?Xn(x)?的正交性可得：An?

An????0(u0?(??n???lx))sindx，2n?((u0??)?(?1)(??u0))(n?1,2,?)，2所以，v(x,t)??n?1n?x?n?a?n((u0??)?(?1)(??u0))exp(???t)sinn?l?l?2

u(x,t)?v(x,t)?(?????lx)。

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?9．求解 ?u(x,0)?x(x?a),limu(x,y)?0y?????u(0,y)?0,u(a,y)?0y?0)。

解：用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下滿足齊次邊界條件的分離變量形式非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則

uxx(x,y)?X??(x)Y(y),uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，uxx(x,y)?uyy(x,y)?X??(x)Y(y)?X(x)Y??(y)?0，X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)????X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，??

u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，u(a,y)?X(a)Y(y)?0?X(a)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??X(x)?Xn(x)?sinn?yan?xa，從而有：Y(y)?Yn(y)?Anexp(又由另一個邊界條件可得：

n?ya)?Bnexp(?)(n?1,2,?)

（limun(x,y)?limXn(x)Yn(y)?0?An?0?Yn(y)?Bnexp?y???y???n?ya)，????設(shè)原定解問題的解函數(shù)是u(x,y)??n?1un(x,y)??n?1Bnexp(?n?ya)sinn?xa，??則

u(x,0)?x(x?a)?x(x?a)??n?1Bnsinn?xa?

Bn??a2a0x(x?a)sinn?xandx?22aan?n?ya333((?1)?1)n(n?1,2,?)，所以，u(x,y)?10．求解邊值問題：

4a2???3?n?1(?1)?1n3exp(?)sinn?xa。

??uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?x?xu(x,0)?0,u(x,b)?sin?aa?0?y?b)。

解： 用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下分離變量形式的滿足齊次邊界條件的非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則有：

uxx(x,y)?X??(x)Y(y), X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，??0?X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，同理 X(a)?0，所以，X(x)是如下二階常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??Xn(x)?sinn?yan?xa，Y??(y)??nY(y)?0?Y(y)?Yn(y)?Ancosh??n?y，?Bnsinha設(shè)原定解問題的解為：u(x,y)??n?1(Ancoshn?ya?Bnsinhn?ya)sinn?xa，??則

0?u(x,0)??n?1Ansinn?xa?An?0(n?1,2,?)，xasin?xa2a???u(x,b)?n?ba?n?1aBnsinhn?basinsinn?xadx，所以，Bn?(sinh)?1?xa0sin?xan?xan?b??2

???sinh?a???1?1?(?1)n1?(?1)n??(n?1)2?(n?1)2?????(n?2,3,?)

axb??x?x?b??

B1?(sinh)?1?sinsindx??2sinh?0aaaaaa??2?1。

??所以，原定解問題的解函數(shù)為u(x,y)??n?1Bnsinhn?yasinn?xa，其中的Bn由以上式子給出。11．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?k(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?u(x,0)?0,u(x,b)?0?0?y?b)，提示：令u(x,y)?v(x,y)?w(x),而w(x)滿足條件w??(x)?k,w(0)?w(a)?0。解：令w(x,y)?k2x(x?a),v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，則

vxx(x,y)?uxx(x,y)?wxx(x,y)?uxx(x,y)?k，vyy(x,y)?uyy(x,y)?wyy(x,y)?uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)?uyy(x,y)?k?vxx(x,y)?vyy(x,y)?0，u(0,y)?0,u(a,y)?0?v(0,y)?0,v(a,y)?0，u(x,0)?0,u(x,b)?0?v(x,0)?k2x(x?a),v(x,b)?k2x(x?a)

所以，u(x,y)是原定解問題的解的充要條件是v(x,y)是如下定解問題的解： ??vxx(x,y)?vyy(x,y)?0?（*）?v(0,y)?0,v(a,y)?0，?kkv(x,0)?x(x?a),v(x,b)?x(x?a)?22?用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

v(x,y)?X(x)Y(y)?X??(x)??X(x)?0,?n??

?n???,?a?2Y??(y)??Y(y)?0，Xn(x)?sinn?xa,n?yn?yYn(y)?Anexp()?Bnexp?()

aa(n?1,2,?)，v(x,y)?vn(x,y)?Xn(x)Yn(y)??設(shè)（*）的解函數(shù)為v(x,y)??n?1(Anexp(n?yak2)?Bnexp(?n?ya))sinn?xa

??則

v(x,0)??n?1??(An?Bn)sinn?xa?1?x(x?a)，v(x,b)??n?1(AnDn?BnDn)sinn?xa，（其中 Dn?exp(n?ba)）

若記

Cn??a2ak20x(x?a)sinn?xadx?2k2aa2n?333((?1)?1)，3?1??n?b??)?1?Cn??An??exp(A?B?C??annn???則有： ?，??1?1AD?BD?Cn?bn?b??nnn?nn?B?exp()?exp()?1?Cnn??a?a??? 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式給出。而題目所給的定解問題的解函數(shù)為

u(x,y)?v(x,y)?w(x,y)?v(x,y)?12．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(x,0)?0,u(x,b)?0?u(0,y)?y(y?b),u(a,y)?0?0?y?b)k2x(x?a)。

解：用分離變量法求解此定解問題：設(shè)u(x,y)?X(x)Y(y)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程

n?y?n??可得

????????n???,Yn(y)?sinX(x)Y(y)b?b?X??(x)??nX(x)?0?X(x)?Xn(x)?Anexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb)(n?1,2,?)X??(x)Y??(y)2設(shè)原定解問題的解函數(shù)為

????

u(x,y)??n?1Xn(x)Yn(y)??n?1(Anexp(n?xb??)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb，則由關(guān)于x的邊界條件可得：y(y?b)?u(0,y)?2b?n?1(An?Bn)sinn?yb，An?Bn??b0y(y?b)sinn?ybdy

??

0?u(a,y)?n?ab?n?1(Anexp(n?abn?ab?1b)?Bnexp(?n?ab))sinn?yb，Anexp(所以

An??

Bn?2b)?Bnexp?(2n?abb)?0，y(y?b)sin)?1)?12b(exp()?1)?n?yb0dy，n?ybdy，exp(??2n?a)(exp(2n?ab?b0y(y?b)sin所以，u(x,y)?所以，……。

13.求解混合問題

?(An?1nexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb

3?x3?at?2u(x,t)?au(x,t)?sinsinxx?tt2l2l?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t??(0?x?l,t?0)。

解：用分離變量法求解此混合問題：設(shè)原給定的混合問題中的微分方程對應(yīng)的齊次方程有如下分離變量形式的滿足邊界條件的非零解：

u(x,t)?X(x)T(t)?ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，utt(x,t)?a2uxx(x,t)?0?

X??(x)??X(x)?0, 由邊界條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)是如下邊值問題的非零解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0

?

?X(0)?0,X(l)?0?X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

?(2n?1)??求解此問題，可當(dāng)???n???時，問題有非零解，其解函數(shù)集構(gòu)成一個

2l??2一維線性空間，它的一個基向量函數(shù)為X(x)?Xn(x)?sin令

fn(t)?2l(2n?1)?x2l2lsin，dx，?l0f(x,t)Xn(x)dx?,fn(t)?0,?l0sin3?x2lsin3?at(2n?1)?x2l則

f2(t)?sin3?at2l(n?1,3,4,5,?)

令{Tn(t)}為如下初值問題的解函數(shù)： ?T??(t)??na2T(t)?fn(t)

??T(0)?0,T?(0)?0(t?0)，（1）

則Tn(t)?0(n?1,3,4,5,?)，對于n=2,可用常數(shù)變易法來求：

T??(t)??2aT(t)?0?T(t)?Acos設(shè)（1）的解函數(shù)為 T(t)?A(t)cos則 T?(t)?A?(t)cos令

A?(t)cos3?at2l?B?(t)sin3?at2l3?at2l3?at?B(t)sin?3?a2l2l3?at2l?Bsin3?at2l，3?at2l?B(t)cos3?at2l)

(?A(t)sin3?at2l?B?(t)sin3?at2l?0，14 則

T?(t)?3?a2l3?a2l(?A(t)sin3?at2l3?at?B(t)cos)，2lT??(t)?(?A?(t)sin3?at2l?B?(t)cos3?a2l3?at3?at3?at?3?a?)???B(t)sin)?(A(t)cos2l2l2l?2l?3?at2l3?at ?B?(t)cos)?f2(t)，2l2

T??(t)??2a2T(t)?f2(t)?(?A?(t)sin3?at3?at??(t)cos?(t)sinA?B?0?2l2l也就是：

?，3?a3?at3?at3?at?(?A?(t)sin?B?(t)cos)?sin2l2l2l?2l求解此線性方程組得：A?(t)??22l3?asin23?at2l,B?(t)?2l3?asin23?at2lcos3?at2l，3?atl?l?

A(t)??sin?t?c1,?l3?a?3?a?3?at?l? B(t)???cos?c2，?l?3?a?所以，（1）的解為：

3?atl3?at3?at3?at?l?

T(t)?T2(t)?? ?tcos?c1cos?c2sin?sin3?a2l3?a2l2l2l??2由初始條件T(0)?0,T?(0)?0可得：c1?0,2l22?l?c2???，?3?a?3?at2l2所以，T2(t)??3?a?sin3?at2l?l3?atcos，所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為：

??

u(x,t)?14．求解混合問題

?n?1?2l23?atl3?atXn(x)Tn(t)??sin?tcos?(3?a)22l3?a2l??3?x?sin。?2l?2?x?2u(x,t)?au(x,t)?sin(0?x?l,xx?ttl?

?u(0,t)?0,u(l,t)?0?3?x2?xu(x,0)?2sin,u(x,0)?sint?ll?t?0)。

解：作函數(shù)變換v(x,t)?u(x,t)?w(x)，其中w(x)為待定函數(shù)，則

vtt(x,t)?utt(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?w??(x)，22

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?a(uxx(x,t)?w??(x))

?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)，15 設(shè)u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，2?xl取aw??(x)?sin222?x?l?，則有： ?0，即w(x)???sinl?2?a?222vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)?sin2?xl ?aw??(x)?0，2而

v(0,t)?u(0,t)?w(0)?0?0?0,3?xlv(l,t)?u(l,t)?w(l)?0

v(x,0)?u(x,0)?w(x)?2sin2?xl2?x?l?，???sin2?al??2

vt(x,0)?ut(x,0)?sin，所以，v(x,t)為如下定解問題的解函數(shù)： ??v(x,t)?a2v(x,t)?0ttxx??（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?3?x?l???v(x,0)?2sin?l?2?a?(0?x?l,2?x?sin,?l?2t?0)，vt(x,0)?sin2?xl用分離變量法求解此定解問題：由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得： ?n??

???n???,l??2X(x)?Xn(x)?sinn?atl?Bnsinn?atln?xl,，T(t)?Tn(t)?Ancos設(shè)（*）的解函數(shù)為

??(n?1,2,?)

??

v(x,t)??n?1un(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl??)sinn?xl，由初始條件可得：2sin3?xl2?x?l????v(x,0)??sin2?al??22?n?1Ansinn?xl

?l?可得： A1?0,A2????,A3?2,?2?a???An?0(n?4,5,?)

n?atlln?a

vt(x,t)??n?1n?al??(?Ansinn?atln?xl?Bncos)sinn?xl，sin2?xl?vt(x,0)??n?1n?alBnsin?B2?,Bn?0(n?1,3,4,5,?)

2?atl2?at2?x3?at3?x?l?所以，v(x,t)?(??，cos?sin)sin?2cossin?l2?allll?2?a?2所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為u(x,t)?v(x,t)?w(x)。15． 求解混合問題

2??x2sin?x(0?x?l,?utt(x,t)?auxx(x,t)??l?

?u(0,t)??t,u(l,t)?sin?t?u(x,0)?0,u(x,0)??(?為常數(shù))t??t?0)。

[注]：此定解問題中的微分方程非齊次項中的sin?x應(yīng)為sin?t，才能得到書中答案。

解：先將邊界條件齊次化：令v(x,t)?u(x,t)?((sin?t??t)??t)，lx則

vtt(x,t)?utt(x,t)?xl?sin?t,2vxx(x,t)?uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，則

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?2xl2?sin?t?auxx(x,t)

xl22

?utt(x,t)?auxx(x,t)?0l?sin?t?0，2?t??t)??t)??t??t?0，v(0,t)?u(0,t)?((sin?t??t)??t)??t??t?0，v(l,t)?u(l,t)?((sinll

v(x,0)?u(x,0)?0?0,vt(x,0)?ut(x,0)?(xl(?cos?*0??)??)?0，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)?v(x,t)?0，所以，原定解問題的解函數(shù)為 u(x,t)?xl(sin?t??t)??t

?utt(x,t)?a2uxx(x,t)?3?x2?te?x?16． 求解 ?ux(0,t)?t,ux(l,t)?u(l,t)?t?u(x,0)?0,u(x,0)?1?e?xt?(0?x?l,t?0)。

解：作如下函數(shù)變換：v(x,t)?u(x,t)?t(1?e?x)?u(x,t)?t?te?x，若u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，則經(jīng)驗證可得：v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)： ?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?3?x2?(1?a2)te?x?

?vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?1,t?0)

用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(x,t)?X(x)T(t)，T??(t)aT(t)2由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得：

?X??(x)X(x)????X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?X?(0)?0,X?(1)?X(1)?0 由X(x)所滿足的方程可得：X(x)?c1cos?x?c2sin?x，由邊界條件可得：c2?0,??0，取c1?1，則得X(x)?cos

X?(1)?X(1)?0???sin??cos??0?2所以，???n??n,X(x)?Xn(x)?cos?nx?x，??ctg?，(n?1,2,?)，其中，?n是方程??ctg?的所有正解。因為

?10cos?nxdx?22?100.5(1?cos2?nx)dx?0.5(1?sin?n)，2令

fn(t)?1?sin?n21?sin22??10f(x,t)cos?nxdx

?1?n0((3?x)?(1?a)te22?x)cos?nxdx

?4sin?n?(1?sin?n)??3n2?2(1?a)sin?n1?sin?n222t?bn?cnt

則

f(x,t)??n?1fn(t)cos?nx，??設(shè)原定解問題的解函數(shù)為v(x,t)??Tn?12n(t)cos?nx，??則

vtt?avxx?2?(Tn?1?n??(t)?a?T(t))cos?nx?2n?n?1fn(t)cos?nx，?22從而有：

Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)(n?1,2,?)，?由初始條件可得：v(x,0)?vt(x,0)?0?Tn(0)?Tn(t)?0，所以，Tn(t)為如下初值問題的解函數(shù)： ?22??Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)

????Tn(0)?0,Tn(0)?0(t?0)

?22用常數(shù)變易法：Tn(t)?a?nTn(t)?0?Tn(t)?Ancosa?nt?Bnsina?nt，設(shè)此邊值問題的解為： Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt，?A?(t)cosa?t?B?(t)sina?t?0nnnn?經(jīng)簡單推導(dǎo)得： ?，1???A(t)sina?t?B(t)cosa?t?f(t)nnnnn?a?n?1??A(t)??fn(t)sina?ntn?a?n?解此線性方程級：?

1??Bn(t)?fn(t)cosa?nt?a?n?積分并利用初始條件可得：

cn1?A(t)?((b?ct)cosa?t?b)?sina?ntnnnn23?n?a?n??a?n??

?，cn1?Bn(t)?(bn?cnt)sina?nt?(cosa?nt?1)23??a?n??a?n??

Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt

?1?a?n?bn2?bn?cnt??1?a?n?2(bncosa?nt?cna?nsina?nt)

??a?n?2???1?cosa?nt??cn?a?n?2??1?t??sina?tn? ?a?n??所以，u(x,t)??Tn?1n(t)cos?nx，其中的Tn(t)、bn、cn和?n均由以上各式給定。[注]課本上的答案為此處的a=1。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?17． 求解 ?ux(0,t)??,ux(l,t)???u(x,0)?A(A,?為常數(shù))?t?0)。

解：設(shè)u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，作函數(shù)變換v(x,t)?u(x,t)??x，19 則

vt(x,t)?ut(x,t),vx(x,t)?ux(x,t)??,vxx(x,t)?uxx(x,t)

vx(0,t)?ux(0,t)?0,vx(l,t)?ux(l,t)?0,v(x,0)?u(x,0)??x?A??x，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0(0?x?l,t?0)?

?vx(0,t)?0,vx(l,t)?0

?v(x,0)?A??x?用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(x,t)?X(x)T(t)為微分方程的滿足齊次邊界條件的非零解函數(shù)，則將v(x,t)代入方程后化簡可得：

T?(t)aT(t)?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,2X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(l,t)?0?X?(0)?0,X?(l)?0，所以，X(x)為如下邊值問題的非零解函數(shù)：

2???n?????n???X??(x)??X(x)?0(0?x?l)????l????????X(0)?0,X(l)?l?X(x)?X(x)?cosn?xn??l??(n?0,1,2,?)

將???n代入T(t)的方程可得：

?n?a?

T?(t)?a2?nT(t)?0?T(t)?Tn(t)?Bnexp?(??t)l??n?x?n?a?所以，vn(x,t)?Tn(t)Xn(x)?Bnexp(??。?t)cosll????22(n?0,1,2,?)，設(shè)

v(x,t)??n?0n?x?n?a?，Bnexp?(??t)cosl?l???2則由初始條件可得：A??x?v(x,0)?1l2l?n?0Bncosn?xl

可得：

B0?

Bn??)0l(A??x)dx?A?12?l，(n?1,2,?)，n?x2?ln(A??x)cosdx?(1?(?1))22?0lln? 20 所以，v(x,t)?A?

12???l??n?12?ln?22n?x?n?a?。(1?(?1))exp(??t)cos?l?l?n2?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)(0?x?l,?18． 求解 ?u(0,t)?A,u(l,t)?B(A,B為常數(shù))?u(x,0)?g(x)?t?0)。

解：設(shè)F(x)??(?0xx0f(x)dx)dx，w(x)?1a2F(x)?(A?B)a?F(l)al22x?A，1a2

v(x,t)?u(x,t)?w(x)?vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?

vt(x,t)?a2vxx(x,t)?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)?0，1a1a22f(x)，v(0,t)?u(0,t)?w(0)?A?F(0)?(A?B)a?F(l)al2220?A?0，v(l,t)?u(l,t)?w(l)?B?F(l)?(A?B)a?F(l)al2l?A?0，v(x,0)?u(x,0)?w(x)?g(x)?w(x)，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?g(x)?w(x)?(0?x?l,t?0)，用分離變量法可求得：

??

v(x,t)?其中，An??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinll??(g(x)?w(x))sin??22l?ln?xl20dx(n?1,2,?)。

所以，u(x,t)??n?1n?x?n?a?Anexp(???w(x)。?t)sinl?l?21．在扇形區(qū)域內(nèi)求解邊值問題

??u?0(r?a,0????)?

?u(r,0)?0,u(r,?)?0。

?u(a,?)?f(?)?解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：

1???u?1?u2

?u??0?rurr?rur?u???0。?r??22r?r??r?r??2用分離變量法求解此定解問題：設(shè)u(r,?)?R(r)?(?)，代入以上微分方程化簡后可rR??(r)?rR?(r)R(r)2得

?????(?)?(?)2：

??????(?)???(?)?0,rR??(r)?rR?(r)??R(r)?0

u(r,0)?R(r)?(0)?0??(0)?0, u(r,?)?R(r)?(?)?0??(?)?0，所以，?(?)是如下邊值問題的非零解函數(shù)：

2???n?????n??????(?)???(?)?0???????

?????(0)?0,?(?)?0????(?)?sinn?xn?????(n?1,2,?)，2n?/??n?/??Bnr

rR??(r)?rR?(r)??nR(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anr，n?/?又顯然有：R(0)????Bn?0，也就是：Rn(r)?Anr，所以，un(r,?)?Rn(r)?n(?)?Anr??n?/?sinn???sin，n??設(shè)原定解問題的解函數(shù)是 u(r,?)??n?1Anrn?/??n?/?，??由關(guān)于r的邊界條件可得：f(?)?u(a,?)?其

?n?1Anasinn???，中

An?a?n?/?2???0f(?)sinn???2d?(n?1,2,?)，n?/?n??????r?所以，u(r,?)????f(?)sind?????n?1?0???a???sinn???。

??u?0(1?r?2,0????)?22 求解邊值問題

?u(1,?)?sin?,u(2,?)?0。

?u(r,0)?0,u(r,?)?0?解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：

1???u?1?u2?0?rurr?rur?u???0

?u??r??22r?r??r?r??

2用分離變量法求解：設(shè)u(r,?)?R(r)?(?)代入方程中并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0，???????(?)????(?)???(?)?0???(?)

u(r,0)?0,u(r,?)?0??(0)?0,?(?)?0，?????(?)???(?)?0

???(0)?0,?(?)?0?2??n??2????n???n????????(?)??(?)?sinn?n?(n?1,2,?)，將???n?n2代入R(r)所滿足的方程可得：

r2R??(r)?rR?(r)?n2R(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anrn?Bnr?n，????n設(shè)原定解問題的解函數(shù)為 u(r,?)??Rn?1(r)?n(?)??(An?1nr?Bnrn?n)sinn?，???n?n0?u(2,?)??(An2?Bn2)sinn???n?1由r的邊界條件可得：

?，???sin??u(1,?)??(An?Bn)sinn??n?1?容易得到：

An?Bn?0(n?2,3,?)，?1??1A????1?2A?2B1?0

3，?1??4B1?1?A1??B1??3??所以，u(r,?)?????13r?43r?1??sin?。?2?(r?a)?uxx?uyy?y23． 求解邊值問題 ? 222??ur?a?xy,r?x?y解：作函數(shù)變換 v(x,y)?u(x,y)?112y，24則有：

vxx(x,y)?uxx(x,y),vyy(x,y)?uyy(x,y)?y 此時，有：

vxx?vyy?uxx?uyy?y?y?y?0，所以，v(x,y)是如下邊值問題的解函數(shù)：

222 23 ?vxx?vyy?0(r?a)?

? 14222v?xy?y,r?x?y?12?r?a將此定解問題由直角坐標(biāo)改為極坐標(biāo)：

?r2vrr?rvr?v???0(r?a)?

?1424v(a,?)?acos?sin??asin??12?(x?rcos?,y?rsin?)，用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(r,?)?R(r)F(?)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟rR??(r)?rR?(r)R(r)2容易得到：

?F??(?)??F(?)?0??????2，???rR(r)?rR(r)??R(r)?0F(?)?F??(?)由v(r,?)的實際意義可知：F(?)是以2?為周期的周期函數(shù)，R(0)??? 所以

???n?n2,F(?)?Fn(?)?Ancosn??Bnsinn?(n?0,1,2?)

22n?nn

rR??(r)?rR?(r)?nR(r)?0?R(r)?c1r?c2r,letRn(r)?r，????n設(shè)

v(r,?)??Rn?0(r)Fn(?)??(An?0??nncosn??Bnsinn?)r

由關(guān)于r的邊界條件可得：v(a,?)?112?(An?04ncosn??Bnsinn?)a，n而

v(a,?)?acos?sin??

??所以，A0??13213242asin?

12412acos2??19644a?412asin2??1a,B2?22196acos4?，4a,A2?24,A4??，其余的An、Bn的值均為零。所以，v(r,?)?? u(r,?)??1324132a?r(242124acos2??12212sin2?)?1964196rcos4?，112rsin?。

444a?r(124acos2??2sin2?)?rcos4?????u?0(r?a,0???)?2?24.求解邊值問題 ?ur(a,?)?f(?)。

??u(r,0)?0,u(r,)?0?2?解：因為其自變量的取值區(qū)域是扇形區(qū)域，所以可在極坐標(biāo)系下用分離變量法求解此定 24 解問題，因為，?u?1?r?rr?u?r?1?ur22??2?0，設(shè) u(r,?)?R(r)?(?)，求出其各階偏導(dǎo)數(shù)并代入方程后化簡可得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0 ?????????(?)??(?)???(?)?0???(?)?(由u(r,?)關(guān)于?的邊界條件可得

?(0)?0,?2)?0

????(?)???(?)?0????n?4n2?所以

?????(0)?0,?()?0??n(?)?sin2n??2?(n?1,2?)

r2R?(r)?rR?(r)?4n2R(r)?0?R?Rn(r)?Anr2n?Bnr?2n

u(0,?)????Rn(0)????Rn(r)?Anr??2n

設(shè)原定解問題的解函數(shù)為

u(r,?)??An?1nr2nsin2n?，??則

ur(r,?)??2nAn?1nr2n?1sin2n?，??由邊界條件得

f(?)?ur(a,?)?從而有：

An?2n?a2n?1?2nAn?1na2n?1sin2n?

??/20f(?)sin2n?d?

（1）

??所以，原定解問題的解函數(shù)為u(r,?)?其中的系數(shù)由（1）式給出。

?An?1nr2nsin2n?，???u?xy(r?a,0???)?2?25．求解邊值問題

?ur(a,?)?f(?)

??222u(r,0)?0,u(r,)?0,r?x?y?2?解：設(shè)w(x,y)?112xy(x?y)，作函數(shù)變換v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，22則

?v?vxx?vyy?uxx?uyy?(wxx?wyy)?0 在極坐標(biāo)下：

v(r,?)?u(r,?)?w(r,?)?u(r,?)?124rsin2?，25

vr(r,?)?ur(r,?)?

vr(a,?)?ur(a,?)?經(jīng)驗算得知：

v(r,0)?0,v(r,1616rsin2?，asin2?，33?2)?0，所以，v(r,?)為如下邊值問題的解函數(shù)：

2?1??v1?v(r)?2?0??v?2r?r?rr???13?v(a,?)?f(?)?asin2??r6??v(r,0)?0,v(r,?)?0?2?(r?a,0????2)

用分離變量法求解，設(shè)v(r,?)?R(r)?(?)代入方程并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0??????，?(?)????(?)???(?)?0???(?)由關(guān)于?的邊界條件可得：?(0)?0,?(?2)?0，(n?1,2,?)，2由此可得： ???n?4n,???n(?)?sin2n?222n?2n

rR??(r)?rR?(r)?4nR(r)?0?R?Rn(r)?Anr?Bnr，v(0,?)????R(0)????Rn(r)?Anr????n2n。

設(shè)

v(r,?)??Rn?13(r)?n(?)??An?1nr2nsin2n?，則

f(?)?16??asin2??vr(a,?)?2?2nAn?1na2n?1sin2n?，??由可求得： v(r,?)??An?1nr2nsin2n??a12rsin2?，2其中，An?2n?a2n?1??/20f(?)sin2n?d?，124rsin2?。

u(r,?)?v(r,?)?

第四篇：習(xí)題答案

第一章

1、心理的本質(zhì)是什么？

答：（1）心理是大腦的機（2）心理是大腦對客觀現(xiàn)實的反映。

2、什么是心理發(fā)展？

答：心理發(fā)展是指個體從胚胎開始經(jīng)歷各個年齡階段（兒童、少年、青年、中年、老年）一直到死亡的生命全程中心理的發(fā)展變化。

3、大學(xué)生心理發(fā)展的一般特點有那些？

答：（1）心理發(fā)展的過渡性（2）心理發(fā)展的可塑性（3）心理活動的兩極性（4）心理發(fā)展的階段性

4、實驗法與非實驗法的區(qū)別是什么？

5、測驗法與問卷法的區(qū)別是什么？

第二章

1、大學(xué)生心理健康的標(biāo)準(zhǔn)什么?

答:(1)能保持對學(xué)習(xí)的濃厚興趣和強烈的求知欲望(2)情緒協(xié)調(diào),心境良好.(3)意志健全,熱愛生活,樂于工作(4)人格完整,悅納自我.2．影響大學(xué)生心理健康的因素有哪些?

答:影響大學(xué)生心理健康的因素是多方面的,其中主要原因有心理因素,個人因素,家庭因素,學(xué)校因素,社會因素等.3．大學(xué)生心理健康教育應(yīng)遵循哪些原則?

答：從大學(xué)生心理健康指導(dǎo)思想出發(fā)，大學(xué)生心理健康應(yīng)遵循以下原則：

(1)教育性原則（2）主體性原則（3）全體性和整體性原則(4)民主，平等的原則

（5）預(yù)防、發(fā)展重于矯治的原則

4．大學(xué)生心理健康教育的主要任務(wù)和內(nèi)容是什么？41頁

答：

5．大學(xué)生心理健康教育開展的途徑和方法有哪些?

答：大學(xué)生心理健康教育要以課堂教學(xué)、課外教育指導(dǎo)為主要渠道和基本環(huán)節(jié)，形成課內(nèi)與課外、教育與指導(dǎo)、咨詢與自助緊密結(jié)合的心理健康工作的網(wǎng)絡(luò)和體系?？刹扇∫韵戮唧w形式：（1）在思想道德修養(yǎng)課中，科學(xué)安排有關(guān)心理健康教育的內(nèi)容。

（2）開設(shè)大學(xué)生心理健康教育的選修課或?qū)ｎ}講座、報告。

（3）結(jié)合教學(xué)工作過程，滲透對學(xué)生進(jìn)行心理健康教育的內(nèi)容。

（4）開展大學(xué)生心理輔導(dǎo)或咨詢工作。（包括：個體咨詢面談；團體咨詢；角色扮演）

（5）開展心理測評，建立心理檔案。

（6）加強校園文化建設(shè)，通過第二課堂活動，廣泛宣傳、普及心理健康知識，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展和健康成長。

6．大學(xué)生心理健康的預(yù)警機制由哪些層面工作來保證?

答:大學(xué)生健康預(yù)警是靠完整、嚴(yán)密的機制為保證而得以實現(xiàn)的，其工作重點是“及時發(fā)現(xiàn)”。

（1）定期普查（2）班級監(jiān)控（3）院系參與（4）專業(yè)人員介入（5）學(xué)校統(tǒng)籌

7．如何發(fā)現(xiàn)大學(xué)生群體中易于發(fā)生心理危機的高危個體？52頁

8．如何促進(jìn)和維護(hù)大學(xué)生心理健康?

答：我們認(rèn)為，大學(xué)生心理健康水平和以下四個方面因素關(guān)系密切：個體所承受的壓力、自我的強度、應(yīng)付壓力的技能、社會支持系統(tǒng)。一次，可以從四個方面因素著手，維護(hù)、促進(jìn)大學(xué)生心理健康水平。

（1）調(diào)整認(rèn)知，正確對待壓力與挫折。（2）營造積極的自我概念。（3）掌握有效的應(yīng)對技能。（4）營造有力的社會支持系統(tǒng)。

9．大學(xué)生心理健康教育管理體系包括哪些方面

答：大學(xué)生心理健康教育管理體系要做到組織嚴(yán)密、職責(zé)分明、運轉(zhuǎn)良好，應(yīng)主要包括管理機構(gòu)組成、教育隊伍建設(shè)、教育教學(xué)設(shè)置、教育實施途徑、心理危機干預(yù)、管理制度建設(shè)和經(jīng)驗交流與研討等幾個組成部分。

第三章

1．學(xué)習(xí)的三要素包括哪些？63頁

2．簡述學(xué)習(xí)理論(行為主義和認(rèn)知學(xué)派至少各三種)？

3．如何理解學(xué)習(xí)策略？大學(xué)生學(xué)習(xí)策略不同于中學(xué)生學(xué)習(xí)策略的特點有哪些?

答：首先，學(xué)習(xí)策略是內(nèi)隱的學(xué)習(xí)規(guī)則系統(tǒng)。第二，學(xué)習(xí)策略是具體的學(xué)習(xí)方法或技能。第三，學(xué)習(xí)策略是學(xué)習(xí)活動過程或步驟。第四，學(xué)習(xí)策略時學(xué)習(xí)的調(diào)控過程。第五，學(xué)習(xí)策略時學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)調(diào)控的有機統(tǒng)一。

與中小學(xué)生相比，大學(xué)生的自我意識提高，運用學(xué)習(xí)策略的能力增強，相應(yīng)地在學(xué)習(xí)策略上表現(xiàn)出與中小學(xué)生不同的特點。（1）自主性選擇（2）個性化77頁

4．大學(xué)生常用的學(xué)習(xí)策略有哪些?

答：（1）閱讀策略----SQ3R法（分別代表瀏覽、提問、閱讀、背誦、復(fù)習(xí)）；PQ4R法（分別代表預(yù)習(xí)、提問、閱讀、反思、背誦、復(fù)習(xí)）（2）問題解決的IDEAL策略---識別、界定、探索、實施、審查

5、如何培養(yǎng)認(rèn)知策略？80

6．什么是學(xué)習(xí)動機?說明學(xué)習(xí)動機與學(xué)習(xí)的關(guān)系？87--88

7．如何培養(yǎng)與激發(fā)大學(xué)生的學(xué)習(xí)動機?

第一，大學(xué)生學(xué)習(xí)動機的培養(yǎng)：

（1）明確學(xué)習(xí)目的，提升學(xué)習(xí)自主性。（2）幫助學(xué)生確立學(xué)習(xí)目標(biāo)。（3）培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強內(nèi)在學(xué)習(xí)動機。（4）利用原有動機的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要。（5）培養(yǎng)學(xué)生的積極歸因。

第二，大學(xué)生學(xué)習(xí)動機的激發(fā)

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)求知欲。（2）充分利用學(xué)習(xí)結(jié)果的反饋與評價作用。（3）開展學(xué)習(xí)競賽活動。

8．大學(xué)生常見的學(xué)習(xí)心理問題有哪些？如何進(jìn)行調(diào)適?93--98

第四章

1．談?wù)勀銓χ橇x的看法？為什么難以形成統(tǒng)一的智力定義?101--10

22．列舉幾種常用的智力測驗？

答：（1）比奈智力量表（2）韋氏智力量表（3）考夫曼智力量表（4）武德庫克—約翰遜任職能力測驗。

3．簡述皮亞杰、加德納、斯滕伯格智力理論的主要內(nèi)容？105--107

4．簡述大學(xué)生智力發(fā)展的主要特點。

答：（1）流體智力達(dá)到高峰，晶體智力繼續(xù)上升

有研究者對大學(xué)生智力發(fā)展特征進(jìn)行過以下描述

1）注意力集中，注意分配能力好。

2）觀察具有目的性和自覺性

3）記憶具有鮮明的個性色彩

4）思維的獨創(chuàng)性和想象的創(chuàng)造性顯著增強。

（2）辯證思維逐漸成熟

5談?wù)勀銓Υ髮W(xué)生智力培養(yǎng)的看法？110

6．談?wù)勀銓?chuàng)造力含義的看法？113

7．列舉幾種常用的創(chuàng)造力測驗？

創(chuàng)造力的測量主要從創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造性人格兩個方面進(jìn)行的。

（1）創(chuàng)造性思維測驗有：托蘭斯創(chuàng)造性思維測驗；南加利福尼亞大學(xué)測驗；芝加哥大學(xué)創(chuàng)造力測驗；沃利奇—凱根測驗

（2）創(chuàng)造性人格測驗有：自我陳述法和投射技術(shù)測驗法

8．簡述吉爾福特創(chuàng)造力理論的主要內(nèi)容。118

9．簡述大學(xué)生創(chuàng)造力發(fā)展的主要特點。

答：（1）處在創(chuàng)造心理的大覺醒時期，對創(chuàng)造充滿渴望和憧憬。

（2）傳統(tǒng)的習(xí)慣力束縛較少，敢想敢說敢做，不被權(quán)威名人所嚇倒，有一種“初生牛犢不怕虎”的精神

（3）創(chuàng)新意識強，敢于標(biāo)新立異，思維活躍，心靈手巧，富有創(chuàng)造性，靈感豐富。

（4）在創(chuàng)造中已展露頭腳，孕育著更大的創(chuàng)造性。

不足：（1）想象豐富，但有時會脫離實際。

（2）思維敏捷，但不善于掌握創(chuàng)造性思維的方式，不能靈活的、全面的、辯證地看待問題，易鉆牛角尖。

（3）靈感迸發(fā)快，但不善于捕捉有價值的想法。

（4）具有創(chuàng)新的勇氣，但不善于利用周圍有利的條件，以注重自我的想法而忽視向他人求教，只重書本知識而忽視實踐經(jīng)驗。

10．談?wù)勀銓Υ髮W(xué)生創(chuàng)造力培養(yǎng)的看法。

答：（1）忠實自己的信念，不迷信權(quán)威

（2）激發(fā)熱情，尊重真理

（3）提供包容和民主的環(huán)境，培養(yǎng)自主性

（4）拓展教學(xué)內(nèi)容，改善教學(xué)方法

（5）積極培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力。

第五章

1、什么是情緒、情感?情緒與情感有什么異同?131

2．情緒與情感具有哪些功能?

答：適應(yīng)的功能；動機的功能；組織的功能；信號的功能

3．人的情緒狀態(tài)一般分為哪幾種?

答：心境；激情；應(yīng)激

4大學(xué)生的情緒、情感發(fā)展有什么特點?

答:豐富性和復(fù)雜性；波動性和兩極性；沖動性和爆發(fā)性；外顯性和內(nèi)隱性。

5什么是情緒、情感教育?情緒、情感教育的目的是什么?143

6．情緒健康的標(biāo)準(zhǔn)有哪些?1427、大學(xué)生常見的情緒、情感問題有哪些?

答：常見的情緒問題有：焦慮、抑郁、憤怒、嫉妒。

常見的情感問題有：冷漠、社會責(zé)任感淡化、審美觀錯位

8、大學(xué)生常見的情緒、情感問題產(chǎn)生的原因是什么?

(1)外在的客觀原因：社會環(huán)境的影響；學(xué)校環(huán)境的影響；家庭因素的影響。

（2）自身原因：不能正確地認(rèn)識自己；人際交際受挫；性和戀愛引起的情緒波動；重要的喪失。

9、什么是情商?情商與智商有什么關(guān)聯(lián)?152--15310、情商的高低與大學(xué)生的發(fā)展有什么關(guān)系?153--15411、什么是情緒調(diào)節(jié)?

答：我們認(rèn)為情緒調(diào)節(jié)是指個體完成目標(biāo)對情緒、情緒相關(guān)的行為、情緒誘發(fā)的情境進(jìn)行的監(jiān)控，評估、修正等調(diào)整過程，以適應(yīng)外界情境和人際關(guān)系的需要。

12．大學(xué)生的情緒調(diào)節(jié)方式有哪些?156

13．大學(xué)生的情感教育應(yīng)從哪些方面著手?

（1）教育學(xué)生做一個快樂的自己（2）激發(fā)大學(xué)生的積極情感（3）加強高級社會性情感的培養(yǎng)。

第六章

1、什么是品德? 比較品德和道德的聯(lián)系與區(qū)別?162—1632、簡述品德的心理結(jié)構(gòu)？

答：品德的心理結(jié)構(gòu)是指品德這種個體心理現(xiàn)象的組成成分，品德包含道德認(rèn)識，道德情感、道德意識和道德行為幾種心理成分。品德具有整體性，品德結(jié)構(gòu)中的道德認(rèn)識，道德情感、道德意識和道德行為之間是相輔相成的、相互影響、相互作用的。道德情感是在道德認(rèn)識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，反過來又影響著道德認(rèn)識的形成，道德認(rèn)識和道德情感共同促成了道德動機的產(chǎn)生，并引發(fā)了一定的道德行為。道德意志對道德行為起調(diào)控作用。

3、簡述柯爾伯格的道德發(fā)展理論？1674、簡述當(dāng)代大學(xué)生品德心理的發(fā)展特點？

答：（1）道德認(rèn)識能力不斷增強（2）道德情感具有易感性和兩極性（3）道德意志逐步增強。（4）道德行為習(xí)慣逐漸養(yǎng)成。

5、談?wù)勀銓Υ髮W(xué)生品德培養(yǎng)的看法？181—188

第七章

l怎樣理解自我和自我意識？192

答：嚴(yán)格的“自我”定義尚不存在，目前心理學(xué)可供參考的觀點：自我既是個人特征的集合，又是一定社會關(guān)系的反應(yīng)，是個人生活歷程的寫照。狹義自我是指個體對自己心里活動的認(rèn)識與控制；廣義自我指一切個體能夠稱之“我的”之總和。既包括個體的軀體、生理活動，也包括所有與個體有關(guān)的存在物，如事業(yè)、成就、名譽、地位、財產(chǎn)、權(quán)力等。

2．試分析自我意識的結(jié)構(gòu)。

答：自我認(rèn)識結(jié)構(gòu)即自我認(rèn)識、自我體驗和自我控制。其中自我認(rèn)識是最基礎(chǔ)的部分，決定著自我體驗的主導(dǎo)心境以及自我控制的主要內(nèi)容；自我體驗又強化著自我認(rèn)識，決定了自我控制的行為力度；自我控制則是自我完善的實際途徑，對自我認(rèn)識、自我體驗都有著調(diào)節(jié)作用。三方面整合一致，便形成了完整的自我意識。

3、試分析自我意識的內(nèi)容。

答：無論是“主觀我”還是“客觀我”，都是圍繞著自我的具體方面形成和存在的，這些方面共同構(gòu)成了自我意識的內(nèi)容。

（1）生理自我、心理自我和社會自我（2）現(xiàn)實自我、鏡中自我和理想自我4、試論述大學(xué)生自我意識的發(fā)展特點。

答：大學(xué)生自我意識體現(xiàn)了特殊性、矛盾性、復(fù)雜性和可評估等特點。

大學(xué)生自我意識的特殊性體現(xiàn)在了時間上的特殊性，空間上的特殊性。大學(xué)生自我意識的矛盾性體現(xiàn)在獨立意向的矛盾性，自我評價的矛盾性，自我體驗的矛盾性，自我控制的矛盾性。大學(xué)生自我意識的復(fù)雜性體現(xiàn)在自我認(rèn)識內(nèi)容廣泛；自我認(rèn)識途徑多樣；自我認(rèn)識差異較大。

5．試分析大學(xué)生自我意識的完善途徑。

答：（1）正確的自我認(rèn)知（2）客觀的自我評價（3）積極的自我提升（4）不斷的自我成長

6．大學(xué)生常見自我意識欠缺有哪些？如何調(diào)適？218—221

第八章

1、． 什么是人格？人格有哪些特征？

答：心理學(xué)上的不同人格內(nèi)涵很多，但基本包含兩方面的意義：一是人們可以觀察到外顯的行為和品質(zhì)，即個體在人生舞臺上所表現(xiàn)出的種種言行及其遵循的社會準(zhǔn)則；另一是內(nèi)隱的人格成分，即個體內(nèi)在心理特征。一般認(rèn)為人格是構(gòu)成一個人的思想、情感及行為的特有綜合模式，這個獨特模式包含了一個人區(qū)別于他人的穩(wěn)定而統(tǒng)一的心理品質(zhì)。

2、氣質(zhì)和性格有哪些學(xué)說 ？試分別敘述。224—2273、試述大學(xué)生人格發(fā)展的特點。2384、健全人格有哪些模式？

答：有“成熟者”模式；“機能健全著”模式；“創(chuàng)發(fā)者”模式；“綜合”模式；中國模式

5、試述大學(xué)生健全人格培養(yǎng)與塑造的途徑？

答：（1）了解自己的人格類型與特點（2）學(xué)會自我教育（3）增強挫折承受力（4）積極參與社會實踐，培養(yǎng)良好習(xí)慣；（5）擴大社會交往，建立良好的人際關(guān)系（6）其他途徑：在業(yè)余愛好中培養(yǎng)健全的人格；求助心理咨詢。

6、大學(xué)生常見人格問題有哪些？如何矯正？251

第五篇：習(xí)題答案

1．冰心原名_________，是著名的_________、_________、________、__________。2．冰心于l923年發(fā)表的兩部詩集是______、________，創(chuàng)作上受到印度詩人___________的影響，其詩歌作品，在當(dāng)時吸引了很多青年的模仿。

3．“五四”以后進(jìn)行新詩創(chuàng)作取得較高成就的除冰心之外，還有____ ___、_ __等，他們的代表作分別有《________》、《_________ 》等。

4．冰心的詩有豐富而深刻的哲理，并恰當(dāng)?shù)剡\用對比，如：“言論的花開得愈大，_____________?！?/p>

5．冰心早年藝術(shù)上，追求“___________”的境界，她的詩也具有這些特點。

6．“春江水暖鴨先知”是_______ 朝______________的詩句，在冰心筆下有著同樣的詩句：“人 在廊下，書在膝上，_____________?！?/p>

7．冰心在《繁星》里回憶童年的美好：“童年啊，_________，___________，__________。” 8．冰心的《繁星》詩中發(fā)人深省的格言式小詩觸目皆是，如“成功的花，_________!然而當(dāng)初她的芽兒，___________，灑遍了犧牲的血雨?！?/p>

9．冰心的詩中洋溢著_________ 的哲學(xué)。

10．冰心的早期小說創(chuàng)作以“問題”小說為主，如_______、_________等。我們教材中學(xué)過冰心寫于

二十個世紀(jì)五六十年代的小說_____________。

11．冰心的著名散文有_____________、__________、__________等。

12．冰心是________派的代表詩人，這些詩特點是___________、__________、_________。

13．冰心是福建長樂人，出生于福州一個具有________、________ 的海軍軍官家庭。14．作者以“冰心”為筆名，在《__________》一文中，作了說明：一來是_______ ；二來是________。

15．冰心的小詩創(chuàng)作源于印度詩人_______的《____________》。

16．《繁星》是冰心的第 部詩集，詩集收入詩人________ 至_________所寫小詩_________首，最初發(fā)于北京的《__________》。

17．冰心的主要作品有：詩集《__________》、《__________》，短篇小說集《_________》、《________》，散文集《________》、《________》、《________ 》等。

18．《春水》收入詩人在________至________所寫的小詩________首。

19．《繁星》、《春水》中的詩篇表現(xiàn)出詩人對于________、________、________的見解。

20．詩集《繁星》、《春水》的名字的內(nèi)涵是什么？

21．冰心，中國現(xiàn)代文學(xué)史上第一位著名女作家，她一步人文壇，便以宣揚“____ ____” 著稱。

22．冰心的詩集《繁星》、《春水》是人們公認(rèn)的小詩最高成就，被茅盾稱為

“________”、“_________”。

參考答案

1．謝婉瑩；小說家；詩人；散文家；兒童文學(xué)家2．繁星；春水；泰戈爾3．郭沫若；徐志摩；鳳

凰涅槃；再別康橋4．行為的果子結(jié)得愈小

5．滿蘊著溫柔，微帶著憂愁6．宋；蘇軾；拂面的微風(fēng)里，知道春來了7．是夢中的真；是真中的夢；是回憶時含淚的微笑8．人們只驚慕她現(xiàn)時的明艷；浸透了奮斗的淚泉9．愛

l0．《斯人獨憔悴》；《去國》；《小桔燈》ll．《寄小讀者》；《往事》；《笑》l2．小詩；短小；形式自由；富含哲理13．愛國；維新思想l4．我的文學(xué)生活；筆畫簡單好寫，瑩字的含義l5．泰戈爾；飛鳥集16．一；1919年冬；1921年秋；164；晨報副刊17．繁星；春水；超人；冬兒姑娘；寄小讀者；歸

來之后；櫻花贊l8．1922年3月；6月；l82 19．母愛；童真；自然20．繁星，代表著零星的思想；春水，是因為作者希望在不經(jīng)意之時將思緒像春水一樣流入讀者心中21．愛的哲學(xué)22．繁星格；春水體